同步奥数培优
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第二讲 轴对称和平移(综合应用)
【知识概述】
我们已经会在方格图上把一个图形进行平移和旋转,也能够在平面图上画出一个轴
对称图形(对称轴另一边的图形)。在这一讲里,我们将这些知识进行综合运用,探究图
形运动中的奥秘。
例题精学
例1 说一说,图形A 是怎样运动到图形B 的位置上的
【思路点拨】 图形的平移只是位置发生了改变,原图形中各部分所处的方位是不改变的,但是
从图形A 到图形B,不仅仅有平移还应有旋转。我们可以看作图形A 先向下平移3格,然后
绕O 点顺时针旋转90°,最后向右平移5格。当然,也可以看作图形A 是先向右平移5格,再
向下平移3格,最后绕O 点顺时针旋转90°。
同步精练
1.说一说图形A 是怎样运动到图形B 的位置上的
2.说一说图形A 是怎样运动到图形B 的位置上的
6
第二讲 轴对称和平移(综合应用)
●小●学●五●年●级
3.说一说图形A 是怎样运动到图形B 的位置上的
例2 把下图绕O 点顺时针旋转90°,画出旋转后的图形。
【思路点拨】 把这个三角形绕O 点顺时针旋转90°,关键是把与O 点有关的两条线段分别顺
时针旋转90°,要特别注意这两条线段的长度不能改变,然后再把第三条线画出。
画出的图形如下:
同步精练
把下面图形绕O 点按顺时针方向旋转90°。
1. 2.
3.
例3 画出轴对称图形的另一半。
【思路点拨】 轴对称图形对称轴两边的图形沿着对称轴对折后能完全重合,说明对称轴左右
两边图形中的每一个点与对称轴之间的距离是相等的,因此,知道了对称轴左边的图形,要画
7
同步奥数培优
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出对称轴右边的图形,只要将左边图形中的一些关键点(如两条线段的交点)在对称轴右边画
出来,再顺次连成线,就画出轴对称图形的另一半了。
同步精练
画出轴对称图形的另一半。
1.
2.
3.
例4 从镜子里看到的三角形是什么形状 在正确的图形上画“√”。
【思路点拨】 镜子中的像与实际物体的形状、大小完全一样,可以看作是关于镜子成轴对称的。
当图形正对镜子摆放时,镜子会改变它的左右方向,上下方向不改变。例如,当你面对镜子举起
左手,站在镜中的人的角度看,是举起了右手。图中镜子前的直角三角形直角在左上方,那么镜
子中的直角在右上方(以观察者从镜子里面往外看的角度)。所以应选图形②。
同步精练
1.一个挂钟钟面上没有数字,小明从镜子中看是6时半,钟面上的实际时间是( )。
2.下图是从镜子中看到的一串数字,这串数字应为( )。
8
第二讲 轴对称和平移(综合应用)
●小●学●五●年●级
3.把镜子放在虚线上,看整个图形是什么 再画出另一半。
练 习 卷
1.先看图,再判断。
(1)由图A 绕O 点顺时针旋转90°,可以得到图B。 ( )
(2)由图B 绕O 点逆时针旋转90°,可以得到图A。 ( )
(3)由图A 绕O 点逆时针旋转90°,可以得到图B。 ( )
(4)由图B 绕O 点顺时针旋转90°,可以得到图A。 ( )
2.画出三角形ABO 绕O 点逆时针旋转90°得到的图形。
3.画出对称轴另一边的图形。
4.下面是镜子中的时间,请画出现实的时间。
9
同步奥数培优
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5.请在正确图形下面的□里画“√”。
(1)
(2)
6.将下图中的图形绕A 点顺时针旋转180°。
7.把梯形绕A 点逆时针旋转90°,再向下平移2格,向右平移5格。
8.把图中的圆先向下平移4格,再向右平移2格。
9.说一说由图形A 如何得到图形B。
10参 考 答 案
●小●学●五●年●级
参 考 答 案
(6.3÷2.1)×(7.7÷1.1)×(8.4÷4.2)=3×7×2
上册 =42 2.(15.6×4.3×6.8)÷(5.2×4.3×3.4)=
(15.6÷5.2)×(4.3÷4.3)×(6.8÷3.4)=3×1×
第一讲 小数除法(小数除法中的简便计算) 2=6 3.(9.1×12.5×8.1)÷(0.9×2.5×13)=
(9.1÷13)×(12.5÷2.5)×(8.1÷0.9)=0.7×
例1 (1)2.4÷0.5=(2.4×2)÷(0.5×2)=4.8÷ 5×9=31.5
1=4.8 (2)1.2÷2.5=(1.2×4)÷(2.5×4)=
4.8÷10=0.48 (3)3.1÷0.125=(3.1×8)÷ 练 习 卷
(0.125×8)=24.8÷1=24.8
1.1.8÷0.5=(1.8×2)÷(0.5×2)=3.6÷1
[同步精练]
=3.6 2.5.6÷0.7÷0.2=5.6÷(0.7×0.2)=
1.1.8÷0.25=(1.8×4)÷(0.25×4)=7.2÷
5.6÷0.14=40 3.9.9876÷1.25÷8=9.9876÷
1=7.2 2.3.6÷0.2=(3.6×5)÷(0.2×5)= (1.25×8)=9.9876÷10=0.99876 4.1.2÷
18÷1=18 3.7.6÷0.125=(7.6×8)÷(0.125×
0.125=(1.2×8)÷(0.125×8)=9.6÷1=9.6
8)=60.8÷1=60.8 5.370÷12.5÷0.08=370÷(12.5×0.08)=370÷
例2 (1)31.4÷2.5÷4=31.4÷(2.5×4)= 1=370 6.3.14÷(3.14×8)=3.14÷3.14÷8=
31.4÷10=3.14 (2)12.5÷(12.5×4)=12.5÷ 1÷8=0.125 7.(2.6×0.15×1.1)÷(22×
12.5÷4=1÷4=0.25 0.13×0.3)=(2.6÷0.13)×(0.15÷0.3)×
[同步精练] (1.1÷22)=20×0.5×0.05=0.5 8.(3.6×
1.10.8÷1.2÷3=10.8÷(1.2×3)=10.8÷ 0.75×1.2)÷(1.5×24×0.18)=(3.6÷0.18)×
3.6=3 2.7.6÷(7.6×2)=7.6÷7.6÷2=1÷2 (0.75÷1.5)×(1.2÷24)=20×0.5×0.05=0.5
=0.5 3.15.6÷5.2÷3=15.6÷(5.2×3)= 9.(3.4×4.8×9.5)÷(1.9×1.7×2.4)=
15.6÷15.6=1 (3.4÷1.7)×(4.8÷2.4)×(9.5÷1.9)=2×2×5
例3 16.15÷1.8+1.85÷1.8=(16.15+1.85)÷ =20 10.3.9÷1.3+9.1÷1.3=(3.9+9.1)÷
1.8=18÷1.8=10 1.3=13÷1.3=10 11.17.6÷0.8-1.6÷0.8=
[ 同步精练] (17.6-1.6)÷0.8=16÷0.8=20 12.12.9÷
1.15.76÷3.5+19.24÷3.5=(15.76+ 3.6+23.1÷3.6=(12.9+23.1)÷3.6=36÷3.6
19.24)÷3.5=35÷3.5=10 2.7.6÷1.4+6.3÷ =10 13.10÷4÷12.5=10÷(4×12.5)=10÷50
1.4+2.9÷1.4=(7.6+6.3+2.9)÷1.4=16.8÷ =0.2 14.17.2÷(17.2×0.5)=17.2÷17.2÷
1.4=12 3.15.8÷0.3-0.8÷0.3=(15.8- 0.5=1÷0.5=2 15.17.8÷0.4-1.4÷0.4=
0.8)÷0.3=15÷0.3=50 (17.8-1.4)÷0.4=16.4÷0.4=41 16.19.6÷
例4 (8.6×7.2×9.3)÷(4.3×3.6×3.1)= 4+20.4×0.25=19.6×0.25+20.4×0.25=
(8.6÷4.3)×(7.2÷3.6)×(9.3÷3.1)=2×2×3 (19.6+20.4)×0.25=40×0.25=10
=12
第二讲 轴对称和平移(综合应用)
[同步精练]
1.(6.3×7.7×8.4)÷(2.1×1.1×4.2)= 例1 图形A 先向下平移3格,然后绕O 点顺时针
1 61
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旋转90°,最后向右平移5格。 3.
