学科：数学
教学内容：分式单元知识总结（二）
题型发散
发散1 选择题 把正确答案的代号填入题中的括号内．
（1）分式，，的最简公分母是（ ）
（A） （B） （C） （D）
（2）下列各式的约分运算中，正确的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
（3）将分式，，通分，下列变形中正确的是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）以上答案都不正确
（4）若，则的值是（ ）
（A） （B） （C） （D）4
（5）已知x:2=y：3=z：0.5，则的值是（ ）
（A） （B）7 （C）3 （D）
解 (1)用直接法．
求最简公分母，先求几个分式的分母的最低公倍式，几个分式分母的最低公倍式是：．
故本题应选(D)．
(2)用排除法．
选项(A)中，；；
选项(B)中，，如；
选项(C)中，，因此可排除(A)、(B)、(C)，
故本题应选(D)．
(3)用直接法．
选项(A)中，，错；
选项(B)中，，错；选项(C)正确．
故本题应选(C)．
(4)用直接法．
∵ ，∴ ，
将分式的分子和分母都除以xy，得
故本题应选(C)．
(5)用直接法．
从题设入手，设(可设k=1)，
则x=2k,y=3k,z=0.5k．
∴．
故本题应选(B)．
发散2填空题
(1)已知分式，
当x___________时，分式无意义；
当x___________时，分式有意义；
当x___________时，分式的值为零；
当x=0时，分式的值为_________．
(2)把下面分式的分子、分母的各项系数都化为整数．
①； ②_________________．
(3)把下面分式化为最简分式__________________．
(4)已知，则a：b=_______________．
解(1)∵原式
当x=1时，，分式无意义；
当x≠1时，分式有意义；
当x=-1时，分子(x+1)(x-1)=0，分母，故分式值为零；
当x=0时，．
(2)①运用分式的基本性质，将分式的分子、分母都乘以100，得原式=.
②运用分式的基本性质，将分式的分子、分母都乘以12，得原式．
（3）分别将分式的分子、分母因式分解，得
．
（4）原式两边乘以(2a-b)得 ，
进一步整理，得 ．
∴ ．
∴ a：b=19：13．
发散3 计算．
分析 先将假分式化为真分式与整式之和，再进行加减运算．
解
发散4 计算．
分析 本题是分式的四则混合运算问题．应先乘除后加减，有括号的先做括号内的计算．
解
解散发散
发散1 计算
分析1 将分式化成，可化为．
解法1
分析2 将分式化成，再对进行通分．
解法2
发散2 计算
解法1 采用两两相加的方法．
解法2 用拆项的方法计算．
变形发散
发散1 已知a+b+c=0，求的值．
解法1 由a+b+c=0，得a+b=-c，b+c=-a，a+c=-b．
∴
解法2 ∵ a+b+c=0，
∴
发散2 已知，求的值．
解 ∵
∴ ，即．
∴
∴
发散3 计算．
解 本题把多项式看做是分母为1的式子．
即
这里逆用立方差公式，．
纵横发散
发散1 请你先化简，再选取一个使原式有意义，而你又喜爱的数代入求值．
．
（2002年江西省中考试题）
解
=（且）
令x=2得 ．
发散2 计算．
解
发散3 化简
（2002年苏州市中考试题）
解
综合发散
发散1 已知，求分式的值．
解 ∵
亦即 ，
∴ ．
∴ ．
发散2 已知a+b+c=0，abc=8，求证：．
证明 ∵ a+b+c=0， ∴，
即 ．
∴
又∴
∵ abc=8，a、b、c均不能为零，∴，
故 ．
4．分式方程
【典型例题】
1．解方程．
解 方程两边同乘以x-4，去分母得5-x-1=x-4．
解此整式方程，得 x=4．
经检验，当x=4时，分母x-4=0．
故x=4是增根，原方程无解．
2．解方程．
分析 解分式方程的关键是去分母将分式方程转化为整式方程，为此首先要将各个能因式分解的多项式先做因式分解，然后再取最简公分母，
解 原方程可化为，
方程两边都乘以，约去分母，得
，
解这个整式方程，得x=-1．
检验：当x=-1时，
，原方程无解．
3．解方程
分析 由分式的化简与计算可知，如果一个分式的分子的次数高于或等于分母的次数，那么就可以将分式化成整式部分与分式部分的和，我们可采用此法先化简一个分式.
解 原方程可化为
解这个整式方程，得 ．
经检验知是原方程的根．
4．有一分数，分子加1，分母减1就变成；以分母与分子的差为分子，分母与分子的和为分母，所得的分数为，求原分数．
解 设原分数为，依题意，得
解得经检验是方程组的解．
∴ 原分数为．
纵横发散
发散1 解方程．
解 方程两边同乘以x-2，约去分母，得
，
解这个方程，得 x=0．
检验：当x=0时，．
所以0是原方程的根．
发散2 解方程．
解 原方程变形为，
方程两边同乘以，约去分母，得
，
解这个整式方程，得x=1．
检验：当x=1时所以，1是增根，原方程无解．
解题指导 解分式方程的一般步骤：
(1)在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；
(2)解这个整式方程；
(3)把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去．
转化发散
发散题 解方程组
分析 用换元法将分式方程组转化为整式方程组．
解 令，，则原方程组转化为
即
解得
即
解得
∵，
∴是原方程组的解．
解法发散
发散1 一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用．已知甲、乙、丙三辆车每次运货量不变，且甲、乙两车单独运这批货物分别用2a次、a次能运完；若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共运了180吨；若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了270吨．
(1)乙车每次所运货物量是甲车每次所运货物量的几倍；
(2)现甲、乙、丙合运相同次数把这批货物运完时，货主应付车主运费各多少元 (按每运1吨付运费20元计算)．
解法1 设这批货物共有T吨，甲车每次运吨，乙车每次运吨．
（1）∵，， ∴，
即乙车每次运货量是甲车的2倍；
(2)由题意列方程，
∵ ， ∴
∵ ∴
解方程得 T=540．
∵ 甲车运180吨，丙车运540-180=360(吨)
∴ 丙车每次运货量也是甲车的2倍．
∴ 甲车车主应得运费(元)
乙、丙车主各得运费(元)
答：(1)乙车每次运货量是甲车每次运货量的2倍；(2)应付甲车车主运费2160元，付乙、丙两车主运费各4320元．
解法2 (1)同解法1．
(2)设甲车每次运吨，乙车每次运吨，丙车每次运吨，则
，
以为未知数，解方程得，
以下同解法1.
