同步奥数培优
TongbuAoshuPeiyou
第十一讲 归一问题
【知识概述】
在一些实际问题中,常常要先算出一个单位的数量是多少,然后求所需求的
问题。例如:“买3支铅笔要4角8分,买同样的5支铅笔要多少钱 ”这样的问
题,称为归一问题。归一问题有:
(1)直进归一:如上例便是直进归一,需先求出1支铅笔要几分,再求买5支
铅笔要多少钱 列式为:48÷3×5=80(分)。
(2)返回归一(逆归一):例如:“一辆汽车4小时行120千米,照这样计算,行
180千米要用几小时 ”先求平均1小时行多少千米,再求行180千米要几小时,
列式为:180÷(120÷4)=180÷30=6(小时)。
(3)两次归一:例如:“2台拖拉机4天耕地32公顷,照这样计算,5台拖拉机
7天耕地多少公顷 ”先求1台拖拉机1天耕地多少公顷,再求5台拖拉机7天耕
地多少公顷。列式为:32÷2÷4×5×7=140(公顷)。
又如:“2台拖拉机4小时耕地32公顷,照这样计算,5台这样的拖拉机,耕
200公顷需几小时 ”先求1台拖拉机1小时耕地多少公顷,再求5台拖拉机耕
200公顷需几小时。列式为:200÷(32÷2÷4×5)=10(小时)。
归一问题中必有一种不变的量。如前面的例子中铅笔的单价不变,汽车的
速度不变,拖拉机每小时耕地的公顷数不变。在应用题中,常常用“照这样计算”
“用同样的……”等词句来表达不变的量。
例题精学
例1 一只小蜗牛6分钟爬行12分米,照这样的速度,1小时爬行多少米
【思路分析】 为了求出蜗牛1小时爬多少米,必须先求出1分钟爬多少分米,即
蜗牛的速度,然后以这个数目为依据按要求算出结果。还可以这样想:先求出题
目中的两个同类量(如时间与时间)的倍数(即60分是6分的几倍),然后用1倍
数(6分钟爬行12分米)乘倍数,使问题得解。
48
第十一讲 归一问题
●小●学●四●年●级
同步精练
1.张师傅3小时完成240件产品,照这样计算,一天生产多少件产品 (一
天按8小时计算)
2.某人步行,3小时行15千米,7小时行多少千米
3.一辆卡车3次运货21吨。照这样计算,9次可运货多少吨
例2 一台拖拉机3天耕地175亩。照这样计算,这台拖拉机15天可以耕地多
少亩
【思路分析】 这道题实质上是归一问题。要求15天耕地多少亩,只要先求出每
天耕地多少亩就行了。但175不能被3整除,所以在整数范围内此题不便用归一
法来解。因题目中的同一类数量(两个天数)之间成倍数关系(15天是3天的5
倍),并且拖拉机的工作效率又相同,所以另一类数量(两个耕地亩数)之间也必
然有相同的倍数关系(15天耕地亩数也应是3天耕地亩数的5倍)。
同步精练
1.3台拖拉机一天耕地40亩。要把160亩地在一天内耕完,需要多少台同
样的拖拉机
2.工厂运来52吨煤,先用其中的13吨炼出9750千克焦炭。照这样计算,
剩下的煤可以炼出多少千克焦炭
3.一个食品加工厂要磨大豆30000千克,3小时磨6000千克,照这样计算,
磨完余下的大豆还要几个小时
49
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例3 一种钢轨,4根共重1900千克,现在有95000千克钢,可以制造这种钢轨多
少根 (损耗忽略不计)
【思路分析】 以一根钢轨的质量为单一量。
(1)一根钢轨重:1900÷4=475(千克)。
(2)95000千克能制造:95000÷475=200(根)。
同步精练
1.一辆汽车从甲地开往乙地,每小时行60千米,5小时到达。若要4小时到
达,则每小时需要多行多少千米
2.一项工程,8个人工作15小时可以完成,如果12个人工作,那么多少小时
可以完成
3.3台拖拉机4小时耕地72亩,照这样计算,5台这样的拖拉机,耕地240
亩,需要几小时
例4 8个工人3小时制作机器零件
1
360个,如果人数缩小为原来的 ,时间增加2
了5小时,可制作机器零件多少个
【思路分析】 1 此题中人数缩小为原来的 ,指现在的人数是8÷2=4(人);时间增2
加了5小时,指现在的时间是3+5=8(小时)。
同步精练
1.王家养了5头奶牛,7天产牛奶630千克,照这样计算,8头奶牛15天可
产牛奶多少千克
50
第十一讲 归一问题
●小●学●四●年●级
2.修一条公路,原计划60人工作,80天完成。现在工作20天后,又增加了
30人,这样剩下的部分再用多少天可以完成
3.7辆“黄河牌”卡车6趟运走336吨沙土。现有沙土560吨,要求5趟运
完,则需要增加同样的卡车多少辆
练 习 卷
一、填空。
1.一列火车3小时行210千米,照这样的速度,9小时行( )千米。
2.小华和弟弟去外婆家,2小时走了8千米,照这样的速度,去外婆家还要走
4小时,他们家离外婆家一共有( )千米。
3.一个粮食加工厂加工大米5000千克,3小时加工了1500千克,照这样计
算,加工完剩下的大米还要( )小时。
4.幼儿园的小朋友排队唱歌,3行站18个,24个小朋友可以排成( )行。
5.一个人骑自行车4小时行44千米,照这样的速度,他骑自行车从家去距
离家55千米的姑姑家需要( )小时。
6.一个装订小组3小时装订1800本书,照这样计算,装订4800本书需要
( )小时。
二、解决问题。
1.一台拖拉机5小时耕地75亩,照这样计算,14小时可以耕地多少亩
2.四年级少先队员3天栽树苗2700棵,按照这样的速度,栽8100棵需要多
少天
51
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3.某工人4小时做机器零件27个,8小时做多少个
4.5台机器8小时共生产钉子5000千克,7台这样的机器24小时共可以生
产钉子多少千克
5.一辆车3次可运货45吨,照这样计算,多运货60吨,共需要运几次
6.小强家住三层,从一层到三层需要走60秒钟,按此速度,从一层到六层需
要多长时间
7.3台拖拉机4小时耕地72亩,照这样计算,5台拖拉机7小时能耕地多
少亩
8.5个人2小时植树20棵,6个人3小时植树多少棵
9.一个粮食加工厂要磨面粉20000千克,3小时磨了6000千克,照这样计
算,磨完剩下的面粉还要几小时
10.某厂运来一批煤,计划每天用5吨,40天用完。如果改进锅炉,每天节约
1吨,这批煤可以用多少天
52
第十一讲 归一问题
●小●学●四●年●级
11.甲、乙两个打字员4小时共打字3600个。现在二人同时工作,在相同时
间内,甲打字2450个,乙打字2050个。甲、乙二人每小时各打字多少个
12.某车间用4台车床5小时生产零件600个,照这样计算,增加3台同样
的车床后。
(1)8小时可以生产多少个零件
(2)如果要生产6300个零件,几小时可完成
13.某工地的一项工程,原计划由30人工作,每天工作8小时,45天完工。
为了提前完工,实际由54人工作,每天工作10小时,可以提前几天完工
14.4辆大卡车运沙土,7趟共运走沙土336吨。现在有沙土420吨,要求5
趟运完。需要增加同样的卡车多少辆
15.24辆卡车一次能运货216吨,现在增加同样的卡车8辆,一次能运货多
少吨
53参 考 答 案
●小 ●学 ●四 ●年 ●级
参 考 答 案
个元素中选2个排列,共有:A24=4×3=12(个)。
上 册 3.这是一个排列问题,从6个元素中取3个排
列,即A36=6×5×4=120(种)。
第一讲 认识更大的数(排列组合) 例4 解:任意选取两个数的乘积,可得到:
: ( ) [例1 解 8+8×9=80 个 1+2+3+4+
(6-1)]-1=14(种)不同的
[ 。同步精练] 结果
, : 。1.一位数中 没有数字 ,两位数中只要看个位
答 可以得到14种不同的结果0
上的数字为0,
[ ]
有10、20、30…80、90,共9个,再加上 同步精练
100有2个数字0,共有9+2=11(个)。 1.有15种不同的结果
。
2.一位数中有5,两位数分两种情况,一种是个 2.因为6=1+5=2+4=3+3=6+0,所以,组
位上是5的有:15、25、35、45、55、65、75、85、95共9 成这两位数的数字为1与5,2与4,3与3,6与0,即
个,另一种是十位上有5的是:50、51、52、53、54、55、 数字和为6的两位数为:15、51、24、42、33、60共
56、57、58、59共10个,共有1+9+10-1=19(个)。 6个。
(55出现两次,故需减去1次) 3.十位上是1的,共有8个;十位上是2的,共
3.一位数中,不含有数字2的自然数是1、3、4、 有7个;十位上是3的,共有6个……十位上是9的,
5、6、7、8、9共8个,两位数中,十位上不含2的有1、 有0个。共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(个)。
3、4、5、6、7、8、9共8个;个位上不含2的有0、1、3、
练 习 卷
4、5、6、7、8、9共9个,不含数字2的两位数有8×
一、1.18 提示:百位上可排7、4、2三种,当 在百
9=72(个),
7
共有8+72=80(个)。
位上时,组成的三位数有: 、 、 、 、 、
例2 解:3×3×2=18(个)
704702742740724
没有重复数字的三位
720共6个,同理,2排在百位上、4排在百位上也各
数有18个。
有6个,共有6×3=18(个)。[同步精练]
1.当3在百位上时,组成的三位数有:304、340、
306、360、346、364共6个,像这样的能在百位上的数
字共有3、4、6即3个,共有6×3=18(个)没有重复
数字的三位数。 2.12 6 提示:有2×3、2×4、2×5、3×4、3×
2.当1在百位上时,可组成的三位数有:123、 5、4×5共6个算式,交换两因数的位置,又得到6个
132、125、152、135、153共6个,像这样的能在百位上 乘法算式。因此共有12个不同的乘法算式,有6个
的数字共有1、2、3、5即4个,共有6×4=24(个)没 不同的积。
有重复数字的三位数。 3.10 提示:三个数的和是偶数有两种情况:偶
3.结合第2题的分析,可知能组成24个三位 数+偶数+偶数或奇数+奇数+偶数,其中“偶、偶、
数,由于1、2、3、4中单数和双数的数字各出现2个, 偶”的只有1种,2+4+6;“奇、奇、偶”的有9种,共
所以出现的三位数中双数的个数正好是总个数的一 有1+9=10(种)。
半,即24÷2=12(个)。 4.6 提示:百位上有3种不同的选法,十位上只
例3 解:A35=5×4×3=60(个),没有重复数字的 能从剩下的2个数字中任选1个,只有2种不同的选
三位数有60个。 法;个位只能是最后的数字,只有1种选法。因此,要
[同步精练] 组成没有重复数字的三位数,共有3×2×1=6(种)方
1.这是一个排列问题,从5个元素里选3个元 法,即能组成6个没有重复数字的三位数。
素排列,共有:A35=5×4×3=60(个)。 5.4 提示:因为百位上不能选0,只能从另外
2.因为所组成的三位数个位上为6,这就是从4 两个数字中任选1个,只有2种不同的选法,十位上
161
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可以选0,也可以选另两个数字中剩下的一个,共有 2×1)=5(种),C55=1(种)。
2种不同的选法,个位上只有1种选法,因此,可以组 因此,把砝码放在天平的一边,一共可称出5+
成没有重复数字的三位数:2×2×1=4(种)。 10+10+5+1=31(种)不同的质量。
6.9 提示:千位上可以从1和2中任选1个。 第二讲 线与角
如果千位上选1,百位上可以从剩下的3个数字中任
选1个,共有3种不同的选法;十位上有2种不同的 例1 解:图中共有线段3+2+1=6(条)或3×4÷2
选法,个位上只有1种不同的选法,一共有3×2×1 =6(条)
=6(种)不同的选法;如果千位上选2,百位上选0, 答:图中有6条线段。
则只有1种方法;百位上选1,则有2种方法。因此, [同步精练]
一共有6+1+2=9(种)不同的方法。 (1)10条 提示:像这样标上字母:
二、1.D 2.B
三、1.按插入乘号的个数分类:
(1)若插入一个乘号,现有3种不同的插法,得 从A 点 开 始 数 出 线 段 AB、AC、AD、AE 共
到3个不同的乘积(选3个空当中的任一空当放乘 4条;从B 点开始数出线段BC、BD、BE 共3条;从
号); C 点开始数出线段CD、CE 共2条,从D 点开始数
(2)若插入两个乘号,则有3种不同的插法,得 出线段DE 共1条,共有4+3+2+1=10(条),也可
到3个不同的乘积(必有一空当中不放乘号); 标上数字 ,则有4×5÷
(3)若插入三个乘号,则只有1种插法,得到1
个乘积, 2=10(条)。
根据加法原理有:3+3+1=7(种)。 (2)16条 提示:分别标上数字:
2.排成的三位数有6个:347、374、437、473、
734、743。其中最小的是347,最大的是743。
3.由于6的约数有1、2、3、6,故可由A 取1、2、
3、6四类进行思考。
B=1,C=6 B=1, C=3
B=2,C=3 (条) (条)
A= 1
A=2 3×4÷2=6 4×5÷2=10 6+10=
B=3,C=2
, 16(条)
