导数在研究函数中的应用(江西省抚州地区崇仁县)

(共9张PPT)
表层采取样本
稍深层采取样本
深层采样
钻入深层取样
准备从钻管中取出样品
从钻管中挤压出样本
处理从钻管中取出的样本
测量样本重量
包装样本以便运输
399
:33
e:99(共34张PPT)
数 列 的 极 限
教材：人教版高级中学《数学》第三册 P73－P76
一、教材分析 二、目标分析 三、教学过程分析 四、教法分析 五、评价分析
一、教材分析
一、教材分析:
本节内容的地位和作用：
数列的极限安排在高中数学第三册第二章
《极限》第二节，主要内容是初步渗透极限思
想，对后续内容的学习起着至关重要的作用。　
教学重点、难点：
教学重点：数列极限的概念和一些简单数列
极限的判断。
教学难点：从变化趋势的角度正确理解数列
极限的概念。
一、教材分析:
一、教材分析 二、目标分析 三、教学过程分析 四、教法分析 五、评价分析
二、目标分析
二、目标分析:
知识目标：理解数列极限的概念，会判断一些
简单数列的极限。
能力目标：从变化趋势的角度正确理解数列
极限的概念。
德育目标：渗透辩证唯物主义思想，体现数学　
　　　　　人文价值。
一、教材分析 二、目标分析 三、教学过程分析 四、教法分析 五、评价分析
三、教学过程分析
(一) 结合实际，动画导入
(二) 归纳总结，形成概念
(三) 尝试探究，深化概念
(四) 分层练习，巩固创新
三、教学过程分析:
(一) 结合实际，动画导入
1
（一）结合实际，动画导入：
1. “一尺之棰，日取其半，万世不竭。”
正三角形
正六边形
正十二边形
2.刘徽割圆术:“割之弥细，所失弥少，割之又割，以致于不可割，则与圆合体，而无所失矣。”
直径为1的圆：
（一）结合实际，动画导入：
内接正多边形边数 正多边形周长
6 3.00000000
12 3.10582854
24 3.13262861
48 3.13935020
96 3.14103194
192 3.14145247
384 3.14155761
768 3.14158389
1536 3.14159046
3072 3.141592106
… …
（一）结合实际，动画导入：
3.求曲边梯形的面积：
y
x
0
a
b
y=f(x)
（一）结合实际，动画导入：
(一) 结合实际，动画导入
(二) 归纳总结，形成概念
(三) 尝试探究，深化概念
(四) 分层练习，巩固创新
三、教学过程分析:
(二) 归纳总结，形成概念
(二)归纳总结,形成概念:
1、 [观察思考]：考察以下数列的 变化趋势。
.
.
.
.
.
.
.
（1）
.
[观察思考]：考察以下数列的 变化趋势。
(1)
(2)
(5)
(4)
(3)
(二)归纳总结,形成概念:
1
16
0
1
8
1
4
1
2
.
.
.
.
.
.
.
２、 [揭示本质]：观察变化趋势，总结规律。
1
2
0
1
2
3
3
4
.
.
.
.
.
.
0
-1
1
2
-
1
3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
(二)归纳总结,形成概念:
3、 [概念形成]： 揭示共同规律，形成概念。
(二)归纳总结,形成概念:
[课堂练习]：
(二)归纳总结,形成概念:
(一) 结合实际，动画导入
(二) 归纳总结，形成概念
(三) 尝试探究，深化概念
(四) 分层练习，巩固创新
三、教学过程分析:
(三) 尝试探究，深化概念
(三)尝试探究,深化概念:
[问 题 发 现]：观 察 趋 近 过程 ,引 导 学 生 思考。
序号 项an an与1的差的绝对值
1 0.9 |0.9-1|=0.1
2 0.99 |0.99-1|=0.01
3 0.999 |0.999-1|=0.001
4 0.9999 |0.9999-1|=0.0001
5 0.99999 |0.99999-1|=0.00001
6 0.999999 |0.999999-1|=0.000001
… … …
[深入探究]：考察数列0.9 ，0.99 ，0.999 ，…1-
各项与1的距离。
1
10n
(三)尝试探究,深化概念:
[深化概念]：
(三)尝试探究,深化概念:
(一) 结合实际，动画导入
(二) 归纳总结，形成概念
(三) 尝试探究，深化概念
(四) 分层练习，巩固创新
三、教学过程分析:
　
(四) 分层练习，巩固创新
(四)分层练习、巩固创新:
巩固性练习：考察以下数列的极限。
2.提高性练习:
(四)分层练习、巩固创新:
3.探究性练习：
(四)分层练习、巩固创新:
学习资料:
１、中国公众科技网——《割圆术和圆周率》
网址：http:///popul/wides/artic/40528161042.html
2、CCTV_com-科技频道——《千古绝技——割圆术》
网址： http://www./science/20040722/102104.shtml
3、中国历史上的科技创新——《圆周率计算的新方法--割圆术》
网址： http://telecenter.mmit.stc./CnHisScience/yuanzhou.htm
4、中国分布式计算论坛——-《圆周率π的计算历程》
网址： http://www.equn.com/forum/dispbbs.asp boardID=41&ID=927
5、中国科学院自然科学史研究所 ——《刘徽的无限思想及其解释》
网址： http://www.ihns.ac.cn/members/zou/lh.htm
(四)分层练习、巩固创新:
一、教材分析 二、目标分析 三、教学过程分析 四、教法分析 五、评价分析
四、教法分析
采用由直观到抽象的思维策略，以引导发现法、问题教学法和练习巩固法相结合的方式；
　　　利用多媒体技术辅助教学，按照“情境导入 观察分析 知识形成 巩固与创新”的模式展开。
四、教法分析：
四、教法分析：
一、教材分析 二、目标分析 三、教学过程分析 四、教法分析 五、评价分析
五、评价分析
五、评价分析：
　　在教学过程中始终围绕教学目标进行评价，师生互动，在教学过程的不同环节中及时获得教学反馈信息，以学生为主体，及时调节教学措施，完成教学目标。(共8张PPT)
一、复习引入
复数z=a+bi
点Z（a,b)
有序数对（r,θ)
O
x
y
向量OZ
Z
θ
r
以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在射线为终边的角θ
:a+bi
1、复数的辐角
以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在射线为终边的角θ .
注：1)、非零复数的辐角有无限多个值，
它们相差2kπ（k∈Z)
2)、若z=0，则r=0, 辐角任意。
O
x
y
Z
θ
2、复数的辐角主值
若辐角θ ∈[0, 2 π)，则θ叫做辐角主值，记作argz= θ,即0≤ argz< 2 π
注：1)、a ∈R+时，
arg a=
arg (ai)=
arg (-a)=
arg (-ai)=
0
π
2）、z1= z2 ≠0
每一个不等于零的复数有唯一的模和辐角主值，并且可由模与辐角主值唯一确定。
3、复数的三角形式
根据三角函数的定义，终边上任意一点Z（a,b )，z到原点的距离为r ，则
z=a+bi
=rcosθ +irsinθ
=r(cosθ +isinθ)
代数形式
三角形式
“模非负，角相同，余正弦，加号连”
复数的三角形式须满足：
4、应用：
例1：把下列复数的代数形式化为三角形式。
步骤：①求出模 ②确定一只辐角（一般取其主值）
③写出其三角形式。
例2：把下列各式化为代数形式。
例3：判断下列各式是否是复数的三角形式，
若不是，把它们表示成三角形式，
练习：P213 1、2、3、4
1、复数的辐角与辐角主值
2、复数的三角形式
作业：P214 1、2、3(共31张PPT)
导数的概念
3.1 导数的概念
1.曲线的切线
β
y=f(x)
P
Q
M
Δx
Δy
O
x
y
β
P
y=f(x)
Q
M
Δx
Δy
O
x
y
如图,曲线C是函数y=f(x)
的图象,P(x0,y0)是曲线C上的
任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy)
为P邻近一点,PQ为C的割线,
PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的
倾斜角.
P
Q
o
x
y
y=f(x)
割线
切线
T
请看当
点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.
我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.
设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.
即:
这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质——函数平均变化率的极限.
要注意,曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;
2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,
可以有多个,甚至可以无穷多个.
例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
Q
P
y
=
x
2
+1
x
y
-
1
1
1
O
j
M
D
y
D
x
因此,切线方程为y-2=2(x-1),
即y=2x.
求曲线在某点处的切线方程
的基本步骤:先利用切线斜率
的定义求出切线的斜率,然后
利用点斜式求切线方程.
例2:已知曲线 上一点P(1,2),用斜率的定义求
过点P的切线的倾斜角和切线方程.
故过点P的切线方程为:y-2=1 (x-1),即y=x+1.
练习:求曲线 上一点P(1,-1)处的切线方程.
答案:y=3x-4.
2.瞬时速度
已知物体作变速直线运动,其运动方程为s＝s(t)(ｓ表示位移,t表示时间),求物体在t0时刻的速度．
如图设该物体在时刻t0的位置是ｓ(t0)＝OA0,在时刻t0 +Δt 的位置是s(t0+ Δ t)=OA1,则从t0 到 t0 +Δt 这段时间内,物体的位移是:
在时间段( t0+Dt)－ t0 = Dt 内，物体的平均速度为:
平均速度反映了物体运动时的快慢程度程度,但要精确地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度,也既需要通过瞬时速度来反映.
如果物体的运动规律是 s=s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度v，就是物体在t到 t+Δt这段时间内，当 Δt 0 时平均速度:
例1:物体作自由落体运动,运动方程为： 其中位 移单位是m,时间单位是s,g=10m/s2.求：
(1) 物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度；
(2) 物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度；
(3) 物体在t=2(s)时的瞬时速度.
解:
(1)将 Δt=0.1代入上式，得:
(2)将 Δt=0.01代入上式，得:
即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等于20(m/s).
当时间间隔Δt 逐渐变小时,平均速度就越接近t0=2(s) 时的瞬时速度v=20(m/s).
练习:某质点沿直线运动,运动规律是s=5t2+6,求:
(1)2≤t≤2+Δt这段时间内的平均速度,这里Δt取值
范围为1;
(2)t=2时刻的瞬时速度.
3.导数的概念
从上面两个实例,一个是曲线的切线的斜率,一个是瞬时速度,具体意义不同,但通过比较可以看出它们的数
学表达式结构是一样的,即计算极限 ,这就是我们要学习的导数的定义.
定义：设函数y=f(x)在点x0处及其附近有定义,当自变量x在点x0处有改变量Δx时函数有相应的改变量Δy=f(x0+ Δx)- f(x0).如果当Δx 0 时,Δy/Δx的极限存在,这个极限就叫做函数f(x)在点x0处的导数(或变化率)记作 即:
如瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数.
是函数f(x)在以x0与x0+Δx
为端点的区间[x0,x0+Δx](或[x0+Δx,x0])上的平均变化率,而导数则是函数f(x)在点x0 处的变化率,它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度．
如果函数y=f(x)在点x=x0存在导数,就说函数y=f(x)在点x0处可导,如果极限不存在,就说函数 f(x)在点x0处不可导.
由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:
注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负.
自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择
哪种形式, Δy也必须选择与之相对应的形式.
例1:(1)求函数y=x2在x=1处的导数;
(2)求函数y=x+1/x在x=2处的导数.
如果函数y＝f(x)在区间(a,b)内每一点都可导,就说函数y＝f(x)在区间(a,b)内可导.这时,对每一个x (a,b)都有唯一确定的导数值与它对应,这样在区间(a，b)内就构成一个新的函数.这个新的函数叫做函数f(x)在区间(a,b)内的导函数,记作 ,即:
在不致发生混淆时，导函数也简称导数．
如果函数y=f(x)在点x0处可导,那么函数在点x0处连续．
求函数y=f(x)的导数可分如下三步:
4.导数的几何意义
函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率，即曲线y=
f(x)在点P(x0 ,f(x0)) 处的切线的斜率是 .
故曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线方程是:
例1:设f(x)为可导函数,且满足条件 ,
求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率.
故所求的斜率为-2.
例2:如图,已知曲线 ,求:
(1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.
y
x
-2
-1
1
2
-2
-1
1
2
3
4
O
P
即点P处的切线的斜率等于4.
(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.
例1:判断下列各命题的真假:
(1)已知函数y=f(x)的图象上的点列P1,P2,P3,…Pn…,
则过P0与Pn两点的直线的
斜率就是函数在点P0处的导数.
答:由函数在点P0处的导数的几何意义知:函数在点
P0处的导数是过P0点曲线(即函数y=f(x)的图象)
的切线的斜率,而不是割线P0Pn的斜率,故它是一
个假命题.
(2)若物体的运动规律是S=f(t),则物体在时刻t0的瞬
时速度V等于
答:由于它完全符合瞬时速度的定义,故它是一个真
命题.
(3)若函数y=f(x)的定义域为A,则对任一 只要
函数在x0处连续,则 就必存在.
5.例题选讲
答:它是一个假命题.例如,函数 在x=0处连续,但
它在x=0处的导数不存在.
(4)设
是函数y=f(x)的图象上的三点,且函数在P1,P2,P3
三点处的导数均存在.若 ,则必有
答: ,由于f(x)的导函
数 未必是单调增函数.因此,
不一定成立,例如f(x)=x3,则 显然有
故是假命题.
说明:要正确判断命题的真假,需真正理解:曲线在点P处
切线的斜率、瞬时速度、连续与可导等概念,还要
把握好要确定一个命题为真命题,则需给出论证,
而要给出否定的结论,举一个反例就足够了.
例2:设函数f(x)在点x0处可导,求下列各极限值:
分析:利用函数f(x)在点x0处可导的条件,将题目中给定
的极限恒等变形为导数定义的形式.注意在导数定
义中,自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx
选择哪种形式, Δy也必须选择与之相对应的形式.
例3:证明:(1)可导的偶函数的导函数为奇函数;
(2)可导的奇函数的导函数为偶函数.
证:(1)设偶函数f(x),则有f(-x)=f(x).
(2)仿(1)可证命题成立,在此略去,供同学们在课后练
习用.
练习1:设函数f(x)在点x0处可导,求下列各极限值:
练习2:设函数f(x)在点x=a处可导,试用a、f(a)和
例4:判断函数y=|3x-1|在x=1/3处是否可导.
从而函数y=|3x-1|在x=1/3处不可导.
注:这是一个函数在某点连续但不可导的例子.
练习3:函数f(x)=|x|(1+x)在点x0=0处是否有导数 若有,
求出来,若没有,说明理由.
故函数f(x)=|x|(1+x)在点x0=0处没有导数,即不可导.
6.小结
a.导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数
学表达式的一个重要概念，要从它的几何意义和物
理意义了认识这一概念的实质，学会用事物在全过
程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。
b.要切实掌握求导数的三个步骤：（1）求函数的增
量；（2）求平均变化率；（3）取极限，得导数。
c.弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数”
之间的区别与联系。
（1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改
变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个
常数，不是变数。
（2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的,
就是函数f(x)的导函数 。
（3）如果函数y＝f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导,
就说函数y＝f(x)在开区间(a,b)内可导，这时，
对于开区间内每一个确定的值x0，都对应着一
个确定的导数 ，这样就在开区间(a,b)内
可构成一个新的函数，称作f(x)的导函数。
（4）函数f(x)在点x0处的导数 就是导函数
在x=x0处的函数值，即 。这也是
求函数在点x0处的导数的方法之一。
d.函数f(x)在点x0处有导数，则在该点处函数f(x)的曲
线必有切线，且导数值是该切线的斜率；但函数f(x)
的曲线在点x0处有切线，而函数f(x)在该点处不一定
可导。如函数 在x=0处有切线，但不可导。
e.求切线方程的步骤：
（1）求出函数在点x0处的变化率 ，得到曲线
在点(x0,f(x0))的切线的斜率。
（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
f.无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求
函数的导数的基本思想，丢掉极限思想就无法理解导
数概念。(共29张PPT)
数列极限复习
定义:
一般地,如果当项数n无限增大时,无穷数列｛an｝的项an无限地趋近于某个常数a,（既｜an-a｜无限地接近于0），那么就说数列｛an｝以a为极限，或者说数列｛an｝的极限是a
记着:
重要结论
(1)常数c的极限等于
(2)
(3)
它本身,
即
（1）当 时
函数f(x)的极限
x 1 10 100 1000 10000 100000
y 1 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001
当自变量x取正值并无限增大时(即x趋向于正无穷大时),函数y的值无限趋近于0,即｜y-o｜可以变得任意小.
同样地,当自变量x取负值并且它的绝对值无限增大时(即x趋向于负无穷大时),函数y的值也无限趋近于0,
定义(1):
一般地,当自变量x取正值并无限增大时,函数f(x)的值无限趋近于一个常数a,就说当x趋向于正无穷大时,函数f(x)的极限是a,记着:
定义(2):
一般地,当自变量x取负值并且绝对值无限增大时,函数f(x)的值无限趋近于一个常数a,就说当x趋向于负无穷大时,函数f(x)的极限是a,记着:
问题？？？
和
一定存在吗？？？
问题？？？
和
存在
若
它们的值一定相等吗？？？
那么就说 当x趋向于无穷大时,函数f(x)的极限是a,记着:
注意:必须两个条件都满足,才能说-------
如果
且
定义(3)
对于常数函数f(x)=c(x∈R), 也有
重要结论：
记忆方法：数形结合法（指数函数的图象）
（2）当 时
函数f(x)的极限
问题（1）：讨论当x无限趋近于2（从左、右两边）时，函数
的变化趋势：
问题（1）：讨论当x无限趋近于1 （从左、右两边）时，函数
的变化趋势：
问题？？？
当 x从x0的左、右两边趋近于x0时，f(x)的极限一定相等吗？
你能否举例说明？
（ ）
一般地,当自变量x无限趋近于常数x0时（但x不等于x0）,如果函数f(x) 无限趋近于一个常数a,就说当x趋近于x0时时,函数f(x)的极限是a,记着:
也叫做函数f(x)在点x=x0处的极限
x无限趋近于常数x0，是指x从x0的左、右两边趋近于x0
定义（4）
一般地，设C为常数，则
由例2及 ，
你能总结出一般性结论吗？
本节课主要学习了哪些问题？
第二课时
函数的左、右极限
说出下列函数极限的定义：
（1）
（2）
（3）
（4）
一般地,当自变量x取正值并无限增大时,函数f(x)的值无限趋近于一个常数a,就说当x趋向于正无穷大时,函数f(x)的极限是a,记着:
定义(1):
一般地,当自变量x取负值并且绝对值无限增大时,函数f(x)的值无限趋近于一个常数a,就说当x趋向于负无穷大时,函数f(x)的极限是a,记着:
定义(2):
那么就说 当x趋向于无穷大时,函数f(x)的极限是a,记着:
如果
且
定义(3)
&
一般地,当自变量x无限趋近于常数x0时（但x不等于x0）,如果函数f(x) 无限趋近于一个常数a,就说当x趋近于x0时时,函数f(x)的极限是a,记着:
定义（4）（函数在一点处的极限）
x无限趋近于x0，应理解为x可以用任何方式无限趋近于x0
阅读：P80例2
练习: P81练习2
想一想：
可以总结出什么规律？
左极限定义：
一般地如果当x从点x0左侧（即x右极限定义：
一般地如果当x从点x0右侧（即x根据函数在一点处的极限、左极限、右极限的定义，可以得出：
练习1：P83练习1、2
练习2: P83习题1
举例说明：
（1） 与 可以都不存在
（2） 与 可以都存在， 但两个极限值不相等
（3） 与 可以都存在，且两个极限值相等(共9张PPT)
1.1 离散型随机变量的分布列
1.1 离散型随机变量的分布列
1.1 离散型随机变量的分布列
1.1 离散型随机变量的分布列
1.1 离散型随机变量的分布列
1.1 离散型随机变量的分布列
1.1 离散型随机变量的分布列
1.1 离散型随机变量的分布列
新授课
如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的
变量叫做随机变量．随机变量常用希腊字母 、 等表示．
1.1 离散型随机变量的分布列
例题讲解
例1、写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取
的值表示的随机试验的结果．
（1）一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，
5．现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数 ；
解：
（1） 可取3，4，5．
，表示取出的3个球的编号为1，2，3；
，表示取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4
，表示取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5
或2，3，5或2，4，5或3，4，5．
（2）某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数 ．
解：（2） 可取0，1，2，…，n，…．
，表示被呼叫i 次，其中i＝0，1，2，…．
1.1 离散型随机变量的分布列
典型例题
例2、抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与
第二枚骰子掷出的点数的差为 ，试问：“ ＞4”表示的试验
结果是什么？
答：因为一枚骰子的点数可以是1，2，3，4，5，6六种
结果之一，由已知得 ，也就是说“ ＞4”就是
“ ＝5”．所以，“ ＞4”表示第一枚为6点，第二枚为1点．
1.1 离散型随机变量的分布列
新授课
分析上述两道例题及课本上两个例子中的随机变量的特点.
对于随机变量可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，
这样的随机变量叫做离散型随机变量．
按一定次序一一列出
分析下列例子中的随机变量的共同特点：
某一自动装置无故障运转的时间 ，
某林场树木最高达30 m，则此林场树木的高度 ，
随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫
做连续型随机变量．
取某一区间内的一切值
若 是随机变量，则 （其中a、b是常数）也是随
机变量 ．
1.1 离散型随机变量的分布列
例题讲解
例3、某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km，则按10元的标准收租车费．若行驶路程超出4km，则按每超出1km加收2元计费（超出不足1km的部分按1km计）．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km．某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程（这个城市规定，每停车5分钟按1km路程计费），这个司机一次接送旅客的行车路程多是一个随机变量，他收旅客的租车费 也是一个随机变量．
（Ⅰ）求租车费 关于行车路程 的关系式；
（Ⅱ）已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟？
1.1 离散型随机变量的分布列
例题讲解
解：（Ⅰ）依题意得 ，即
（Ⅱ）由 ，得
所以，出租车在途中因故停车累计最多15分钟．
1.1 离散型随机变量的分布列
练习：
课后练习：1，2
课堂小结
随机变量，离散型随机变量，连续型随机变量概念的理解．
作业：
习题1.1 1(共7张PPT)
1.3 抽样方法
1.3 抽样方法
1.3 抽样方法
1.3 抽样方法
1.3 抽样方法
1.3 抽样方法
1.3 抽样方法
1.3 抽样方法
问题
2004年春节联欢晚会结束后，中央电视台想在较短时间内
得到节目的收视率，请问如何调查得出合理的结果呢？
今有某灯泡厂生产的灯泡10000只，怎样才能了解到这批
灯泡的使用寿命呢？
回忆总体、个体、样本、样本容量的概念．
如何抽取样本？怎样使抽取的样本充分地反映总体的情况？
1.3 抽样方法
新授课
阅读教科书第17～18页内容，并回答下列问题:
（1）什么是简单随机抽样？
（2）今用简单随机抽样从含有6个个体的总体中抽取一个
容量为2的样本．问：
①总体中的某一个体a在第一次抽取时被抽到的概率是多
少？
②个体a在第1次未被抽到, 而第2次被抽到的概率是多少？
③在整个抽样过程中，个体a被抽到的概率是多少？
一般地，设一个总体的个数为N．如果通过逐个抽取的方
法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相
等，就称这样的抽样为简单随机抽样．
阅读教科书第17～18页内容，并回答下列问题:
（1）什么是简单随机抽样？
（2）今用简单随机抽样从含有6个个体的总体中抽取一个
容量为2的样本．问：
①总体中的某一个体a在第一次抽取时被抽到的概率是多
少？
②个体a在第1次未被抽到, 而第2次被抽到的概率是多少？
③在整个抽样过程中，个体a被抽到的概率是多少？
阅读教科书第17～18页内容，并回答下列问题:
（1）什么是简单随机抽样？
（2）今用简单随机抽样从含有6个个体的总体中抽取一个
容量为2的样本．问：
①总体中的某一个体a在第一次抽取时被抽到的概率是多
少？
②个体a在第1次未被抽到, 而第2次被抽到的概率是多少？
③在整个抽样过程中，个体a被抽到的概率是多少？
阅读教科书第17～18页内容，并回答下列问题:
（1）什么是简单随机抽样？
（2）今用简单随机抽样从含有6个个体的总体中抽取一个
容量为2的样本．问：
①总体中的某一个体a在第一次抽取时被抽到的概率是多
少？
②个体a在第1次未被抽到, 而第2次被抽到的概率是多少？
③在整个抽样过程中，个体a被抽到的概率是多少？
1.3 抽样方法
结论
①用简单随机抽样，从含有N个个体的总体中抽取一个容
量为n的样本时，每次抽取一个个体时任一个体被抽到的概率
为 ；在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为 ．
②简单随机抽样体现了抽样的客观性与公平性．
③简单随机抽样的特点：它是不放回抽样；它是逐个地进
行抽取；它是一种等概率抽样．
1.3 抽样方法
新授课
阅读教材科书第18～19页内容，回答下列问题：
（1）用抽签法抽样如何操作？它有何优点？
（2）具备何种特征的总体适宜用简单随机抽样？
（3）制作的随机数表有什么要求？
（4）要从40件产品中抽取10件进行检查，如何用随机数表获取这个样本？
（5）为什么利用随机数表抽取样本是公平的？
1.3 抽样方法
练习：
课后练习：1，2
课堂小结
作业：
习题1.3 2，3
了解了统计的基本思想，知道什么是简单随机抽样，什么
样的总体适宜用简单随机抽样，知道如何用抽签法或随机数表
法获取样本．(共17张PPT)
函数的单调性
函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1＜ x 2 时
y
x
o
a
b
y
x
o
a
b
1）都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )，
则 f ( x ) 在G 上是增函数；
2）都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )，
则 f ( x ) 在G 上是减函数；
若 f(x) 在G上是增函数或减函数，
则 f(x) 在G上具有严格的单调性。
G 称为单调区间
G = ( a , b )
一、复习与引入:
(1)函数的单调性也叫函数的增减性；
(2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概
念。这个区间是定义域的子集。
(3)单调区间：针对自变量x而言的。
若函数在此区间上是增函数，则为单调递增区间；
若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。
以前,我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1二、新课:
我们已经知道,曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=
f(x)的导数.
从函数y=x2-4x+3的图像可以看到:
y
x
o
1
1
－1
在区间(2,+∞)内,切线的斜率为正,函数y=f(x)的值随着x的增大而增大,即 >0 时,函数y=f(x) 在区间(2, +∞)内为增函数.
在区间(-∞,2)内,切线的斜率为负,函数y=f(x)的值随着x的增大而减小,即 <0 时,函数y=f(x) 在区间(-∞,2)内为减函数.
a
b
y=f(x)
x
o
y
y=f(x)
x
o
y
a
b
f '(x)>0
f '(x)<0
定义:一般地,设函数y=f(x)在某个区间内有导数,如果在
这个区间内 >0,那么函数y=f(x) 在为这个区间内