解法3 (1)同解法1．
（2）设甲车每次运货量是丙车每次运货量的n倍，乙车每次运货量是丙边每次运货量的2n倍，则
解得 ．
∴ 这批货物共有180+180×2=540吨．
以下同解法1
发散2 已知，a，b，c全不为零．求证：．
分析1 将求证式变形后利用合分比定理证明．
证明1 由题设，得
由合分比定理，得，
即 ．
对上式除以abc，得
分析2 把条件等式中各式之值设为常数k，变形后分别求出a，b，c的表达式，代入求证式中各分式计算．
证明2 令，
∴ ，，．
∴
同理
∴ ．
综合发散
发散1 解方程．
分析 将方程中的每个分式化为1减去真分式之差，再去分母化分式方程为整式方程．
解 将原方程变形为
，
∴ ．
去分母，整理得 ．
∴ ．
经检验，是原方程的根．
发散2 甲乙两个工人同时从工厂出发去52km远的工地做工，甲乘开往工地的机动三轮车，乙先乘公共汽车到距离工地4km处的车站下来，下车后继续步行前进，结果两人同时到达工地．已知汽车速度比机动三轮车每小时快8km，乙步行速度比汽车每小时慢26km．求汽车和机动三轮车的速度．
解法1 设汽车的速度为xkm／h，根据题意得．
解方程得 x-8=24，x=32．
经检验x=32是方程的根．
答：汽车速度为32km／h，机动三轮车的速度为24km／h，
解法2 设汽车速度为xkm／h，机动三轮车速度为ykm／h．
根据题意得
解方程得
经检验是方程组的解．
答：汽车速度为32km/h，机动三轮车的速度为．
发散3 甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动．已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵树所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等．求甲、乙两班每小时各种多少棵树
解 设甲班每小时种x棵树，则乙班每小时种(x+2)棵树．
根据题意，有，
∴x=20．
经检验：x=20是原方程的解.∴x+2=22．
答：甲班每小时种20棵树，乙班每小时种22棵树．
发散4 A，B两地相距80km，一辆公共汽车从A地出发，开往B地，2h后又从A地同方向开出一辆小汽车，小汽车的速度是公共汽车的3倍，结果小汽车比公共汽车早40min到达B地，求两种车的速度．
解 设公共汽车的速度为xkm／h，则小汽车速度为3xkm／h．根据题意有
解方程，得 x=20
经检验x=20是所列方程的解.∴ 3x=60．
答：公共汽车速度为20km／h，小汽车速度为60km／h．
【知识整合网络】
【学习方法指导】
一、转化的思想方法
学习新的知识，其中一部分是建立在已学知识、方法上的．本章中解分式方程时，把方程两边都乘以最简公分母，把分式方程转化成整式方程去解，这也是一种解题方法．在分式的除法运算中，把除法转化成乘法做，即把除号改变为乘号，再把除式的分子与分母交换位置，进行乘法运算．
二、探究的思想方法
本章中对分式方程及a=bc型的关系进行探究．例如：在关于x的方程ax=1中，当a=_____________时，方程有惟一的解；当a=_____________时，此方程无解．在解此方程时，方程两边要同时除以a，因为字母a，可代表正数、零、负数，若a≠0，这个方程的解就为，若a=0，这个方程就没有解．
三、常用的数学方法
本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等．分解因式是进行分式运算和解分式方程的关键．通分、约分、去分母时一般都需要先分解因式，分解因式熟练与否，直接影响分式加减乘除运算及解分式方程的速度和准确性．
【中考信息传递】
纵观近几年的全国各省、市的中考试题中，分式部分常见题型主要有两大类：
1．有关分式的概念与性质，如分式有意义或分式的值为零的条件，常以填空题、选择题形式出现．
2．分式的运算及化简求值，如括号内是加减，括号外是乘除的分式混合运算，以计算题居多，值得指出的是，分式的中考题难度不大，但涉及所学习的基础知识较多，解题方法灵活多变，容易产生符号和运算方面的错误．因此，本章考点题目“易做又易错”，既是“送分题”，又是“丢分题”．展望未来，本章考试一如既往，仍以分式的基本性质和混合运算为命题热点．
但应注意掌握含字母系数的一元一次方程和可化为一元一次方程的分式方程的解法及应用．
【中考名题赏析】
纵横发散
发散1 先化简，再求值，其中a满足：
（2002年山西省中考试题）
解
当a满足时，，∴ .
发散2 已知，，求的值．
解 先化简，再求值．
．
当，时，．
综合发散
发散题 为加快西部大开发，某自治区决定新修一条公路，甲、乙两工程队承包此项工程．如果甲工程队单独施工，则刚好如期完成；如果乙工程队单独施工，就要超过6个月才能完成．现在由甲、乙两队先共同施工4个月，剩下的由乙队单独施工，则刚好如期完成．问原来规定修好这条公路需多长时间
解 设原来规定修好这条公路需x个月．
根据题意，得或．
当，时，去分母，原方程化为
，
即2x=24，∴x=12．
答：原来规定修好这条公路需12个月．分式单元达纲检测A级
【同步达纲练习】
一、填空题(6分×7=42分)
1.如果r=,将分式用S表示，则= .
2.化简= .
3.当a= 时，方程=3有根x=1.
4.关于x的方程(a≠b)的解为x= .
5.一项工程，m个人需m天完成.现在n个人工作p天后又加入r个人一同工作，那么完成这项工程共需 天.
