同步奥数培优
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第十讲 排列组合(二)
【知识概述】
在实际生活中,经常会遇到这样的问题,就是要把一些事物排在一起,构成一
列,计算有多少种排法,在排的过程中,不仅与参与排列的事物有关,而且与各事物
所在的先后顺序有关,这就是“排列”问题。在体育比赛中,还会遇到一些分组问题,
这种分组问题,就是我们要讨论的“组合”问题。
例题精学
例1 从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车,还可以乘轮船。一天中,火车
有4班,汽车有2班,轮船有3班,那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共
有多少种不同的走法
【思路分析】 从甲地到乙地有3类方法:第一类方法,乘火车,有4种方法;第二
类方法,乘汽车,有2种方法;第三类方法,乘轮船,有3种方法;所以,从甲地到乙
地共有4+2+3=9(种)方法。
同步精练
1.旗杆上最多可以挂两面信号旗,现有红色、蓝色和黄色的信号旗各一面,
如果用挂信号旗表示信号,最多能表示出多少种不同的信号
2.书架的第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,
第3层放有2本不同的体育书。
(1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法
(2)从书架的第1、2、3层各取1本书,有多少种不同的取法
42
第十讲 排列组合(二 )
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3.从A 城到B 城有三种交通工具:火车、汽车、飞机,坐火车每天有2个班
次;坐汽车每天有3个班次;乘飞机每天只有1个班次,那么,从A 城到B 城乘坐
交通工具的方法共有多少种
例2 某班的8名毕业的同学见面,他们之间每两名同学之间都要握手一次,这
次聚会大家一共要握多少次手
【思路分析】 由于这8名同学之间每两名同学之间都要握手一次,所以只要从8
人中选出两人就可以了,而两个人之间的握手与两人的顺序无关,所以共有8×7
÷2=28(次)。
同步精练
1.如图,由A 村去B 村的道路有2条,由B 村去C 村的道路有3条,从A
村经B 村去C 村,共有多少种不同的走法
2.要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上白班和晚班,有多少种不同的
选法
3.4人站成一排照相,有多少种排法
例3 有5个同学一起去郊游,照相时,大家坐一排,问:
(1)共有多少种不同的排法
(2)如果某人不坐在两端,共有多少种排法
【思路分析】 (1)5人照相,那么5个人要分坐在5个不同的位置上。
(2)这题中限定某人的坐法,可以先安排这个人,再考虑其他人的位置,分两
步完成,采用乘法原理。
43
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同步精练
1.某区有20所小学,15所初中,12所高中,在该区共有多少种不同的从小
学读到高中的方式
2.设有4个学生,分配到3个不同车间实习,共有多少种不同的分配方法
3.有6本不同的语文书,4本不同的数学书,3本不同的英语书,每种书借一
本,共有多少种不同的借法
例4 一列火车从上海到南京,中途要经过6个站,这列火车要准备多少种不同
的车票
【思路分析】 一列火车从上海到南京,中途要经过6个站,连上海和南京两站在
内共有8个站,可以这样表示 ,要准备火车票,就转为数
线段的方法,这样不难求出从上海到南京的线段数,可别忘了,还要准备好从南
京到上海的火车票。
同步精练
1.某铁路线共有14个车站,这条铁路线共需要多少种不同的车票
2.有3封不同的信,投入4个邮筒,一共有多少种不同的投法
3.有4、5、6、7四个数字,共可组成多少个没有重复数字的不同四位数
44
第十讲 排列组合(二 )
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练 习 卷
一、填空。
1.某铁路局,从A 站到F 站共有6个火车站(包括A 站和F 站),铁路局要
为在A 站到F 站之间运行的火车准备( )种不同的车票,其中票价不同的火
车票有( )种。
2.从6个学生中选出3人,让他们排成一排照相,有( )种不同的排法。
3.从7名男生和5名女生中,选出2人,选法共有( )种。
4.用1、2、3、4、5可以组成( )个没有重复数字的三位数。
5.题库中有三种类型的题目,数量分别为30道、40道和45道,每次考试要
从三种类型的题目中各取一道组成一张试卷。该题库共可组成( )种不同的
试卷。
6.4人站成前后两排,每排两人,有( )种排法。
7.有12名同学进行乒乓球的单循环比赛,决出第一名,共要进行( )场
比赛。
8.在一个圆周上有8个点,以这些点为三角形的顶点,可以画出( )个三
角形。
二、解决问题。
1.书架上层放有6本不同的数学书,下层放有5本不同的语文书。
(1)从中任取一本,有多少种不同的取法
(2)从中任取数学书与语文书各一本,有多少种不同的取法
2.某班级有男学生5人,女学生4人。
(1)从中任选一人去领奖,有多少种不同的选法
(2)从中任选男、女学生各一人去参加座谈会,有多少种不同的选法
45
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3.如果一共有20人,每人都与别人握手一次,一共握手几次
4.从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可通;从甲地到丁地
有4条路可通,从丁地到丙地有2条路可通,从甲地到丙地共有多少种不同的
走法
5.从2、3、4、5四个数字中任取两个,将这两个数相乘,有多少种不同的
乘积
6.有5名同学参加学校的围棋比赛决赛。问:
(1)取前3名,有多少种不同的取法
(2)在前3名中,有多少种不同的取法
7.从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车,一天中火车有3班,汽车有2
班,那么一天中,乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法
8.6个人站成一列纵队,其中甲必须站在队尾,最多有多少种不同的站法
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第十讲 排列组合(二 )
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9.书架上放有3本不同的数学书,5本不同的语文书,6本不同的英语书。
(1)若从这些书中任取一本,有多少种不同的取法
(2)若从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本,有多少种不同的取法
10.有红、黄、蓝、白、黑五种不同颜色的小旗,任意取出三面排成一行,表示
一种信号,共可以表示出多少种不同的信号
11.两次掷一枚骰子,两次出现的数字之和为偶数的情况有多少种
12.一天中午,某学生食堂供应4种主食、6种副食,小明到食堂吃饭,主、副
食各选一种,他有多少种不同的选择
13.一个口袋内装有3个小球,另一个口袋内装有8个小球,所有这些小球
颜色各不相同。问:
(1)从两个口袋内任取一个小球,有多少种不同的取法
(2)从两个口袋内各取一个小球,有多少种不同的取法
47参 考 答 案
●小 ●学 ●四 ●年 ●级
参 考 答 案
个元素中选2个排列,共有:A24=4×3=12(个)。
上 册 3.这是一个排列问题,从6个元素中取3个排
列,即A36=6×5×4=120(种)。
第一讲 认识更大的数(排列组合) 例4 解:任意选取两个数的乘积,可得到:
: ( ) [例1 解 8+8×9=80 个 1+2+3+4+
(6-1)]-1=14(种)不同的
[ 。同步精练] 结果
, : 。1.一位数中 没有数字 ,两位数中只要看个位
答 可以得到14种不同的结果0
上的数字为0,
[ ]
有10、20、30…80、90,共9个,再加上 同步精练
100有2个数字0,共有9+2=11(个)。 1.有15种不同的结果
。
2.一位数中有5,两位数分两种情况,一种是个 2.因为6=1+5=2+4=3+3=6+0,所以,组
位上是5的有:15、25、35、45、55、65、75、85、95共9 成这两位数的数字为1与5,2与4,3与3,6与0,即
个,另一种是十位上有5的是:50、51、52、53、54、55、 数字和为6的两位数为:15、51、24、42、33、60共
56、57、58、59共10个,共有1+9+10-1=19(个)。 6个。
(55出现两次,故需减去1次) 3.十位上是1的,共有8个;十位上是2的,共
3.一位数中,不含有数字2的自然数是1、3、4、 有7个;十位上是3的,共有6个……十位上是9的,
5、6、7、8、9共8个,两位数中,十位上不含2的有1、 有0个。共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(个)。
3、4、5、6、7、8、9共8个;个位上不含2的有0、1、3、
练 习 卷
4、5、6、7、8、9共9个,不含数字2的两位数有8×
一、1.18 提示:百位上可排7、4、2三种,当 在百
9=72(个),
7
共有8+72=80(个)。
位上时,组成的三位数有: 、 、 、 、 、
例2 解:3×3×2=18(个)
704702742740724
没有重复数字的三位
720共6个,同理,2排在百位上、4排在百位上也各
数有18个。
有6个,共有6×3=18(个)。[同步精练]
1.当3在百位上时,组成的三位数有:304、340、
306、360、346、364共6个,像这样的能在百位上的数
字共有3、4、6即3个,共有6×3=18(个)没有重复
数字的三位数。 2.12 6 提示:有2×3、2×4、2×5、3×4、3×
2.当1在百位上时,可组成的三位数有:123、 5、4×5共6个算式,交换两因数的位置,又得到6个
132、125、152、135、153共6个,像这样的能在百位上 乘法算式。因此共有12个不同的乘法算式,有6个
的数字共有1、2、3、5即4个,共有6×4=24(个)没 不同的积。
有重复数字的三位数。 3.10 提示:三个数的和是偶数有两种情况:偶
3.结合第2题的分析,可知能组成24个三位 数+偶数+偶数或奇数+奇数+偶数,其中“偶、偶、
数,由于1、2、3、4中单数和双数的数字各出现2个, 偶”的只有1种,2+4+6;“奇、奇、偶”的有9种,共
所以出现的三位数中双数的个数正好是总个数的一 有1+9=10(种)。
半,即24÷2=12(个)。 4.6 提示:百位上有3种不同的选法,十位上只
例3 解:A35=5×4×3=60(个),没有重复数字的 能从剩下的2个数字中任选1个,只有2种不同的选
三位数有60个。 法;个位只能是最后的数字,只有1种选法。因此,要
[同步精练] 组成没有重复数字的三位数,共有3×2×1=6(种)方
1.这是一个排列问题,从5个元素里选3个元 法,即能组成6个没有重复数字的三位数。
素排列,共有:A35=5×4×3=60(个)。 5.4 提示:因为百位上不能选0,只能从另外
2.因为所组成的三位数个位上为6,这就是从4 两个数字中任选1个,只有2种不同的选法,十位上
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可以选0,也可以选另两个数字中剩下的一个,共有 2×1)=5(种),C55=1(种)。
2种不同的选法,个位上只有1种选法,因此,可以组 因此,把砝码放在天平的一边,一共可称出5+
成没有重复数字的三位数:2×2×1=4(种)。 10+10+5+1=31(种)不同的质量。
6.9 提示:千位上可以从1和2中任选1个。 第二讲 线与角
如果千位上选1,百位上可以从剩下的3个数字中任
选1个,共有3种不同的选法;十位上有2种不同的 例1 解:图中共有线段3+2+1=6(条)或3×4÷2
选法,个位上只有1种不同的选法,一共有3×2×1 =6(条)
=6(种)不同的选法;如果千位上选2,百位上选0, 答:图中有6条线段。
则只有1种方法;百位上选1,则有2种方法。因此, [同步精练]
一共有6+1+2=9(种)不同的方法。 (1)10条 提示:像这样标上字母:
二、1.D 2.B
三、1.按插入乘号的个数分类:
(1)若插入一个乘号,现有3种不同的插法,得 从A 点 开 始 数 出 线 段 AB、AC、AD、AE 共
到3个不同的乘积(选3个空当中的任一空当放乘 4条;从B 点开始数出线段BC、BD、BE 共3条;从
号); C 点开始数出线段CD、CE 共2条,从D 点开始数
(2)若插入两个乘号,则有3种不同的插法,得 出线段DE 共1条,共有4+3+2+1=10(条),也可
到3个不同的乘积(必有一空当中不放乘号); 标上数字 ,则有4×5÷
(3)若插入三个乘号,则只有1种插法,得到1
个乘积, 2=10(条)。
根据加法原理有:3+3+1=7(种)。 (2)16条 提示:分别标上数字:
2.排成的三位数有6个:347、374、437、473、
734、743。其中最小的是347,最大的是743。
3.由于6的约数有1、2、3、6,故可由A 取1、2、
3、6四类进行思考。
B=1,C=6 B=1, C=3
B=2,C=3 (条) (条)