的增函数;如果在这个区间内 <0,那么函数y=f(x)
在为这个区间内的减函数.
由上我们可得以下的结论:
如果在某个区间内恒有 ,则 为常数.
例1:确定函数f(x)=x2-2x+4在哪个区间内是增函数,哪个
区间内是减函数.
解:
由2x-2>0,解得x>1,因此,当 时,f(x)是增函数;
令2x-2<0,解得x<1,因此,当 时,f(x)是减函数.
例2:讨论f (x)=x3-6x2+9x-3的单调性.
解:f ' (x)=3x2-12x+9
令3x2-12x+9>0,解得x>3或x<1,因此,当 或
时, f(x)是增函数.
令3x2-12x+9<0,解得1故f(x)在(-∞,1)和
(3,+∞)内是增函数,
在(1,3)内是减函数.
1
0
3
3
1
y
x
而我们可以从右边的
函数的图象看到上面的结论是正确的.
利用导数讨论函数单调的步骤:
(1):求导数
(2)解不等式 >0得f(x)的单调递增区间;解不等式
<0得f(x)的单调递减区间.
练习1:求函数y=2x3+3x2-12x+1的单调区间.
答案:递增区间是 和 ;递减区间是(-2,1).
三、综合应用:
例1:确定下列函数的单调区间:
(1)f(x)=x/2+sinx;
解:(1)函数的定义域是R,
令 ,解得
令 ,解得
因此,f(x)的递增区间是:
递减区间是:
解:函数的定义域是(-1,+∞),
(2)f(x)=x/2-ln(1+x)+1
由 即 得x<-1或x>1.
注意到函数的定义域是(-1,+∞),故f(x)的递增区间是(1,+∞);
由 解得-1说明:函数的单调区间必定是它的定义域的子区间,故
求函数的单调区间一定首先要确定函数的定义
域,在求出使导数的值为正或负的x的范围时,要与
定义域求两者的交集.
(3)
解:函数的定义域是[0,a],且当x≠0,a时,有:
由 及 解得0是(0,3a/4).
由 及 解得3a/4是(3a/4,a).
说明:
事实上在判断单调区间时,如果出现个别点使得
导数为零,不影响包含该点的某个区间上的单调
性,只有在某个区间内恒有导数为零,才能判定
f(x)在这一区间内是常数函数.
练习1:确定函数 的单调区间.
解:
令 注意到
故f(x)的递增区间是(0,100).
同理由 得x>100,故f(x)的递减区间是(100,
+∞).
说明:(1)由于f(x)在x=0处连续,所以递增区间可以扩大
到[0,100)(或[0,100]).
(2)虽然在x=100处导数为零,但在写单调区间时,
都可以把100包含在内.
例2:设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,试确定a的取值范
围,并求其单调区间.
解:
若a>0, 对一切实数恒成立,此时f(x)只有一
个单调区间,矛盾.
若a=0, 此时f(x)也只有一个单调区间,矛盾.
若a<0,则 ,易知此时f(x)
恰有三个单调区间.
故a<0,其单调区间是:
单调递增区间:
单调递减区间: 和
例3:当x>1时,证明不等式:
证:设 显然f(x)在[1,+∞)上连续,且f(1)=0.
显然,当x>1时, ,故f(x)是[1,+∞)上的增函数.
所以当x>1时,f(x)>f(1)=0,即当x>1时,
说明:利用函数的单调性证明不等式是不等式证明的一
种重要方法.其解题步骤是:
令F(x)=f(x)-g(x),x≥a,其中F(a)=f(a)-g(a)=0,从而将要证明的不等式“当x>a时,f(x)>g(x)”转化为证明: “当x>a时,F(x)>F(a)”.
练习2:已知 求证:
类1:求函数 的值域.
解:函数的定义域是[-2,+∞),又易得:
当x>-2时, 即已知函数在(-2,+∞)上是增函数.
又f(-2)=-1,故所求函数的值域是[-1,+∞).
类2:证明方程 只有一个根x=0.
证:设 则 >0恒成立.
故f(x)是R上的增函数.
而f(0)=0,故原方程有唯一根x=0.
四、小结:
1.在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数
的定义域,解决问题的过程中,只能在函数的定义域内,
通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间.
2.在对函数划分单调区间时,除了必须确定使导数等于
零的点外,还要注意在定义域内的不连续点和不可导
点.
3.注意在某一区间内 >(<)0只是函数f(x)在该区间
上为增(减)函数的充分不必要条件.
4.利用求导的方法可以证明不等式,首先要根据题意构
造函数,再判断所设函数的单调性,利用单调性的定义,
证明要证的不等式.当函数的单调区间与函数的定义
域相同时,我们也可用求导的方法求函数的值域.
6.利用导数的符号来判断函数的单调区间,是导数几何
意义在研究曲线变化规律的一个应用,它充分体现了
数形结合的思想.
5.若函数f(x)在开区间(a,b)上具有单调性.则当函数f(x)
时在闭区间[a,b]上连续,那么单调区间可以扩大到闭
区间[a,b]上.(共20张PPT)
*
知识网络
数列极限
复习导引
1、什么叫数列的极限？请从定性定量两个方面描述.
2、判断：
是否正确？说明理由.
复习导引
复习导引
复习导引
考点练习
1、 (　　)
A、3 B、 C、 D、 6
考点练习
2、 (　　)
A、6 B、5 C、 D、
考点练习
3、若 ,则a的范围是(　　)
A、 B、a<1
C、 D、a=1
考点练习
4、f(x)是一次函数，f(8)=15，f(2)，f(5)，f(4)成等比函数列，
则
考点练习
考点练习
考点练习
6、A、B分别是(1+2x)n和(1+3x)n展开式
中各项系数的和，则
典型题选讲
【例1】求极限:
典型题选讲
【例2】求值：
典型题选讲
【例3】已知A(0， )，B(0， )，
C( ，0)，其中n为正整数，Sn表示
△ABC外接圆的面积，求
典型题选讲
【例4】已知{an}的前n项和Sn=1+Kan(K≠0,1)
(1)用n,K写出an的表达式;
(2)若 ,求K的取值范围.
典型题选讲
【例5】某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年报废部分汽车和新增汽车的数量相同.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么两年新增汽车数量不超过多少辆？
课堂练习
书面作业(共26张PPT)
1、函数极限的运算法则（1）
——当 时函数极限的运算法则
如果
，
那么
也就是说：如果两个函数都有极限，那么由这两个函数的各对应项的和、差、积、商组成的函数的极限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为0）。
（C为常数）
注意：使用极限四则运算法则的前提是各部分极限必须存在。
例1 已知
解：
你能否直接看出函数值的变化趋势？
例2 函数
如果
，
那么
注意：使用极限运算法则的前提是
各部分极限存在！
（C为常数）
由运算法则可知：当 时
推广
例3 求下列函数的极限：
解：
观察图象
解：
观察图象
（3）
解：
观察图象
解：
观察图象
一般地，当分子、分母都是关于x的次数相同的多项式时，这个分式在 时的极限是分子与分母中最高次项的系数之比。
仔细观察，看能否发现规律
一般地，当分子、分母都是关于x的多项式，且分母的次数高于分子的次数时，这个分式在 时的极限是0。
仔细观察，看能否发现规律
思考：
总结与提高
练习：1、求下列函数极限
（1）
（2）
（3）
2、已知
（1）
（2）
解：
2 已知
解：
分子中最高次项的次数比分母高，极限不存在，所以取a=0
即
本节小结：
1）学习了当 时函数f（x）的极限运算法则；
2）会结合函数的图象判断有些函数的极限，提高大家用数形结合思想解题的能力。
3）求极限时应注意对函数解析式的变形，使它满足函数极限运算法则的条件。
作业：P91 1(共23张PPT)
一种是连续变化的情况
温度计
40
80
120
160
x分
y分
20
40
60
80
例如邮寄信件时的邮费随邮件质量的增加而作阶梯式的增加等，这些例子启发我们去研究函数连续与不连续的问题。
另一种是间断的或跳跃的
o
x0
x
y
如图：从直观上看，我们说一个函数在一点x=x0处连续是指这个函数的图象在x=x0处没有中断，所以以上图象就是连续函数的图象。也就是说，这个函数在点x0处是连续的。
2.5 函数的连续性(1)
一、函数在某一点处的连续性
2、
o
x
y
1
2
3、
（1）在x=1处有定义
（3）函数f（x）的极限不存在。
（2）
1
2
o
x
y
2.5
y
x
o
1
2
4、
（1）在x=1处有定义；
（2）函数在x=1处的左右极限相等，即函数在x=1处的极限存在，且等于2，但不等于f（1）
导致函数图象断开的原因：
1、函数在 处没有定义
2、函数在 时极限不存在
函数值不等
3、函数在 处的极限值和
o
x
y
1
2
1
2
o
x
y
2.5
y
x
o
1
2
一般地，函数f（x）在点x0处连续
必须同时具备三个条件：
1、 存在，即函数
在点x0处有定义。
2、 存在。
3、
y
x
o
1
2
o
x0
x
y
定义：设函数f(x)在 处及其
附近有定义，而且
则称函数f(x)在点 处连续，
称为函数f(x)的连续点。
例1 讨论下列函数在给定点处的连续性：
解：如图
（1）函数 在点x=0处没有定义，因而它在点x=0处不连续。
（2）因为
二、单侧连续性：
并且
如果函数 在点 处及其右侧
附近有定义
则称f(x)在点 处右连续。
x
y
O
a
类似地：
则称f(x)在 处是左连续。
如果函数 在点x0处及其
左侧附近有定义，并且
1
2
o
x
y
2.5
如
例如函数
x
y
o
-1
1
如图，在点x=0附近，
因而函数 在x=0处是右连续，而非左连续。
结论：函数在一点处连续的充要
条件是即左连续又右连续
o
x0
x
y
三、函数的连续性：
1、开区间内连续：如果 在某一开
区间 内每一点处都连续，就说函
数f（x）在开区间（a，b）内连续，或
说f（x）是开区间（a，b）内的连续函数。
2、闭区间上连续：如果函数 在开区间 内连续，在左端点 处右连续，在右端点 处左连续，就说函数 在闭区间 上连续。
例如，函数 在闭区间[-1，1]上连续，而函数 在开区间（0，1）内连续，在闭间[0，1]上不连续，因为它在左端点x=0处不是右连续。
1、连续函数的图象有什么特点？观察下列函数的图象，说出函数在x=a处是否连续：
x
y
O
a
x
y
O
a
x
y
O
a
x
y
O
a
x
y
O
a
x
y
O
a
连续
不连续
连续
不连续
不连续
不连续
练习：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
a
x
y
o
（7）
不连续
a
x
y
o
（8）
连续
2、利用下列函数的图象，说明函数在给定点或开区间内是否连续。
x
y
o
不连续
连续
连续
连续
本节小结：
1、设函数f(x)在 处及其附近有定义，
而且
则称函数f(x)在点 x0 处连续。
f(x)在点x0处右连续。
f(x)在 x0 处左连续。
2、
开区间内连续，
闭区间上连续
3、
结论：函数在一点处连续的充要
条件是即左连续又右连续
4、
作业：P103习题1、2、3
5、
会用数形结合思想解某些数学问题(共17张PPT)
导数的应用习题课
一、知识点
1．导数应用的知识网络结构图：
2．基本思想与基本方法：
①数形转化思想：从几何直观入手，理解函数单调
性与其导数的关系，由导数的几何意义直观地探
讨出用求导的方法去研究，解决有导数函数的极
值与最值问题。这体现了数学研究中理论与实践
的辩证关系，具有较大的实践意义。
②求有导数函数y=f(x)单调区间的步骤：
i）求f′(x)；
ii）解不等式f′(x)＞0（或f′(x)＜0）；
iii）确认并指出递增区间（或递减区间）。
③证明有导数函数y=f(x)在区间(a，b)内的单调性：
i）求f′(x)；
ii）解不等式f′(x)＞0（或f′(x)＜0）；
iii）确认f′(x)在(a，b)内的符号；
iv）作出判断。
④求有导数的函数y=f（x）的极值的步骤：
i）求导数f′(x)；
ii）求方程f′(x)=0的全部实根；
iii）检查f′(x)在方程f′(x)=0的根左右两侧的值
的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个
根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）
在这个根处取得极小值。
⑤设y=f（x）在[a，b]上有定义，在(a，b)内有导数，求f（x）在[a，b]上的最大值和最小值的步骤：
i）求f（x）在（a，b）内的极值；
ii）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较，确
定f（x）的最大值与最小值。
⑥在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值
点（单峰函数），那么，只要根据实际意义判定
最值，不必再与端点的函数值作比较。
二、例题选讲
例1:讨论函数 的单调性.
解:函数的定义域为
当x<0或x>1时,
故当x<0时, ;当x>1时,
当0故当0因此,函数在(-∞,0)和(1/2,1)上是增函数,而在(0,1/2)
和(1,+∞)上是减函数.
例2:已知函数f(x)=ax3+bx2,曲线y=f(x)过点P(-1,2),
且在点P处的切线恰好与直线x-3y=0垂直.
(1)求a、b的值；
(2)若f(x)在区间[m,m+1]上单调递增,求m的取值
范围.
解:(1)
由题意得:
(2) ,解得x>0或x<-2.
故f(x)的单调递增为(-∞,-2]和[0,+∞).
即m+1≤-2或m≥0,故m≤-3或m≥0.
练习1:已知函数f(x)=x3-3ax+b(a>0)的极大值为6,极小
值为2.
(1)试确定常数a、b的值;
(2)求函数的单调递增区间.
答案:(1)a=1,b=4.
(2)单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞).
例3:试问:曲线y=x6/3上哪一点的法线在y轴上截距最小
(所谓法线是指:过曲线上一点与以此点为切点的
切线垂直的直线).
解:在已知曲线上任取一点(x, x6/3),则过该点的切线的
斜率为 ,从而法线的斜率为
故法线方程为
令X=0,得法线在y轴上的截距:
则
令 ,得
当x<-1时, ,则Y单调减小;当-11时, ,则Y单调增加.
故当 时,Y有最小值5/6,此时点 为所求.
练习2:已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-2/3与x=1处都
取得极值.
(1)求a、b的值;
(2)若x∈[-1,2]时,不等式f(x)值范围.
答案:(1)a=-1/2,b=-2.
(2)利用f(x)max2.
练习3:若函数f(x)=x3+bx2+cx在(-∞,0]及[2,+∞)上都是
增函数,而在(0,2)上是减函数,求此函数在[-1,4]上
的值域.
答:由已知得 可求得c=0,b=-3,从而f(x)=
x3-3x2.又f(-1)=f(2)=-4,f(0)=0,f(4)=16,所以函数f(x)
在[-1,4]上的值域是[-4,16].
x
y
例4: 如图,在二次函数f(x)=
4x-x2的图象与x轴所
围成的图形中有一个
内接矩形ABCD,求这
个矩形的最大面积.
解:设B(x,0)(0A(x, 4x-x2).
从而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积
为:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0令 ,得
所以当 时,
因此当点B为 时,矩形的最大面积是
例5:已知x,y为正实数,且x2-2x+4y2=0,求xy的最大值.
解:由x2-2x+4y2=0得:(x-1)2+4y2=1.
设 ,由x,y为正实数得:
设
令 ,得 又
,又f(0)=f(π)=0,
故当 时,
例6:证明不等式:
证:设
则
令 ,结合x>0得x=1.
而01时, ,所以x=1是f(x)的极小值点.
所以当x=1时,f(x)取最小值f(1)=1.
从而当x>0时,f(x)≥1恒成立,即:
成立.
三、小结
四、作业
1.要充分掌握导数应用的基本思想与基本方法.
2.要认识导数应用的本质,强化应用意识.
3.认真梳理知识,夯实基础,善于利用等价转化,数形结
合等数学思想方法,发展延拓,定能不断提高解题的
灵活性和变通性.
p.257~258课后强化训练.
例2:已知f(x)=x2+c,且f[f(x)]=f(x2+1)
(1)设g(x)=f[f(x)],求g(x)的解析式.
(2)设 ,试问:是否存在实数 ,使
在(-∞,-1)内为减函数,且在(-1,0)内是增函数.
说明:此题为p.248第15题.
解:(1)由已知得f[f(x)]=f(x2+c)=(x2+c)2+c,f(x2+1)=
(x2+1)2+c;
由f[f(x)]=f(x2+1)得:(x2+c)2+c=(x2+1)2+c,即
(x2+c)2=(x2+1)2,故c=1.所以f(x)=x2+1.
从而g(x)=f[f(x)]=f(x2+1)=(x2+1)2+1=x4+2x2+2.
(2)
若满足条件的 存在,则
由函数 在(-∞,-1)内为减函数知,当x<-1时,
即 对于 恒成立.
又函数 在(-1,0)内为增函数知,当-1即 对于 恒成立.
故当 时, 在(-∞,-1)内为减函数,且在(-1,0)内是增函数,即满足条件的 存在.
另解:由已知的单调性知:(-∞,-1)内 ,(-1,0)内
又 在点x=-1处连续,故点x=-1是极小值点.
例5:如图宽为a的走廊与另一走廊
垂直相连,如果长为8a的细杆
能水平地通过拐角,问另一走
廊的宽度至少是多少
a
A
B
C
8a
解:设细杆与另一走廊一边夹角为 又设另一走
廊的宽为y.
θ
y
令
由于y(θ)只有一个极小值,所以它是最小值,这时
故另一走廊的宽度至少是(共9张PPT)
1、定义： i叫虚数单位，规定：
（1）i2=－1
（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立。
表示：z=a+bi（a，b R）叫复数的代数形式。
a、b分别叫做复数的实部、虚部。
2、定义：
形如a+bi（a，b R）的数叫做复数，全体复数所成的集合叫复数集，用字母C表示。
a=0,b≠0,则z=bi叫纯虚数。
b≠0,则z=a+bi叫虚数。
虚部不为0是两个共轭复数叫共轭虚数。
z=a－bi叫z=a+bi 的共轭复数。
复习与向量
复数z=a+bi
点Z（a,b)
有序数对（r,θ)
O
x
y
向量OZ
Z
r
以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在射线为终边的角θ
:a+bi
实轴
虚轴
θ
模:|z|2=a2+b2=z·z
例1、实数m取什么数值时，复数z=m+1+(m-1)i是
(1)实数？（2）虚数？（3）纯虚数？
例2、m取何实数时，复数
是实数？是虚数？是纯虚数？
m=1
m≠1
m=－1
m=5
m≠5 切m≠－3
m=3 切m=－2
例3、复数
试分别求满足下列条件的 m ：
（1）z为纯虚数；（2）z=0
m=－1
m=4
4、复数相等：
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。
（1）复数相等的意义：
求复数值，在复数集中解方程的重要依据。
（2）两个复数只能说相等，不相等；不能比较大小。
例5 若关于x的方程
有实数解，求实数a的值。
x=2.5; y=4
a=－3时x=－1
a=7/3时x=3(共24张PPT)
函数的极值
一、复习与引入:
上节课,我们讲了利用函数的导数来研究函数的单调性这个问题.其基本的步骤为:
①求函数的定义域;
②求函数的导数 ;
③解不等式 >0得f(x)的单调递增区间;
解不等式 <0得f(x)的单调递减区间.
0
x
2
y
右下图为函数y=2x3-6x2+7的图象,从图象我们可以
看出下面的结论:
函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f(0)是函数的一个极大值；函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f(2)是函数的一个极小值。
二、新课——函数的极值:
一般地,设函数y=f(x)在x0及其附近有定义,如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大,我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值;如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小,我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值.极大值与极小值统称极值.
在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是对应的函数值.
请注意以下几点:
(1)极值是一个局部概念.由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.也就是说极值与最值是两个不同的概念.
(2)函数的极值不是唯一的.即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.
(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值,如下图所示,x1是极大值点,x4是极小值点,而f(x4)>f(x1).
o
a
X1
X2
X3
X4
b
a
x
y
(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点.
在上节课中,我们是利用函数的导数来研究函数的单调性的.下面我们利用函数的导数来研究函数的极值
问题.
由上图可以看出,在函数取得极值处,如果曲线有切线的话,则切线是水平的,从而有 .但反过来不一定.如函数y=x3,在x=0处,曲线的切线是水平的,但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大,也不比它附近的点的函数值小.假设x0使 .那么在什么情况下x0是f(x)的极值点呢？
o
a
X00
b
x
y
o
a
X0
b
x
y
如上左图所示,若x0是f(x)的极大值点,则x0两侧附近点的函数值必须小于f(x0) .因此, x0的左侧附近f(x)只能是增函数,即 ; x0的右侧附近f(x)只能是减函数,即
同理,如上右图所示,若x0是f(x)极小值点,则在x0的左侧附近f(x)只能是减函数,即 ;在x0的右侧附近只能是增函数,即 .
从而我们得出结论:若x0满足 ,且在x0的两侧的导数异号,则x0是f(x)的极值点,f(x0)是极值,并且如果
在x0两侧满足“左正右负”,则x0是f(x)的极大值点,
f(x0)是极大值;如果 在x0两侧满足“左负右正”,则x0是f(x)的极小值点,f(x0)是极小值.
从曲线的切线角度看,曲线在极值点处切线的斜率
为0,并且,曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为
负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正.
一般地,当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的方法是:
(1):如果在x0附近的左侧 右侧 那么,
f(x0)是极大值;
(2):如果在x0附近的左侧 右侧 那么,
f(x0)是极小值.
要注意以下两点:
(1)不可导函数也可能有极值点.例如函数y=|x|,它在
点x=0处不可导,但x=0是函数的极小值点.故函数f(x)在
极值点处不一定存在导数.
(2)可导函数的极值点一定是它导数为零的点,反之
函数的导数为零的点,不一定是该函数的极值点.例如,
函数y=x3,在点x=0处的导数为零,但它不是极值点,原因是函数在点x=0处左右两侧的导数都大于零.因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件,其充分条件
是在这点两侧的导数异号.
因此,利用求导的方法,求函数的极值时,在函数的定义域内寻求可能取到极值的“可疑点”,除了确定其导数为零的点外,还必须确定函数定义域内所有不可导的
点,这两类点构成了函数定义域内所有的可能取到极值的“可疑点”.
三、例题选讲:
例1:求y=x3/3-4x+4的极值.
解:
令 ,解得x1=-2,x2=2.
当x变化时, ,y的变化情况如下表:
x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞)
y’ + 0 - 0 +
y ↗ 极大值28/3 ↘ 极小值-4/3 ↗
因此,当x=-2时有极大值,并且,y极大值=28/3;
而,当x=2时有极小值,并且,y极小值=- 4/3.
总结:求可导函数f(x)的极值的步骤如下:
(1).求导数
(2).求方程 的根.
(3)检查 在方程根左右的值的符号,如果左正右负,
那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左正右负,那
么f(x)在这个根处取得极大值.
例2:求函数 的极值.
解:函数的定义域为
令 ,解得x1=-a,x2=a(a>0).
当x变化时, ,f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,-a) -a (-a,0) (0,a) a (a,+∞)
f’(x) + 0 - - 0 +
f(x) ↗ 极大值-2a ↘ ↘ 极小值2a ↗
故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a;当x=a时,f(x)有极小值f(a)=2a.
说明:本题中的极大值是小于极小值的,这充分表明极值
与最值是完全不同的两个概念.
练习1:求函数 的极值.
解:
令 =0,解得x1=-1,x2=1.
当x变化时, ,y的变化情况如下表:
x (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (2,+∞)
y’ - 0 + 0 -
y ↘ 极大值-3 ↗ 极小值3 ↘
因此,当x=-1时有极大值,并且,y极大值=3;
而,当x=1时有极小值,并且,y极小值=- 3.
例3:已知函数f(x)=-x3+ax2+b.
(1)若函数f(x)在x=0,x=4处取得极值,且极小值为-1,
求a、b的值.
(2)若 ,函数f(x)图象上的任意一点的切线斜
率为k,试讨论k≥-1成立的充要条件 .
解:(1)由 得x=0或x=4a/3.故4a/3=4,
a=6.
由于当x<0时, 当x>0时, 故当x=0时,
f(x)达到极小值f(0)=b,所以b=-1.
(2)等价于当 时,-3x2+2ax≥-1恒成立,即g(x)=
3x2-2ax-1≤0对一切 恒成立.
由于g(0)=-1≤0,故只需g(1)=2-2a≤0,即a≥1.
反之,当a≥1时,g(x)≤0对一切 恒成立.
所以,a≥1是k≥-1成立的充要条件.
第二课时
一、复习:
1.设函数y=f(x)在x0及其附近有定义,如果f(x0)的值比x0
附近所有各点的函数值都大,我们说f(x0)是函数y=f(x)
的一个极大值;如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函
数值都小,我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值.极
大值与极小值统称极值.
2.当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的方
法是:
(1):如果在x0附近的左侧 右侧 那么,
f(x0)是极大值;
(2):如果在x0附近的左侧 右侧 那么,
f(x0)是极小值.
3.理解函数极值的定义时应注意以下几点:
(1)函数的极值是一个局部性的概念,极值点是区间内
部的点而不会是端点.
(2)若f(x)在某区间内有极值,那么f(x)在某区间内一定
不是单调函数,即在区间上单调的函数没有极值.
(3)极大值与极小值没有必然的大小关系,即极大值不
一定比极小值大,极小值不一定比极大值小.
(4)函数f(x)在某区间内有极值,它的极值点的分布是
有规律的,相邻两个极大值点之间必有一个极小值
点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点.
一般地,当函数f(x)在某区间上连续且有有限极值
点时,函数f(x)在该区间内的极大值点与极小值点
是交替出现的.
(5)导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是
充分条件.
(6)极值只能在函数不可导的点或导数为零的点取到.
4.确定函数的极值应从几何直观入手,理解可导函数在
其定义域上的单调性与函数极值的相互关系,掌握利
用导数判断函数极值的基本方法.
例1:已知函数 f(x)满足条件:①当x>2时, ;②当
x<2时, ;③ .
求证:函数y=f(x2)在 处有极小值.
证:设g(x)=f(x2),则
故当 时,x2>2,由条件①可知 ,即:
当 时,x2<2,由条件②可知 ,即:
又当 时,
所以当 时,函数y=f(x2)取得极小值.
为什么要加上这一步
例2:已知f(x)=ax5-bx3+c在x= 1处有极值,且极大值为
4,极小值为0.试确定a,b,c的值.
解:
由题意, 应有根 ,故5a=3b,于是:
(1)设a>0,列表如下:
x -1 (-1,1) 1
+ 0 ≤0 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
由表可得 ,即 .
又5a=3b,解得a=3,b=5,c=2.
(2)设a<0,列表如下:
x -1 (-1,1) 1
- 0 ≥0 0 -
f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
由表可得 ,即 .
又5a=3b,解得a=-3,b=-5,c=2.
练习1:已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为
10,求a、b的值.
解: =3x2+2ax+b=0有一个根x=1,故3+2a+b=0.①
又f(1)=10,故1+a+b+a2=10.②
由①、②解得 或
当a=-3,b=3时, ,此时f(x)在x=1处无
极值,不合题意.
当a=4,b=-11时,
-3/111时, ,此时x=1是极
值点.
从而所求的解为a=4,b=-11.
例3:已知:
(1)证明:f(x)恰有一个极大值点和一个极小值点;
(2)当f(x)的极大值为1、极小值为-1时,求a、b的值.
解:(1)
令 ,得-ax2-2bx+a=0,Δ=4b2+4a2>0,
故 有不相等的两实根α、β,设α<β.
又设g(x)=-ax2-2bx+a, 由于-a<0,g(x)的图象开口
向下,g(x)的值在α的右正左负,在β的左正右负.
注意到 与g(x)的符号相同,可知α为极小值点,
β为极大值点.
(2)由f(α)=-1和f(β)=1可得:
两式相加,并注意到α+β=-2b/a,于是有:
从而方程 可化为x2=1,它的两根为+1和-1,
即α=-1,β=1.
由
故所求的值为a=2,b=0.(共12张PPT)
数学归纳法
（一）
请问： 以上四个结论正确吗？为什么
得出以上结论所用的方法有什么共同点和什么不同点
问题1：今天，据观察第一个到学校的是男同学，第二个到学校的也是男同学，第三个到学校的还是男同学，于是得出：这所学校里的学生都是男同学。
问题 2：数列{an}的通项公式为an＝(n2-5n+5)2,计算得 a1＝1,a2＝1, a3 ＝1, 于是猜出数列{an}的通项公式为：an＝1。
问题3：三角形的内角和为180°，四边形的内角和为2 180°，五边形的内 角和为3 180°，于是有：凸n边形的内角和为(n-2) 180°。
问题4：数列为{1,2,4,8}，则它的通项公式为an=2n-1(n≤4，n∈N )