6.若代数式的值为正，则x满足 .
7.已知，则y= .
二、解答题(9分×2=18分)
8.计算(1)(-)÷()2·÷(-2a2b3)
(2)1-[-(x2+x+1)]·÷(x2-2x-3)
三、解方程(10分×2=20分)
9.(1)= (2)
10.关于x的方程有增根x=-2，求k.（10分）
11.甲、乙两人都从A地出发到B地，已知两地相距50千米，且乙的速度是甲的速度的2.5倍.现甲先出发1小时半，乙再出发，结果乙比甲先到B地1小时，问两人的速度各是多少？(10分)
参考答案
一、1. 2. 3.3 4.ab 5. 6.-2＜x＜2 7.
二、8.(1) (2) 三、9.(1)x= (2)当m≠-时，原方程有唯一解x=;当m=时，原方程无解.
10.k=-1 11.甲12km/h, 乙30km/h学科：数学
教学内容：分式单元知识总结（一）
【基本目标要求】
一、经历用字母表示现实情境中分式、分式方程的过程，了解分式、分式方程的概念，体会分式、分式方程的模型思想．
二、经历通过观察、归纳、类比、猜想，获得分式的基本性质、分式乘除运算法则、分式加减运算法则的过程，培养学生的推理能力与恒等变形能力．
三、掌握分式的基本性质，能进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验分式方程的根．
四、能列可化为一元一次方程的分式方程解简单的应用题，能解决一些与分式、分式方程有关的实际问题，提高分析问题、解决问题的能力和应用意识．
【基础知识导引】
一、分式的概念
1．分式
整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么称为分式，其中A称为分式的分子，B称为分式的分母．对于任意一个分式，分母都不能为零．
2．有理式
整式和分式统称有理式．
二、分式的基本性质
1．分式的基本性质
分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变．这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示为：
（M为整式，且M≠0）．
2．分式的符号法则
根据分式的基本性质可得，据此有分式的符号法则如下：
．
即改变分式、分式的分子和分式的分母的符号中的任何两个，分式的值不变．
三、分式的运算
1．分式的乘除运算
(1)最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式(或既约分式)．
(2)分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．约分时通常应把分式化为最简分式或整式．
(3)假分式：如果一个分式的分子的次数高于或等于分母的次数，那么这个分式叫做假分式．假分式可化为整式部分与分式部分的和．
(4)分式的乘除法法则：分式乘以分式，用分子的积作分子，分母的积作分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．上述法则用式子表示为：
．
2．分式的乘方运算
分式乘方，把分子、分母各自乘方．用式子表示为：
(n为正整数)．
3．同分母的分式的加减法运算
同分母的分式的加减法法则是分母不变，把分子相加减．上述法则用式子表示为：
4．异分母分式的加减法运算
(1)分式的通分：运用分式的基本性质，把几个异分母的分式化为与原来分式相等的同分母的分式叫做通分．通分的关键在于确定最简公分母，取各分母的系数的最小公倍数和所有因式的最高次幂的积就得到最简公分母．
(2)异分母的分式的加减法则：异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减．上述法则用式子表示为：
5．分式的加、减、乘、除混合运算顺序法则
先进行乘、除运算，再进行加、减运算．遇有括号，先算括号内的．
四、分式运算的应用
1．含有字母系数的一元一次方程的解法
关键在于用含有字母的值不能等于零的式子去乘(或除)方程的两边．例如：解方程ax=b，当a≠0时，有解．
2．分式方程及其解法
(1)分式方程．
分母里含有未知数的方程叫做分式方程．
(2)解分式方程的一般步骤．
①在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程；
②解所得的整式方程；
③把所得的整式方程的根代入最简公分母，看结果是否为零，为零的根是原方程的增根，应舍去．
(3)简单公式变形.
把一个公式从一种形式变换成另一种形式叫公式变形．公式变形常需把一个字母看做未知数，其余字母作为已知数来变换．
五、a=bc型数量关系探究
许多实例中有三个量a、b、c之间存在a = bc的数量关系的情况，分析三者间数量关系，可发现：
(1)a=0必须且只须b=0或c=0；
(2)当a≠0时，，；
(3)当c(或b)为定值时,a和b(或c)有正比关系；
(4)在a(a≠0)为定值时，b和c有反比关系．
【重点难点点拨】
本章重点是分式的四则运算及会列出可化为一元一次方程的分式方程，解简单的应用题．
本章难点是会进行简单的公式变形；了解增根的概念，解分式方程会验根．要掌握重点、难点，必须注意以下问题．
一、分式的基本概念和基本性质
1．区分整式和分式．分式是除式中含有字母的有理式，它表示分子除以分母的商，因此它既是有理式，又是与整式联系的代数式．
2．正确掌握分式和分数在知识上的横向联系．分数是一个数，是整式．分式是有理式．当分式中字母取某个可取的数值时，分式就转化为分数．
