2022-2023学年江苏省八年级下学期期末数学试题选编第9章：中心对称图形—平行四边形练习题（含解析）

第9章：中心对称图形——平行四边形 练习题
一、单选题
1．（2022春·江苏淮安·八年级统考期末）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转一定的角度得到，此时点C在边上，若AB＝5，＝2，则的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2022春·江苏泰州·八年级统考期末）如图，在正方形网格中，线段AB绕点O旋转一定的角度后与线段CD重合（C、D均为格点，A的对应点是点C），若点A的坐标为（－1，5），点B的坐标为（3，3），则旋转中心O点的坐标为（ ）
A．（1，1） B．（4，4） C．（2，1） D．（1，1）或（4，4）
3．（2022春·江苏镇江·八年级统考期末）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． 赵爽弦图 B． 笛卡尔心形线
C． 科克曲线 D． 斐波那契螺旋线
4．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，平行四边形ABCD中，两对角线交于点O，AB⊥AC，AD=5cm，OC=2cm，则对角线BD的长为（ ）
A．cm B．8cm C．3cm D．cm
5．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中， ABCD在第一象限，且BC∥x轴．直线y＝x从原点O出发沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被 ABCD截得的线段长度n与直线在x轴上平移的距离m的函数图像如图2所示，平行四边形ABCD的面积为6，则的值是（ ）
A．2 B．2 C．3 D．3
6．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
7．（2022春·江苏镇江·八年级统考期末）如图，矩形中，对角线交于点O，，则矩形的面积是（ ）
A．2 B． C． D．8
8．（2022春·江苏盐城·八年级统考期末）如图，D、E、F是△ABC各边的中点，若△ABC的周长为12，则△DEF的周长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
9．（2022春·江苏连云港·八年级统考期末）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，要判定四边形DBFE是菱形，下列所添加条件不正确的是（　　）
A．AB=AC B．AB=BC C．BE平分∠ABC D．EF=CF
二、填空题
10．（2022春·江苏常州·八年级统考期末）如图，用六个全等的等边三角形可以拼成一个六边形，三角形的公共顶点为O，则该六边形绕点O至少旋转______°后能与原来的图形重合．
11．（2022春·江苏泰州·八年级统考期末）将数字“6”旋转，得到数字“9”，将数字“9”旋转，得到数字“6”，现将数字“689”整体旋转，得到的数字是______．
12．（2022春·江苏南京·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（﹣1，0），点A的坐标为（﹣3，3），将点A绕点C顺时针旋转90°得到点B，则点B的坐标为___．
13．（2022春·江苏南通·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，点（2，3）关于原点对称的点的坐标是______．
14．（2022春·江苏淮安·八年级统考期末）已知□ABCD的周长是20cm，且AB：BC=3：2，则AB=_______cm．
15．（2022春·江苏南通·八年级统考期末）如图，四边形 中，，，，，，则 ______．
16．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，则∠BOE的度数为____________．
17．（2022春·江苏南通·八年级统考期末）如图，菱形的边长为4，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，直线交于点，连接，则的长为____________．
18．（2022春·江苏淮安·八年级统考期末）如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为BC的中点，F为DE上一动点，P为AF中点，连接PC，则PC的最小值是______．
19．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为_____．
三、解答题
20．（2022春·江苏淮安·八年级统考期末）如图，平面直角坐标系中点D坐标为（1，1），每个小正方形网格的顶点叫做格点，平行四边形ABCD的顶点均在格点上．仅用无刻度直尺在给定网格中按要求作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示．
（1）将线段AD绕点A逆时针旋转90°，画出对应线段AE，并直接写出点E的坐标 　 　；
（2）过（1）中点E画一条直线把平行四边形ABCD分成面积相等的两部分；
（3）找一个格点F，使得CF⊥AD，并直接写出点F的坐标 　 　．
21．（2022春·江苏南通·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，将△ABC绕点O逆时针旋转90°，得到．
(1)请在图中画出，并求出的面积；
(2)若△ABC内一点，则在内与M相对应的点的坐标是______．
22．（2022春·江苏徐州·八年级统考期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，的顶点均为格点．
(1)画出将绕点O旋转后得到的；
(2)的面积为______，中AB边上的高为______．
23．（2022春·江苏淮安·八年级统考期末）已知：如图，△ABC绕着某点顺时针旋转一定角度后得到；点A，B，C分别对应点，，．
