2022-2023学年襄州区程河镇中心学校九年级下学期期中测试
数学试题
考试时间：100分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
评卷人 得 分
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AC＝2，tan∠BCD＝，则AB的值为（ ）
A．3 B．4 C．4 D．2
3．（3分）如图，点P是反比例函数y＝图象上的一点，过点P作PD⊥x轴于点D，若△POD的面积为m，则函数y＝mx﹣1的图象为（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）将一块含30°角的三角板ABC按如图所示摆放在平面直角坐标系中，直角顶点C在x轴上，AB∥x轴．反比例函数y＝（x＞0）的图象恰好经过点A，且与直角边BC交于点D．若AB＝12，BD＝2CD，则k的值为（ ）
A．27 B．20 C．18 D．12
5．（3分）如图，是一圆锥的左视图，根据图中所示数据，可得圆锥侧面展开图的面积为（ ）
A． B． C．24π D．32π
6．（3分）如图，一架飞机在空中A处检测到正下方地平面目标C，此时飞机的飞行高度AC＝2800米，从飞机上看地平面指挥台B的俯角α＝34°，此时AB长为（ ）
A．2800sin34°米 B．米
C．2800cos34°米 D．米
7．（3分）反比例函数经过点（﹣2，4），则k的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8
8．（3分）如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD四条边上的点，连结EF，GH相交于点I，且GH∥AD，EF∥AB，矩形BFIG∽矩形EIHD，连接AC交GH，EF于点P，Q．下列一定能求出△DPQ面积的条件是（ ）
A．矩形BFIG和矩形EIHD的面积之差
B．矩形ABCD与矩形BFIG的面积之差
C．矩形BFIG和矩形FCHI的面积之差
D．矩形BFIG和矩形EIGA的面积之差
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD与y轴分别交于E、F两点，对角线BD在x轴上，反比例函数的图象过点A并交AD于点G，连接DF．若BE：AE＝1：2，AG：GD＝3：2，且△FCD的面积为，则k的值是（ ）
A． B．3 C． D．5
10．（3分）如图是一个由A、B、C三种相似的直角三角形纸片拼成的矩形，A、B、C的纸片的面积分别为S1、S2、S3，（S1与S2，S2与S3的相似比相同），相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，若S1＞S2＞S3，则这个矩形的面积一定可以表示为（ ）
A．4S1 B．6S2 C．4S2+3S3 D．3S1+4S3
评卷人 得 分
二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
11．（4分）请写出一个过点（0，0）和（1，1）的函数解析式 ．
12．（4分）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架水平放置并且左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝10分米，晾衣臂（OA）撑开时与支脚（OC）的夹角∠AOC＝105°，则点A离地面的距离AM为 分米．（结果保留根号）
13．（4分）如图，△ABC中，BD＝2CD，CF＝3AF，AE＝4BE，连接CE交DF于P点，则的值为 ．
14．（4分）已知反比例函数的图象经过点（1，2），则k的值为 ．
15．（4分）为测量旗杆的高度，小辉的测量方法如下：如图，将直角三角形硬纸板△DEF的斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上．测得DE＝0.6米，EF＝0.3米，目测点D到地面的距离DG＝1.7米，到旗杆的水平距离DC＝18米，按此方法，可计算出旗杆的高度为 米．
评卷人 得 分
三．解答题（共8小题，满分70分）
16．（6分）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠A＝105°，AC＝4，求BC的长．
