黑龙江省双鸭山市名校2022-2023学年高一下学期4月月考数学试题（含解析）

双鸭山市名校2022-2023学年高一下学期4月月考
数学试题
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 化简的结果等于（ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量，，是线段AB的中点，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
3. 复数的共轭复数在复平面内的对应点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4. 若向量，，且，则（ ）
A. B. C. 3 D. 6
5. 在中，若，则A=（ ）
A. B. C. D.
6. 已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（　　）
A. B. C. D.
7. 已知，，若，的夹角为钝角，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
8. 安邦河，在黑龙江省内有两条.一条属于松花江二级支流，位于黑龙江省中部，发源于小兴安岭支脉平顶山西坡；另一条属于松花江右岸支流，位于黑龙江省东部，发源于完达山支脉分水岗，自南向北流经双鸭山、集贤、桦川个市县，在桦川县新城乡境内注入松花江. 安邦河从双鸭山一中旁流过，其中一河段的两岸基本上是平行的，根据城建工程计划，需要测量出该河段的宽度，现在一侧岸边选取两点并测得，选取对岸一目标点并测得，，，则该段河流的宽度为（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 关于向量下列命题中不正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，，则
10. 在中，已知，且，则角的值可能是（ ）
A. B. C. D.
11. 在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则A > B
B. 若△ABC锐角三角形，则
C. 若，则△ABC一定为直角三角形
D. 若，则△ABC可以是钝角三角形
12. 已知△ABC三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，c =2．则下列结论正确的是（ ）
A. △ABC的周长最大值为6
B. 最大值为
C.
D. 的取值范围为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若复数，则|z|＝___．
14. 在边长为的正中，在方向上的投影向量是__________．
15. 如图，在中，P为线段AB上一点，则，若，，，且与夹角为，则的值为_______.
16. 年，戴姆勒公司申请登记了“三叉星”做为奔驰轿车的标志，象征着陆上，水上和空中的机械化，而此圆环中的星形标志演变成今天的图案，沿用至今，并成为世界十大著名的商标之一（图一）.已知为内一点，，，的面积分别为，，，则有，我们称之为“奔驰定理”（图二）.已知的内角的对边分别为，且，为内的一点且为内心.若，则的最大值为___________.
四、解答题：本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 计算
（1）
（2）
18. 已知向量，，向量，的夹角为﹒
（1）求的值；
（2）求﹒
19. 设的内角的对边分别为．已知．
（1）求角的大小；
（2）若，，求．
20. 已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，在①，②，③这三个条件中任选一个，并解答下列问题（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）：
（1）求角A；
（2）若，，求BC边上的中线长．
21. 已知向量，，函数.
（1）求函数的最大值.
（2）在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，，求面积的取值范围．
22. 已知的三个内角的对边分别为，且，．
（1）求最大值；
（2）若的内切圆半径为，求的最大值．
双鸭山市名校2022-2023学年高一下学期4月月考
数学试题 答案解析
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 化简的结果等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量的三角形法则，即可求解.
【详解】根据向量的三角形法则，可得.
故选：B.
2. 已知向量，，是线段AB的中点，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由向量坐标的基本运算即可求解.
【详解】因为点是线段AB的中点，
所以，设，
所以，解得，
所以点的坐标是.
故选：B
3. 复数的共轭复数在复平面内的对应点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数乘法运算和共轭复数定义可求得，根据其对应点的坐标可确定结果.
【详解】，对应的点为，位于第四象限.
故选：D.
4. 若向量，，且，则（ ）
A. B. C. 3 D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量数量积的坐标表示计算即可.
【详解】解：∵∴即，解得，D项正确.
故选：D
5. 在中，若，则A=（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用余弦定理求角即可.
【详解】可整理为，所以，又，所以.
故选：B.
6. 已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量共线判断三点共线即可．
【详解】解：
，
又与过同一点B，
∴ A、B、D三点共线．
故选：C．
7. 已知，，若，的夹角为钝角，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量夹角为钝角可知，，由此可构造不等式求得结果.