[同步精练]
1.先向右平移5格,再向上平移3格,然后绕
O 点顺时针旋转90°。(答案不唯一) 2.先向右平
移4格,再向下平移4格,然后绕O 点顺时针旋转
例 选择图形 画“ ”。
4 ② √
90°。(答案不唯一) 3.先向右平移9格,再绕O [同步精练]
点逆时针旋转90°。(答案不唯一)
例2 1.5时半 2.810076 3.
练 习 卷
1.(1)× (2)× (3)× (4)×
2.
[同步精练]
1.
3.
2.
4.
3.
5.(1)√ (2)√
6.
例3
7.
[同步精练]
1.
8.
2.
1 62
参 考 答 案
●小●学●五●年●级
9.先把图A 绕O 点顺时针(或逆时针)旋转 75的最大公因数15。 2.[6,7,8,9]=504,504×
180°,然后向右平移9格,最后向上平移3格。(答 20=10080,504×198=99792,198-20+1=179。
案不唯一) 共有179个。 3.60÷14=4……4,60÷11=
5……5,60÷9=6……6。
第三讲 倍数与因数(一)
练 习 卷
例1 (30,24,42)=6,(30+24+42)÷6=16(个)。
: , 。 答 每组最多有6人 此时一共可以分成16个小组 1.[60,75,90]=900;(48,36,84)=12。
[ 同步精练] 2.(120,80)=40,(120÷40)×(80÷40)=3×2=6
1.180=22×32×5,840=23×3×5×7,150= (张)。答:至少能裁6张。 3.(27,18)=9。答:
2×3×52,(180,840,150)=2×3×5=30。 至少要租9条船。 4.[20,15]=60,(60÷20)×
2.(32,40,24)=8,(32+40+24)÷8=12(组)。 (60÷15)=12(块)。答:至少要12块才能拼成一
答:每组最多有8人,要编成12组。 3.(336, 个实心的正方形。 5.[6,4,7]=84。答:84分
252,210)=42,336÷42=8(个),252÷42=6(个), 后,三人又会在 A 地相会。 6.96÷4+1=25
210÷42=5(个)。答:最多可以分成42份同样的 (棵),[4,6]=12,96÷6-96÷12=8(棵)。25+8
礼物;在每份礼物中,苹果有8个,梨子有6个,橘子 =33(棵)。答:这条路上一共需栽33棵树。
有5个。 7.[4,5,7]=140,140-1=139(个)。答:这箱鸡蛋
例2 [16,12]=48,(48÷16)×(48÷12)=3×4= 至少有139个。 8.[10,15]=30,30÷10=3
12(块)。答:最少需要12块。 (辆),30÷15=2(辆),(1+1)÷(3-2)=2,30×2
[同步精练]
=60(人)。答:这个班共有60人。 9.[12,16,
1.[56,36,284]=35784 2.[30,45,75]=
24,28]=336,336×3=1008,336×29=9744,29-
450,450秒=7分30秒。答:最少需要7分30秒才
3+1=27(个)。答:有27个。 10.[3,5,7,11]=
能再次同时在起点相会。 3.[18,12,24]=72,第
1155,1155×8=9240。答:这 个 四 位 数 最 大 是
一道工序要安排72÷18=4(人),第二道工序应安
9240。
排72÷12=6(人),第三道工序应安排72÷24=
3(人)。 第四讲 倍数与因数(二)
例3 [6,5,4,3,2]=60,60÷(7-1)=10(岁),
10×7=70( )。 :
。 : 。
岁 答 甲现在70岁,乙现在10岁。 例1 4×252÷28=36 答 另一个数是36
[同步精练] [同步精练]
1.[9,60]=180,180分=3时。答:下一次既 1.4×168÷24=28。答:这个数是28。
响铃又亮灯是下午3时。 2.90÷2=45(段), 2.90÷6=15=3×5,5×6=30,3×6=18。答:这
90÷3=30(段),[2,3]=6,90÷6=15(段),45+ 两个数是18和30。 3.6435=3×3×5×11×13。
30-15=60(段)。答:共剪成了60段。 3.[200, 答:最大的一个为13。
300]=600,600÷200=3(转),600÷300=2(转),3-2= 例2 这两个数为15和35或5和45。35-15=20
1(转),3×(15÷1)=45(转),45-15=30(转)。答:大 或45-5=40,这两个数的差是20或40。
齿轮转了30转,小齿轮转了45转。 [同步精练]
例4 10,6,15或10,12,15或10,18,15,共3组。 1.设这两个数为7a,7b(a 与b互质),7a+7b
[同步精练] =56,a+b=8,a=1,b=7或a=3,b=5。这两个
1.这个数是31-1=30,61-1=60,76-1= 数为7和49或21和35。 2.设这两个数为31a,
1 63
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31b(a 与b 互质),31a×31b=5766,a×b=6, 和54,10和50,12和48,15和45,20和40。
a=1,b=6或a=2,b=3,这两个数为31和186或 7.因为(60,84)=12,所以这两个自然数的最大公
62和93。 3.设这两个数为7a,7b(a 与b互质), 因数应是12的因 数,这 两 个 数 是24和36。
7a+7b=70,a+b=10,a=1,b=9或a=3,b=7, 8.60,24,15或120,12,15。 9.这两个数的最大
7×9-7×1=56,7×7-7×3=28,这两个数的差 公因数是3的因数,这两个数是15和12。 10.a
为56或28。 是60与90的公因数,故a 是30的因数;同理b
例3 这两个数的和是147或105。 是12的因数,c是18的因数。再由b 与c的最小
[同步精练] 公倍数是36知,b只能取12或4,c只能取18或9。
1.设这两个数为7a,7b(a 与b互质),7a+7b 满足条件的a,b,c共9组,分别为5,12,18;10,12,
=77,7a×7b=7×210。化简得a+b=11,a×b= 18;15,12,18;30,12,18;10,12,9;30,12,9;15,4,
30,a=5,b=6,这两个数是35和42。 2.设这两 18;30,4,18;30,4,9。
个数为12a,12b(a 与b互质),12a×12b=12×72,
a×b=6,a=1,b=6或a=2,b=3,
第五讲 多边形的面积(面积计算)
这两个数是12
和72或24和36。这两个数的和是84或60。 例1 28÷4=7(厘米),7-5=2(厘米),2×4÷2=
3.设这两个数为18a,18b(a 与b 互质,且a>b), 4(平方厘米)。
18a×18b=18×180,18a-18b=54,化简得a×b [同步精练]
=10,a-b=3,a=5,b=2,这两个数是90和36。 1.梯形的高就是阴影三角形的高,高=150×
所以,这两个数的和是126。 2÷15=20(厘米),梯形的面积是(15+25)×20÷2
例4 这两个自然数是24和30。 =400(平方厘米)。 2.平行四边形的底是48÷6
[同步精练] =8(厘米),阴影三角形的底是8-5=3(厘米),阴
1.这两个数为18和14。 2.41与11或65 影三角形的面积是3×6÷2=9(平方厘米)。
与35。 3.它们的最大公因数是86和2的公因 3.平行四边形有两组对应的底和高,其中一组是