B=6,C=1 B=3C=1 例2 解:3×4÷2=6(个) 答:图中有6个角。
B=1,C=2 [同步精练]
A=3 A=6,B=1,C=1 1.只要在角内画一条线段,数一数有几个点,便
B=2,C=1 可解决。
共有九组答案。 (1)
4.解决这个问题可以分为三步。即先确定百位
上的数字,再确定十位上的数字,最后确定个位上的
数字。百位上的数字可以是9、8、3中的一个,有3种
不同选法;十位上可以从9、8、3中剩下的2个中选,
也可以选0,也有3种不同选法;个位上由剩下的
2个数中选,有2种选法。因此,一共可以组成没有 4×5÷2=10(个)
重复数字的三位数:3×3×2=18(个)。 ()
2
5.可以从5个砝码中拿出1个来,有 C15=
5(种)方法,即可称出5种不同的质量;如果从5个
砝码中拿出2个来,C25=(5×4)÷(2×1)=10(种),
可称出10种不同的质量,同理C35=(5×4×3)÷
(3×2×1)=10(种),C45=(5×4×3×2)÷(4×3× 5×6÷2=15
(个)
162
参 考 答 案
●小 ●学 ●四 ●年 ●级
2.包括OA、OB 两条射线在内,共有8+2= 68×11=6×100+(6+8)×10+8=748 132×11
10(条)射线,便有9×10÷2=45(个)角。 =13×100+(13+2)×10+2=1452
例3 解:4×3÷2=6(个) [同步精练]
答:图中有6个三角形。 1.34×11=3×100+(3+4)×10+4=374
[ ] 同步精练 2.178×11=17×100+(17+8)×10+8=1958
在底边上分别标上数字 3.326×11=32×100+(32+6)×10+6=3586
(1)4×5÷2=10(个) 例2 解:101×43=4343 132×1001=132132
(2)5×6÷2=15(个) [同步精练]
(3)2×3÷2×2-1=5(个) 1.7878 9595 2.787787 234234 3.707
例4 解:3×4÷2=6(条) 78078
答:图中共有6个长方形。 例3 解:(1)21×29=2×(2+1)×100+1×9=600
[同步精练] +9=609
分别用数字标出交点,然后算出各有多少个长 (2)76×36=(7×3+6)×100+6×6=2700+
方形。
36=2736
[同步精练]
() ( ) 1.38×32=3×(3+1)1 2×3÷2=3 个 ×100+8×2=1216
106×104=10×(10+1)×100+6×4=11024
2.24×84=(2×8+4)×100+4×4=2016
98×18=(9×1+8)×100+8×8=1764
3.22×28=2×(2+1)×100+2×8=616
(2) 4×5÷2=10(个)
39×79=(3×7+9)×100+9×9=3081
例4 解:(1)95×105=(100-5)×(100+5)=1002
-52=10000-25=9975
() ()3 6×7÷2 263
2-372=(63+37)×(63-37)=100×26
=2600
[同步精练]
=21(个) 1.46×34=(40+6)×(40-6)=402-62=
练 习 卷 1600-36=1564
一、1.28 提示:7×8÷2=28(条)。 2.65
2-352=(65+35)×(65-35)=100×30
2.21 提示:标上数字1~7,6×7÷2=21 =3000
(条)。 3.103×97=(100+3)×(100-3)=100
2-32
3.4 提示:分2块来数3+1=4(个)。 =9991
二、 1.C 2.A 3.B 4.D 练 习 卷
三、1.3×4÷2=6(条) 4×5÷2=10(条) 10+6
1.125125
=16(条)
( ) 2.原式=2×100+(2+9)2.5×6÷2=15 个 ×10+9=319
3.6×7÷2=21(个) 3.
原式=(2×8+8)×100+8×8=2464
( ) 4.原式=( ) (4.7×8÷2=28 个 1992+1991 × 1992-1991
)=3983
四、1+1+2+1+2+3+1+2+3+3+1+2+3+3 5.原式=123×100+123=12423
2 2
+2+2+2+3+2+3+3+2+3+3+2+3+3+3+ 6.原式=(2000-8)×(2000+8)=2000-8
3+3+2+3+3+2+2=82(厘米) =3999936
7.原式=3×(3+1)×100+4×6=1224
第三讲 乘法(乘法中的速算与巧算) 8.原式=365×10+365=4015
例1 解:27×11=2×100+(2+7)×10+7=297 9.原式=8×(8+1)×100+3×7=7221
163
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10.原式=(165-4)×(165+4)=1652-42 [同步精练]
=27209 (1)48×125=6×(8×125)=6×1000=6000
(
( ( )) 2
)5×64×25×125=(5×2)×(4×25)×(8×
第四讲 运算律 简算 一
125)
例1 解:(1)45+56=44+1+56=(44+56)+1 =10×100×1000
=101 =1000000
(2)9998+3+99+998+3+9 练 习 卷
=9998+2+1+99+998+2+1+9
=(9998+2)+(1+99)+(998+2)+(1+9) 一、1.200 2.872 3.183 4.437 5.80000
=10000+100+1000+10 6.11000
二、
=11110 1.D 2.C 3.B 4.C
[同步精练] 三
、1.750-286-114=750-(286+114)=750-
() ( ) 400=350147+154=46+1+154= 46+154 +1
2.793-327-293=793-293-327=500-327
=201
=173
(2)79+198=79+198+2-2=(198+2)+(79 3.624-(324-219)=624-324+219=300+
-2)=277 219=519
(3)199999+29999+3999+499+59 4.455-(443-245)=455-443+245=455+
=(199999+1)+(29999+1)+(3999+1)+ 245-443=700-443=257
(499+1)+(59+1)-5 5.647+(218-347)=647-347+218=300+
=200000+30000+4000+500+60-5 218=518
=234560-5 6.908-(308-159)=908-308+159=600+
=234555 159=759
例2 解:(1)597-(197-69)=597-197+69=400 7.568-138-62=568-(138+62)=568-200
+69=469 =368
(2)849-273+173=849-(273-173)=849- 8.637-(428-263)=637-428+263=637+
100=749 263-428=900-428=472
[同步精练] 9.1998+997+5=(1998+2)+(3+997)=
(1)847-(647-130)=847-647+130=200+ 2000+1000=3000
130=330 10.1987-17-47-23=(1987-17)-(47+
(2)983-647+347=983-(647-347)=983- 23)=1970-70=1900
( ) ( )
300=683 11.45×125×2×8= 45×2 × 125×8 =90
(3)588-156-188=588-188-156=400- ×1000=90000
12.5×25×2×4=(5×2)×(25×4)=10×100
156=244
:() ( ) =1000例3 解 1798- 428+198 =798-198-428=
13.125×47×8=125×8×47=1000×47
600-428=172
=47000
(2)472-73-127=472-(73+127)=472- 14.25×145×4=25×4×145=100×145
200=272 =14500
[同步精练]
(1)542-39-161=542-(39+161)=542- 第五讲 运算律(简算(二))
200=342 例1 (1)1700÷25 (2)174000÷125
(2)638-(183+238)=638-238-183=400- =17×100÷25 =174×1000÷125
183=217 =17×(100÷25) =174×(1000÷125)
例4 解:125×32×25=(125×8)×(4×25)=1000 =17×4 =174×8
×100=100000 =68 =1392
164
参 考 答 案
●小 ●学 ●四 ●年 ●级
[同步精练] 6363÷7÷9 5600÷(25×7)
420÷5 3700÷25 =6363÷(7×9) =5600÷25÷7
=42×10÷5 =37×100÷25 =6363÷63 =56×(100÷25)÷7
=42×(10÷5) =37×(100÷25) =101 =56×4÷7
=42×2 =37×4 =8×4
=84 =148 =32
167000÷125 例4 (720+540)÷60 (4500-90)÷45
=167×1000÷125 =720÷60+540÷60 =4500÷45-90÷45
=167×(1000÷125) =12+9 =100-2
=167×8 =21 =98
=1336 [同步精练]
例2 (1)13×99 (2)147×101 (720+96)÷24 (360+108)÷36
=13×(100-1) =147×(100+1) =720÷24+96÷24 =360÷36+108÷36
=13×100-13×1 =147×100+147×1 =30+4 =10+3
=1300-13 =14700+147 =34 =13
=1287 =14847 (4200-63)÷21
(3)94×73+27×94 (4)187×16-87×16 =4200÷21-63÷21
( ) ( =94× 73+27 = 187-87)×16 =200-3
=94×100 =100×16 =197
=9400 =1600
练 习 卷
[同步精练]
15×999 20×101 一、1.1900 提示:17×19+83×19=(17+83)×
=15×(1000-1) =20×(100+1) 19=100×19=1900。
=15×1000-15×1 =20×100+20×1 2.296 提示:37000÷125=37×(1000÷125)
=15000-15 =2000+20 =37×8=296。
=14985 =2020 3.13800 提示:138×72+138×28=138×(72
75×21+25×21 30×131-30×31 +28)=138×100=13800。
=(75+25)×21 =30×(131-31) 4.618 提示:103×96÷16=103×(96÷16)=
=100×21 =30×100 103×6=618。
=2100 =3000 5.54 提示:138×27÷69=138÷69×27=2×
例3 (1)4200÷25÷4 (2)360÷(40×3) 27=54。
=4200÷( )
25×4 =360÷40÷3 二、158×61÷79=158÷79×61=2×61=122
=4200÷100 =9÷3 200÷(25÷4)=200÷25×4=8×4=32
=42 =3 54×102=54×(100+2)=54×100+54×2
(3)372÷90×30 (4)570×16÷30 =5508
=372÷(90÷30) =570÷30×16 173×99=173× (100-1) =17300-173
=372÷3 =19×16 =17127
=124 =304 75×27+75×73=75×(27+73)=75×100
[同步精练] =7500
510÷15÷17 660÷121×11 3200÷25÷4=3200÷(25×4)=3200÷100
=510÷17÷15 =660÷(121÷11)
=32
=30÷15 =660÷11 47000÷125=47×(1000÷125)=47×8=376
=2 =60 127×101=127× (100+1)=12700+127
=12827
165
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4500÷54×6=4500÷(54÷6)=4500÷9=500 (2)和为30:
(810-45)÷9=810÷9-45÷9=90-5=85
5×16+16×75=16×(5+75)=16×80=1280
55×8-8×25=8×(55-25)=8×30=240
123×101=123× (100+1)=12300+123
=12423
15×63+63×85=63×(15+85)=63×100
=6300 2.