【详解】夹角为钝角，，且，
由得：，解得：；
当共线时，，解得：或，
当时，，此时，；
综上所述：实数的取值范围为.
故选：B.
8. 安邦河，在黑龙江省内有两条.一条属于松花江二级支流，位于黑龙江省中部，发源于小兴安岭支脉平顶山西坡；另一条属于松花江右岸支流，位于黑龙江省东部，发源于完达山支脉分水岗，自南向北流经双鸭山、集贤、桦川个市县，在桦川县新城乡境内注入松花江. 安邦河从双鸭山一中旁流过，其中一河段的两岸基本上是平行的，根据城建工程计划，需要测量出该河段的宽度，现在一侧岸边选取两点并测得，选取对岸一目标点并测得，，，则该段河流的宽度为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用正弦定理可得，由可求得结果.
【详解】在中，由正弦定理得：，
河流的宽度.
故选：A.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 关于向量下列命题中不正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据向量相等的定义、共线向量的定义和性质依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，当时，方向可能不同，未必成立，A错误；
对于B，若，则反向，，B正确；
对于C，只能说明长度的大小关系，但还有方向，无法比较大小，C错误；
对于D，当时，，，此时未必共线，D错误.
故选：ACD.
10. 在中，已知，且，则角的值可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】利用正弦定理边化角，结合已知可得角B，然后由内角和可得C.
【详解】由正弦定理可得，即
又，所以
因为，所以或.
所以或
故选：CD
11. 在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ）
A 若，则A > B
B. 若△ABC为锐角三角形，则
C. 若，则△ABC一定为直角三角形
D. 若，则△ABC可以是钝角三角形
【答案】ABC
【解析】
【分析】由正弦定理及三角形中大角对大边即可判断A；通过内角和为化简，再借助角为锐角得到角A，B满足关系，在再取角的正弦值化简即可判断B；边化角，运用两角差的正弦公式化简，得到角A，B，C的关系，再借助内角和为计算即可判断C；通过内角和为化简角，再利用两角和的正切公式化简即可得到，然后即可判断D．
【详解】对于A，因为，所以由正弦定理知，又因为在三角形中大角对大边，所以A > B．故A正确；
对于B，因为△ABC为锐角三角形，所以，即，所以．故B正确；
对于C，由正弦定理边化角得，则或（舍），
则，即，则△ABC一定为直角三角形．故C正确；
对于D，由，则，
所以，
又因为最多只有一个角为钝角，所以，，，即三个角都为锐角，
所以△ABC为锐角三角形．故D错误．
故选：ABC．
12. 已知△ABC三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，c =2．则下列结论正确的是（ ）
A. △ABC的周长最大值为6
B. 的最大值为
C.
D. 的取值范围为
【答案】AB
【解析】
【分析】A选项，利用余弦定理和基本不等式即可求解周长的最大值；B选项，先利用向量的数量积计算公式和余弦定理得，再利用正弦定理和三角恒等变换得到，结合B的取值范围即可求出的最大值；C选项，结合B选项中的正弦定理进行求解即可；D选项，用进行变换得到，结合A的取值范围即可得到的取值范围．
【详解】对于A，由余弦定理得，解得，
所以，当且仅当时，等号成立，
解得，当且仅当时，等号成立，
则△ABC周长，所以△ABC周长的最大值为6，故A正确；
对于B，由，
又由正弦定理得，则，，
所以
，
因为，所以，
则的最大值为，即的最大值为，
所以的最大值为，故B正确；
对于C，结合B选项得，故C错误；
对于D，由，
又，所以，
所以，故D错误．
故选：AB．
【点睛】三角函数相关的取值范围问题，常常利用正弦定理，将边转化为角，结合三角函数性质及三角恒等变换进行求解，或者将角转化为边，利用基本不等式进行求解．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若复数，则|z|＝___．
【答案】
【解析】
【分析】根据复数的模长的计算公式，可得答案.
【详解】由题意，复数的实部为，虚部为，则.
故答案为：.
14. 在边长为的正中，在方向上的投影向量是__________．
【答案】
【解析】
【分析】由投影向量定义直接计算即可.
【详解】，，
在方向上的投影向量为.