17．（8分）甲、乙两旅游爱好者从点B出发到点D，甲沿B﹣C﹣D的路线，乙沿B﹣A﹣D的路线．经测量，点C在点B的正北方向，点D在点C的北偏西60°，点A在点B的正西方向，点D在点A的北偏东45°，AB＝700米，米．
（1）求点D到BC的距离；
（2）为方便联系，甲、乙两人各携带一部对讲机，对讲机信号覆盖半径是600米，当甲在点D，乙在点A时，乙能否收到甲的呼叫信号？请说明理由．（参考数据：，）
18．（10分）小明家住在某小区一楼，购房时开发商赠送了一个露天活动场所，现小明在活动场所正对的墙上安装了一个遮阳棚BC，经测量，安装遮阳棚的那面墙AB高3m，安装的遮阳棚展开后可以使正午时刻房前能有2m宽的阴影处（AD）以供纳凉．已知正午时刻太阳光与水平地面的夹角为63.4°，安装好的遮阳篷BC与水平面的夹角为10°，如图为侧面示意图．
（参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00）
（1）据研究，当一个人从遮阳棚进出时，如果遮阳棚外端（即图中点C）到地面的距离小于2.3m时，则人进出时总会觉得没有安全感，就会不自觉的低下头或者用手护着头，请你通过计算，判断此遮阳棚是否使得人进出时具有安全感？
（2）请计算此遮阳棚延展后的长度（即BC的长度）．（结果精确到0.1m）
19．（8分）常乐宝塔（如图1），本名金陵寺宝塔，是一座典型宋代砖塔．某数学小组为了测量常乐宝塔的高度，利用休息时间进行了实地测量：如图2，首先把长为2米的标杆CD垂直立于地面上的点C处，当塔尖B、标杆顶端D与地面上的点E在同一直线上时，EC＝3米；再将标杆沿AC方向平移11米至点G处（即CG＝11米，GH＝2米），当塔尖B、标杆顶端H与地面上的点F在同一直线上时，FG＝4米，已知BA⊥AF，DC⊥AF，HG⊥AF，点A、C、E、G、F在同一水平直线上，请你帮助这个数学小组求出常乐宝塔的高度AB．
20．（8分）某海域内一艘轮船从西向东航行到A处时发现正东方向有一处暗礁，轮船马上调整方向，沿北偏东45°航行到点B处，然后沿南偏东75°航行20海里到达C处，此时C恰好在A的正东方向．
（1）求A，C两地的距离；（结果保留根号）
（2）求A，B两地的距离．（结果保留根号）
21．（10分）如图，四边形ACBD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CD平分∠ACB交AB于点E，点P在AB延长线上，∠PCB＝∠BDC．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）求证：PE2＝PB PA．
22．（8分）如图，AB和CD是同一水平地面上的两座楼房，已知楼AB的高为20米，在楼AB的楼顶点A测得楼CD的楼顶C的仰角为37°，楼底D的俯角为30°，求楼CD的高．（结果保留根号，参考数据：sin37°＝，cos37°＝，tan37°＝）
23．（12分）如图，一次函数y＝x﹣1的图象与反比例函数的图象交于点A（n，1），B（﹣1，m）．
（1）求函数的表达式；
（2）根据图象写出使一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围；
（3）点C是反比例函数的图象上第一象限内的一个动点，当△ABC的面积等于△ABO的面积时，求C点的坐标．2022-2023学年襄州区程河镇中心学校九年级下学期期中测试
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】主视图、俯视图是分别从物体正面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：A、该圆柱的主视图为矩形、俯视图为圆，故本选项不合题意；
B、该长方体的主视图和俯视图均为矩形，故本选项符合题意；
C、该圆台的主视图为等腰三角形、俯视图为同心圆，故本选项不合题意；
D、该四棱柱的主视图为三角形、俯视图为画有对角线的四边形，故本选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，熟练掌握常见的几何体的三视图是解题的关键．
2．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AC＝2，tan∠BCD＝，则AB的值为（ ）
A．3 B．4 C．4 D．2
【分析】先利用特殊角的函数值求出∠BCD，再利用角间关系求出∠B，最后利用直角三角形的边角间关系得结论．
