课件19张PPT。第8章 统计与概率 8．1 随机对照试验 引例（坏血病的研究）17世纪初期，长期在海上航行的水手经常患坏血病。英国海军部试图考察坏血病的病因。他们怀疑这是因为水手缺乏水果造成的。当时想法提出时，刚好有四艏军舰要远航，海军部随机安排了一艘军舰上的士兵明天喝柑橘汁，另外3艘不提供 实验结果是：航行还没有结束，没有提供柑橘的水手多数得了坏血病，而提供的军舰上没有发现坏血病。
尽管本次实验的计划还不非常完善，但实验的结果成功地证实了最初的怀疑。
试想在本案例中，如果安排喜欢喝柑橘果汁的水兵为一组，喜欢喝啤酒的士兵在对照组，就不能确定研究开始前这2组水兵的身体状况是否有差异。水兵的身体状况差异也可能影响是否得坏血病。1．随机对照试验方法
把实验对象随机分成试验组和对照组，对实验结果进行分析．2．随机对照试验中应注意的事项：①有合理的样本容量；②试验必须有试验组和对照组；③试验组和对照组的成员是随机选取，保证每个参加试验的对象进入试验组的机会均等；④试验组和对照组必须同时开展，试验的条件和环境必须保持一致，且试验期限一致；⑤除试验设计人员外任何人都不知道哪个是试验组，哪个是对照组；⑥一般情况下，对照组要使用安慰剂．
3．随机对照试验的原理：①用样本估计总体；②对从试验组收集上来的试验结果作出客观的评价．
1 .收集数据的方法有：从 中进行抽样；从 中得到 数据．
2.为了能客观分析评价试验结果，可以把试验对象分为
和 ．
3 .随机对照试验： 选取试验组
的 叫随机对照试验．随机选取对照组是十分必要的，否则可能得出错误的结论． 总体试验观测试验组对照组随机对照试验
4 .随机对照试验中的试验组和对照组除试验组使用某一特定的条件外，两组的 一样长短；除试验设计人员外， 都不知道哪个组是试验组，哪个组是对照组．
5 .安慰剂：把 中的处理方法(让试验人员和对照组成员迷惑分不清楚哪组是试验组，哪组是对照组)叫安慰剂．试验期试验人员和参加试验的对象对照组问题1：如何安排随机对照试验？
提示 把试验对象随机分成试验组和对照组，以保证能客观分析评价试验结果，为了得到更真实的结果，有时还需要其他的手段配合．
1．在班会课上，优秀班干部的评选，哪种方式更能体现学生的正确观点 ( )．
A．采用无记名投票
B．抛硬币看正面朝上的多少
C．采用记名投票
D．举手表决
答案 A练习：
2．关于随机对照试验下列说法正确的是 ( )． A．试验对象可以根据主观意愿选取
B．可以让参加试验的对象知道自己分到哪一组：试验组 还是对照组
C．随机对照试验中包括试验组和对照组
D．对于对照组任其自然最科学
答案 C3．为了检测某种疫苗对治疗某种疾病的疗效，采用随机对照的研究方案，对每一个参加试验的对象①方法决定是否将他编入试验组，随机形成试验组和对照组，给对照组的成员注射生理盐水，在试验中称为②，它的作用是③.
答案 ①用类似投掷硬币或者随机抽样；②安慰剂；③避免试验人员和参加者的心理作用影响试验结果
4．在随机对照试验中，要把试验对象________分成试验组和对照组，以使得到结果更真实．
答案 随机
题型一 概念辨析
【例1】 下列说法中正确的有________．
①随机对照试验中，试验对象为奇数个；
②试验组和对照组可以分开开展研究，先做一组，再做另外一组；
③试验组和对照组的试验期的长短可以不同；
④有合适的样本容量，样本容量不能太少也不能太多；
⑤随机对照试验中的试验组的选取应保证随机性．解析 ①错．因为随机对照试验中，试验对象个数不确定，只要试验对象有对照即可；
②错．随机对照试验中试验组和对照组必须同时开展研究，保证条件和环境保持一致；
③错．试验组和对照组的试验期一样才有说服力；
④对．随机对照试验中样本容量太少不能达到试验的目的，也不能太多造成人力物力等资源方面的浪费，也没有必要；
⑤对．
答案 ④⑤
方法点评 概念辨析题要深刻理解相关概念，抓住概念中的关键词，进行判断．【训练1】 下列说法正确的是 ( )．
A．在统计学中，为了对一些现象进行合理的分析，有时需要利用随机对照试验
B．在随机对照试验中，可进行无对照试验组的试验
C．在教材案例1中，应全部安排喜欢喝橘汁的水兵在试验组
D．在随机对照试验中安慰剂对结果没有影响，所以不必使用安慰剂
答案 A题型二 随机对照试验
【例2】 携带肝炎病毒血液检查呈阳性的人越来越多，而且这些人在某些行业就业受到限制，许多研究机构争相研制一种治疗该病毒使血液检查呈阳性转为阴性的新药．某药厂宣称成功研制出一种新药丸能治愈肝炎病毒使血液检查呈阳性转为阴性并即将进行临床试验，你能为即将进行的临床试验设计一个实验方案吗？解 通过广泛宣传，招募携带肝炎病毒血液检查呈阳性的志愿者，设计随机对照试验方案，对参与临床试验的志愿者采用随机抽样的方式确定哪些志愿者在试验组，哪些在对照组，除试验设计人员外，没有人知道哪个志愿者分到哪一个组，给试验组成员使用新药，给对照组成员使用与该药形状大小外观以及药的味道完全相同的对身体没有任何影响的药丸，在试验期内对参与临床试验的志愿者认真观察并作好记录，在试验期结束后对收集上来的试验结果作出客观的判断．
方法点评 随机对照试验要做到随机抽取样本，确定合理的样本容量；将抽取到的样本随机分组：试验组和对照组；对对照组要合理使用安慰剂；保证试验人员不知道对象是来自试验组还是对照组，同时保证参加试验的对象不知道自己是分到试验组还是对照组，排除试验人员和参加试验的对象的心理因素的影响．【训练2】 为了评价某一种治疗心脑血管疾病的按摩仪的疗效，请你设计一个随机对照试验方案．
解 通过广泛宣传，招募患有心脑血管疾病的志愿者，设计随机对照试验方案．对参与试验的志愿者采用随机抽样的方式确定哪些志愿者在试验组，哪些在对照组，除试验设计人员外，没有人知道哪个志愿者分到哪一个组，给试验组成员使用治疗心脑血管疾病的按摩仪，给对照组成员使用与治疗心脑血管疾病的按摩仪外观安全相同的普通按摩仪，在试验期内对志愿者认真观察并作好记录，试验期结束后对收集上来的试验结果作出客观的判断．【例3】 在研究新鲜芦荟外敷对治疗静脉炎的效果时，按随机原则将88例静脉炎患者随机分为试验组和对照组．其中试验组46例，对照组42例．两组患者在年龄、性别、病种、静脉炎程度等方面具有可比性．护理措施：试验组采用捣碎的新鲜芦荟外敷，每天3～4次，每次1小时．对照组采用捣碎的新鲜白菜叶(对治疗静脉炎无效果，但告诉试验者也是芦荟)外敷，每天3～4次，每次1小时．根据自定疗效标准，分为痊愈、显效、有效和无效，研究结果如下表：(1)该试验中是否使用了安慰剂？其作用是什么？
(2)你认为新鲜芦荟外敷对治疗静脉炎是否有效？ 解 (1)本试验中对照组使用捣碎的新鲜白菜叶对患者外敷就是安慰剂，其作用是消除心理因素对试验结果的影响，以保证试验结果的可靠性．
(2)从表中可以看出试验组和对照组的治疗效果存在较大差异．由于97.83和50的差别超出了随机性本身所能解释的范围，所以认为新鲜芦荟外敷对治疗静脉炎是有效的．方法点评 评价随机对照试验结果，要从比较试验组和对照组结果上进行分析，若结果差别不大，说明试验未取得效果，若结果差别较大超出了随机性本身所能解释范围，说明试验是成功的．课件17张PPT。8.1随机对照试验案例：为检查某种疫苗是否有效，采用如下试验方案
1、将试验人群随机分成两个组
2、其中一个组注射疫苗
3、另一个组注射生理盐水
得到试验结果如下———试验组———对照组安慰剂避免心理作用影响试验结果结论：疫苗有效根据下面的案例，说出随机对照试验的特点有明显变化是否“疫苗”在起作用1、将若干高血压病人随机平分成两个组
2、试验组：每日吃一定量掺有瓜子粉的面粉
3、对照组：另一个组注射未掺瓜子粉的面粉有人说“高血压病人常吃瓜子对降低血压有明显效果”，请设计一个随机对照试验的方案来验证这个人的说法是否正确，观察试验组、对照组中患者血压变化情况是否明显如果试验结果试验组的患者血压有普遍下降，而对照组中患者未见变化，说说法正确，否则说法不正确一个试验中的每个可能的结果称为试验的 ，