1、错； 2、错，a5=25≠1； 3、对； 4、对。
共同点：均用了归纳法得出结论；不同点：问题1、2、3是用的不完全 归纳法，问题4是用的完全归纳法。

一、概念
1、归纳法：
对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况，
归纳出一般结论的推理方法，叫归纳法。
归纳法
｛
完全归纳法
不完全归纳法
用不完全归纳法得出的结论不一定正确，如问题1,2。
2、数学归纳法：
我们知道，有一些命题是和正整数有关的，如果这个命题的情况
有无限种，那么我们不可能用完全归纳法逐一进行证明，而不完全归
纳法又不可靠，怎么办？
----用数学归纳法
步骤：①验证n=n0时命题成立。（n0为n取的第一个值）
②假设n=k(k∈N ,k≥n0)时命题成立,证明n=k+1
时命题也成立。
③根据①②得出结论。

例1、用数学归纳法证明1+3+5+……+(2n-1)=n2 （n∈N ）.

证明：①当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立。 ②假设n=k(k∈N ,k≥1)时等式成立,即：
1+3+5+……+(2k-1)=k2， 当n=k+1时：
1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2，
所以当n=k+1时等式也成立。 由①和②可知，对n∈N ，原等式都成立。


请问：
A、第②步中“当n=k+1时”的证明可否改换为：
1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]= 1+3+5+……+(2k-1)+(2k+1)
= = (k+1)2 为什么？
B、假设n=k(k∈N )时，等式 成立，那么
当 n=k+1时是否成立？能否由此得出对一切n∈N ，等式都成立？


应用一：证明恒等式
1、三个步骤却一不可:第一步是是奠基步骤，是命题论证的基础，称之为
归纳基础；第二步是归纳步骤，是推理的依据，是判断命题的正确性能
否由特殊推广到一般，它反映了无限递推关系，其中 “假设n=k时成立”
称为归纳假设(注意是“假设”，而不是确认命题成立)。如果没有第一步，
第二步就没有了意义；如果没有第二步，就成了不完全归纳，结论就没
有可靠性；第三步是总体结论，也不可少。
2、在第二步的证明中必须用到前面的归纳假设，否则就不是数学归纳法了。
3、数学归纳法只适用于和正整数有关的命题。
由以上可知，用数学归纳法需注意：
例2、求证:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n 1 3 … (2n-1)
证明：① n=1时：左边=1+1=2，右边=21 1=2，左边=右边，等式成立。
② 假设当n=k((k∈N ）时有：
(k+1)(k+2)…(k+k)=2k 1 3 … (2n-1),
当n=k+1时：
左边=(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+k+2)
=(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)
= 2k 1 3 … (2k-1)(2k+1) 2
= 2k+1 1 3 … (2k-1) [2(k+1)-1]=右边，
∴当n=k+1时等式也成立。
由 ①、②可知，对一切n∈N ,原等式均成立。


例3、设S1=12，S2=12+22+12，S3=12+22+32+22+12，…
Sn=12+22+…+n2+(n-1)2+ …+22+12.用数学归纳法证明：
证明：1）n=1时：左边=S1=12=1，右边= =1=S1，等式成立。
2）假设当n=k(k∈N )时，有：
Sk=12+22+…+k2+(k-1)2+ …+22+12 ，
当n=k+1时：Sk+1=12+22+…+k2+(k+1)2+ k2+ …+22+12
=[12+22+…+k2+ (k-1)2 …+22+12] +(k+1)2+ k2
=Sk+2k2+2k+1
= + 2k2+2k+1
= (2k3+k+6k2+6k+3)= [(2k3+2)+6(k2+k)+(k+1)]
= (k+1)(2k2+4k+2+1)= (k+1)[2(k+1)2+1],
∴ 当n=k+1时公式仍成立。
由1）、 2）可知，对一切n∈N ，均有 。


例3、设S1=12，S2=12+22+12，S3=12+22+32+22+12，…
Sn=12+22+…+n2+(n-1)2+ …+22+12.用数学归纳法证明：
证明：1）n=1时：左边=S1=12=1，右边= =1=S1，等式成立。
2）假设当n=k(k∈N )时，有：
Sk=12+22+…+k2+(k-1)2+ …+22+12 ，

当n=k+1时：Sk+1=12+22+…+k2+(k+1)2+ k2+ …+22+12
=[12+22+…+k2+ (k-1)2 …+22+12] +(k+1)2+ k2
=Sk+2k2+2k+1
= + 2k2+2k+1
= (2k3+k+6k2+6k+3)
= [(2k3+2)+6(k2+k)+(k+1)]
= (k+1)(2k2+4k+2+1)
= (k+1)[2(k+1)2+1],
∴ 当n=k+1时公式仍成立。
由1）、 2）可知，对一切n∈N ，均有 。

练习：
1、用数学归纳法证明 （a≠1），在
验证n=1等式成立时 ，左边应取的项是__________.
2、某个命题当n=k (k∈N )时成立，可证得当n=k+1时也成立。
现在已知当n=5时该命题不成立，那么可推得（ ）
A、n=6时该命题不成立 B、 n=6时该命题成立
C、n=4时该命题不成立 D、 n=4时该命题成立
3、证明：