【解答】解：∵CD⊥AB于D，
∴∠CDB＝90°．
在Rt△BCD中，
∵tan∠BCD＝，tan30°＝，
∴∠BCD＝30°．
∴∠B＝90°﹣∠BCD＝60°．
在Rt△BCA中，
∵sinB＝，
∴AB＝＝＝＝4．
故选：B．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系及特殊角的函数值是解决本题的关键．
3．（3分）如图，点P是反比例函数y＝图象上的一点，过点P作PD⊥x轴于点D，若△POD的面积为m，则函数y＝mx﹣1的图象为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先根据反比例函数系数k的几何意义，求出m的值等于1，然后求出一次函数的解析式，再确定一次函数的图象经过点（0，﹣1）（1，0），即可确定选项．
【解答】解：设P点坐标为（x，y），
∵P点在第一象限且在函数y＝的图象上，
∴S△POD＝×2＝1，即m＝1．
∴一次函数y＝mx﹣1的解析式为：y＝x﹣1，
∴一次函数的图象是经过点（0，﹣1），（1，0）的直线．
故选：A．
【点评】考查了反比例函数图象上点的坐标特点及一次函数的图象，解答此题的关键是根据反比例函数系数k的几何意义求出m的值，再根据一次函数解析式确定一次函数的图象与坐标轴的交点．
4．（3分）将一块含30°角的三角板ABC按如图所示摆放在平面直角坐标系中，直角顶点C在x轴上，AB∥x轴．反比例函数y＝（x＞0）的图象恰好经过点A，且与直角边BC交于点D．若AB＝12，BD＝2CD，则k的值为（ ）
A．27 B．20 C．18 D．12
【分析】过点A作AE⊥x轴，交x轴于点E，过点D作FH⊥x轴，交x轴于点F，交AB于点H，利用平行线的性质可知∠ABC＝BCF＝30°，再分别用三角函数解得AE长、DF长、AH长，设点A坐标为（x，9），可知点D坐标为，根据反比例函数图象上的点的特征解出x的值，k值即可求．
【解答】解：如图过点A作AE⊥x轴，交x轴于点E，过点D作FH⊥x轴，交x轴于点F，交AB于点H，
∵AB∥x轴，
∴∠ABC＝∠BCF＝30°，
∵AB＝12，
∴AC＝，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠BCF＝90°，
∵AE⊥x轴，
∴∠AEC＝90°，
∴∠ACE+∠EAC＝90°，
∴∠EAC＝∠BCF＝30°，
∴EC＝，
∴AE＝＝9，
∵AB＝12，∠ABC＝∠BCF＝30°，
∴BC＝AB cos30°＝12＝18，
∵BD＝2CD，
∴BD＝BC＝6，
∴BH＝BD cos30°＝12×，
∴AH＝AB﹣BH＝12，
∴DF＝CD sin30°＝6×＝3，
设点A坐标为（x，9），可知点D坐标为，
∵点A与点D都在反比例函数y＝上，
∴，
解得x＝3，
∴k＝9×3，
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征、特殊角的三角函数、平行线的性质等知识点、熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
5．（3分）如图，是一圆锥的左视图，根据图中所示数据，可得圆锥侧面展开图的面积为（ ）
A． B． C．24π D．32π
【分析】由题意知，该圆锥的底面半径r为，圆锥高为8，圆锥的母线长l为，根据圆锥侧面展开图的面积为πrl，代入求解即可．
【解答】解：由题意知，该圆锥的底面半径r为，圆锥高为8，圆锥的母线长l为，
∴圆锥侧面展开图的面积为，
故选：C．
【点评】本题考查了圆锥侧面展开图的面积．解题的关键在于熟练掌握面积公式．
6．（3分）如图，一架飞机在空中A处检测到正下方地平面目标C，此时飞机的飞行高度AC＝2800米，从飞机上看地平面指挥台B的俯角α＝34°，此时AB长为（ ）
A．2800sin34°米 B．米
C．2800cos34°米 D．米
【分析】根据题意可得：AC⊥BC，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：AC⊥BC，
在Rt△ABC中，AC＝2800米，∠ABC＝α＝34°，
∴AB＝＝（米），
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
7．（3分）反比例函数经过点（﹣2，4），则k的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8