该试验元素构成的集合称为试验的 ，
称Ω的子集为 。试验的全集Ω中有有限个元素，A如果Ω中每个元素发生的可能性相同，则A发生的概率为：【回顾和复习】——古典概型8.2.1概率加法公式元素全集记作Ω 。事件例1：将一个骰子抛掷一次，求向上的数小于３的概率？Ω=｛1，2，3，4，5，6｝｛1，2｝A=事件A，B的并集称为它们的并事件或和事件，
记作：A∪B或A+B，
表示事件A、B至少有一个发生的事件【回顾和复习】事件A，B的交集称为它们的交事件或积事件，
记作：A∩B或AB，
表示事件A、B同时发生的事件并事件(和事件)事件的关系与运算 AB交事件(积事件)B A【回顾和复习】当A∩B＝Φ，称这事件A、B是互斥事件，
即当两个事件不能同时发生时，称为互斥事件互斥事件当A∩B＝Φ且A∪B＝Ω ，称事件A、B是对立事件，
对立事件有且只有一个发生
对立事件一定互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件对立事件事件的关系与运算2. 从40张扑克牌（四种花色从1~10 各10 张）中任取一张
①“抽出红桃”和“抽出黑桃”
②“抽出红色牌”和“抽出黑色牌”
③“抽出的牌点数为5 的倍数”和“抽出的牌点数大于9”1.从一堆产品（其中正品与次品都多于2个）中任取2件？
① A1={恰有一件次品}， A2={恰有两件次品} ；
② B1={至少有一件次品}， B2={全部都是次品} ；
③ C1={至少有一件次品}， C2={至少有一件正品}，
④ D1={至少有一件次品}， D2={全是正品}练习：判别下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件。【回顾和复习】推广：如果的事件A1、A2、A3、…、An两两互斥，则概率加法公式若A、B是互斥事件实质：将事件分类，其概率为各类事件发生概率的和概率加法公式例1：某人每天打出k次电话的概率Pk如下：如果每打一个电话0.2元，计算：
（1）明天用0.6元电话费的概率
（2）明天用的电话费超过1元概率
（3）明天用的电话费不超过1元概率正面求解分类较多，可转化为求其对立事件的概率例2：甲乙两人参加科普知识竞赛，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道，甲乙两人依次各抽一道题，求下列事件的概率
（1）事件A：甲抽到选择题，乙抽到判断题
（2）事件B：其中一人抽到选择题，另一人抽到判断题（3）事件C：甲乙两人中至少有一人抽到选择题概率加法公式计算概率可以直接计算事件包含的元素个数
也可先将事件进行分类，然后求各类事件的概率之和“至少1个”、“至多1个”等问题常先求其对立事件的概率例3：某射手在一次射击中命中9环的概率是0.28，命中8环的概率是0.19，不够8环的概率是0.29，计算这个射手在一次射击中命中9环或者10环的概率例4 小王参加“智力大冲浪”游戏, 他能答出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2, 两类问题都能答出的概率为0.1. 求小王
(1) 答出甲类而答不出乙类问题的概率
(2) 至少有一类问题能答出的概率
(3) 两类问题都答不出的概率2、从３台甲型彩电和２台乙型彩电中任选２台，
其中两种品牌的彩电都齐全的概率是（ ）
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ. 1、 有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任取3个，那么至少有1个是一等品的概率是（ ）
A. B.
C. D.课堂练习4.一个口袋里有2个红球和8个黄球，从中随机地连取3个，每次取1个，记事件A=“第3个为红球”，记事件B=“恰好有1个红球”，在下列条件下求事件A、B的概率
（1）不放回的选取
（2）有放回地选取3.袋中有80个红球和20个白球，从中随机地连取10个，则其中恰好有6个红球的概率是 。5.从1，2，3，4，5五个数字中，任意有放回地连续抽取三个数字，求下列事件的概率
（1）三个数字完全不同
（2）三个数字不含1和5
（3）三个数字中5恰好出现两次6.如图在三角形的每条边上各取三个分点，以这9个点可画出若干人三角形，若从中任意取一个三角形，则其三个顶点分别落在原三角形三条不同边上的概率为 。 7.某人有5把不同的钥匙，开某个门时忘记是哪一把了，现从中依次不重复地取出钥匙开锁，求下列事件的概率
（1）恰好第二次把门打开
（2）三次以内(含三次)把门打开
（3）至少开了二次才把门打开8.随意安排甲、乙、丙3人在3天的节日中值日，每人值班一天，那么甲排在乙的前面的概率是多少？9.某班有50人，其中35人选修A课程，另外15人选修B课程，从该班中任意选取2人，求他们选修不同课程的概率10.某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景点的可能性相等，求
（1）3个景点都有部门选择的概率
（2）恰好有2个景点都有部门选择的概率11.从10个人中任选4人参加4×100接力赛，其中甲不能跑第一棒，乙跑最后一棒的概率是多少？12.排一张有五个独唱和三个合唱的节目表，合唱不排头且任何两个合唱不相邻的概率是多少？13. 6个白球和3个红球分放到不同的三个盒子中，每个盒子放3个，求其中一个盒子恰好三个红球的概率14.现从5名男生，4名女生中任选5人分别担任语文、数学、英语、物理、化学科代表，求恰有3名男生和2名女生的概率2.某小组16名学生，男生、女生各半，把全组学生平均分成人数相等的两个小组，求（1）分得每个小组里男、女人数相同的概率（2）其中甲乙两人分在同一小组的概率1.有A、B两个口袋，A袋中有4个白球，2个黑球，B袋中有3个白球，4个黑球，从A、B两个口袋各取2个球交换后，求A袋中装有4个白球的概率。作业：课件13张PPT。推广：如果的事件A1、A2、A3、…、An两两互斥，则概率加法公式若A、B是互斥事件实质：将事件分类，其概率为各类事件发生概率的和概率加法公式BD概率加法公式D例2：甲乙两人参加科普知识竞赛，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道，甲乙两人依次各抽一道题，求下列事件的概率
（1）事件A：甲抽到选择题，乙抽到判断题
（2）事件B：其中一人抽到选择题，另一人抽到判断题（3）事件C：甲乙两人中至少有一人抽到选择题概率加法公式计算概率可以直接计算事件包含的元素个数
也可先将事件进行分类，然后求各类事件的概率之和“至少1个”、“至多1个”等问题常先求其对立事件的概率例3：某射手在一次射击中命中9环的概率是0.28，命中8环的概率是0.19，不够8环的概率是0.29，计算这个射手在一次射击中命中9环或者10环的概率例4 小王参加“智力大冲浪”游戏, 他能答出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2, 两类问题都能答出的概率为0.1. 求小王
(1) 答出甲类而答不出乙类问题的概率
(2) 至少有一类问题能答出的概率
(3) 两类问题都答不出的概率2、从３台甲型彩电和２台乙型彩电中任选２台，
其中两种品牌的彩电都齐全的概率是（ ）
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ. 1、 有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任取3个，那么至少有1个是一等品的概率是（ ）