(1)根据点和的位置画出旋转中心O；
(2)请在图中画出；
(3)请在图中画出△ABC关于（1）问中点O对称的．
24．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，坐标分别为，，．
（1）画出关于x轴对称的；
（2）画出将绕原点O逆时针旋转90°所得的；
（3）与成中心对称图形吗？若成中心对称图形，直接写出对称中心的坐标．
25．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期末）已知：如图，，为对角线上的两点，且．求证：四边形是平行四边形．
26．（2022春·江苏徐州·八年级统考期末）已知：如图，E、F是□ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．
求证：
(1)△ADF≌△CBE；
(2)EB∥DF．
27．（2022春·江苏扬州·八年级统考期末）如图，将一张长方形纸片沿折叠，使两点重合．点落在点处．已知，．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）求线段的长．
28．（2022春·江苏苏州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（﹣4，0），（0，8），动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动．以CP，CO为邻边构造 PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE＝AO，设点P运动的时间为t秒．
(1)当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E的坐标；
(2)当点C在线段OB上时，求证：四边形ADEC为平行四边形；
(3)在线段PE上取点F，使PF＝3，过点F作MN⊥PE，截取FM＝ ，FN＝1，且点M，N分别在第一、四象限，在运动过程中，当点M，N中，有一点落在四边形ADEC的边上时，直接写出所有满足条件的t的值．
29．（2022春·江苏连云港·八年级统考期末）如图，等腰ABC中，，交BC于D点，E点是AB的中点，分别过D，E两点作线段AC的垂线，垂足分别为G，F两点．
(1)求证：四边形DEFG为矩形；
(2)若，，求CG的长．
30．（2022春·江苏南京·八年级统考期末）如图，是的中位线，延长至点，使，连接，，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)要使四边形是菱形，的边需要满足的条件是________．
参考答案：
1．B
【分析】由旋转的性质可得AB＝＝5，BC＝＝2，即可求解．
【详解】解：∵将△ABC绕点B顺时针旋转一定的角度得到，
∴AB＝＝5，BC＝＝2，
∴＝－BC＝3，
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
2．A
【分析】画出平面直角坐标系，对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心．
【详解】解：作AC、BD的垂直平分线交于点E，
点E即为旋转中心，E（1，1），
故选：A．
【点睛】本题考查坐标与图形变换旋转，解题关键在于理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
3．C
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C．是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
D．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选C．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4．D
【分析】利用平行四边形的性质和勾股定理易求的长，进而可求出的长．
【详解】解：的对角线与相交于点，
，，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质．
5．B
【分析】根据函数图象中的数据可以分别求得平行四边形的边AD的长，然后根据平行四边形的面积求得AD边上的BM，然后解等腰直角三角形即可求得BE，得到a的值．
【详解】过B作BM⊥AD于点M，分别过B，D作直线y=x的平行线，交AD于B
如图1所示，
由图象和题意可得，AE=7-5=2，DE=8-7=1，
∴AD=2+1= 3，
∵平行四边形ABCD的面积为6，
BM=2，
∵直线BE平行直线y=x，
∴BM=EM=2，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
6．B
【分析】A、根据平行四边形的判定定理作出判断；B、根据矩形的判定定理作出判断；C、根据菱形的判定定理作出判断；D、根据正方形的判定定理作出判断．
【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项错误，不符合题意；
B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形；故本选项正确，符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误，不符合题意；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题综合考查了正方形、矩形、菱形及平行四边形的判定．解答此题时，必须理清矩形、正方形、菱形与平行四边形间的关系．
7．C
【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分，以及，可得是等边三角形，进而在中可得，根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得，即可求得矩形的面积．
【详解】解：∵四边形是矩形，
，
，
∴，
是等边三角形，
，
在中，，
矩形的面积是
故选C.
