华东师大版九年级数学上册 第21章二次根式单元测试卷 （含答案）
文档属性
| 名称 | 华东师大版九年级数学上册 第21章二次根式单元测试卷 （含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 406.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-04-19 08:17:54 | ||
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文档简介
2022-2023学年度华师大版九年级数学
第21章《二次根式》单元测试卷
单选题（每小题3分，共30分）
1．下列计算正确的是（ ）
A．5－4＝1 B．＋＝
C．3＝ D．2＋2＝4
2．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．我国南宋著名数学家秦九韶和古希腊几何学家海伦都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．已知的三边长分别为4，5，7，则的面积为（ ）
A． B． C． D．8
4．如图，从一个大正方形中裁去面积为6cm2和15cm2的两个小正方形，则留下阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．计算的结果是（ ）
A． B．3 C．-3 D．
6．若与最简二次根式能合并，则m的值为（ ）
A．7 B．9 C．2 D．1
7．若式子有意义，则x的取值范围为（ ）
A．x≤2 B．x≤2且x≠1 C．x≥2 D．x≥1
8．在学完二次根式的乘除法之后，小明借助计算机完成了以下计算：，，，，……，通过计算，小明发现了其中规律，那么按照上述规律，计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
9．若＝1﹣x，则x的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x≥1 C．x＜1 D．x≤1
10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6cm，点P 从点B出发，沿BA方向以每秒cm的速度向终点A运动；同时，动点Q从点C出发沿CB方向以每秒1cm 的速度向终点B运动，将△BPQ沿BC翻折，点P的对应点为点P′，设Q点运动的时间t秒，若四边形QPBP′为菱形，则t的值为（ ）
A．2 B． C． D．4
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．计算的结果是_____．
12．计算：所得的结果是_____．
13．由四个全等的直角三角形组成如图所示的“赵爽弦图”，若直角三角形斜边长为2，较长直角边的长为，则图中阴影部分的面积为_________．
14．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，若，，则BD的长为_______．
15．如图所示，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠使AD边与对角线BD重合，得折痕DG． 若，，则AG的长是___________．
三、解答题（本题8小题，满分75分）
16．（8分）计算
(1)；
(2)．
17．（9分）先化简，再求值：，其中．
18．（9分）（1）在边长为cm的正方形的一角剪去一个边长为cm的小正方形，如图1，求图中阴影部分的面积；
（2）小明是一位爱动脑筋的学生，他发现沿图1中的虚线将阴影部分前开，可拼成如图2的图形，请你根据小明的思路求图1中阴影部分的面积
19．（9分）观察下列等式，解答后面的问题：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
(1)请直接写出第5个等式 ___________；
(2)根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并给予证明；
(3)利用（2）的结论化简：．
20．（9分）某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为83米，宽AB为米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为米，宽为米
(1)长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）；
(2)除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
21．（10分）秦九韶（1208年－1268年），字道古，汉族，生于普州安岳（今四川省安岳县）人，祖籍鲁郡（今河南范县）．南宋著名数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学，是一位既重视理论又重视实践，既善于继承又勇于创新的世界著名数学家．他所提出的大衍求一术（中国剩余定理）和正负开方术及其名著《数书九章》，是中国数学史、乃至世界数学史上光彩夺目的一页，对后世数学发展产生了广泛的影响．他写的《数书九章》序堪称一篇奇文．秦九韶的数学成果丰硕，其中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果统称海伦－秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是a、b、c，记，那么三角形的面积为：
(1)在△ABC中，BC＝4，AC＝AB＝3，请用上面的公式计算△ABC的面积．