A. B.
C. D.课堂练习DC4.一个口袋里有2个红球和8个黄球，从中随机地连取3个，每次取1个，记事件A=“第3个为红球”，记事件B=“恰好有1个红球”，在下列条件下求事件A、B的概率
（1）不放回的选取
（2）有放回地选取3.袋中有80个红球和20个白球，从中随机地连取10个，则其中恰好有6个红球的概率是 。5.从1，2，3，4，5五个数字中，任意有放回地连续抽取三个数字，求下列事件的概率
（1）三个数字完全不同
（2）三个数字不含1和5
（3）三个数字中5恰好出现两次6.如图在三角形的每条边上各取三个分点，以这9个点可画出若干个三角形，若从中任意取一个三角形，则其三个顶点分别落在原三角形三条不同边上的概率为 。 7.某人有5把不同的钥匙，开某个门时忘记是哪一把了，现从中依次不重复地取出钥匙开锁，求下列事件的概率
（1）恰好第二次把门打开
（2）三次以内(含三次)把门打开
（3）至少开了二次才把门打开8.随意安排甲、乙、丙3人在3天的节日中值日，每人值班一天，那么甲排在乙的前面的概率是多少？（4）如果5把内有2把房门钥匙，那么三次内打开的概率是多少？ 9.某班有50人，其中35人选修A课程，另外15人选修B课程，从该班中任意选取2人，求他们选修不同课程的概率10.某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景点的可能性相等，求
（1）3个景点都有部门选择的概率
（2）恰好有2个景点都有部门选择的概率11.排一张有五个独唱和三个合唱的节目表，合唱不排头且任何两个合唱不相邻的概率是多少？作业：课件14张PPT。8.2.2条件概率（一）我们知道求事件的概率有加法公式：注:
1.事件A与B至少有一个发生的事件叫做A与B的
和事件,记为 (或 );3.若 为不可能事件,则说事件A与B互斥.复习引入：若事件A与B互斥，则.那么怎么求A与B的积事件AB呢?2.事件A与B都发生的事件叫做A与B的积事件,记为 (或 );思考1：掷一个骰子，已知掷出了奇数，求这个奇数是3的概率。P(B |A)相当于把Ａ看作新的
基本事件空间求Ａ∩Ｂ发生的
概率思考2？ 对于上面的事件A和事件B，P(B|A)与它们的概率有什么关系呢？1.条件概率
对任意事件A和事件B，在已知事件A发生的条件下事件B发生的条件概率”，叫做条件概率。 记作P(B |A).基本概念2.条件概率计算公式:引例:
掷红、蓝两颗骰子。
设事件A=“蓝色骰子的点数为3或6”
事件B=“两颗骰子点数之和大于8”
求(1)P(A)，P(B)，P(AB)
(2)在“事件A已发生”的附加条件下事件Ｂ发生 的概率？
(3)比较(2)中结果与P(B)的大小及三者概率之间关系
3.概率 P(B|A)与P(AB)的区别与联系基本概念小试牛刀：
例1在6道题中有4道理科题和2道文科题，如果不放回
的依次抽取2道题
（1）第一次抽到理科题的概率
（2）第一次与第二次都抽到理科题的概率
（3）第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科
题的概率.
练习 抛掷两颗均匀的骰子，已知第一颗骰子掷
出6点，问：掷出点数之和大于等于10的概率。变式 ：抛掷两颗均匀的骰子，已知点数不同，求至少
有一个是6点的概率？例 2 考虑恰有两个小孩的家庭.（1）若已知某一家有一个女孩，求这家另一个是男孩的概率；（2）若已知某家第一个是男孩，求这家有两个男孩（相当于第二个也是男孩）的概率.（假定生男生女为等可能） 例 3 设P(A|B)=P(B|A)= ,P(A)= ,求P(B).例4 盒中有球如表. 任取一球 若已知取得是蓝球,问该球是玻璃球的概率.变式 :若已知取得是玻璃球,求取得是篮球的概率.练一练1.某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的概率为0.56，求现年为20岁的这种动物活到25岁的概率。解 设A表示“活到20岁”(即≥20)，B表示“活到25岁” (即≥25)则 所求概率为 0.560.752.抛掷一颗骰子,观察出现的点数B={出现的点数是奇数}＝｛１，３，５｝A={出现的点数不超过3}＝｛１，２，３｝ 若已知出现的点数不超过3，求出现的点数是奇数的概率 解：即事件 A 已发生，求事件 B 的概率 也就是求：Ｐ（B｜A） A B 都发生，但样本空间缩小到只包含A的样本点3. 设 100 件产品中有 70 件一等品，25 件二等品，规定一、二等品为合格品．从中任取1 件，求 (1) 取得一等品的概率；(2) 已知取得的是合格品，求它是一等品的概率． 解设B表示取得一等品，A表示取得合格品，则 （1）因为100 件产品中有 70 件一等品， （2）方法1：方法2： 因为95 件合格品中有 70 件一等品，所以作业：P55 习题3课件11张PPT。8.2.2条件概率（二）1.条件概率
设事件A和事件B，且P(A)>0,在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率。 记作P(B |A).复习回顾2.条件概率计算公式:注（1）对于古典概型的题目，可采用缩减样本空间的办法计算条件概率 ；
（2）直接利用定义计算： 复习回顾3、条件概率的性质：
（1）
（2）如果B和C是两个互斥事件，那么4.概率 P(B|A)与P(AB)的区别与联系练习、 1、5个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，不放回的取两次，求：
（1）第一次取到新球的概率；
（2）第二次取到新球的概率；
（3）在第一次取到新球的条件下第二次取到新球的概率。2、一只口袋内装有2个白球和3个黑球，那么
（1）先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是多少？
（2）先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率是多少？例 1 某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的概率为0.56，求现年为20岁的这种动物活到25岁的概率。解 设A表示“活到20岁”(即≥20)，B表示“活到25岁” (即≥25)则 所求概率为 例 2 一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0—9中任选一个。某人在银行自动取款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：
（1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；
（2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按
对的概率。 例 3甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，问：
（1）乙地为雨天时，甲地为雨天的概率为多少？
（2）甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率为多少？例 4 设 100 件产品中有 70 件一等品，25 件二等品，规定一、二等品为合格品．从中任取1 件，求 (1) 取得一等品的概率；(2) 已知取得的是合格品，求它是一等品的概率． 解设B表示取得一等品，A表示取得合格品，则 （1）因为100 件产品中有 70 件一等品， （2）方法1：方法2： 因为95 件合格品中有 70 件一等品，所以例 5一个箱子中装有2n 个白球和（2n-1）个黑球，一次摸出个n球.
(1)求摸到的都是白球的概率；
(2)在已知它们的颜色相同的情况下，求该颜色是白色的概率。例 6 如图所示的正方形被平均分成9个部分，向大正方形区域随机的投掷一个点（每次都能投中），设投中最左侧3个小正方形的事件记为A，投中最上面3个小正方形或中间的1个小正方形的事件记为B，求 P(A|B)。作业：课件20张PPT。8.2.3事件的相互独立性（一）①什么叫做互斥事件？什么叫做对立事件？②两个互斥事件A、B有一个发生的概率公式是什么？不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；如果两个互斥事件有一个发生时另一个必不发生，这样的两个互斥事件叫对立事件.P(A+B)=P(A)+(B)P(A)+P(ā)=1(4).条件概率
设事件A和事件B，且P(A)>0,在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率。 记作P(B |A).(5).条件概率计算公式:注意条件：必须 P(A)>0下面看一例
在大小均匀的5个鸡蛋中有3个红皮蛋，2个白皮蛋，每次取一个，有放回地取两次，求在已知第一次取到红皮蛋的条件下，第二次取到红皮蛋的概率。 我们知道，当事件A的发生对事件B的发生有影响时，条件概率P(B|A)和概率P(B)一般是不相等的，但有时事件A的发生，看上去对事件B的发生没有影响，比如依次抛掷两枚硬币的结果（事件A）对抛掷第二枚硬币的结果（事件B）没有影响，这时P(B|A)与P(B)相等吗？1、事件的相互独立性相互独立事件及其同时发生的概率设A，B为两个事件，如果 P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事件B相互独立。
即事件A（或B）是否发生,对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件。注：
①区别：互斥事件和相互独立事件是两个不同概念：两个事件互斥是指这两个事件不可能同时发生；
两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响。相互独立2、相互独立事件同时发生的概率公式：“第一、第二次都取到红皮蛋”是一个事件，它的发生就是事件A,B同时发生，将它记作A?B 这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件的概率的积。一般地，如果事件A1，A2……，An相互独立，那么这n个
事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P（A1·A2……An）=P（A1）·P（A2）……P（An）两个相互独立事件A,B同时发生,即事件A?B发生的概
率为： 试一试 判断事件A, B 是否为互斥, 互独事件? 1.篮球比赛 “罚球二次” . 事件A表示“ 第1球罚中”,
事件B表示“第2球罚中”.2.篮球比赛 “1+1罚球” . 事件A表示 “ 第1球罚中”,
事件B表示 “第2球罚中”.3.袋中有4个白球, 3个黑球, 从袋中依此取2球.