3．特别注意，只有当分子等于零而分母不等于零时，分式的值才是零．
4．利用分式基本性质时，要注意分子、分母“都”乘以“同”一个的含义，防止犯只乘(除)分子或只乘(除)分母的错误；或犯分子、分母不是乘同一个整式的错误．
5．使分式有意义时字母的取值范围，又称为分式字母的允许值范围．如分式的字母允许值范围是a≠0．
6．不能约分后再求分式的允许值范围．要防止以下错误，如：
，当a≠1时，分式有意义．
7．要注意区分两类不同的问题，其一是在等式中，从左(右)式化为右(左)式的条件是M≠0，这是属于运用分式基本性质的问题；其二是等式成立的条件是B≠0，M≠0，这是属于运用分式基本概念的问题．
二、分式四则运算
1．分式加减时只要把分母因式分解，求出最简公分母后通分，分子开始可不必因式分解．
2．分式乘除时分子分母都要因式分解后，分子与分母进行约分，约分时防止，的错误．
3. 注意运算顺序及符号的变化，防止的错误．
4. 分式加减法的最后结果应化为最简分式或整式．
5．对于含有绝对值符号的分式，应根据绝对值的概念，先去掉绝对值符号，再化简分式．
三、关于分式化简、求值的方法与技巧
1．利用分式的概念去解．
2．运用分式运算法则求解．
3．先把分式化为最简分式，再去计算．
4．先把已知等式作适当变形，再代入计算．
例 已知，求的值．
解 由，得a-b=-ab．
5．利用公式求解．
例 化简．
解
6．若已知条件是连比等式，则用比值法求解．
例 若，求的值．
解 令
则 ，，
．
四、分式运算的应用
1．分式化简与解分式方程不能混淆，分式化简是恒等变形，不能随意去掉分母．
2．解分式方程时，关键在于把分式方程转化为整式方程，而这一转化过程中，方程两边乘以最简公分母，因此有产生增根的可能，故解分式方程必须验根．
3．解应用题的步骤和列整式方程解应用题的步骤是同样的，要注意分清题中的等量关系．
4．观察并分析所给的各个特殊分式或分式方程组，灵活应用采取不同的解法，特别是技巧性的解法．
【发散思维导练】
本章的主要内容是分式的概念、基本性质及其运算，分式运算的应用．分式是分数的继续与发展，它与分数概念有许多相似之处，因此应注意用分数对照类比的方法学习分式．在分式概念中，要特别注意作为分母的代数式的值不得为零，否则分式就没有意义．分式的四则运算是整式四则运算的进一步发展，是有理式恒等变形的重要内容之一．把一个公式从一种形式变换成另一种形式，叫做公式变形．公式变形便于解含有字母已知数的方程．解含有字母已知数的方程和解数字已知数的方程相同．只是将数的运算换成式的运算．将分式转化为整式是解分式方程的重要方法，也是化繁为简，化难为易的基本途径．本章安排了一定数量的题型发散．题型发散可增大知识点的覆盖面，训练计算的正确性和熟练程度，培养严密的逻辑推理能力及简明、正确的书面表达能力．
分式的运算与整式的运算相比难度加大，运算的步骤显著增多，符号的变换趋于复杂，方法更加灵活，熟练掌握本章的基础知识、基本技能和基本方法，有利于加强运算能力，对于提高分析问题、解决问题的能力是十分必要的．
【发散思维应用】
1．分式
2．分式的乘除法
典型例题
1．下列代数式中，哪些是分式，哪些不是分式
，，，，
分析 一个代数式是不是分式，只需看它的分母中是否含有字母．
解 分式有，，．不是分式的有，．
2．当x取什么值时，下列分式有意义．
(1)； (2).
分析 只有当分母不为0时，分式才有意义．
解 (1)由2x+3=0，得，所以，时，有意义；
(2)由5-10x=0，得10x=5，即，所以，时，有意义．
3．当a为何值时，分式有意义 值为零
分析 当分母不为零时分式有意义；当分母不为零且分子为零时分式的值为零．
解法1 令分母，得且，
∴ 且时，分式有意义；
又令分子，得2a=0，或a-2=0，
∴ a=0或a=2时，分子为零，
而当a=0时，分母（舍去a=0）．
当a=2时，分母，且分子．
∴ 当a=2时，分式的值为零．
解法2 解答本题后问，也可在a≠0的前提下约去分子、分母中的a，然后令分子中的因式a-2=0，得a=2，因为a=2时分母不为零，
∴ 当a=2时，分式的值为零．
4．计算
（1）；
（2）；
（3）．
分析 分式的乘除法实质是：按运算法则把分式的乘除法都统一为乘法再约分；当分子或分母含有多项式时，一般先分解因式，在运算过程中能约分的要约分.
解 （1）；
（2）；
（3）
．
题型发散
发散1 选择题 把正确答案的代号填入题中的括号内．
(1)下列分式中与分式的值相等的是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
（2）代数式，，，中分式是（ ）
（A） （B）
（C）和 （D），，
（3）要使分式有意义，x应满足条件（ ）
（A） （B）
（C） （D）且
（4）的结果是（ ）
（A） （B） （C） （D）
（5）若，则下列式子中不正确的是（ ）
(A） （B）
（C） （D）
（6）如果，则分式的值是（ ）
（A）-8或8 （B）-8
（C）8或-4 （D）-8或4
解 (1)用直接法．
因为分式的分子和分式本身的符号改变后，分式的值不变，所以．
故本题应选(C)．
(2)用排除法．
只有分母含有字母的式子才是分式，所以选项(B)、(C)、(D)均排除．
故本题应选(A)．
(3)用验证法．
因为只有分式的分母不为零时，分式才有意义．选项(A)、(B)扩大了x的取值范围，选项(C)缩小了x的取值范围，所以排除(A)、(B)、(C)．
故本题应选(D)．
(4)用直接法．
因为
故本题应选(D)．
(5)用排除法．
由可知(B)、(C)、(D)中式子均正确，应排除；只有(A)中：不正确.