第六讲 方向与位置(有趣的数阵图)
例1 本题可以有以下四个基本解:
例3
[同步精练]
1.
[同步精练] 2.
1.
例4
2.
[同步精练]
1.本题有多解,下面是其中的一个解:
例2
[同步精练]
1.(1)和为22: 2.
166
参 考 答 案
●小 ●学 ●四 ●年 ●级
练 习 卷 [同步精练]
21978
1. 1.× 4 提示:因为五位数乘4,结果仍为
87912
五位数,所以“海”不超过2,又因为“海”是“水”×4
的个位数字,所以“海”=2,从而“水”=8,又因为
“上”为“来”×4+3的个位数字,且“上”不超过2,所
2. 3. 以“上”=1,此时“来”=2或7,检验知“来”=7,从而
“自”=9,即21978×4=87912。
504
2.× 3 提示:4×B 个位数只能为0、2、4、6、8
1512
4. 中的某一个,所以D 只能在0、2、4、6、8中取。若D=
0时,则B=5,C=2,此时A×5=10+A,则A 非整
数,即A 不存在;若D=2,则B=3或B=8,当B=3
时,C=1,A=5满足条件;当B=8,C=3时,A 无解;
5. 6. 若D=4,则B=1或B=6,当B=1,C=0时,结果应
为三位数,与已知结果矛盾,假设不成立;当B=6,
C=2时,A=2有解,但此时A=C=2,与题设矛盾,
不成立;若D=6,则B=4或B=9,当B=4,C=1
时,A 无解;当B=9,C=3时,A 无解;若D=8,则
7. 8. B=2或B=7,当B=2时,C=0时,A 无解;当B=7
时,C=2时,A 无解,即504×3=1512。
2178
3.× 4 提示:四位数乘4不进位,所以A=
8712
9.
1或A=2;且A 为D×4的个位,所以A=2,从而D
=8,故由B×4不进位,故知B 不超过2,从而B=0
或B=1,经 检 验 得 B =1,C=7。即 2178×4
=8712。
例2 解: 1 6
1 2)1 9 2
1 2
7 2
7 2
第七讲 除法(算式谜) 0
[同步精练]
例1 解:“咚”只能在1、5、6中取,当“咚”为1时,则
1 6 3 4 3 5
“咕”为0,满足条件,此时算式为:11×101=1111。 3 9)6 2 4 2 5)8 5 0 2 4)8 4 0
若“咚”为5或6,则“咚咚”乘“咚咕咚”超过了四 3 9 7 5 或 7 2
2 3 4 1 0 0 1 2 0
位数,与结果是四位数相矛盾,所以“咚”不等于5、6。 2 3 4 1 0 0 1 2 0
因此,正确算式为:11×101=1111。 0 0 0
167
同步奥数培优
TongbuAoshuPeiyou
例3 解:55×99=5445 答:中间的6个站一共有21人上车,30人下车。
答:新=5,春=9,年=4。 (2)第6站0人上车,第3站0人下车。
[同步精练] 答:中间的6个站,第6站没有人上车,第3站
1.44×77=3388 清=4 楚=7 明=3 白 没有人下车。
=8 [同步精练]
2.990+220=1210 想=9 看=0 算=2 1.(1)900 500 (2)四 (3)220
边=1 2.(1)170 136
3.648-513=135 难=5 解=1 题=3 (2)3月26日借出最多,3月18日还入最多。
练 习 卷 (3)借出的多,相差70本。
例3 方法一,可以用数轴表示:
1. 1 4 5 3 8 6 2. 1 0 9 0
× 3 - 9 9 9
4 3 6 1 5 8 9 1
3. 8 7 8 7
- 8 9 8 方法二,可以用算术方法计算。
7 8 8 9 青海湖海拔:+3193米 死海海拔:-400米
2 4 4 7 它们 相 差:3193- (-400)=3193+400=
4.4 3)1 0 3 2 3 8)1 7 8 9 3593(米)
8 6 1 5 2 答:青海湖与死海的海拔相差1 7 2 2 6 9 3593
米。
1 7 2 2 6 6 [同步精练]
0 3 1.500米
5. 5 4 2.2℃ -3℃
× 5 6 例4 (1)第4天
3 2 4 ()
2 7 0 2
3 0 2 4 第一天 第二天 第三天 第四天
6. 1 2 每天爬的 白天 晚上 白天 晚上 白天 晚上 白天 晚上
1 6)1 9 2 高度(米) +4 -2 +4 -2 +4 -2 +4
1 6
3 2 实际爬到的 +2 +4 +6 +10
3 2 高度(米)
0
[同步精练]
第八讲 生活中的负数 1.比原来多,多7人
例1 李明在这次测试中得89分,应记作-1分;周 2.不合适,因为巴黎时间是凌晨3时。
方在这次测试中得98分,应记作+8分。 3.分析:可以用列表的方法解答,也可以用计算
[同步精练] 的方法解答。
1.高9分 低18分 -2分 解:方法(一)列表如下:
2.A 第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第8天第9天 第10天
3.(1)17吨 白 晚 白 晚 白 晚 白 晚 白 晚 白 晚 白 晚 白 晚 白 晚 白 晚每天
爬的 天 上 天 上 天 上 天 上 天 上 天 上 天 上 天 上 天 上 天 上
(2) 高度
(米)+5-3+5-3+5-3+5-3+5-3+5-3+5-3+5-3+5-3+5
一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份 平均用水 实际
爬到 +2 +4 +6 +8 +10 +12 +14 +16 +18 +23
-2吨 +3吨 +1吨 -3吨 -1吨 +2吨 0吨 的高度(米)
例2 (1)上车人数:8+2+4+1+6+0=21(人) 方法(二) (23-5)÷(5-3)+1=10(天)
下车人数:3+4+0+7+9+7=30(人) 答:蜗牛在第10天爬到井口。
168
参 考 答 案
●小 ●学 ●四 ●年 ●级
[同步精练]
练 习 卷
1.(1)全部涂红色。 (2)可以涂1个红色,其他的
1.解:(1)(628+624+627+638+637+632)÷6= 球涂别的颜色。
631(米) (2)用正负数表示各小组的测量值与平均值 (3)可以涂1个红色,其他的涂绿色。
的差,如下表: (4)不涂红色。
组别 一 二 三 四 五 六 2.可以放2个红球,再放4个别的颜色的球。
长度(厘米) 628 624 627 638 637 632 3
3.
与平均值的 8
-3 -7 -4 +7 +6 +1
差(厘米) 练 习 卷
(3)根据测量值与平均值的差值越小越准确,第一、
、 二 三名分别是第六组、第一组、第三组。 一、 5 3
2 4 4 6 1
1.8 8 2.
(1)10
()
10 210 10 3.6
2.解:(1)这辆车在中间第4站没有人下车;第3站
2 1 2 6 4 6
和第7站没有人上车;第5站上、下车的人数相等。 4.6 5.54 108 6.6 7.10 8.12 10 12
(2)答案不唯一,如:终点站有17人下车等。
1 4
3.解:(1)太空人升空前3小时在吃饭。(2)火箭升 9.2 10.7
空后2小时,太空人让火箭自动控制速度。(3)太空人 二、略
的两餐相隔7小时。 三、1.画1个红球,7个别的颜色的球
4.解:(1)“+11米”表示向前跑了11米,“-10米” 画5个绿球,3个别的颜色的球
表示又向后跑了10米。(2)这位守门员向前跑了3次, 画4个黄球和4个别的颜色的球。
向后跑了4次。(3)答案不唯一,如:守门员最终的位置 2.(1)3 4
离起点有4米等。 (2)无法确定
5. (3)不公平,点数大于3算小松赢,点数不大于3算
城市 深圳 广州 天津 上海 江西 哈尔滨 小亭赢。
最高气温(℃) 20 22 8 5 9 -1 3.红球装3个,绿球装5个,黄球装4个。
最低气温(℃) 15 16 -3 -1 3 -13 第十讲 排列组合(二)
温差(℃) 5 6 11 6 6 12
例1 从甲地到乙地共有4+2+3=9(种)方法。
第九讲 可能性(用分数表示可能性的大小) [同步精练]
1 1.根据挂信号旗的面数可以将信号分为两类。第例1 6 一类是只挂一面信号旗,有红、黄、蓝3种;第二类是挂
[同步精练] 两面信号旗,有红黄、红蓝、黄蓝、黄红、蓝红、蓝黄6种。
1 1 1 1 所以一共可以表示出不同的信号有3+6=9(种)。1.2 2 2.54 54 2.(1)从书架上任取1本书,有3类办法:第1类办
例 2 42 法是从第1层取1本计算机书,有4种方法;第2类是6 6
从第2层取1本文艺书,有3种方法;第3类办法是从[同步精练]
第3层取1本体育书,有2种方法。根据分类计数原
6 4 1 4 6 4
1.10 10 2.54 54 3.10 10 理,不同取法的种数是4+3+2=9(种),所以,从书架上
例3 绿球 8个 任取1本书,有9种不同的取法。
[同步精练] (2)从书架的第1、2、3层各取1本书,可以分成3
1.2个 2.2 8 3.2 4 个步骤完成:第1步从第1层取1本计算机书,有4种
例4 (1)●●●○○○○○○ 方法;第2步从第2层取1本文艺书,有3种方法;第3
(2)●●○○○○○○○○○○ 步从第3层取1本体育书,有2种方法。根据分步计数
(3)●●●●○○○○ 原理,从书架的第1、2、3层各取1本书,不同取法的种
169
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TongbuAoshuPeiyou
数是4×3×2=24(种)。所以,从书架的第1、2、3层各 有4种方法。故由乘法原理,共有不同的投法4×4
取1本书,有24种不同的取法。 ×4=64(种)。
3.2+3+1=6(种) 3.先看组成的四位数,千位上有4个数字可选
例2 8×7÷2=28(次) 择,百位上有3个数字可选择,十位上有2个数字可
[同步精练] 选择,个位上有1个数字可选择,共有4×3×2×1=
1.从A 村经B 村去C 村有2步,第一步,由A 村 24(个)。
去B 村有2种方法;第二步,由B 村去C 村有3种方 练 习 卷
法,所以从A 村经B 村去C 村共有2×3=6(种)不同
的方法。 一、1.30 15 提示:把6个火车站看作一条线段
2.从3名工人中选1名上白班和1名上晚班,可 (包括两个端点)的6个点,共有5×6÷2=15(条)线
以看成是经过先选1名上白班,再选1名上晚班两个步 段,要准备15×2=30(种)不同的车票,由于同样路
骤完成,先选1名上白班,共有3种选法;上白班的工人 程,火车票价相同,所以其中票价不同的火车票有
选定后,上晚班的工人有2种选法。根据分步计数原 15种。
理,不同的选法数是3×2=6(种),6种选法可以表示 2.120 提示:6×5×4=120(种)。
如下: 3.66 提示:12×11÷2=66(种)。
白班 晚班 4.60 提示:最高位有5个数字可选择,十位有
甲 乙 4个数字可选择,个位有3个数字可选择。共有5×
甲 丙 4×3=60(个)没有重复数字的三位数。
乙 甲 5.54000 提示:30×40×45=54000(种)。
乙 丙 6.24 提示:由于只有排数的限制,所以有4×
丙 甲 3×2×1=24(种)排法。
