河南省安阳市正一中学2022-2023学年高一下学期4月数学测试（十）（含答案）

正一中学2022-2023学年高一下学期4月数学测试（十）
一、单选题(每题4分，共56分)
1．一个棱锥被平行于底面的平面所截，截面面积恰好是棱锥底面面积的一半，则所截得小棱锥与原棱锥的高之比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C． D．
2．已知正三棱柱的所有棱长都是2，点M在棱AC上运动，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．有下列命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的直线距离是圆柱的母线长；
②圆锥顶点与底面所圆周上任意一点的连线是圆锥的母线长；
③圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的.其中正确的命题是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
4．在中，已知，则的形状一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰或直角三角形
5．如图，在梯形中，，，，，，，均为锐角，则对角线（ ）
A．5 B．15
C．25 D．30
6．已知等边三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，是水平放置的△ABC的斜二测画法的直观图，其中，则△ABC是（　　）
A．钝角三角形
B．等腰三角形，但不是直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
8．长方体中，，，则此长方体的对角线长是（ ）
A．2 B． C． D．
9．如图所示，是由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形成的平面轴对称图形，若将它绕轴l旋转180°后形成一个组合体，下面说法不正确的是　(　　)
A．该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体
B．该组合体仍然关于轴l对称
C．该组合体中的圆锥和球只有一个公共点
D．该组合体中的球和半球只有一个公共点
10．一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切（球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是（ ）
A． B．
C． D．
11．下列说法正确的是（ ）
A．圆锥的母线长等于底面圆直径
B．圆柱上、下底面任意两点的连线均为母线
C．圆台的母线与轴平行
D．球的直径必过球心
12．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括（ ）
A．一个圆台、两个圆锥 B．一个圆台、一个圆柱
C．两个圆台、一个圆柱 D．一个圆柱、两个圆锥
13．21世纪以来，中国钢铁工业进入快速发展阶段，某工厂要加工一种如图所示的圆锥体容器，圆锥的高和母线长分别为和，该容器需要在圆锥内部挖出一个正方体槽，则可以挖出的正方体的最大棱长为（ ）
A． B．
C． D．
14．已知点是锐角的外心，，，，若，则（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
二、多选题(每题5分，共40分)
15．圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为，则圆台的（ ）
A．母线长是20 B．表面积是
C．高是 D．轴截面为等腰梯形
16．下列命题错误的是（ ）
A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
C．四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面
D．棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形
17．一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，则截面的图形可能是（ ）
A． B． C． D．
18．已知棱长为2的正方体的中心为，用过点的平面去截正方体，则（ ）
A．所得的截面可以是五边形
B．所得的截面可以是六边形
C．该截面的面积可以为
D．所得的截面可以是非正方形的菱形
19．如图所示，是水平放置的的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是（ ）
A．是钝角三角形
B．的面积是的面积的2倍
C．是等腰直角三角形
D．的周长是
20．长方体的长、宽、高分别为3，2，1，则（ ）
A．长方体的表面积为20
B．长方体的体积为6
C．沿长方体的表面从A到的最短距离为
D．沿长方体的表面从A到的最短距离为
21．已知复数，是的共轭复数，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
22．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ）
A．若a>b，则
B．若，则A>B
C．若，则是等腰三角形
D．若为锐角三角形，则
四、填空题(每题5分，共30分)
23．在锐角△ABC中，角B所对的边长b=6，△ABC的面积为15，外接圆半径R=5，则△ABC的周长为______.
24．设复数在复平面上对应的向量为，将绕原点逆时针旋转个角后得到向量，向量所对应的复数为，若，则自然数的最小数值为___________
25．÷()=_____.
26．如图，已知正三棱柱的底面边长为1cm，高为5cm，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为___________.
27．需要测量某塔的高度，选取与塔底在同一个水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高为__________米
28．毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形（如图1）.现由毕达哥拉斯树部分图形作出图2，为锐角三角形，面积为1，，以的三边为边长的正方形中心分别为，则的最小值为___________.
四、解答题(每题12分，共24分)
29．在中，.
(1)求的大小；
(2)若，证明：.
30．设复数、满足.
(1)若、满足，求、；
(2)若，则是否存在常数，使得等式恒成立？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由.
参考答案：
1-5．CABBC 6-10．DCBAB 11-14．DDDB
15．ABD 16．ABD 17．ABC 18．BCD 19．CD 20．BC
21．ABC 22．ABD
23． 24． 25．
26． 27． 28．##
29．(1)；(2)证明见解析.
【详解】（1）在中，∵，
∴，
∴，∴，
∵，∴；
（2）∵，∴．由余弦定理得①，
∵，∴②，
将②代入①，得，
整理得，∴．
30．(1)、或、
(2)存在，
【详解】（1）由可得：，代入已知方程得，
即，
令（），∴，即，
∴，解得或，
∴、或、；
（2）由已知得，又，∴，
∴， ∴，
整理得即，
所以，故，∴，
即，∴存在常数，使得等式恒成立.