1+a+a2
C
1、用数学归纳法证明问题，三个步骤缺一不可；
2、注意证明等式时第一步中n=1时左右两边的形式，第二步中
n=k+1时应增加的式子；
3、第二步中证明n=k+1命题成立是全局的主体，主要注意两个
“凑”：一是“凑”n=k时的形式（这样才好利用归纳假设），二
是“凑”目标式。
小结数学归纳法的概念及应用（一）：(共17张PPT)
1.4 总体分布的估计
用样本来估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法
总体分布的估计:对于通常不易知道的总体分布,总是用样本的频率分布对它进行估计,一般地,样本容量越大,估计就越准确.
1. 总体取值的概率分布规律通常称为总体分布.
(1) 离散型:当总体中的个体所取的不同数值较少时，其随机变量是离散型的.
试验结果
频 数
频 率
频率
试验结果
0
1
条形图
(2) 连续型:当总体中的个体所取的数值较多，甚至无限时，其随机变量是连续型的.
分 组
频 数
频 率
产品尺寸
25.295
25.355
频率分布直方图
频数累计
频率分布表
X
Y
(3)总体密度曲线
a
b
总体在区间（a，b）内取值的概率：
分 组
频 数
频 率
频数累计



分组
频数
频率
[25，30）
[30，35）
[35，40）
[40，45）
[45，50）
3
8
9
11
10
[50，55）
[55，60）
5
4



























合计
50
0.06
0.16
0.18
0.22
0.20
0.10
0.08
1.00
解（1）频率分布表如下：
分组
频数
频率
[25，30）
[30，35）
[35，40）
[40，45）
[45，50）
3
8
9
11
10
[50，55）
[55，60）
5
4



























合计
50
0.06
0.16
0.18
0.22
0.20
0.10
0.08
1.00
（2）直方图如下：
样本数据
0
频率/组矩
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
0.1
0.2
0.3
88 76 91 68 94 35 58 81 72
75 96 81 85 80 62 77 73 64
68 64 49 52 97 76 58 78 91
87 89 71 90 74 69 88 65 49
74 69 64 66 78 98 86 53 60
79 80 63 65 47 95 43 84 72 61
(1) 频率分布表

分 组
频 数
频 率
























30~40
40~50
50~60
60~70
70~80
80~90
90~100
1
4
4
16
13
13
9
0.017
0.068
0.068
0.261
0.218
0.218
0.15
(2).直方图
样本数据
0
频率/组矩
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
例题对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下：











寿命
个数
100~200
200~300
300~400
400~500
500~600
20
30
80
40
30
（1）列出频率分布表；
（2）画出频率分布直方图和累积频率分布图；
（3）估计电子元件寿命在100h~400h以内的概率；
（4）估计电子元件寿命在400h以上的概率；
（5）估计总体的数学期望.