事件A:“取出的是白球”.事件B:“取出的是黑球”
( 不放回抽取)4.袋中有4个白球, 3个黑球, 从袋中依此取2球.
事件A为“取出的是白球”.事件B为“取出的是白球”.
( 放回抽取)A与B为互独事件A与B不是互独事件A与B为互独事件A与B为非互独也非互斥事件例1 某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券。奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05 ,求两次抽奖中以下事件的概率：
（1）都抽到某一指定号码；
（2）恰有一次抽到某一指定号码；
（3）至少有一次抽到某一指定号码。例2 甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人
击中目标的概率都是0.6，计算：（1）两人都击中目标的概率；解：(1) 记“甲射击1次,击中目标”为事件A.“乙射 击1次,击中目标”为事件B.答：两人都击中目标的概率是0.36
且A与B相互独立，又A与B各射击1次,都击中目标,就是事件A,B同
时发生，根据相互独立事件的概率的乘法公式,得到P(A?B)=P(A) ?P(B)=0.6×0.6＝0.36例2 甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人击中目标的概率都是0.6，计算：(2) 其中恰有1人击中目标的概率？解：“二人各射击1次，恰有1人击中目标”包括两种情况:一种是甲击中, 乙未击中（事件 ）答：其中恰由1人击中目标的概率为0.48. 根据互斥事件的概率加法公式和相互独立
事件的概率乘法公式，所求的概率是 另一种是
甲未击中，乙击中（事件ā?B发生）。例2 甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人击中目标的概率都是0.6，计算：（3）至少有一人击中目标的概率.解法1:两人各射击一次至少有一人击中目标的概率是解法2：两人都未击中的概率是答：至少有一人击中的概率是0.84.巩固练习生产一种零件，甲车间的合格率是96%,乙车间的合格率
是97％,从它们生产的零件中各抽取1件，都抽到合格品
的概率是多少？ 解：设从甲车间生产的零件中抽取1件得到合格品为
事件A，从乙车间抽取一件得到合格品为事件B。那么，
2件都是合格品就是事件A?B发生，又事件A与B相互独
立，所以抽到合格品的概率为答：抽到合格品的概率是例3 在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在某段时间内每个开关闭合的概率都是0.7,计算在这段时间内线路正常工作的概率. 由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相
互之间没有影响。所以这段事件内线路正常工作的概率是答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973解：分别记这段时间内开关 能够闭合为事件A,B,C. 根据相互独立事件的概率乘法式这段时间内3个开关都不能闭合的概率是 巩固练习1、分别抛掷2枚质地均匀的硬币，设A是事件“第1枚为正面”，B是事件“第2枚为正面”，C是事件“2枚结果相同”。问：A，B，C中哪两个相互独立？巩固练习 2、在一段时间内，甲地下雨的概率是0.2，乙地下雨
的概率是0.3，假定在这段时间内两地是否下雨相互
之间没有影响，计算在这段时间内：
（1）甲、乙两地都下雨的概率；（2）甲、乙两地都不下雨的概率；（3）其中至少有一方下雨的概率.P=0.2×0.3＝0.06P=(1-0.2)×(1-0.3)=0.56P=1-0.56=0.443.某战士射击中靶的概率为0.99.若连续射击两次.
求: (1) 两次都中靶的概率;(2)至少有一次中靶的概率:
(3)至多有一次中靶的概率;(4)目标被击中的概率.分析: 设事件A为“第1次射击中靶”. B为“第2次射击中靶”.
又∵A与B是互斥事件. ⑴ “两次都中靶” 是指 “事件A发生且事件B发生” 即A·B
∴ P( A·B）= P（A）·P（B）= 解题步骤：1.用恰当的字母标记事件,如“XX”记为A, “YY”记为B.2.理清题意, 判断各事件之间的关系(等可能;互斥;
互独; 对立). 关键词 如“至多” “至少” “同时” “恰有”.
求“至多” “至少”事件概率时,通常考虑它们的对立事件的概率.3.寻找所求事件与已知事件之间的关系.
“所求事件” 分几类 (考虑加法公式, 转化为互斥事件)
还是分几步组成(考虑乘法公式, 转化为互独事件) 4.根据公式解答1.射击时, 甲射10次可射中8次;乙射10次可射中7次.
则甲,乙同时射中同一目标的概率为_______2.甲袋中有5球 (3红,2白), 乙袋中有3球 (2红,1白).
从每袋中任取1球,则至少取到1个白球的概率是___3.甲,乙二人单独解一道题, 若甲,乙能解对该题的概率
分别是m, n . 则此题被解对的概率是_______m+n- mn4.有一谜语, 甲,乙,丙猜对的概率分别是1/5, 1/3 , 1/4 .
则三人中恰有一人猜对该谜语的概率是_____求较复杂事件概率正向反向对立事件的概率分类分步P(A+B)= P(A) + P (B)P(A·B)= P(A) · P (B)( 互斥事件)( 互独事件)独立事件一定不互斥.
互斥事件一定不独立.作业：P59 习题4第1、2题课件13张PPT。8.2.3事件的相互独立性（二）复习回顾AC复习回顾B3/5复习回顾1、事件的相互独立性设A，B为两个事件，如果 P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事件B相互独立。2、相互独立事件同时发生的概率公式：一般地，如果事件A1，A2……，An相互独立，那么这n个
事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P（A1·A2……An）=P（A1）·P（A2）……P（An）两个相互独立事件A,B同时发生,即事件A?B发生的概
率为：P(AB)= .P(A)P(B)3、如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生（即A，B中有一个发生）的概率：P(A+B)= .P(A)+P(B)一般地，如果事件 ，彼此互斥，那么事件 发生（即 中恰有一个发生）的概率：注：1）求积事件的概率必须注意事件的独立性，事件和的概率必须注意事件是否互斥。
2）明确事件中的关键词，如，“至少有一个发生”“至多有一个发生”，“恰有一个发生”，“都发生”“都不发生”，“不都发生”。常见类型如下：例1 某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为 ，
乙当选的概率为 ，丙当选的概率为 。
（1）求恰有一名同学当选的概率；
（2）求至多有两名同学当选的概率。0.188 0.552 例2 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知
甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的
概率为 ，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件
不是一等品的概率为 ，甲丙两台机床加工的零件都是一等
品的概率为 。
（1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；
（2）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率。练习： 设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为 0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125.
（1）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别为多少？
（2）计算这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率。是 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2.在100件产品中有4件次品.
①从中抽2件, 则2件都是次品概率为___
②从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是___
(不放回抽取)
③从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是___
(放回抽取)1.加工某产品须经两道工序, 这两道工序的次品率分别
为a, b. 且这两道工序互相独立.产品的合格的概率是__.(1-a)(1-b)求较复杂事件概率正向反向对立事件的概率分类分步P(A+B)= P(A) + P (B)P(A·B)= P(A) · P (B)( 互斥事件)( 互独事件)独立事件一定不互斥.
互斥事件一定不独立.思考： 甲、乙、丙三人向同一飞机射击，设击中的概率分别为0.4、0.5、0.8。如果只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；如果有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；如果三人都击中，则飞机一定被被击落。求飞机被击落的概率。0.492作业：课件20张PPT。8.2.4离散型随机变量及其分布列(1) 如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，（或随着试验结果变化而变化的变量），那么这样的变量叫做随机变量． 随机变量常用希腊字母X、Y、ξ、η等表示。1. 什么是随机变量？怎么表示？ CD①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
②每个基本事件出现的可能性相等。3、古典概型:引例 抛掷一枚骰子，所得的点数 有哪些值？ 取每个值的概率是多少？ 解：则⑵求出了 的每一个取值的概率．⑴列出了随机变量 的所有取值． 的取值有1、2、3、4、5、6小结：二、离散型随机变量的分布列1、设随机变量 的所有可能的取值为则称表格的每一个取值 的概率为 ，注：1、分布列的构成2、分布列的性质⑴⑵有时为了表达简单，也用等式
表示 的分布列2.概率分布还经常用图象来表示.1、离散型随机变量的分布列完全描述了由这个随机变量所刻画的随机现象。
2、函数可以用解析式、表格或图象表示，离散型随机变量可以用分布列、等式或图象来表示。例如：抛掷两枚骰子，点数之和为ξ，则ξ可能取的值有：2，3，4，……，12.