数。这两个数为14和12。 12厘米和6厘米,用面积除以高9就是另一条底。
练 习 卷 12×6÷9=8(厘米),平行四边形的周长是(12+
8)×2=40(厘米)。
1.60×720÷180=240。答:另一个数是240。 例2 (6+4)×6-6×6÷2-(6+4)×4÷2-(6-
2.15×180÷45=60,60-45=15。答:这两个自 4)×4÷2=18(平方厘米)
然数的差是15。 3.设两个数分别为15a,15b(a [同步精练]
与b互质),15a+15b=165,a+b=11。a=1,b= 1.4×4+3×3-(4+3)×4÷2=11(平方厘
10;a=2,b=9;a=3,b=8;a=4,b=7;a=5,b= 米) 2.8×8+5×5-8×8÷2-(8+5)×5÷2=
6。此题答案有5组,分别是15和150,30和135,
24.5(平方厘米) 3.小路可以移成 。
45和120,60和105,75和90。 4.这两个数的最
大公因数是240÷60=4。这两个数是4和60或12 20×14-(20-2)×(14-2)=64(平方米)
和20。 5.设这两个数是6a,6b(a 与b 互质), 例3 4×4-6=10(平方厘米),10×2÷4=5(厘
6a×6b=6×144。a×b=24,a=1,b=24或a= 米),5-4=1(厘米)。
3,b=8,这两个数是6和144或18和48。 6.这 [同步精练]
两个数是倍数关系,且它们的和是60。共有10组, 1.三角形ADE 的面积比三角形CEF 的面积
分别是1和59,2和58,3和57,4和56,5和55,6 大10平方厘米,用这两个三角形的面积分别加上
1 64
参 考 答 案
●小●学●五●年●级
四边形ABCE 的面积,就得到长方形ABCD 的面 于长方形面积减去三块空白三角形的面积。S△EFB
积比三角形ABF 的面积大10平方厘米,S△ABF= =10×8-10×4÷2-8×5÷2-5×4÷2=30(平
10×6-10=50(平方厘米),它的高BF=50×2÷ 方厘米)。 3.梯形ABCD 的高也是三角形ADE
10=10(厘米),CF=10-6=4(厘米)。 2.阴影 以5为底边的高,这条高长为3×4÷5=2.4(厘
部分的面积比三角形EFG 的面积大10平方厘米, 米),所以梯形面积为(5+8)×2.4÷2=15.6(平方
就是平行四边形ABCD 的面积比三角形BCE 的面 厘米)。 4.阴影甲的面积与阴影乙的面积差就是
积大10平方厘米,三角形BCE 的面积=10×8÷2 大三角形与正方形的面积差,即(8+6)×6÷2-
=40(平方厘米),平行四边形 ABCD 的面积为 6×6=6(平方厘米)。 5.阴影部分的面积比三角
40+10=50(平方厘米),它的高CF 长为50÷10= 形EFG 的面积小10平方厘米,就是平行四边形的
5(厘米)。 3.(1)DE=12÷(2+1)×2=8(厘 面积比三角形BCE 的面积小10平方厘米。平行
米)。△ADF 的底是AD,高是DC,所以S△ADF= 四边形的面积=10×10÷2-10=40(平方厘米),
12×12÷2=72(平方厘米)。S△ADE=12×8÷2= CF=40÷10=4(厘米)。 6.原图的阴影部分可
48(平方厘米),所以S△DEF=72-48=24(平方厘 以转化为 ,阴影部分面积为(16-2)×
米)。 (2)CF 是△DEF 的高,所以CF 的长=
24×2÷8=6(厘米)。 (12-2)=140(平方米)。 7.三角形乙的面积比
例4 S△AOB=12(平方厘米),S =12×2=24 三角形甲的面积大4平方厘米,就是大三角形面积△BOC
(平方厘米)。 比长方形面积大4平方厘米。大三角形面积为4×
[同步精练] 5+4=24(平方厘米),a=24×2
1.因 为 BO=2DO,所 以 阴 影 部 分 面 积 是 ÷4-5=7。 8.将P 点分别与
△DOC 面积的2倍,△ABO 的面积是△ADO 面积 A,B,C 三 点 连 接,S△ABC =
的2倍。S =S ,所以梯形 ABCD 的面积 S△ABP+S△BCP+S△ACP=AB×3÷2+BC×3÷2+△ADO △BCO
=4÷2+4+4+4×2=18(平方厘米)。 2.因为 AC×3÷2=(AB+BC+AC)×3÷2=20×3÷2=
E 为AB 的中点,所以△ADE 与△BDE 的面积相 30(平方厘米)。 9.将BA 与CD 分别延长至E,
等;又因为梯形的下底是上底的2倍,所以△ABD
的面积是△BCD 面积的2倍,这样就可以知S△BCD 如图 ,图中EB=BC=7厘米,ED=
=S△BDE=S△ADE,所以梯形ABCD 的面积是三角
形EDB 面积的3倍。 3.三角形BOC 的面积与
AD=3厘米。四边形 ABCD 的面积等于三角形
三角形AOD 的面积之差与三角形ABC 面积与三
, EBC 的面积减去三角形角形 面积之差相等 所以 ADE
的面积,即:7×7÷
ADC S△BOC-S△AOD=
S -S =12×8÷2-7×8÷2=20(平方厘 2-3×3÷2=20
(平方厘米)。 10.梯形上底AD
△ABC △ADC
米)。 =45×2÷6-10=5(厘米),三角形ADE 的高为
5×2÷5=2(厘米),阴影三角形的高为6-2=4(厘
练 习 卷 米),阴影部分的面积=10×4÷2=20(平方厘米)。
1.正方形的面积是100平方厘米,它的边长是 第六讲 分数的意义
10厘米,阴影部分的面积=正方形面积-S△DCF-
。
S ,所以阴影部分的面积
例 分母是 的真分数有 个
=100-10×6÷2- 1 91 90 91=7×13
,
△ADE
10×8÷2=30(平方厘米)。 2.阴影部分面积等 90-6-12=72
(个),分母是91的最简真分数有
72个。
1 65
同步奥数培优
TongbuAoshuPeiyou
[同步精练]
(
1×4 5 5
5) = ,这 个 最 简 真 分 数 是 。
1.分母是51的真分数有50个,51=3×17, 52÷5 13 13
50-2-16=32(个),分母是51的最简真分数有32 2.(12-1)÷(2-1)=11,
1×11 11
= ,2×11 2211-1=10
,
个。 1 ,3 ,4 ,5,7,121520
2. , , ,共 个。 ,这个自然数是 。 ( )4201401058460352821 8 22-12=10 10 3. 9+16 ÷
3.a 最小是11 ( 2×5 103+2)=5,3×5=
,
1510-9=1
,16-15=1,这个数
例2 ()
8 8×2 16
1 = = ,原分数是
16;(2)
8
9 9×2 18 17 9= 是1。 4.(2+3) (
3×5 15
÷ 4-3)=5, = ,原分数4×5 20
8×3 24 24
= ,原分数是 。 9×3 27 25 是15。 3 9 27 可取的自然数共有
17 5.6=18=54 6.a
[同步精练]
14个,分别是0,4,6,10,12,16,18,22,24,28,30,
5×2 10
1. = 2.90÷(3+7)=9,
3×9 27
= , 34,36, 。27÷9 3 7×9 63 40
原分数是27。 2 3 58
63 3.6=9=
第七讲 分数的大小比较
174
例 2×9 183 136-73=63,63÷(9-2)=9,9×9=
,
81 例1 ()
5 37 7 11 20 15 30 12
1 8>60>12>
(
20 2
)
17>13>27>11
73-18=55,136-81=55。减去的数是55。 [同步精练]
[同步精练]
把分子统一成 再比,6 5 10 15
1. 30 。
