第十讲 相遇问题
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第十讲 相遇问题
【知识概述】
两个运动物体相向运动或在环形跑道上做背向运动,随着时间的发展,必然
面对面地相遇,这类问题就是相遇问题。基本数量关系式是:
路程=速度和×相遇时间
相遇时间=路程÷速度和
速度和=路程÷相遇时间
甲车速度=路程÷相遇时间-乙车速度
列车行程问题有车长与桥长问题,还有两列火车的“追及”“相遇”问题。下
列着重介绍两列火车的“追及”“相遇”问题。
两列火车“追及”的情况,请看下图:
两列火车A 与B,图1中图(1)表示A 已经追上B,图(2)表示A 已经超过
B。可看出,A 的车头比B 的车头多行的路程是B 的车身长与A 的车身长的和,
因此,A 车追上到超过B 车所用的时间是:
(A 的车身长+B 的车身长)÷(A 的车速-B 的车速)
两列火车相遇的情况,请看上图2中,根据前面类似地分析,可以看出,A、B
两列火车从相遇到错过所需的时间是:
(A 的车身长+B 的车身长)÷(A 的车速+B 的车速)。
例题精学
例1 甲、乙两人分别从相距30千米的两地同时出发相向而行,甲每小时走6千
米,乙每小时走4千米,两人几小时后相遇
【思路分析】 出发时甲、乙两人相距30千米,以后两人的距离每小时都缩短6+
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4=10(千米),即两人的速度的和(简称速度和),所以30千米里有几个10千米就
是几小时相遇。
同步精练
1.甲、乙两列客车同时由相距680千米的两地相对出发,甲客车每小时行42
千米,经过8小时后相遇。乙客车每小时行多少千米
2.一条环形跑道长400米,甲骑自行车每分钟骑450米,乙跑步每分钟跑
250米,两人同时从同地同向出发,经过多少分钟两人相遇
3.甲、乙两列火车从相距366千米的两个城市相对开出,甲列火车每小时行
37千米,乙列火车每小时行36千米,甲列火车先开出2小时后,乙列火车才开
出,乙列火车行几小时后与甲列火车相遇 相遇时两列火车各行了多少千米
例2 小明步行上学,每分钟行70米。离家12分钟后,爸爸发现小明的文具盒
忘在家中,爸爸带着文具盒,立即骑自行车以每分钟280米的速度去追小明。爸
爸出发几分钟后追上小明
【思路分析】 画出示意图:
当爸爸出发时,小明已经走了12分钟到达A 地,这段路就是爸爸要追赶的
路程,称为“追及路程”(或距离差)。爸爸每分钟比小明快(280-70)米,即210
米/分,称为“速度差”。追及路程里面有多少个210米,就需要多少分钟追上。这
个时间称为“追及时间”。
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同步精练
1.小明以每分钟50米的速度从学校步行回家,12分钟后小强从学校出发骑
自行车去追小明,结果在距学校1000米处追上小明,求小强骑自行车的速度。
2.甲、乙两架飞机同时从一个机场起飞,向同一方向飞行,甲机每小时行300
千米,乙机每小时行340千米,飞行4小时后它们相隔多少千米 这时候甲机提
高速度用2小时追上乙机,甲机每小时要飞行多少千米
3.大客车和小轿车同地、同方向开出,大客车每小时行60千米,小轿车每小
时行84千米,大客车出发2小时后小轿车才出发,几小时后小轿车追上大客车
例3 一列客车长190米,一列货车长240米,两车分别以每秒20米和23米的速
度相向行进,在双轨铁路上,两车从车头相遇到车尾相离共需要多少时间
【思路分析】 根据题目的条件可知,本题属于两列火车相遇的情况,用公式可直
接计算。
同步精练
1.一列火车长160米,全车通过440米的桥需要30秒,这列火车每秒行多
少米
2.一列火车长258米,以每秒18米的速度通过一个山洞,从车头入洞到车
尾出洞共用了3分45秒。山洞的长是多少米
3.慢车的车身长是142米,车速是每秒17米,快车车身长是173米,车速是
每秒22米,慢车在前面行驶,快车从后面追上到完全超过慢车需要多少时间
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例4 小张从甲地到乙地,每小时步行5千米,小王从乙地到甲地,每小时步行
4千米。两人同时出发,然后在离甲、乙两地的中点3千米的地方相遇,求甲、乙
两地间的距离。
【思路分析】 画示意图:
离中点3千米的地方是A 点,从图上可以看出,小张走了两地距离的一半多
3千米,小王走了两地距离的一半少3千米。从出发到相遇,小张比小王多走了
6千米。
小张比小王每小时多走(5-4)千米,从出发到相遇所用的时间是
6÷(5-4)=6(小时)
因此,甲、乙两地的距离是(5+4)×6=54(千米)。
同步精练
1.甲、乙两车同时同地背向而行,甲车每小时行50千米,乙车每小时行
42千米,当甲车比乙车多行32千米时,甲、乙两车相距多少千米
2.甲、乙两队学生从相距18千米的两地同时出发,相向而行。一个同学骑
自行车以每小时14千米的速度在两队间不停地往返联络。甲队每小时行5千
米,乙队每小时行4千米,两队相遇时,骑自行车的同学共行多少千米
3.甲、乙两人同时分别从两地骑车相向而行。甲每小时行20千米,乙每小时
行18千米。两人相遇时距全程中点3千米。全程长多少千米
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练 习 卷
一、选择。
1.两列火车同时从两个城市相对开出,甲列车每小时行50千米,乙列车每
小时行40千米,经过4小时相遇。两个城市间的铁路长多少千米 列式是
( )
A.50+40×4 B.(50+40)×4 C.40+50×4
2.客轮和货轮同时从两个港口对开,16小时相遇。客轮每小时行28千米,
货轮每小时行24千米。两个港口相距多少千米 列式是 ( )
A.(28+24)×16 B.24×16+28
C.28×16+24 D.28×24+28×16
3.小刚家在学校南面,志华家在学校北面。小刚每分走65米,走到学校用8
分;志华每分走64米,走到学校用7分。小刚家到志华家有多少米 列式是
( )
A.65×7+64×8 B.(65+64)×(8+7) C.(65+64)×7+65
4.甲、乙两人各从所在村相对出发,甲每小时走11千米,乙每小时走10千
米,相遇时甲走4小时,乙比甲少用1小时,两个村间有多少千米 列式是
( )
A.11×4+10×1 B.11×4+10×(4-1)
C.11×4+10×(4+1) D.(10+11)×4-10
5.A、B 两地之间相距1800千米,甲、乙两辆卡车从两地同时相对开出,甲
车每小时行50千米,乙车每小时行40千米,经过几小时两车相遇 ( )
A.20小时 B.36小时 C.45小时 D.81小时
6.甲、乙两个修路队合修一条路,甲队每天修18米,乙队每天修15米,两队
合修24天修完,这条路全长多少米 列式是 ( )
A.18-15=3(米),3×24=72(米)
B.18+15=33(米),33×24=792(米)
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二、填空。
1.小张从甲地到乙地步行需要36分钟,小王骑自行车从乙地到甲地需要12
分钟。他们同时出发,( )分钟后两人相遇。
2.甲、乙两人同时从学校出发到少年宫去,已知学校到少年宫的距离是2400
米,甲到少年宫后立即返回学校,在距离少年宫300米处遇到乙,此时他们离开学
校已30分钟。甲每分钟走( )米,乙每分钟走( )米。
3.一列火车开过一座长1200米的大桥,需要75秒,火车以同样的速度开过
路旁的电线杆只需15秒,火车长( )米。
4.某工程兵修铁路开凿山洞的长是300米,两个班从两端开始凿山洞,甲班
每天凿出5米,乙班每天凿出6米,同时开凿( )天后,还差80米没有凿通。
5.两列货车从相距450千米的两个城市相向开出,甲货车每小时行38千
米,乙货车每小时行40千米,同时行驶4小时后,还相差( )千米没有相遇。
三、解决问题。
1.两艘渡船从南岸开往北岸,第一艘船以每小时30千米的速度先开,第二
艘晚开2小时,速度为每小时40千米,结果两船同时到达,南北两岸相距多远
2.甲、乙两人环绕周长为400米的跑道跑步,若两人从同一地点背向而行,
经2分钟能相遇;两人如果从同一地点同向而行,经过20分钟追及相遇,求甲、乙
各自的速度。
3.两座大楼相距300米,甲、乙两人各从一座大楼门口向相反方向走去,7分
钟后两人相距860米。甲每分钟走37米,乙每分钟走多少米
4.甲、乙两车从A、B 两地同时出发,相向而行,甲车每小时行40千米,乙车
每小时行50千米,2小时后两车相距40千米。A、B 两地的距离是多少千米
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5.一列火车全长265米,每秒行驶25米,全车要通过一座985米长的大桥,
需要多少秒
6.一列长50米的火车,穿过200米长的山洞用了25秒。这列火车每秒行
多少米
7.甲、乙两车分别从东西两城同时相对开出,经过3小时两车共走了全程的
一半,这时乙车停在货站装货,甲车继续行驶320千米,在货站与乙车相遇,乙车
装货后用原来每小时40千米的速度向东城开,乙车从货站开到东城要用几小时
8.大毛和二毛两人同时从相距1000米的两地相向而行。大毛每分钟行