【点睛】本题考查了矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的性质判定，掌握矩形的性质是解题的关键．
8．C
【分析】根据中位线定理可得BC=2DF，AC=2DE，AB=2EF，继而结合△ABC的周长为12，可得出△DEF的周长．
【详解】解：∵D、E、F分别为△ABC三边的中点，
∴DE、DF、EF都是△ABC的中位线，
∴BC=2DF，AC=2DE，AB=2EF，
故△ABC的周长=AB+BC+AC=2（DF+FE+DE）=12，
则DF+FE+DE=12×=6．即△DEF的周长为6．
故选：C．
【点睛】此题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
9．A
【分析】当AB=BC时，四边形DBFE是菱形．根据三角形中位线定理证明即可；当BE平分∠ABC时，可证BD=DE，可得四边形DBFE是菱形，当EF=FC，可证EF=BF，可得四边形DBFE是菱形，由此即可判断；
【详解】解：当AB=BC时，四边形DBFE是菱形；
理由：∵点D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，
∴DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形DBFE是平行四边形，
∵DE=BC，EF=AB，
∴DE=EF，
∴四边形DBFE是菱形．
故B正确，不符合题意，
当BE平分∠ABC时，∴∠ABE=∠EBC
∵DE∥BC，
∴∠CBE=∠DEB
∴∠ABE =∠DEB
∴BD=DE
∴四边形DBFE是菱形，
故C正确，不符合题意，
当EF=FC，
∵BF=FC
∴EF=BF，
∴四边形DBFE是菱形，
故D正确，不符合题意，
故选A．
【点睛】本题考查三角形的中位线定理，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理，属于中考常考题型．
10．60
【分析】根据旋转的性质可进行求解．
【详解】解：由题意可知该六边形是正六边形，则可知正六边形每条边所对的圆心角为60°，所以该六边形绕点O至少旋转60°后能与原来的图形重合；
故答案为60．
【点睛】本题主要考查旋转的性质及正多边形，熟练掌握旋转的性质及正多边形是解题的关键．
11．689
【分析】直接利用中心对称图形的性质结合“689”的特点得出答案．
【详解】解：将数字“689” 整体旋转180°，得到的数字是：689．
故答案为：689．
【点睛】此题主要考查了生活中的旋转现象，能够想象出旋转后的图形是解题关键．
12．（2，2）
【分析】过点A作AE⊥x轴于E，过点B作BF⊥x轴于F．利用全等三角形的性质解决问题即可．
【详解】解：如图，过点A作AE⊥x轴于E，过点B作BF⊥x轴于F．
∵∠AEC＝∠ACB＝∠CFB＝90°，
∴∠ACE+∠BCF＝90°，∠BCF+∠B＝90°，
∴∠ACE＝∠B，
在△AEC和△CFB中，
，
∴△AEC≌△CFB（AAS），
∴AE＝CF，EC＝BF，
∵A（﹣3，3），C（﹣1，0），
∴AE＝CF＝3，OC＝1，EC＝BF＝2，
∴OF＝CF﹣OC＝2，
∴B（2，2），
故答案为：（2，2）．
【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
13．（-2，-3）
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．
【详解】解：点（2，3）关于原点对称的点的 坐标是（-2，-3），
故答案为：（-2，-3）．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数是解题关键．
14．6
【分析】由平行四边形ABCD的周长为20cm，根据平行四边形的性质，即可求得AB+BC=10cm，又由AB：BC=3：2，即可求得答案．
【详解】解：∵平行四边形ABCD的周长为20cm，
∴AB=CD，AD=BC，AB+BC+CD+AD=20cm，
∴AB+BC=10cm，
∵AB：BC=3：2，
∴．
故答案为：6．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质．
15．2.5
【分析】平移一腰，得到平行四边形和含30°角的直角三角形，根据它们的性质进行计算．
【详解】解：作DEAB交BC于点E，
∵AD∥BC，
则四边形ABED是平行四边形．
∴AB∥DE，AB＝DE，AD＝BE，
∴∠DEC＝∠B＝60°，
∵∠C＝30°，
∴∠EDC＝180° 60° 30°＝90°，
∵CE＝BC BE＝BC AD＝5，
∴DE＝2.5，
即AB＝2.5，
故答案为：2.5．
【点睛】本题考查的是与梯形有关的求解问题，平移一腰是梯形中常见的辅助线，同时考查了平行四边形的性质和含30°角的直角三角形的性质．
16．
【分析】由矩形ABCD，得到OA=OB，根据AE平分∠BAD，得到等边三角形OAB，推出AB=OB，求出∠OAB、∠OBC的度数，根据平行线的性质和等角对等边得到OB=BE，根据三角形的内角和定理即可求出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AC=BD，OA=OC，OB=OD，∠BAD=90°，
∴OA=OB，∠DAE=∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=45°=∠AEB，
∴AB=BE， ∵∠CAE=15°，
∴∠DAC=45°-15°=30°，
∠BAC=60°，
∴△BAO是等边三角形，
∴AB=OB，∠ABO=60°，
∴∠OBC=90°-60°=30°，
∵AB=OB=BE，
∴∠BOE=∠BEO=
