1.3.1相似三角形的判定（一）
【学习目标】
1.掌握两个三角形相似的定义和三角形相似的预备定理.
2..掌握两个三角形相似的判定定理1.
【自主学习】
相似三角形的定义：
对应角_______，对应边____________的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做_____________.
2.. 相似三角形的判定：
预备定理： __ .
判定定理1： .
试探究上述定理的证明过程.
用符号表示相似三角形时，注意：
用符号表示相似三角形时，在两个相似三角形中，三边对应成比例，每个比的前项是同一个三角形的三条边，而比的后项分别是另一个三角形的对应边，它们的位置不能写错.
用符号表示相似三角形时，对应顶点的字母写在对应的位置上，这样可以很快地找到相似三角形的对应角或对应边.
【自主检测】
1．下列各组三角形一定相似的是（ ）
A．两直角三角形 B．两钝角三角形 C．两等腰三角形 D．两等边三角形
2．如图，在中，，，，求的长．
【典型例题】
例1.如图，在中，，是边上一点，.
求证：.
例2.如图，圆内接的角平分线延长后交圆于一点.求证：.
【课堂检测】
1．如图，∽, 其中，写出对应边的比例式．
2．已知是圆内接四边形的对角线上的一点，且.求证：（1）；(2) ．
3．如图，，
（1）如果，，求的值；
（2）如果，，，，求和的长.
【总结提升】
三角形相似与全等的判定方法的类比；
三角形相似的判定定理1的内容，强调判定相似需且只需两个独立条件；
常用的找对应角的方法：①已知角相等；②已知角度计算得出相等的对应角；③公共角；④对顶角；⑤同（等）角的余（补）角相等；⑥两直线平行，同位角（内错角）相等；等等。
1.3.1相似三角形的判定（二）
【学习目标】
1.掌握两个三角形相似的判定定理2和定理3
2.掌握两个直角三角形的判定定理
【自主学习】
1.引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.
判定定理2： .
试探讨引理的证明，并利用引理来证明判定定理2.
2.判定定理3： .
3.直角三角形相似的判定定理：
（1）如果两个直角三角形有 ，那么它们相似；
（2）如果两个直角三角形的两条直角边 ，那么它们相似；
（3）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的 对应成比例，那么这两个直角三角形相似.
【自主检测】
1.下列几组图形一定相似的是 （ ）
A.各有一个角是的两等腰三角形 B.两边之比都是的两直角三角形
C.各有一角是的两等腰三角形 D.有两边成比例且有一角相等的两三角形
2.如图，于，于交于，则图中相似三角形
有 对.
3.如图，已知：，.求证：∽.
【典型例题】
例1.如图，在内任取一点，连接和.点在外，,.求证：∽.
例2.如图，已知、、分别是三边、、的中点.求证：∽.
例3.如图，已知、分别是中边和边上的高，是、的交点.
求证：（1）；（2）.
【课堂检测】
1.如图，在四边形中，，，，，
，求的长．
2.已知：如图，为中线上的一点，且，
求证：∽．
3.如图，、、、在一条直线上，垂足为，．求证：∽．
【总结提升】
1.证明三角形相似的首选方法是“两个角对应相等的两个三角形相似”。
2.应用比例线段证明两直线平行或两线段相等时，（1）要注意如果相关的比例式较多，一时难以作出选择，应将所有相关的比例式都写出来，然后再仔细对比、分析选出有用的。（2）要注意比例性质的灵活运用，善于总结比例式变换时的方法和技巧。变化时，要头脑清醒，思路清晰，一个字母也不放过，并且每一步都要有根有据，切不可无根据的乱变，或者想当然地硬变。
1.3.2相似三角形的性质
【学习目标】
1.了解相似三角形的性质定理的证明；
2.掌握相似三角形的性质定理，并能灵活运用其进行有关的计算和证明.
【自主学习】
1.相似三角形的性质定理：
(1)相似三角形的对应角 ；(2)相似三角形的对应边 ；
(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于 ；
(4)相似三角形的周长比等于 ；(5)相似三角形的面积比等于 .
2.相似三角形的传递性
如果∽，∽，那么
3.表示两个三角形相似时注意通常要把表示对应顶点的字母写在相应的位置上，这样比较容易找到相似三角形的对应角
和对应边。例如：图中对应着 ，
对应着 ，对应着 。因此两个三角形相似应写为∽ 。
【自主检测】
1.两个相似三角形对应中线之比是，周长之和为，则它们的周长分别是 .
2.如图，已知，且，求与的周长比.
【典例分析】
例1.如图，锐角三角形是一块钢板的余料，边，边上的高.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上.求这个正方形零件的边长.
例2.试探究两个相似三角形的外接圆的直径比、周长比、面积比与相似比有什么关系.
思考：两个相似三角形的内切圆的直径比、周长比、面积比与相似比有什么关系？
【目标检测】
1.如图，与中，，，，如果图中的两个直角三角形相似，求的长.
2.已知是中边上一点，且交于，且交于，且，，求四边形的面积.
3.如图，平行四边形中，，求与的周长比.如果的面积等于，求的面积.
【总结提升】
研究相似三角形的性质的时候，切记从相似比入手即可，涉及到线段的比均等于相似比，只有面积的比是相似比的平方.在三角形中有平行于一边的直线时，通常考虑三角形相似，利用比值获得线段的长或三角形的面积.