故本题应选(A)．
(6)用直接推算法．
已知，即．
因原式=1-9=-8．
故本题应选(B)．
发散2填空题
(1)若分式，则a、b应满足的关系式是______________________．
(2)若，则x=_____________．
(3)计算________________．
(4)的值是____________________．
解 (1)欲使本题等式成立，必须使含有字母的分母不等于0．即a-b≠0，a≠b．
(2)本题要求的是使分子为0而分母不为0的x的值．因为，x=±1，而时x=1，故使的x=-1．
（3）．
（4）
【纵横发散】
发散1 不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“-’号．
（1）； （2）； （3）； （4）．
分析 在有理数除法的法则中，“同号得正，异号得负”，这就需看分子、分母、分式本身的符号，这三者中共有一个或三个负号的分式得负，若三者中共有两个负号的得正．
解 （1）；
（2）；
（3）；
（4）．
发散2 计算．
解
综合发散
发散1 若，求的值．
分析 由知y≠0，故可把求值式化为关于的表达式，再将代入求值．
．
发散2 先化简，再求值，其中，．
分析 先将乘、除法统一为乘法，再将分式的分子、分母是多项式的进行因式分解，化简，最后代入求值．
解
当，时．
发散3 已知1分析 本题利用条件1解 已知13．分式的加减法
【典型例题】
1．计算
(2002年北京市朝阳区中考试题)
解
2．已知2m-5n=0，求下式的值．
分析 本题先化简，然后代入求值．化简时在每个括号内通分，除号改乘号，除式的分子、分母颠倒过来，再约分、整理．最后将条件等式变形，用一个字母的代数式来表示另一个字母，代入化简后的式子求值．这是解决条件求值问题的一般方法．
解
∵ ，∴ ．
故原式=
3．当时，计算的值．
(2002年安徽省中考试题)
解 当时，．学科：数学
教学内容：分式单元达纲检测(AA级)
【单元达纲检测】
一、选择题
1．约简分式后，得（ ）
A．； B．； C．； D．。
2．给出4个代数式：（1）；（2）；（3）；（4），其中计算所得的结果是分式的有（ ）
A．（1）； B．（1）（4）； C．（4）； D．不同于以上的答案。
3．已知x≠0，则等于（ ）
A．； B．； C．； D．。
4．若4x=5y（y≠0），则的值等于（ ）
A．； B．； C．； D．。
5．分式中，最简分式有（ ）
A．1个； B．2个； C．3个； D．4个。
二、填空题
6．约分。
7．约分。
8．计算。
9．计算。
10．计算。
三、解答题
11．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
12．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
13．计算：
（1）；
（2）；
（3）。
14．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）。
15．先化简，再求值：
（1），其中；
（2），其中。
16．计算：
（1）；
（2）。
17．（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值。
应试能力测试
一、选择题
1．下列各分式方程去分母后，所得的结果正确的是（ ）
A．，去分母，得x+1=(x-1)(x-2)-1；
B．，去分母，得x+5=2x-5；
C．，去分母，得；
D．，去分母，得2(x-1)=7(x+3)。
2．甲、乙两人合修一台机床，2小时完成，乙知甲单独修，需要3小时，设乙单独修，需要x小时，可得方程，方程左边的代数式表示（ ）
A．工作效率之和； B．工作量之和；
C．工作时间之和； D．以上说法都不对。
3．方程的解是（ ）
A．a+b； B．1； C．； D．。
4．若分式方程的解为，则a等于（ ）
A．5； B．-2； C．； D．4。
5．公式可变形为（ ）
A．； B．；
C．； D．。
二、填空题
6．在公式中，用表示。
7．方程的解是______________________。
8．，得x=a-b的条件是____________________。
9．若（c+d≠0），则m=_______________________。
10．当a=____________时，关于x的方程的根为1。
三、解答题
11．解关于x的方程：
（1） （a≠±b）；
（2）（m-n≠0）；
（3）m(x-2)=n(2x-3) （m≠2n）；
（4）。
12．解下列分式方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
13．在公式中，已知a、b，且a≠2b，求V。
14．解关于x的方程：
（1）， （m+n≠0）
（2）。
15．关于x的分式方程，当m为何值时，会产生增根？
16．列分式方程解下列应用题。
（1）甲、乙两地相距19千米，某人从甲地到乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，到达乙地共用2小时，已知人骑自行车的速度是步行速度的4倍，求这人步行的速度。
（2）一个分数的分子、分母各加上1，则得；各减去1，则得，求这个分数。
（3）甲、乙两人合做一项工作，4小时后，甲因另有工作离开，剩下的工作由乙单独做6小时完成。已知甲做4小时的工作乙需要做5小时，问甲、乙单独做完这项工作各需要多少小时？
参考答案
【单元达纲检测】
一、选择题
1．B 2．A 3．D 4．C 5．C
二、填空题
6．。
7．。
8．。
9．。
10．。
三、解答题
11．（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
12．（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
13．（1）；
（2）3；
（3）。
14．（1）；
（2）；
（3）；
（4）0；
（5）。
15．（1），；
（2），5。
16．（1）；
（2）。
17．（1），；
（2），。
【应试能力测试】
一、选择题
1．D 2．B 3．C 4．A 5．C
二、填空题
6．。
7．无解。
8．a+b≠0。
9．。
10．。
三、解答题
11．（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
12．（1）x=3；
（2）x=1；
（3）x=-17；
（4）。
13．。
14．（1）；
（2）。
15．m=-3。
16．（1）这人的步行速度为5千米/时；
（2）设分子为x，则分母为3x+2，可列方程，解之得x=5，该分数为；
（3）设甲单独完成这项工作需要x小时，乙单独完成这项工作需y小时，
根据题意，得，解之得。学科：数学
教学内容：分式单元达纲检测(A级)
【巩固基础训练】
1．选择题，把正确答案的代号填入题中的括号内．
(1)若a，b为有理数，要使分式的值是非负数，则a，b的取值是 ( )
(A)a≥0，b≠0 (B)a≥0，b>O
(C)a≤0，b<0 (D)a≥0，b>0或a≤0，b<0
(2)下列各式，正确的是 ( )
(A) (B)
(C) (D)
(3)的值等于零时，x的值是 ( )
(A)-3 (B)-1 (C)-3或-1 (D)3
(4)要使分式有意义，x的值为 ( )
(A)x≠2 (B)x≠-2
(C)-2(5)如果x>y>0，那么的值是 ( )
(A)零 (B)正数 (C)负数 (D)整数
(6)若，则b为 ( )
(A) (B) (C) (D)
(7)已知，，求的值是 ( )
(A) (B) (C)3 (D)-3
(8)计算的结果是 ( )
(A) (B)
(C) (D)
(9)某人打靶，有m次每次中靶a环，有n次每次中靶b环，则平均每次中靶的环数是 ( )
(A) (B)
(C) (D)
(10)若关于x的方程有增根，则a的值为 ( )
(A)a=13 (B)a=-11 (C)a=9 (D)a=3
(11)下列各式中正确的是 ( )
(A) (B)
(C) (D)
(2000年云南省昆明市中考试题)
(12)如果分式的值是零．那么 ( )
(A)x=2 (B)x=-2 (C)x=0 (D)x的值不存在
(2000年江苏省南京市中考试题)
2．填空题．
(1)当x=____________时，分式没有意义．
(2)当x=____________时，分式的值为零．
(3)计算_____________．
(4)若，则分式的值等于_________________.