A= 1
A=2 3×4÷2=6 4×5÷2=10 6+10=
B=3,C=2
, 16(条)
B=6,C=1 B=3C=1 例2 解:3×4÷2=6(个) 答:图中有6个角。
B=1,C=2 [同步精练]
A=3 A=6,B=1,C=1 1.只要在角内画一条线段,数一数有几个点,便
B=2,C=1 可解决。
共有九组答案。 (1)
4.解决这个问题可以分为三步。即先确定百位
上的数字,再确定十位上的数字,最后确定个位上的
数字。百位上的数字可以是9、8、3中的一个,有3种
不同选法;十位上可以从9、8、3中剩下的2个中选,
也可以选0,也有3种不同选法;个位上由剩下的
2个数中选,有2种选法。因此,一共可以组成没有 4×5÷2=10(个)
重复数字的三位数:3×3×2=18(个)。 ()
2
5.可以从5个砝码中拿出1个来,有 C15=
5(种)方法,即可称出5种不同的质量;如果从5个
砝码中拿出2个来,C25=(5×4)÷(2×1)=10(种),
可称出10种不同的质量,同理C35=(5×4×3)÷
(3×2×1)=10(种),C45=(5×4×3×2)÷(4×3× 5×6÷2=15
(个)
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参 考 答 案
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2.包括OA、OB 两条射线在内,共有8+2= 68×11=6×100+(6+8)×10+8=748 132×11
10(条)射线,便有9×10÷2=45(个)角。 =13×100+(13+2)×10+2=1452
例3 解:4×3÷2=6(个) [同步精练]
答:图中有6个三角形。 1.34×11=3×100+(3+4)×10+4=374
[ ] 同步精练 2.178×11=17×100+(17+8)×10+8=1958
在底边上分别标上数字 3.326×11=32×100+(32+6)×10+6=3586
(1)4×5÷2=10(个) 例2 解:101×43=4343 132×1001=132132
(2)5×6÷2=15(个) [同步精练]
(3)2×3÷2×2-1=5(个) 1.7878 9595 2.787787 234234 3.707
例4 解:3×4÷2=6(条) 78078
答:图中共有6个长方形。 例3 解:(1)21×29=2×(2+1)×100+1×9=600
[同步精练] +9=609
分别用数字标出交点,然后算出各有多少个长 (2)76×36=(7×3+6)×100+6×6=2700+
方形。
36=2736
[同步精练]
() ( ) 1.38×32=3×(3+1)1 2×3÷2=3 个 ×100+8×2=1216
106×104=10×(10+1)×100+6×4=11024
2.24×84=(2×8+4)×100+4×4=2016
98×18=(9×1+8)×100+8×8=1764
3.22×28=2×(2+1)×100+2×8=616
(2) 4×5÷2=10(个)
39×79=(3×7+9)×100+9×9=3081
例4 解:(1)95×105=(100-5)×(100+5)=1002
-52=10000-25=9975
() ()3 6×7÷2 263
2-372=(63+37)×(63-37)=100×26
=2600
[同步精练]
=21(个) 1.46×34=(40+6)×(40-6)=402-62=
练 习 卷 1600-36=1564
一、1.28 提示:7×8÷2=28(条)。 2.65
2-352=(65+35)×(65-35)=100×30
2.21 提示:标上数字1~7,6×7÷2=21 =3000
(条)。 3.103×97=(100+3)×(100-3)=100
2-32
3.4 提示:分2块来数3+1=4(个)。 =9991
二、 1.C 2.A 3.B 4.D 练 习 卷
三、1.3×4÷2=6(条) 4×5÷2=10(条) 10+6
1.125125
=16(条)
( ) 2.原式=2×100+(2+9)2.5×6÷2=15 个 ×10+9=319
3.6×7÷2=21(个) 3.
原式=(2×8+8)×100+8×8=2464
( ) 4.原式=( ) (4.7×8÷2=28 个 1992+1991 × 1992-1991
)=3983
四、1+1+2+1+2+3+1+2+3+3+1+2+3+3 5.原式=123×100+123=12423
2 2
+2+2+2+3+2+3+3+2+3+3+2+3+3+3+ 6.原式=(2000-8)×(2000+8)=2000-8
3+3+2+3+3+2+2=82(厘米) =3999936
7.原式=3×(3+1)×100+4×6=1224
第三讲 乘法(乘法中的速算与巧算) 8.原式=365×10+365=4015
例1 解:27×11=2×100+(2+7)×10+7=297 9.原式=8×(8+1)×100+3×7=7221
163
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10.原式=(165-4)×(165+4)=1652-42 [同步精练]
=27209 (1)48×125=6×(8×125)=6×1000=6000
(
( ( )) 2
)5×64×25×125=(5×2)×(4×25)×(8×
第四讲 运算律 简算 一
125)
例1 解:(1)45+56=44+1+56=(44+56)+1 =10×100×1000
=101 =1000000
(2)9998+3+99+998+3+9 练 习 卷
=9998+2+1+99+998+2+1+9
=(9998+2)+(1+99)+(998+2)+(1+9) 一、1.200 2.872 3.183 4.437 5.80000
=10000+100+1000+10 6.11000
二、
=11110 1.D 2.C 3.B 4.C
[同步精练] 三
、1.750-286-114=750-(286+114)=750-
() ( ) 400=350147+154=46+1+154= 46+154 +1
2.793-327-293=793-293-327=500-327
=201
=173
(2)79+198=79+198+2-2=(198+2)+(79 3.624-(324-219)=624-324+219=300+
-2)=277 219=519
(3)199999+29999+3999+499+59 4.455-(443-245)=455-443+245=455+
=(199999+1)+(29999+1)+(3999+1)+ 245-443=700-443=257
(499+1)+(59+1)-5 5.647+(218-347)=647-347+218=300+
=200000+30000+4000+500+60-5 218=518
=234560-5 6.908-(308-159)=908-308+159=600+
=234555 159=759
例2 解:(1)597-(197-69)=597-197+69=400 7.568-138-62=568-(138+62)=568-200
+69=469 =368
(2)849-273+173=849-(273-173)=849- 8.637-(428-263)=637-428+263=637+
100=749 263-428=900-428=472
[同步精练] 9.1998+997+5=(1998+2)+(3+997)=
(1)847-(647-130)=847-647+130=200+ 2000+1000=3000
130=330 10.1987-17-47-23=(1987-17)-(47+
(2)983-647+347=983-(647-347)=983- 23)=1970-70=1900
( ) ( )
300=683 11.45×125×2×8= 45×2 × 125×8 =90
(3)588-156-188=588-188-156=400- ×1000=90000
12.5×25×2×4=(5×2)×(25×4)=10×100
156=244
:() ( ) =1000例3 解 1798- 428+198 =798-198-428=
13.125×47×8=125×8×47=1000×47
600-428=172
=47000
(2)472-73-127=472-(73+127)=472- 14.25×145×4=25×4×145=100×145
200=272 =14500
[同步精练]
(1)542-39-161=542-(39+161)=542- 第五讲 运算律(简算(二))
200=342 例1 (1)1700÷25 (2)174000÷125
(2)638-(183+238)=638-238-183=400- =17×100÷25 =174×1000÷125
183=217 =17×(100÷25) =174×(1000÷125)
例4 解:125×32×25=(125×8)×(4×25)=1000 =17×4 =174×8
×100=100000 =68 =1392
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参 考 答 案
●小 ●学 ●四 ●年 ●级
[同步精练] 6363÷7÷9 5600÷(25×7)
420÷5 3700÷25 =6363÷(7×9) =5600÷25÷7
=42×10÷5 =37×100÷25 =6363÷63 =56×(100÷25)÷7
=42×(10÷5) =37×(100÷25) =101 =56×4÷7
=42×2 =37×4 =8×4
=84 =148 =32
167000÷125 例4 (720+540)÷60 (4500-90)÷45
=167×1000÷125 =720÷60+540÷60 =4500÷45-90÷45
=167×(1000÷125) =12+9 =100-2
=167×8 =21 =98
=1336 [同步精练]
例2 (1)13×99 (2)147×101 (720+96)÷24 (360+108)÷36
=13×(100-1) =147×(100+1) =720÷24+96÷24 =360÷36+108÷36
=13×100-13×1 =147×100+147×1 =30+4 =10+3
=1300-13 =14700+147 =34 =13
=1287 =14847 (4200-63)÷21
(3)94×73+27×94 (4)187×16-87×16 =4200÷21-63÷21
( ) ( =94× 73+27 = 187-87)×16 =200-3
=94×100 =100×16 =197
=9400 =1600
练 习 卷
[同步精练]
15×999 20×101 一、1.1900 提示:17×19+83×19=(17+83)×
=15×(1000-1) =20×(100+1) 19=100×19=1900。
=15×1000-15×1 =20×100+20×1 2.296 提示:37000÷125=37×(1000÷125)
=15000-15 =2000+20 =37×8=296。
=14985 =2020 3.13800 提示:138×72+138×28=138×(72
75×21+25×21 30×131-30×31 +28)=138×100=13800。
=(75+25)×21 =30×(131-31) 4.618 提示:103×96÷16=103×(96÷16)=
=100×21 =30×100 103×6=618。
=2100 =3000 5.54 提示:138×27÷69=138÷69×27=2×
例3 (1)4200÷25÷4 (2)360÷(40×3) 27=54。
=4200÷( )
25×4 =360÷40÷3 二、158×61÷79=158÷79×61=2×61=122
=4200÷100 =9÷3 200÷(25÷4)=200÷25×4=8×4=32
=42 =3 54×102=54×(100+2)=54×100+54×2
(3)372÷90×30 (4)570×16÷30 =5508
=372÷(90÷30) =570÷30×16 173×99=173× (100-1) =17300-173
=372÷3 =19×16 =17127
=124 =304 75×27+75×73=75×(27+73)=75×100
[同步精练] =7500
510÷15÷17 660÷121×11 3200÷25÷4=3200÷(25×4)=3200÷100
=510÷17÷15 =660÷(121÷11)
=32
=30÷15 =660÷11 47000÷125=47×(1000÷125)=47×8=376
=2 =60 127×101=127× (100+1)=12700+127
=12827
165
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4500÷54×6=4500÷(54÷6)=4500÷9=500 (2)和为30:
(810-45)÷9=810÷9-45÷9=90-5=85
5×16+16×75=16×(5+75)=16×80=1280
55×8-8×25=8×(55-25)=8×30=240
123×101=123× (100+1)=12300+123
=12423
15×63+63×85=63×(15+85)=63×100
=6300 2.
