广东省深圳实验学校光明部2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（含答案）

深圳实验学校光明部2022-2023学年度第二学期期中考试
高二数学
时间：120分钟　　满分：150分
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．
1．已知两个正态分布的密度函数图像如图所示，则（　　）
A．， B．，
C．， D．，
6．邮递员把两封信随机投入A，B，C三个空邮箱中，则不同的投入方法共有（　　）
A．6种 B．8种 C．9种 D．10种
3．10支步枪中有6支已经校准过，4支未校准，一名射击运动员用校准过的枪射击时，中靶的概率为，用未校准的枪射击时，中靶的概率为，现从10支中任取一支射击，则中靶的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．随机变量的分布列如下，则（　　）
0 1 2
A． B． C． D．
5．学校安排元旦晩会的4个舞蹈节目和2个音乐节目的演出顺序，要求2个音乐节目要连排，且都不能在第一个演出，则不同的排法种数是（　　）
A．96 B．144 C．192 D．240
10．2023年元旦期间，某高速公路收费站的三个高速收费口每天通过的小汽车数（单位：辆）服从正态分布，若，假设三个收费口均能正常工作，则这些收费口每天至少有一个通过的小汽车超过600辆的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．的展开式中，的系数为（　　）
A．60 B．-60 C．30 D．-30
8．深圳实验学校光明部高二年级来到井冈山古城镇参加社会实践，学校安排甲、乙、丙、丁、戊共5位老师到学生居住的塘头村、沃壤村、长溪村进行走访，要求每村至少安排一位老师，则塘头村恰好只有甲老师的概率为（　　）
A． B． C． D．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）．
9．对两个随机变量的一组观测数据进行回归分析，下列说法正确的是（　　）
A．可以先用散点图判断两个变量是否具有线性相关关系
B．可以通过残差图发现原始数据中的可疑数据，残差平方和越小，模型拟合效果越好
C．可以用相关指数刻画回归效果，越接近0，说明模型的拟合效果越好
D．回归直线恒过样本点的中心
10．已知，则（　　）
A． B．
C．展开式中所有二项式系数的和为1024 D．
11．将5个质地和大小均相同的小球分装在甲、乙两个口袋中，甲袋中装有1个黑球和1个白球，乙袋中装有2个黑球和1个白球．采用不放回抽取的方式，先从甲袋每次随机抽取一个小球，当甲袋中的1个黑球被取出后再用同一方式在乙袋中进行抽取，直到将乙袋中的2个黑球全部取出后停止．记总抽取次数为，下列说法正确的是（　　）
A．
B．已知从甲袋第一次就取到了黑球，则的概率为
C．
D．若把这5个球放进一个袋子里去，每次随机抽取一个球，取后不放回，记总抽取次数为，则
12．商场某区域的行走路线图可以抽象为一个的正方体道路网（如图，图中线段均为可行走的通道），甲、乙两人分别从A，B两点出发，随机地选择一条最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达B，A为止．下列说法正确的是（　　）
A．甲从必须经过到达的方法数共有9种
B．甲从A到的方法数共有90种
C．甲、乙两人在处相遇的概率为
D．甲、乙两人相遇的概率为
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上）．
13．二项式的展开式中的常数项为________．
14．甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛，已知每局比赛甲胜的概率为，乙胜的概率为，各局比赛的胜负互不影响，现采取7局4胜制，则甲获胜且比赛局数恰好为5局的概率是________．
15．花店还剩七束花，其中三束郁金香，两束白玫瑰，两束康乃馨，李明随机选了两束，已知李明选到的两束花是同一种花，则这两束花都是郁金香的概率为________．
16．杜牧《羊栏浦夜陪安会》的诗句中“球来香袖依稀暖，酒凸觥心泛艳光”描述的是唐代酒宴上的助兴游戏“击鼓传花”，也称传彩球．游戏规则为：鼓响时，众人开始依次传花，至鼓停为止，此时花在谁手中，谁就上台表演节目．甲、乙、丙三人玩击鼓传花，鼓响时，第1次由甲将花传出，每次传花时，传花者都等可能地将花传给另外两人中的任何一人，经过8次传递后，花又在甲手中的概率为________．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