故答案为：.
15. 如图，在中，P为线段AB上一点，则，若，，，且与的夹角为，则的值为_______.
【答案】-3
【解析】
【分析】利用向量线性运算及平面向量基本定理，用表示与，然后利用数量积的运算律求解即可
【详解】因为，所以，
所以
，
即，
故答案为：-3
16. 年，戴姆勒公司申请登记了“三叉星”做为奔驰轿车的标志，象征着陆上，水上和空中的机械化，而此圆环中的星形标志演变成今天的图案，沿用至今，并成为世界十大著名的商标之一（图一）.已知为内一点，，，的面积分别为，，，则有，我们称之为“奔驰定理”（图二）.已知的内角的对边分别为，且，为内的一点且为内心.若，则的最大值为___________.
【答案】##.
【解析】
【分析】根据内心特点可知，利用向量线性运算进行转化可求得，，则；利用余弦定理和基本不等式可求得，由此可得最大值.
【详解】为的内心，，，
，
，，
即，，；
（当且仅当时取等号），
，，（当且仅当时取等号），
的最大值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 计算
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】根据复数乘除法运算法则直接求解即可.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
.
18. 已知向量，，向量，的夹角为﹒
（1）求的值；
（2）求﹒
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意得到，，再根据数量积的定义即可求解；
（2）结合（1）可得，进而即可求得﹒
【小问1详解】
由，，向量，的夹角为，
则，，
所以﹒
【小问2详解】
结合（1）可得，
所以﹒
19. 设的内角的对边分别为．已知．
（1）求角的大小；
（2）若，，求．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边化角可求得，由此可得；
（2）利用余弦定理直接构造方程求解即可.
【小问1详解】
由正弦定理得：，
，，，即，
又，.
【小问2详解】
，，
，解得：或.
20. 已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，在①，②，③这三个条件中任选一个，并解答下列问题（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）：
（1）求角A；
（2）若，，求BC边上的中线长．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】(1)选①，利用正弦定理边化角计算作答；选②，利用正弦定理边化角并逆用和角的正弦计
算作答；选③，利用正弦定理角化边并利用余弦定理计算作答.
(2)在中，用余弦定理求出边a及角B，在中，用余弦定理计算作答.
【小问1详解】
选①，在中，由正弦定理及得：，
而，即，于是得，又，
所以.
选②，在中，由正弦定理及得：
，而，，则，
所以.
选③，在中，由正弦定理及得：，
即，由余弦定理得，而，
所以.
【小问2详解】
由(1)知，，在中，由余弦定理得：
，即，
，设BC的中点为D，则，
在中，由余弦定理得：，
解得，
所以BC边上的中线长.
21 已知向量，，函数.
（1）求函数的最大值.
（2）在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，，求面积的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）结合向量数量积的坐标表示及和差角与辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质计算可得；
（2）由已知先求，然后结合正弦定理化表示，然后结合和差角，二倍角公式及辅助角公式进行化简，结合锐角三角形确定出的范围，再由正弦函数性质及三角形面积公式可求．
【小问1详解】
因为，，且，
所以
，
所以当，，
即，时，最大，且最大值为；
【小问2详解】
由（1）知，，
则，
则或，
解得或，
所以中，，所以，又，
由正弦定理得，
所以，，
所以
，
在锐角中，，解得，
所以，，
所以的取值范围为，
所以．
22. 已知的三个内角的对边分别为，且，．
（1）求的最大值；
（2）若的内切圆半径为，求的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）化简已知等式，结合余弦定理可求得，由正弦定理边化角，结合三角恒等变换知识可整理得到，由正弦型函数最值可求得结果；
（2）利用面积桥和余弦定理可将表示为，代入所求式子，结合正弦定理边化角和三角恒等变换知识可得到，由正弦型函数值域的求法可求得最大值.
【小问1详解】
由得：，
整理可得：，，
又，，
由正弦定理得：，，，
（其中，），
，，
当时，取得最大值.
【小问2详解】
，即，；
由余弦定理得：，，
，
，
由（1）知：；
，，，
，则的最大值为.