第六讲 方向与位置(有趣的数阵图)
例1 本题可以有以下四个基本解:
例3
[同步精练]
1.
[同步精练] 2.
1.
例4
2.
[同步精练]
1.本题有多解,下面是其中的一个解:
例2
[同步精练]
1.(1)和为22: 2.
166
参 考 答 案
●小 ●学 ●四 ●年 ●级
练 习 卷 [同步精练]
21978
1. 1.× 4 提示:因为五位数乘4,结果仍为
87912
五位数,所以“海”不超过2,又因为“海”是“水”×4
的个位数字,所以“海”=2,从而“水”=8,又因为
“上”为“来”×4+3的个位数字,且“上”不超过2,所
2. 3. 以“上”=1,此时“来”=2或7,检验知“来”=7,从而
“自”=9,即21978×4=87912。
504
2.× 3 提示:4×B 个位数只能为0、2、4、6、8
1512
4. 中的某一个,所以D 只能在0、2、4、6、8中取。若D=
0时,则B=5,C=2,此时A×5=10+A,则A 非整
数,即A 不存在;若D=2,则B=3或B=8,当B=3
时,C=1,A=5满足条件;当B=8,C=3时,A 无解;
5. 6. 若D=4,则B=1或B=6,当B=1,C=0时,结果应
为三位数,与已知结果矛盾,假设不成立;当B=6,
C=2时,A=2有解,但此时A=C=2,与题设矛盾,
不成立;若D=6,则B=4或B=9,当B=4,C=1
时,A 无解;当B=9,C=3时,A 无解;若D=8,则
7. 8. B=2或B=7,当B=2时,C=0时,A 无解;当B=7
时,C=2时,A 无解,即504×3=1512。
2178
3.× 4 提示:四位数乘4不进位,所以A=
8712
9.
1或A=2;且A 为D×4的个位,所以A=2,从而D
=8,故由B×4不进位,故知B 不超过2,从而B=0
或B=1,经 检 验 得 B =1,C=7。即 2178×4
=8712。
例2 解: 1 6
1 2)1 9 2
1 2
7 2
7 2
第七讲 除法(算式谜) 0
[同步精练]
例1 解:“咚”只能在1、5、6中取,当“咚”为1时,则
1 6 3 4 3 5
“咕”为0,满足条件,此时算式为:11×101=1111。 3 9)6 2 4 2 5)8 5 0 2 4)8 4 0
若“咚”为5或6,则“咚咚”乘“咚咕咚”超过了四 3 9 7 5 或 7 2
2 3 4 1 0 0 1 2 0
位数,与结果是四位数相矛盾,所以“咚”不等于5、6。 2 3 4 1 0 0 1 2 0
因此,正确算式为:11×101=1111。 0 0 0
167
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例3 解:55×99=5445 答:中间的6个站一共有21人上车,30人下车。
答:新=5,春=9,年=4。 (2)第6站0人上车,第3站0人下车。
[同步精练] 答:中间的6个站,第6站没有人上车,第3站
1.44×77=3388 清=4 楚=7 明=3 白 没有人下车。
=8 [同步精练]
2.990+220=1210 想=9 看=0 算=2 1.(1)900 500 (2)四 (3)220
边=1 2.(1)170 136
3.648-513=135 难=5 解=1 题=3 (2)3月26日借出最多,3月18日还入最多。
练 习 卷 (3)借出的多,相差70本。
例3 方法一,可以用数轴表示:
1. 1 4 5 3 8 6 2. 1 0 9 0
× 3 - 9 9 9
4 3 6 1 5 8 9 1
3. 8 7 8 7
- 8 9 8 方法二,可以用算术方法计算。
7 8 8 9 青海湖海拔:+3193米 死海海拔:-400米
2 4 4 7 它们 相 差:3193- (-400)=3193+400=
4.4 3)1 0 3 2 3 8)1 7 8 9 3593(米)
8 6 1 5 2 答:青海湖与死海的海拔相差1 7 2 2 6 9 3593
米。
1 7 2 2 6 6 [同步精练]
0 3 1.500米
5. 5 4 2.2℃ -3℃
× 5 6 例4 (1)第4天
3 2 4 ()
2 7 0 2
3 0 2 4 第一天 第二天 第三天 第四天
6. 1 2 每天爬的 白天 晚上 白天 晚上 白天 晚上 白天 晚上
1 6)1 9 2 高度(米) +4 -2 +4 -2 +4 -2 +4
1 6
3 2 实际爬到的 +2 +4 +6 +10
3 2 高度(米)
0
[同步精练]
第八讲 生活中的负数 1.比原来多,多7人
例1 李明在这次测试中得89分,应记作-1分;周 2.不合适,因为巴黎时间是凌晨3时。
方在这次测试中得98分,应记作+8分。 3.分析:可以用列表的方法解答,也可以用计算
[同步精练] 的方法解答。
1.高9分 低18分 -2分 解:方法(一)列表如下:
2.A 第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第8天第9天 第10天
3.(1)17吨 白 晚 白 晚 白 晚 白 晚 白 晚 白 晚 白 晚 白 晚 白 晚 白 晚每天
爬的 天 上 天 上 天 上 天 上 天 上 天 上 天 上 天 上 天 上 天 上
(2) 高度
(米)+5-3+5-3+5-3+5-3+5-3+5-3+5-3+5-3+5-3+5
一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份 平均用水 实际
爬到 +2 +4 +6 +8 +10 +12 +14 +16 +18 +23
-2吨 +3吨 +1吨 -3吨 -1吨 +2吨 0吨 的高度(米)
例2 (1)上车人数:8+2+4+1+6+0=21(人) 方法(二) (23-5)÷(5-3)+1=10(天)
下车人数:3+4+0+7+9+7=30(人) 答:蜗牛在第10天爬到井口。
168
参 考 答 案
●小 ●学 ●四 ●年 ●级
[同步精练]
练 习 卷
1.(1)全部涂红色。 (2)可以涂1个红色,其他的
1.解:(1)(628+624+627+638+637+632)÷6= 球涂别的颜色。
631(米) (2)用正负数表示各小组的测量值与平均值 (3)可以涂1个红色,其他的涂绿色。
的差,如下表: (4)不涂红色。
组别 一 二 三 四 五 六 2.可以放2个红球,再放4个别的颜色的球。
长度(厘米) 628 624 627 638 637 632 3
3.
与平均值的 8
-3 -7 -4 +7 +6 +1
差(厘米) 练 习 卷
(3)根据测量值与平均值的差值越小越准确,第一、
、 二 三名分别是第六组、第一组、第三组。 一、 5 3
2 4 4 6 1
1.8 8 2.
(1)10
()
10 210 10 3.6
2.解:(1)这辆车在中间第4站没有人下车;第3站
2 1 2 6 4 6
和第7站没有人上车;第5站上、下车的人数相等。 4.6 5.54 108 6.6 7.10 8.12 10 12
(2)答案不唯一,如:终点站有17人下车等。
1 4
3.解:(1)太空人升空前3小时在吃饭。(2)火箭升 9.2 10.7
空后2小时,太空人让火箭自动控制速度。(3)太空人 二、略
的两餐相隔7小时。 三、1.画1个红球,7个别的颜色的球
4.解:(1)“+11米”表示向前跑了11米,“-10米” 画5个绿球,3个别的颜色的球
表示又向后跑了10米。(2)这位守门员向前跑了3次, 画4个黄球和4个别的颜色的球。
向后跑了4次。(3)答案不唯一,如:守门员最终的位置 2.(1)3 4
离起点有4米等。 (2)无法确定
5. (3)不公平,点数大于3算小松赢,点数不大于3算
城市 深圳 广州 天津 上海 江西 哈尔滨 小亭赢。
最高气温(℃) 20 22 8 5 9 -1 3.红球装3个,绿球装5个,黄球装4个。
最低气温(℃) 15 16 -3 -1 3 -13 第十讲 排列组合(二)
温差(℃) 5 6 11 6 6 12
例1 从甲地到乙地共有4+2+3=9(种)方法。
第九讲 可能性(用分数表示可能性的大小) [同步精练]
1 1.根据挂信号旗的面数可以将信号分为两类。第例1 6 一类是只挂一面信号旗,有红、黄、蓝3种;第二类是挂
[同步精练] 两面信号旗,有红黄、红蓝、黄蓝、黄红、蓝红、蓝黄6种。
1 1 1 1 所以一共可以表示出不同的信号有3+6=9(种)。1.2 2 2.54 54 2.(1)从书架上任取1本书,有3类办法:第1类办
例 2 42 法是从第1层取1本计算机书,有4种方法;第2类是6 6
从第2层取1本文艺书,有3种方法;第3类办法是从[同步精练]
第3层取1本体育书,有2种方法。根据分类计数原
6 4 1 4 6 4
1.10 10 2.54 54 3.10 10 理,不同取法的种数是4+3+2=9(种),所以,从书架上
例3 绿球 8个 任取1本书,有9种不同的取法。
[同步精练] (2)从书架的第1、2、3层各取1本书,可以分成3
1.2个 2.2 8 3.2 4 个步骤完成:第1步从第1层取1本计算机书,有4种
例4 (1)●●●○○○○○○ 方法;第2步从第2层取1本文艺书,有3种方法;第3
(2)●●○○○○○○○○○○ 步从第3层取1本体育书,有2种方法。根据分步计数
(3)●●●●○○○○ 原理,从书架的第1、2、3层各取1本书,不同取法的种
169
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数是4×3×2=24(种)。所以,从书架的第1、2、3层各 有4种方法。故由乘法原理,共有不同的投法4×4
取1本书,有24种不同的取法。 ×4=64(种)。
3.2+3+1=6(种) 3.先看组成的四位数,千位上有4个数字可选
例2 8×7÷2=28(次) 择,百位上有3个数字可选择,十位上有2个数字可
[同步精练] 选择,个位上有1个数字可选择,共有4×3×2×1=
1.从A 村经B 村去C 村有2步,第一步,由A 村 24(个)。
去B 村有2种方法;第二步,由B 村去C 村有3种方 练 习 卷
法,所以从A 村经B 村去C 村共有2×3=6(种)不同
的方法。 一、1.30 15 提示:把6个火车站看作一条线段
2.从3名工人中选1名上白班和1名上晚班,可 (包括两个端点)的6个点,共有5×6÷2=15(条)线
以看成是经过先选1名上白班,再选1名上晚班两个步 段,要准备15×2=30(种)不同的车票,由于同样路
骤完成,先选1名上白班,共有3种选法;上白班的工人 程,火车票价相同,所以其中票价不同的火车票有
选定后,上晚班的工人有2种选法。根据分步计数原 15种。
理,不同的选法数是3×2=6(种),6种选法可以表示 2.120 提示:6×5×4=120(种)。
如下: 3.66 提示:12×11÷2=66(种)。
白班 晚班 4.60 提示:最高位有5个数字可选择,十位有
甲 乙 4个数字可选择,个位有3个数字可选择。共有5×
甲 丙 4×3=60(个)没有重复数字的三位数。
乙 甲 5.54000 提示:30×40×45=54000(种)。