ξ的概率分布为：例1：某一射手射击所得环数ξ 的分布列如下:求此射手”射击一次命中环数≥7”的概率. 分析: ”射击一次命中环数≥7”是指互斥事件”ξ=7”, ”ξ=8”, ”ξ=9”, ”ξ=10” 的和.例2.随机变量ξ的分布列为（1）求常数a;（2）求P(1<ξ<4)解：表示其中一个球号码等于“3”，另两个都比“3”小∴∴∴∴的所有取值为：3、4、5、6．表示其中一个球号码等于“4”，另两个都比“4”小表示其中一个球号码等于“5”，另两个都比“5”小表示其中一个球号码等于“3”，另两个都比“3”小说明：在写出ξ的分布列后，要及时检查所有的概率之和是否为1． 课堂练习：1、下列A、B、C、D四个表，其中能成为随机变量 的分布列的是（ ）ABCDB课堂练习：3、设随机变量的分布列如下：求常数K。4、袋中有7个球，其中3个黑球，4个红球，从袋中任取个3球，求取出的红球数 的分布列。例4：已知随机变量 的分布列如下：－2－13210分别求出随机变量⑴；⑵的分布列．解：且相应取值的概率没有变化例4：已知随机变量 的分布列如下：－2－13210分别求出随机变量⑴；⑵的分布列．解：解:根据分布列的性质,针尖向下的概率是(1—p)，于是，随机变量X的分布列是：3、两点分布列象上面这样的分布列称为两点分布列。如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从两点分布，而称p=P(X=1)为成功概率。例 6、从一批有10个合格品与3个次品的产品中，一件一件的抽取产品，设各个产品被抽到的可能性相同，在下列两种情况下，分别求出取到合格品为止时所需抽取次数 的分布列。
（1）每次取出的产品都不放回该产品中；
（2）每次取出的产品都立即放回该批产品中，然后
再取另一产品。思考1.一个口袋里有5只球,编号为1,2,3,4,5,在袋中同时取出3只,以ξ表示取出的3个球中的最小号码,试写出ξ的分布列. 思考2.将一枚骰子掷2次,求下列随机变量的概率分布.
(1)两次掷出的最大点数ξ;
(2)第一次掷出的点数减去第二次掷出的点数之差η .2、离散型随机变量的分布列的性质：作业： 一个口袋中有5只同样大小的球，编号为1，2，3，4，5，从中同时取出3只球，以ξ表示取出球的最大号码，求ξ的分布列。课件12张PPT。8.2.4离散型随机变量及其分布列(3)复习回顾2、独立重复试验的特点：
1）每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发生；
2）任何一次试验中，A事件发生的概率相同，即相互独立，互不影响试验的结果。3、二项分布： 一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为 此时称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n,p),并称p为成功概率。练习：A D B B 11/32 引例：在含有5件次品的100件产品中，任取3件，试求：（1）取到的次品数X的分布列；
（2）至少取到1件次品的概率.解：（1）从100件产品中任取3件结果数为从100件产品中任取3件，其中恰有K件次品的结果为 那么从100件产品中任取3件， 其中恰好有K件次品的概率为 一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件产品数，则事件{X=k}发生的概率为超几何分布称分布列为超几何分布例2：在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和个20白球，这些球除颜色外完全相同。一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖。求中奖的概率。例3：袋中有个5红球，4个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得1分，取到一个黑球得0分，现从袋中随机摸4个球，求所得分数X的概率分布列。例4：在一次英语口语考试中，有备选的10道试题，已知某考生能答对其中的8道试题，规定每次考试都从备选题中任选3道题进行测试，至少答对2道题才算合格，求该考生答对试题数X的分布列，并求该考生及格的概率。例5：袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为 。现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取到的机会是等可能的，用 表示取球终止时所需要的取球次数。
（1）求袋中原有白球的个数；
（2）求随机变量 的概率分布；
（3）求甲取到白球的概率。练习 从1～10这10个数字中随机取出5个数字，令
X：取出的5个数字中的最大值．试求X的分布列．具体写出，即可得 X 的分布列：解： X 的可能取值为5，6，7，8，9，10． 并且=——求分布列一定要说明 k 的取值范围！作业：课件22张PPT。8.2.4离散型随机变量及其分布列(2)回顾复习 如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．1. 随机变量 对于随机变量可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．2.离散型随机变量3、离散型随机变量的分布列的性质：4、两点分布列则称这样的分布列称为两点分布列。若一个随机变量X的分布列是： 如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从两点分布，而称p=P(X=1)为成功概率。练习：1、在射击的随机试验中，令X= 如
果射中的概率为0.8，求随机变量X的分布列。0，射中，
1，未射中2、设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量 去描述1次试验的成功次数，则失败率p等于（ ）
A.0 B. C. D.C基本概念独立重复试验的特点：
1）每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发生；
2）任何一次试验中，A事件发生的概率相同，即相互独立，互不影响试验的结果。探究 投掷一枚图钉，设针尖向上的概率为p，则针尖向下的概率为q=1-p.连续掷一枚图钉3次，仅出现1次针尖向上的概率是多少？ 连续掷一枚图钉3次，就是做3次独立重复试验。用 表示第i次掷得针尖向上的事件，用 表示“仅出现一次针尖向上”的事件，则由于事件 彼此互斥，由概率加法公式得所以，连续掷一枚图钉3次，仅出现1次针尖向上的概率是思考？ 上面我们利用掷1次图钉，针尖向上的概率为p，求出了连续掷3次图钉，仅出现次1针尖向上的概率。类似地，连续掷3次图钉，出现 次针尖向上的概率是多少？你能发现其中的规律吗？仔细观察上述等式，可以发现基本概念2、二项分布： 一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为 此时称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n,p),并称p为成功概率。注:
展开式中的第 项. 运用n次独立重复试验模型解题例1某射手每次射击击中目标的概率是0.8. 求这名射
手在10次射击中。
（1）恰有8次击中目标的概率；
（2）至少有8次击中目标的概率。
（结果保留两个有效数字）≈0.302 ≈0.68 练习 已知一个射手每次击中目标的概率为 ，求他在4次射击中下列事件发生的概率。
（1）命中一次；
（2）恰在第三次命中目标；
（3）命中两次；
（4）刚好在第二、第三两次击中目标。运用n次独立重复试验模型解题例2 在图书室中只存放技术书和数学书，任一读者借技术书的概率为0.2，而借数学书的概率为0.8，设每人只借一本，有5名读者依次借书，求至多有2人借数学书的概率。变式练习 甲投篮的命中率为0.8 ,乙投篮的命中率为0.7 ,每人各投篮3次，两人恰好都投中2次的概率是多少？0.169344 例3 实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比
赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜
出并停止比赛）．
⑴试求甲打完5局才能取胜的概率．
⑵按比赛规则甲获胜的概率．运用n次独立重复试验模型解题练习、某人参加一次考试，若5道题中解对4道则为及格，已知他解一道题的正确率为0.6,是求他能及格的概率。例4：在含有5件次品的100件产品中，任取3件，试求：
（1）取到的次品数X的分布列；
（2）至少取到1件次品的概率.解：（1）从100件产品中任取3件结果数为从100件产品中任取3件，其中恰有K件次品的结果为 那么从100件产品中任取3件， 其中恰好有K件次品的概率为 一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件产品数，则事件{X=k}发生的概率为2、超几何分布称分布列为超几何分布例5：在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和个20白球，这些球除颜色外完全相同。一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖。求中奖的概率。例6：袋中有个5红球，4个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得1分，取到一个黑球得0分，现从袋中随机摸4个球，求所得分数X的概率分布列。例6：在一次英语口语考试中，有备选的10道试题，已知某考生能答对其中的8道试题，规定每次考试都从备选题中任选3道题进行测试，至少答对2道题才算合格，求该考生答对试题数X的分布列，并求该考生及格的概率。例7：袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为 。现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取到的机会是等可能的，用 表示取球终止时所需要的取球次数。
（1）求袋中原有白球的个数；
（2）求随机变量 的概率分布；
（3）求甲取到白球的概率。练习 从1～10这10个数字中随机取出5个数字，令
X：取出的5个数字中的最大值．试求X的分布列．具体写出，即可得 X 的分布列：解： X 的可能取值为5，6，7，8，9，10． 并且=——求分布列一定要说明 k 的取值范围！作业：课件22张PPT。8.2.6离散型随机变量的数学期望一、复习回顾1、离散型随机变量的分布列2、离散型随机变量分布列的性质：(1)pi≥0，i＝1，2，…；
(2)p1＋p2＋…＋pi＋…＝1．复习引入 对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中，有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。