1.分子、分母应同时加上2。 2.(4+1)÷ 17
<13<23<33
2×5 10 15 72 48 24 (3-2)=5, = ,原分数是
10。 ( 2.通分子再比, 最大。 3. ,因为 <
3×5 15 11 3. 1+ 46 83 59 29
<
) ( ) ,4×2 8 9
72 36 60 12
1 ÷ 5-4 =2 = ,原分数是 。 < 。5×2 10 10 83 41
<67<13
4×7 28 77771 4例4 (64+55)÷(4+13)=7, , 例2 方法一:比倒数: 的倒数是1 ,13×7=9155-28 77775 77771
=27,91-64=27,这个数是27。 88883的倒数是 4 。因为 4 4 ,
88887 188883 177771>188883
[同步精练]
所以77771 888831×5 5 < 。方法二:先用这两个分数与
1.(7+13)÷(1+3)=5, = ,7-5=2, 77775 88887
1
3×5 15
进行比较: 77771 4 , 88883 41 5 1 3 1- = 1- ,因
15-13=2,这个数是2。 2. = , = ,这 77775 77775 88887
=88887
3 15 5 15
为 4 4 ,所以77771 888834 。 >个分数是 。 原分数是419 3. 。 77775 88887 77775
<88887
15 746
[同步精练]
练 习 卷 1.两个分数的分子都比分母小2,采取比倒数
或求与1的差再比较的方法进行。
44443 55557。
()1 2 3 5
<
1.1 , , , (2)
1,2,4,7 44445 5555930 15 10 6 14 13 11 8
最大的是1650,最小的是11
7 41
(3)
。
分母是85的真分数有84个,85=5×17,84- 2. 1653 14 3.5<29<
4-16=64(个),分母是85的最简真分数有64个。 239 99 17
< < 。
7×6 42 42 169 70 12
(4)90÷(7+8)=6, = ,原来的分数是 。8×6 48 48 例3 D
1 66
参 考 答 案
●小●学●五●年●级
[同步精练]
5x 76 5
< y, 。因为
3 9 4 12 19 95 95
<955x<76<5y
1.C 2.a找到10和11,再根据3 12,4 16,又可以找到13
21 21 7=28 7=28 28 第八讲 组合图形的面积(等积变形)
等。
例1 80÷2=40(平方厘米)
例4 8个,分别是
17,17,17,17,17,17,17,17。
5253545556575859 [同步精练]
[同步精练] 1.分别连接AE,AD,AC,即可发现图中阴影
1 17 部分面积的和与空白部分面积的和相等,所以阴影
1. 中填12。 2.将题目改为4< <
部分的面积为16÷2=8(平方厘米)。 2.过点P
13 , 中可填的整数是
3 7
50 66
或67。 3. < ,
65 作平行四边形的高 ,两个空白三
即 21 21, 中填 。所以这个分数是3< 。
×7 195
28 28 角形的面积之和为AB×EP÷2+CD×FP÷2=
AB×(EP+FP)÷2=AB×EF÷2,所以空白三
练 习 卷 角形面积之和与阴影三角形面积之和相等,都等于
50÷2=25(平方厘米)。 3.S△FGP+S△CLP=(6÷
()37 23 29 591.1 < < < ()
12 15 20
2 < < 3)×6÷2=6(平方厘米), (20 12 15 30 11 13 17 S△EDP+S△BHP= 6÷
) ( ),
487 73 73 219 487 3 219 2 ×6÷2=9 平方厘米 所以阴影部分的面积和
2. > ,因为 ,而 ,490 74 74=222 490=1-490222= 为6+9=15(平方厘米)。
3 。因为 3 3 ,所以487 219,即487 例1- > > 2 5×8=40
(平方厘米)
222 222 490 490 222 490> [同步精练]
73 。 1989最大,18
3. 最小。 个,分别是 1.连接GB,得S74 1990 19 4.7 △AGE=S△GEF=S△GFB
,所以
S△ABG=6×3=18(平方厘米),S△GCB=18÷2=911,13,17
,19,21,23,27。 个,分别是17,
40404040404040 5.4 30 (平方厘米),S△ABC=18+9=27(平方厘米),平行
17,17,17
。 111111110 222222221
四边形 ABCD 的面积为27×2=54(平方厘米)。
313233 6.
的倒数是
222222221 111111110= 2.连接EF,S△ABG=S△EFG,S△DCQ=S△EFQ,所以
1 ,444444443 8888888872 的 倒 数 是 = 阴影部分的面积为20+35=55111111110 888888887 444444443
(平方厘米)。 3.过点 P 作
1
2 ,因 为
1 1
444444443 2
,所 以
111111110>2444444443 三角形ABC 三边的平行线,就
111111110 444444443 得到三个等边三角形和三个平
< 。 7.5个,分别是9, ,222222221 888888887 10 行四边形,在每个等边三角形和每个平行四边形中
11,12,13。 8.这五个数的大小关系是
3 26
> > 阴影部分和空白部分的面积都是相等的。所以阴7 61
影部分的面积是40÷2=20
(平方厘米)。
11,因为从小到大的第三个数是110.424>0.42> ,26 26 例3 4×4÷5=3.2(厘米)
[同步精练]
说明另外两个数都比11小,那么从大到小排的第三
26
1.阴影面积+S△ECF =四边形 ADCF 的面
个数是 x 40.424。 9.因为[19,5,19]=95, 积19<5 +S△ECF
,所以阴影部分面积与四边形ADCF 的
1 67
同步奥数培优
TongbuAoshuPeiyou
面积是相等的。(8-3+8)×5÷2=32.5(平方分 2=36(平方厘米)。 4.因为D 是BC 的中点,所
米)。 2.连接CF,可以求出S△EFC=10×6-5× 以S△ACD=15平方厘米,由AE=2ED,可知S△ACE
6÷2-10×3÷2-5×3÷2=22.5(平方厘米), =S△CED×2,所以S△CDE=15÷3=5(平方厘米)。
S△CEG=22.5÷3=7.5(平方厘米)。 3.S△ADE= 5.因为D 是BC 的中点,所以S△ABD=90平方
S△DFC=S四边形DEBF,每块面积都是(12+15)×8÷ 厘米,由AD=3AE,可知S△BAE=90÷3=30(平方
2÷3=36(平方厘米),EB=8-36×2÷12=2(厘 厘米),由EF 是BF 的3倍,可知S△AEF=30÷4×
米),BF=15-36×2÷8=6(厘米),所以S△BEF= 3=22.5(平 方 厘 米)。 6.连 接 PD,可 知
2×6÷2=6(平方厘米)。 S△PDH+S△PMN =4×12÷2=24(平方厘米),而
例4 4×4÷2=8(平方厘米) S△PDG+S△PEF=3×12÷2×2=36(平方厘米)。这
[同步精练] 样阴影部分的面积=24+36=60(平方厘米)。
1.梯形EFBC 的面积和△DEF 的面积是相
由题意得, 1 17. S△BCD=4S△ABD
,所以CD= AD,
等的(想一想为什么相等),那么S△BGF=S△DCG,阴 4