丙 乙 7.66 提示:12×11÷2=66(场)。
所以,从3名工人中选出2名分别上白班和晚 8.56 提示:8×7×6÷(3×2×1)=56(个)。
班有6种不同的选法。 二、1.(1)从书架上任取一本书,有两种方法:第一
3.由于只有排数的限制,所以此题的结果是4 类可从6本数学书中任取一本,有6种方法;第二类
×3×2×1=24(种)排法。 可从5本语文书中任取一本,有5种方法;根据加法
例3 (1)5×4×3×2×1=120(种) 原理可得共有5+6=11(种)不同的取法。
(2)3×(4×3×2×1)=72(种)或5×4×3×2× (2)从书架上任取数学、语文书各一本,可以分
1-2×(4×3×2×1)=72(种) 成两步完成:第一步任取一本数学书,有6种方法;
[同步精练] 第二步任取一本语文书,有5种方法。根据乘法原
1.相当于从甲地到乙地有20种走法,从乙地到 理可得共有5×6=30(种)不同取法。
丙地有15种走法,从丙地到丁地有12种走法,共有 2.(1)完成从学生中任选一人去领奖这件事,只
20×15×12=3600(种)方式。 有2类办法:第一类办法,从男学生中任选一人,共
2.这是可重复排列的例子。对于第一个学生来 有5种不同的方法;第二类办法,从女学生中任选一
说他有3种选择,对于第二个学生来说也有3种选 人,共有4种不同的方法;所以,根据加法原理,得到
择,第三个学生和第四个学生都有3种选择。由乘 不同选法种数共有5+4=9(种)。
法原理可知,共有3×3×3×3=81(种)分配方法。 (2)完成从学生中任选男、女各一人去参加座谈
3.6×4×3=72(种) 会这件事,需分2步完成:第一步,选一名男学生,有
例4 8×7÷2×2=56(种) 5种方法;第二步,选一名女学生,有4种方法。所
[同步精练] 以,根据乘法原理,得到不同选法种数共有5×4=
1.共有14个车站,即有14个点,14×13÷2×2 20(种)。
=182(种)。 3.20×(20-1)÷2=190(次)
2.若投一封信看作一个步骤,则完成投信的任 4.2×3+4×2=14(种)
务可分三步,每封信4个邮筒都可投,即每个步骤都 5.这是一个分组的问题,从四个数中任取两个,
170
参 考 答 案
●小 ●学 ●四 ●年 ●级
得出一个乘积,它与两个数取出的顺序无关,共有 80×8=640(件)(一天记8小时,8个一份为
4×3÷(2×1)=6(种)。 640件)
6.(1)第一题是个组合问题,列式:5×4×3÷ 答:一天生产640件产品。
(3×2×1)=10(种)。 2.解:15÷3×7=35(千米)
(2)这是一个排列问题,列式:3×2×1=6(种)。 答:7小时行35千米。
7.因为一天中乘火车有3种走法,乘汽车有 3.解:21÷3×9=63(吨)
2种走法,每一种走法都可以从甲地到乙地,所以,共 答:9次可运货63吨。
有3+2=5(种)不同的走法。 例2 分析:先求15天是3天的几倍
8.相当于把另外5个人看成5个数,从最高位 15÷3=5
到最低位排下去,共有5×4×3×2×1=120(种)。 再求175亩的5倍是多少亩
9.(1)因为从3种书中任取一本,有取法:3+5 175×5=875(亩)
+6=14(种)。 解: 175×(15÷3)
(2)3×5×6=90(种) =175×5
10.这里五面不同颜色的小旗就是五个不同的 =875(亩)
元素,三面小旗表示一种信号,就是有三个位置。我 答:15天可以耕地875亩。
们的问题就是要从五个不同的元素中取三个,排在 [同步精练]
三个位置。由于信号不仅与旗子的颜色有关,而且 1.分析:先求出160亩是40亩的几倍
与不同旗子所在的位置也有关,所以是排列问题,列 160÷40=4
式为:5×4×3=60(种)。 再求耕160亩地需要多少台同样的拖拉机
11.两次的数字之和是偶数可以分为两类,即两数 3×4=12(台)
都是奇数,或者两数都是偶数。因为骰子上有三个奇 解: 3×(160÷40)
数,所以两数都是奇数的有3×3=9(种)情况,同理,两 =3×4
数都是偶数的也有9种情况。根据加法原理,两次出现 =12(台)
的数字之和为偶数的情况有9+9=18(种)。 答:需要12台同样的拖拉机。
12.4×6=24(种) 2.解:方法一:先求出每吨煤可炼出多少千克焦
13.分析:(1)中,从两个口袋中只需取一个小 炭,再求出剩下的煤可以炼多少千克焦炭:
球,则这个小球要么从第一个口袋中取,要么从第二 9750÷13×(52-13)
个口袋中取,共有两大类方法。所以是加法原理的 =750×39
问题。 =29250(千克)
(2)中,要从两个口袋中各取一个小球,则可看 方法二:
成先从第一个口袋中取一个,再从第二个口袋中取 用倍比法解:先求出52吨里有几个13吨,然后
一个,分两步完成,是乘法原理的问题。 去掉已炼的一个13吨,得:
解:(1)从两个口袋中任取一个小球共有3+8= 9750×(52÷13-1)
11(种)不同的取法。 =29250(千克)
(2)从两个口袋中各取一个小球共有3×8= 答:剩下的煤可以炼出29250千克焦炭。
24(种)不同的取法。 3.解:6000÷3=2000(千克)(归结到1小时磨
大豆多少千克)
第十一讲 归一问题 30000-6000=24000(千克)(还余下多少千克
例1 解:1小时=60分钟 大豆)
12×(60÷6)=12×10=120(分米)=12(米) 24000÷2000=12(小时)(余下的数量中包含多
或12÷6×60=2×60=120(分米)=12(米) 少个单一量)
答:小蜗牛1小时爬行12米。 答:磨完余下的大豆还要12小时。
[同步精练] 注:要经过两步或是两步以上的运算才能求出
1.解:240÷3=80(件)(归一到一份为80件) “单一的量”,这种情况的题目叫做复杂归一问题。
171
同步奥数培优
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其中用两步运算求出“单一的量”的题目,也叫“两次 2.分析:(1)修这条公路共需要多少个劳动日(总
归一问题”。 量)
例3 分析:以一根钢轨的质量为单一量。 60×80=4800(劳动日)
(1)一根钢轨重多少千克 (2)60人工作20天后,还剩下多少劳动日
1900÷4=475(千克) 4800-60×20=3600(劳动日)
(2)95000千克能制造多少根钢轨 (3)剩下的工程增加30人后还需多少天完成
95000÷475=200(根) 3600÷(60+30)=40(天)
解:95000÷(1900÷4)=200(根) 解:(60×80-60×20)÷(60+30)=40(天)
答:可以制造200根钢轨。 答:再用40天可以完成。
[同步精练] 3.分析:要想求增加同样卡车多少辆,先要求出
1.分析:从甲地到乙地的路程是一定的,以路程 一共需要卡车多少辆;要求5趟运完560吨沙土,每
为总量。 趟需多少辆卡车,应该知道一辆卡车一趟能运多少
(1)从甲地到乙地的路程是多少千米 吨沙土。
60×5=300(千米) 一辆卡车一趟能运多少吨沙土
(2)4小时到达,每小时需要行多少千米 336÷6÷7=8(吨)
300÷4=75(千米) 560吨沙土,5趟运完,每趟必须运走几吨
(3)每小时多行多少千米 560÷5=112(吨)
75-60=15(千米) 需要增加同样的卡车多少辆
解:(60×5)÷4-60=15(千米) 112÷8-7=7(辆)
答:每小时需要多行15千米。 解:560÷5÷(336÷6÷7)-7=7(辆)
2.分析:(1)工程总量相当于1个人工作多少 答:需增加同样的卡车7辆。
小时
练 习 卷
15×8=120(小时)
(2)12个人完成这项工程需要多少小时 一、1.630 提示:210÷3×9=630(千米)或(9÷3)
120÷12=10(小时) ×210=630(千米)。
解:15×8÷12=10(小时) 2.24 提示:8÷2×(2+4)=24(千米)或8÷2
答:12人需10小时完成。 ×4+8=24(千米)。
3.解: 240÷(72÷3÷4×5) 3.7 提 示:(5000-1500)÷(1500÷3)=
=240÷30 7(小时)或5000÷(1500÷3)-3=7(小时)。
=8(小时) 4.4 提示:24÷(18÷3)=4(行)。
答:需要8小时。 5.5 提示:55÷(44÷4)=5(小时)。
1 6.8 提示:4800÷(1800÷3)=8(小时)。例4 解: 360÷8÷3×(8× )×(2 3+5
)
二、1.75÷5×14=210(亩)
=15×4×8 2.8100÷(2700÷3)=9(天)
=480(个) 3.27×(8÷4)=54(个)
答:可制作机器零件480个。 4.5000÷5÷8×7×24=21000(千克)
[同步精练] 5.60÷(45÷3)+3=7(次)
1.分析:以1头奶牛1天产的牛奶为单一量。 6.60÷(3-1)×(6-1)=150(秒)
(1)1头奶牛1天产奶多少千克 7.分析:先求出1台拖拉机1小时耕地多少亩,
630÷5÷7=18(千克) 再求5台拖拉机7小时耕地多少亩
(2)8头奶牛15天可产牛奶多少千克 解: 72÷3÷4×5×7
18×8×15=2160(千克) =6×5×7
解:(630÷5÷7)×8×15=2160(千克) =210(亩)
答:可产牛奶2160千克。 答:5台拖拉机7小时耕地210亩。
172
参 考 答 案
●小 ●学 ●四 ●年 ●级
8.解: 20÷5÷2×6×3 =1680(个)
=2×6×3 (2) 6300÷[600÷5÷4×(4+3)]
=36(棵) =6300÷(30×7)
答:6个人3小时植树36棵。 =30(小时)
9.分析:通过3小时磨6000千克,可以求出1 答:(1)8小时可以生产1680个零件。
小时磨面粉数量。问题求磨完剩下的要几小时,所 (2)如果要生产6300个零件,30小时可以完成。
以剩下的量除以1小时磨的数量,便得问题答案。 13.分析:此题的关键是要先求出工程的总工时
解:(20000-6000)÷(6000÷3)=7(小时) 数8×30×45=10800(小时)及实际每天做工时数
答:磨完剩下的面粉还要7小时。 10×54=540(小时)。
10.解: 5×40÷(5-1) 解: 45-8×30×45÷(10×54)
=200÷4 =45-10800÷540
=50(天) =45-20
答:这批煤可以用50天。 =25(天)
11.分析1:已知条件告诉我们:“在相同时间内 答:可以提前25天完工。
甲打字2450个,乙打字2050个。”既然知道了“时间 14.分析:以1辆卡车1趟运的沙土为单一量。
相同”,问题就容易解决了。题目里还告诉我们: (1)1辆卡车1趟运沙土多少吨
“甲、乙二人4小时共打字3600个。”这样可以先求 336÷4÷7=12(吨)
出“甲、乙二人每小时打字个数之和”,就可求出所用 (2)5趟运走420吨沙土需卡车多少辆
时间了。 420÷12÷5=7(辆)
解法1:①甲、乙二人每小时共打字个数:3600÷ (3)需要增加多少辆卡车
4=900(个) 7-4=3(辆)