【分析】将点的坐标代入反比例函数解析式即可解答．
【解答】解：∵反比例函数经过点（﹣2，4），
∴k＝﹣2×4＝﹣8．
故选：D．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，函数的图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．
8．（3分）如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD四条边上的点，连结EF，GH相交于点I，且GH∥AD，EF∥AB，矩形BFIG∽矩形EIHD，连接AC交GH，EF于点P，Q．下列一定能求出△DPQ面积的条件是（ ）
A．矩形BFIG和矩形EIHD的面积之差
B．矩形ABCD与矩形BFIG的面积之差
C．矩形BFIG和矩形FCHI的面积之差
D．矩形BFIG和矩形EIGA的面积之差
【分析】设BF＝a，BG＝b，根据矩形BFIG∽矩形EIHD，得DE＝ka，DH＝kb，根据S△DPQ＝S△ADC﹣S△ADP﹣S△DQC代入计算可解答．
【解答】解：设BF＝a，BG＝b，
∵矩形BFIG∽矩形EIHD，
则DE＝ka，DH＝kb，
∴AD＝AE+DE＝BF+DE＝a+ka，DC＝DH+HC＝DH+BG＝b+kb，
∴S△DPQ＝S△ADC﹣S△ADP﹣S△DQC
＝AD DC﹣AD DHDC DE
＝（a+ka）（b+kb）﹣（a+ka） kb﹣（b+kb） ak
＝（ab﹣k2ab），
∵矩形BFIG和矩形EIHD的面积之差＝ab﹣ka kb＝ab﹣k2ab，
∴一定能求出△DPQ面积的条件是矩形BFIG和矩形EIHD的面积之差．
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质，矩形相似的性质，三角形的面积，利用面积差表示△DPQ的面积是本题的关键．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD与y轴分别交于E、F两点，对角线BD在x轴上，反比例函数的图象过点A并交AD于点G，连接DF．若BE：AE＝1：2，AG：GD＝3：2，且△FCD的面积为，则k的值是（ ）
A． B．3 C． D．5
【分析】过点作AM⊥x轴于点M，GN⊥x轴于点N，设点A（a，b），则AM＝b，OM＝a，可得△DGN∽△DAM，则OB：OM＝BE：AE，再由BE：AE＝1：2，AG：GD＝3：2，可得到OB＝a，GN＝b，从而得到ON＝a，进而得到MN＝，继而DN＝a，再由平行四边形的性质，可得△BOF∽△DNG，从而得到OF＝b，再由S△FCD＝S△BCD﹣S△BDF，即可求解．
【解答】解：如图，过点A作AM⊥x轴于点M，GN⊥x轴于点N，
设点A（a，b），则AM＝b，OM＝a，
∴AM∥NG，AM∥y轴，
∴△DGN∽△DAM，OB：OM＝BE：AE，
∴＝＝，
∵BE：AE＝1：2，AG：GD＝3：2，
∴OB＝OM＝a，＝＝，＝，
∴GN＝b，
∵点A、G在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，
∴k＝ab＝b ON，
∴ON＝a，
∴MN＝ON﹣OM＝a，
∴DN＝×a，
∴BD＝OB+ON+DN＝4a，
∴∠OBF＝∠GDN，S△ABD＝S△BCD，
∵∠BOF＝∠GND＝90°，
∴△BOF∽△DNG，
∴＝，即＝，
∴OF＝b，
∵S△FCD＝S△BCD﹣S△BDF，
∴b×4a﹣×b×4a＝，
解得ab＝3，
∴k＝ab＝3．
故选：B．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，反比例函数中k的几何意义，平行四边形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
10．（3分）如图是一个由A、B、C三种相似的直角三角形纸片拼成的矩形，A、B、C的纸片的面积分别为S1、S2、S3，（S1与S2，S2与S3的相似比相同），相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，若S1＞S2＞S3，则这个矩形的面积一定可以表示为（ ）
A．4S1 B．6S2 C．4S2+3S3 D．3S1+4S3
【分析】如图，由A、B、C三种直角三角形相似，设相似比为k，EF＝m，则GH＝mk，FH＝mk2．想办法构建方程，求出k定值，证明S2+S3＝S1即可解决问题；