120米,二毛每分钟行80米,如果一只狗与大毛同时同向而行,每分钟行500米,
遇到二毛后,立即回头向大毛跑去,遇到大毛后再向二毛跑去。这样不断来回,
直到大毛和二毛相遇为止,狗共行了多少米
9.一个车队以5米/秒的速度缓缓通过一座长200米的大桥,共用145秒。
已知每辆车长5米,两车间隔8米。问:这个车队共有多少辆车
10.有甲、乙、丙三人,都从A 城到B 城。甲每小时行4千米,乙每小时行
5千米,丙每小时行6千米。甲出发3小时后乙出发,恰好三人同时到达B 城。
乙出发几小时后丙才出发
129参 考 答 案
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13.2 4 1 8 9 3 56 7 小数是0.1,0.999-0.1=0.899。
二、1.B 2.B 2.纯小数的整数部分是0,最大的是0.1110,最
三、537-(137+286)=537-137-286=400-286 小的是0.0111。
=114 3.小数有无数个,两位小数有9个,分别是
184+57+16=(184+16)+57=200+57=257 0.11、0.12、0.13、0.14、0.15、0.16、0.17、0.18、
25×32×125=(25×4)×(8×125)=100× 0.19。
1000=100000 例3 第70个数是352.41。
185-(85-17)=185-85+17=100+17=117 [同步精练]
165-27+35-73=(165+35)-(27+73)= 1.用1、2、3、4做最高位的一位小数各有24个,
200-100=100 24×4=96,第98个数是以5做最高位的从小到大
143-59-41=143-(59+41)=143-100=43 排列的第2个,即5124.3。
四、先取者取两根,以后每次把4的倍数根火柴留给 2.后个数是前一个数的3倍,填13.5、40.5和
对方取。先取者获胜。 121.5。
五、1.(16+10)÷(8-6)=13(间) 8×13-10= 3.0.1,0.3,0.5,0.7…间隔排列,所以第2个括
94(人) 号里应填0.9;0.5,0.7,0.9…间隔排列,所以第一个
2.-0.3 0 +0.1 -0.1 0 +0.3 括号里应填1.1。
-0.2 +0.2 +0.1 -0.1 例4 62×(62+1)÷2=1953,2001-1953=48
3.720×2÷(720÷60+720÷120)=1440÷ 48<63,63-48+1=16(个),0.2001应排在第
(12+6)=80(米/分) 63行左起第16个。
4.20+6+8+4=38(种) [同步精练]
5.9+8+7+6+5+4+3+2+1=45(次) 1.(2+4)÷2=3 (6+4)÷2=5 (3+9)÷2
6.2×21=42(盆) =6 (12+0)÷2=6 (4+4)÷2=4,( )中
7.10梅=3苹+1梨;18梅+3苹=3梨,两式 填9。
相加得:7梅=1梨。 2.分组观察(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(4,5,
8.132-(30-1)×2=74 (74+132)×30÷2 6),(5,6,7)…每组中的第一个数分别是1,2,3,4,5
=3090(个) …且第几组的第一个数就是几,每组中三个数的和
等于中间一个数的3倍。下 册 100÷3=33
(组)……1(个
数),第100个数是第33+1=34(组)的第1个数,和
为:(2+3+4+…+34)×3+34=1816。
第一讲 小数的意义和加减法(小数的意义) 3.62×(62+1)÷2=1953(个)数,前62行已经
例1 5.845>5.84>5.8399>5.839>5.79 排了1953个数,还剩1991-1953=38(个)数,38<
[同步精练] 63。0.1991应排在第63行左起第38个。
1.整数部分都是7,就比十分位。十分位上8
练 习 卷
最大,是7的几个数再比百分位或千分位上的数。
7<7.007<7.07<7.7<7.707<7.708<7.8。 一、1.600.06
2.最小的两位小数是0.81,最大的两位小数是 2.2.034 2.025 提示:当这个小数“四舍”时
0.89。 它比2.03大,最大是2.034;当这个小数“五入”时,
3.(1)后一个数比前一个数多0.4,填1.8和 它比2.03小,最小是2.025。
2.2。 (2)后一个数是前一个数的3倍,填16.2和 3.3 提示:12.5万=125000,所以把12.5万
48.6。 (3)分别填最小的四位小数0.0001和最小 的“万”字和小数点去掉,要再加3个0才能保证数
的五位小数0.00001。 值没有改变。
例2 0.99+0.01=1 二、1.B 提示:4.73与4.731相差最少。
[同步精练] 2.D
1.最大的三位纯小数是0.999,最小的一位纯 3.D 提示:这三个数的数值相等都是10,但因
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为它们的小数位数不同,所以它们的精确度不同。 [同步精练]
4.C 提示:分别是0.21、0.22、0.23、0.24、 1. 0.9+9.9+99.9+999.9+9999.9
0.25、0.26、0.27、0.28、0.29,共9个。 =1+10+100+1000+10000-0.1-0.1-
三、1.上面两个数相加的和乘下行左边的数就是下 0.1-0.1-0.1
行右边的数。(4+3)×5=35。 =11111-0.5
2.用6、7做最高位的数各有6个。第15个数 =11110.5
是8做最高位数时的第3个数,是876.9。 2. 0.9+0.98+0.997+0.9996+0.99995
3.方框中是1、3两个数字,试2次即可。 =1+1+1+1+1-0.1-0.02-0.003-
4.因为A+D=B+D③,根据①+③得到ADD>B>A。 =4.87655
5.将拐弯处的个数与拐弯处的数排列如下: 3.此题尽管小数的数位比较多(A 是102位小
数,B 是103位小数),计算加减时依然要注意数位
对齐。
第二十个拐弯处的数是0.1+0.1+0.1+0.2+ (1)A +B =0.00…01375,(2)A -B =
0.2+0.3+0.3+0.4+0.4+…+1.0+1.0=11.1。 ︸99个0
… 。
6.采取逐一试验的方法可以发现1号座位上的 0.00 0125︸
个
人永远当不上幸运者。 100 0
例4 4.9+14.7+24.5+34.3+44.1=122.5(米)。
第二讲 小数的意义和加减法(小数的加减法) [同步精练]
例1 15.4+(9-6)+(0.7-0.4)=15.4+3+0.3 1.5.0是这7个数的平均数,它们的和为5×7
=18.7 =35。
[同步精练] 2.□与△的差是0.6,△与□的和是1.6,△=
1.一个加数个位上的9看成了4,就少加了9- (1.6-0.6)÷2=0.5,□=0.5+0.6=1.1。
4=5;另一个加数百分位上的1看成了7,就多加了 3.0.2+(0.2+0.1)+(0.2+0.1+0.1)+(0.2
0.07-0.01=0.06。正确的结果是17.42+5-0.06 +0.1+0.1+0.1)+(0.2+0.1+0.1+0.1+0.1)
=22.36。 =0.2+0.3+0.4+0.5+0.6=2(米)。
2.被减数百分位上的3看成了8,就多算了
练 习 卷
0.05;减数十分位的7看成了2就少减了0.5。正确
的结果应该是1.87-0.05-0.5=1.32。 1.(1) 5.74-2.42+3.26-4.58
3.被减数个位上的2看成了6就多算了4,减 =(5.74+3.26)-(2.42+4.58)
数百分位上的7看成了1就少减了0.06,所以错误 =9-7
的结果与正确的结果相差4+0.06=4.06。 =2
例2 a=4,b=5,c=1 (2) 19.9+19.98+19.997+19.9996
[同步精练] =20+20+20+20-0.1-0.02-0.003-
1.A=9,B=8,C=0,M=5,N=3。 0.0004
2.8.78=a.bc+a.bc,所以a.bc=8.78÷2= =80-0.1234
4.39,a+b+c=4+3+9=16。 =79.8766
3.以两个加数的最高位的计算情况可知:节= 2.(1)a+b=0.00…01025︸
1,庆=9,再 依 次 推 算 其 他 字。这 个 竖 式 的 和 是 19个0
987654.321。 (2)a-b=0.00…0575︸
例3 0.9+0.99+0.999+0.9999 20个0
=1+1+1+1-0.1-0.01-0.001-0.0001 3.被减数十分位上的4看成了9,就多算了
=4-0.1111 0.9-0.4=0.5;减数百分位上的9看成了4,就少减
=3.8889 了0.09-0.04=0.05,错误的结果与正确的结果相
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参 考 答 案
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差0.5+0.05=0.55。 例2 分 别 以 OA、OB、OC、OD 为 一 边 的 角 有