②“相同时间”是:(2450+2050)÷900=5(小 解:420÷(336÷4÷7)÷5-4=3(辆)
时) 答:需要增加同样的卡车3辆。
③甲打 字 员 每 小 时 打 字 的 个 数:2450÷5= 与归一问题类似的是归总问题,归一问题是找
490(个) 出“单一量”,而归总问题是找出“总量”,再根据其他
④乙打 字 员 每 小 时 打 字 的 个 数:2050÷5= 条件求出结果。所谓“总量”是指总路程、总产量、工
410(个) 作总量、物品的总价等。
答:甲打字员每小时打字 490个,乙打字员每小 15.分析:这样想,要求“现在增加同样的卡车8
时打字410个。 辆,一次能运货物多少吨 ”就必须先求出每辆卡车
分析2:这道题的已知条件可以分两层。第一 每次能运货物多少吨和现在一共有多少辆卡车,根
层,甲、乙二人4小时共打字3600个;第二层,在相 据“24辆卡车一次能运货216吨”,可以求出每辆卡
同时间内甲打字2450个,乙打字2050个,由这两个 车每次能运货的吨数:216÷24=9(吨),根据原来有
条件可以求出在相同的时间内,甲、乙二人共打字 24辆卡车及现在增加同样的卡车8辆,可以求出现
2450+2050=4500(个);打字3600个用4小时,打 在一共有多少辆卡车:24+8=32(辆),最后根据“每
字4500个用几小时呢 先求出4500是3600的几 辆卡车每次能运货9吨”及“现在一共有32辆卡车”
倍,也一定是4小时的几倍,即“相同时间”。 可以求出现在一次能运货物多少吨。
解法2:①“相同时间”是:4×[(2450+2050)÷ 解: 216÷24×(24+8)
3600]=5(小时) =216÷24×32
②甲每小时打字个数:2450÷5=490(个) =288(吨)
③乙每小时打字个数:2050÷5=410(个) 答:一次能运货288吨。
答:甲 每 小 时 打 字 490 个,乙 每 小 时 打 字
410个。
第十二讲 年龄问题
12.解:(1) 600÷5÷4×(4+3)×8 例1 解:小华:27÷(4-1)=9(岁)
=30×7×8 妈妈:9×4=36(岁)
173
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[同步精练] (2)相当于若干年后弟弟年龄2倍的数是:40-
1.分析:同学们都清楚,无论小军多少岁时,他 4=36(岁)
爸爸都比他大(34-8)岁,即26岁。当他爸爸的年 (3)当姐弟俩岁数的和是40岁时,弟弟的年龄
龄正好是他的3倍时,爸爸的年龄比他大3-1= 是:36÷2=18(岁)
2倍,这时他爸爸比他大的岁数仍然是26岁,这个差 (4)当姐弟俩岁数的和是40岁时,姐姐的年龄
是不变的。我们抓住这个差倍,就可以应用前面刚 是:18+4=22(岁)
学过的“差倍”问题的解法求出那时小军的年龄。 解法1:
(1)爸爸现在的年龄比小军现在的年龄多:34- 弟弟: [40-(13-9)]÷2
8=26(岁) =(40-4)÷2
(2)爸爸的年龄正好是小军的3倍时,爸爸年龄 =36÷2
比小军大的倍数是:3-1=2 =18(岁)
(3)爸爸的年龄正好是小军的3倍时,小军的年 姐姐: 18+(13-9)
龄是:26÷2=13(岁) =18+4
解: (34-8)÷(3-1) =22(岁)
=26÷2 答:当姐弟俩岁数的和是40岁时,姐姐22岁,
=13(岁) 弟弟18岁。
答:小军13岁时,爸爸的年龄正好是他的3倍。 分析2:不管经过多少年,姐弟俩年龄的差都是
2.儿子今年10岁,5年前的年龄为10-5= 13-9=4(岁)。如果用40岁加上姐弟俩年龄的差
5(岁),那么5年前母亲的年龄为5×6=30(岁),因 再除以2,就得到所求的姐姐的年龄;再用所得的姐
此母亲今年是:30+5=35(岁)。 姐的年龄数减去4就得到所求的弟弟的年龄数。
3.20÷(3-1)=10(岁) 10-1=9(岁) 解法2:
例2 解:(72-12)÷(4-1)=60÷3=20(岁) 姐姐: [40+(13-9)]÷2
答:孙子20岁时,爷爷的年龄是他的4倍。 =(40+4)÷2
[同步精练] =44÷2
1.(35-10)÷(6-1)=5(岁) 10-5=5(年), =22(岁)
(35-10)÷(2-1)=25(岁) 25-10=15(年) 弟弟: 22-(13-9)
2.30÷(3-1)=15(岁) (15-1)+30= =22-4
44(岁) =18(岁)
3.32÷(5-1)=8(岁) 8-3=5(岁) 答:当姐弟俩岁数的和是40岁时,姐姐22岁,
例3 8+14=22(岁) 40-22=18(岁) 18÷2= 弟弟18岁。
9(年) 例4 解:王军父亲年龄应是王军的3倍,12年后应
[同步精练] 是王军的3倍少12×(3-1)=24(岁),又由已知王
1.解:小强年龄: [47-(11+16)]÷2+11 军父亲12年后的年龄是王军的2倍,所以王军12年
=(47-27)÷2+11 后的年龄应为:24÷(3-2)=24(岁)
=21(岁) 王军现在年龄为:24÷2=12(岁)
哥哥年龄:47-21=26(岁) 王军父亲现在年龄为:12×3=36(岁)
答:当兄弟两个年龄和是47岁时,哥哥26岁, 答:王军12岁,王军父亲36岁。
小强21岁。 [同步精练]
2.解:今年兄弟年龄和:29-4×2=21(岁) 1.分析:这实际上是一道差倍应用题。你能根
弟弟今年年龄:21÷(1+2)=7(岁) 据题目条件分析出张老师比王兵大多少岁吗 好好
哥哥今年年龄:7×2=14(岁) 动一下脑筋,想一想。
答:哥哥今年14岁,弟弟今年7岁。 解:因为张老师7年前的年龄和王兵9年后的
3.分析1:(1)姐姐比弟弟大的岁数是:13-9= 年龄相等,所以张老师 的 年 龄 比 王 兵 大9+7=
4(岁) 16(岁)。
174
参 考 答 案
●小 ●学 ●四 ●年 ●级
又因为张老师的年龄比王兵的年龄的3倍少 6.6
4岁,所以16岁相当于王兵年龄的2倍少4岁,所以 7.31 9
王兵的年龄为:(16+4)÷2=20÷2=10(岁) 二、1.分析:两人的年龄差为35-7=28(岁),根据
张老师年龄为:10×3-4=30-4=26(岁) 年龄差不变,当妈妈的年龄是小红的3倍时,两人年
答:张老师26岁,王兵10岁。 龄仍相差28岁,利用差倍应用题的方法可求出两人
2.解:一家人年龄的和今年与10年前比较增加 的年龄是多少,再求出今年和几年后的年龄差,即为
了72-44=28(岁),而如果按照三人计算10年后应 经过的年数。
增加3×10=30(岁),只能是小芬少了2岁,即小芬 解:(35-7)÷(3-1)-7=28÷2-7=14-7=
8年前出生,今年是8岁,今年父亲:(72-8+4)÷2 7(年)
=34(岁),今年母亲:34-4=30(岁) 答:7年后,妈妈的年龄是小红的3倍。
答:今年小芬8岁,爸爸34岁,妈妈30岁。 2.分析:由已知条件可知,今年父亲比女儿大
3.解:母女年龄差:10+16=26(岁) 49-23=26(岁),当几年前父亲的岁数是女儿的
今年女儿的年龄:26÷(2-1)=26(岁) 3倍时,父亲与女儿年龄的差仍然是26岁。抓住这
今年妈妈的年龄:26×2=52(岁) 个“差”与“倍”就可以根据“差倍”问题的解法分别求
答:今年妈妈52岁,女儿26岁。 出那时父亲和女儿的年龄;再用现在女儿的年龄数
减去那时女儿的年龄数,就可以求出是几年前的年
练 习 卷
数(也可以用现在父亲的年龄数减去那时父亲的年
一、1.5 35 提示:今年冬冬与爸爸的年龄和为 龄数)。
40岁,2年前,两人的年龄各少2岁,所以2年前两 (1)父亲比女儿大的年龄是:49-23=26(岁)
人年龄和为:40-2×2=36(岁),且爸爸的年龄是冬 (2)几年前父亲的岁数是女儿的3倍时,父亲的
冬年龄的11倍。根据和倍应用题的特征,可分别求 岁数比女儿大的倍数是:3-1=2
出冬冬和爸爸2年前的年龄,再求出现在他们两人 (3)几年前父亲的岁数是女儿的3倍时,女儿的
的年龄。 岁数是:26÷2=13(岁)
冬冬:(40-2×2)÷(11+1)+2=36÷12+2= (4)几年前父亲的岁数是女儿的3倍
3+2=5(岁) 23-13=10(年)
爸爸:40-5=35(岁) 解: 23-(49-23)÷(3-1)
2.9 28 =23-26÷2
3.4 提示:由于奶奶和孙女年龄增长的岁数都 =23-13
是相等的,当奶奶的年龄等于孙女年龄的4倍时,奶 =10(年)
奶年龄比孙女年龄大4-1=3(倍),但奶奶比孙女大 或 49-(49-23)÷(3-1)×3
的岁数仍然是64-13=51(岁),其年龄的差仍不变。 =49-26÷2×3
抓住这个差倍,就可以利用“差倍”问题的解法求出 =49-39
那时孙女的年龄,再减去孙女原来的年龄,就可以求 =10(年)
出所求的问题。 答:10年前父亲的岁数是女儿的3倍。
(1)奶奶现在的年龄比孙女大的岁数是:64-13 3.分析:请同学们思考一下,三年前父女年龄之
=51(岁) 和为49岁,那么今年父女年龄之和为多少岁呢 是
(2)奶奶的年龄等于孙女年龄的4倍时,奶奶年 49+3=52(岁)吗 显然不对。因为这三年父亲年
龄比孙女大的倍数是:4-1=3 龄增加了3岁,女儿的年龄也增加了3岁,所以父女
(3)奶奶的年龄等于孙女年龄4倍时,孙女的年 俩今年年龄之和应该为49+3×2=55(岁),再由已
龄是:51÷3=17(岁) 知条件就容易求出父亲和女儿分别有多少岁。
(4)孙女17岁时应该是多少年以后 17-13 解:因为三年前父女年龄之和为49岁,因此今
=4(年) 年父女年龄之和就应为49+3×2=55(岁)。
4.10 40 又因为今年父亲的年龄是女儿的4倍,所以女
5.15 儿的年龄应为55÷(4+1)=11(岁)。
175
同步奥数培优
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父亲年龄为:11×4=44(岁)。 [同步精练]
答:父亲年龄为44岁,女儿年龄为11岁。 1.15÷4=3……3→梨 20÷4=5→梨
4.分析:这道题不需要求出10年以后,姐姐多 2.30÷4=7……2→☆
少岁,弟弟多少岁。根据题意,弟弟今年8岁,姐姐 3.(50-5)÷4=11……1→黑
13岁,那么姐姐今年比弟弟大13-8=5(岁),因为 例2 解:144÷12=12(正好有12个周期)
不管经过多少年,姐姐和弟弟的年龄差总是不变的, 答:第144个珠子是黑色的。
所以,10年以后,姐姐比弟弟还是大5岁。13-8= [同步精练]
5(岁) 1.840÷(3+2+1)=140 140×1=140(个)→
解:13-8=5(岁) 黑珠 72÷6=12→黑色
答:10年后姐姐比弟弟大5岁。 2.90÷(4+3+5+2)=6……6→绿花 红花:
5.解:38-10=28(岁),28÷(5-1)=7(岁), 4×6+4=28(朵) 绿花:3×6+2=20(朵) 黄花:
10-7=3(年)。 5×6=30(朵) 紫花:2×6=12(朵)
答:3年前父亲年龄是儿子的5倍。 3.180÷(4+2+3)=20 红:4×20=80(个)
