2.1.4证明不等式的基本方法——反证法（一）
【学习目标】
掌握反证法证明不等式的方法.
掌握反证法证明不等式的方法步骤.
【自主学习】
什么是反证法？
反证法证明不等式的理论依据是什么？
反证法证明不等式的步骤有哪些？通常什么样的问题的证明用反证法？
【自主检测】
实数a，b，c不全为0的条件为（ ）
A.a,b,c均不为有 B.a,b,c中至多有一个为0
C.a,b,c中至少有一个为0 D.a,b,c中至少有一个不为0
若a,b∈R,|a|+|b|＜1,求证：方程的两根的绝对值都小1.
已知a,b,c,d∈R,且a+b=c+d=1,ac+bd＞1.求证：a,b,c,d中至少有一个是
负数.
【典型例题】
例1. 利用反证法证明：若已知a，b，m都是正数，并且，则
例2. 若x, y > 0，且x + y >2，则和中至少有一个小于2.
例3. 设，求证
例4. 设0 < a, b, c < 2，求证：(2 a)c, (2 b)a, (2 c)b不可能同时大于1
【课堂检测】
1.否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是( )
A．有一个解 B．有两个解
C.至少有三个解 D．至少有两个解
2.已知a+b+c＞0，ab+bc+ca＞0,abc＞0,求证：a,b,c＞0 .
3.设二次函数，求证：中至少有一个不小于.
4.设0 < a, b, c < 1，求证：(1 a)b, (1 b)c, (1 c)a,不可能同时大于
【总结提升】
1.前面所讲的几种方法，属于不等式的直接 ( http: / / www.21cnjy.com )证法。也就是说，直接从题设出发，经过一系列的逻辑推理，证明不等式成立。但对于一些较复杂的不等式，有时很难直接入手求证，这时可考虑采用间接证明的方法。所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假，或转而证明它的等价命题为真，以间接地达到目的。其中，反证法是间接证明的一种基本方法。
2.反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定 ( http: / / www.21cnjy.com )其结论，就会导致矛盾。具体地说，反证法不直接证明命题“若p则q”，而是先肯定命题的条件p，并否定命题的结论q，然后通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的。
3.利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：
第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；
第二步 作出与所证不等式相反的假定；
第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；
第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。2.1.5证明不等式的基本方法——反证法
【学习目标】
掌握反证法证明不等式的方法.
掌握反证法证明不等式的方法步骤.
【自主学习】
什么是反证法？
反证法证明不等式的理论依据是什么？
反证法证明不等式的步骤有哪些？通常什么样的问题的证明用反证法？
【自主检测】
1.设a,b∈R,给出下列条件：①a+b＞1②a+b=2③a+b＞2④＞2⑤ab＞1.其中能给出“a,b中至少有一个大于1”的条件是 .
2.已知a,b,c是互不相等的非零实数,用反证法证明下列三个方程：0中至少有一个方程有两个相异实根.
3. 已知
（1）证明：函数f(x)在（－1,+∞）上为增函数;
（2）用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.
【典型例题】
例1. 若x,y都是正实数,且x+y＞2,求证：中至少有一个成立.
例2.已知,若a+c=0,f(x)在[－1,1]上的最大值为2,最小值为－.求证
例3.若p＞0,q＞0,且p3+q3=2, 求证：p+q≤2
例4.设a,b,c都是奇数,求证：方程没有整数根.
【课堂检测】
1.用反证法证明质数有无限多个的过程如下：
假设______________．设全体质数为p1、p2、…、pn，令p＝p1p2…pn＋1.
显然，p不含因数p1、p2、…、pn. ( http: / / www.21cnjy.com )故p要么是质数，要么含有______________的质因数．这表明，除质数p1、p2、…、pn之外，还有质数，因此原假设不成立．于是，质数有无限多个．
2.已知a,b,c＞0,且ab+bc+ca=1.用反证法证明：a+b+c≥.
3.若a,b∈N*,ab能被5整除,求证：a,b至少有一个能被5整除.
4. 已知数列{bn}的通项公式为bn＝.求证：数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列．
【总结提升】
1.当要证明的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件推出结论的线索不够清晰时的不等式的证明常用反证法.
2.如果从正面入手证明需分多种情况进行分类讨论,而从反面进行证明,只研究一种或很少的几种情况的不等式证明常用反证法.
§2.1.6证明不等式的基本方法——放缩法（一）
【学习目标】
理解放缩法证明不等式的原理.
掌握放缩法证明不等式的方法步骤.
【自主学习】
什么是放缩法,放缩法证明不等式的理论依据是什么？
放缩法证明不等式时,如何把握放大和缩小？
【自主检测】
1.求证: （n∈N*）
2.求证：（n∈N*）
3. 求证:.( n∈N*）
【典型例题】
已知n∈N*求证：（1）;
（2）.
例2. 已知求证：
例3．函数f（x）=，求证：f（1）+f（2）+…+f（n）>n+
例4．已知an=n ，求证： eq \f(,) ＜3．
【课堂检测】
1. 求证:
2. 已知,,求证:
求证:（1）.
（2）
4. 已知函数,.对任意正数,证明：．
【总结提升】
所谓放缩法就是利用不等式的传递性， ( http: / / www.21cnjy.com )对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。