4.14.48+95.73=110.21或14.48+85.73= ∠AOB、∠BOC、∠COD 和∠DOE,把它们看作基
100.21 9.007-3.424=5.583 本角,
5.新=1 年=8 快=0 乐=2 由一个基本角组成的角有:∠AOB、∠BOC、
6.两根木线条被锯去同样长的一段,它们差是不 ∠COD 和∠DOE 4个
变的,依然相差2.6-1.8=0.8(米)。0.8÷(2-1)= 由两个基本角组成的角有:∠AOC、∠BOD 和
0.8(米),1.8-0.8=1(米)。两根木条各剪去1米。 ∠COE 3个
7.7×5+7×3+1.5×2+4+6.5=69.5(元), 由三个基本角组成的角有:∠AOD、∠BOE
单独购买要69.5元;69.5-55=14.5(元),节省了 2个
14.5元。 由四个基本角组成的角有:∠AOE 1个
8.分两种情况考虑: 所以图中一共有10个角。
[同步精练]
(1)如图: 1.15 2.15 3.20
例3 18个
( ) ( ); [同步精练]池深= 3+0.2 ÷2=1.6 米
1.36个 2.36个 3.9
( 例 (个)2)如图: 4 16+9+4+1=30
[同步精练]
池深 ( )=(3-0.2)÷2=1.4(米)。 1.9+4+1=14 个
9.边长是0.7米,0.8米,1.0米,1.1米的正方 2.25+16+9+4+1=55
(个)
形各1种,边长是0.9米的正方形可以是0.1+0.8, 3.20+12+6+2=40
(个)
0.2+0.7,0.3+0.6,0.4+0.5,0.9这五条边中选 练 习 卷
4条,所以有5种方法,一共有1+1+1+1+5=9(种) 1.31条 2.21个 3.30个 4.60个
方法。
5.210个 6.(1)36+25+16+9+4+1=91(个)
第三讲 认识三角形和四边形(图形计数) (2)10个
例1 方法一:以线段左端点为起点分类数的方法, 第四讲 小数乘法(小数乘法的简便计算)
以A 点为左端点的线段有:AB、AC、AD、AE 例1 0.125×0.25×0.5×64=0.125×0.25×0.5
4条 ×8×4×2=(0.125×8)×(0.25×4)×(0.5×2)=
以B 点为左端点的线段有:BC、BD、BE 3条 1×1×1=1
以C 点为左端点的线段有:CD、CE 2条 [同步精练]
以D 点为左端点的线段有:DE 1条 1.1.31×12.5×8×2=(1.31×2)×(12.5×8)
所以图中共有线段:4+3+2+1=10(条) =2.62×100=262
方法二:把图中线段AB、BC、CD、DE 看成基 2.1.25×32×0.25=(1.25×8)×(4×0.25)=
本线段 10×1=10
由一条基本线段组成的线段有 AB、BC、CD、 3.1.25×88=1.25×8×11=10×11=110
DE 4条 例2 (1)1.25×1.08=1.25×(1+0.08)=1.25×1
由两条基本线段组成的线段有AC、BD、CE +1.25×0.08=1.25+0.1=1.35
3条 (2)7.5×9.9=7.5×(10-0.1)=7.5×10-
由三条基本线段组成的线段有AD、BE 2条 7.5×0.1=75-0.75=74.25
由四条基本线段组成的线段有AE 1条 [同步精练]
图中一共有10条线段 4+3+2+1=10(条) 1.(1)2.5×10.4=2.5×(10+0.4)=2.5×10
[同步精练] +2.5×0.4=25+1=26
1.15 2.28 3.25 (2)3.8×0.99=3.8×(1-0.01)=3.8×1-
185
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3.8×0.01=3.8-0.038=3.762 2.16.08×0.125=2.01×(8×0.125)=2.01×
2.0.125×92=0.125×(100-8)=0.125×100 1=2.01
-0.125×8=12.5-1=11.5 3.99×73.2+73.2=(99+1)×73.2=100×
3.(1)4.6×99+4.6=4.6×(99+1)=4.6× 73.2=7320
100=460 4.31.8×16+0.16×6820=31.8×16+16×
(2)7.5×101-7.5=7.5×(101-1)=7.5× 68.2=16×(31.8+68.2)=16×100=1600
100=750 5.2.9×165+0.71×1650=2.9×165+7.1×
例3 399.6×9-1998×0.8=(399.6×5)×(9÷5) 165=(2.9+7.1)×165=10×165=1650
-1998×0.8=1998×1.8-1998×0.8=1998× 6.314×0.043+3.14×7.2-31.4×0.15=
(1.8-0.8)=1998 3.14×4.3+3.14×7.2-3.14×1.5=3.14×(4.3
[同步精练] +7.2-1.5)=3.14×10=31.4
1.404.6×7-2023×0.4=(404.6×5)×(7÷ 7.0.25×4.73×0.125×320=0.25×4.73×
5)-2023×0.4=2023×1.4-2023×0.4=2023× 0.125×8×4×10=(0.25×4)×(0.125×8)×
(1.4-0.4)=2023 (4.73×10)=1×1×47.3=47.3
2.239×7.2+956×8.2=(239×4)×(7.2÷4) 8.4.7×2.8+3.6×9.4=4.7×2.8+(3.6×2)
+956×8.2=956×1.8+956×8.2=956×(1.8+ ×(9.4÷2)=4.7×2.8+7.2×4.7=4.7×(2.8+
8.2)=956×10=9560 7.2)=4.7×10=47
3.275×12+1650×23-3300×7.5=(275×6) 9.0.45×99=0.45×(100-1)=0.45×100-
×(12÷6)+1650×23-(3300÷2)×(7.5×2)= 0.45×1=45-0.45=44.55
1650×2+1650×23-1650×15=1650×(2+23- 10.2.7×3.7+0.37×73=2.7×3.7+3.7×
15)=1650×10=16500 7.3=3.7×(2.7+7.3)=3.7×10=37
例4 48×0.56+44×0.48=0.48×56+44×0.48 第五讲 观察物体(方阵问题)
=0.48×(56+44)=0.48×100=48或48×0.56+
44×0.48=48×(0.56+0.44)=48×1=48 例1 方阵最外层每边人数:60÷4+1=16(人);整
[同步精练] 个方阵共有学生人数:16×16=256(人)。
1. 0.279×343+0.657×279 [同步精练]
=0.279×343+657×0.279 1.解:方 阵 最 外 层 每 边 人 数:56÷4+1=
=0.279×(343+657) 15(人),整个方阵共有学生人数:15×15=225(人)
=0.279×1000 答:方阵最外层每边有15人,此方阵中共有
=279 225人。
2. 0.264×519+264×0.481 2.解法1:最外边一层棋子个数:(14-1)×4=
=0.264×519+0.264×481 52(个)
=0.264×(519+481) 第二层棋子个数:(14-2-1)×4=44(个)
=0.264×1000 第三层棋子个数:(14-2×2-1)×4=36(个)
=264 摆这个方阵共用棋子:52+44+36=132(个)
3. 9.16×1.53-0.053×91.6 解法2:还可以这样想:中空方阵总个数=(每边个
=9.16×1.53-0.53×9.16 数-层数)×层数×4进行计算。
=9.16×(1.53-0.53) (14-3)×3×4=132(个)
=9.16×1 答:摆这个方阵共需132个围棋子。
=9.16 例2 方阵问题的核心是求最外层每边人数。原题
中去掉一行、一列的人数是33人,则去掉的一行(或
练 习 卷 一列)人数=(33+1)÷2=17(人)。方阵的总人数
1.0.8×0.04×12.5×25=(0.8×12.5)× 为最外层每边人数的平方,所以总人数为17×17=
(0.04×25)=10×1=10 289(人)。
186
参 考 答 案
●小 ●学 ●四 ●年 ●级
[同步精练] 个花坛共栽花69株。
1.本题中去掉的人数=7×2-1=13(名),还剩 答:大三角形边上共栽花48株,整个花坛共栽
的人数=(7-1)×(7-1)=36(名)。 花69株。
2.本题中去掉的人数=8×2-1=15(名),还剩 练 习 卷
的人数=8×8-15=49(名)。
答:如果去掉一行一列,还剩下49名学生。 1.这要用到方阵的公式逆运算,100必然是一
3.依据:去掉一行、一列的总人数=去掉的每边 个数的平方数,因为10×10=100(枚),并且是实心
人数×2-1 的方阵,所以最外层有10×4-4=36(枚)。
可知每边的人数是:(27+1)÷2=14(人) 2.先去2行,共去掉20人,再去掉2列,共去掉
原人数是:14×14=196(人) 16人
,所以,一共去掉了36人。
( ) ,
例3 这样想:把中空方阵的总人数,看作中实方阵 3.