6.解:小强:(25-3)÷2=22÷2=11(岁) 黄:2×20=40(个) 蓝:3×20=60(个)
小刚:11+3=14(岁) 例3 解:12种动物的周期循环顺序为鸡、狗、猪、
答:今年小刚14岁,小强11岁。 鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴。
7.解:爸爸与小明年龄差:34-6=28(岁) 2023÷12=168……7
爸爸年龄是小明年龄的3倍时,小明的年龄: 答:2023年是兔年。
28÷(3-1)=14(岁) [同步精练]
答:当小明14岁时,爸爸年龄是小明年龄的 1.分析:一共有12种动物,因此12为一个循
3倍。 环,为了便于思考,我们把狗、猪、鼠、牛、虎、兔、龙、
8.解:姐妹年龄差:22-15=7(岁) 蛇、马、羊、猴、鸡看作一个循环,从公元2年到公元
几年前妹妹年龄:7÷(2-1)=7(岁) 2021年共经历了2020年(算头不算尾),2020÷12=
几年前,姐姐年龄是妹妹的2倍 15-7= 168……4,从狗年开始往后数4年,公元2021年是
8(年) 牛年。
答:8年前,姐姐年龄是妹妹的2倍。 解:2020÷12=168……4
9.解:今年母女年龄的和:62-5×2=52(岁) 答:公元2021年属牛年。
5年前母女年龄的和:52-5×2=42(岁) 2.分析:先算出2021年1月1日到2021年
5年前妈妈的年龄:42÷(5+1)×5=35(岁) 10月1日一共是多少天。1月份、3月份、5月份、
今年妈妈的年龄:35+5=40(岁) 7月份、8月份都是31天,4月份、6月份、9月份都是
答:妈妈今年40岁。 30天,2月份是28天,一共是31×5+30×3+28=
10.分析:几年前,两人年龄相差2-1=1倍,根 273(天)。
据年龄差不变,现在两人年龄仍相差1倍数,现在小 算法一,因为每7天是一个循环,1月1日是星
张年龄等于几年前小王的年龄,等于2倍数,所以现 期五,我们可以从星期五开始算周期,这个循环就是
在小王年龄是2+1=3倍,而今年两人年龄和是 五、六、日、一、二、三、四共7天。1月1日到10月1
60岁,所对应的倍数是2+3=5倍。根据和倍应用 日一共是273+1=274(天)。274÷7=39……1,余
题的方法可以解答。 1,所以从周期的开始数第1个,即为星期五。
解:60÷(2+3)=60÷5=12(岁) 算法二,因为每7天是一个循环,1月1日到
小张:12×2=24(岁) 10月1日共经过273天,(经过的天数算头就不算
小王:12×3=36(岁) 尾)273÷7=39,正好能整除,所以还是星期五。
答:今年小王36岁,小张24岁。 解:方法一: 31×5+30×3+28+1
=155+90+29
第十三讲 周期问题 =274(天)
例1 解:80÷3=26……2,黑球 274÷7=39……1
176
参 考 答 案
●小 ●学 ●四 ●年 ●级
答:10月1日是星期五。 答:39应排在第10个循环的第3个字母C下
方法二: 31×5+30×3+28 面,88应排在第22个循环的第4个字母D下面。
=155+90+28 8.分析:这一组图形的排列规律是一个△、一个
=273(天) ○、一个□依次重复出现,每三个图形可以看作一个
273÷7=39。 周期,或者说每三个图形看作一组。第30个图形,
答:10月1日是星期五。 也就是有30个图形,每3个一组,可以分成多少组
3.分析:分针在钟面上旋转一圈,时间过去1小 呢 30÷3=10(组),正好能整除,也就是正好分成
时,24小时是1天,只要根据求2023小时里面含有 10组,最后一个图形就是每个循环的最后一个图形,
几个24小时所得的余数来判断就能解决问题。值 即□。第100个图形,也就是有100个图形,可以分
得提醒的是余数是7,不能表示是7点,它代表是从 成100÷3=33……1,分成了33组还余1。余1就从
18点之后的7小时。 循环的开始数第1个,即△。
解:2023÷24=84……7 解:30÷3=10
答:是1时。 100÷3=33……1
练 习 卷 答:第30个图形是□,第100个图形是△。
9.分析:从某个小黑点数到200正好数到大黑
一、1.(1) (2) 2.日 提示:365÷7= 点,如果反过来从大黑点逆时针数,数到200也正好
52……1(天),为星期日 3.30 4.16 5.C 25 是这个小黑点。因为大黑点是已知的,所以采用倒
25 26 26 推的方法,以大黑点作已知条件,数到200找出这个
二、1.分析:周期为27(5红、9黄、13绿),通过计算 小黑点。从大黑点开始,数一圈是12个点,把12个
可以知道249朵花里包含整数个周期还多几,多几 点作为一个循环,200÷12=16……8,所以从循环的
就是下一个周期里的第几个。 开始大黑点逆时针数到第8个小黑点即可。
解:249÷27=9……6 解:200÷12=16……8
因为249里有9个周期,还多6朵,所以,第249 答:这个小黑点是从大黑点按顺时针方向数第4
朵花是黄色的。 个小黑点。
答:最后一朵花是黄色的。 第十四讲 用假设法解题
2.26÷4=6……2→B 26÷3=8……2→5
所以,第26列为(B,5) 例1 解:方法一:(4×34-118)÷(4-2)=18÷2=
3.星期二 9(只)。
4.由题意知,10月31日肯定是星期六,由此推 兔子的只数:34-9=25(只)
断10月1日是星期四 方法二:(118-2×34)÷(4-2)=50÷2=
5.800÷15=53……5,红色 25(只)
6.分析:(1)从排列可以看出,这组数是按5、6、 鸡的只数:34-25=9(只)
2、4一个循环依次不断重复出现排列,那么一个循环 答:鸡有9只,兔子有25只。
就是4个数,由129÷4=32……1,可知有32个(5、 [同步精练]
6、2、4)还多一个数。所以第129个数是5。 1.假设笼里全部装的是鸡,共有脚2×100=
(2)每个循环各数之和是5+6+2+4=17,所 200(只),比284只脚少284-200=84(只),可求出
以,这129个数相加应是17×32+5=549。 兔的只数84÷(4-2)=42(只),鸡有100-42=58
解:(1)129÷4=32……1,第129个数是5。 (只)。
(2)(5+6+4+2)×32+5=549,这129个数之 2.本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而
和是549。 得。如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔,馍看作
7.分析:从排列情况可以知道,这些自然数是按 腿,那么就成了鸡兔同笼问题,可以用假设法来解。
从小到大4个数一个循环,我们可以根据这些数除 假设100人全是大和尚,那么共需馍300个,比
以4所得的余数来分析、判断。 实际多300-140=160(个)。现在以小和尚去换大
解:39÷4=9……3 88÷4=22 和尚,每换一个总人数不变,而馍就要减少3-1=
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2(个),因为160÷2=80(人),故小和尚有80人,大 304(元),比实际多304-280=24(元),现在用普通
和尚有100-80=20(人)。 文化用品去换彩色文化用品,每换一套少用19-11
同样,也可以假设100人都是小和尚,同学们不 =8(元),所以买普通文化用品24÷8=3(套),买彩
妨自己试试。 色文化用品16-3=13(套)。
3.分析1:假设16只都是鸡,那么就应该有2× 例3 解:买(3+2)个排球多少元 111-3×2=
16=32(只)脚,但实际上有44只脚,比假设的情况 105(元)
多了44-32=12(只)脚,出现这种情况的原因是把 每个排球多少元 105÷(3+2)=21(元)
兔当作鸡了。如果我们以同样数量的兔去换同样数 每个足球多少元 21+3=24(元)
量的鸡,那么每换一只,头的数目不变,脚的只数增 答:每个排球21元,每个足球24元。
加了2只。因此只要算出12里面有几个2,就可以 总结:同样,这道题也可以将3个排球换成3个足
求出兔的只数。 球,请你再试着做一做。
解:兔的只数:(44-2×16)÷(4-2)=6(只), [同步精练]
鸡的只数:16-6=10(只)。 1.根据题意,画出线段图
答:有6只兔,10只鸡。
分析2:我们也可以假设16只都是兔子,那么就
应该有4×16=64(只)脚,但实际上有44只脚,比假
设的情况少了64-44=20(只)脚,这是因为把鸡当
作兔了。我们以鸡去换兔,每换一只,头的数目不
变,脚数减少了4-2=2(只)。因此只要算出20里 结合图不难发现,假设4人收集的邮票都与小
面有几个2,就可以求出鸡的只数。 华一样多,只要在4人收集的总张数80张的基础上
解:鸡的只数:(4×16-44)÷(4-2)=10(只), 加上8,再加上8+14和8+14,4人就和小华同样
兔的只数:16-10=6(只)。 多,可先求出小华收集的张数:(80+8+8+14+8+
答:有6只兔,10只鸡。 14)÷4=33(张),小明收集:33-8=25(张),小乐收
例2 解:(100×3-120)÷(3-1)=90(人) 100- 集:25-14=11(张),也就是小冬收集的张数。
90=10(人) 2.假设全租大船,共要坐6×10=60(人),比42
学生共栽90×1=90(棵),老师共栽3×10= 人多60-42=18(人),由于把小船看成大船,可求出
30(棵) 小船的条数:18÷(6-4)=9(条),大船:10-9=
答:老师栽树30棵,学生栽树90棵。 1(条)。
[同步精练] 3.根据其中11名同学每人捐款10元,这11人
1.卖的茶杯比水瓶多36只,即多2×36= 一共捐款10×11=110(元),捐20元和50元的一共
72(元),共卖136元,136-72=64(元),相当于相同 捐款:1000-110=890(元),捐20元和50元的人数
数量水瓶和茶杯的价钱,把一只茶杯和一只水瓶看 一共有45-11=34(人)。假设这34人都是20元,
成一组,共要14+2=16(元),可求出水瓶个数:64÷ 一共捐款34×20=680(元),少算了890-680=
16=4(只),茶杯有36+4=40(只)。 210(元),为什么呢 是因为把50元的看成了20元
2.解:假设小明家到书店的路程为120米,则往 的,所以捐款50元的有:210÷(50-20)=7(人),捐
返一次共走了(120×2)米,对应的时间是(120÷60 20元的有34-7=27(人)。
+120÷40)分钟。 例4 解:假设全做对了。
120×2÷(120÷60+120÷40)=48(米/分) (20×5-64)÷(5+1)
答:小明平均每分钟走48米。 =36÷6
3.我们设想有一只“怪鸡”有1个头11只脚,一 =6(道)
种“怪兔”有1个头19只脚,它们共有16个头,280 20-6=14(道)
只脚。这样,就将买文化用品问题转换成鸡兔同笼 答:做对了14道题。
问题了。 [同步精练]
假设买了16套彩色文化用品,则共需19×16= 1.假设一只也没打碎,共得3×1000=3000(角),