我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特征，最常用的有期望与方差.1、某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？把环数看成随机变量的概率分布列：权数加权平均二、互动探索2、某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？把3种糖果的价格看成随机变量的概率分布列：一、离散型随机变量取值的平均值数学期望一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：则称为随机变量X的均值或数学期望。它反映了离散型随机变量取值的平均水平。设Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量．
（1） Y的分布列是什么？
（2） EY=？思考：······························一、离散型随机变量取值的平均值数学期望二、数学期望的性质三、基础训练1、随机变量ξ的分布列是(1)则Eξ= . 2、随机变量ξ的分布列是2.4(2)若η=2ξ+1，则Eη= . 5.8Eξ=7.5,则a= b= .0.40.1例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次的得分X的均值是多少？一般地，如果随机变量X服从两点分布，则四、例题讲解小结：例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，他连续罚球3次；
（1）求他得到的分数X的分布列；
（2）求X的期望。解：(1) X～B（3，0.7）(2)一般地，如果随机变量X服从二项分布，即X～B（n,p），则小结：基础训练： 一个袋子里装有大小相同的3 个红球和2个黄球，从中有放回地取5次，则取到红球次数的数学期望是 .31.一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且只有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分，学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个。求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望。五、巩固应用2. 决策问题：
根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元。为保护设备，有以下种方案：
方案1：运走设备，搬运费为3800元。
方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能
挡住小洪水。
方案3：不采取措施，希望不发生洪水。
试比较哪一种方案好。3.某商场的促销决策：
统计资料表明，每年国庆节商场内促销活动可获利2万元；商场外促销活动如不遇下雨可获利10万元；如遇下雨则损失4万元。9月30日气象预报国庆节下雨的概率为40%，商场应选择哪种促销方式？4.（07全国）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的分起付款期数 的分布列为： 商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元，分2期或3期付款，其利润为250元，分4期或5期付款，其利润为300元， 表示经销一件该商品的利润。
（1）求事件A：”购买该商品的3位顾客中，至少有一位采用1期付款” 的概率P(A)；
（2）求 的分布列及期望E 。E = 1000－0.03a≥0.07a得a≤10000故最大定为10000元。练习：
1、若保险公司的赔偿金为a（a＞1000）元，为使保险公司收益的期望值不低于a的百分之七，则保险公司应将最大赔偿金定为多少元？2、射手用手枪进行射击，击中目标就停止，否则继续射击，他射中目标的概率是0.7,若枪内只有5颗子弹,求射击次数的期望。(保留三个有效数字)E =1.43六、课堂小结一、离散型随机变量取值的平均值数学期望二、数学期望的性质三、如果随机变量X服从两点分布，则四、如果随机变量X服从二项分布，即X～B（n,p），则证明：
所以若ξ～B(n，p)，则Eξ＝np． 证明：若ξ～B(n，p)，则Eξ＝np 课件15张PPT。8.2.7离散型随机变量的方差一、复习回顾1、离散型随机变量的数学期望2、数学期望的性质数学期望是反映离散型随机变量的平均水平三、如果随机变量X服从两点分布为则四、如果随机变量X服从二项分布，即X～
B（n,p），则某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？二、互动探索某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则这组数据的方差是多少？加权平均反映这组数据相对于平均值的集中程度的量离散型随机变量取值的方差一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：则称为随机变量X的方差。称为随机变量X的标准差。它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值。三、基础训练1、已知随机变量X的分布列求DX和σX。 解：2、若随机变量X满足P（X＝c）＝1，其中c为常数，求EX和DX。解：离散型随机变量X的分布列为：EX＝c×1＝cDX＝（c－c）2×1＝0四、方差的应用例：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X1， X2分布列如下：用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平。解：表明甲、乙射击的平均水平没有差别，在多次射击中平均得分差别不会很大，但甲通常发挥比较稳定，多数得分在9环，而乙得分比较分散，近似平均分布在8－10环。问题1：如果你是教练，你会派谁参加比赛呢？问题2：如果其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？问题3：如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？练习：有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解：在两个单位工资的数学期望相等的情况下，如果认为自己能力很强，应选择工资方差大的单位，即乙单位；如果认为自己能力不强，就应选择工资方差小的单位，即甲单位。五、几个常用公式：相关练习：3、有一批数量很大的商品，其中次品占1％，现从中任意地连续取出200件商品，设其次品数为X，求EX和DX。117100.82，1.98六、课堂小结1、离散型随机变量取值的方差、标准差及意义2、记住几个常见公式课件20张PPT。8.4 列联表独立性分析案例问题: 数学家庞加莱每天都从一家面包店买一块1000g 的面包，并记录下买回的面包的实际质量。一年后，这位数学家发现，所记录数据的均值为950g。于是庞加莱推断这家面包店的面包分量不足。假设“面包份量足”，则一年购买面包的质量数据的平均值应该不少于1000g ；
“这个平均值不大于950g”是一个与假设“面包份量足”矛盾的小概率事件；
这个小概率事件的发生使庞加莱得出推断结果。一:假设检验问题的原理 假设检验问题由两个互斥的假设构成，其中一个叫做原假设，用H0表示；另一个叫做备择假设，用H1表示。例如，在前面的例子中， 原假设为： H0：面包份量足，
备择假设为： H1：面包份量不足。
这个假设检验问题可以表达为：
H0：面包份量足 ←→ H1：面包份量不足
二:求解假设检验问题考虑假设检验问题：
H0：面包分量足 ←→ H1：面包分量不足在H0成立的条件下，构造与H0矛盾的小概率事件；
如果样本使得这个小概率事件发生，就能以一定把握断言H1成立；否则，断言没有发现样本数据与H0相矛盾的证据。
求解思路：独立性检验本节研究的是两个分类变量的独立性检验问题。在日常生活中，我们常常关心分类变量之间是否有关系：例如，吸烟是否与患肺癌有关系？
性别是否对于喜欢数学课程有影响？等等。为了调查吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果（单位：人）列联表说明：吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异，吸烟者患肺癌的可能性大。0.54%2.28%探究1、列联表2、三维柱形图3、二维条形图从三维柱形图能清晰看出
各个频数的相对大小。从二维条形图能看出，吸烟者中
患肺癌的比例高于不患肺癌的比例。通过图形直观判断两个分类变量是否相关：4、等高条形图等高条形图更清晰地表达了两种情况下患肺癌的比例。 为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，基于上述分析，我们构造一个随机变量-----卡方统计量（1） 若 H0成立，即“吸烟与患肺癌没有关系”，则K2应很小。根据表3-7中的数据，利用公式（1）计算得到K2的观测值为：那么这个值到底能告诉我们什么呢？（2） 独立性检验在H0成立的情况下，统计学家估算出如下的概率
即在H0成立的情况下，K2的值大于6.635的概率非常小，近似于0.01。 也就是说，在H0成立的情况下，对随机变量K2进行多次观测，观测值超过6.635的频率约为0.01。思考
答：判断出错的概率为0.01。判断 是否成立的规则如果 ，就判断 不成立，即认为吸烟与患肺癌有关系；否则，就判断 成立，即认为吸烟与患肺癌有关系。独立性检验的定义 上面这种利用随机变量K2来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法，称为两个分类变量的独立性检验。在该规则下，把结论“ 成立”错判成“ 不成立”的概率不会差过即有99%的把握认为 不成立。在实际应用中，要在获取样本数据之前通过下表确定临界值：具体作法是：(1)根据实际问题需要的可信程度确定临界值 ；
(2)利用公式(1)，由观测数据计算得到随机变量 的观测值；