【解答】解：如图，由A、B、C三种直角三角形相似，设相似比为k，EF＝m，则GH＝mk，FH＝mk2．
∴EH＝m（1+k2），FM＝，FK＝km（1+k2），
则有：km（1+k2）+mk＝，
整理得：k4+k2﹣1＝0，
∴k2＝或（舍弃），
∴S2＝S1，S3＝（）2S1＝S1，
∴S2+S3＝S1，
∴这个矩形的面积＝2S1+2（S2+S3）＝4S1，
故选：A．
【点评】本题考查相似三角形的性质、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
11．（4分）请写出一个过点（0，0）和（1，1）的函数解析式 y＝x或y＝x2（答案不唯一） ．
【分析】此题没有告诉函数类型，所以只需根据一次函数，二次函数的形式写出过点（0，0）和（1，1）的解析式即可．
【解答】解：将点（0，0）和（1，1）代入一次函数或二次函数或反比例函数得：y＝x或y＝x2等，
故答案为：y＝x或y＝x2等．
【点评】此题考查反比例函数，掌握反比例函数的定义与性质是解题的关键．
12．（4分）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架水平放置并且左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝10分米，晾衣臂（OA）撑开时与支脚（OC）的夹角∠AOC＝105°，则点A离地面的距离AM为 （5） 分米．（结果保留根号）
【分析】过点O作OQ⊥AM，垂足为M，过点O作OP⊥CD，垂足为P，根据题意可得QM＝OP，∠QOP＝90°，先利用等腰三角形的三线合一性质可得∠COP＝30°，再在Rt△COP中，利用锐角三角函数的定义求出OP的长，然后在Rt△AOQ中，利用锐角三角函数的定义求出AQ的长，进行计算即可解答．
【解答】解：过点O作OQ⊥AM，垂足为M，过点O作OP⊥CD，垂足为P，
则QM＝OP，∠QOP＝90°，
∵OC＝OD，∠COD＝60°，
∴∠COP＝∠COD＝30°，
在Rt△COP中，OC＝10分米，
∴OP＝OC cos30°＝10×＝5（分米），
∴分米，
∵∠AOC＝105°，
∴∠AOQ＝∠AOC+∠COP﹣∠QOP＝45°，
∴AQ＝AO sin45°＝10×（分米），
∴AM＝AQ+QM＝（5）分米，
∴点A离地面的距离AM为（5）分米，
故答案为：（5）．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
13．（4分）如图，△ABC中，BD＝2CD，CF＝3AF，AE＝4BE，连接CE交DF于P点，则的值为 ．
【分析】延长BA和DF交于N，过C作CM∥AB，交FD的延长线于M，设AN＝a，根据相似三角形的判定得出△NBD∽△MDC，△AFN∽△CFM，△CPM∽△EPN，根据相似三角形的性质得出＝＝2，＝＝，求出CM＝3AN＝3a，BN＝2CM＝6a，求出EN＝5a，再根据相似三角形的性质得出＝即可．
【解答】解：延长BA和DF交于N，过C作CM∥AB，交FD的延长线于M，设AN＝a，
∵CM∥AB，
∴△NBD∽△MDC，△AFN∽△CFM，
∵BD＝2CD，CF＝3AF，AE＝4BE，
∴＝＝2，＝＝，
∴CM＝3AN＝3a，BN＝2CM＝2×3a＝6a，
∵AN＝a，
∴AB＝BN﹣AN＝6a﹣a＝5a，
∵AE＝4BE，
∴AE＝4a，
∴EN＝4a+a＝5a，
∵CM∥AB，
∴△CPM∽△EPN，
∴＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质和判定，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
14．（4分）已知反比例函数的图象经过点（1，2），则k的值为 4 ．
【分析】将点（1，2）代入解析式，即可求出k的值．
【解答】解：∵反比例函数的图象经过点（1，2），
∴k﹣2＝1×2，
解得k＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了反比例函数的解析式，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