乙 丙 6.24 提示:由于只有排数的限制,所以有4×
丙 甲 3×2×1=24(种)排法。
丙 乙 7.66 提示:12×11÷2=66(场)。
所以,从3名工人中选出2名分别上白班和晚 8.56 提示:8×7×6÷(3×2×1)=56(个)。
班有6种不同的选法。 二、1.(1)从书架上任取一本书,有两种方法:第一
3.由于只有排数的限制,所以此题的结果是4 类可从6本数学书中任取一本,有6种方法;第二类
×3×2×1=24(种)排法。 可从5本语文书中任取一本,有5种方法;根据加法
例3 (1)5×4×3×2×1=120(种) 原理可得共有5+6=11(种)不同的取法。
(2)3×(4×3×2×1)=72(种)或5×4×3×2× (2)从书架上任取数学、语文书各一本,可以分
1-2×(4×3×2×1)=72(种) 成两步完成:第一步任取一本数学书,有6种方法;
[同步精练] 第二步任取一本语文书,有5种方法。根据乘法原
1.相当于从甲地到乙地有20种走法,从乙地到 理可得共有5×6=30(种)不同取法。
丙地有15种走法,从丙地到丁地有12种走法,共有 2.(1)完成从学生中任选一人去领奖这件事,只
20×15×12=3600(种)方式。 有2类办法:第一类办法,从男学生中任选一人,共
2.这是可重复排列的例子。对于第一个学生来 有5种不同的方法;第二类办法,从女学生中任选一
说他有3种选择,对于第二个学生来说也有3种选 人,共有4种不同的方法;所以,根据加法原理,得到
择,第三个学生和第四个学生都有3种选择。由乘 不同选法种数共有5+4=9(种)。
法原理可知,共有3×3×3×3=81(种)分配方法。 (2)完成从学生中任选男、女各一人去参加座谈
3.6×4×3=72(种) 会这件事,需分2步完成:第一步,选一名男学生,有
例4 8×7÷2×2=56(种) 5种方法;第二步,选一名女学生,有4种方法。所
[同步精练] 以,根据乘法原理,得到不同选法种数共有5×4=
1.共有14个车站,即有14个点,14×13÷2×2 20(种)。
=182(种)。 3.20×(20-1)÷2=190(次)
2.若投一封信看作一个步骤,则完成投信的任 4.2×3+4×2=14(种)
务可分三步,每封信4个邮筒都可投,即每个步骤都 5.这是一个分组的问题,从四个数中任取两个,
170
参 考 答 案
●小 ●学 ●四 ●年 ●级
得出一个乘积,它与两个数取出的顺序无关,共有 80×8=640(件)(一天记8小时,8个一份为
4×3÷(2×1)=6(种)。 640件)
6.(1)第一题是个组合问题,列式:5×4×3÷ 答:一天生产640件产品。
(3×2×1)=10(种)。 2.解:15÷3×7=35(千米)
(2)这是一个排列问题,列式:3×2×1=6(种)。 答:7小时行35千米。
7.因为一天中乘火车有3种走法,乘汽车有 3.解:21÷3×9=63(吨)
2种走法,每一种走法都可以从甲地到乙地,所以,共 答:9次可运货63吨。
有3+2=5(种)不同的走法。 例2 分析:先求15天是3天的几倍
8.相当于把另外5个人看成5个数,从最高位 15÷3=5
到最低位排下去,共有5×4×3×2×1=120(种)。 再求175亩的5倍是多少亩
9.(1)因为从3种书中任取一本,有取法:3+5 175×5=875(亩)
+6=14(种)。 解: 175×(15÷3)
(2)3×5×6=90(种) =175×5
10.这里五面不同颜色的小旗就是五个不同的 =875(亩)
元素,三面小旗表示一种信号,就是有三个位置。我 答:15天可以耕地875亩。
们的问题就是要从五个不同的元素中取三个,排在 [同步精练]
三个位置。由于信号不仅与旗子的颜色有关,而且 1.分析:先求出160亩是40亩的几倍
与不同旗子所在的位置也有关,所以是排列问题,列 160÷40=4
式为:5×4×3=60(种)。 再求耕160亩地需要多少台同样的拖拉机
11.两次的数字之和是偶数可以分为两类,即两数 3×4=12(台)
都是奇数,或者两数都是偶数。因为骰子上有三个奇 解: 3×(160÷40)
数,所以两数都是奇数的有3×3=9(种)情况,同理,两 =3×4
数都是偶数的也有9种情况。根据加法原理,两次出现 =12(台)
的数字之和为偶数的情况有9+9=18(种)。 答:需要12台同样的拖拉机。
12.4×6=24(种) 2.解:方法一:先求出每吨煤可炼出多少千克焦
13.分析:(1)中,从两个口袋中只需取一个小 炭,再求出剩下的煤可以炼多少千克焦炭:
球,则这个小球要么从第一个口袋中取,要么从第二 9750÷13×(52-13)
个口袋中取,共有两大类方法。所以是加法原理的 =750×39
问题。 =29250(千克)
(2)中,要从两个口袋中各取一个小球,则可看 方法二:
成先从第一个口袋中取一个,再从第二个口袋中取 用倍比法解:先求出52吨里有几个13吨,然后
一个,分两步完成,是乘法原理的问题。 去掉已炼的一个13吨,得:
解:(1)从两个口袋中任取一个小球共有3+8= 9750×(52÷13-1)
11(种)不同的取法。 =29250(千克)
(2)从两个口袋中各取一个小球共有3×8= 答:剩下的煤可以炼出29250千克焦炭。
24(种)不同的取法。 3.解:6000÷3=2000(千克)(归结到1小时磨
大豆多少千克)
第十一讲 归一问题 30000-6000=24000(千克)(还余下多少千克
例1 解:1小时=60分钟 大豆)
12×(60÷6)=12×10=120(分米)=12(米) 24000÷2000=12(小时)(余下的数量中包含多
或12÷6×60=2×60=120(分米)=12(米) 少个单一量)
答:小蜗牛1小时爬行12米。 答:磨完余下的大豆还要12小时。
[同步精练] 注:要经过两步或是两步以上的运算才能求出
1.解:240÷3=80(件)(归一到一份为80件) “单一的量”,这种情况的题目叫做复杂归一问题。
171
同步奥数培优
TongbuAoshuPeiyou
其中用两步运算求出“单一的量”的题目,也叫“两次 2.分析:(1)修这条公路共需要多少个劳动日(总
归一问题”。 量)
例3 分析:以一根钢轨的质量为单一量。 60×80=4800(劳动日)
(1)一根钢轨重多少千克 (2)60人工作20天后,还剩下多少劳动日
1900÷4=475(千克) 4800-60×20=3600(劳动日)
(2)95000千克能制造多少根钢轨 (3)剩下的工程增加30人后还需多少天完成
95000÷475=200(根) 3600÷(60+30)=40(天)
解:95000÷(1900÷4)=200(根) 解:(60×80-60×20)÷(60+30)=40(天)
答:可以制造200根钢轨。 答:再用40天可以完成。
[同步精练] 3.分析:要想求增加同样卡车多少辆,先要求出
1.分析:从甲地到乙地的路程是一定的,以路程 一共需要卡车多少辆;要求5趟运完560吨沙土,每
为总量。 趟需多少辆卡车,应该知道一辆卡车一趟能运多少
(1)从甲地到乙地的路程是多少千米 吨沙土。
60×5=300(千米) 一辆卡车一趟能运多少吨沙土
(2)4小时到达,每小时需要行多少千米 336÷6÷7=8(吨)
300÷4=75(千米) 560吨沙土,5趟运完,每趟必须运走几吨
(3)每小时多行多少千米 560÷5=112(吨)
75-60=15(千米) 需要增加同样的卡车多少辆
解:(60×5)÷4-60=15(千米) 112÷8-7=7(辆)
答:每小时需要多行15千米。 解:560÷5÷(336÷6÷7)-7=7(辆)
2.分析:(1)工程总量相当于1个人工作多少 答:需增加同样的卡车7辆。
小时
练 习 卷
15×8=120(小时)
(2)12个人完成这项工程需要多少小时 一、1.630 提示:210÷3×9=630(千米)或(9÷3)
120÷12=10(小时) ×210=630(千米)。
解:15×8÷12=10(小时) 2.24 提示:8÷2×(2+4)=24(千米)或8÷2
答:12人需10小时完成。 ×4+8=24(千米)。
3.解: 240÷(72÷3÷4×5) 3.7 提 示:(5000-1500)÷(1500÷3)=
=240÷30 7(小时)或5000÷(1500÷3)-3=7(小时)。
=8(小时) 4.4 提示:24÷(18÷3)=4(行)。
答:需要8小时。 5.5 提示:55÷(44÷4)=5(小时)。
1 6.8 提示:4800÷(1800÷3)=8(小时)。例4 解: 360÷8÷3×(8× )×(2 3+5
)
二、1.75÷5×14=210(亩)
=15×4×8 2.8100÷(2700÷3)=9(天)
=480(个) 3.27×(8÷4)=54(个)
答:可制作机器零件480个。 4.5000÷5÷8×7×24=21000(千克)
[同步精练] 5.60÷(45÷3)+3=7(次)
1.分析:以1头奶牛1天产的牛奶为单一量。 6.60÷(3-1)×(6-1)=150(秒)
(1)1头奶牛1天产奶多少千克 7.分析:先求出1台拖拉机1小时耕地多少亩,
630÷5÷7=18(千克) 再求5台拖拉机7小时耕地多少亩
(2)8头奶牛15天可产牛奶多少千克 解: 72÷3÷4×5×7
18×8×15=2160(千克) =6×5×7
解:(630÷5÷7)×8×15=2160(千克) =210(亩)
答:可产牛奶2160千克。 答:5台拖拉机7小时耕地210亩。
172
参 考 答 案
●小 ●学 ●四 ●年 ●级
8.解: 20÷5÷2×6×3 =1680(个)
=2×6×3 (2) 6300÷[600÷5÷4×(4+3)]
=36(棵) =6300÷(30×7)
答:6个人3小时植树36棵。 =30(小时)
9.分析:通过3小时磨6000千克,可以求出1 答:(1)8小时可以生产1680个零件。
小时磨面粉数量。问题求磨完剩下的要几小时,所 (2)如果要生产6300个零件,30小时可以完成。
以剩下的量除以1小时磨的数量,便得问题答案。 13.分析:此题的关键是要先求出工程的总工时
解:(20000-6000)÷(6000÷3)=7(小时) 数8×30×45=10800(小时)及实际每天做工时数
答:磨完剩下的面粉还要7小时。 10×54=540(小时)。
10.解: 5×40÷(5-1) 解: 45-8×30×45÷(10×54)
=200÷4 =45-10800÷540
=50(天) =45-20
答:这批煤可以用50天。 =25(天)
11.分析1:已知条件告诉我们:“在相同时间内 答:可以提前25天完工。
甲打字2450个,乙打字2050个。”既然知道了“时间 14.分析:以1辆卡车1趟运的沙土为单一量。
相同”,问题就容易解决了。题目里还告诉我们: (1)1辆卡车1趟运沙土多少吨
“甲、乙二人4小时共打字3600个。”这样可以先求 336÷4÷7=12(吨)
出“甲、乙二人每小时打字个数之和”,就可求出所用 (2)5趟运走420吨沙土需卡车多少辆
时间了。 420÷12÷5=7(辆)
解法1:①甲、乙二人每小时共打字个数:3600÷ (3)需要增加多少辆卡车