影部 分 面 积 可 以 转 化 为 大 正 方 形 面 积 的 一 半 1CD=12× =2.4(厘米),
4 (厘
5 AD=12×5=9.6
(S△BCD),即6×6÷2=18(平方
米), 1 ,所以 1分米)。 2.连 接 AE,BF, S△DEF =2S△AEF DF=
,
2AF DF=
CD,如图。因为CF=3AC,所 1 1 2
3AD=9.6×3=3.2
(厘米),AF=9.6× =6.4
以S△BCF=S△ABC×3=15(平方 3
厘米),又因为AD=2AB,所以S△ACD=S△ABC×2 (厘米), 1 1S△BDE=3S△ADE
,所以BE= AB=3厘
=10(平方厘米),S△DAF=(S△ABC+S△BCF)
4
×2=
米,S△AFG=S△EFG,所以AG=GE=4.5厘米。
2×(5+15)=40(
平方厘米)。用同样的办法也可
8.连 接 AD,因 为 BD =2DC,所 以 S =
以求出其他三角形的面积。S△DEF=180平方厘米。
△ABD
S△ADC×2,又因为, , S△ABD+S =S =18
平方
3.因为AE=ED 所以S△ABE=S△BED 又因为
△ADC △ABC
厘米,所以S△ABD =12平方厘米。又因为 AE=1 ,所以 1AF=2FC S△ABF=
,阴
2S△BFC=S△ABC÷3 BE,所以S△BDE=S△ADE=S△ABD÷2=6(平方厘
影部分的面积=90÷3=30(平方厘米)。 米)。因此S四边形AEDC=S△ABC-S△BDE=18-6=12
(平方厘米)。 9.图中两个阴影部分的面积相等,
练 习 卷
两个正方形重合部分的面积和为一个正方形面积
1.连 接 AF,EC,由 AB 与CD 平 行,可 知 的一半,即2×2÷2=2(平方厘米),所以两个正方
S =S ,由EF 与AC 平行,可知S = 形不重合部分的面积和为2×2×2-2=6(平方厘△BCF △ACF △ACF
S ,由CB 与AD 平行,可知S =S ,所 米)。 10.在正方形中,S△ACD=S△ACE △AEB △ACE △ABD×2,S△AOB=
以三角形 AEB 的面积是35平方厘米。 2.设 S△AOD,所以△CDO 的面积是△ABO 面积的3倍。
△ABC 的面积为S,那么S=BC×AD÷2,从而
第九讲 可能性(游戏与决策)
BC=S×2÷8,同理可知AB=S×2÷7,由AB+
BC=21,就是2S÷8+2S÷7=21,所以S=39.2平 例1 甲先取2颗,乙取1颗或2颗,甲就取(3-1)
方厘米。 3.S△ABC=4×6÷2=12(平方厘米),因 颗或(3-2)颗,这样保证甲能取到最后一颗。
为AC=2CD,所以S△BCD=12÷2=6(平方厘米)。 [同步精练]
这样S△ABD=6+12=18(平方厘米)。又因为BE 1. 因为每次两人取的总和为1+2=3(个),而
=BD,所以S△ABE=S△ABD,这样可知S△ADE=18× 287÷3=95(次)……2(个),甲要想获胜,甲先取
1 68
参 考 答 案
●小●学●五●年●级
1个,接着乙取1个,甲就取(3-1)个,乙取2个,甲 圆心处画1个□,然后不管对方如何画,你只要根
就取(3-2)个,使每次与乙取的总个数为3,这样, 据圆心画出该□的对称□即可。
乙必取最后1个,乙就输了。 2. 我们不妨用1~ 例3 结合思路点拨可知:若取4,则5+4=9,再加
388给每个球标上号码。取球时,从小号的球取起, 6就得15,为破坏这种可能性,另一人就应接着取
再取大号的球。甲为了能取胜,必须把388号球留 6。另一人取的两数之和为2+6=8,第一人这时就
给对方,因此甲在最后一次取球时,必须使他自己 应取7,破坏这种可能性,其他情况类推。用这种方
取球中序号最大的一个是387(也许他取的球不止 法,可保证先取的人不败。
一个),为了保证能做到这一点,就必须使乙倒数第 [同步精练]
二次所取球的序号为384(387-3)~386(387-1)。 1. 先报获胜,先报1,要得到下列这些和:12,
因此,甲在倒数第二次取球时,必须使他自己所取的 23,34,45,56,67,78,89,100。 2. 先报获胜,先报
球中序号最大的一个是383。为了保证能做到这一 7,后者报几,先报者就报9减几的差,要得到下列
点,就必须使乙倒数第三次所取球的序号为380 这些和:16,25,34,43,52,61,70,79,88。
(383-3)~382(383-1)。因此,甲在倒数第三次取 例4 甲先写6,这时剩下的数只有4,5,7,8,9,10,
球时,必须使他自己取球中序号最大的一个是379。 把它们分成三组,(4,5),(8,10),(7,9),乙写某组
把甲每次所取的球中的最大序号倒着排列起来: 数中的一个时,甲就写同一组中的另一个数,从而
387,383,379,…观察这一数列,发现是一个公差为 一定获胜。
4的等差数列,这些数被4除余3。因此,甲为了获 [同步精练]
胜,第1次应取3个球,以后乙取几个球,甲就取4 1. 因为三角板有厚度,把三角板立起来,在三
减几个球,乙必取到最后一个球,甲必定获胜。 角板两边各画一条直线,两条直线是完全平行的。
3. 由于甲、乙两人各取一次,若每次取1+3=4 这种画法既简单又准确。 2. 以音乐简谱的音符
(颗),共取197÷4=49(次)……1颗。若先取者取 来考虑,其谐音是“都来拉米”。 3. 要占领右上
1颗,以后对方取1至3颗,自己就取3至1颗,保 角,必须先占领如图所示中打点的格子。甲先走入
证每两次合起来为4颗,这样先取者必取到最后一 打点的格子。乙无论如何走,甲都可以再走入打点
颗,先取者必胜。 的格子。甲一定胜。
例2 甲从16根的那堆中先取出16-11=5(根), · ·
使两堆火柴根数相同。然后每次根据对方取的根
数,在另一堆中取相同的根数,使两堆火柴数保持 · ·
相等,直至取到最后一根火柴而获胜。 ·
[同步精练]
练 习 卷
1. 甲先从108个球的箱子里取出108-63=
45(个),此后乙从任意一箱中取几个,甲便从另一 一、1.7 提示:每次投骰子,1~6出现的可能性相
箱中取相同的几个。甲一定获胜。 2. 如果两堆 同,两次的和如下表。由下表看出:和的个位数字
石子数不同,应自己先拿,从石子较多的一堆里取 出现最多是7,其出现6次,其余都少于6次,所以
若干石子,使两堆石子数相同;对方拿过之后,两堆 和的个位数字是7的可能性最大。
石子数必不相同,这时你再从较多的那堆中拿,使
第1次
两堆石子数再次相同。用这样的方法拿下去,必定 第2次
获胜。如果两堆石子数一开始就相同, 1 2 3 4 5 6你应让对方
先拿,方法同上,可必定取胜。 3. 先画必胜,先在 1 2 3 4 5 6 7
1 69
同步奥数培优
TongbuAoshuPeiyou
2 3 4 5 6 7 8 第十讲 行程中的追及问题
3 4 5 6 7 8 9
例 (时), ( )
4 5 6 7 8 9 0 1 30÷60=0.5 60×0.5÷ 84-60 =
30÷24=1.25(时)=75(分)。答:75分能追上。
5 6 7 8 9 0 1
[同步精练]
6 7 8 9 0 1 2
1.65×20÷(75-65)=1300÷10=130(分)。
2.24 提示:从最坏的情况来看,48枚黑棋子
答:130分能追上。 2.18×1.5÷(45-18)=
是连续的。对应于两枚棋子之间至少有一枚白棋
27÷27=1(时),45×1=45(千米)。答:摩托车行
子的要求,每相邻两枚黑棋子就要交换一枚的位
了45千米。 3.扬扬要比宁宁多跑一圈才能追
置,这样,一共要交换48÷2=24(次)。 3.1,2,
上。300÷(6-4)=150(秒),6×150=900(米),