(5)当整数x=____________时，分式的值是整数．
(6)若a+b=4，ab=3，则____________，_____________.
(7)当a≠__________时，式子成立．
(8)，，的最简公分母是_____________.
(9)如果方程的解是x=a+b，那么a，b的关系是_______________.
(10)若，则_________________.
3．计算题．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)先化简，再求值，其中；
(5)求的值，其中；
(6)用换元法解方程．
解法发散
1．，求．(用三种方法解：去分母整理变形；设等比之值为k，代入原式左边；合分比定理)
2．一个两位数，两数字之和等于12，如果把它两个数字位置交换一下，则交换后的新数与原数的比为4：7，求原来的两位数．
变更命题发散
1．已知，求证：．
2．已知，求证：．
3．已知，求证：
构造发散
发散题 若，求的值．
(提示：本题可利用等比性质构造3x+y+z，也可设各个比之值为k)
转化发散
1．已知，求证：．
2．解方程组
逆向发散
1．计算．
2．化简．
变形发散
1．已知，，求证：
2．已知abc=1，求证：．
纵横发散
1．已知，，求证：．
2．已知，求的值．
综合发散
1．已知x，y，z满足关系式
求的值．
2．已知2b=a+c，求证：．
3．甲、乙二队共同工作，在6天内完成工程的一半，余下的工程由甲队独做8天，再由乙队独做3天后全部完成，求单独完成全部工程两队各需多少天
4．蓄水池装有甲、乙、丙三个进水管，甲、乙管齐开，2h注满全池的，乙、丙管齐开，3h注满全池的，甲、丙两管齐开，1h注满全池的，问三管齐开，几小时可以注满全池的
【提高能力测试】
1．选择题，把正确答案的代号填入题中括号内．
(1)当x为任意实数时，下列分式中，一定有意义的是 ( )
(A) (B) (C) (D)
(2)已知分式的值等于零，则x的值是 ( )
(A)x=±1 (B)x=8
(C)x=8或x=-1 (D)x=1
(3)已知x、y满足等式，则用x的代数式表示y，得 ( )
(A) (B)
(C) (D)
(4)要使分式有意义，x应取的值是( )
(A)x≠0 (B)x≠1
(C)x≠0或x≠1 (D)x≠0且x≠1
(5)把分式，，通分后，各分式的分子的和是( )
(A) (B)
(C) (D)
(6)若2x-3y-z=0，x+3y-14z=0(z≠0)，那么等于 ( )
(A)7 (B)2 (C)0 (D)-2
(7)某项工程，甲、乙两队合做需m天完成，甲队独作需要n天完成(n>m)，那么乙队单独完成的时间是 ( )
(A)(n-m)天 (B)天
(C)天 (D) 天
(8)若a+b+c≠0，，则k的值为 ( )
(A)2 (B)3 (C)-2 (D)-3
(9)如果，那么的值是 ( )
(A)-1 (B)0 (C)1 (D)
(10)关于x的方程(a≠b)的解为 ( )
(A)x=a-b (B)x=a+b (C)x=2ab (D)x=b-a
2．填空题．
(1)分式的值小于零时，a的取值范围是________________.
(2)计算___________.
(3)将分式约分后得_____________.
(4)当x≠_____________时，式子成立．
(5)____________________．
(6)若分式的值为正整数，则整数x=____________________．
(7)如果方程有增根，那么增根是_______________________.
(8)若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为2，则______________________.
(9)方程的解是x=__________________.
(10)A、B两个水桶的容量之比为3：4，A桶内有水56L，B桶内有水49 L，如果把B桶内的水倒入A桶并加满，那么B桶内剩下的水是它的容量的一半，则A桶的容量是_______________L，B桶的容量是____________L
3．计算题．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)化简；当，时，求此分式的值；
(5)已知x：y：z=3：4：5，x+y-z=6，求x，y和z的值；
(6)解方程；
(7)解方程．
解法发散
1．已知，求证：(a-b)：(b-c)=b：c．(用三种方法证明)
2．已知，，，求证：(用两种方法证明)
3．求证.（用两种方法证明）
4．解方程．(用两种方法)
变形发散
1．已知，，，求证：．(提示：将已知条件变形后再代入求证式)
2．已知，求证：a=b=c或．
3．已知a，b，c，x，y，z均为非零实数，，求证：．
4．已知，求证：
(n是整数)．
构造发散
已知，求的值．
转化发散
1．解方程组．
2．解方程组
变更命题发散
1．若，，，求的值．
2．已知．求的值．
纵横发散
1．当x取何值时，分式的值为1 为-1 没有意义
2．化简
综合发散
1．已知，．求证：．
2．当时，求证：
(1)；
(2).
3．已知，求证：
(1)；
(2)．
4．已知，，求证：．
5．已知，求证：.