4=900(个) 7-4=3(辆)
②“相同时间”是:(2450+2050)÷900=5(小 解:420÷(336÷4÷7)÷5-4=3(辆)
时) 答:需要增加同样的卡车3辆。
③甲打 字 员 每 小 时 打 字 的 个 数:2450÷5= 与归一问题类似的是归总问题,归一问题是找
490(个) 出“单一量”,而归总问题是找出“总量”,再根据其他
④乙打 字 员 每 小 时 打 字 的 个 数:2050÷5= 条件求出结果。所谓“总量”是指总路程、总产量、工
410(个) 作总量、物品的总价等。
答:甲打字员每小时打字 490个,乙打字员每小 15.分析:这样想,要求“现在增加同样的卡车8
时打字410个。 辆,一次能运货物多少吨 ”就必须先求出每辆卡车
分析2:这道题的已知条件可以分两层。第一 每次能运货物多少吨和现在一共有多少辆卡车,根
层,甲、乙二人4小时共打字3600个;第二层,在相 据“24辆卡车一次能运货216吨”,可以求出每辆卡
同时间内甲打字2450个,乙打字2050个,由这两个 车每次能运货的吨数:216÷24=9(吨),根据原来有
条件可以求出在相同的时间内,甲、乙二人共打字 24辆卡车及现在增加同样的卡车8辆,可以求出现
2450+2050=4500(个);打字3600个用4小时,打 在一共有多少辆卡车:24+8=32(辆),最后根据“每
字4500个用几小时呢 先求出4500是3600的几 辆卡车每次能运货9吨”及“现在一共有32辆卡车”
倍,也一定是4小时的几倍,即“相同时间”。 可以求出现在一次能运货物多少吨。
解法2:①“相同时间”是:4×[(2450+2050)÷ 解: 216÷24×(24+8)
3600]=5(小时) =216÷24×32
②甲每小时打字个数:2450÷5=490(个) =288(吨)
③乙每小时打字个数:2050÷5=410(个) 答:一次能运货288吨。
答:甲 每 小 时 打 字 490 个,乙 每 小 时 打 字
410个。
第十二讲 年龄问题
12.解:(1) 600÷5÷4×(4+3)×8 例1 解:小华:27÷(4-1)=9(岁)
=30×7×8 妈妈:9×4=36(岁)
173
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[同步精练] (2)相当于若干年后弟弟年龄2倍的数是:40-
1.分析:同学们都清楚,无论小军多少岁时,他 4=36(岁)
爸爸都比他大(34-8)岁,即26岁。当他爸爸的年 (3)当姐弟俩岁数的和是40岁时,弟弟的年龄
龄正好是他的3倍时,爸爸的年龄比他大3-1= 是:36÷2=18(岁)
2倍,这时他爸爸比他大的岁数仍然是26岁,这个差 (4)当姐弟俩岁数的和是40岁时,姐姐的年龄
是不变的。我们抓住这个差倍,就可以应用前面刚 是:18+4=22(岁)
学过的“差倍”问题的解法求出那时小军的年龄。 解法1:
(1)爸爸现在的年龄比小军现在的年龄多:34- 弟弟: [40-(13-9)]÷2
8=26(岁) =(40-4)÷2
(2)爸爸的年龄正好是小军的3倍时,爸爸年龄 =36÷2
比小军大的倍数是:3-1=2 =18(岁)
(3)爸爸的年龄正好是小军的3倍时,小军的年 姐姐: 18+(13-9)
龄是:26÷2=13(岁) =18+4
解: (34-8)÷(3-1) =22(岁)
=26÷2 答:当姐弟俩岁数的和是40岁时,姐姐22岁,
=13(岁) 弟弟18岁。
答:小军13岁时,爸爸的年龄正好是他的3倍。 分析2:不管经过多少年,姐弟俩年龄的差都是
2.儿子今年10岁,5年前的年龄为10-5= 13-9=4(岁)。如果用40岁加上姐弟俩年龄的差
5(岁),那么5年前母亲的年龄为5×6=30(岁),因 再除以2,就得到所求的姐姐的年龄;再用所得的姐
此母亲今年是:30+5=35(岁)。 姐的年龄数减去4就得到所求的弟弟的年龄数。
3.20÷(3-1)=10(岁) 10-1=9(岁) 解法2:
例2 解:(72-12)÷(4-1)=60÷3=20(岁) 姐姐: [40+(13-9)]÷2
答:孙子20岁时,爷爷的年龄是他的4倍。 =(40+4)÷2
[同步精练] =44÷2
1.(35-10)÷(6-1)=5(岁) 10-5=5(年), =22(岁)
(35-10)÷(2-1)=25(岁) 25-10=15(年) 弟弟: 22-(13-9)
2.30÷(3-1)=15(岁) (15-1)+30= =22-4
44(岁) =18(岁)
3.32÷(5-1)=8(岁) 8-3=5(岁) 答:当姐弟俩岁数的和是40岁时,姐姐22岁,
例3 8+14=22(岁) 40-22=18(岁) 18÷2= 弟弟18岁。
9(年) 例4 解:王军父亲年龄应是王军的3倍,12年后应
[同步精练] 是王军的3倍少12×(3-1)=24(岁),又由已知王
1.解:小强年龄: [47-(11+16)]÷2+11 军父亲12年后的年龄是王军的2倍,所以王军12年
=(47-27)÷2+11 后的年龄应为:24÷(3-2)=24(岁)
=21(岁) 王军现在年龄为:24÷2=12(岁)
哥哥年龄:47-21=26(岁) 王军父亲现在年龄为:12×3=36(岁)
答:当兄弟两个年龄和是47岁时,哥哥26岁, 答:王军12岁,王军父亲36岁。
小强21岁。 [同步精练]
2.解:今年兄弟年龄和:29-4×2=21(岁) 1.分析:这实际上是一道差倍应用题。你能根
弟弟今年年龄:21÷(1+2)=7(岁) 据题目条件分析出张老师比王兵大多少岁吗 好好
哥哥今年年龄:7×2=14(岁) 动一下脑筋,想一想。
答:哥哥今年14岁,弟弟今年7岁。 解:因为张老师7年前的年龄和王兵9年后的
3.分析1:(1)姐姐比弟弟大的岁数是:13-9= 年龄相等,所以张老师 的 年 龄 比 王 兵 大9+7=
4(岁) 16(岁)。
174
参 考 答 案
●小 ●学 ●四 ●年 ●级
又因为张老师的年龄比王兵的年龄的3倍少 6.6
4岁,所以16岁相当于王兵年龄的2倍少4岁,所以 7.31 9
王兵的年龄为:(16+4)÷2=20÷2=10(岁) 二、1.分析:两人的年龄差为35-7=28(岁),根据
张老师年龄为:10×3-4=30-4=26(岁) 年龄差不变,当妈妈的年龄是小红的3倍时,两人年
答:张老师26岁,王兵10岁。 龄仍相差28岁,利用差倍应用题的方法可求出两人
2.解:一家人年龄的和今年与10年前比较增加 的年龄是多少,再求出今年和几年后的年龄差,即为
了72-44=28(岁),而如果按照三人计算10年后应 经过的年数。
增加3×10=30(岁),只能是小芬少了2岁,即小芬 解:(35-7)÷(3-1)-7=28÷2-7=14-7=
8年前出生,今年是8岁,今年父亲:(72-8+4)÷2 7(年)
=34(岁),今年母亲:34-4=30(岁) 答:7年后,妈妈的年龄是小红的3倍。
答:今年小芬8岁,爸爸34岁,妈妈30岁。 2.分析:由已知条件可知,今年父亲比女儿大
3.解:母女年龄差:10+16=26(岁) 49-23=26(岁),当几年前父亲的岁数是女儿的
今年女儿的年龄:26÷(2-1)=26(岁) 3倍时,父亲与女儿年龄的差仍然是26岁。抓住这
今年妈妈的年龄:26×2=52(岁) 个“差”与“倍”就可以根据“差倍”问题的解法分别求
答:今年妈妈52岁,女儿26岁。 出那时父亲和女儿的年龄;再用现在女儿的年龄数
减去那时女儿的年龄数,就可以求出是几年前的年
练 习 卷
数(也可以用现在父亲的年龄数减去那时父亲的年
一、1.5 35 提示:今年冬冬与爸爸的年龄和为 龄数)。
40岁,2年前,两人的年龄各少2岁,所以2年前两 (1)父亲比女儿大的年龄是:49-23=26(岁)
人年龄和为:40-2×2=36(岁),且爸爸的年龄是冬 (2)几年前父亲的岁数是女儿的3倍时,父亲的
冬年龄的11倍。根据和倍应用题的特征,可分别求 岁数比女儿大的倍数是:3-1=2
出冬冬和爸爸2年前的年龄,再求出现在他们两人 (3)几年前父亲的岁数是女儿的3倍时,女儿的
的年龄。 岁数是:26÷2=13(岁)
冬冬:(40-2×2)÷(11+1)+2=36÷12+2= (4)几年前父亲的岁数是女儿的3倍
3+2=5(岁) 23-13=10(年)
爸爸:40-5=35(岁) 解: 23-(49-23)÷(3-1)
2.9 28 =23-26÷2
3.4 提示:由于奶奶和孙女年龄增长的岁数都 =23-13
是相等的,当奶奶的年龄等于孙女年龄的4倍时,奶 =10(年)
奶年龄比孙女年龄大4-1=3(倍),但奶奶比孙女大 或 49-(49-23)÷(3-1)×3
的岁数仍然是64-13=51(岁),其年龄的差仍不变。 =49-26÷2×3
抓住这个差倍,就可以利用“差倍”问题的解法求出 =49-39
那时孙女的年龄,再减去孙女原来的年龄,就可以求 =10(年)
出所求的问题。 答:10年前父亲的岁数是女儿的3倍。
(1)奶奶现在的年龄比孙女大的岁数是:64-13 3.分析:请同学们思考一下,三年前父女年龄之
=51(岁) 和为49岁,那么今年父女年龄之和为多少岁呢 是
(2)奶奶的年龄等于孙女年龄的4倍时,奶奶年 49+3=52(岁)吗 显然不对。因为这三年父亲年
龄比孙女大的倍数是:4-1=3 龄增加了3岁,女儿的年龄也增加了3岁,所以父女
(3)奶奶的年龄等于孙女年龄4倍时,孙女的年 俩今年年龄之和应该为49+3×2=55(岁),再由已
龄是:51÷3=17(岁) 知条件就容易求出父亲和女儿分别有多少岁。
(4)孙女17岁时应该是多少年以后 17-13 解:因为三年前父女年龄之和为49岁,因此今
=4(年) 年父女年龄之和就应为49+3×2=55(岁)。
4.10 40 又因为今年父亲的年龄是女儿的4倍,所以女
5.15 儿的年龄应为55÷(4+1)=11(岁)。
175
同步奥数培优
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父亲年龄为:11×4=44(岁)。 [同步精练]
答:父亲年龄为44岁,女儿年龄为11岁。 1.15÷4=3……3→梨 20÷4=5→梨
4.分析:这道题不需要求出10年以后,姐姐多 2.30÷4=7……2→☆
少岁,弟弟多少岁。根据题意,弟弟今年8岁,姐姐 3.(50-5)÷4=11……1→黑
13岁,那么姐姐今年比弟弟大13-8=5(岁),因为 例2 解:144÷12=12(正好有12个周期)
不管经过多少年,姐姐和弟弟的年龄差总是不变的, 答:第144个珠子是黑色的。
所以,10年以后,姐姐比弟弟还是大5岁。13-8= [同步精练]
5(岁) 1.840÷(3+2+1)=140 140×1=140(个)→
解:13-8=5(岁) 黑珠 72÷6=12→黑色
答:10年后姐姐比弟弟大5岁。 2.90÷(4+3+5+2)=6……6→绿花 红花:
5.解:38-10=28(岁),28÷(5-1)=7(岁), 4×6+4=28(朵) 绿花:3×6+2=20(朵) 黄花:
10-7=3(年)。 5×6=30(朵) 紫花:2×6=12(朵)