15．（4分）为测量旗杆的高度，小辉的测量方法如下：如图，将直角三角形硬纸板△DEF的斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上．测得DE＝0.6米，EF＝0.3米，目测点D到地面的距离DG＝1.7米，到旗杆的水平距离DC＝18米，按此方法，可计算出旗杆的高度为 10.7 米．
【分析】根据题意得出△DEF∽△DCA，进而根据相似三角形的性质即可求解．
【解答】解：依题意，∠ADC＝∠FDE，∠FED＝∠ACD＝90°，
∴△DEF∽△DCA，
∴，
∵DE＝0.6米，EF＝0.3米，DC＝18米，
∴（米），
∴AB＝AC+DG＝AC+BC＝10.7（米），
故答案为：10.7．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
三．解答题（共8小题，满分70分）
16．（6分）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠A＝105°，AC＝4，求BC的长．
【分析】如图所示，过点A作AD⊥BC于D，先利用三角形内角和定理求出∠C＝30°，再证明∠BAD＝45°＝∠B，得到AD＝BD，由含30度角的直角三角形的性质求出BD＝AD＝2，再利用勾股定理求出即可得到答案．
【解答】解：如图所示，过点A作AD⊥BC于D，
∵在△ABC中，∠B＝45°，∠BAC＝105°，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝30°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠BAD＝45°＝∠B，
∴AD＝BD，
∵AC＝4，
∴，
∴，
∴．
【点评】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
17．（8分）甲、乙两旅游爱好者从点B出发到点D，甲沿B﹣C﹣D的路线，乙沿B﹣A﹣D的路线．经测量，点C在点B的正北方向，点D在点C的北偏西60°，点A在点B的正西方向，点D在点A的北偏东45°，AB＝700米，米．
（1）求点D到BC的距离；
（2）为方便联系，甲、乙两人各携带一部对讲机，对讲机信号覆盖半径是600米，当甲在点D，乙在点A时，乙能否收到甲的呼叫信号？请说明理由．（参考数据：，）
【分析】（1）过点D作DE⊥BC的延长线于点E，得出∠CDE＝30°．即可求得DE＝CD sin60°＝300（米）；
（2）过点D作DF⊥AB于点F．则四边形BEDF是矩形，BF＝DE＝300米，可得AF＝DF＝AB﹣BF＝400米，进而求得AD的长，比较即可得出答案．
【解答】解：（1）如图，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，
则∠CDE＝90°﹣60°＝30°，
∴DE＝CD sin60°＝200×＝300（米），
∴点D到BC的距离为300米；
（2）乙能收到甲的呼叫信号，理由如下：
过点D作DF⊥AB于点F．
∴四边形BEDF是矩形，
∴BF＝DE＝300米，
∵∠DAF＝90°﹣45°＝45°，
∴AF＝DF＝AB﹣BF＝700﹣300＝400（米），
∴AD＝AF＝400≈565.6（米），
∵565.6＜600，
∴乙能收到甲的呼叫信号．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确地作出辅助线是解题的关键．
18．（10分）小明家住在某小区一楼，购房时开发商赠送了一个露天活动场所，现小明在活动场所正对的墙上安装了一个遮阳棚BC，经测量，安装遮阳棚的那面墙AB高3m，安装的遮阳棚展开后可以使正午时刻房前能有2m宽的阴影处（AD）以供纳凉．已知正午时刻太阳光与水平地面的夹角为63.4°，安装好的遮阳篷BC与水平面的夹角为10°，如图为侧面示意图．
（参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00）
（1）据研究，当一个人从遮阳棚进出时，如果遮阳棚外端（即图中点C）到地面的距离小于2.3m时，则人进出时总会觉得没有安全感，就会不自觉的低下头或者用手护着头，请你通过计算，判断此遮阳棚是否使得人进出时具有安全感？
（2）请计算此遮阳棚延展后的长度（即BC的长度）．（结果精确到0.1m）
【分析】（1）过点C作CF⊥AD，垂足为F，根据题意可得：AE＝CF，CE＝AF，AD＝2m，然后设CE＝AF＝xm，则DF＝（x﹣2）m，在Rt△BEC中，利用锐角三角函数的定义求出BE的长，从而求出AE的长，再在Rt△DCF中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，最后根据AE＝CF，列出关于x的方程，进行计算可求出CF的长，进行比较即可解答；