（1）列出频率分布表；




























100~200
200~300
300~400
400~500
500~600
寿命
合计
频率
频数
累积频率
20
30
80
40
30
200
0.10
0.15
0.40
0.20
0.15
1
0.10
0.25
0.65
0.85
1
频率/组距
累积频率(共10张PPT)
1.6 线性回归
1.6 线性回归
1.6 线性回归
1.6 线性回归
1.6 线性回归
1.6 线性回归
1.6 线性回归
课题引入
正方形边长x
面积S
确定关系
1．正方形面积S与边长x之间的关系：
2．一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系：
水稻产量
施肥量
气候情况
浇水
除虫
不确定关系
1.5 正态分布
新授课
自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个
变量之间的关系叫做相关关系．
相关关系与函数关系的异同点：
相关关系 函数
相同点
不同点
对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析．
均是指两个变量的关系
非确定关系
非随机变量与随机变量的关系
确定的关系
两个非随机变量的关系
1.6 线性回归
新授课
455
450
445
405
365
345
330
水稻产量y
45
40
35
30
25
20
15
施化肥量x
表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形，叫做散
点图.
你发现图象中的点有什么特点？
各点大致分布在一条直线的附近
1.6 线性回归
新授课
设所求的直线方程为 ，其中a、b是待定系数．
各偏差为：
偏差 的符号有正有负，相加相互抵消，所以和不能
代表几个点与相应直线在整体上的接近程度.
采用n个偏差的平方和
表示n个点与相应直线在整体上的接近程度．
记作
1.6 线性回归
新授课
直线方程 ：
叫做回归直线方程．
其中
相应的直线叫做回归直线，对这两个变量所进行的统计分
析叫做线性回归分析．
1.6 线性回归
例题讲解
例 一个工厂在某年里每月产品的总成线y（万元）与该月
产量x（万件）之间有如下一组对应数据：
x
1.08
1.12
1.19
1.28
1.36
1.48
1.59
1.68
1.80
1.87
1.98
2.07
y
2.25
2.37
2.40
2.55
2.64
2.75
2.92
3.03
3.14
3.26
3.36
3.50
（1）画出散点图；
（2）求月总成本y与月总产量x之间的回归直线方程．
回归直线方程为
1.6 线性回归
练习
在某种产品表面进行腐蚀线试验，得到腐蚀深度y 与腐
蚀时间t 之间对应的一组数据：
深度y（ m）
5
10
15
20
30
40
50
60
70
90
120
6
10
10
13
16
17
19
23
25
29
46
时间t（s）
（1）画出散点图；
（2）试求腐蚀深度y 对时间t 的回归直线方程．
回归直线方程为
1.6 线性回归
练习：
课后练习
课堂小结
准确理解相关关系的概念，并在此基础上，了解回归分析
与散点图的含义，了解回归直线方程推导的思路，会利用a、b
的公式求出回归直线方程，利用回归直线方程去估值．
作业：
习题1.6 第1 题(共17张PPT)
函 数 的
和、差、积、商
的 导 数
一、复习：
1.求函数的导数的方法是:
2.函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=
f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率.
3.常见函数的导数公式:
公式1: .
公式2: .
公式3: .
公式4: .
二、新课：
由上节课的内容可知函数y=x2的导数为y’=2x,那么,对于一般的二次函数y=ax2+bx+c,它的导数又是什么呢 这就需要用到函数的四则运算的求导法则.
1.和(差)的导数:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导
数的和(差),即:
证:
即:
2.积的导数:
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数
乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数
的导数 ,即
证:
因为v(x)在点x处可导,所以它在点x处连续,于是当Δx→0时, v(x+Δx)→ v(x).从而:
即:
3.商的导数:
推论:常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数,
即:
法则3:两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母
的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母
的平方,即:
思考:你能否仿照积的导数的推导过程,证明商的导数
公式吗
有了前面学过的常见函数的导数公式与函数的四则运算的求导法则,就可以直接运用这些公式求得由幂函数的和、差、积、商构成的函数,而不必从导数定义出发了.
三、例题选讲：
例1:求下列函数的导数:
答案:
例2:(1)命题甲:f(x),g(x)在x=x0处均可导;命题乙:F(x)=
f(x)+g(x)在x=x0处可导,则甲是乙成立的( )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充分必要条件 (D)即不充分也不必要条件
A
(2)下列函数在点x=0处没有切线的是( )
(A)y=x3+sinx (B)y=x2-cosx
(C)y=xsinx (D)y= +cosx
D
(3)若 则f(x)可能是下式中的( )
B
(4)点P在曲线y=x3-x+2/3上移动时,过点P的曲线的
切线的倾斜角的取值范围是( )
D
例3:某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s=
-4t3+16t2.
(1)此物体什么时刻在始点
(2)什么时刻它的速度为零
解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得:
t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在
始点.
即t3-12t2+32t=0,
解得:t1=0,t2=4,t3=8,
故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.
例4:已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均
相切,求l的方程.
解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2).
对于 则与S1相切于P点的切线方程为y-x12
=2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.①
对于 与S2相切于Q点的切线方程为y+
(x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.②
因为两切线重合,
若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4.
所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.
注:此题为p.238第12题.
例5:在曲线y=x3-6x2-x+6上,求斜率最小的切线所对应
的切点,并证明曲线关于此点对称.
解:由于 ,故当x=2时, 有最小值.
而当x=2时,y=-12,故斜率最小的切线所对应的切点
为A(2,-12).
记曲线为S,设P(x,y)∈S,则有y=x3-6x2-x+6.
又点P关于点A的对称点为Q(4-x,-24-y),下证Q∈S.
将4-x代入解析式:(4-x)3-6(4-x)2-(4-x)+6=64-48x
+12x2-x3-96+48x-6x2-4+x+6=-x3+6x2+x-30
=-(x3-6x2-x+6)-24=-24-y.
即Q(4-x,-24-y)的坐标是S的方程的解,于是Q∈S.
这就证明了曲线S关于点A中心对称.
练习1:已知曲线C:y=3x4-2x3-9x2+4;(1)求曲线C上横坐
标为1的点的切线方程;(2)第(1)小题中切线与曲线C是否还有其它公共点 如果有,求出这些点的坐标.
解:(1)把x=1代入曲线C的方程得切点(1,-4).
,所以切线的斜率k=12-6-18=
-12.故切线方程为y+4=-12(x-1),即y=-12x+8.
故除切点以外,还有两个交点(-2,32),(2/3,0).
事实上,在曲线y=x3+ax2+bx+c是只有横坐标为-a/3的唯一一点M,过该点的切线与曲线除切点外不再有其它公共点.而点M实际上就是这条三次曲线的对称中心.
练习2:设三次曲线y=x3-3x2/2-3x过原点的切线l1,平行
于l1的另一条切线为l2.
(1)求l1、l2的方程;
(2)当l1、l2的斜率为m时,求斜率为-m的两切线
l3、l4的方程.
(3)求l1、l2 、l3、l4所围成的平行四边形的面积.
答案:(1).l1:y=-3x;l2:y=-3x-1/2.
(2).l3:y=3x+7/2;l4:y=3x-10.
(3).9/8.
例6:用求导的方法求和:
对(1)由求导公式 可联想到它是另一个和式x+x2+x3+…+xn的导数.
例7:已知抛物线C1:y=x2+2x和C2:y=－x2+a,如果直线l
同时是C1和C2的切线,称l是C1和C2的公切线,公切线
上两个切点之间的线段,称为公切线段.
(Ⅰ)a取什么值时,C1和C2有且仅有一条公切线 写出
此公切线的方程;
(Ⅱ)若C1和C2有两条公切线,证明相应的两条公切线
段互相平分.(2003天津高考(文)题)
(Ⅰ)解:函数y=x2+2x的导数y′=2x+2,曲线C1在点P
(x1,x12+2x1)的切线方程是y-(x12+2x1)=(2x1+2)
(x-x1),即 y=(2x1+2)x-x12①;
函数y=-x2+a的导数y′=-2x,曲线C2 在点Q(x2,
-x22+a)的切线方程是y-(-x22+a)=-2x2(x-x2).即
y=-2x2x+x22+a . ②
如果直线l是过P和Q的公切线,则①式和②式都是l的方程.
所以 消去x2得方程:2x12+2x1+1+a=0.
若判别式△=4－4×2(1+a)=0时,即a=-1/2时解得x1=-1/2,此时点P与Q重合.
即当a=-1/2时C1和C2有且仅有一条公切线,由①得公切线方程为y=x-1/4.
(Ⅱ)证:由(Ⅰ)可知:当a<-1/2时C1和C2有两条公切线.
设一条公切线上切点为:P(x1,y1),Q(x2,y2).其中P在C1上,Q在C2上,则有:
x1+x2=-1,y1+y2=x12+2x1+(-x22+a)=x12+2x1-(x1+1)2
+a=-1+a.故线段PQ的中点为:
同理,另一条公切线段P’Q’的中点也是
所以公切线段PQ和P’Q’互相平分.
四、小结：
五、作业：
第一次p.235~236课后强化训练第1~10题;
第二次p.237~238课后强化训练第1~12题.
1:充分掌握函数的四则运算的求导法则.
2:先化简,再求导是实施求导运算的基本方法;是化难
为易、化繁为简的基本原则和策略.
3:在解决与曲线的切线有关的问题时,应结合函数与方
程的思想,解析几何的基本方法和理论来求解.解决
问题时,关键在与理解题意,转化、沟通条件与结论,
将二者有机地统一起来.(共25张PPT)
问题1：函数
你能否直接看出函数值的变化趋势？
问题2：如果不能看出函数值的变化趋势，那么怎样才能把问题转化为已知能求的函数极限？转化的数学方法与依据是什么？
为了解决这些问题，我们有必要给出函数极限的运算法则：（证明从略）
1、 函数极限运算法则
如果
，
那么
也就是说：如果两个函数都有极限，那么由这两个函数的各对应项的和、差、积、商组成的函数的极限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（各项作为除数的函数的极限不能为0）。
注：使用极限四则运算法则的前提
是各部分极限必须存在。
由 不难得到：
注意：使用极限运算法则的前提是
各部分极限存在！
（C为常数）
由上面的运算法则可知：
请同学们记清函数极限的运算法则
利用函数极限的运算法则，我们可以根据已知的几个简单函数的极限，求出较复杂的函数的极限。
1、 函数极限运算法则
如果
，
那么
（C为常数）
问：
你能否直接看出函数值的变化趋势？
如果
，
那么
注意：使用极限运算法则的前提是
各部分极限存在！
（C为常数）
由运算法则可知：当 时
推广
解：
通过例1同学们会发现：①函数f（x）在x=x0 处有定义②求这类函数在某一点x=x0处的极限值时，只要把x=x0 代入函数解析式中，就得到极限值。如：
解：
总结提高：
分析：当 时分子、分母的极限都是0，不能直接运用上面的极限运算法则。因为当 　时函数的极限只与x无限趋近于1的函数的变化趋势有关，与x=1时的函数值无关，因此可以先将分子、分母约去公因式x-1以后再求函数的极限。
例2 求
例2 求
解：
总结与提高：
通过例3、例4同学们会发现：①函数f（x）在 处无定义②求这类函数在某一点x=x0处的极限值时，必须通过代数变形转化为第一种类型。
如：求
例3 求
例4
小结：
（1）概述极限的运算法则。
（2）本节课学习了两类计算函数极限的方法。
作业：
（3）
P91 2
通过各例求极限的过程可以看出，在求有理函数的极限时，最后总是归结为求下列极限：
如果 ，那么
1、请同学们回顾一下数列极限的运算法则：
注：使用极限四则运算法则的前提
是各部分极限必须存在。
特别地，如果C是常数，那么
也就是说：如果两个数列都有极限，那么由这两个数列的各对应项的和、差、积、商组成的数列的极限，分别等于这两个数列的极限的和、差、积、商（各项作为除数的数列的极限不能为0）。
应用举例：
例1 求下列极限
一般地，当分子分母是关于n的的多项式时，①若分子分母的次数相同，这个分式在 的极限是分子与分母中最高次项的系数之比;　②若分母的次数高于分子的次数，这个分式在 的极限是0
变式练习：
（1）已知 =2 , 求a的值 ( )
（2）求 的极限（ ）
6
注：
求 的函数极限问题转化为求 的数列极限问题
(3) 若　　 ,　则a=_____b=_______
-4
2
例2
注：
极限的运算法则只能推广到有限多项， 当项数无限时，要先求和（或积）再求极限
思考:对比解1、解2,判断哪种解法正确,并分析原因
小结与反思：
1、本节知识结构
2、思想方法反思
函数的极限
数列的极限
函数极限的四则运算法则
数列极限的四则运算法则
求分式的极限
求无限项和的极限
应用
(1) 一般地，当分子分母是关于n的的多项式时，①若分子分母的次数相同，这个分式在 的极限是分子与分母中最高次项的系数之比;　②若分母的次数高于分子的次数，这个分式在 的极限是0
（2） 求 的函数极限问题转化为求 的数列极限问题
（3） 当项数无限时，要先求和（或积）再求极限(共14张PPT)
函数的最大值与最小值
高三数学选修（Ⅱ）第三章 导数与微分
函数的最大值与最小值
O
x
y
Y=f(x)
a
b
x1
x2
x3
极小值f(x1)
极大值f(x2)
极小值f(x3)
最大值f(b)
最小值f(x3)
1.函数最值的概念
定义：可导函数 在闭区间[a,b]上所有点处的函数值中最大（或最小）值，叫做函数 的最大（或最小）值。
一般地，在闭区间上连续的函数
在[a,b]上必有最大值与最小值。
若改为 (a,b)
举例说明
函数 在 (0,∞)内连续。
2.求可导 函数在[a,b]上最值的方法。
例1：求函数 在区间[-2，2]上的最大值与最小值。
解：
令
有
解得：
当x变化时， ，y的变化情况如下表：
x -2 (-2,1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2
- + 0 - 0 +
y 13 4 5 4 13
从上表可看出，最大值是13，最小值是4。
2.求可导 函数在[a,b]上最值的方法。
例1：求函数 在区间[-2，2]上的最大 值与最小值。 图象
【解题回顾】
设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内
可导，求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤：
（1）求f(x)在(a,b)内的极值；
（2）将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的
一个是最大值，最小的一个是最小值。
【对应练习】
求下列函在所给的区间上的最大值与最小值。
（1）y=x-x3 x∈[0,2]
（2）y=x3+x2 -x x∈[-2,1]
【解题回顾】在求函数f(x)在[a,b]最值过程中，判断极值比较麻烦，可改求可导函数在(a,b)内导数为0点函数值，再把这些值与函数在端点的值比较即可。
几何画板
例2：在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起如下图，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时？箱子容积最大？最大容积是多少？
【解题回顾】
1.求最大（小）值应用问题的一般方法：
分析、联系、抽象、转化
数学方法
数学结果
实际结果
回答问题
实际问题
建立数学模型
（列数学关系式）
解决应用性问题的关键是读题——懂题——建立数学关系式。
2.在实际问题中，有时会遇到在区间内只有一个点
使导数为0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，
那么不与端点的值比较，也可以知道这就是最大
(小)值。这时所说的也适用于开区间或无穷区间。
【对应练习】圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面径应样选取时，才能使所用的材料最省？
解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积
S=2πRh+2πR2
由V=πR2h，得h= ，则
S(R)= 2πR + 2πR2= +2πR2
令 S’(R)= +4πR=0
解得，R= 从而h= = = =2
即 h=2R
因为只有一个极值，所以它是最小值。
答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省。
【反馈练习】
1.函数 在[-3，4]上的最小值为（ ）
A、-64 B、-51 C、-56 D、-61
2.函数 在上的最大值为（ ）
A、2+2 B、4 C、 D、5
3．函数 在 时的最
大、最小值分别是 。
4．教材P139 练习1、2(课后完成)。
D
B
【课堂小结】
（1）利用导数求函数最值的关键是可导函数极值的判定；
（2）若连续函数在闭区间上只有一个导数
为0的点，且在这一点有极值，则该极值就
是函数在上的最值；
（3）导数应用的主要内容之一就是求实际
问题的最值，其关键是分清各量间的关系，
建立目标函数，在判断函数极值的基础一就
可以确定出函数的最值情况。(共16张PPT)
高考题选讲
导数是中学数学的新增内容,是高等数学的基础内容,它在中学数学教材中的出现,使中学数学与大学数学
之间又多了一个无可争辩的衔接点.
今后的高考对这部分内容的考查将仍然会以导数
的应用题为主,如利用导数处理函数的极值、最值和单调性问题及曲线的问题等.考题不难,侧重知识之意,这也是命题者为使这部分内容在中学占据一席之地的良苦用心.
考查的题型有选择题、填空题也有解答题.解答题
多以数列、函数、解析几何、不等式等高中主干内容为载体.
这里,我们对前几年高考中的解答题给以分析,使同学们了解高考考什么,怎样考.
2000—新课程卷—文史类(20),理工类(19):
设函数 ,其中a>0.
(Ⅰ)解不等式:f(x)≤1;
(Ⅱ)求a的取值范围,使函数f(x)在区间[0,+∞)上是单
调函数.
(文史类第(Ⅱ)问:证明:当a≥1时,函数f(x)在区间[0,+∞)上是单调函数)．
注:此题第(Ⅰ)问,已超过了目前的教学范围,在此我们不
加以讨论.
(Ⅱ):
注意到x∈[0,+∞)时,
因此当a≥1时, 恒成立,故f(x)在[0,+∞)上为
减函数.
又当0由 可得 可见f(x)在[0,+∞)上不具
有单调性.
综上所述,所求a的取值范围是[1,+∞).
2.2000—新课程卷—文史类(21),理工类(20):
用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架,如果
所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为
多少时容器的容积最大 并求出它的最大容积.
解:设容器底面短边长为xm,则另一边长为(x+0.5)m,容
器的高为[14.8-4x-4(x+0.5)]/4=3.2-2x.
由问题的实际意义,要求x>0,3.2-2x>0,解得x的取值
范围是0记容器的容积为ym3,则y=x(x+0.5)(3.2-2x)(01.6).即有y=-2x3+2.2x2+1.6x(0求导数得
令 ,得15x2-11x-4=0,解得x1=1,x2=-4/15(不合题意,舍去).
所以在定义域(0,1.6)内,只有x=1使导数为0,且当x值接近0或1.6的一端时,y值都很小(接近0).
因此,当x=1时,y取最大值,得y最大=-2+2.2+1.6=1.8,
这时容器的高为3.2-2x=1.2.
3.2001—新课程卷—文史类(21):
已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在点x=1处有极小值-1,试
确定a、b的值,并求出f(x)的单调区间.
注:此题为p.252课后强化训练第8题.
解:由已知得:
由 得 ;由 得
故函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-1/3)和(1,+∞),单调递减区间是(-1/3,1).
4.2001—新课程卷—理工类(19)
设a>0, 是R上的偶函数．
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)证明f(x)在(0,+∞)上是增函数.
注:此题为p.248课后强化训练第14题.
解:(1)依题意有f(-x)=f(x),即
可得对一切x∈R有
注意到a>0,得a=1.
(2)
当x∈(0,+∞)时,e-x>0,e2x>1,
故f(x)在(0,+∞)上是增函数.
5.2002—新课程卷—文史类(21)
已知a>0,函数f(x)=x3-a,x∈[0,+∞).设x1>0,记曲线y=