(2)如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝AB＝7，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E．求BE的长．
22．（10分）如图， ABCD中，BD⊥AD，∠A＝45°，E、F分别是AB，CD上的点，且BE＝DF，连接EF交BD于O．
(1)求证：BO＝DO；
(2)若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG＝1时，求AD的长．
23．（11分）观察猜想
(1)观察猜想：①；②；③．
通过上面三个计算，可以初步对任意的非负实数a，b做出猜想： ；
(2)验证结论：我们知道可以利用几何图形对一个等式进行验证，请你利用与下图全等的四个矩形，构造几何图形对你的猜想进行验证．（要求：画出构造的图形，写出验证过程）
(3)结论应用：如图，某同学在做一个面积为800cm2，对角线相互垂直的四边形玩具时，用来做对角线的竹条至少要 cm．
第21章《二次根式》单元测试卷
参考答案
单选题
1．C 2．B 3．A 4．A 5．D 6．D 7．B 8．B 9．D 10．A
二、填空题
11． 12．1 13． 14．12 15．
三、解答题
16．（1）解：原式=
=
=
=
=；
（2）解：原式=
=
=
=．
17．解：
当x1时，
原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则，二次根式混合运算法则，是解题的关键．
18．解：（1）由题意得
；
（2）由题意得，图2中长方形的长为：，图2中长方形的宽为：，
∴；
19．（1）解：由题意，第五个等式为：；
故答案为：
（2）
（n为正整数），
证明：∵n为正整数，
∴
∴（n是正整数）
又∵，
∴左边=右边，
∴猜想成立；
（3）
原
．
20．（1）解：长方形ABCD的周长（米），
答：长方形ABCD的周长是米；
（2）解：通道的面积
（平方米），
购买地砖需要花费（元）．
答：购买地砖需要花费元．
21．
（1）解：p＝，
∴；
（2）解：如图，过点E作EF⊥AC，EH⊥AB，垂足为F，H．
由角平分线的性质可得：ED＝EH＝EF．
在△ABC中，BC＝6，AC＝AB＝7，由海伦—秦九韶公式：
求得p=
△ABC的面积为：=．
∴，
即，
；
又∵AC＝AB＝7，AD⊥BC，垂足为D
∴，
∴在Rt BDE中， 由勾股定理得：
BE=．
22．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，
在与中
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由（1），
∴，
∴，
∴，
23．(1)解：观察三个式子可得，
猜想：a+b，
故答案为：；
(2)解：如图所示，将四个小长方形围城一个大正方形，且画为阴影，
中间所围成的小正方形的边长为：，
所围成的图形的面积为：，
即，
∴a+b；
(3)解：设对角线的长分别为a厘米，b厘米，
∵对角线互相垂直，
四边形ABCD的面积为：，
即，
∴，
∵a+b， .
∴用来做对角线的竹条至少要用80厘米.
第21章《二次根式》单元测试卷
单选题（每小题3分，共30分）
1．下列计算正确的是（ ）
A．5－4＝1 B．＋＝
C．3＝ D．2＋2＝4
2．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．我国南宋著名数学家秦九韶和古希腊几何学家海伦都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．已知的三边长分别为4，5，7，则的面积为（ ）
A． B． C． D．8
4．如图，从一个大正方形中裁去面积为6cm2和15cm2的两个小正方形，则留下阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．计算的结果是（ ）
A． B．3 C．-3 D．
6．若与最简二次根式能合并，则m的值为（ ）
A．7 B．9 C．2 D．1
7．若式子有意义，则x的取值范围为（ ）
A．x≤2 B．x≤2且x≠1 C．x≥2 D．x≥1
8．在学完二次根式的乘除法之后，小明借助计算机完成了以下计算：，，，，……，通过计算，小明发现了其中规律，那么按照上述规律，计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
9．若＝1﹣x，则x的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x≥1 C．x＜1 D．x≤1
10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6cm，点P 从点B出发，沿BA方向以每秒cm的速度向终点A运动；同时，动点Q从点C出发沿CB方向以每秒1cm 的速度向终点B运动，将△BPQ沿BC翻折，点P的对应点为点P′，设Q点运动的时间t秒，若四边形QPBP′为菱形，则t的值为（ ）
A．2 B． C． D．4
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．计算的结果是_____．
12．计算：所得的结果是_____．
13．由四个全等的直角三角形组成如图所示的“赵爽弦图”，若直角三角形斜边长为2，较长直角边的长为，则图中阴影部分的面积为_________．
14．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，若，，则BD的长为_______．