(3)如果 ，就以 的把握认为“X与Y有关系”；否则就说样本观测数据没有提供“X与Y有关系”的充分证据。随机变量-----卡方统计量独立性检验临界值表0.1%把握认为A与B无关1%把握认为A与B无关99.9%把握认A与B有关99%把握认为A与B有关90%把握认为A与B有关10%把握认为A与B无关没有充分的依据显示A与B有关，但也不能显示A与B无关第一步：H0： 吸烟和患病之间没有关系 第二步：列出2×2列联表 6、独立性检验的步骤第三步：计算第四步：查对临界值表，作出判断。反证法原理与假设检验原理反证法原理： 在一个已知假设下，如果推出一个矛盾，就证明了这个假设不成立。假设检验原理：在一个已知假设下，如果一个与该假设矛盾的小概率事件发生，就推断这个假设不成立。例1 在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶；而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175人秃顶。分别利用图形和独立性检验方法判断秃顶与患心脏病是否有关系？你所得的结论在什么范围内有效？解：根据题目所给数据得到如下列联表： 相应的三维柱形图如图所示，比较来说，底面副对角线上两个柱体高度的乘积要大一些，因此可以在某种程度上认为“秃顶与患心脏病有关”。例1 在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶；而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175人秃顶。分别利用图形和独立性检验方法判断秃顶与患心脏病是否有关系？你所得的结论在什么范围内有效？解：根据题目所给数据得到如下列联表： 根据联表1-13中的数据，得到所以有99%的把握认为“秃顶患心脏病有关”。例3.在500人身上试验某种血清预防感冒作用，把他们一年中的感冒记录与另外500名未用血清的人的感冒记录作比较，结果如表所示。试画出列联表的条形图，并通过图形判断这种血清能否起到预防感冒的作用？并进行独立性检验。解：设H0：感冒与是否使用该血清没有关系。因当H0成立时，K2≥6.635的概率约为0.01，故有99%的把握认为该血清能起到预防感冒的作用。解：设H0：药的效果与给药方式没有关系。因当H0成立时，K2<2.406，故不能否定假设H0，即不能作出药的效果与给药方式有关的结论。例4：为研究不同的给药方式（口服与注射）和药的效果（有效与无效）是否有关，进行了相应的抽样调查，调查的结果列在表中，根据所选择的193个病人的数据，能否作出药的效果和给药方式有关的结论？练习：气管炎是一种常见的呼吸道疾病，医药研究人员对两种中草药治疗慢性气管炎的疗效进行对比，所得数据如表所示，问：它们的疗效有无差异？解：设H0：两种中草药的治疗效果没有差异。因当H0成立时，K2≥10.828的概率为0.001，故有99.9%的把握认为，两种药物的疗效有差异。课件39张PPT。8.5一元线性回归分析案例数学３——统计内容
画散点图
了解最小二乘法的思想
求回归直线方程
y＝bx＋a
用回归直线方程解决应用问题问题1：正方形的面积y与正方形的边长x之间
的函数关系是y = x2问题2：某水田水稻产量y与施肥量x之间是否
有一个确定性的关系？例如：在 7 块并排、形状大小相同的试验田上
进行施肥量对水稻产量影响的试验，得
到如下所示的一组数据：复习 变量之间的两种关系10 20 30 40 50500
450
400
350
300·······施化肥量水稻产量 自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系。1、相关关系的定义： 1）：相关关系是一种不确定性关系；注 现实生活中存在着大量的相关关系。
如：人的身高与年龄；
产品的成本与生产数量；
商品的销售额与广告费；
家庭的支出与收入。等等探索：水稻产量y与施肥量x之间大致有何规律？10 20 30 40 50500
450
400
350
300·······发现：图中各点，大致分布在某条直线附近。探索2：在这些点附近可画直线不止一条，哪条直线最能代表x与y之间的关系呢？散点图施化肥量水稻产量10 20 30 40 50500
450
400
350
300·······施化肥量水稻产量对于一组具有线性相关关系的数据我们知道其回归方程的截距和斜率的最小二乘估计公式分别为：称为样本点的中心。1、所求直线方程叫做回归直线方程；
相应的直线叫做回归直线。2、对两个变量进行的线性分析叫做线性回归分析。1、回归直线方程2.求回归直线的方法——最小二乘法：称为样本点的中心。4、求回归直线方程的步骤：（3）代入公式应用：利用回归直线方程对总体进行线性相关性的检验 例1、炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系。如果已测得炉料熔化完毕时，钢水的含碳量x与冶炼时间y（从炉料熔化完毕到出刚的时间）的一列数据，如下表所示：（1）y与x是否具有线性相关关系；
（2）如果具有线性相关关系，求回归直线方程；
（3）预测当钢水含碳量为160个0.01%时，应冶炼多少分钟？解：(1)列出下表,并计算所以回归直线的方程为 =1.267x-30.51(3)当x=160时, 1.267.160-30.51=172(2)设所求的回归方程为5.如何描述两个变量之间线性相关关系的强弱？ 在《数学3》中，我们学习了用相关系数r来衡量两个变量
之间线性相关关系的方法。相关系数r小结：回归分析的内容与步骤：统计检验通过后，最后是利用回归模型，根据自变量去估计、预测因变量。 回归分析通过一个变量或一些变量的变化解释另一变量的变化。 其主要内容和步骤是：
首先根据理论和对问题的分析判断，将变量分为自变量和因变量；其次，设法找出合适的数学方程式（即回归模型）描述变量间的关系；由于涉及到的变量具有不确定性，接着还要对回归模型进行统计检验；例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为
172cm的女大学生的体重。案例1：女大学生的身高与体重解：1、选取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图：2、由散点图知道身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系。分析：由于问题中要求根据身高预报体重，因此选取身高为自变量，体重为因变量．2.回归方程：1. 散点图；本例中, r=0.798>0.75．这表明体重与身高有很强的线性相关关系，从而也表明我们建立的回归模型是有意义的。探究：
身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？如果不是，你能解析一下原因吗？答：身高为172cm的女大学生的体重不一定是60.316kg，但一般可以认为她的体重接近于60.316kg。即，用这个回归方程不能给出每个身高为172cm的女大学生的体重的预测值，只能给出她们平均体重的值。 比《数学3》中“回归”增加的内容数学３——统计
画散点图
了解最小二乘法的思想
求回归直线方程
y＝bx＋a
用回归直线方程解决应用问题选修2-3——统计案例
引入线性回归模型
y＝bx＋a＋e
了解模型中随机误差项e产生的原因
了解相关指数 R2 和模型拟合的效果之间的关系
了解残差图的作用
利用线性回归模型解决一类非线性回归问题
正确理解分析方法与结果2、数据点和它在回归直线上相应位置的差异 是随机误差的效应，称 为残差。3、对每名女大学生计算这个差异，然后分别将所得的值平方后加起来，用数学符号表示为：
称为残差平方和，它代表了随机误差的效应。4、两个指标：
（1）类比样本方差估计总体方差的思想，可以用作
为 的估计量， 越小，预报精度越高。（2）我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其
计算公式是： R2 ?1，说明回归方程拟合的越好；R2?0，说明回归方程拟合的越差。表3-2列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。 在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用回归模型来拟合数据。5、残差分析与残差图的定义： 然后，我们可以通过残差 来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析。 我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图。残差图的制作及作用
1、坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；
2、若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域；
3、对于远离横轴的点，要特别注意。身高与体重残差图 几点说明：
第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。
另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。例2 在一段时间内，某中商品的价格x元和需求量Y件之间的一组数据为：求出Y对的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏。解：例2 在一段时间内，某中商品的价格x元和需求量Y件之间的一组数据为：求出Y对的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏。列出残差表为0.994因而，拟合效果较好。00.3-0.4-0.10.24.62.6-0.4-2.4-4.4练习： 关于x与y有如下数据：
有如下的两个线性模型：
（1） ；（2）
试比较哪一个拟合效果更好。6、注意回归模型的适用范围：（1）回归方程只适用于我们所研究的样本的总体。样本数据来自哪个总体的，预报时也仅适用于这个总体。
（2）模型的时效性。利用不同时间段的样本数据建立的模型，只有用来对那段时间范围的数据进行预报。
（3）建立模型时自变量的取值范围决定了预报时模型的适用范围，通常不能超出太多。
（4）在回归模型中，因变量的值不能由自变量的值完全确定。正如前面已经指出的，某个女大学生的身高为172cm，我们不能利用所建立的模型预测她的体重，只能给出身高为172cm的女大学生的平均体重的预测值。7、一般地，建立回归模型的基本步骤为：案例2 一只红铃虫的产卵数y和温度x有关。现收集了7组观测数据列于表中：（1）试建立产卵数y与温度x之间的回归方程；并预测温度为28oC时产卵数目。
（2）你所建立的模型中温度在多大程度上解释了产卵数的变化？ 画散点图假设线性回归方程为 ：?=bx+a选 模 型
所以，二次函数模型中温度解释了74.64%的产卵数变化。探索新知方案1当x=28时，y =19.87×28-463.73≈ 93一元线性模型
方案2问题3合作探究 t=x2二次函数模型
方案2解答平方变换：令t=x2，产卵数y和温度x之间二次函数模型y=bx2+a就转化为产卵数y和温度的平方t之间线性回归模型y=bt+a作散点图，并由计算器得：y和t之间的线性回归方程为y=0.367t-202.54，相关指数R2=r2≈0.8962=0.802将t=x2代入线性回归方程得：
y=0.367x2 -202.54
当x=28时，y=0.367×282-202.54≈85，且R2=0.802，