故答案为75°．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，矩形的性质，等边三角形的性质和判定，平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定等知识点，解此题的关键是求出∠OBC的度数和求OB=BE．
17．
【分析】连接BE，由垂直平分线的性质和等腰直角三角形的性质，得BE=AE=， 再得∠EBC=90°，利用勾股定理即可求出CE的长度．
【详解】解：连接BE，如图：
由题意可知，MN垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴，则∠AEB=90°，
在等腰直角三角形ABE中，AB=4，
∴BE=AE=，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，
∴∠EBC=∠AEB=90°，
在Rt△BCE中，由勾股定理，则
；
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确得到∠EBC=∠AEB=90°．
18．
【分析】取AD中点H，连接BH，CH，设BH与AE的交点为O，连接CO，可证四边形DEBH是平行四边形，可得，由三角形中位线定理可得，可得点P在BH上，当CP⊥BH时，PC有最小值，即可求解．
【详解】解：如图，取AD中点H，连接BH，CH，设BH与AE的交点为O，连接CO，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝4，，，
∵点E是BC中点，点H是AD中点，
∴AH＝CE＝DH＝BE＝AB=CD=2，
∴四边形BEDH是平行四边形，，
，
∴，
∵点P是AF的中点，点H是AD的中点，
∴，
∴点P在BH上，
∵，
∴，
∴，
∵点P在BH上，
∴当CP⊥BH时，此时点P与H重合，PC有最小值，
在Rt△CDH中，
∴PC的最小值为，
故答案为:．
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，垂线段最短等知识，确定点P的运动轨迹是本题的关键．
19．15
【详解】∵ ABCD的周长为36，
∴2（BC+CD）=36，则BC+CD=18．
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD=12，
∴OD=OB=BD=6．
又∵点E是CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线，DE=CD．
∴OE=BC．
∴△DOE的周长="OD+OE+DE=" OD +（BC+CD）=6+9=15，即△DOE的周长为15．
故答案是：15．
20．（1）图见解析，；（2）图见解析；（3）图见解析，．
【分析】（1）结合网格特点，找出点使得，再连接，然后根据点的位置即可得出其坐标；
（2）连接，交于点，过点画直线即可得；
（3）根据点的坐标可得从点到点的平移方式，再按同样的方式平移点可得点，根据点坐标的平移变换规律即可得出点的坐标．
【详解】解：（1）如图，线段即为所求，点的坐标为；
（2）如图，直线即为所求；
（3）将点按照点平移至点的方式进行平移，即可得到点，
如图，点即为所求；
，
将点先向左平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度可得到点，
将点先向左平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度可得到点，
，即．
【点睛】本题考查了旋转作图、平移作图、点坐标的平移变换等知识点，熟练掌握旋转和平移作图的方法是解题关键．
21．(1)图见解析，4.5
(2)
【分析】（1）根据旋转的性质找出对应点即可求解；再由面积公式求得△A'B'C'的面积；
（2）根据点（x，y）绕原点逆时针旋转90°得到的坐标为（-y，x）解答即可．
【详解】（1）如图所示，△A'B'C'即为所求；
∴的面积
（2）在△A'B'C'内与M相对应的点M'的坐标是 （-b，a），
故答案为：（-b，a）．
【点睛】本题主要考查了作图-旋转变换，三角形的面积等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)；
【分析】（1）根据旋转变换画出图形即可．
（2）利用割补法即可求出的面积；设AB边上的高为h，勾股定理求出AB，再运用三角形面积公式列出方程，即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示，即为所作图形，
（2）；
设边上的的高为h，，
则，
∴．
故答案为：；．
【点睛】此题考查了旋转变换，勾股定理，割补法求面积等相关知识，解题关键是正确画出旋转图形，属中考常考题型．
23．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）对应点的垂直平分线的交点即为点O；
（2）利用旋转变换的性质画出点，再顺次连接即可；
（3）利用中心对称的旋转变换找到 ，再连接即可．
（1）
解：如图，点O为所求；
（2）
解：如图，为所求；
（3）
解：如图， 为所求．
【点睛】本题考查旋转变换、中心对称，掌握旋转变换的性质，是解题关键，属于常考题．
24．（1）图见解析；（2）画图见解析；（3）成中心对称图形，对称中心为．
【分析】（1）利用轴对称的性质，直接画图即可；
（2）根据旋转对称的性质画图即可；
（3）观察图形得出结论即可．
【详解】（1）的位置如图所示：
（2）的位置如图所示：
（3）由图象可知，与成中心对称图形，对称中心为．
【点睛】本题考查了轴对称作图与旋转对称作图，以及中心对称图形的判定，能够准确作出图形，分析坐标变化是解决本题的关键．
25．见解析
【分析】证明，得出，，进而得出，则，即可得证．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．