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参 考 答 案
●小 ●学 ●四 ●年 ●级
比实际260元(即2600角)多:3000-2600=400(角),原 12(分),可先求出错的题目:48÷12=4(道),再求出
因是每打碎一只扣:3+5=8(角),共打碎花瓶:400 做对的题目:15-4=11(道)。
÷8=50(只)。 4.20 15 提示:假设35枚硬币都是1角的,
2.解:根据甲、乙、丙三人胜的场数相同,分为三 共是35角,比原来少了95-35=60(角),则5角的:
种情况:各胜0场;各胜1场;各胜2场,还可根据丁 (95-35)÷(5-1)=15(枚),1角的:35-15=
胜的场数分成三种情况:胜2场、1场、0场。 20(枚)。
解法一:根据甲、乙、丙三人胜的场数相同,可得 5.720 提示:要算出这批钢材有多少吨,需要
下面三种情况:甲、乙、丙三人各胜0场;甲、乙、丙三 知道每辆大卡车或小卡车能装多少吨。利用假设
人各胜1场;甲、乙、丙三人各胜2场。 法,假设只用36辆小卡车来装载这批钢材,因为每
假设甲、乙、丙各胜0场,丁就应该胜6场,这显 辆大卡车比每辆小卡车多装4吨,所以要剩下4×36
然不可能。 =144(吨)。根据条件,要装完这144吨钢材还需要
假设甲、乙、丙三人各胜1场,丁就应该胜3场, 45-36=9(辆)小卡车。这样每辆小卡车能装144÷
即丁胜了甲、乙和丙,与已知条件“甲胜丁”矛盾。 9=16(吨)。由此可求出这批钢材吨数为:4×36÷
假设甲、乙、丙三人各胜2场,三人胜了6场,所 (45-36)×45=720(吨)。
以丁1场也没有胜。 二、1.设全都租大船,共要坐9×6=54(人),而实际
解法二:丁共赛3场,且“甲胜丁”。 坐44人,多坐了54-44=10(人),这是由于把小船
假设丁胜2场,那么甲、乙、丙三人共胜6-2= 看成大船,每条小船多坐6-4=2(人)。可求出租小
4(场)。由于“甲、乙、丙三人胜的场数相同”,三人胜 船的条数:10÷2=5(条),从而求出租大船的条数:
的场数和应该是3的倍数,而4不是3的倍数。因 9-5=4(条)。
此这种情况是不可能的。 2.假设中班、小班都和大班分得同样多,大班比
假设丁胜1场,那么甲、乙、丙三人共胜6-1= 中班多分10个,即中班加10个就和大班一样多,小
5(场),这也不可能。 班比大班少分14个,小班加14个和大班同样多,那
答:丁1场也没胜。 就是用270+10+14=294(个),相当于3个大班分
3.假设小明全做对了,他就会得15×10= 得的个数,求出大班分的个数:294÷3=98(个),中
150(分)。现在,他得了66分,少得了150-66= 班分98-10=88(个),小班分98-14=84(个)。
84(分),每做错一道题他会少得14分,他做错了84 3.分析:这道题要求原计划制造多少件,从题目
÷14=6(道),他做对了15-6=9(道)。 的条件来看,既不知道原计划每天制造多少件,也不
知道实际每天制造多少件,所以要想按照一般的数
练 习 卷
量关系,通过分析来寻找解题线索,是一个比较困难
一、1.50 30 提示:假设全是鸡,共有脚2×80= 的问题,在这种情况下,可以用假设法来解答。
160(只),比220只脚少220-160=60(只),原因是 题目告诉我们,“原计划18天完成”,我们就假
把兔子也看成鸡 ,每只兔子看成鸡少看了4-2= 设实际生产了18天。那么,按照题目的条件“实际
2(只)脚,可求出兔的只数有:60÷2=30(只),鸡有: 每天比计划多制造50件”来计算的话,应该比原计
80-30=50(只)。 划产量多制造:50×18=900(件)。
2.18 21 提示:三轮车有3个轮子,自行车有 根据题意,制造12天,就比原计划产量多制造
2个轮子,假设39辆全是三轮车,共有轮子39×3= 240件,这样一来,我们就得到了两个数量的相差数,
117(个),比96个多117-96=21(个),这是由于把 即制造的天数相差了18-12=6(天)。制造的件数
自行车看成三轮车,每辆车多看一个轮子造成的,可 相差了900-240=660(件)。这就是说,按实际每天
求出自行车的辆数:21÷(3-2)=21(辆),三轮车有 制造的件数计算,6天可以制造农具660件,我们可
39-21=18(辆)。 以从这两个相差数中,算出实际每天制造的件数:
3.11 提示:假设15道题全对了,那应共得: 660÷6=110(件)。
15×8=120(分),比72分多:120-72=48(分),为 通过假设,找到了解开这道题目的一个重要条
什么会多出这些分呢 这是由于每做错一题不但 件,即实际每天制造110件。因此,要求出原计划制
8分得不到,还要倒扣4分,即每错一题少了8+4= 造多少件,只要再按题目的条件,先算出12天制造
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的件数110×12=1320(件),因为12天制造的件数 5分币13枚,再用30-13=17(枚),求出了2分币
比原计划产量多240件,所以原计划制造的件数就 的枚数。
是:1320-240=1080(件)。 这题还可以把30枚硬币全假设成5分的,共值
解:(50×18-240)÷(18-12)×12-240=660 5×30=150(分),比实际多算了150-99=51(分),
÷6×12-240=1320-240=1080(件) 由于把2分币假设成5分币,每枚2分币多算了5-
答:原计划制造农具1080件。 2=3(分),所以2分币有:51÷3=17(枚),5分币有:
当求出了实际每天制造110件之后,下一步也 30-17=13(枚)。
可以这样思考: 6.分析:由于一共采了112个松子,平均每天采
根据已知条件“实际每天比计划多制造50件”, 14个,可 以 先 求 出 一 共 采 了 多 少 天,112÷14=
可求得原计划每天制造的件数: 8(天),假设这8天全是晴天,应该采20×8=160(个)
110-50=60(件) 松子。比实际采的松子多160-112=48(个),为什
再根据已知条件“原计划18天完成”即可求得 么会多采了48个呢 是因为将一个雨天看成一个
原计划制造的件数: 晴天就多算了20-12=8(个),多少个雨天多算了
60×18=1080(件) 48个呢 48÷8=6(天)。
列综合式计算[(50×18-240)÷(18-12)- 解:一共采了多少天
50]×18=[660÷6-50]×18=60×18=1080(件)。 112÷14=8(天)
4.假设一: 假设全是晴天,一共可以采多少个
假设24辆车都是汽车,那么按每辆汽车4只轮 20×8=160(个)
胎计算,轮胎只数应为24×4=96(只),这比题中说 比实际多算了多少个
的全部轮胎54只多算了:96-54=42(只),怎么会 160-112=48(个)
多算42只轮胎,这是由于把自行车的辆数当作汽车 雨天有多少天
来计算。每辆自行车是2只轮胎,比每辆汽车少 48÷(20-12)=6(天)
2只轮胎,现在把自行车假设为汽车后,每辆自行车 答:这几天当中有6天有雨。
就多算了2只轮胎,那么,多算42只轮胎就可求出 延伸:如 要 把8天 全 部 假 设 成 雨 天,你 会 解
有几辆自行车算作汽车。据此,可以推算出自行车 答吗
的辆数:(4×24-54)÷(4-2)=42÷2=21(辆),自 7.分析:这题也可以用假设法,把钢笔换成圆珠
行车有21辆,而自行车和汽车总计是24辆,减法计 笔,根据“2支钢笔的价钱等于8支圆珠笔的价钱”,
算,可得汽车的辆数:24-21=3(辆)。 可以知道“买1支钢笔的价钱等于4支圆珠笔的价
假设二: 钱”,买3支钢笔的钱可以买4×3=12(支)圆珠笔。
假设24辆车全部是自行车,那么,该有轮胎: 这样把钢笔的支数转换成圆珠笔的支数,可以先求
2×24=48(只)。这比题中的“54只轮胎”少算了: 出每支圆珠笔的价钱,再求出每支钢笔的价钱。
54-48=6(只),怎么会少算6只轮胎,这是由于假 解:(1)3支钢笔相当于多少支圆珠笔
定汽车的辆数当作自行车来计算。每辆汽车少算 (8÷2)×3=12(支)
2只轮胎,那么少算6只轮胎,就可求出有几辆汽车算 (2)17元相当于多少支圆珠笔的价钱
作自行车。据此,列式计算汽车有:(54-2×24)÷ 5+12=17(支)
(4-2)=6÷2=3(辆) (3)1支圆珠笔多少钱
即知汽车有3辆,汽车和自行车总计24辆,减 17÷17=1(元)
法计算,可得自行车辆数24-3=21(辆)。 (4)一支钢笔多少钱
5.假设这30枚硬币全是2分的,共值2×30= 1×8÷2=4(元)
60(分),比实际少算:99-60=39(分),为什么会少 答:一支钢笔4元,一支圆珠笔1元。
算了39分呢 是因为30枚中不全是2分币,还有 8.分析:这题可以假设20题全部答对,应得
5分币,把5分币也看成2分币,每把一枚5分币看 8×20=160(分),实际只得了100分,比实际多算了
成一枚2分币少算了:5-2=3(分),有多少枚5分 160-100=60(分),为什么会多算了60分呢 是因
币少算了39分呢 39÷(5-2)=13(枚),先求出 为把答错的也看成了答对的,这样每把一道答错题
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参 考 答 案
●小 ●学 ●四 ●年 ●级
看成一道答对题就会多算8+4=12(分),多少道题 [同步精练]
答错了呢 60÷12=5(道),然后再求答对的题数。 1.9 8 7 提示:△=24-17=7,○=15-7
解:(1)假设20题全答对应得多少分 =8,☆=17-8=9。
8×20=160(分) 2.70 50 30 提示:(120+100+80)÷2=
(2)比实际多算了多少分 150(千克),1筐梨:150-80=70(千克),1筐苹果:
160-100=60(分) 150-100=50(千克),1筐橘子:150-120=30(千
(3)每道错题看成对题多算多少分 克)。
8+4=12(分) 3.1头大象的质量等于36头小猪的质量。
(4)答错几题 例3 解: 300÷(2×2+6)
60÷12=5(道) =300÷10
(5)答对几道 =30(双)
20-5=15(道) 30×2=60(双)
答:答对了15道题。 答:每个纸箱里装30双球鞋,每个木箱里装
9.分析:假设100只都是鸡,没有兔,那么就有 60双球鞋。
鸡脚200只,而兔的脚数为零。这样鸡脚比兔脚多 延伸:想一想:如果把纸箱换成木箱,假如300
200只,而实际上只多20只,这说明假设的鸡脚比兔 双球鞋全部用木箱装,应该怎样解答
脚多的数比实际上多200-20=180(只)。 [同步精练]
现在以兔换鸡,每换一只,鸡脚减少2只,兔脚 1.荔枝的单价是12元,桂圆的单价是30元。
增加4只,即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少4+2 2.解:步行来回一次加骑自行车来回一次共需