3,4 提 示:100÷(1+5)=16……4,应 先 报
4×150=600(米)。答:扬扬跑了900米,宁宁跑了
1,2,3,4。
二、1. 保证一定获胜的策略:()
米。
1 先取1粒纽扣,这 600
时还剩下 粒纽扣;()如果对方取几粒(从 例2 40×[35×(3-1)÷(101 2 1~4 40-35
)]=560(千米)。
粒),自己就取“5-几”粒,经过20次后,还剩101- 答:两地间的路程是560千米。
20×5=1(粒)纽扣,这粒纽扣必然留给对方取,对 [同步精练]
方必输。 2. 甲先取1根,乙接着取1根或2根, 1.设 队 伍 长 x 米。x÷(150-60)+x÷
甲就取2根或1根,保证2人一次取3根,依此类 (150+60)=10,解得x=630。答:队伍长630米。
推,甲必取到最后一根,甲必胜。 3. 用绳子系着 2.(82-64)×(2÷60)=0.6(千米)。答:在吉普
筐从水里拖过去。 4. 先取者从8根的一堆中取 车赶上 卡 车 之 前2分,两 车 相 距0.6千 米。
走2根, 。()
剩下6根 1 若后取者取走一堆,先取者 3.30×(1+0.5)÷(50-30)=2.25(时),50×2.25
可使剩下的两堆根数相同,然后后取者从一堆中取 =112.5(千米)。答:A,B 两地的路程是112.5千米。
a 根,先取者在另一堆也取a 根,如此下去,先取者 例3 180×2÷(90-60)=12(分),60×12+180=
胜;(2)若后取者使两堆根数相等,先取者可取走另 900(米)。答:他们家离学校900米。
一堆,化成(1);(3)若后取者将原来的状态(3,5,6) [同步精练]
变为(1,5,6),(2,5,6),(3,1,6),(3,2,6),(3,4,
1.160×2÷(80-60)=16(分),80×16-160
6),(3,5,4),(3,5,2),(3,5,1)几种,先取者可将它
=1120(米)。答:他 们 家 离 学 校 有1120米。
们变为(2,4,6),(1,4,5),(1,2,3)这3种,对于(2,
2.(80+60)×3=420(米),420÷(80-60)=21(分),
4,6),无论后取者怎样取,先取者都可将它变为(1,
80×(21+3)=1920(米),60×(21+3)=1440(米)。
4,5),(1,2,3)或取胜。对于(1,4,5),无论后取者
答:追上小英时,小红行了1920米,小英行了, 1440怎样取 先取者都可以将它变为(1,2,3)或取胜。
最后对于(,,), , 米。 (步), (步),123 无论后取者怎样取 先取者总可 3.8×3=24 5×4=20 24÷20=
以取胜。 先报获胜,抢数 ,,,…, , ,则 1.2, 5. 159 2529 这说明猎狗的速度是兔子的1.2倍
。15×
对方必报30。 [1.2÷(1.2-1)]=90(米)。答:猎狗至少要跑
三、先放者将第一个圆片放在桌子中心,后放者放 90米才能追上野兔。
入一个后,先放者以横或竖的中心线为对称轴,在 例4 5×2÷(18-8)=1(千米),5+1=6(千米)。
对称处放一个,直至后放者无法再放,所以先放 4×2÷(6-4)=4(时),8+4=12(时)。答:小霞追
者胜。 上小丽是中午12时。
1 70
参 考 答 案
●小●学●五●年●级
[同步精练] [同步精练]
1.[800×(6+2)-1000×6]÷2=200(米/ 1.一条绳子折成三折如下左图所示,再对折并
分),[800×(6+2)+200×2]÷(6+2+2)=680 从中间剪开,如下右图所示,一共剪成7段。
(米/分)。答:慢车每分行680米。 2.(1200+
800)÷(1200-800)=5,(800×5-800)÷10=320
(米/分), (米/分)。答:爸爸每分行 2.除了第1次五个手指计数外,以后每数完320÷5=64 320 8
个数,就会停在小指上,然后再从无名指开始数起。
米,小明每分行64米。 3.10÷5×6÷3=4(米/
(2027-5)÷8=252……6,数到2027时应停在中
秒),10÷5+4=6(米/秒)。答:甲每秒行6米,乙
指上。 3.如果第一个被取走的是1号棋子,那么
每秒行4米。
第一圈就剩偶数号棋子。第二圈就剩下4的倍数
练 习 卷 号。第三圈就剩被8除余4的号码。继续下去,最
后剩下的棋子号码是36。要使最后剩下的号码是
1.6×(18÷60)÷(15-6)×60=12(分)。答: 39,应该先从1+(39-36)=4号棋子开始取。
经过12分,弟弟可以追上哥哥。 2.30×(12÷ 例2 以5×3-7×2=1为例。先将5升桶装满,
60)÷(40-30)=0.6(时),40×0.6=24(千米)。 倒入7升桶中。再将5升桶装满倒入7升桶中,当
答:仓库到王村的路程是24千米。 3.150×12÷ 7升桶满时,将7升桶中的水倒掉,把5升桶中剩下
(240-150)=20(天)。答:好马20天可以追上劣 的水倒入7升的空桶中。再将5升桶装满水向7升
。 ( ) ( ), ( 桶中倒。当7升桶装满时,5升桶内还剩1升水。马 4.100+80 ×5=900 米 900÷ 100-
[同步精练]
80)=45(分),100×(5+45)=5000(米)。答:小玲
1.9×2-4×3=6(升),至少要用9升桶从河
追上小平时一共行了5000米。 5.9×30÷(12-
中取水2次。 2.因为2031不能被9整除,所以不
9)=90(分),12×90=1080(千米)。答:甲、乙两地
行。2034÷9=226,226÷7=32……2,所以办得到。
相距1080千米。 6.4×(40-28)=48(千米), 容易写出方框中的九个数,并得到其中最大的数是
48÷28≈1.7(时)。答:汽车比摩托车早出发1.7 234,最小的数是218。 3.最少称3次。先把5克
时。 7.450÷(3-1.5)+450÷(1.5+3)=400 和30克两个砝码放在天平的一边,称出35克盐。
(秒)。答:这 位 战 士 往 返 共 需 400 秒。 然后把30克砝码和35克盐放在天平的一边,用它
8.(20.4-4×0.5)÷(4+1.2+4)=2(时),4× 称65克盐。这65克盐与第一次称出的35克盐合
(2+0.5)÷(2-1.5)=20(千米/时)。答:张明骑 在一起正好是100克盐;将100克盐放在天平的一
车每时行20千米。 9.把乙每分步行的速度看作 边,在另一边称出100克盐;剩下的盐也是100克。
“1”,(
例
1+10)×10÷(3-1)=55(分)。答:甲追上 3 9
[同步精练]
乙需要55分。 10.乙再跑10米时丙跑的路程:
1.可以先分别画一个3×3,5×5,7×7的方形
10×(60-20)÷(60-10)=8(米),20-8=12
棋盘尝试操作,可以发现(2n+1)×(2n+1)的方形
(米)。答:乙到终点时将比丙领先12米。
棋盘要经过2n+1次操作才能使灯全部变亮,所以
第十一讲 实践与操作 1997×1997的方形棋盘要经过1997次操作才能使
灯全部变亮。 2.记第i次操作后,圆周上所有数
例1 10÷4=2……2,第十次交换位置后小兔坐在 的和为ai,依题意,得ai+1=2ai+ai=3ai。又因
第2号位置上。 为原来三数的和为a0=1+2+4=7,所以a1=3a0
1 71
同步奥数培优
TongbuAoshuPeiyou
=21,a2=3a1=63,a3=3a2=189,a4=3a3=567, 体重的总和分别减去其中两人的体重和就能得出
a5=3a4=1701,a6=3a5=5103,即所有数的和为 每个人的体重了。 5.