6．甲、乙二人分别从相距36km的A、B两地同时相向而行，甲从A地出发至1km时，发现有物体遗忘在A地，便立即返回，取了物件又立即从A地向B地行进，这样甲、乙二人恰在A、B中点处相遇．又知甲比乙每小时多走0．5km，求甲乙两人的速度．
7．某人距离射击目标1670m，瞄准开枪后，过了7s，听见击中目标的声音；另有一观察者，距射击者1000m，距目标2002m，在听见枪声后5s，听见击中目标的声音，求子弹的速度和声速．
8．某厂接受一批零件加工任务，如全给该厂的甲车间加工，则平均每人应加工a件；如果全给该厂的乙车间加工，则平均每人应加工b件，假如两车间同时加工，则平均每人应加工多少件
参考答案
【巩固基础训练】
1．(1)(D) (2)(C) (3)(A) (4)(D) (5)(B) (6)(D) (7)(D) (8)(C) (9)(C) (10)(D) (11)(D) (12)(C)
2．(1)±2 (2)2 (3)1 (4) (5)x=2、0、-2、-4 (6)， (7)-1 (8)(x-1)(x-2)(x-3) (9)a≠b (10)28
3．(1) (2)a+5 (3)3 (4)4 (5)-4 (6)，
解法发散
1．解法1 由已知，得
13(3x-2y)=5(3x+2y)，目24x=36y. ∴ ．
解法2 设，则x=ky，代入已知等式，得 ．
∴ 13(3k-2)=5(3k+2)．故，即．
解法3 由合分比定理，得
，．
∴ ．
2．解法1 设两位数的个位数字为x，十位数字为y，则这个两位数为1Oy+x，根据题意，列方组
解方程组，得 经检验是原方程组的解．
∴ 10y+x=80+4=84．
答：原来的两位数是84．
解法2 设两位数的个位数是x，十位数是12-x，根据题意，得
．
解方程，得 x=4．经检验x=4是原方程的根．
∴ 10(12-x)+x=10(12-4)+4=84．
答：原来的两位数是84．
变更命题发散
1．右边
2．∵ a+b+c=0．∴
．．
即
∴
∴
3．
构造发散
由已知，得
，由合比定理构造 ，
∴ ．
转化发散
1．∵ ，∴
∴ ，即．
2．用换元法将分式方程转化为二元一次方程组，解得：，
逆向发散
1．运用立方和公式．
2．本题运用逆向思维，得
变形发散
1．提示 将求证式用完全平方公式展开变形，为已知条件的代入创造条件．
2．证法1 ∵abc=1，∴
证法2 ∵ abc=1
∴
纵横发散
1．
2．-49．
综合发散
1．-3
2．由已知得 ，
3．甲20天，乙30天． 4．．
【提高能力测试】
1．(1)(C) (2)(B) (3)(C) (4)(D) (5)(A) (6)(A) (7)(B) (8)(B) (9)(A) (10)(D)
2．(1) (2) (3) (4)0 (5) (6)x=2，3 (7)2 (8)3 (9)x=0 (10)
3．(1) (2) (3) (4) (5)9，12，15．(6)， (7)，．
解法发散
1．证法1 ∵ ，∴，
即b(b-c)=(a-b)c．
故(a-b)：(b-c)=b：c．
证法2 ∵ ，∴．
∴
故(a-b)：(b-c)=b：c．
证法3 由已知得 ．
∴ ，即．
故(a-b)：(b-c)=b：c．
2．证法1 把已知条件代入被证式左端，化简证明．
证法2 ∵ ，
同理，，，
∴
3．提示 证法1 先把三个分式相加，再化简．证法2先把前两个分式相加，再把所得结果与第三个分式相加，
证法2
4．解法1 设，原方程化为
解得 ，．
∴ ，或，，或x=-1．
检验知，x=-1是原方程根．
*解法2 去分母，得．
整理，得．解得 或x=-1．
检验知，x=-1都是原方程根．
变形发散
1．证明 由已知条件，得
，，．
∴ 右边=xyz+x+y+z
2．提示 将已知条件变形得出求证式．由已知条件，得，
同理有，，
∴．
去分母，移项并分解因式可证明等式成立．
3．提示 将原等式变形后化为
然后由条件证明等式．
4．提示 将条件等式去分母，移项并因式分解，得(a+b)(b+c)(c+a)=0．由当a=-b或b=-c或c=-a时，等式分别成立．
构造发散
本题利用合比定理构造2x+5y+6z，
∵，∴，
由合比定理，得 ．
故．
转化发散
1．原方程组中每个方程只含有，的形式，用换元法，设，，将方程组转化为关于u，v的整式方程，解得原方程组的解为
2．用换元法将分式方程转化为二元一次方程组，求得解为
变更命题发散
1．先把已知的两个方程看做是x，y关于字母z的二元一次方程组．解出x、y后代入分式求值．
2x-3y=-z ①
3x-2y=6z ②
②×3-①×2：5x=20z
∴ x=4z，代入①，得y=3z．
将 x=4z，y=3z代入分式
得
2．先将分解因式，然后以y的表达式表示x代入分式求值．
∵
即 (2x+3y)(3x-5y)=0
令2x+3y=O或令3x-5y=O
得 ①
或． ②
以①式代入分式，得
以②式代入分式，得．
纵横发散
1．当x>0时，；
当x当x=0时，没有意义．
2．本题根据绝对值的概念，先去掉绝对值符号，再化简分式．
当x≥0，原式=x+1；当x综合发散
1．证明 ∵ ，．
∴ ，，
∴ ，．
故．
2．用比例的有关性质证明．
3．(1)，∴ a=bk，c=dk．
，
又 ，
∴
(2)令，∴，
又 ．
∴ ．
4．证明 由已知，得．
由，得ayz+bxz+cxy =0．
，所以原式成立．
5．令，则x=ak，y=bk，z=ck，
∴
．∴ 左边=右边．
6．甲速度5km／h，乙速度4．5km／h．
7．子弹的速度为835m／s，声速334m／s．
8．设共有m个零件，两车间同时加工平均每人应加工x件，则依题意，得
∵ m≠0，化简，得．
解方程，得 经检验是原方程的根．
答：两车间同时加工平均每人应加工件．第三章 分式（单元测试）
一、选择题(每小题2分，共16分)
A．x≠0 B．y≠0
C．x≠0或y≠0 D．x≠0且y≠0
A．－-1 B．－-1或2
C．2 D．－-2
A．x＞3 B．x＜3
C．x＜3且x≠0 D．x＞－-3且x≠0
4．如果正数x、y同时扩大10倍，那么下列分式中值保持不变的是( )
A． B．
C． D．
5．下列化简结果正确的是( )