=6(只),而180÷6=30,因此有兔子30只,鸡100 20×2=40(分钟),往返都骑自行车需40-31=9(分
-30=70(只)。 钟)。
解:有兔:(2×100-20)÷(2+4)=30(只),有 答:往返都骑自行车需9分钟。
鸡:100-30=70(只)。 3.分析:因为中间是正方形,正方形的四边相
答:有鸡70只,兔30只。 等,所以DF=FE=BE=BD①,长方形ABDC 的
10.假设1000个玻璃杯全部完好无损地运到了 周长为7×2=14(厘米),长方形EHGF 的周长为
目的地,那么运输公司应得运费1×1000=1000 5×2=10(厘米),又因为最大的长方形AHGC 的周
(元),而实际上只得到了920元,少得了1000-920 长等于AB+AC+CD+DF+FG+GH+EH+
=80(元),这说明运输过程中打碎了玻璃杯。因为 BE②
每打碎1个玻璃杯,运输公司不但得不到1元运费, 根据①式对②式进行等量代换,就得到所求最
还要赔偿3元,即运输公司打碎1个玻璃杯就少收 大长方形的周长正好等于长方形ABDC 的周长加
入1+3=4(元)。再根据运输公司一共少收入 上长方形EHGF 的周长。
80元,可以求出打碎的玻璃杯数为:80÷4=20(个)。 解:7×2+5×2=24(厘米)
答:最大的长方形的周长24厘米。
第十五讲 等量代换 例4 解: (91×3+95×2-89×3)÷2
例1 1个西瓜和18根香蕉的质量相等。 =196÷2
[同步精练] =98(分)
1.500×3÷10-500×2÷8=25(克) 答:张得了98分。
2.16 32 24 5 2 [同步精练]
3.由条件可知:1只羊换兔:20÷2=10(只), 1.先把毛线换成丝线。根据“丝线3千克的价
1头猪换羊:9÷3=3(只),可求出1头猪换兔:10×3 格与毛线5千克的价格相等”这个条件,毛线1千克
=30(只),已知1头牛换猪:8÷2=4(头),可知4头 可替换成丝线3÷5=0.6(千克),把毛线5千克替换
猪换兔:30×4=120(只),5头牛换兔:5×120= 成丝线就是5×(3÷5)=3(千克)。650元就相当于
600(只)。 买了丝线2+3=5(千克),这样就可以先求出每千克
例2 150 75 100 丝线的价格:650÷5=130(元),再将结果代入原题
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的条件,就可以求出毛线每千克的价钱:130×(3÷ 13b,由第五个数是7,知2a+3b=7,就是a=2,b=
5)=78(元)。 1。第八个数是8a+13b=8×2+13×1=29。
2.由于大、小汽车的载质量并不一样,只能替换 答:第八个数是29。
成一种车,才能求出结果。已知小汽车5小时等于 4.2×9+2×6=30(厘米)
大汽车2小时运的量,因此,大汽车1小时运的量就 5.180÷(10-1)=20,甲是200,乙是20。
等于小汽车5÷2=2.5(小时)运的量,如果大汽车 6.8个 提示:先根据题意得出1个苹果的质
8小时运的也换成小汽车来运,小汽车则要2.5×8= 量等于2个橘子的质量,再代入第一个条件得出梨
20(小时),624袋化肥都由小汽车来运,共需要20+ 和橘子质量的关系。
6=26(小时),这样就可以先求出小汽车每小时运的 7.甲生产了240个零件,乙生产了72个零件。
袋数,624÷26=24(袋),大汽车每小时运(624- 8.解:8个大 球 和8个 小 球 共 重42+38=
24×6)÷8=60(袋)。 80(克),1个大球和1个小球共重80÷8=10(克),
3.解:大瓶小瓶各1只共装药液(264+216)÷ 5个大球和5个小球共重10×5=50(克),1个小球
(7+3)=48(毫升);大瓶比小瓶多装药液(264- 重(50-42)÷(5-3)=4(克)。
216)÷(7-3)=12(毫升)。 答:每个小球重4克。
由和差问题可求出,大瓶装:(48+12)÷2= 9.解:学校共有五年级、六年级和其他年级,根
30(毫升),小瓶装:(48-12)÷2=18(毫升)。 据题意,五年级+其他年级=25(名),六年级+其他
答:大瓶装药液30毫升,小瓶装18毫升。 年级=26(名),五年级+六年级=35(名),参加学校
数学兴趣小组的共有学生:( )
25+26+35 ÷2=
练 习 卷 43(名)。
一、1.70 50 30 提示:(130+160+310)÷4= 答:参加学校数学兴趣小组的共有43名学生。
150(千克),梨:150-160÷2=70(千克),苹果:(310 10.解:A=(13+17)÷2=15,即B+15与D
-70×3)÷2=50(千克),橘子:(160-50×2)÷2= +17相等(都等于2×C),因此B-D=2
30(千克)。 于是2×D=B+13=D+2+13,故D=15。
2.2 3 4 提示:(8+14+5)÷3=9(千克), C=(17+15)÷2=16,
鹅:9-5=4(千克),鸡:(8-4)÷2=2(千克),鸭: x=2×C-13=19。
5-2=3(千克)。 答:x 等于19。
二、② 提示:将∠A=∠B+∠C 代换到∠A+ 综合调研卷
∠B+∠C=180度,可知,∠A=90度,因此这个三
, 。 一、角形为直角三角形 正确答案是② 1.3℃ -1℃
三、1.分析:从图中可以看出,1只小狗的质量等于 32.8
2只小猴的质量,所以2只小猴重8千克。从图上还 3.1280 提示:后一个数是前一个数的4倍。
可以看出,2只小猴的质量等于4只小兔的质量,可 4.(1)146 (2)5
以推出4只小兔重8千克。
1 4
解:每只小猴重:8÷2=4(千克),每只小兔重: 5.54 54
8÷4=2(千克),
1只小猴和1只小兔共重:4+2= 6.白 2 黑
6(千克)。
7.78-12×5
答: 一只小猴和一只小兔共重8÷2+8÷4= 8.33 提示:(30×3+42)÷4=33(千克)。
6(千克)。 9.12 提示:根据算式可知,A 只能是1,则B
2.解:根据1头猪=3只羊,1只羊=2只狗,可 是2,C 是9,A+B+C=12。
以得出1头猪=6只狗。又根据1只狗=4只兔子, 10.1024144 提示:从1至2023共有奇数:
可以得出1头猪得到兔子:3×2×4=24(只)。 2024÷2=1012(个),这些奇数之和为:1012×1012
答:1头猪可以换24只兔子。 =1024144。
3.解:设前两个数是a,b,这8个自然数依次是 11.2 提示:(10×3-20)÷(3+2)=2(道)。
a,b,a+b,a+2b,2a+3b,3a+5b,5a+8b,8a+ 12.3333334
182
参 考 答 案
●小 ●学 ●四 ●年 ●级
13.2 4 1 8 9 3 56 7 小数是0.1,0.999-0.1=0.899。
二、1.B 2.B 2.纯小数的整数部分是0,最大的是0.1110,最
三、537-(137+286)=537-137-286=400-286 小的是0.0111。
=114 3.小数有无数个,两位小数有9个,分别是
184+57+16=(184+16)+57=200+57=257 0.11、0.12、0.13、0.14、0.15、0.16、0.17、0.18、
25×32×125=(25×4)×(8×125)=100× 0.19。
1000=100000 例3 第70个数是352.41。
185-(85-17)=185-85+17=100+17=117 [同步精练]
165-27+35-73=(165+35)-(27+73)= 1.用1、2、3、4做最高位的一位小数各有24个,
200-100=100 24×4=96,第98个数是以5做最高位的从小到大
143-59-41=143-(59+41)=143-100=43 排列的第2个,即5124.3。
四、先取者取两根,以后每次把4的倍数根火柴留给 2.后个数是前一个数的3倍,填13.5、40.5和
对方取。先取者获胜。 121.5。
五、1.(16+10)÷(8-6)=13(间) 8×13-10= 3.0.1,0.3,0.5,0.7…间隔排列,所以第2个括
94(人) 号里应填0.9;0.5,0.7,0.9…间隔排列,所以第一个
2.-0.3 0 +0.1 -0.1 0 +0.3 括号里应填1.1。
-0.2 +0.2 +0.1 -0.1 例4 62×(62+1)÷2=1953,2001-1953=48
3.720×2÷(720÷60+720÷120)=1440÷ 48<63,63-48+1=16(个),0.2001应排在第
(12+6)=80(米/分) 63行左起第16个。
4.20+6+8+4=38(种) [同步精练]
5.9+8+7+6+5+4+3+2+1=45(次) 1.(2+4)÷2=3 (6+4)÷2=5 (3+9)÷2
6.2×21=42(盆) =6 (12+0)÷2=6 (4+4)÷2=4,( )中
7.10梅=3苹+1梨;18梅+3苹=3梨,两式 填9。
相加得:7梅=1梨。 2.分组观察(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(4,5,
8.132-(30-1)×2=74 (74+132)×30÷2 6),(5,6,7)…每组中的第一个数分别是1,2,3,4,5
=3090(个) …且第几组的第一个数就是几,每组中三个数的和
等于中间一个数的3倍。下 册 100÷3=33
(组)……1(个
数),第100个数是第33+1=34(组)的第1个数,和
为:(2+3+4+…+34)×3+34=1816。
第一讲 小数的意义和加减法(小数的意义) 3.62×(62+1)÷2=1953(个)数,前62行已经
例1 5.845>5.84>5.8399>5.839>5.79 排了1953个数,还剩1991-1953=38(个)数,38<
[同步精练] 63。0.1991应排在第63行左起第38个。
1.整数部分都是7,就比十分位。十分位上8
练 习 卷
最大,是7的几个数再比百分位或千分位上的数。
7<7.007<7.07<7.7<7.707<7.708<7.8。 一、1.600.06
2.最小的两位小数是0.81,最大的两位小数是 2.2.034 2.025 提示:当这个小数“四舍”时
0.89。 它比2.03大,最大是2.034;当这个小数“五入”时,
3.(1)后一个数比前一个数多0.4,填1.8和 它比2.03小,最小是2.025。
2.2。 (2)后一个数是前一个数的3倍,填16.2和 3.3 提示:12.5万=125000,所以把12.5万
48.6。 (3)分别填最小的四位小数0.0001和最小 的“万”字和小数点去掉,要再加3个0才能保证数
的五位小数0.00001。 值没有改变。
例2 0.99+0.01=1 二、1.B 提示:4.73与4.731相差最少。
[同步精练] 2.D
1.最大的三位纯小数是0.999,最小的一位纯 3.D 提示:这三个数的数值相等都是10,但因
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