答:3年前父亲年龄是儿子的5倍。 3.180÷(4+2+3)=20 红:4×20=80(个)
6.解:小强:(25-3)÷2=22÷2=11(岁) 黄:2×20=40(个) 蓝:3×20=60(个)
小刚:11+3=14(岁) 例3 解:12种动物的周期循环顺序为鸡、狗、猪、
答:今年小刚14岁,小强11岁。 鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴。
7.解:爸爸与小明年龄差:34-6=28(岁) 2023÷12=168……7
爸爸年龄是小明年龄的3倍时,小明的年龄: 答:2023年是兔年。
28÷(3-1)=14(岁) [同步精练]
答:当小明14岁时,爸爸年龄是小明年龄的 1.分析:一共有12种动物,因此12为一个循
3倍。 环,为了便于思考,我们把狗、猪、鼠、牛、虎、兔、龙、
8.解:姐妹年龄差:22-15=7(岁) 蛇、马、羊、猴、鸡看作一个循环,从公元2年到公元
几年前妹妹年龄:7÷(2-1)=7(岁) 2021年共经历了2020年(算头不算尾),2020÷12=
几年前,姐姐年龄是妹妹的2倍 15-7= 168……4,从狗年开始往后数4年,公元2021年是
8(年) 牛年。
答:8年前,姐姐年龄是妹妹的2倍。 解:2020÷12=168……4
9.解:今年母女年龄的和:62-5×2=52(岁) 答:公元2021年属牛年。
5年前母女年龄的和:52-5×2=42(岁) 2.分析:先算出2021年1月1日到2021年
5年前妈妈的年龄:42÷(5+1)×5=35(岁) 10月1日一共是多少天。1月份、3月份、5月份、
今年妈妈的年龄:35+5=40(岁) 7月份、8月份都是31天,4月份、6月份、9月份都是
答:妈妈今年40岁。 30天,2月份是28天,一共是31×5+30×3+28=
10.分析:几年前,两人年龄相差2-1=1倍,根 273(天)。
据年龄差不变,现在两人年龄仍相差1倍数,现在小 算法一,因为每7天是一个循环,1月1日是星
张年龄等于几年前小王的年龄,等于2倍数,所以现 期五,我们可以从星期五开始算周期,这个循环就是
在小王年龄是2+1=3倍,而今年两人年龄和是 五、六、日、一、二、三、四共7天。1月1日到10月1
60岁,所对应的倍数是2+3=5倍。根据和倍应用 日一共是273+1=274(天)。274÷7=39……1,余
题的方法可以解答。 1,所以从周期的开始数第1个,即为星期五。
解:60÷(2+3)=60÷5=12(岁) 算法二,因为每7天是一个循环,1月1日到
小张:12×2=24(岁) 10月1日共经过273天,(经过的天数算头就不算
小王:12×3=36(岁) 尾)273÷7=39,正好能整除,所以还是星期五。
答:今年小王36岁,小张24岁。 解:方法一: 31×5+30×3+28+1
=155+90+29
第十三讲 周期问题 =274(天)
例1 解:80÷3=26……2,黑球 274÷7=39……1
176
参 考 答 案
●小 ●学 ●四 ●年 ●级
答:10月1日是星期五。 答:39应排在第10个循环的第3个字母C下
方法二: 31×5+30×3+28 面,88应排在第22个循环的第4个字母D下面。
=155+90+28 8.分析:这一组图形的排列规律是一个△、一个
=273(天) ○、一个□依次重复出现,每三个图形可以看作一个
273÷7=39。 周期,或者说每三个图形看作一组。第30个图形,
答:10月1日是星期五。 也就是有30个图形,每3个一组,可以分成多少组
3.分析:分针在钟面上旋转一圈,时间过去1小 呢 30÷3=10(组),正好能整除,也就是正好分成
时,24小时是1天,只要根据求2023小时里面含有 10组,最后一个图形就是每个循环的最后一个图形,
几个24小时所得的余数来判断就能解决问题。值 即□。第100个图形,也就是有100个图形,可以分
得提醒的是余数是7,不能表示是7点,它代表是从 成100÷3=33……1,分成了33组还余1。余1就从
18点之后的7小时。 循环的开始数第1个,即△。
解:2023÷24=84……7 解:30÷3=10
答:是1时。 100÷3=33……1
练 习 卷 答:第30个图形是□,第100个图形是△。
9.分析:从某个小黑点数到200正好数到大黑
一、1.(1) (2) 2.日 提示:365÷7= 点,如果反过来从大黑点逆时针数,数到200也正好
52……1(天),为星期日 3.30 4.16 5.C 25 是这个小黑点。因为大黑点是已知的,所以采用倒
25 26 26 推的方法,以大黑点作已知条件,数到200找出这个
二、1.分析:周期为27(5红、9黄、13绿),通过计算 小黑点。从大黑点开始,数一圈是12个点,把12个
可以知道249朵花里包含整数个周期还多几,多几 点作为一个循环,200÷12=16……8,所以从循环的
就是下一个周期里的第几个。 开始大黑点逆时针数到第8个小黑点即可。
解:249÷27=9……6 解:200÷12=16……8
因为249里有9个周期,还多6朵,所以,第249 答:这个小黑点是从大黑点按顺时针方向数第4
朵花是黄色的。 个小黑点。
答:最后一朵花是黄色的。 第十四讲 用假设法解题
2.26÷4=6……2→B 26÷3=8……2→5
所以,第26列为(B,5) 例1 解:方法一:(4×34-118)÷(4-2)=18÷2=
3.星期二 9(只)。
4.由题意知,10月31日肯定是星期六,由此推 兔子的只数:34-9=25(只)
断10月1日是星期四 方法二:(118-2×34)÷(4-2)=50÷2=
5.800÷15=53……5,红色 25(只)
6.分析:(1)从排列可以看出,这组数是按5、6、 鸡的只数:34-25=9(只)
2、4一个循环依次不断重复出现排列,那么一个循环 答:鸡有9只,兔子有25只。
就是4个数,由129÷4=32……1,可知有32个(5、 [同步精练]
6、2、4)还多一个数。所以第129个数是5。 1.假设笼里全部装的是鸡,共有脚2×100=
(2)每个循环各数之和是5+6+2+4=17,所 200(只),比284只脚少284-200=84(只),可求出
以,这129个数相加应是17×32+5=549。 兔的只数84÷(4-2)=42(只),鸡有100-42=58
解:(1)129÷4=32……1,第129个数是5。 (只)。
(2)(5+6+4+2)×32+5=549,这129个数之 2.本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而
和是549。 得。如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔,馍看作
7.分析:从排列情况可以知道,这些自然数是按 腿,那么就成了鸡兔同笼问题,可以用假设法来解。
从小到大4个数一个循环,我们可以根据这些数除 假设100人全是大和尚,那么共需馍300个,比
以4所得的余数来分析、判断。 实际多300-140=160(个)。现在以小和尚去换大
解:39÷4=9……3 88÷4=22 和尚,每换一个总人数不变,而馍就要减少3-1=
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2(个),因为160÷2=80(人),故小和尚有80人,大 304(元),比实际多304-280=24(元),现在用普通
和尚有100-80=20(人)。 文化用品去换彩色文化用品,每换一套少用19-11
同样,也可以假设100人都是小和尚,同学们不 =8(元),所以买普通文化用品24÷8=3(套),买彩
妨自己试试。 色文化用品16-3=13(套)。
3.分析1:假设16只都是鸡,那么就应该有2× 例3 解:买(3+2)个排球多少元 111-3×2=
16=32(只)脚,但实际上有44只脚,比假设的情况 105(元)
多了44-32=12(只)脚,出现这种情况的原因是把 每个排球多少元 105÷(3+2)=21(元)
兔当作鸡了。如果我们以同样数量的兔去换同样数 每个足球多少元 21+3=24(元)
量的鸡,那么每换一只,头的数目不变,脚的只数增 答:每个排球21元,每个足球24元。
加了2只。因此只要算出12里面有几个2,就可以 总结:同样,这道题也可以将3个排球换成3个足
求出兔的只数。 球,请你再试着做一做。
解:兔的只数:(44-2×16)÷(4-2)=6(只), [同步精练]
鸡的只数:16-6=10(只)。 1.根据题意,画出线段图
答:有6只兔,10只鸡。
分析2:我们也可以假设16只都是兔子,那么就
应该有4×16=64(只)脚,但实际上有44只脚,比假
设的情况少了64-44=20(只)脚,这是因为把鸡当
作兔了。我们以鸡去换兔,每换一只,头的数目不
变,脚数减少了4-2=2(只)。因此只要算出20里 结合图不难发现,假设4人收集的邮票都与小
面有几个2,就可以求出鸡的只数。 华一样多,只要在4人收集的总张数80张的基础上
解:鸡的只数:(4×16-44)÷(4-2)=10(只), 加上8,再加上8+14和8+14,4人就和小华同样
兔的只数:16-10=6(只)。 多,可先求出小华收集的张数:(80+8+8+14+8+
答:有6只兔,10只鸡。 14)÷4=33(张),小明收集:33-8=25(张),小乐收
例2 解:(100×3-120)÷(3-1)=90(人) 100- 集:25-14=11(张),也就是小冬收集的张数。
90=10(人) 2.假设全租大船,共要坐6×10=60(人),比42
学生共栽90×1=90(棵),老师共栽3×10= 人多60-42=18(人),由于把小船看成大船,可求出
30(棵) 小船的条数:18÷(6-4)=9(条),大船:10-9=
答:老师栽树30棵,学生栽树90棵。 1(条)。
[同步精练] 3.根据其中11名同学每人捐款10元,这11人
1.卖的茶杯比水瓶多36只,即多2×36= 一共捐款10×11=110(元),捐20元和50元的一共
72(元),共卖136元,136-72=64(元),相当于相同 捐款:1000-110=890(元),捐20元和50元的人数
数量水瓶和茶杯的价钱,把一只茶杯和一只水瓶看 一共有45-11=34(人)。假设这34人都是20元,
成一组,共要14+2=16(元),可求出水瓶个数:64÷ 一共捐款34×20=680(元),少算了890-680=
16=4(只),茶杯有36+4=40(只)。 210(元),为什么呢 是因为把50元的看成了20元
2.解:假设小明家到书店的路程为120米,则往 的,所以捐款50元的有:210÷(50-20)=7(人),捐
返一次共走了(120×2)米,对应的时间是(120÷60 20元的有34-7=27(人)。
+120÷40)分钟。 例4 解:假设全做对了。
120×2÷(120÷60+120÷40)=48(米/分) (20×5-64)÷(5+1)
答:小明平均每分钟走48米。 =36÷6
3.我们设想有一只“怪鸡”有1个头11只脚,一 =6(道)
种“怪兔”有1个头19只脚,它们共有16个头,280 20-6=14(道)