A． B．=0
C．=3x3 D．=a3
A．－- B．－-
C．－- D．－-n
A．x=4 B．x=3
C．x=0 D．无解
8．甲从A地到B地要走m小时，乙从B地到A地要走n小时，若甲、乙二人同时从A、B两地出发，经过几小时相遇( )
A．(m＋n)小时 B．小时
C．小时 D．小时
二、填空题(每小题2分，共16分)
16．甲、乙两地相距48千米，一艘轮船从甲地顺流航行至乙地，又立即从乙地逆流返回甲地，共用时9小时，已知水流的速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则根据题意列出的方程为_________．
三、解答题(17、18小题各12分，19小题14分，20小题10分，21小题20分，共68分)
17．计算：
(1)
(2)
18．化简求值：
(1)，其中x=2，y=3．
(2)(a－-b＋)(a＋b－-) 其中a=，b=－-．
19．解下列分式方程：
(1)=0
(2)=1
20．已知:，求A、B的值．
21．列方程解应用题
(1)甲、乙二人分别加工1500个零件．由于乙采用新技术，在同一时间内，乙加工的零件数是甲加工零件数的3倍，因此，乙比甲少用20小时加工完，问他们每小时各加工多少个零件？
(2)A、B两地相距160千米，甲车从A地开出2小时后，乙车也从A地开出，结果乙车比甲车迟40分钟到达B地，已知甲车的速度是乙车的，求甲、乙两车的速度．
参考答案
一、1．D 2．C 3．C 4．D 5．D 6．A 7．A 8．D
二、9．5 10．4 11． 12． 13．－-5 14．10 15．x=4 16．=9
三、17．(1)0 (2)
18．(1) (2)2
19．(1)x= (2)x=0
20．A=1，B=5
21．(1)50个 150个 (2)40千米/时 60千米/时
分式单元达纲检测AA级
【同步达纲练习】
一、填空题(6分×7=42分)
1.约简公式= .
2.a取整数 时，分式(1-)·的值为正整数.
3.如果x+=3，则的值为 .
4.已知x=1+,y=1-.用x的代数式表示y，得y= ；用y的代数式表示x，得x= .
5．要使代数式的值为零，只须 .
6.已知s=,用x、y、s表示q的式子是 .
7.两个容积相等的瓶子中装满了酒精和水的溶液，其中一个瓶子中酒精与水的容积之比是p∶1，另一个瓶子中是q∶1.若把这两瓶溶液混合在一起，混合液中酒精与水的容积之比为 .
二、解答题(12分×4=48分)
8.化简分式
9.解关于x的方程，其中a+2b-3c≠0,a、b、c互不相等.
10.已知ab=1，证明
11.甲的工作效率是乙的2倍，若甲先完成后乙来完成，这样完成工作所用时间比甲、乙两人同时工作晚4天，甲、乙两人单独完成这项工作各需多少天？
参考答案
【同步达纲练习】
一、1. 2.-2或-4 3. 4. 3-2y 5.a=-3 6.q= 7.
二、8.当m≥0时，且m≠1时，原式=1+m. 当m＜0时，且m≠-1时，原式=
9.x= 10.提示：将第二个分式的分母中的1换为ab.
11.甲单独完成需6天，乙需12天.学科：数学
教学内容：分式单元复习题
【单元复习题】
一、选择题
1．已知xy＝1，则的值为 ( )
A． B． C． D．
2．有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，则代数式的值为 ( )
A．正数 B．负数
C．零 D．不能确定
3．下列解法中，正确的是 ( )
A． B．
C． D．
4．下列各式的约分运算中，正确的是 ( )
A． B．
C． D．
5．，则x的取值为 ( )
A．8 B．－8或－1 C．－8 D．8或－1
6．中，x、y都扩大10倍，则分式的值 ( )
A．扩大10倍 B．缩小10倍
C．保持不变 D．缩小5倍
二、选择题
7．在分式中，x＝___时，分式无意义；当x＝___时，分式的值为零．
8．当，y＝－4时，________．
9．若去分母解方程时，出现增根，则增根为________．
10．在分式中，当x＝________时，分式的值为1；当x的值________时，分式值为正数．
11．在公式中，已知a，b且a≠0，则V＝________．
12．分式．
13．已知，则________．
14．已知，且y≠0，则________．
三、解答题
15．化简计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
16．求值：
(1)已知，求的值；
(2)若，求的值；
(3)已知x＋y＝－4，xy＝－12，求的值．
17．解分式方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
18．甲、乙两人做一种机器零件，已知甲每小时比乙多做2个，甲做60个机器零件与乙做50个机器零件所用的时间相同，求甲、乙每小时各做几个机器零件
19．某校学生从学校出发到离学校16千米的工厂参观，一部分人乘汽车前往，其余的人骑自行车提前一小时出发，结果他们同时到达工厂，已知汽车的速度是自行车速度的4倍，求自行车的速度．
20．甲、乙两人分别从相距s千米的两地同时出发，若同向而行，经过小时甲追上乙；若相向而行，经过小时甲、乙两人相遇．设甲的速度为，乙的速度为(其中，的单位是千米／时)，求．
参考答案
【单元复习题】
1．D 2．A 3．C 4．B 5．A 6．C
7．－1．1 8．1 9．x＝3 10．2，大于
11． 12．， 13． 14．
15．(1) (2) (3)1 (4)
16．(1)原式
(2)∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ a＝5，b＝3，
∴
(3)∵ ,,
∴
17．(1) (2) (3)
(4)原方程可化为
，
，
∵ ，
且 ，
∴ 原方程转化为．
依题意得ab≠0，∴ x＝－（a＋b）
18．设乙每小时做x个零件，则甲每小时做x＋2个零件，根据题意列方程，
解之得x＝10，∴ x＋2＝12．
答：甲、乙每小时分别做12个、10个机器零件
19．12千米/小时
20．