f(x)在点M(x1,f(x1))处的切线为l.
(Ⅰ)求l的方程；
(Ⅱ)设l与x轴的交点为(x2,0),证明
①
②若 ,则
此题的证明完全可以仿照下一题(当年的理科题)的证明过程.
留给同学们课后自己完成.
6. 2002—新课程卷—理工类(20)
已知a>0,函数 ,设0曲线y=f(x)在点M(x1,f(x1))处的切线为l.
(Ⅰ)求l的方程；
(Ⅱ)设l与x轴的交点为(x2,0),证明
①0②若x1<1/a则x1解(Ⅰ):
故l的方程是:
(Ⅱ):在l的方程中令y=0得:x2=x1(1-ax1)+x1=x1(2-ax1),
其中0①由00.
又
所以0②当x1<1/a时,ax1<1,因此,x2=x1(2-ax1)>x1.
又由①知,x2<1/a;
所以,x1解:
从而易知当a>0,x>0时,有:
由于Δ=(2a-4)2-4a2=16(1-a).故有:
(1)当a>1时,Δ <0,所以对所有x>0,有x2+(2a-4)x+a2
>0,即 恒成立,故此时f(x)在(0,+∞)内单调
递增.
(2)当a=1时, Δ =0,可得对x≠1,有x2+(2a-4)x+a2>0,
即 恒成立,故此时f(x)在(0,1)和(1,+∞)内单
调递增.
7. 2003—新课程卷—理工类(19)
设a>0,求函数f(x)= -ln(x+a)(x∈(0,+∞))的单调区间.
又知函数在x=1处连续,因此,函数在(0,+∞)内单调递增.
(3)当a<1时,Δ>0,令 ,即x2+(2a-4)x+a2>0,解得
因此,函数f(x)在区间 内单调递增,
在区间 也内单调递增.
令 ,即x2+(2a-4)x+a2<0,解得:
因此,函数f(x)在区间
内单调递减.
8.2003—江苏(21)
已知a>0,n为正整数.
(1)设y=(x-a)n,证明
(2)设fn(x)=xn-(x-a)n,对任意n≥a,证明
证:(1)因为
(2)对函数fn(x)求导得
因此,当n≥a时,(n+1)n-(n+1-a)n>nn-(n-a)n.
由于当x≥a>0时, ,故当x≥a时,fn(x)是关于x的增函数.
即对任意n≥a,
9. 2003-新课程卷-文史类(18)
此题以前在上课时已经讲过,在此不再重复.
导数是研究函数单调性极佳、最佳的重要工具,得
出的一般结论具有科学方法论价值,广泛运用在讨论函数图象的变化趋势及证明不等式等方面.
数学知识是数学思想方法的载体, 数学思想方法又是数学知识的精髓,是知识转化为能力的桥梁.因此需要
提高认识及运用数学思想方法去分析问题解决问题的意识,从最基本的开始积累,不断总结经验,才能由知识型
向能力型转化.(共18张PPT)
对数函数
与指数函数
的导数
一、复习与引入：
1. 函数的导数的定义与几何意义.
2.常见函数的导数公式.
3.导数的四则运算法则.
4.复合函数的导数公式.
5.由前面几节课的知识,我们已经掌握了初等函数中的
幂函数、三角函数的导数,但还缺少指数函数、对数
函数的导数,而这就是我们今天要新学的内容.
有了指数函数、对数函数的导数,也就解决了初等函数的可导性.结合前一章节的知识,我们可知,初等函数在其定义域内都是连续而且可导.
二、新课——指、对函数的导数：
1.对数函数的导数:
下面给出公式的证明,中间用到重要极限
证:
证:利用对数的换底公式即得:
2.指数函数的导数:
由于以上两个公式的证明,需要用到反函数的求
导法则,这已经超出了目前我们的学习范围,因此在这里我们不加以证明,直接拿来使用.
三、例题选讲：
例1:求下列函数的导数:
(1)y=ln(2x2+3x+1) (2)y=lg
(3)y=e2xcos3x (4)y=a5x
解:(1)
(2)法1:
(2)法2:
(3)
(4)
例2:求下列函数的导数:
解:
解:设y=au,u=cosv,v=1/x,则:
解:
解:函数的定义域为
例3:已知f(x)为可导函数,试求下列函数的导数:
(1)y=f(lnx); (2)y=f( ); (3)y=f(ex) .
解:(1)
(2)
(3)
解此类题应注意:
(1)分清是由哪些函数复合而成的.
(2)用逐步的方法来进行求导.
练习1:求下列函数的导数:
答案:
例4:设一质点的运动规律为 为
常数,试求t=1/2时质点运动的速度v0.
解:
故当t=1/2时,质点运动速度v0为:
例5:求曲线y=xlnx的平行于直线x-y+1=0的切线方程.
解:设该切线与曲线相切的切点为(x0,x0lnx0).
故曲线在点(x0,x0lnx0)处的切线斜率为lnx0+1.
由已知可得:lnx0+1=1,即x0=1,故切点为(1,0).
所以所求切线方程为y-0=x-1,即x-y-1=0.
答案:①x+ey-2e=0,②(1+e)x-ey-e2=0.
练习2:分别求曲线①y=logxe;② 在点(e,1)处
的切线方程.
延伸:设点P是曲线y=ex上任意一点,求点P到直线y=x的
最小距离.
答案:
四、小结：
对数函数、指数函数的导数是常用的导数公式中较
难的两类函数的导数,要熟记公式,会用公式,用活公式.
(2)解决指、对数函数的导数问题,应充分重视指数、对
数的运算性质的准确使用,以保证变换过程的等价性.
(3)在求指、对数函数的导数过程中,要遵循先化简,再
求导的原则;要结合导数的四则运算法则和复合函数
的求导法则进行求导.
例6:求下列函数的导数:(1)y=xx(x>0);(2)y=[f(x)]g(x).
解:(1)两边取对数,得lny=xlnx.
由于y是x的函数,由复合函数的求导法则对上式两边对x求导,可得:
(2)两边取对数,得lny=g(x)lnf(x),两边对x求导,可得:
说明:(1)解法可能对lny求导不易理解,事实上,若u=lny,
y=f(x),则
(2)本题用的求导方法习惯上称为对数求导法,即先两
边取对数,再对x求导.一般适用于下列两类函数:
①形如y=(x-a1)(x-a2)…(x-an)的函数,取对数后,可
将积转化为和的形式,或 ,取对
数后,可转化为代数和的形式.
②无理函数或形如y=[f(x)]g(x)这类幂指函数.
(3)对数求导法的优点:一是可使问题简单化(积、商
变和、差,幂、根变积式),二是可使较复杂函数求
导变为可能(无求导公式变为有求导公式).
例如我们利用上面例题中的(2)可知
中的n的范围可以扩大到全体实数.
又如下面一题我们就有两种不同的解法:
方法二:由于y>0,故可以两边取对数.
题目:已知0方法一:
练习3:用两种不同的解法求函数 的导数.
方法一:由于y>0,故两边取对数,得
方法二:(共11张PPT)
问题１：已知复数Z1、Z在复平面上的对应分别为A、B，O为原点，∠AOB=π/ 6，若Z1=1+2i,求Z。
X
Y
O
A
B
问题２：将问题１中向量OA平移，使O移至Q(1,1),A移至P(2,3)，再绕Q点逆时针方向旋转π/ 6得向量QB，求点B对应的复数。
X
Y
A
P
Q
O
B
问题３：设复数Z0、Z1对应于复平面上的点为A、B，C为复平面上的一点，∠CAB=θ，求C对应的复数。
X
Y
O
B
A
C
１、已知等边△ABC的两个顶点坐标为A(2,1)、B(3,2)，求顶点C的坐标。
X
Y
O
A
B
C
２、正方形ABCD中，作∠EAB=15°，使AE=AC，连BE，求证：BE∥AC。
X
Y
O
A
B
E
C
D
３、设B为半圆x2+y2=1( x∈[-1,1],y∈[-1,1] )上的动点，A点坐标为（2,0）且△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形（C在X轴上方）。
(1) 求C点的轨迹；
(2) B点在何处时，O、C两点间的距离最远。
X
Y
O
A
C
B
演示动画
４、草原漫步
某人在宽广的大草原上自由漫步，突发如下想法：向某一方向走１千米后向左转，再向前走１千米再向左转，如此下去，能回到出发点吗？
x
y
o
A
B
1 km
演示动画
小结：
1.求已知向量 ZZ 逆时针方向旋转角所得向量对应的复数用式子 即可求。求z即是
2.复数乘除运算的几何意义是数形结合的结合的点之一。利用复数的几何意义解题是数形结合思想的重要体现。 。
1
作业：
1.如图，正方形ABCD的中心在坐标原点，A点对应的复数为Z = 2+i ，求 B . C. D对应的复数。
2.在复平面上，一个正方形的四个顶点按逆时针方向依次为Z ,Z ,Z , O(其中O是原点) .已知：Z 对应的复数z =1+ i ,求 z 和 z 对应的复数
3.已知：点B(4,0) 点A沿抛物线 y = 4x 移动，若以B为直角顶点，AB为一条直角边作等腰直角三角形ABC. 求C点的轨迹。
1
2
3
A
2
1
3
2(共25张PPT)
2.5 函数的连续性(2)
定义：设函数f(x)在 处及其
附近有定义，而且
则称函数f(x)在点 处连续，
称为函数f(x)的连续点。
函数f（x）在点x0处连续必须
同时具备三个条件：
1、 存在，即函数
在点x0处有定义。
2、 存在。
3、
必须同时满足。
二、单侧连续性：
并且
如果函数 在点 处及其右侧附近有定义
则称f(x)在点 处右连续。
x
y
O
a
类似地：
则称f(x)在 处是左连续。
如果函数 在点x0处及其左侧附近有定义，并且
x
y
O
a
三、函数的连续性：
1、开区间内连续：如果 在某一开
区间 内每一点处都连续，就说函
数f（x）在开区间（a，b）内连续，或
说f（x）是开区间（a，b）内的连续函数。
2、闭区间上连续：如果函数 在开区间 内连续，在左端点 处右连续，在右端点 处左连续，就说函数 在闭区间 上连续。
如图：
o
x0
x
y
a
b
指出下列函数在开区间（0，1）内或闭区间[0，1]上是否连续：
从几何直观上看，闭区间[a，b]上的一条连续曲线，必有一点达到最高，也有一点达到最低。如上图：
对于任意 ，这时我们说闭区间[a，b]上的连续函数f（x）在点x1处有最大值f（x1），在点x2处有最小值f（x2）。
o
x2
x1
b
a
x
y
四、闭区间上连续函数的性质：
性质1 最大值最小值定理：
如果f（x）是闭区间[a，b]
上的连续函数，那么f（x）
在闭区间[a，b]上有最大值
和最小值。
o
x2
x1
b
a
x
y
注 函数的最大值、最小值可能在区间端点上取得。如函数
在点x=1处有最大值1，在点x=-1处有最小值
-1（如图）
x
y
o
1
-1
-1
1
再如对二次函数y=ax2+bx+c来说，在给定的任意一个闭区间上均有最大、最小值。
性质2 如果函数f（x）、g（x）在某一点x=x0处连续，那么函数
在点x0处都连续。
若 令
因为函数f（x）、g（x）在x=x0处连续，所以函数h（x）在x=x0处有定义
我们以前学习了许多函数，如幂函数
由图象可以看出，这些函数在其定义域内每一点处的极限值都等于函数值，它们在其定义域内都是连续的。同样由上面的性质2，我们可知，这些函数和常数经过有限次四则运算而得到的函数在其定义域内仍是连续的。例如：二次函数 可以看作是由常数a乘以幂函数x2的积，加上常数b乘以幂函数x的积，再加上常数c而得到的，它在其定义域内每一点都是连续的。
由连续函数的定义，我们可以得到计算函数极限的一种方法：如果函数f（x）在其定义域内是连续的，点x0是其定义域内的一点，那么求 时函数f（x）的极限，只要求出f（x）在点x0处的函数值f（x0）就可以了，即
五、利用连续性求函数的极限：
例：
练习：1 利用函数的连续性，求下列极限：
在点x=0处连续，所以有
在x=100处连续，因此
思考题：
指出下列函数在哪些点处不连续，为什么？
小结：
1、学习了连续函数的两条性质。
2、掌握当函数在点x0处连续时，的极限公式：
3、会用数形结合解决有关函数的连续性问题
作业：P104习题2.6 5(共13张PPT)
1、复数的加法的几何意义
复数可以用向量表示，如果与这些复数对应的向量不共线，那么这些复数的加法就可以按照向量的平行四边形法则来进行。
Z1(a,b)
Z2(c,d)
Z
O
y
x
如果 在同一直线上，可以画出一个“压扁”的平行四边形，并举此画出它的对角线来表示 的和。总之，复数的加法可以按照向量加法法则来进行，这就是复数加法的几何意义。
2、复数的加法法则
设向量 所对应的复数x+yi，由上图可知，x=a+c，y=b+d，因此有（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i
注 （1）两个复数的和仍是一个复数。
（2）b=d=0时，与实数加法法则是一致。
（3）复数的加法法则满足交换律、结合律。
即对任何z1，z2，z3∈C，有z1+z2= z2+z1，
（z1+z2）+z3= z1+（z2+z3）
3、复数的减法法则
规定复数的减法是加法的逆运算，即把满足（c+di）+（x+yi）=a+bi的复数x+yi，叫做复数a+bi减去复数c+di的差，记作（a+bi）-（c+di）
（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i。
两个复数相加（减）就是把
实部与实部、虚部与虚部分别相加（减），即
（a+bi）±（c+di）=（a ± c） + （b±d）i
复数的加法法则
注：两个复数的差是一个唯一确定的复数。
4、复数减法的几何意义
5、例题
例1 计算（5-6i）+（-2- i）-（3+4 i）。
例2 根据复数的几何意义及向量表示,
求复平面内圆的方程。
Z1(a,b)
Z2(c,d)
O
y
x
Z
z1-z2
例3 设 z1=-2+5i ,z2=3+2i分别用代数与
几何方法计算
例4 根据复数的几何意义及向量表示，求复平面内
两点间距离公式。
例5 在复平面内，满足下列复数形式方程
的动点Z的轨迹是什么？
2005年3月
一、复数的乘法
设z1 =a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，
则z1·z2=(a+bi)(c+di)=
注：1、复数的乘法与多项式的乘法类似，但必须在所得的结果中把i2 换成-1，并把实部与虚部分开。
ac+bci+adi+bdi2
=(ac-bd)+(ad+bc)i
2、两个复数的积仍是复数。
3、复数的乘法满足：
z1 · z2 =z2 · z1
(z1 · z2) · z3=z1 · ( z2 · z3 )
交换律
结合律
分配律
z1 · （z2+ z3）= z1 · z2 + z1 · z3
计算：(a+bi)(a-bi)
= a2-(bi)2
= a2-b2 i2
= a2+b2
注4、z z= |z|2= | z |2
5、实数集R中正整数指数幂的运算律在复数集C中仍成立，即
z 、 z1、 z2 ∈C，m、n ∈N*有
z m · z n= z m+n
(z m )n= z m ·n
(z1 ·z2 )n= z1 n · z2 n
一般地，如n∈N*，有
i4n=1 i4n+1=i i4n+2= -1 i4n+3= -i
例1：计算 ① (1+i)2 ②(1-i)2
③（1-2i)(3+4i)(-2+i)
例2：设w= 求证：
① 1+w+w2=o ②w3=1
－20＋15i
一、复数的除法
复数的除法是乘法运算的逆运算，即把满足
（c+di)(x+yi)=a+bi (c+di≠0)
的复数x+yi叫做复数a+bi除以复数c+di的商，记作
（a+bi）÷ （c+di) 或
计算： ① ②
③ （1+2i)÷(3-4i)
④ i 2002+( + i)8
① i
②－ i
③(－ 1＋2i)/5
④－1＋256 i(共15张PPT)
几种常见函数的
导 数
一、复习
1.解析几何中,过曲线某点的切线的斜率的精确描述与
求值;物理学中,物体运动过程中,在某时刻的瞬时速
度的精确描述与求值等,都是极限思想得到本质相同
的数学表达式,将它们抽象归纳为一个统一的概念和
公式——导数,导数源于实践,又服务于实践.
2.求函数的导数的方法是:
说明:上面的方法中把x换x0即为求函数在点x0处的
导数.
3.函数f(x)在点x0处的导数 就是导函数 在x=
x0处的函数值,即 .这也是求函数在点x0
处的导数的方法之一。
4.函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=
f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率.
5.求切线方程的步骤：
（1）求出函数在点x0处的变化率 ，得到曲线
在点(x0,f(x0))的切线的斜率。
（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
二、新课——几种常见函数的导数
根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式.
公式1: .
公式2: .
请注意公式中的条件是 ,但根据我们所掌握的知识,只能就 的情况加以证明.这个公式称为幂函数的导数公式.事实上n可以是任意实数.
公式3: .
要证明这个公式,必须用到一个常用极限
同理可证,公式4: .
三、例题选讲
例1:求过曲线y=cosx上点P( )且与过这点的切线垂
直的直线方程.
注:满足条件的直线称为曲线在P点的法线.
O A x
M P
y
例2:如图,质点P在半径为10cm的圆上逆时针做匀角速
运动,角速度1rad/s,设A为起始点,求时刻t时,点P在
y轴上的射影点M的速度.
解:时刻t时,因为角速度1rad/s,
所以 .
故点M的运动方程为:y=10sint.
故时刻t时,点P在 y轴上的射影点M的速度为10cost
cm/s.
例3:已知两条曲线y=sinx,y=cosx,问是否存在这两条
曲线的一个公共点,使在这一点处,两条曲线的切线
互相垂直 并说明理由.
解:设存在一个公共点P(x0,y0)满足题设条件.
由两条曲线的切线在点P互相垂直,则cosx0(-sinx0)
=-1,得sinx0cosx0=1,即sin2x0=2.
这不可能,所以不存在满足题设条件的一个点.
练习1:曲线y=sinx在点P( )处的切线的倾斜角为
___________.
例4:已知曲线 在点P(1,1)处的切线与直线m平行且
距离等于 ,求直线m的方程.
设直线m的方程为3x+y+b=0,由平行线间的距离公式得:
故所求的直线m的方程为3x+y+6=0或3x+y-14=0.
例5:求双曲线 与抛物线 交点处切线的夹角.
例6:求过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程.
说明:曲线上求在点P处的切线与求过点P的切线有区别.
在点P处的切线,点P必为切点,求过点P的切线,点P
未必是切点.应注意概念的区别,其求法也有所不同.
解:设所求切线的切点在A(x0,y0).
因为A是曲线y=x2上的一点,所以,y0=x02 ①.
又因为函数y=x2的导数为 所以过点A(x0,y0)的
切线的斜率为
由于所求切线过P(3,5)和A(x0,y0)两点,故其斜率又
应为 ②.
联立①,②解得:
故切点分别为(1,1)或(5,25).
当切点为(1,1)时,切线的斜率为k1=2x0=2;
当切点为(5,25)时,切线的斜率为k2=2x0=10;
所以所求的切线有两条,方程分别为:y-1=2(x-1)或y-25=10(x-5),即y=2x-1或y=10x-25.
练习2:若直线y=3x+1是曲线y=ax3的切线,试求a的值.
解:设直线y=3x+1与曲线y=ax3相切于点P(x0,y0),则有:
y0=3x0+1①,y0=ax03②,3ax02=3.③
由①,②得3x0+1=ax03,由③得ax02=1,代入上式可得:
3x0+1=x0,x0=-1/2.
所以a (-1/2)3=1,a=4.
四、小结与作业
1.要切实掌握四种常见函数的导数公式:(1) (c为常
数;(2) ;(3) ;(4)
2.对于简单函数的求导,关键是合理转化函数关系式为
可以直接应用公式的基本函数的模式.
3.能结合直线的知识来解决一些与切线有关的较为综
合性问题.
4.作业:p.233~234课后强化训练.(共12张PPT)
1.2 离散型随机变量的期望与方差
1.2 离散型随机变量的期望与方差
1.2 离散型随机变量的期望与方差
1.2 离散型随机变量的期望与方差
1.2 离散型随机变量的期望与方差
1.2 离散型随机变量的期望与方差
1.2 离散型随机变量的期望与方差
1.2 离散型随机变量的期望与方差
知识回顾
（1）离散型随机变量的分布列的概念、性质．
（2）离散型随机变量服从二项分布的概念、例子．
1.2 离散型随机变量的期望与方差
问题引入
某射手射击所得环数 的分布列如下：
4 5 6 7 8 9 10
P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
能否根据分布列估计射手n 次射击的平均环数？
在n 次射击中，预计有大约：
次得4环，
次得5环，
次得10环．
……
n 次射击的总环数约等于
n 次射击的平均环数约等于
1.2 离散型随机变量的期望与方差
新授课
一般地，若离散型随机变量 的概率分布为
…
…
…
…
则称
为 的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称为期望．
1.2 离散型随机变量的期望与方差
新授课
则称
…
…
…
…
若 ，其中a ，b 常数，则 的分布列为
即
1.2 离散型随机变量的期望与方差
例题讲解
例1、篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚球一次的得分 的期望
解：因为 ， ，所以
1.2 离散型随机变量的期望与方差
例题讲解
例2、随机抛掷一个骰子，求所得骰子的点数 的期望
解：投掷骰子所得点数 的概率分布为
6
5
4
3
2
1
所以
1.2 离散型随机变量的期望与方差
例题讲解
例3、有一批数量很大的产品，其次品率是15%．对这批产品进行抽查，每次抽出1件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品，但每次抽查次数最多不超过10次．求抽查次数 的期望（结果保留三个有效数字）．
解：抽查次数 取1~10的整数，从这批数量很大的产品中每次抽取一件检查的试验可以认为是彼此独立的，取次品的概率是0.15，取正品的概率是0.85，前k-1次取出正品而第k 次（k=1,2…9)取出次品的概率
需要抽查10 次即前9次取出的都是正品的概率是
1.2 离散型随机变量的期望与方差
例题讲解
由此可得 的概率的分布列：
0.2316
0.0409
0.0481
0.0566
0.0666
0.0783
0.092
0.1084
0.1275
0.15
P
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
可得 的期望
1.2 离散型随机变量的期望与方差
例题讲解
例4、证明：服从二项分布 的随机变量的期望
所以，
证明：
1.2 离散型随机变量的期望与方差
课堂小结
2．服从二项分布的随机变量的数学期望．
1．随机变量的数学期望的意义及其求法；
作业：
习题1.2 1、4、5、6
练习：
课堂后练习：1~6(共12张PPT)
数学归纳法
（二）
数学归纳法在整除问题、几何问题、归纳猜想问题
及不等式问题中的应用。
例4、用数学归纳法证明：42n+1+3n+2(n∈N )能被13整除。