只脚。这样,就将买文化用品问题转换成鸡兔同笼 答:做对了14道题。
问题了。 [同步精练]
假设买了16套彩色文化用品,则共需19×16= 1.假设一只也没打碎,共得3×1000=3000(角),
178
参 考 答 案
●小 ●学 ●四 ●年 ●级
比实际260元(即2600角)多:3000-2600=400(角),原 12(分),可先求出错的题目:48÷12=4(道),再求出
因是每打碎一只扣:3+5=8(角),共打碎花瓶:400 做对的题目:15-4=11(道)。
÷8=50(只)。 4.20 15 提示:假设35枚硬币都是1角的,
2.解:根据甲、乙、丙三人胜的场数相同,分为三 共是35角,比原来少了95-35=60(角),则5角的:
种情况:各胜0场;各胜1场;各胜2场,还可根据丁 (95-35)÷(5-1)=15(枚),1角的:35-15=
胜的场数分成三种情况:胜2场、1场、0场。 20(枚)。
解法一:根据甲、乙、丙三人胜的场数相同,可得 5.720 提示:要算出这批钢材有多少吨,需要
下面三种情况:甲、乙、丙三人各胜0场;甲、乙、丙三 知道每辆大卡车或小卡车能装多少吨。利用假设
人各胜1场;甲、乙、丙三人各胜2场。 法,假设只用36辆小卡车来装载这批钢材,因为每
假设甲、乙、丙各胜0场,丁就应该胜6场,这显 辆大卡车比每辆小卡车多装4吨,所以要剩下4×36
然不可能。 =144(吨)。根据条件,要装完这144吨钢材还需要
假设甲、乙、丙三人各胜1场,丁就应该胜3场, 45-36=9(辆)小卡车。这样每辆小卡车能装144÷
即丁胜了甲、乙和丙,与已知条件“甲胜丁”矛盾。 9=16(吨)。由此可求出这批钢材吨数为:4×36÷
假设甲、乙、丙三人各胜2场,三人胜了6场,所 (45-36)×45=720(吨)。
以丁1场也没有胜。 二、1.设全都租大船,共要坐9×6=54(人),而实际
解法二:丁共赛3场,且“甲胜丁”。 坐44人,多坐了54-44=10(人),这是由于把小船
假设丁胜2场,那么甲、乙、丙三人共胜6-2= 看成大船,每条小船多坐6-4=2(人)。可求出租小
4(场)。由于“甲、乙、丙三人胜的场数相同”,三人胜 船的条数:10÷2=5(条),从而求出租大船的条数:
的场数和应该是3的倍数,而4不是3的倍数。因 9-5=4(条)。
此这种情况是不可能的。 2.假设中班、小班都和大班分得同样多,大班比
假设丁胜1场,那么甲、乙、丙三人共胜6-1= 中班多分10个,即中班加10个就和大班一样多,小
5(场),这也不可能。 班比大班少分14个,小班加14个和大班同样多,那
答:丁1场也没胜。 就是用270+10+14=294(个),相当于3个大班分
3.假设小明全做对了,他就会得15×10= 得的个数,求出大班分的个数:294÷3=98(个),中
150(分)。现在,他得了66分,少得了150-66= 班分98-10=88(个),小班分98-14=84(个)。
84(分),每做错一道题他会少得14分,他做错了84 3.分析:这道题要求原计划制造多少件,从题目
÷14=6(道),他做对了15-6=9(道)。 的条件来看,既不知道原计划每天制造多少件,也不
知道实际每天制造多少件,所以要想按照一般的数
练 习 卷
量关系,通过分析来寻找解题线索,是一个比较困难
一、1.50 30 提示:假设全是鸡,共有脚2×80= 的问题,在这种情况下,可以用假设法来解答。
160(只),比220只脚少220-160=60(只),原因是 题目告诉我们,“原计划18天完成”,我们就假
把兔子也看成鸡 ,每只兔子看成鸡少看了4-2= 设实际生产了18天。那么,按照题目的条件“实际
2(只)脚,可求出兔的只数有:60÷2=30(只),鸡有: 每天比计划多制造50件”来计算的话,应该比原计
80-30=50(只)。 划产量多制造:50×18=900(件)。
2.18 21 提示:三轮车有3个轮子,自行车有 根据题意,制造12天,就比原计划产量多制造
2个轮子,假设39辆全是三轮车,共有轮子39×3= 240件,这样一来,我们就得到了两个数量的相差数,
117(个),比96个多117-96=21(个),这是由于把 即制造的天数相差了18-12=6(天)。制造的件数
自行车看成三轮车,每辆车多看一个轮子造成的,可 相差了900-240=660(件)。这就是说,按实际每天
求出自行车的辆数:21÷(3-2)=21(辆),三轮车有 制造的件数计算,6天可以制造农具660件,我们可
39-21=18(辆)。 以从这两个相差数中,算出实际每天制造的件数:
3.11 提示:假设15道题全对了,那应共得: 660÷6=110(件)。
15×8=120(分),比72分多:120-72=48(分),为 通过假设,找到了解开这道题目的一个重要条
什么会多出这些分呢 这是由于每做错一题不但 件,即实际每天制造110件。因此,要求出原计划制
8分得不到,还要倒扣4分,即每错一题少了8+4= 造多少件,只要再按题目的条件,先算出12天制造
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的件数110×12=1320(件),因为12天制造的件数 5分币13枚,再用30-13=17(枚),求出了2分币
比原计划产量多240件,所以原计划制造的件数就 的枚数。
是:1320-240=1080(件)。 这题还可以把30枚硬币全假设成5分的,共值
解:(50×18-240)÷(18-12)×12-240=660 5×30=150(分),比实际多算了150-99=51(分),
÷6×12-240=1320-240=1080(件) 由于把2分币假设成5分币,每枚2分币多算了5-
答:原计划制造农具1080件。 2=3(分),所以2分币有:51÷3=17(枚),5分币有:
当求出了实际每天制造110件之后,下一步也 30-17=13(枚)。
可以这样思考: 6.分析:由于一共采了112个松子,平均每天采
根据已知条件“实际每天比计划多制造50件”, 14个,可 以 先 求 出 一 共 采 了 多 少 天,112÷14=
可求得原计划每天制造的件数: 8(天),假设这8天全是晴天,应该采20×8=160(个)
110-50=60(件) 松子。比实际采的松子多160-112=48(个),为什
再根据已知条件“原计划18天完成”即可求得 么会多采了48个呢 是因为将一个雨天看成一个
原计划制造的件数: 晴天就多算了20-12=8(个),多少个雨天多算了
60×18=1080(件) 48个呢 48÷8=6(天)。
列综合式计算[(50×18-240)÷(18-12)- 解:一共采了多少天
50]×18=[660÷6-50]×18=60×18=1080(件)。 112÷14=8(天)
4.假设一: 假设全是晴天,一共可以采多少个
假设24辆车都是汽车,那么按每辆汽车4只轮 20×8=160(个)
胎计算,轮胎只数应为24×4=96(只),这比题中说 比实际多算了多少个
的全部轮胎54只多算了:96-54=42(只),怎么会 160-112=48(个)
多算42只轮胎,这是由于把自行车的辆数当作汽车 雨天有多少天
来计算。每辆自行车是2只轮胎,比每辆汽车少 48÷(20-12)=6(天)
2只轮胎,现在把自行车假设为汽车后,每辆自行车 答:这几天当中有6天有雨。
就多算了2只轮胎,那么,多算42只轮胎就可求出 延伸:如 要 把8天 全 部 假 设 成 雨 天,你 会 解
有几辆自行车算作汽车。据此,可以推算出自行车 答吗
的辆数:(4×24-54)÷(4-2)=42÷2=21(辆),自 7.分析:这题也可以用假设法,把钢笔换成圆珠
行车有21辆,而自行车和汽车总计是24辆,减法计 笔,根据“2支钢笔的价钱等于8支圆珠笔的价钱”,
算,可得汽车的辆数:24-21=3(辆)。 可以知道“买1支钢笔的价钱等于4支圆珠笔的价
假设二: 钱”,买3支钢笔的钱可以买4×3=12(支)圆珠笔。
假设24辆车全部是自行车,那么,该有轮胎: 这样把钢笔的支数转换成圆珠笔的支数,可以先求
2×24=48(只)。这比题中的“54只轮胎”少算了: 出每支圆珠笔的价钱,再求出每支钢笔的价钱。
54-48=6(只),怎么会少算6只轮胎,这是由于假 解:(1)3支钢笔相当于多少支圆珠笔
定汽车的辆数当作自行车来计算。每辆汽车少算 (8÷2)×3=12(支)
2只轮胎,那么少算6只轮胎,就可求出有几辆汽车算 (2)17元相当于多少支圆珠笔的价钱
作自行车。据此,列式计算汽车有:(54-2×24)÷ 5+12=17(支)
(4-2)=6÷2=3(辆) (3)1支圆珠笔多少钱
即知汽车有3辆,汽车和自行车总计24辆,减 17÷17=1(元)
法计算,可得自行车辆数24-3=21(辆)。 (4)一支钢笔多少钱
5.假设这30枚硬币全是2分的,共值2×30= 1×8÷2=4(元)
60(分),比实际少算:99-60=39(分),为什么会少 答:一支钢笔4元,一支圆珠笔1元。
算了39分呢 是因为30枚中不全是2分币,还有 8.分析:这题可以假设20题全部答对,应得
5分币,把5分币也看成2分币,每把一枚5分币看 8×20=160(分),实际只得了100分,比实际多算了
成一枚2分币少算了:5-2=3(分),有多少枚5分 160-100=60(分),为什么会多算了60分呢 是因
币少算了39分呢 39÷(5-2)=13(枚),先求出 为把答错的也看成了答对的,这样每把一道答错题
180
参 考 答 案
●小 ●学 ●四 ●年 ●级
看成一道答对题就会多算8+4=12(分),多少道题 [同步精练]
答错了呢 60÷12=5(道),然后再求答对的题数。 1.9 8 7 提示:△=24-17=7,○=15-7
解:(1)假设20题全答对应得多少分 =8,☆=17-8=9。
8×20=160(分) 2.70 50 30 提示:(120+100+80)÷2=
(2)比实际多算了多少分 150(千克),1筐梨:150-80=70(千克),1筐苹果:
160-100=60(分) 150-100=50(千克),1筐橘子:150-120=30(千
(3)每道错题看成对题多算多少分 克)。
8+4=12(分) 3.1头大象的质量等于36头小猪的质量。
(4)答错几题 例3 解: 300÷(2×2+6)
60÷12=5(道) =300÷10
(5)答对几道 =30(双)
20-5=15(道) 30×2=60(双)
答:答对了15道题。 答:每个纸箱里装30双球鞋,每个木箱里装
9.分析:假设100只都是鸡,没有兔,那么就有 60双球鞋。
鸡脚200只,而兔的脚数为零。这样鸡脚比兔脚多 延伸:想一想:如果把纸箱换成木箱,假如300
200只,而实际上只多20只,这说明假设的鸡脚比兔 双球鞋全部用木箱装,应该怎样解答
脚多的数比实际上多200-20=180(只)。 [同步精练]
现在以兔换鸡,每换一只,鸡脚减少2只,兔脚 1.荔枝的单价是12元,桂圆的单价是30元。
增加4只,即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少4+2 2.解:步行来回一次加骑自行车来回一次共需