（2）利用（1）的结论求出BE的长，然后在Rt△BEC中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【解答】解：（1）此遮阳棚能使得人进出时具有安全感，
理由：过点C作CF⊥AD，垂足为F，
由题意得：AE＝CF，CE＝AF，AD＝2m，
设CE＝AF＝xm，
∴DF＝AF﹣AD＝（x﹣2）m，
在Rt△BEC中，∠BCE＝10°，
∴BE＝CE tan10°≈0.18x（m），
∴AE＝AB﹣BE＝（3﹣0.18x）m，
在Rt△DCF中，∠CDF＝63.4°，
∴CF＝DF tan63.4°≈2（x﹣2）m，
∵AE＝CF，
∴3﹣0.18x＝2（x﹣2），
解得：x＝，
∴CF＝2（x﹣2）≈2.42（m），
∵2.42m＞2.3m，
∴此遮阳棚能使得人进出时具有安全感；
（2）由（1）得：BE＝0.18x＝（m），
在Rt△BEC中，∠BCE＝10°，
∴BC＝≈≈3.4（m），
∴此遮阳棚延展后的长度约为3.4m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
19．（8分）常乐宝塔（如图1），本名金陵寺宝塔，是一座典型宋代砖塔．某数学小组为了测量常乐宝塔的高度，利用休息时间进行了实地测量：如图2，首先把长为2米的标杆CD垂直立于地面上的点C处，当塔尖B、标杆顶端D与地面上的点E在同一直线上时，EC＝3米；再将标杆沿AC方向平移11米至点G处（即CG＝11米，GH＝2米），当塔尖B、标杆顶端H与地面上的点F在同一直线上时，FG＝4米，已知BA⊥AF，DC⊥AF，HG⊥AF，点A、C、E、G、F在同一水平直线上，请你帮助这个数学小组求出常乐宝塔的高度AB．
【分析】根据垂直定义可得∠BAC＝∠DCE＝∠HGF＝90°，然后证明A字模型相似三角形△EDC∽△EBA，从而利用相似三角形的性质可得＝，进而可得＝，再证明A字模型相似三角形△HFG∽△BFA，从而利用相似三角形的性质可得＝，进而可得＝，最后可得：＝，从而求出AC的长，进而求出AB的长，即可解答．
【解答】解：∵BA⊥AF，DC⊥AF，HG⊥AF，
∴∠BAC＝∠DCE＝∠HGF＝90°，
∵∠DEC＝∠BEA，
∴△EDC∽△EBA，
∴＝，
∴＝，
∵∠HFG＝∠BFA，
∴△HFG∽△BFA，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∴AC＝33米，
∴＝，
∴AB＝24米，
∴常乐宝塔的高度AB为24米．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键．
20．（8分）某海域内一艘轮船从西向东航行到A处时发现正东方向有一处暗礁，轮船马上调整方向，沿北偏东45°航行到点B处，然后沿南偏东75°航行20海里到达C处，此时C恰好在A的正东方向．
（1）求A，C两地的距离；（结果保留根号）
（2）求A，B两地的距离．（结果保留根号）
【分析】（1）过B作BH⊥AC于H，过C作CD⊥AB于D，得到∠AHB＝∠D＝90°，求得△AHB与△ADC是等腰直角三角形，得到∠ABH＝45°，求得∠DBC＝60°，根据三角函数的定义即可得到结论；（2）根据三角形的那句话定理得到∠DCB＝30°，求得BD＝BC＝（海里），根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）过B作BH⊥AC于H，过C作CD⊥AB于D，
则∠AHB＝∠D＝90°，
∵∠BAH＝45°，
∴△AHB与△ADC是等腰直角三角形，
∴∠ABH＝45°，
∵∠HBC＝75°，
∴∠DBC＝60°，
∵BC＝20海里，
∴CD＝BC＝10（海里），
∴AC＝CD＝10（海里），
答：A，C两地的距离10海里；
（2）在Rt△BCD中，∵∠D＝90°，∠DBC＝60°，
∴∠DCB＝30°，
∴BD＝BC＝（海里），
在Rt△ADC中，∵∠D＝90°，∠DAC＝45°，
∴AD＝CD＝10（海里），
∴AB＝AD﹣BD＝（10﹣10）海里，
答：A，B两地的距离为（10﹣10）海里．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确地作出辅助线是解题的关键．