一共有6×6=36 枚 棋子 最外层一共有
(枚)。
总人数减去空心方阵人数。 6×4-4=20
() : ( ) 4.(1)中实方阵总人数:16×16=256(人)1 中实方阵总人数 12×12=144 人
(2)
()第四层每边人数: ( ) (人)
第四层每边人数:12-2×(4-1)=6(人) 2 16-2× 4-1 =10
(3)空心方阵人数:( ) ( ) ( )
(3)空心方阵人数:(10-2) ( ) (人)6-2 × 6-2 =16 人 × 10-2 =64
()
() 中空方阵人数
: (人)
4 中空方阵人数:144-16=128(人)
4 256-64=192
5.由于方阵中相邻两层相差8,因此第二层应
答:总人数是128人。
摆鲜花48-8=40(盆),第 三 层 有 花[ 40-8=同步精练]
(盆),第四层有花 (盆)。这样通过枚举
1.(1)中实方阵总人数:10×10=100(人)
32 32-8=24
方法求出一共有四层花,及中间两层花的总数。因
(2)第三层每边人数:10-2×(3-1)=6(人)
此一共摆了 (盆)。
(3)空心方阵人数:(6-2)×(6-2)=16(人)
48+40+32+24=144
6.增加后外层共有:(16+2-1)×4=68(个)
(4)中空方阵人数:100-16=84(人)
原来内层共有(16-2-1) ×4=52(个)
2.方阵的外一层应该比内一层多8个,这个方
需要增加68-52=16(个)
阵有5层,总棋子数应该是第3层的5倍,所以第3
层有40个,最外层比第3层多16个,所以最外层有 第六讲 认识方程
56个,最外层每边棋子数为56÷4+1=15(个)。 例1 0.7x-3=0.3x+0.2
3.(1)最外层每边人数:48÷4+1=13(人) 解:0.7x-0.3x=0.2+3
(2)最内层每边人数:16÷4+1=5(人) 0.4x=3.2
(3)这个方阵的层数:(13-5)÷2+1=5(层) x=3.2÷0.4
(4)中实方阵总人数:13×13=169(人) x=8
(5)空心方阵人数:(5-2)×(5-2)=9(人) [同步精练]
(6)中空方阵人数:
169-9=160(人) 1. 0.6x+1.4x=8.2-5.4
答:这个方阵有5层,总人数是160人。 解:2x=2.8
4.①从已知条件中可以知道大三角形的边长是 x=2.8÷2
小三角形边长的2倍,又知道每个小三角形的边上 x=1.4
均匀栽9株,则大三角形边上栽的株数为9×2-1= 2. 0.25x-3.2=0.5x-5.2
17(株)。 解:5.2-3.2=0.5x-0.25x
②又知道这个大三角形的三个顶点上栽的一株 2=0.25x
花是相邻的两条边共有的,所以大三角形三条边上 x=2÷0.25
共栽花:(17-1)×3=48(株)。 x=8
③再看图中涂色的小三角形三个顶点正好在大 3. 2.8x=19.32-6.4x
三角形的边上,在计算大三角形栽花株数时已经计 解:6.4x+2.8x=19.32
算过一次,所以小三角形每条边栽花株数:9-2=7 9.2x=19.32
(株),中间小三角形三条边一共栽7×3=21(株),整 x=2.1
187
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例2 0.2×(3x-5)+3=0.4×(x-2)+4 3.3(4-y)-7=7(2-y)+2(y-3)-1
解:0.6x-1+3=0.4x-0.8+4 解:12-3y-7=14-7y+2y-6-1
0.6x+2=0.4x+3.2 5-3y=7-5y
0.6x-0.4x=3.2-2 5y-3y=7-5
0.2x=1.2 2y=2
x=6 y=1
[同步精练] 例4 设“□”=x,得0.3x-x×0.25=21.15-7x
1.0.4(x-0.6)-1.5=1.2x-3.34 解得x=3,所以□中应填3。
解:0.4x-0.24-1.5=1.2x-3.34 [同步精练]
0.4x-1.74=1.2x-3.34 1.4.3x-1.1=1.3x+3.7 x=1.6 ○中应
3.34-1.74=1.2x-0.4x 填1.6。
0.8x=1.6 2.将原方程中的x 换成6。即得0.4×(6-
x=2 0.2)+m=0.7×6-0.38。这就是一个未知数为m
2. 3(3x-2)=10-0.5(x+3.5) 的方程了。m=1.5。
解:9x-6=10-0.5x-1.75 3.设某数为x,得(x-10)×2+70=250,解得
9x-6=8.25-0.5x x=100。
9x+0.5x=8.25+6 练 习 卷
9.5x=14.25 1.(1)3x÷5=15
x=1.5 解:3x=15×5
3.(0.6x+420)÷(x+20)=3 3x=75
解:3(x+20)=0.6x+420 x=25
3x+60=0.6x+420 (2)0.5×8+7x=18
3x-0.6x=420-60 解:4+7x=18
2.4x=360 7x=14
x=150 x=2
例3 5(y-4)-7(7-y)-9=12-3(9-y) 2.(1)2x+3=11-6x
解:5y-20-49+7y-9=12-27+3y 解:6x+2x=11-3
12y-78=3y-15 8x=8
12y-3y=78-15 x=1
9y=63 (2)7x-7=4x-1
y=7 解:7x-4x=7-1
[同步精练] 3x=6
1.4(2y+5)-3y=7(y-5)+4(2y+1) x=2
解: 8y+20-3y=7y-35+8y+4 3.6(x+1)=0.5(10x+16)
5y+20=15y-31 解:
6x+6=5x+8
31+20=15y-5y 6x-5x=8-6
10y=51 x=2
y=5.1 4.5(x+2)-3(1-x)=23
2.3(x+2)-4(x-1)+2(3x-1)-18=0 解:5x+10-3+3x=23
解:3x+6-4x+4+6x-2-18=0 8x+7=23
5x-10=0 8x=16
x=2 x=2
188
参 考 答 案
●小 ●学 ●四 ●年 ●级
5. 3.(1)
7(2y-1)-3(4y-1)+5(4y+2)-28=0
天气
解:14y-7-12y+3+20y+10-28=0 天数 16 10 4
22y-22=0
1 (2)y=
6.
35(x-2)-15(5x-6)=22x-63-21(3x-4)
解:35x-70-75x+90=22x-63-63x+84
20-40x=21-41x
41x-40x=21-20
x=1
7.设某数为x,得[(x+6)×6-6]÷6=6,解
得x=1,某数为1。
8.设“□”=x,得24×x-x×15=18,解得x 例2 项目 跳绳 踢毽子 跳远 跑步
=2,□中应填2。 人数 18 8 16 12
9.5a-16=12+a,a=7。
10.a+(a-1)+(a+1)=120,3a=120,a=40。 [同步精练]
a-1=39,a+1=41。 1. 季节 春 夏 秋 冬
第七讲 数据的表示和分析 人数 12 9 12 12
(条形统计图和平均数)
2.(1)
例1 种类 杨树 槐树 柳树
棵数 14 24 20
(2)6
3.(1)车模 形体 (2)34
例3
[ 水果同步精练]
1. 人数 18 9 15
2.
[同步精练]
1.(1)
学习辅
类型 合计 故事书 科幻书 文艺书
导书
数量/本 90 30 20 5 35
189
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(2) 3.
练 习 卷
1.(1)
月份 合计 一月 二月 三月
(3)①文艺书 科幻书 ②7 水费(元) 75 20 25 30
2.(1) (2)①三 一 ②75
姓名 小明 小丽 小红 2.(1)
数量/个 6 4 12
节目名称 动画片 电视剧 新闻
(2) 人数 20 14 8
(2)
例4
(3)
[同步精练]
1.