5103。 3.操作程序是CCCCAAAAB。
例4 把十个袋子分别编上1~10号,在1~10号
袋中分别拿1,2,3,…,10个鸡蛋,共拿55个。把这
55个鸡蛋放在秤上称,总质量比2750克少几十克, 6.红→红→红→黄→红→黄。 7.最少要通
几号袋中的鸡蛋就是40克的。 过4次操作,才可以将它们并入一堆。(2,5,9)→
[同步精练] (2,10,4)→(4,8,4)→(8,8,0)→(16,0,0)。
1.只要称一次即可。将各袋按1~10编号,然
8.[54,4]=108,108÷4=27(次),共要27次。
后从第1袋取1枚,第2袋取2枚,第3袋取3
9.从19开始。 10.两只青蛙各跳一次,距离增
枚,……,第10袋取10枚。称出所有金币的总质
加为原来的3倍,所以A7B7=37×1=2187(米),
量,用这个总质量和550克比较,少几克,第几袋的
而且A7 在右,B 7 在左(跳奇数次时,A 点的青蛙在
金币就是假的。 2.通过操作发现,每次撕完后小
右,跳偶数次时,B 点的青蛙在右)。由对称性可
纸片的张数构成一个等差数列:1,4,7,10,…,这样
知,
BA7=AB7。所以BA7=(B7A7-AB)÷2=
撕6次后有纸片1+6×3=19(张)。 3.第一次:
(2187-1)÷2=1093(米)。
先从5个砝码中任意挑选2个合在一起称,所称出
的质量有A,B 两类。A 类:201克、202克、204克、 第十二讲 归纳与猜想
207克。B 类:203克、205克、206克、208克、209
克、211克。如果第一次称出的质量在A 类中,只 例1 第2024行中左起第三个数是1+2+3+
…+
要再称一次,就能找出100克的砝码;如果第一次 2022=(1+2022)×2022÷2=2045253。
称出的质量在B 类中,那么100克的砝码在剩下的 [同步精练]
3个当中。第二次:从剩下的3个砝码中任意挑选2 1.每一行的最末一个数正好为该行行数的平
个合在一起称。如果称出的质量在B 类中,那么 方,该行开头的数是前一行最末一个数加1。由于
2
100克的砝码就是剩下的那个;如果称出的质量在 152<23400<153
2,23400-1522=296,故23400
A 类中,那么100克的砝码在这2个当中。第三 在第153行的第296个位置上。 2.所有8的倍
次:从这2个砝码中选出1个出来称,如果称出的质 数均在第3列中,数1000是8的倍数,所以它在第
量是100克,则找出了100克的砝码;如果称出的质 3列中。 3.(1)通过观察可以发现,四个连续自然
量不是100克,那么100克的砝码就是剩下的那个。 数的乘积加1一定是一个完全平方数,并且有:n×
(n+1)×(n+2)×(n+3)+1=[n×(n+3)+1]2。
练 习 卷
(2)5×6×7×8+1=1681=(5×8+1)2=412
1.10段 2.在n×n 的方格中画一条直线, 7×8×9×10+1=5041=(7×10+1)
2=712 13×
最多可穿过的方格数为2n-1。2×9-1=17(个)。 14×15×16+1=43681=(13×16+1)
2=2092
3.至少4次,操作过程如图:原来状况:↑↑↑↑ 例2 (1)第65次拐弯处的数是[(65+1)÷2]
2+1
↑↑↑↑↑↑ ①↓↓↓↑↑↑↑↑↑↑ ②↓ =1090 (2)当n=88时,拐弯处的数是(1+88÷
↓↓↓↓↓↑↑↑↑ ③↓↓↓↓↓↑↓↓↑↑ 2)×88÷2+1=1981;当n=89时,拐弯处的数是
④↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 4.先称甲乙两人体 [(89+1)÷2]2+1=2026;当n=90时,拐弯处的
重,再分别称甲丙和乙丙的体重。然后将(甲乙+ 数是(1+90÷2)×90÷2+1=2071。所以在2002
甲丙+乙丙)÷2=三人体重的总和。最后用三人 至2030中恰好在拐弯处的数是2026。
1 72
参 考 答 案
●小●学●五●年●级
[同步精练] 3+…+n=2+2+3+…+n=1+(1+2+…+n)
1.观察原图右下角拐弯处的数的规律:第1个 =1+n(n+1)÷2。
拐弯处为1=12=(2×1-1)2;第2个拐弯处为9= 3.观察点阵中各层点数的规律,然后归纳出点
32=(2×2-1)2;第3个拐弯处为25=52=(2×3- 阵共有的点数。第一层有点数:1;第二层有点数:
1)2;……因此右下角第n 个拐弯处的数为(2n- 1×6;第三层有点数:2×6;第四层有点数:3×
1)2。距中央正东100千米处为他走到右下角的第 6;……第n 层有点数:(n-1)×6(n>1)。因此,这
100个拐点处再向北99千米处,故他共走了(2× 个点阵的第n 层有(n-1)×6个点,n 层共有点数
100-1)2+99=39700(千米)。 2.仔细观察十字 为:1+1×6+2×6+3×6+…+(n-1)×6=1+
框中的5个数,中间一个是这5个数的平均值,也是其 6×[1+2+3+…+(n-1)]=1+3n(n-1)。
余4个数的平均值,所以中间这个数可由500÷5=100 例4 至少要用4个砝码,质量分别是1克、3克、
得到,即得4个角上数的和为100×4=400。 3.观 9克、27克。
察归纳得:“行数+列数=奇数”时为白色的,“行 [同步精练]
数+列数=偶数”时为黑色的。38+99=奇数,因 1.每次应选所有纸中最小的一张来裁,裁完后
此(38,99)这一格是白色的。 的面积是原来的一半。64×16=2
10(平方厘米),经
例 a ,b ,a b 。 过9次后变为2平方厘米
。 2.幸运儿的号码是3 =17 =26 + =43
[ ] 小于总人数的数中最大的2
n。如总人数是40,幸运同步精练
儿就是25 ( =32号;总人数是100,幸运儿是
6
1.第20行的第1个格子是蓝色的 20÷7= 2 =64
…… ), : 、 、 、 、 、 号。 3.首先找出第四行数的构成规律。通过观2 6 第20行的排列规律是 蓝 紫 红 橙 黄
察、分析,可以看出:、 、…… ( …… 第四行的任一个数都和第一行绿 青 第30个格子是紫色的 30÷7=4
中相应的四个相邻的数有关。具体关系如下:第一
2)。
行:n-1,n,n+1,n+2;第二行:2n-1,2n+1,
2.设n 条直线分平面为Sn 部分,先实验观察
2n+3;第三行:: 4n
,4n+4;第四行:8n+4。如果用
特例有如下结果
an 表示第四行的第n 个数,那么an=8n+4。现在
n 1 2 3 4 5 6 … 要找出an=8n+4=1986k 的an,注意到第四行中
Sn 2 4 7 11 16 22 … 最大的数是15876<1986×8,所以只需对k=1,2,
n 与S 之间的关系不太明显,但S -S 有 3,4,5,6,7进行验算即可。如果把1986写成8×n n n-1
如下关系: 248+2的形式,那么要找出使an=8n+4=8×
248k+2k 的数就容易了,即当k 取2,6时,a =
n 1 2 3 4 5 6 …
496
3972,a1489=11916能被1986整除。
Sn 2 4 7 11 16 22 …
Sn-Sn-1 2 3 4 5 6 … 练 习 卷
观察上表,发现如下规律:S n-Sn-1=n(n=2, 1.228 提示:第15行的最后一个数是15×15
3,…)。因为在n-1条直线后添加第n条直线被原 =225,第16行的前3个数是226,227,228。
n-1条直线截得的n段中的任何一段都将被它所在 2.(1)9个数的和是13×9=117。 (2)9个数的
的原平面一分为二,相应地增加n 部分,所以Sn= 和是(159-9)×9=1350。 (3)这九个数分别是
Sn-1+n,Sn-Sn-1=n。从而S2-S1=2,S3-S2= 34,35,36,42,43,44,50,51,52。 3.A,B,C,D
3,S4-S3=4,……,Sn-Sn-1=n。将上面各式相加 四个盒子里球的变化情况为(6,7,4,1),(7,4,5,
有Sn-S1=2+3+…+n,所以Sn=S1+2+ 2),(4,5,6,3),(5,6,3,4),(6,3,4,5),(3,4,5,6),
1 73
同步奥数培优
TongbuAoshuPeiyou
(4,5,6,3),…除前2次外,后面每4次为一个周期。 (1)由上表可以看出,所给四个平面图形的顶点
(100-2)÷4=24……2。A 有5个,B 有6个,C 数、边数及区域数之间有下述关系:4+3-6=1,8+