21．（10分）如图，四边形ACBD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CD平分∠ACB交AB于点E，点P在AB延长线上，∠PCB＝∠BDC．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）求证：PE2＝PB PA．
【分析】（1）连接OC，根据∠ACB＝90°，可证∠PCB+∠OCB＝90°，则OC⊥PC，且OC是半径，即可证明；
（2）首先证明△PCB∽△PAC，得PC2＝PB PA，再由∠CEB＝∠CAB+45°，∠PCE＝45°+∠PCB，得∠CEB＝∠PCE，则有PC＝PE，从而证明结论．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠ABC＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵∠BDC＝∠CAB，∠PCB＝∠BDC，
∴∠PCB+∠OCB＝90°，
∴OC⊥PC，
∵OC是半径，
∴PC是⊙O的切线；
（2）证明：∵∠PCB＝∠PAC，∠P＝∠P，
∴△PCB∽△PAC，
∴PC2＝PB PA，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
∵∠CEB＝∠CAB+45°，∠PCE＝45°+∠PCB，
∴∠CEB＝∠PCE，
∴PC＝PE，
∴PE2＝PB PA．
【点评】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
22．（8分）如图，AB和CD是同一水平地面上的两座楼房，已知楼AB的高为20米，在楼AB的楼顶点A测得楼CD的楼顶C的仰角为37°，楼底D的俯角为30°，求楼CD的高．（结果保留根号，参考数据：sin37°＝，cos37°＝，tan37°＝）
【分析】在题中两个直角三角形中，知道已知角和其邻边，只需根据正切值求出对边后相加即可．
【解答】解：延长过点A的水平线交CD于点E，则有AE⊥CD，四边形ABDE是矩形，
∴BD＝AE，DE＝AB＝20米．
∵BD＝＝20（米），
∴AE＝20米．
∴CE＝AE tan37°＝20×＝15（米）．
∴CD＝CE+ED＝（15+20）米．
答：楼CD的高是（15+20）米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，涉及到特殊角的三角函数值及等腰三角形的判定，熟知以上知识是解答此题的关键．
23．（12分）如图，一次函数y＝x﹣1的图象与反比例函数的图象交于点A（n，1），B（﹣1，m）．
（1）求函数的表达式；
（2）根据图象写出使一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围；
（3）点C是反比例函数的图象上第一象限内的一个动点，当△ABC的面积等于△ABO的面积时，求C点的坐标．
【分析】（1）点A（n，1），B（﹣1，m）在一次函数上，求出m，n的值，待定系数法求出的表达式即可；
（2）找到直线在双曲线上方时，x的取值范围即可；
（3）△ABC的面积等于△ABO的面积，得到点C到直线AB的距离等于点O到直线AB的距离，根据平行线间的距离处处相等，将直线AB向上或向下平移1个单位，得到直线l1，l2，直线l1，l2与双曲线在第一象限的交点即为点C，进行求解即可．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝x﹣1的图象与反比例函数的图象交于点A（n，1），B（﹣1，m），
∴m＝﹣1﹣1＝﹣2，1＝n﹣1，
∴n＝2，
∴B（﹣1，﹣2），A（2，1），
∴k＝1×2＝2，
∴；
（2）由图象可知：
当﹣1＜x＜0或x＞2时，直线在双曲线上方，
∴一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围为：﹣1＜x＜0或x＞2；
（3）∵△ABC的面积等于△ABO的面积，
∴点C到直线AB的距离等于点O到直线AB的距离，
∴将直线AB向上或向下平移1个单位，得到直线l1，l2，直线l1，l2与双曲线在第一象限的交点即为点C，
如图：
∵y＝x﹣1，
∴l1：y＝x，l2：y＝x﹣2，
联立，
解得：或（不合题意，舍去）；
∴；
联立，
解得：或（不合题意，舍去）；
∴；
综上：点C的坐标为：或．