第八讲 平均数问题
例1 解: (90+88+92)÷3
=270÷3
=90(厘米)
答:张强在跳远比赛中的平均成绩是90厘米。
[同步精练]
2. 1.解:小华、小芳、小红和小丽的体重总和是
40+42+38+52=172(千克)
她们的平均体重是172÷4=43(千克)
答:她们四人的平均体重是43千克。
2.解:先求出七天最高气温之和,再除以一周七
天,即可求出平均最高气温。
28+29+25+25+22+21+25=175(度)
175÷7=25(度)
答:这一周的平均最高气温是25度。
190
参 考 答 案
●小 ●学 ●四 ●年 ●级
3.解: (96+96+99)÷3 答:这个小组同学的平均身高是129厘米。
=291÷3 3.解: (13×3+12×15+11×11+10×21)÷
=97(分) (3+15+11+21)
答:王明期末考试的平均成绩是97分。 =(39+180+121+210)÷50
例2 前3天看的页数是 =550÷50
14×3=42(页) =11(岁)
后4天看的页数是 答:四(1)班同学的平均年龄是11岁。
21×4=84(页) 例4 解:语文、外语、自然三科总成绩是
这本书的总页数是 74×3=222(分)
42+84=126(页) 四科总成绩是
小花平均每天看的页数是 (74+3)×4=308(分)
126÷(4+3)=18(页) 数学成绩是
答:小花平均每天看18页。 308-222=86(分)
[同步精练] 综合算式:(74+3)×4-74×3=86(分)
1.解: 151+145×2+147×6 答:小华的数学成绩是86分。
=151+290+882 [同步精练]
=1323(厘米) 1.解: (93+2)×3-93×2
1323÷(1+2+6) =95×3-186
=1323÷9 =285-186
=147(厘米) =99(分)
答:田径队同学的平均身高为147厘米。 答:小明数学考试得了99分。
: (125+55)÷3 2.解 2.解:176÷2=88(分)
=180÷3 (88+3)×3
=60(个) =91×3
答:他平均每小时做60个零件。 =273(分)
3.解: (30+32×2+29×4)÷(1+2+4) 273-176=97(分)
=(30+64+116)÷7 答:小冬外语成绩是97分。
=210÷7 3.解: 92×5-90×4
=30(千克) =460-360
答:这个小组的平均体重是30千克。 =100(分)
例3 解: (98+86+92×5)÷(1+1+5) 答:小强数学成绩是100分。
=644÷7
练 习 卷
=92(分)
答:这一组的平均分是92分。 一、1.B 提示: (90+97+95)÷3
[同步精练] =282÷3
1.解: (114+87×3)÷5 =94(分)
=(114+261)÷5 李平三科的平均成绩是94分。
=375÷5 2.C 提示: (46+74)÷3
=75(棵) =120÷3
答:这个班平均每天植树75棵。 =40(个)
2.解: (123×2+132×4)÷(2+4) 他平均每小时做40个。
=(246+528)÷6 3.C 提示: (78+39+41)÷2
=774÷6 =158÷2
=129(厘米) =79(亩)
191
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平均每天耕地79亩。 =57(亩)
4.D 提示: (197+91)÷3 答:这三天平均每天耕地57亩。
=288÷3 (51+51+39+30)÷(6+6+4+3)
=96(分) =171÷19
小红三门功课的平均成绩是96分。 =9(亩)
二、1.80 提示:68×3=204(分) 答:平均每小时耕地9亩。
62×2=124(分) 5.解:50×38=1900
204-124=80(分) (1900-124)÷(50-2)
他第三次得80分。 =1776÷48
2.6 4 1 提示: (40+42+45+11)÷3 =37
=138÷3 答:剩下的数的平均数是37。
=46(个) 6.解:24×3=72(千克) 26×3=78(千克)
46-40=6(个) 46-42=4(个) 46-45= 78-72=6(千克)……丁比甲多采的千克数
1(个) 28-6=22(千克)
分给一班6人,分给二班4人,分给三班1人, 答:甲队采22千克。
才能使每班学生人数相等。 7.解:4元5角=45角
3.9 6 提示: (28+31+15)÷2 3×(18-3)
=74÷2 =3×15
=37(个) =45(角)
37-28=9(人) 37-31=6(人) (45+45)÷18
分给甲组9人,分给乙组6人,才能使两组人数 =90÷18
相等。 =5(角)
4.91 提示:88×3=264(分) 答:平均每人要付5角。
(264+100)÷4 8.解: (39×20+42+36)÷(20+2)
=364÷4 =(780+42+36)÷22
=91(分) =858÷22
王红这四科的平均成绩是91分。 =39(千克)
三、1.解:48×2=96(棵) 答:现在这个班男生的平均体重是39千克。
42×2=84(棵) 9.解: 90×4=360(分)
(96+84)÷4 (90-2)×5
=180÷4 =88×5
=45(棵) =440(分)
答:四年级平均每班植树45棵。 440-360=80(分)
2.解:78×3=234(米) 答:王明自然考了80分。
(234+166)÷(3+2)
第九讲 一般的盈亏问题=400÷5
=80(米) 例1 解:小朋友的人数为:(22+18)÷(7-5)=40
答:这个修路队平均每天修路80米。 ÷2=20(个)
3.解:85×4=340(分) 87×5=435(分) 435 糖果块数:5×20+22=122(块)或7×20-18=
-340=95(分) 122(块)
答:第五单元测验必须考95分。 答:有20位小朋友和122块糖果。
4.解: (51+51+39+30)÷3 [同步精练]
=171÷3 1.班级数和足球数是不变量,由于每班多借
192
参 考 答 案
●小 ●学 ●四 ●年 ●级
(6-4)个,结果相差(3+7)个,便可求出分配到的班 苹果18×11+2=200(个)。
级:(3+7)÷(6-4)=5(个),从而求出足球的个数: 例4 解:50×8+60×5=400+300=700(米)
4×5+3=23(个)。 700÷(60-50)=700÷10=70(分)
2.班级数和苹果数个数是不变量,由于每班多 50×(70+8)=50×78=3900(米)
分(25-20)个,结果相差(17+18)个苹果,便可求出 答:张华家离学校有3900米。
分配到的班级:(17+18)÷(25-20)=7(个),买来 [同步精练]
的苹果数是20×7+17=157(个)。 1.迟到6分钟,还差65×6=390(米);早到
3.植树的人数和树的棵数是不变的。每人多栽 4分,还可以走75×4=300(米)。计划时间:(390+
(7-5)棵,就相差(14+4)棵,所以植树小组有18÷2 300)÷(75-65)=69(分),从工厂到家的路程是:
=9(人),一共有5×9+14=59(棵)树。 65×(69+6)=4875(米)。
例2 解:船的条数:20÷(5-3)=10(条) 2.每分钟行80米,提前6分钟到校,若继续走
学生人数:5×10=50(人) 还可走80×6=480(米);每分钟走50米,则要迟到
答:共有学生50人,共租了10条船。 3分钟,即还差50×3=150(米),计划走的时间:
[同步精练] (480+150)÷(80-50)=21(分),从家到学校的路
1.人数(份数)和糖果数(总数)是不变量,由于 程:80×(21-6)=1200(米)。
每人多分(9-8)粒,
结果就相差(25+0)粒,可求出 3.每小时行驶10千米,可以提前2小时到达,
小朋友有25÷(9-8)=25(个),共有糖果8×25+ 即继续行,可再走10×2=20(千米);每小时行驶
25=225(粒)。 8千米,迟到3小时,还差8×3=24(千米)。计划的
2.玻璃数(总数)和人数(份数)是不变量,由于 时间:(24+20)÷(10-8)=22(小时),甲、乙两城相
每人多擦(7-5)块,结果就相差(20+0)块,可求出 距:10×(22-2)=200(千米)。
有20÷(7-5)=10(人),共有玻璃7×10=70(块)。
练 习 卷
3.房间数(份数)和人数(总数)是不变量,由于
每个房间多住(5-3)人,就相差(20+0)人,可求出 一、1.200 提示:(20+2)÷(20-18)=11(人),
有20÷(5-3)=10(间)房间,共有5×10=50(人)。 20×(11-1)=200(块)。
例3 解:房间数:(20+4)÷(6-4)=24÷2= 2.138 提示:(10+6)÷(18-16)=8(个),
12(间) 16×8+10=138(个)。
人数:6×12-4=72-4=68(名) 3.5 提示:(3+7)÷(5-3)=5(个)。
答:有12间宿舍,有68名学生。 4.10 72 提示:(12+8)÷(8-6)=10(人),
[同步精练] 6×10+12=72(支)。
1.每人分7本书,就会剩6本书,即多6本书; 5.50 提示:10÷(12-10)=5(组),5×10=
每人分9本书,就缺8本书,即少8本书,也就是每 50(人)。
人多分(9-7)本,就相差(6+8)本,可求出分书的人 二、1.C 提示:(37+20)÷(12-9)=19(个)。
数:(6+8)÷(9-7)=7(人),共有书:7×7+6= 2.A 提示:(12+4)÷(7-5)=8(个)。
55(本)。 3.C 提示:(13+3)÷(32-28)=4(辆),
2.每个房间住5人,就有14名旅客没有床位, 28×4+13=125(名)。
也就是多14人;每个房间住7人,就会有4张床位 4.C 提示:(5+4)÷(17-14)=3(行)。
空着,即少4人;也就是每间多住(7-5)人,就相差 三、1.先 求 能 站 几 行:(37+20)÷(12-9)=