26．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据已知条件得到AF＝CE，根据平行四边形的性质得到AD=BC，∠DAF＝∠BCE，根据全等三角形的判定定理SAS即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到，∠AFD＝∠CEB，根据平行四边形的判定定理即可得到结论．
【详解】（1）∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，
即AF＝CE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAF＝∠BCE，
在△ADF与△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（SAS）；
（2）∵△ADF≌△CBE，
∴∠AFD＝∠CEB，
∴EB∥DF．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形，熟练掌握平行四边形性质，全等三角形的判定和性质，是解题的关键．
27．（1）见解析；（2）3
【分析】（1）根据矩形的性质可得,则,因为折叠，，即可得证；
（2）设用含的代数式表示，由折叠，，再用勾股定理求解即可
【详解】（1）四边形是矩形
因为折叠，则
是等腰三角形
（2）四边形是矩形
,
设，则
因为折叠，则，,
在中
即
解得：
【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定定理，图像的折叠，勾股定理，熟悉以上知识点是解题的关键．
28．(1)t=2；E（6，0）；
(2)证明见解析；
(3)t1＝28﹣16 ，t2＝2，t3＝4+2 ，t4＝12
【分析】（1）由运动的路程OC的长和运动速度，可以求出运动时间t的值；再求线段OE的长和点E的坐标；
（2）证△AOC≌△EPD即可；
（3）点M，N中，有一点落在四边形ADEC的边上时，分类讨论即可求解．
【详解】（1）∵点A，B的坐标分别是（﹣4，0），（0，8），
∴OA=4，OB=8，
∵点C运动到线段OB的中点，
∴OC=BC=OB=4，
∵动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动，
∴2t=4
解之：t=2；
∵PE=OA=4，动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，
∴OE=OP+PE=t+4=2+4=6
∴点E（6，0）
（2）证明：∵四边形PCOD是平行四边形，
∴OC=PD，OC∥PD，
∴∠COP=∠OPD，
∴∠AOC=∠DPE
在△AOC和△EPD中
∴△AOC≌△EPD（SAS）
∴AC=DE，∠CAO=∠DEP，OC=PD，
∴AC∥DE，
∴四边形ADEC是平行四边形．
（3）由题意得：C(0，8-2t)，P(t，0)，F(t+3，0)，E(t+4，0)，D(t，2t-8)，
设CE的解析式为y=kx+b，
则，
解得：，
∴CE的解析式为，
同理，DE的解析式为，
①当M在CE上时，M(t+3，)，
则
解得，，
②当N在DE上时，N(t+3，-1)，
则
解得，，
当点C在y轴的负半轴上时，
③如果点M在DE上时，
，
解得，，
④当N在CE上时，
，
解得，，
综上分析可得，满足条件的t的值为：t1＝28﹣16 ，t2＝2，t3＝4+2 ，t4＝12．
【点睛】本题考查了一次函数的动态问题，平行四边形的判定，抓住动点的坐标是解题的关键．
29．(1)见解析
(2)2
【分析】（1）欲证明四边形DEFG为矩形，只需推知该四边形为平行四边形，且有一内角为直角即可；
（2）首先根据直角三角形斜边上中线的性质求得AE＝DE＝5；然后在直角△AEF中利用勾股定理得到AF的长度；最后结合AB＝AC＝AF+FG+CG＝10求解即可．
【详解】（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴点D是BC的中点．
∵E点是AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线．
∴DEAC.
∵DG⊥AC，EF⊥AC，
∴EFDG
∴四边形DEFG是平行四边形．
又∵∠EFG＝90°，
∴四边形DEFG为矩形；
（2）解：∵AD⊥BC交BC于D点，
∴ ∠ADB=∠ADC=90°
∴△ADB是直角三角形
∵E点是AB的中点，AB＝10，
∴DE＝AE＝BC＝5．
由（1）知，四边形DEFG为矩形，
∴GF＝DE＝5
在直角△AEF中，EF＝4，AE＝5，
由勾股定理得：
AF＝ ．
∵AB＝AC＝10，FG＝ED＝5，
∴GC＝AC﹣FG﹣AF＝10﹣5﹣3＝2．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线，勾股定理，根据题意找到长度相等的线段是解题的关键．
30．(1)见解析；
(2)
【分析】（1）欲证明四边形ABDF是平行四边形，只要证明即可；
（2）欲证明四边形是菱形，只要证明即可．
（1）
解：∵是的中位线，
∴，
又∵，
，
，
∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）；
（2）
当的边满足时，即时，四边形是菱形，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵是的中位线，
∴点D是BC的中点，
∴，
∴四边形ADCF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
又∵，
，
∴四边形是菱形（对角线垂直的平行四边形是菱形），
故当的边满足时，四边形是菱形．
【点睛】本题考查四边形综合题、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题．