记的内角，，的对边分别为，，．已知，，．
（1）求和的面积；
（2）点在边上，且，求．
18．（本小题满分12分）
已知数列的前项和，数列满足，且．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱雉中，底面为矩形，，，平面．
（1）求证：平面；
（2）当时，求二面角的余弦值．
20．（本小题满分12分）
某企业生产的产品按质量分为一等品和二等品，该企业计划对现有生产设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取200件产品作为样本，产品的质量情况统计如下表：
一等品 二等品 合计
设备改造前 120 80 200
设备改造后 150 50 200
合计 270 130 400
附：
（1）判断能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为该企业生产的这种产品的质量与设备改造有关；
（2）按照分层抽样的方法，从设备改造前的产品中取得了5件产品，其中有3件一等品和2件二等品．现从这5件产品中任选3件，记所选的一等品件数为，求的分布列及均值；
（3）根据市场调查，企业每生产一件一等品可获利100元，每生产一件二等品可获利60元，在设备改造后，用先前所取的200个样本的频率估计总体的概率，记生产1000件产品企业所获得的总利润为，求的均值．
21．（本小题满分12分）
设双曲线的右焦点为，其中一条渐近线的方程为．
（1）求双曲线的方程；
（2）过点的直线与双曲线的右支交于A，B两点，过点A，B分别作直线的垂线（点A，B在直线的两侧），垂足分别为M，N，记，，的面积分别为，，，试问：是否存在常数，使得 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
22．（本小题满分12分）
已知函数，圆．
（1）讨论的单调性；
（2）若，曲线与圆恰有三条公切线，求的取值范围．
深圳实验学校光明部2022-2023学年度第二学期期中考试
高二数学　　答案及评分标准
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．
1 2 3 4 5 6 7 8
A C B D C C A B
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）．
9 10 11 12
ABD ACD AC ABD
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上）．
13．-160 14． 15． 16．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）．
17．（10分）
解：（1）在中，由余弦定理，
．
．
（2）在中，由余弦定理，
，
，，．
在中，由正弦定理，
．
18．（12分）
解：（1）当时，；
当时，，
，．
设，
则，，
是首项为，公比为2的等比数列，
．
所以，，．
（2），
①
②
①-②得
，
．
19．（12分）
（1）证明：平面，平面，
．
，且，，平面，
平面．
（2）解：过点作，垂足为．
平面，平面，
，
又，．
取中点，分别以OA，OM，OP为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，
在等腰中，，．
，，，，，
设平面的一个法向量为，
，，
，令，得，，
设平面的一个法向量为，
，，
，令，得，，．
．
注意到二面角的平面角为针角，
二面角的余弦值为．
20．（12分）
解：（1）零假设为：质量指标值与设备改造无关．
，
不成立，故能在犯错误的概率不超过的前提下，认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；
（2）．
，
，
，
的分布列为
1 2 3
．
（3）设生产的一等品有件，则二等品有件，
，
，
，
元
21．（12分）
解：（1）由题意：
（2）设，，则，．
设直线，
由得
，与右支交于2点，或
，．
，，．
．
即．
22．（12分）
解：（1），．
（1）当时，，在单调递增．
（2）当时，，，
在单调递增，在单调递减．
综上所述，当时，在单调递增；
当时，在单调递增，在单调递减．
（2），，设切点为，则切线方程：，即．
直线与圆相切，，
令，则在有3个根．
设
（1）若，即，，，
在单调递增，
，当时，，
当时，有1根．
（2）若，即，，
，
令，，单调递增，且．
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
．
又，，当时，，（或
在和分别有2根．
综上，．