(14+4)人,可求出房间数:(14+4)÷(7-5)= 19(行),再求共有人数19×9+37=208(人)。
9(间),共有旅客:5×9+14=59(人)。 2.(60×5+75×2)÷(75-60)=30(分) 60×
3.每人分18个,还多2个;每人分20个,就有 (30+5)=2100(米)
一位小朋友没分到苹果,即少20个苹果;也就是每 3.12÷(12-10)=6(组) 10×6=60(人)
人多分(20-18)个,就相差(20+2)个,从而可求出 4.根据题意,按现有船来安排,每条船坐6人,
小朋友的人数:(20+2)÷(20-18)=11(个),共有 还有6人无船坐;如果每条船坐9人,还要有9人才
193
同步奥数培优
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能坐满每条船。两种方案结果相差9+6=15(人), 米)
而每条船所坐人数相差9-6=3(人),所以现有船 答:甲、乙两地间的距离为54千米。
15÷3=5(条),共有学生6×5+6=36(人)。 [同步精练]
5.两种分配方法相比较,每人搬的砖块数相差 1.(50+42)×[32÷(50-42)]=368(千米)
22-20=2(块),而“每人搬22块,则有两人没砖 2.14×[18÷(5+4)]=28(千米)
搬”,也就是每人搬22块,则少22×2=44(块),总数 3.(20+18)×[3×2÷(20-18)]=114(千米)
相差44+4=48(块),求出共有(22×2+4)÷(22- 练 习 卷
20)=24(个)同学,共要搬砖24×20+4=484(块)。
一、1.B 2.A 3.C 4.B 5.A 6.B
第十讲 相遇问题 二、1.9 提示:设全程为360米,甲速度:360÷36
例1 解:30÷(6+4) =10(米/分),乙速度:360÷12=30(米/分),360÷
=30÷10 (10+30)=9(分)。
=3(小时) 2.90 70 提 示:甲:(2400+300)÷30=
答:3小时后两人相遇。 90(米/分),乙:(2400-300)÷30=70(米/分)。
[同步精练] 3.300 提示:1200÷(75-15)=20(米/秒),
1.680÷8-42=43(千米) 20×15=300(米)。
2.400÷(450-250)=2(分) 4.20 提示:(300-80)÷(5+6)=20(天)。
3.(366-37×2)÷(36+37)=4(小时) 甲:37 5.138 提示:450-(38+40)×4=138(千米)。
×(4+2)=222(千米) 乙:36×4=144(千米) 三、1.分析:要求南北两岸的距离可用第一艘的速
例2 解:爸爸要追及的路程:70×12=840(米) 度乘第一艘船所用的时间,或是用第二艘船的速度
爸爸与小明的速度差:280-70=210(米/分) 乘第二艘船所用的时间。这两种时间都等于追及时
爸爸追及的时间:840÷210=4(分)。 间,所以问题归结为求追及时间。
综合算式:70×12÷(280-70)=4(分)。 解:30×2=60(千米)
答:爸爸出发4分钟后追上小明。 60÷(40-30)=6(小时)
[同步精练] 40×6=240(千米)
1.小强追上小明的时间:(1000-12×50)÷50 答:南北两岸相距240千米。
=8(分) 2.分析:根据背向而行的相遇时间可求出两人
小强骑自行车的速度:1000÷8=125(米/分) 的速度之和是:400÷2=200(米/分),再根据同向而
2.4小时后相距多少千米:(340-300)×4= 行的追及时间可求出两人的速度之差:400÷20=
160(千米) 20(米/分),再根据和差问题求出甲、乙各自的速度。
甲机提高速度后每小时飞行的距离:160÷2+ 解:甲:(400÷2+400÷20)÷2=110(米/分)
340=420(千米) 乙:(400÷2-400÷20)÷2=90(米/分)或甲:90米/
3.60×2÷(84-60)=5(小时) 分 乙:110米/分。
例3 解:(190+240)÷(20+23)=10(秒) 答:甲每分钟走110米,乙每分钟走90米。或
答:需要10秒。 甲每分钟走90米,乙每分钟走110米。
[同步精练] 3.解:(860-300)÷7-37=43(米/分)
1.(160+440)÷30=20(米/秒) 答:乙每分钟走43米。
2.3分45秒=225(秒) 18×225-258=4050 4.解:有两种情况,①如两车还未相遇,则有(40
-258=3792(米) +50)×2+40=220(千米);②如两车相遇后又相
3.(142+173)÷(22-17)=63(秒) 离,则有(40+50)×2-40=140(千米)。
例4 解:从出发到相遇所用的时间是:6÷(5-4)= 5.解:(265+985)÷25=50(秒)
6(小时) 答:需要50秒。
因此,甲、乙两地的距离是:(5+4)×6=54(千 6.解:(200+50)÷25=10(米/秒)
194
参 考 答 案
●小 ●学 ●四 ●年 ●级
答:这列火车每秒行10米。 3.
7.解:
至少移4枚硬币,移法:如图所示,将图甲的3
枚硬币移至图乙右上角,图甲右下角的一枚硬币移
方法一:乙车3小时走了:40×3=120(千米)
: 至图乙左上角。甲车3小时走了 320-120=200(千米)
乙车从货站开到东城要用:(320+200)÷40= 例2 3只蛋糕每只平均分4块,共分:4×3=
13(小时) 12(块)
方法二: 每人分几块 12÷12=1(块)
320×2=640(千米) 4只蛋糕每只平均分3块,共分:3×4=12(块)
40×3=120(千米) 每人分几块 12÷12=1(块)
(640-120)÷40=13(小时) 每人共分几块 1+1=2(块)
答:乙车从货站开到东城要用13小时。 [同步精练]
8.分析:这道题的关键是:大毛和二毛相遇的时
1.大块是中、小块的和,我们把3块叠起来对准
间和狗跑的时间是一样的。
圆心,从中间一刀切下去,成了6块,2份大的半块分
解:500×[1000÷(120+80)]=2500(米)
: 给两个人,每半块中的加每半块小的再分给另两答 狗共行了2500米。
9.解:车队145秒行的路程为5×145=725 个人。
(米)。车队长度为725-200=525(米) 2.分析:首先要注意,要使得用船次数最少,每
车队共有车(525-5)÷(5+8)+1=41(辆) 次船上人必最多。还要注意由于没有船夫,前面每
答:这个车队共有41辆车。 次必须有人将船划回来。所以前面每次最多渡过5
10.解:乙的追及时间:4×3÷(5-4)=12(小 -1=4(人),但是最后一次最多却可以渡5人。
时) 解:(37-5)÷(5-1)×2+1=17(次)
AB 间的距离:5×12=60(千米) 答:至少要用船17次。
丙比乙晚出发的时间:12-60÷6=2(小时)
3.分析:对折一次后在中间剪开有2+1=
答:乙出发2小时后丙才出发。
3(根),对折两次后在中间剪开有2×2+1=5(根),
第十一讲 操作问题 对折3次后在中间剪开有2×2×2+1=9(根),从而
例1 对折4次后有:2×2×2×2+1=17(根)。
解:2×2×2×2+1=17(根)
答:剪开后共有17根。
例3
[同步精练]
1. 4 5 1 2 3
规律:按照数表外围的
3 1 2 3 4
数字最底面从右往左,
2 5 5 4 5
从外圈向里圈数是1、
1 4 3 2 1
2、3、4、5这样排列。 [同步精练]
5 4 3 2 1
2. 1. 2.○ ○
○ ○
5枚
○ ○
○ ○
195
同步奥数培优
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3. 子。因此,经过3985次取、放后,甲盒中还剩下3987
-3985=2(个)棋子。
根据题中所说的取、放方法,每次取、放之后,甲
盒中要么减少1个黑棋子,要么减少2个白棋子增
加1个黑棋子。显然,甲盒中的白棋子总是两个两
例4 个地减少。而甲盒中有1993个白棋子,那么,最后
必定剩下1个白棋子。另外剩下的那个棋子一定是
黑色的。
3. 添加的砝码
[同步精练] 方法 左边 右边
1.分析:将图形分成3块,每块中有小正方形一 例如 3克 0克
定是12÷3=4(块)。又因为每块中都有一个小圆 ① 1克、2克 0克
圈,所以如何分块,我们还得以小圆圈为出发点。我
② 4克 1克
们考虑以含有小圆圈的正方形为一块,并且含4个
③ 1克、5克 3克
小正方形的各种可能。例如最左端有小圆圈的一
④ 2克、4克 3克
块,含它在内的有4个小正方形的图形有6个,对这
⑤ 2克、5克 4克
6个图形分别试验可以得出该题的解。
4.分析:在动手剪之前,我们先数出图中有9个
小正方形,可见,拼成的大正方形每边上应该有3个
解:如图所示,沿粗线剪开 小正方形。这样,就可以找到拼的方法了。
2.解:如图所示,沿不同颜色剪开,并翻折即
可。
3. 5.分析:由于中间方孔不变,所以要使得分割后
所剩部分为中间有孔的正方形,则分割方法一定是
如图(1),相当于从大正方形内部挖掉一个“回”字形
图,或如图(2), 从大正方形4个角去掉4个相同的
练 习 卷
小直角三角形。图(1)的分割方法不合题意,图(2)
1. 的方法满足要求。我们可以将图沿着图(2)中虚线
剪开,再如图(3)那样的拼合,图(4)为分割所剩
部分。
解:沿图(2)中虚线剪开,再如图(3)拼合,图(4)
为分割所剩部分,这时就可以得到两个大小一样的,
“ ” , 中间有方孔的正方形。利用 平移 法 可知量出图中标记的6段长度
即可,所以最少要量6段。
2.解:根据题意,甲盒中共有1993+1994=
3987(个)棋子。每次取出2个棋子后又放回到甲盒
中1个棋子,实际每次取、放后,甲盒中减少1个棋
196
参 考 答 案
●小 ●学 ●四 ●年 ●级
6. 所以∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=∠6+∠7+