有3个,D 有4个。 4.这串数的排列规律是:6, 5-12=1,6+4-9=1,10+6-15=1。因此我们
4,0,4,4,8,2,0,2,2,4,6,0,6,6,2,8,0,8,8,…,每 可以推断:任何平面图形的顶点数、边数及区域数
20个数为一个周期。286÷20=14……6,所以第 之间,都有下述关系:顶点数+区域数-边数=1。
286个数字是8。 5.长方形内有1个点时,可作 (2)由上面所给的关系,可知所求平面图形的边
出4个互不重叠的三角形,后面每增加1个点,三角 数。边数=顶点数+区域数-1=999+999-1=
形就加2个。共可作出4+(1996-1)×2=3994 1997。
(个)三角形。 6.271个 提示:第n 圈有6n 个 10.上下两行对应位置的两个数之和依次为
正六边形,所以共有1+6×(1+2+…+9)=271 31,61,91,…,所以第n 行和第n+1行上下两个数
(个) ,正六边形。 7.矩形网格内的所有格点数之
相加 都得30n+1。30n+1=391,n=13。
和必是平方数,如2×2方格网中共有格点32=9 综合调研卷(一)
(个),第9个点在第一行第三列;3×3方格网中共
有格点42=16(个),第16个点在第四行第一列; 一、1.(1)64 (2)120 (3)367.5 (4)78 69
4×4方格网中共有格点52=25(个),第25个点在 54 (5)392 2.4 9 16 25 4012009 提示:
第1行第5列。奇数的平方在第1行第奇数列,最 每个算式的结果均为中间数的平方。 3.(1)20
后一列的点数从下向上数;偶数的平方在第偶数行 (2)34
二、 (厘米) 提示:将六
第1列,最后一行的点数从后向前数。因为2002= 1.1+3+3+4+2+2=15
2 边形补充成一个等边三角形。44+66=452-23,所以第2002个点必在第45行 2.80×8.5÷2=
340(平方厘米)
或第45列上。因为第452 个点在第1行第45列
三、1.设原来一等奖平均分为x 分,二等奖平均分
上,而2002=452-23,从第1行倒退23行,所以第
为y 分。根据题意,得10x+20y=(x+3)×6+
2002个点在第24行第45列上。 8.采用不完全
(
, , , y
+1)×24,x-y=10.5(分)。答:原来一等奖平
归纳 观察图形可知 随着n 的增加 直角三角形的
均分比二等奖平均分高10.5分。 2.(290-
个数及边数有如下规律:n=1时,有直角三角形
250)÷0.05=800(千克),(290-0.3×800)÷
2×12 个,边数=2×1×(1+1)+12=5;n=2时,有
(0.4-0.3)=500(千克)。答:有500千克大西瓜。
直角三角形2×22 个,边数=2×2×(2+1)+22=
提示:如果每千克西瓜少卖0.05元,就会少卖
16;n=3时,有直角三角形2×32 个,边数=2×3×
290-250=40(元),求出这批西瓜一共多少千克,
(3+1)+32=33;猜想:对一般的n,共分为2n2 个
再用假设法解题。 3.(112.5+112.5)÷(1+12-
直角三角形,共有2n(n+1)+n2 条边。所以n=
10)=75(千米/时),75×(10-8)+112.5=262.5(千
100时,共分为2×1002=20000(个)直角三角形,共 米)。答:A,B 两地之间的距离是262.5千米。
有2×100×(100+1)+1002=30200(条)边。 4.大卡车一次运5吨,耗油10千克,平均运1吨耗
9.通过观察填表如下: 油10÷5=2(千克);小卡车一次运2吨,耗油5千
顶点数 边数 区域数 克,平均运1吨耗油5÷2=2.5(千克)。显然,应该
(a) 4 6 3 尽可能用大卡车。177÷5=35(辆)……2(吨),余
(b) 8 12 5 下的2吨正好用小卡车运。答:用35辆大卡车和
(c) 6 9 4 1辆小卡车运输时耗油最少。 5.根据题意,可设
(d) 10 15 6 0.7米的有a 根,0.8米的有b 根。a×0.7+b×
1 74
参 考 答 案
●小●学●五●年●级
0.8=c(c分别代表3.6,3.8,3.4,3.9,3.7)。经验 2=50(秒),小王第1,2,3,…,50秒跑的路程是下
证:4×0.7+1×0.8=3.6(米),2×0.7+3×0.8= 面的等差数列:1,1.1,1.2,1.3,…,5.9。50秒可跑
3.8(米),1×0.7+4×0.8=3.9(米),3×0.7+2× (1+5.9)×50÷2=172.5(米)。小王不用50秒就
0.8=3.7(米)。无论怎样取整数,均找不到数满足 可以跑完100米,所以小王取胜。 6.200×3-
a×0.7+b×0.8=3.4(米)。 100=500(米)
综合调研卷(二) 下册
一、1.(1)90 (2)156 提示:154.44÷(100-1)
=1.56,1.56×100=156。 (3)1501 (4)10 第一讲 分数加减法
2.(1)n×n-(n-1)×(n-1)=2n-1 (2)根据
上面得出的规律可知,原式=(2003×2-1)+ 例 1 1 1 1 1 1 1 1 11 6=9+18=8+24=7+42=10+15
(2001×2-1)+…+(3×2-1)+(1×2-1)=
[同步精练]
2007006。 提示:从正方形联想到自然数是平方
1 1 1 1 1 1 1 1 1
数。 3.(1)17.2 (2)3 1.12=36+18=48+16=60+15=84+14
二、1.108÷2÷3=18(平方厘米) 提示:连接 1 1 1 1 1 1 4 1 1
=
AD。 2.7平方厘米 提示:SB=SA+SC。 156
+13=30+20=28+21 2.15=15+5=
3.5.65平方厘米 提示:延长BA,CD 相交于E, 1 1 1 1 1 1 1 1
+ = + 3. = + +
根据条件可求出∠E=45°,并且三角形EBC 是等 60 4 10 6 6 36 18 12
腰三角形。四边形ABCD 的面积等于三角形EBC 例 1 1 1 1 1 1 1 1 12 2+6+12+20+30+42+56+72+90+
的面积减去三角形EAD 的面积。
1 1 1 1 1 1 1
三、1.(88-74)÷(76-74)=7(人),76×7-88- 110=1×2+2×3+3×4+4×5+5×6+6×7+
70×5=94(个)。答:这个小队做得最多的同学可 1 1 1 1 1 1 1
。 + + + =1- + - +能做了94个 提示:除去已知1个做了88个的 7×8 8×9 9×10 10×11 2 2 3
人,1个做得最多的人,假设其他人都做了70个。 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
- + - + - + - + - +
2.本题可用假设法或方程解。用方程解,设定价 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8
为60元的羊毛衫购进x 件,则定价为90元的羊毛 1 1 1 1 1 1 1 10
8-9+9-10+10-11=1-11=11
衫购进2x 件,定价为210元的羊毛衫购进(47-
[同步精练]
x-2x)件。210×(47-x-2x)+90×2x+60x=
1 1 1 1 1 1
6360。x=9。60元的:9件,90元的:9×2=18 1.3×4+4×5+5×6+6×7+7×8+8×9=
(件),210元的:47-9-18=20(件)。答:三种羊毛 1 1 2 2 2 2 2
衫各购进20件、18件、9件。 3.需要大卡车14 3-9=9 2.2×4+4×6+6×8+8×10+
辆、小卡车4辆,运费为1740元。 提示:因为大卡 2 1 1 5 1 1 1
= - = 3.1 +2 +3 +
车每吨运费比小卡车便宜,所以应尽可能多用大卡 10×12 2 12 12 20 30 42
车,并使所有卡车满载。运费最省为110×14+ 1 1 1 1 1456+572+690+7110+8132=
(1+2+3+4+
50×4=1740(元)。 4.设百位数字是x,则十位
1 1 1 1
数字是0.5x,个位数字是0.5x×1.5=0.75x。根 5+6+7+8)+ 4×5+5×6+6×7+7×8+
据题意列方程,得x+0.5x+0.75x=18,x=8。所 1 1 1 1
以这个三位数是846。 5.小赵跑完全程需100÷ 8×9+ 9×10 + 10×11 + 11×12 = 36 +
1 75