15．如图所示，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠使AD边与对角线BD重合，得折痕DG． 若，，则AG的长是___________．
三、解答题（本题8小题，满分75分）
16．（8分）计算
(1)；
(2)．
17．（9分）先化简，再求值：，其中．
18．（9分）（1）在边长为cm的正方形的一角剪去一个边长为cm的小正方形，如图1，求图中阴影部分的面积；
（2）小明是一位爱动脑筋的学生，他发现沿图1中的虚线将阴影部分前开，可拼成如图2的图形，请你根据小明的思路求图1中阴影部分的面积
19．（9分）观察下列等式，解答后面的问题：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
(1)请直接写出第5个等式 ___________；
(2)根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并给予证明；
(3)利用（2）的结论化简：．
20．（9分）某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为83米，宽AB为米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为米，宽为米
(1)长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）；
(2)除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
21．（10分）秦九韶（1208年－1268年），字道古，汉族，生于普州安岳（今四川省安岳县）人，祖籍鲁郡（今河南范县）．南宋著名数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学，是一位既重视理论又重视实践，既善于继承又勇于创新的世界著名数学家．他所提出的大衍求一术（中国剩余定理）和正负开方术及其名著《数书九章》，是中国数学史、乃至世界数学史上光彩夺目的一页，对后世数学发展产生了广泛的影响．他写的《数书九章》序堪称一篇奇文．秦九韶的数学成果丰硕，其中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果统称海伦－秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是a、b、c，记，那么三角形的面积为：
(1)在△ABC中，BC＝4，AC＝AB＝3，请用上面的公式计算△ABC的面积．
(2)如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝AB＝7，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E．求BE的长．
22．（10分）如图， ABCD中，BD⊥AD，∠A＝45°，E、F分别是AB，CD上的点，且BE＝DF，连接EF交BD于O．
(1)求证：BO＝DO；
(2)若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG＝1时，求AD的长．
23．（11分）观察猜想
(1)观察猜想：①；②；③．
通过上面三个计算，可以初步对任意的非负实数a，b做出猜想： ；
(2)验证结论：我们知道可以利用几何图形对一个等式进行验证，请你利用与下图全等的四个矩形，构造几何图形对你的猜想进行验证．（要求：画出构造的图形，写出验证过程）
(3)结论应用：如图，某同学在做一个面积为800cm2，对角线相互垂直的四边形玩具时，用来做对角线的竹条至少要 cm．
第21章《二次根式》单元测试卷
参考答案
单选题
1．C 2．B 3．A 4．A 5．D 6．D 7．B 8．B 9．D 10．A
二、填空题
11． 12．1 13． 14．12 15．
三、解答题
16．（1）解：原式=
=
=
=
=；
（2）解：原式=
=
=
=．
17．解：
当x1时，
原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则，二次根式混合运算法则，是解题的关键．
18．解：（1）由题意得
；
（2）由题意得，图2中长方形的长为：，图2中长方形的宽为：，
∴；
19．（1）解：由题意，第五个等式为：；
故答案为：
（2）
（n为正整数），
证明：∵n为正整数，
∴
∴（n是正整数）
又∵，
∴左边=右边，
∴猜想成立；
（3）
原
．
20．（1）解：长方形ABCD的周长（米），
答：长方形ABCD的周长是米；
（2）解：通道的面积
（平方米），
购买地砖需要花费（元）．
答：购买地砖需要花费元．
21．
（1）解：p＝，
∴；
（2）解：如图，过点E作EF⊥AC，EH⊥AB，垂足为F，H．
由角平分线的性质可得：ED＝EH＝EF．
在△ABC中，BC＝6，AC＝AB＝7，由海伦—秦九韶公式：
求得p=
△ABC的面积为：=．
∴，
即，
；
又∵AC＝AB＝7，AD⊥BC，垂足为D
∴，
∴在Rt BDE中， 由勾股定理得：
BE=．
22．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，
在与中
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由（1），
∴，
∴，
∴，
23．(1)解：观察三个式子可得，
猜想：a+b，
故答案为：；
(2)解：如图所示，将四个小长方形围城一个大正方形，且画为阴影，
中间所围成的小正方形的边长为：，
所围成的图形的面积为：，
即，
∴a+b；
(3)解：设对角线的长分别为a厘米，b厘米，
∵对角线互相垂直，
四边形ABCD的面积为：，
即，
∴，
∵a+b， .
∴用来做对角线的竹条至少要用80厘米.