∠3+∠2+∠5=180°。
第十二讲 合理安排
例1 这个最短时间是3×6+4×5+5×4+6×3+
7.一次操作以后(1),两次操作以后(4), 7×2+10=100(分)。
( ), ( ), [同步精练]三次操作以后 16 四次操作以后 64
1.要使时间少,顺序为小赵、小李、小王。
五次操作以后(64×4=256) 2.五人打水时间由少到多排队。1×5+2×4+
8.分析:黑棋要想获胜,必须想办法逼白棋向 3×3+4×2+5×1=35(分)
左移。
3.打水1分的排在第1个位置,2分的排在第
解:若第一步白棋移到D,则黑1移到C;白棋 2个位置,3分、4分分别排在第3、4个位置。所以这
再走的话,一定得向左走,此时,如果白棋第二步走
4人按照打水所需时间由少到多的顺序排队,所费时
到E,那么黑2到D;如果白棋第二步走到F,那么 间最省。这样得出4人排队和打水时间总和的最小
黑1移到D……如此一步一步将白棋逼到顶点。
值是:
若白棋第一步移到E,则黑2移到C;如果白棋
1×4+2×3+3×2+4×1=20(分)
第二步走到D,那么黑1到B;如果白棋第二步走到
例2 3个饼共6面,1分钟可煎2面,煎6面只需3
F,那么黑1移到D……最终也可以一步一步将白棋
分钟。
逼到顶点。
[同步精练]
9.可以将某一个小正方形固定不动,假想将周
1.煎3个饼用去9分钟,设3个饼分别为A、
围的正方形折起来,看能否形成一个正方体。如果
B、C,方法如下:
有一个正方形可以就可以,反之亦然。最后发现只
(1)A 正 B 正
有③不可以。 (2)A 反 C 正
10. (3)B 反 C 反
共3×3=9(分),所以21÷3×9=63(分)。
2.分析:煎一个饼要4分,煎2个饼要4分,煎3
个饼要6分,可见当煎饼个数大于1个时,煎饼所用
如上图,可知平行四边形两边长度分别为:9+1 时间正好是煎饼个数的2倍,所以煎8个饼,至少用
=10(厘米),9+5=14(厘米); 16分。
可以求出六边形另两条边为:14-1=13(厘 解:8×2=16(分)
米),10-5=5(厘米); 3.解:若m=1时,至少需要4分;
所以六边形周长为:13+5+5+9+9+1=42(厘 若m≥2时,至少需要2m 分钟。
米)。 例3 解:(1)共计3+10+3+3+4+6=29(分)
11. (2)共计8+5+3+10=26(分)
[同步精练]
1.先洗锅2分钟,接着烧热锅2分钟,烧热油
4分钟,在这同时完成敲蛋,搅蛋,切葱三项工作,最
后炒蛋用4分钟,这样共用:2+2+4+4=12(分)。
解:如右上图,有∠6+∠7+∠8=180°,∠1+ 2.洗开水壶要1分钟、烧开水要15分钟(同时
∠4+∠9=180°, 洗茶壶要1分钟,洗茶杯要1分钟,拿茶叶要2分
且∠8=∠9, 钟),这样共用:1+15=16(分)。
所以∠6+∠7=∠1+∠4, 3.12分钟。
197
同步奥数培优
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2 分 钟 2分 钟 3分 钟 5 分 钟 5.让理发时间短的人先理,这样可以缩短总的等
洗锅 → 将锅烧热 → 将油烧热 → 煎烧
↑ 候时间,因此这样安排:甲师傅理三位顾客,理发时间分
↓
洗鱼 → 切鱼 → 切姜葱 别是10、15和20分钟,乙师傅理两位顾客,理发时间分
2分 钟 2 分 钟 1分 钟 别是12和24分钟,理发和等候的时间总和为10×3+
例4 所需费用为:1×10×(100×4)+1×20×(100 15×2+20×1+12×2+24×1=128(分)。
×3)
=10000(元) 6.分析:所用的时间是指他们四个各自收割时
[同步精练] 间与等待的时间的总和,因为各自收割的时间不变,
1.3 提示:这里按每个厂的人数多少和距离的 所以在安排收割的顺序时,该使等待的时间尽可能
长短来安排,应设在3号工厂,假设相邻两个工厂距 少,即应该安排收割时间少的人先用。顺序是:乙、
离为K 米,100×2K+120K+215K=535K(米), 丁、丙、甲,过程可用下表表示:
总路程最少。
乙收割 丁收割 丙收割 甲收割
2.解:货物总质量为10+30+20+10+60= 的时间 的时间 的时间 的时间
130(吨),可以看出,各仓库的货物质量均不超过总 乙等待的时间 1
质量的一半65吨,因此应向中间集中,将E 仓库的 丁等待的时间 1 2
货物运至D 仓库,此时D 仓库货物质量为70吨,超
丙等待的时间 1 2 3
过了65吨,所以集中运到D 仓库运费最少。
甲等待的时间 1 2 3 4
运费=0.5×100×3×10+0.5×100×2×30+
0.5×100×20+0.5×100×60 从表中可看出,四人收割的时间为:1+2+3+4
=8500(元) =10(小时)
答:运到D 仓库最省运费,为8500元。 三人等待的时间为:1×3+2×2+3=10(小时)。
3.分析:这种运输问题,运的货物越重路程越 解:1+2+3+4=10(小时)
远,花费就越多,反之,如果移动的货物质量小路程 1×3+2×2+3=10(小时)
近,花费的费用就少。在本题中,各粮库之间距离相 10+10=20(小时)
等都是50千米,一般原则是“少往多处靠”。集中存 答:安 排 顺 序 为:乙、丁、丙、甲,最 少 时 间 是
在粮食较多的库房比较节约,甲、乙两仓库粮食合起 20小时。
来是30吨,还不如丁粮库的粮食多,所以应将甲、乙 7.分析:甲厂供给二区20吨,三区40吨;乙厂
粮库的粮食集中放在丁粮库。甲粮库需用1×10× 供给一区45吨,二区55吨。
50×3=1500(元),乙粮库需要1×20×50×2=2000 解:从已知条件中可以看出,乙厂到一区最近,
(元),共用1500+2000=3500(元)。 而甲厂到一区最远,所以一区的面粉由乙厂供应。
解:1×(10×3+20×2)×50=3500(元) 虽然甲厂到二区最近,但是甲厂到二区的距离
答:最少要花3500元运费。 只比乙厂到二区的距离少8-5=3(千米),相比之
下,甲厂到三区的距离比乙厂到三区的距离要少
15
练 习 卷
-6=9(千米),所以三区的面粉应由甲厂供应,甲厂
一、1.30 剩余的面粉和乙厂剩余的面粉同时供应二区,分配
2.65 提示:按B、C、A、E、D 的顺序加工,耽 方案见下表。
误时间总和最少为:3×5+4×4+5×3+6×2+7=
65(分钟)。
运输量(吨) 一区 二区 三区
3.14 提示:医生应先给小华点眼药水,再给李
甲 0 20 40
明包纱布,最后给孙东打针。 乙 45 55 0
三人留在卫生室总时间:1×3+3×2+5= 8.因为3×11+7×2=47(人),所以男的住了
14(分)。 11人的房间3间,7人一间的房间2间。又因为1×
二、1.小王———小李———小赵 2.6分钟 3.25 11+7×5=46(人),所以,女的住了11人一间的房
分钟 4.16分钟 间1间,7人一间的房间5间。
198
参 考 答 案
●小 ●学 ●四 ●年 ●级
最少安排:3+2+1+5=11(个)。 10.54÷(4-1)=18(秒) 18×(6-1)=
第十三讲 植树问题 90(秒) 90-54=36(秒)
11.(100+40)×2÷2=140(棵)
例1 解:5×(45-1)=220(米) 12.17×(11-1)=170(级)
答:这条路长220米。 13.6÷(3-1)×(7-1)=18(分)
[同步精练]
14.52÷2-1=25(棵) 100÷25=4(米)
1.(50-1)×3=147(米)
2.(42÷6-1)×2=12(面) 第十四讲 最优化问题
3.1×8=8(个) 例1 解:船停靠在P 点处,小冬、小李两人所走的
例2 解:6÷(4-1)=2(分) 13-1=12(次) 2× 路程之和最短。
12=24(分)
答:锯成13段需要24分钟。
[同步精练]
1.12÷(4-1)×(6-1)=20(分)
2.8÷(5-1)×(20-1)=38(分)
3.5÷(6-1)×(10-1)=9(秒) [同步精练]
例3 解:9÷(4-1)÷3×(8-1)=7(分) 1.
答:大人从1楼到8楼共要7分钟。
[同步精练]
1.126÷21+1=7(层)
2.(6-1)×2×5=50(元) 2.
3.24÷(7-1)=4(分) 40÷4+1=11(棵)
练 习 卷
一、1.11 提示:5÷(6-1)=1(秒),(12-1)×1=
11(秒)。 例2 解:如图,桥应建在CD 处。
2.40 提示:80÷4=20(盆),20×2=40(盆)。
3.5 提示:64÷16+1=5(楼)。
4.11 提示:甲:4-1=3(层),乙:3-1=
2(层),甲到16层:(16-1)÷3=5,乙:2×5+1=
11(层)。
5.8 7 提示:(10-3)÷(3-2)+1=8(天),
。 [同步精练]7夜
6.397 提示:(57-1)×2+57×5=397(米)。 1.
二、1.(7-1)×4=24(盏)
2.500÷50-1=9(根)
3.(50÷5+1)×2=22(面)
4.82÷2-1=40(棵) 200÷40=5(米)
5.(52÷2-1)×16=400(米) 2.
6.(151-1)×7÷3=350(米/分)
7.40×2=80(米)
8.(4-1)×3×3=27(分)
9.6÷(4-1)=2(分) 18÷2+1=10(段)
199
同步奥数培优
TongbuAoshuPeiyou
例3 解:不难找到从A 到B 的所有最短路线,即: [同步精练]
A→C→D→G→B A→C→F→G→B
A→C→F→I→B A→E→F→G→B
A→E→F→I→B A→E→H→I→B
这道题实际上可以用标数字相加的方法找到最
短路线走法的规律,如下图(一般来说,从出发点, 2×3÷2=3(条) 2×3÷2=3(条)3×4÷2=6(条)
横、竖两条线段上的交点分别表示 ,然后把对角线 3×4÷2=6( )1 条 4×5÷2=10
(条)
6×6=36(个)
上的数相加,这样便可求出不同的走法) 3×6=18(个) 10×3=30(个)
练 习 卷
1.