证明：1）n=1时：4 2×1+1+31+2=91，能被13整除。
2）假设当n=k(k∈N )时, 42k+1+3k+2能被13整除，
当n=k+1时：42(k+1)+1+3(k+1)+2 = 4(2k+1)+2+3(k+2)+1
= 42k+1 16+3k+2 3
= 42k+1 16+3k+2 16-3k+2 16+3k+2 3
=16(42k+1+3k+2)-13 3k+2 …………( )
∵42k+1+3k+2及13 3k+2均能被13整除,∴( )式能被13整除。
∴ 42(k+1)+1+3(k+1)+2也能被13整除，即当n=k+1时命题仍成立。
由1）、2）可知，对一切n∈N 原命题均成立。
例5、用数学归纳法证明：x2n-y2n能被x+y整除(n为正整数)。
证明：1）n=1时：x2-y2=(x+y)(x-y),能被x+y整除，命题成立。
2）假设当n=k(k∈N )时有x2k - y2k能被x+y整除,
当n=k+1时：x2(k+1) - y2(k+1) = x2k+2 - y2k+2
= x2k x2 - y2k y2
= x2k x2 - y2k x2 + y2k x2 - y2k y2
=(x2k - y2k) x2 +y2k(x2 - y2) …………（ ）
∵ (x2k - y2k)和(x2 - y2)都能被x+y整除，
∴（ ）式也能被x+y整除。
由以上可知，对一切n∈N ， x2n-y2n都能被x+y整除。
例6、求证：当n取正奇数时，xn+yn能被x+y整除。
证明：1）n=1时：x1+y1=x+y，能被x+y整除，命题成立。
2）假设n=k(k为正奇数)时，有xk+yk能被x+y整除,
当n=k+2时:xk+2+yk+2
=xk x2 +yk y2
= xk x2+yk x2-yk x2 +yk y2
=(xk+yk) x2 - yk(x2-y2)
∵以上两项均能被x+y整除，∴xk+2+yk+2能被x+y整除，
即当n=k+2时命题仍成立。
=(xk+yk) x2 - yk(x-y)(x+y),
由1）、2）可知，对一切正奇数n，都有xn+yn能被x+y整除。
例7、平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何
三条不过同一点，求证交点个数是f(n)= n(n-1).
当n=k+1时：第k+1条直线分别与前k条直线各交于
一点，共增加k个点，
由1）、2）可知，对一切n∈N 原命题均成立。
证明：1）n=2时：两条直线交点个数为1,
而f(2)= ×2×(2-1)=1, ∴命题成立。
∴k+1条直线交点个数=f(k)+k= k(k-1)+k
= k(k-1+2)= k(k+1)= (k+1)[(k+1)-1]=f(k+1),
即当n=k+1时命题仍成立。
2）假设n=k(k∈N ,k≥2)时，k条直线交点个数为
f(k)= k(k-1),
例8、已知数列{an}中，a1= ,其前n项和Sn满足：
(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，猜想Sn，并证明。
当n=k+1时：
ak+1=Sk+1-Sk=S k+1+ +2