=6(只),而180÷6=30,因此有兔子30只,鸡100 20×2=40(分钟),往返都骑自行车需40-31=9(分
-30=70(只)。 钟)。
解:有兔:(2×100-20)÷(2+4)=30(只),有 答:往返都骑自行车需9分钟。
鸡:100-30=70(只)。 3.分析:因为中间是正方形,正方形的四边相
答:有鸡70只,兔30只。 等,所以DF=FE=BE=BD①,长方形ABDC 的
10.假设1000个玻璃杯全部完好无损地运到了 周长为7×2=14(厘米),长方形EHGF 的周长为
目的地,那么运输公司应得运费1×1000=1000 5×2=10(厘米),又因为最大的长方形AHGC 的周
(元),而实际上只得到了920元,少得了1000-920 长等于AB+AC+CD+DF+FG+GH+EH+
=80(元),这说明运输过程中打碎了玻璃杯。因为 BE②
每打碎1个玻璃杯,运输公司不但得不到1元运费, 根据①式对②式进行等量代换,就得到所求最
还要赔偿3元,即运输公司打碎1个玻璃杯就少收 大长方形的周长正好等于长方形ABDC 的周长加
入1+3=4(元)。再根据运输公司一共少收入 上长方形EHGF 的周长。
80元,可以求出打碎的玻璃杯数为:80÷4=20(个)。 解:7×2+5×2=24(厘米)
答:最大的长方形的周长24厘米。
第十五讲 等量代换 例4 解: (91×3+95×2-89×3)÷2
例1 1个西瓜和18根香蕉的质量相等。 =196÷2
[同步精练] =98(分)
1.500×3÷10-500×2÷8=25(克) 答:张得了98分。
2.16 32 24 5 2 [同步精练]
3.由条件可知:1只羊换兔:20÷2=10(只), 1.先把毛线换成丝线。根据“丝线3千克的价
1头猪换羊:9÷3=3(只),可求出1头猪换兔:10×3 格与毛线5千克的价格相等”这个条件,毛线1千克
=30(只),已知1头牛换猪:8÷2=4(头),可知4头 可替换成丝线3÷5=0.6(千克),把毛线5千克替换
猪换兔:30×4=120(只),5头牛换兔:5×120= 成丝线就是5×(3÷5)=3(千克)。650元就相当于
600(只)。 买了丝线2+3=5(千克),这样就可以先求出每千克
例2 150 75 100 丝线的价格:650÷5=130(元),再将结果代入原题
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的条件,就可以求出毛线每千克的价钱:130×(3÷ 13b,由第五个数是7,知2a+3b=7,就是a=2,b=
5)=78(元)。 1。第八个数是8a+13b=8×2+13×1=29。
2.由于大、小汽车的载质量并不一样,只能替换 答:第八个数是29。
成一种车,才能求出结果。已知小汽车5小时等于 4.2×9+2×6=30(厘米)
大汽车2小时运的量,因此,大汽车1小时运的量就 5.180÷(10-1)=20,甲是200,乙是20。
等于小汽车5÷2=2.5(小时)运的量,如果大汽车 6.8个 提示:先根据题意得出1个苹果的质
8小时运的也换成小汽车来运,小汽车则要2.5×8= 量等于2个橘子的质量,再代入第一个条件得出梨
20(小时),624袋化肥都由小汽车来运,共需要20+ 和橘子质量的关系。
6=26(小时),这样就可以先求出小汽车每小时运的 7.甲生产了240个零件,乙生产了72个零件。
袋数,624÷26=24(袋),大汽车每小时运(624- 8.解:8个大 球 和8个 小 球 共 重42+38=
24×6)÷8=60(袋)。 80(克),1个大球和1个小球共重80÷8=10(克),
3.解:大瓶小瓶各1只共装药液(264+216)÷ 5个大球和5个小球共重10×5=50(克),1个小球
(7+3)=48(毫升);大瓶比小瓶多装药液(264- 重(50-42)÷(5-3)=4(克)。
216)÷(7-3)=12(毫升)。 答:每个小球重4克。
由和差问题可求出,大瓶装:(48+12)÷2= 9.解:学校共有五年级、六年级和其他年级,根
30(毫升),小瓶装:(48-12)÷2=18(毫升)。 据题意,五年级+其他年级=25(名),六年级+其他
答:大瓶装药液30毫升,小瓶装18毫升。 年级=26(名),五年级+六年级=35(名),参加学校
数学兴趣小组的共有学生:( )
25+26+35 ÷2=
练 习 卷 43(名)。
一、1.70 50 30 提示:(130+160+310)÷4= 答:参加学校数学兴趣小组的共有43名学生。
150(千克),梨:150-160÷2=70(千克),苹果:(310 10.解:A=(13+17)÷2=15,即B+15与D
-70×3)÷2=50(千克),橘子:(160-50×2)÷2= +17相等(都等于2×C),因此B-D=2
30(千克)。 于是2×D=B+13=D+2+13,故D=15。
2.2 3 4 提示:(8+14+5)÷3=9(千克), C=(17+15)÷2=16,
鹅:9-5=4(千克),鸡:(8-4)÷2=2(千克),鸭: x=2×C-13=19。
5-2=3(千克)。 答:x 等于19。
二、② 提示:将∠A=∠B+∠C 代换到∠A+ 综合调研卷
∠B+∠C=180度,可知,∠A=90度,因此这个三
, 。 一、角形为直角三角形 正确答案是② 1.3℃ -1℃
三、1.分析:从图中可以看出,1只小狗的质量等于 32.8
2只小猴的质量,所以2只小猴重8千克。从图上还 3.1280 提示:后一个数是前一个数的4倍。
可以看出,2只小猴的质量等于4只小兔的质量,可 4.(1)146 (2)5
以推出4只小兔重8千克。
1 4
解:每只小猴重:8÷2=4(千克),每只小兔重: 5.54 54
8÷4=2(千克),
1只小猴和1只小兔共重:4+2= 6.白 2 黑
6(千克)。
7.78-12×5
答: 一只小猴和一只小兔共重8÷2+8÷4= 8.33 提示:(30×3+42)÷4=33(千克)。
6(千克)。 9.12 提示:根据算式可知,A 只能是1,则B
2.解:根据1头猪=3只羊,1只羊=2只狗,可 是2,C 是9,A+B+C=12。
以得出1头猪=6只狗。又根据1只狗=4只兔子, 10.1024144 提示:从1至2023共有奇数:
可以得出1头猪得到兔子:3×2×4=24(只)。 2024÷2=1012(个),这些奇数之和为:1012×1012
答:1头猪可以换24只兔子。 =1024144。
3.解:设前两个数是a,b,这8个自然数依次是 11.2 提示:(10×3-20)÷(3+2)=2(道)。
a,b,a+b,a+2b,2a+3b,3a+5b,5a+8b,8a+ 12.3333334
182
参 考 答 案
●小 ●学 ●四 ●年 ●级
13.2 4 1 8 9 3 56 7 小数是0.1,0.999-0.1=0.899。
二、1.B 2.B 2.纯小数的整数部分是0,最大的是0.1110,最
三、537-(137+286)=537-137-286=400-286 小的是0.0111。
=114 3.小数有无数个,两位小数有9个,分别是
184+57+16=(184+16)+57=200+57=257 0.11、0.12、0.13、0.14、0.15、0.16、0.17、0.18、
25×32×125=(25×4)×(8×125)=100× 0.19。
1000=100000 例3 第70个数是352.41。
185-(85-17)=185-85+17=100+17=117 [同步精练]
165-27+35-73=(165+35)-(27+73)= 1.用1、2、3、4做最高位的一位小数各有24个,
200-100=100 24×4=96,第98个数是以5做最高位的从小到大
143-59-41=143-(59+41)=143-100=43 排列的第2个,即5124.3。
四、先取者取两根,以后每次把4的倍数根火柴留给 2.后个数是前一个数的3倍,填13.5、40.5和
对方取。先取者获胜。 121.5。
五、1.(16+10)÷(8-6)=13(间) 8×13-10= 3.0.1,0.3,0.5,0.7…间隔排列,所以第2个括
94(人) 号里应填0.9;0.5,0.7,0.9…间隔排列,所以第一个
2.-0.3 0 +0.1 -0.1 0 +0.3 括号里应填1.1。
-0.2 +0.2 +0.1 -0.1 例4 62×(62+1)÷2=1953,2001-1953=48
3.720×2÷(720÷60+720÷120)=1440÷ 48<63,63-48+1=16(个),0.2001应排在第
(12+6)=80(米/分) 63行左起第16个。
4.20+6+8+4=38(种) [同步精练]
5.9+8+7+6+5+4+3+2+1=45(次) 1.(2+4)÷2=3 (6+4)÷2=5 (3+9)÷2
6.2×21=42(盆) =6 (12+0)÷2=6 (4+4)÷2=4,( )中
7.10梅=3苹+1梨;18梅+3苹=3梨,两式 填9。
相加得:7梅=1梨。 2.分组观察(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(4,5,
8.132-(30-1)×2=74 (74+132)×30÷2 6),(5,6,7)…每组中的第一个数分别是1,2,3,4,5
=3090(个) …且第几组的第一个数就是几,每组中三个数的和
等于中间一个数的3倍。下 册 100÷3=33
(组)……1(个
数),第100个数是第33+1=34(组)的第1个数,和
为:(2+3+4+…+34)×3+34=1816。
第一讲 小数的意义和加减法(小数的意义) 3.62×(62+1)÷2=1953(个)数,前62行已经
例1 5.845>5.84>5.8399>5.839>5.79 排了1953个数,还剩1991-1953=38(个)数,38<
[同步精练] 63。0.1991应排在第63行左起第38个。
1.整数部分都是7,就比十分位。十分位上8
练 习 卷
最大,是7的几个数再比百分位或千分位上的数。
7<7.007<7.07<7.7<7.707<7.708<7.8。 一、1.600.06
2.最小的两位小数是0.81,最大的两位小数是 2.2.034 2.025 提示:当这个小数“四舍”时
0.89。 它比2.03大,最大是2.034;当这个小数“五入”时,
3.(1)后一个数比前一个数多0.4,填1.8和 它比2.03小,最小是2.025。
2.2。 (2)后一个数是前一个数的3倍,填16.2和 3.3 提示:12.5万=125000,所以把12.5万
48.6。 (3)分别填最小的四位小数0.0001和最小 的“万”字和小数点去掉,要再加3个0才能保证数
的五位小数0.00001。 值没有改变。
例2 0.99+0.01=1 二、1.B 提示:4.73与4.731相差最少。
[同步精练] 2.D
1.最大的三位纯小数是0.999,最小的一位纯 3.D 提示:这三个数的数值相等都是10,但因
183