答:共有6种最短路线的走法。
[同步精练]
1.
2.
从家到学校共有20种最短路线的走法。 桥应建在PA 处。
2.
3.
共有15种不同的走法。 共6种。
3.
4.
有4条。 5.30个 60个
例4 解:从一个顶点向两边分别标上数字
数出各有线段条数 3×4÷2=6(条)
2×3÷2=3(条) 6.
共有平行四边形:6×3=18(个)
第十五讲 智巧问题
例1 解:经过19天,这些睡莲就能长满半个池塘。
[同步精练]
1.由于荷叶每天长大1倍,第12天把池塘盖
满,所以盖满池塘的一半时是第11天。
200
参 考 答 案
●小 ●学 ●四 ●年 ●级
2.1分59秒 的人有位置放棋子,必然留下另一空位给先放的人,
3.一样多 直到后 放 的 不 能 再 放 为 止。所 以 先 放 的 人 必 定
例2 解:(1)这只蜗牛每天实际向上爬了多少米 取胜。
3-2=1(米) 练 习 卷
(2)几天爬到井口 (12-3)÷1+1=10(天)
答:这只蜗牛10天能爬到井口。 一、1.59
[同步精练] 2.511 提示:1+2+4+8+16+32+64+128
1.(10-4)÷(4-3)+1=7(天) +256=511(粒)。
2.画一个正方形,要画4条相等的线段,而图中 3.3
共有线段2×6=12(条),即有12÷4=3(个)小正方 二、1.我们不妨直接来想:5只猫在5分钟内可以捉
形形成 的 段 数,因 此 画 好 这 个 图 形,需 要 蘸 三 次 5只老鼠,那么5只猫在5×2=10(分钟)内可以捉
墨水。 到5×2=10(只)老鼠,在5×4=20(分钟)内可以捉
3.(14-3)÷(3-2)+1=12(天) 到5×4=20(只)老鼠,因此,5×20=100(分钟)抓5
例3 详解见【思路分析】 ×20=100(只)老鼠,由于时间多用了20倍,因此抓
[同步精练] 老鼠的只数也相应地扩大20倍,但猫的只数没有
1.参照例3,只要用天平称3次就可把次品找 变,所以,100分钟抓100只老鼠需要5只猫。
出来。 2.因为王欣买《葫芦岛历险记》只缺1分钱,所
2.第一次先把7千克和2千克的砝码放在天平 以只要李媛带了1分或多于1分的钱,则两人的钱
的一端,在另一端称出9千克的盐;第二次再把9千 合起来肯定够买一本书,这说明李媛没带钱。李媛
克盐和7千克砝码放在天平一端,在另一端称出9+ 所缺的2元4角钱,就是这本书的价钱。
7=16(千克)的盐;第三次在天平的一端放上9+16 3.想一想:狼狗、兔子和青菜,谁和另外两者都
=25(千克)的盐,另一端放上25千克的盐,这时天 不能离开猎人而单独在一起
平的两端共有25+25=50(千克)的盐,此时还剩下 猎人不在时,兔子既不能和狼狗在一起,也不能
90千克,这样便可得到90千克和50千克。(答案不 和青菜在一起。猎人可以经过4个来回,将狼狗、兔
唯一) 子和青菜全部安全带过河去,方法如下:
3.①把20克的砝码和70克药粉混合放在一 (1)先把兔子带过河去,猎人独自划船返回;
起,放在天平的两端,便可称出20+25=45(克)这样 (2)再把狼狗带过河去,猎人划船将兔子带回;
的两堆;②再把25克的药粉这一堆取20克与20克 (3)将青菜带过河去,猎人独自划船返回;
的砝码分别放在天平的两端,剩下的便为5克的 (4)将兔子带过河去。
药粉。 4.把小盒子放进中盒子里,大盒子另外放,小盒
例4 144-3=141(个) 里放4个,中盒里放4个,大盒里放8个。
[同步精练] 5.分成50、50、1三堆:第一次称两个50,如果
1.他们把3根圆木摆成三角形,每人抬一角。 平了,第二次从这100个中任意拿1个(当然是真
2. 的)与第三堆的1个称,自然会得出结果;第一次称
两个50不平是正常的,第二次我们把其中一堆(或
重的或轻的都行)分成25、25称第二次;①把轻的分
成25、25,如果平了,说明那堆重的有假,当然假的是
超重;如果不平,说明这50个轻的有假,假的是轻
3.缩小桌面,使这张桌子只能放下一枚棋子,当 了;②把重的分成25、25,道理同上。所以两次可以
然是先放的人胜利。让圆桌变大,由于圆桌有对称 发现轻重,但是找不出哪个是假的。
中心,那么问题便迎刃而解了———还是先放的获胜。 三、1.每份为2杯半牛奶。
方法是先放的人在对称中心处放第一枚棋子。根据 第一份:2整杯,1半杯,2空杯
平面内其他各点以中心点呈对称性可知,只要后放 第二份:2整杯,1半杯,2空杯
201
同步奥数培优
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第三份:1整杯,3半杯,1空杯 的数值,加上正确的数值即得:201-7-90+9+60
2.排成六边形,一人在角上当两人用。每行 =173。 11.五 日
5人。 二、4.8×7.8+78×0.52=4.8×7.8+7.8×5.2=
3.每个铁丝网重30克,而每个铁丝网共用铁丝 (4.8+5.2)×7.8=10×7.8=78 1.87×9.9+
所在的线段有2×6=12(条)。而由同型号的铁丝制 0.187=1.87×9.9+1.87×0.1=1.87×(9.9+
成的右图的铁丝网,共用线段条数4×10=40(条), 0.1)=1.87×10=18.7 46×57+23×86=46×
每2条为一组,左边图形有12÷2=6(组),每组重 57+46×43=46×(57+43)=46×100=4600
30÷6=5(克),右边图形有40÷2=20(组),一共重 7.2×0.2+2.4×1.4=2.4×0.6+2.4×1.4=
5×20=100(克)。 2.4×(0.6+1.4)=2.4×2=4.8
四、1.因为水涨船高,所以水在涨高,船也在涨高, 三、45 225 18
船上的梯子也随着船升高而升高,不管水怎样涨,永 四、1.若父母的年龄之和是小明年龄的7倍,则父
远都是第三级。 母的年龄之和一定是7的整数倍,可能是70、77、84
2.列表如下: 等等,今年父母的年龄之和是73岁与77最接近且
层数 质量 相差4,恰好是过2年,小明年龄为11岁,与题意
第一层 1千克 符合。
第二层 2千克 2.400÷(450-250)=2(分)
第三层 3千克 3.2+10=12(分)
第四层 6千克 4.解:3×40-15=105(米) 答:甲、乙两地之
第五层 12千克 间相距105米。 提示:从第一次相遇到第二次相
第六层 24千克 遇,两人走的路程是第一次相遇时两人走的路程的
第七层 48千克 2倍。
第八层 96千克 5.分析:73-58≠4×4,我们知道四个人四年应
第九层 192千克 该增长了4×4=16(岁),但实际上只增长了15岁,
因为192千克>100千克。而96千克<100千 为什么呢 是因为在4年前,弟弟还没有出生,那么
克,所以这些箱子最多只能堆八层。 弟弟今年应该是几岁呢 我们可以这样想:父亲、母
3.根据植树原理,100条毛巾用夹子夹在绳子 亲、姐姐三个人4年增长了12岁,15-12=3,3就是
上晒干,由于两头都夹,同一个夹子可以夹在相邻的 弟弟的年龄! 那么很快能得到姐姐是3+2=5(岁),
两条毛巾 的 两 边,夹 子 数 要 比 毛 巾 数 多1个,即 父母今年的年龄和是73-3-5=65(岁)。根据和差
101个。 问题,就可以得到父亲是(65+3)÷2=34(岁),母亲
4.由于是中午在谈话,小聪说的是再过36小时 是65-34=31(岁)。
会不会出太阳;再过24小时是第二天中午,此时还 解:由题意可知弟弟3岁,姐姐:3+2=5(岁),
差12小时,到第36小时应该是半夜,不管天气是否 父亲:(65+3)÷2=34(岁) 母亲:65-34=31(岁)
晴朗,都不会出太阳。 6.解:小正方形的边长是:(136-4×4)÷2÷4
综合调研卷 =120÷8=15(厘米)。大正方形的边长是:15+4=
19(厘米)。
一、1.22 2.蓝 69 3.40 4.621 9 5.30 7.解:两列车的长度的和为:(25+20)×9=
6.36 7.10 8.2500 405(米),乙车的长度为:405-225=180(米)。
9.120 提示:从100至199的整数中,每个数 8.36÷4+1=10(盆) 10×10=100(盆) 答:
的百位上都是1,所以1出现的次数为100+20= 这个方阵共有100盆花。
120(次)。 9.10×6+4×4-6×2=64(平方厘米)
10.173 提示:用和分别减去个位、十位上错误
202