所以，二次函数模型中温度解
释了80.2%的产卵数变化。产卵数气温指数函数模型方案3
合作探究对数
方案3解答当x=28oC 时，y ≈44 ，指数回归模型中温度解释了98.5%的产卵数的变化由计算器得：z关于x的线性回归方程
为z=0.118x-1.665 ，
相关指数R2=r2≈0.99252=0.985——这些问题也使用于其他问题。涉及到统计的一些思想：
模型适用的总体；
模型的时间性；
样本的取值范围对模型的影响；
模型预报结果的正确理解。小结回归分析与相关分析的区别相关分析中，变量 x 变量 y 处于平等的地位；回归分析中，变量 y 称为因变量，处在被解释的地位，x 称为自变量，用于预测因变量的变化
相关分析中所涉及的变量 x 和 y 都是随机变量；回归分析中，因变量 y 是随机变量，自变量 x 可以是随机变量，也可以是非随机的确定变量
相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密切程度；回归分析不仅可以揭示变量 x 对变量 y 的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制 作业： 假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用 y（万元），有如下的统计资料。若由资料知,y对x呈线性相关关系。试求：
（1）线性回归方程 的回归系数 ；
（2）求残差平方和；
（3）求相关系数 ；
（4）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？课件32张PPT。8.3.1 正态分布引入 正态分布在统计学中是很重要的分布。我们知道，离散型随机变量最多取可列个不同值，它等于某一特定实数的概率可能大于0，人们感兴趣的是它取某些特定值的概率，即感兴趣的是其分布列；连续型随机变量可能取某个区间上的任何值，它等于任何一个实数的概率都为0，所以通常感兴趣的是它落在某个区间的概率。离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，而连续型随机变量的概率分布规律用密度函数（曲线）描述。复习100个产品尺寸的频率分布直方图25.23525.29525.35525.41525.47525.535 产品
尺寸
（mm)频率
组距
复习200个产品尺寸的频率分布直方图25.23525.29525.35525.41525.47525.535 产品
尺寸
（mm)频率
组距
复习样本容量增大时
频率分布直方图频率
组距产品
尺寸
(mm)总体密度曲线复习产品
尺寸
(mm)总体密度曲线高尔顿板11总体密度曲线0YX导入产品尺寸的总体密度曲线
就是或近似地是以下函数的图象：1 、正态曲线的定义：函数式中的实数μ、σ(σ>0)是参数，分别表示
总体的平均数与标准差，称f( x)的图象称为正态曲线 若用X表示落下的小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标,则X是一个随机变量.X落在区间(a,b]的概率为:2.正态分布的定义:如果对于任何实数 a则记作 X~ N（ μ，σ2） 在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布：在生产中，在正常生产条件下各种产品的质量指标； 在测量中，测量结果； 在生物学中，同一群体的某一特征；……； 在气象中，某地每年七月份的平均气温、平均湿度
以及降雨量等，水文中的水位； 总之，正态分布广泛存在于自然界、生产及科学技术的许多领域中。正态分布在概率和统计中占有重要地位。 m 的意义产品
尺寸
(mm)总体平均数反映总体随机变量的 平均水平x3x4x= μ总体平均数反映总体随机变量的 平均水平总体标准差反映总体随机变量的 集中与分散的程度 s的意义正态总体的函数表示式当μ= 0，σ=1时标准正态总体的函数表示式μ正态总体的函数表示式 =μ例1、下列函数是正态密度函数的是（ ）
A.
B.
C.
D.B 例2、标准正态总体的函数为
（1）证明f(x)是偶函数；
（2）求f(x)的最大值；
（3）利用指数函数的性质说明f(x)的增减性。练习：1、若一个正态分布的概率函数是一个偶函数且该函
数的最大值等于 ，求该正态分布的概率密度函数的解析式。3、正态曲线的性质具有两头低、中间高、左右对称的基本特征（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.（2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称. 3、正态曲线的性质（4）曲线与x轴之间的面积为1（3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点)方差相等、均数不等的正态分布图示σ=0.5μ= -1μ=0 μ= 1若 固定, 随 值的变化而沿x轴平移, 故 称为位置参数；均数相等、方差不等的正态分布图示??=1μ=0 若 固定, 大时, 曲线矮而胖；
小时, 曲线瘦而高, 故称
为形状参数。(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定 .
σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；
σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.（5）当 x<μ时,曲线上升;当x>μ时,曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以x轴为渐近线,向它无限靠近. 3、正态曲线的性质动画例3、把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线b。下列说法中不正确的是（ ）
A.曲线b仍然是正态曲线；
B.曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等;
C.以曲线b为概率密度曲线的总体的期望比以曲线a为概率密度曲线的总体的期望大2;
D.以曲线b为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a为概率密度曲线的总体的方差大2。C正态曲线下的面积规律X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。
对称区域面积相等。S(-?,-X)S(X,?)＝S(-?,-X)?正态曲线下的面积规律对称区域面积相等。S(-x1, -x2)-x1 -x2 x2 x1S(x1,x2)=S(-x2,-x1)?4、特殊区间的概率:若X~N ,则对于任何实数a>0,概率
为如图中的阴影部分的面积，对于固定的 和 而言，该面积随着 的减少而变大。这说明 越小, 落在区间 的概率越大，即X集中在 周围概率越大。特别地有 我们从上图看到，正态总体在 以外取值的概率只有4.6％，在 以外取值的概率只有0.3 ％。 由于这些概率值很小（一般不超过5 ％ ），通常称这些情况发生为小概率事件。例4、在某次数学考试中，考生的成绩 服从一个正态分布，即 ~N(90,100).
（1）试求考试成绩 位于区间(70,110)上的概率是多少？
（2）若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人？练习：1、已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X~ ，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内？（ ）
(90,110] B. (95,125] C. (100,120] D.(105,115]C2、已知X~N (0,1)，则X在区间 内取值的概率等于（ ）
A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.0228
3、设离散型随机变量X~N(0,1),则 = ,
= .
4、若X~N(5,1),求P(6左右对称” 正态曲线下的面积规律X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。
对称区域面积相等。S(-?,-X)S(X,?)＝S(-?,-X)?正态曲线下的面积规律对称区域面积相等。S(-x1, -x2)-x1 -x2 x2 x1S(x1,x2)=S(-x2,-x1)?练习：B C 0 练习：D ?(x)=P(X?x)已知随机变量X?N(0,1)，
随机变量X不超过x的概率是x的一个函数，记作：?(x)叫做正态分布函数． ?(x)表示以x为右边界、密
度曲线为上边界、
x轴为下边界所界图形的“面积”标准正态分布情况的概率计算正态分布函数5、特殊区间的概率:若X~N ,则对于任何实数a>0,概率
为如图中的阴影部分的面积，对于固定的 和 而言，该面积随着 的减少而变大。这说明 越小, 落在区间 的概率越大，即X集中在 周围概率越大。特别地有 我们从上图看到，正态总体在 以外取值的概率只有4.6％，在 以外取值的概率只有0.3 ％。 由于这些概率值很小（一般不超过5 ％ ），通常称这些情况发生为小概率事件。例1、在某次数学考试中，考生的成绩 服从一个正态分布，即 ~N(90,100).
（1）试求考试成绩 位于区间(70,110)上的概率是多少？
（2）若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人？练习：1、已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X~ ，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内？（ ）
(90,110] B. (95,125] C. (100,120] D.(105,115]C2、已知X~N (0,1)，则X在区间 内取值的概率等于（ ）
A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.02283、设离散型随机变量X~N(0,1),则 = ,
= .D0.50.95444、若已知正态总体落在区间 的概率为0.5，则相应的正态曲线在x= 时达到最高点。0.35、已知正态总体的数据落在（-3,-1）里的概率和落在（3,5）里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望是 。1例3、若X~N(5,1),求P(6 则 等于( )
A.0.1 B. 0.2 C. 0.3 D.0.4A例5、某年级的一次信息技术测验成绩近似的服从正态分布 ，如果规定低于60分为不及格，求：
（1）成绩不及格的人数占多少？
（2）成绩在80~90内的学生占多少？