略解：S1=a1= ,S2= ,S3= ,S4= .
猜想：Sn= 。
证明：1）n=1时由前可知，公式成立。
2）假设当n=k(k∈N )时有：Sk= ,
∴当n=k+1时公式仍成立。由1）、2）可知，对一切n∈N 公式均成立。
例9、
∴ 当n=k+1时，不等式仍成立。
由1）、2）可知，对一切n∈N ，原不等式均成立。

练习：
1、求证：n3+5n能被6整除。
2、证明凸n边形对角线条数为f(n)= (n 4)。
3、数列{an}和{bn}满足an,bn,an+1成等差数列，bn,an+1,bn+1
成等比数列。已知a1=1,b1=2,a2=3,求a4,b4,并猜想an,bn,
用数学归纳法证明。
（3、 ）
小结数学归纳法的应用（之二）：
1、证明整除问题时注意构造的技巧，常用增项减项或拆项的
方法；
2、证明几何问题时注意理清n从k到k+1时几何量的变化情况；
3、“归纳猜想，然后证明其正确性”是一种常用的分析问题解
决问题的方法。
4、证明不等式时常用放缩法。
作业：
课本P66，P67。(共17张PPT)
复合函数的导数
一、复习与引入：
1. 函数的导数的定义与几何意义.
2.常见函数的导数公式.
3.导数的四则运算法则.
4.例如求函数y=(3x-2)2的导数,那么我们可以把平方式
展开,利用导数的四则运算法则求导.然后能否用其它
的办法求导呢
又如我们知道函数y=1/x2的导数是 =-2/x3,那么函数
y=1/(3x-2)2的导数又是什么呢
为了解决上面的问题,我们需要学习新的导数的运算法则,这就是复合函数的导数.
二、新课——复合函数的导数：
1.复合函数的概念:
对于函数y=f[ (x)],令u= (x),若y=f(u)是中间变量
u的函数, u= (x)是自变量x的函数,则称y=f[ (x)]
是自变量x的复合函数.
2.复合函数的导数:
设函数 在点x处有导数 ,函数y=f(u)在
点x的对应点u处有导数 ,则复合函数
在点x处也有导数,且 或记
如:求函数y=(3x-2)2的导数,我们就可以有,令y=u2,u
=3x-2,则 从而 .结果与我们利用导数的四则运算法则求得的结果完全一致.
在书写时不要把 写成 ,两者是不完全一样的,前者表示对自变量x的求导,而后者是对中间变量 的求导.
3.复合函数的求导法则:
复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间
变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数.
法则可以推广到两个以上的中间变量.
求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关系,合理选定中间变量,明确求导过程中每次是哪个变量对哪个变量求导,一般地,如果所设中间变量可直接求导,就不必再选中间变量.
复合函数的求导法则与导数的四则运算法则要有机的结合和综合的运用.要通过求一些初等函数的导数,逐步掌握复合函数的求导法则.
三、例题选讲：
例1:求下列函数的导数:
解:设y=u5,u=2x+1,则:
解:设y=u-4,u=1-3x,则:
解:设y=u-4,u=1+v2,v=sinx,则:
说明:在对法则的运用熟练后,就不必再写中间步骤.
例2:求下列函数的导数:(1)y=(2x3-x+1/x)4;
解:
(3)y=tan3x;
解:
(2)
解:
(4)
解:
(5):y=sin2(2x+π/3)
法一:
法二:
练习1:求下列函数的导数:
答案:
例3:如果圆的半径以2cm/s的等速度增加,求圆半径R=
10cm时,圆面积增加的速度.
解:由已知知:圆半径R=R(t),且 = 2cm/s.
又圆面积S=πR2,所以
=40π(cm)2/s.
故圆面积增加的速度为40π(cm)2/s.
例4:在曲线 上求一点,使通过该点的切线平行于
x轴,并求此切线的方程.
解:设所求点为P(x0,y0).则由导数的几何意义知:
切线斜率
把x0=0代入曲线方程得:y0=1.
所以点P的坐标为(0,1),切线方程为y-1=0.
例5:求证双曲线C1:x2-y2=5与椭圆C2:4x2+9y2=72在交
点处的切线互相垂直.
证:由于曲线的图形关于坐标轴对称,故只需证明其中一
个交点处的切线互相垂直即可.
联立两曲线方程解得第一象限的交点为P(3,2),不妨
证明过P点的两条切线互相垂直.
由于点P在第一象限,故由x2-y2=5得
同理由4x2+9y2=72得
因为k1k2=-1,所以两条切线互相垂直.从而命题成立.
例6:设f(x)可导,求下列函数的导数:
(1)f(x2);(2)f( );(3)f(sin2x)+f(cos2x)
解:
说明:对于抽象函数的求导,一方面要从其形式是把握其
结构特征,另一方面要充分运用复合关系的求导法
则.
我们曾经利用导数的定义证明过这样的一个结论:
“可导的偶函数的导函数为奇函数;可导的奇函数的导函数为偶函数”.现在我们利用复合函数的导数重新加以证明:
证:当f(x)为可导的偶函数时,则f(-x)=f(x).两边同时对x
求导得: ,故 为
奇函数.
同理可证另一个命题.
我们还可以证明类似的一个结论:可导的周期函数的导函数也是周期函数.
证:设f(x)为可导的周期函数,T为其一个周期,则对定义
域内的每一个x,都有f(x+T)=f(x).
两边同时对x求导得: 即
也是以T为周期的周期函数.
例7:求函数 的导数.
说明:这是分段函数的求导问题,先根据各段的函数表达
式,求出在各可导(开)区间的函数的导数,然后再用
定义来讨论分段点的可导性.
解:当x≠1时, .
又 ,故f(x)在x=1处连续.
而
从而f(x)在x=1处不可导.
四、小结：
利用复合函数的求导法则来求导数时,选择中间变
量是复合函数求导的关键.必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的,分清其间的复合关系.要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体,
这个暂时的整体,就是中间变量.求导时需要记住中间变量,注意逐层求导,不遗漏,而其中特别要注意中间变量的系数,求导后,要把中间变量转换成自变量的函数.
在上面的例子中涉及到了二次曲线在某点的切线
问题,但在上面的解法中回避了点在第二、三、四象限
的情况.可能有同学会提出对于二次曲线在任意点的切线怎样求的问题,由于它涉及到隐函数的求导问题.我们不便去过多的去研究.
下面举一个例子使同学们了解一下求一般曲线在任意点的切线的方法.(说明:这个内容不属于考查范围.)
例子:求椭圆 在点 处的切线方程.
解:对椭圆方程的两边分别求导(在此把y看成是关于x
的函数)得:
于是所求切线方程为:
备用
利用上述方法可得圆锥曲线的切线方程如下:
(1)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P0(x0,y0)的切线方程是:
(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.
(2)过椭圆 上一点P0(x0,y0)的切线方程是:
(2)过椭圆 上一点P0(x0,y0)的切线方程是:
(4)过抛物线y2=2px上一点P0(x0,y0)的切线方程是:y0y
=p(x+x0).
(3)过双曲线 上一点P0(x0,y0)的切线方程是:
证:设x有增量Δx,则对应的u,y分别有增量Δu, Δy.
因为 在点x处可导,所以 在点x处连续.因此当Δx →0时, Δu →0.
当Δu≠0时,由 ,且 得:
当Δu=0时,公式也成立.
上面的证明其实不是一个很严格的证明,而且中间还会有不少的疑问,譬如, Δu=0时公式也成立, 怎样去理解;Δx →0时与Δu →0时的极限相等问题等等.因此同学们只要了解公式证明中的基本思想和方法即可,不必过多的去深究证明的过程.因为事实上,还有更严格的证明.(共21张PPT)
随机变量的
分布列、期望、方差
应 用 题
考点解说：
1：概率统计是高考的重点，前几
年的考题常以填空题的形式出现，
难度不大，但涉及的知识点均有可
能考到，今年不排出考大题的可能,
深圳一模以及前一周的模拟考都
考了大题----应用题，主要是考分布
列、期望、方差。下面我们就来学习
这种类型题的解法。
求期望
识记期望公式
1）E ξ=X1P1+X2P2+…+XnPn+,…
2）若η=aξ+b,则Eη=a Eξ+b
3)若ξ-B（n,p)则Eξ=np
重点知识回顾
求方差
识记方差公式
1)Dξ=(X1- E ξ)2P1+(X2 - E ξ)2 P2
+…+(Xn - E ξ )2Pn+…
2）若η=aξ+b,
则Dη=a2Dξ
3)若ξ-B（n,p)
则Dξ=npq (q=1-p)
例1：已知ξ
的分布列为
ξ -1 0 1
P 1/2 1/3 1/6
求（1）E ξ、D ξ
（2）设η=2ξ+3.求E ξ、D ξ
例题选讲
动笔
解：E ξ=(-1) (1/2)+0 ×(1/3)+
1 × (1/6) = -（1/3），
总结
重点知识回顾
1：分布列
说明：分布列是求期望和方差 的基础。必须要会
2：求离散型随机变量的分布
列的步骤
1）审题目的问句找出随机变量
2）找出随机变量ξ的所有可能的
取值Xi (i =1,2,3,…,n,…)按一
定次序填写到第一行。（难点）
3）求出各取值的概率P(ξ=Xi)
(i =1,2,3,…,n,…)(难点）
4)列出表格。
例2：设一口袋中有依次标有
-1，2，2，2，3，3数字的六
个球，从这袋中任取一球，求
取得的球上标有的数字的分布列
思考：1：确定什么为随机变量？
2：随机变量ξ可能取值是什么？
3：取各个值的概率是多少？
P(ξ =-1)= P(ξ =2)=
p(ξ =3)= 解题过程
3)解题过程怎么写（识记）
解：设所取球的数字为ξ，则
ξ的可能取值是-1，2，3
由于取这六个球的任一个的概
率均为1/6所以P(ξ =-1)=
P(ξ =2)= p(ξ =3)= 所以ξ
的分布列
ξ -1 2 3
P 1/6 1/2 1/3
例题3：某厂有两个独立的科
研小组，各自都在进行一个新产
品开发研究，若第一组新产品开发成功，则除去用掉的科研经费500万元外，还可给该厂带来6000万元的利润，若第二组成功，除用去科研经费200万元外，也能可给该厂带来4000万利润。如果某一项目失败，则该项目不但
不能产生利润，科研经费也消耗尽。又已知两个科研小组开发新产品成功的概率都是0.5, 求这两个科研小组给该厂带来利润的期望值.
解：设两个科研小组给该厂带来的利润总和为ξ万元，设事件A表示第一科研小组新产品开发成功，事件B表示第二科研小组新产品开发成功。则P (AB) = P (AB) =P (AB)=P (AB)=1/4
ξ的分布列：
ξ 10000 5800 3500 －700
p 1/4 1/4 1/4 1/4
∴Eξ=（10000+5800+3500－700）×(1/4)= 4650 （万元）
答：这两个科研小组给该厂带来的利润的期望值为4650万元.
例4、某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E发生，该公司要赔偿 a元，设在一年内E发生的概率为p ，为使公司的收益的期望值等于a 的百分之十，公司应要求顾客交多少保险金？
解：设保险公司要求顾客交x元保险金，若以ξ表示公司每年的收益额，则ξ的分布列为： ∵公司每年收益ξ
的期望值为:Eξ=
X(1-p)+(x-a)p=x-ap 要使公司收益的期望值等于10%a ， ∴Eξ=10% a 即 x-ap=0.1a 答：顾客交的保险金为 (0.1+p)a时，可使公司收益的期望值为10%a 元.
ξ x X-a
p 1-p p
月考题：据气象预报，某地区下个月有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01。设工地上有一台大型设备，为保护设备有以下三种方案。方案1：运走设备，些时需花费3800元。方案2：建一保护围墙，需花费2000元，但围墙无法防止大洪水，当大洪水来临，设备受损，损失费为60000元。方案3：不采取措施，希望不发生洪水，此时大洪水来临损失60000元，小洪水来临损
失为10000元。
试比较哪一种方案好
解：方案2需花费的期望为2000+
0.01×60000+0.99 ×0=2600（元）
方案3需花费的期望为0.01 ×60000+
0.25 ×10000+0.74 ×0=3100(元）
而方案1需花费3800元，故采取方案2比较好。
小结：随机变量的分布列、期
望、方差的应用题重在求分布列
2：求离散型随机变量的分布
列的步骤
1）审题目的问句找出随机变量
2）找出随机变量ξ的所有可能的
取值Xi (i =1,2,3,…,n,…)按一
定次序填写到第一行。（难点）
3）求出各取值的概率P(ξ=Xi)
(i =1,2,3,…,n,…)(难点）
4)列出表格。
3：应用公式求出期望、方差(共21张PPT)
1.5 正态分布
1.正态分布与正态曲线
2.正态分布的期望与方差
3.正态曲线
X
Y
X
Y
例题1.下列函数是正态密度曲线的是（ ）.
5.标准正态分布
7.标准正态分布与一般正态分布的关系:
EX:已知总体服从正态分布N(120,12.96),
求满足下列条件的个体在总体中所占
的比例:
(1)数值不大于129;
(2)数值大于108;
(3)数值在112.8与123.6之间.
8.假设检验的基本思想与生产过程中质量控制图
产)