2022-2023学年襄州区双沟镇中心学校九年级下学期期中测试
数学试题
考试时间：100分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
评卷人 得 分
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）如图是由4个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）如图，点P是反比例函数y＝图象上的一点，过点P作PD⊥x轴于点D，若△POD的面积为m，则函数y＝mx﹣1的图象为（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）如图，是一圆锥的左视图，根据图中所示数据，可得圆锥侧面展开图的面积为（ ）
A． B． C．24π D．32π
4．（3分）血药浓度（PlasmaConcentration）指药物吸收后在血浆内的总浓度，已知药物在体内的浓度随着时间而变化．某成人患者在单次口服1单位某药后，体内血药浓度及相关信息如图所示，根据图中提供的信息，下列关于成人患者使用该药血药浓度（mg/L）5a最低中毒浓度（MTC）物的说法中正确的是（ ）
A．从t＝0开始，随着时间逐渐延长，血药浓度逐渐增大
B．当t＝1时，血药浓度达到最大为5amg/L
C．首次服用该药物1单位3.5小时后，立即再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒
D．每间隔4h服用该药物1单位，可以使药物持续发挥治疗作用
5．（3分）已知点在反比例函数的图象上，则（ ）
A．y2＜y1＜0 B．y1＜y2＜0 C．y1＜0＜y2 D．0＜y1＜y2
6．（3分）如图，一架飞机在空中A处检测到正下方地平面目标C，此时飞机的飞行高度AC＝2800米，从飞机上看地平面指挥台B的俯角α＝34°，此时AB长为（ ）
A．2800sin34°米 B．米
C．2800cos34°米 D．米
7．（3分）如图，△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，连接DE，若＝，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）某商家设计了一个水箱水位自动报警仪，其电路图如图1所示，其中定值电阻R1＝10Ω，R2是一个压敏电阻，用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，放入水箱底部，受力面水平，承受水压的面积S为0.01m2，压敏电阻R2的阻值随所受液体压力F的变化关系如图2所示（水深h越深，压力F越大），电源电压保持6V不变，当电路中的电流为0.3A时，报警器（电阻不计）开始报警，水的压强随深度变化的关系图象如图3所示（参考公式，F＝pS，1000Pa＝1kPa），则下列说法中不正确的是（ ）
A．当水箱未装水（h＝0m）时，压强p为0kPa
B．当报警器刚好开始报警时，水箱受到的压力F为40N
C．当报警器刚好开始报警时，水箱中水的深度h是0.8m
D．若想使水深1m时报警，应使定值电阻R1的阻值为12Ω
9．（3分）如图所示，边长为4的正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E在线段OD上，连接CE，作EF⊥CE交AB于点F，连接CF交BD于点H，则下列结论：①EF＝EC；②CF2＝CG CA；③BE DH＝16；④若BF＝1，则DE＝，正确的是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
10．（3分）如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一点，AB垂直于x轴，垂足为B，△OAB的面积为8．若点P（a，4）也在此函数的图象上，则a的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
评卷人 得 分
二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
11．（4分）用小正方体搭一个几何体，其主视图和左视图如图所示，那么搭成这样的几何体至少需要 个小正方体．
12．（4分）一款闭门器按如图1所示安装，支点A，C分别固定在门框和门板上，门宽OD＝52cm，摇臂AB＝18cm，连杆BC＝24cm，闭门器工作时，摇臂、连杆和OC长度均固定不变．如图2，当门闭合时，，则AC的长为 cm．如图3，门板绕点O旋转，当∠B＝90°时，点D到门框的距离DK＝48cm，则OC的长为 cm．
13．（4分）如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A，B，D三点在同一直线上，若AB＝20m，则这棵树CD的高度约为 m．（按四舍五入法将结果保留小数点后一位，参考数据：）
14．（4分）如图，已知函数y＝（k≠0）经过点A（2，3），延长AO交双曲线另一分支于点C，过点A作直线AB交y轴正半轴于点D，交x轴负半轴于点E，交双曲线另一分支于点B，且DE＝2AD．则△ABC的面积 ．
（4分）已知过原点的一条直线l与反比例函数的图象交于A，B两点（A在B的右侧）．C是反比例函数图象上位于A点上方的一动点，连接AC并延长交y轴于点D，连接CB交y轴于点E．若AC＝mCD，BC＝nCE，则m﹣n＝ ．
评卷人 得 分
三．解答题（共8小题，满分70分）
16．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠A＝105°，AC＝4，求BC的长．
17．（8分）在一次课外实践活动中，九年级数学兴趣小组准备测量学校旁边的一座古塔的高度，同学们设计了两个测量方案如下：
课题 测量古塔（AB）的高度
测量工具 测角仪，1.5m标杆，皮尺等
测量小组 第一组 第二组
测量方案示意图
说明 点C、E、B在同一直线上，CD、EF为标杆 CD为古塔旁边的两层小楼
测量数据 从点D处测得A点的仰角为35°，从点F处测得A点的仰角为45°，CE＝10m 从点D处测得A点的仰角为35°，CD＝10m
（1）根据以上数据请你判断，第 小组无法测量出古塔的高度？原因是 ；
（2）请根据表格中的数据，依据正确的测量方案求出古塔的高度．（精确到0.1m，参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）
18．（10分）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程，结合已有经验，请画出函数y＝的图象，并探究该函数性质．
（1）绘制函数图象
①列表：下列是x与y的几组对应值，其中a＝ ，b＝ ．
x …… ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 5 ……
y …… ﹣3.8 ﹣2.5 ﹣1 1 5 5 a ﹣1 b ﹣3.8 ……
②描点：请根据表中所给的数值在图中描点；
③连线：请结合反比例函数图象的特征，画出函数图象．
（2）探究函数性质
①当x＞0时，函数值y随着自变量x的增大而 ；（填“减小”或“增大”）
②函数的图象关于 对称；
（3）运用函数图象及性质
①点A（﹣7，y1），B（﹣，y2），C（，y3）在函数图象上，请比较y1，y2，y3的大小（ ）
A．y1＜y2＜y3
B．y1＜y3＜y2
C．y3＜y2＜y1
D．y2＜y3＜y1
②点D（x1，），E（x2，6）在函数图象上，请比较x1，x2的大小（ ）
A．x1＞x2
B．x1＝x2
C．x1＜x2
D．不确定
③写出方程的解 ；
④写出不等式的解集 ．
19．（9分）如图，直线y＝kx+b与双曲线相交于A（﹣3，1），B两点，与x轴相交于点C（﹣4，0）．
（1）分别求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）连接OA，OB，求△AOB的面积；
（3）直接写出当x＜0时，关于x的不等式的解集．
20．（9分）如图，一次函数y1＝kx+b与反比例函数的图象交于A（a，4），B（﹣3，﹣2）两点，直线AB与x轴，y轴分别交于D，C两点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）求证：AD＝BC；
（3）点P是x轴正半轴上的一点，连接PA，PC，若S△PAC＝4，请直接写出点P的坐标．
21．（9分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，以AB上某一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D，交AB于点E，连接ED并延长交AC的延长线于点F．
（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AF＝12，CF＝3，求CD的长；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
22．（8分）（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC＝900，∠C＝60°，求△ABC的面积；
（2）我市将在春天举办花展，政府为花展划定了一个三角形区域ABC，AB＝AC＝900米，BC＝360米．根据需要，政府将花展区域内的△BDE区域划定为管理区域，禁止游客进入．其中点D，E分别在AB，BC边上，BD＝100米，BE＝150米．主办方在四边形ADEC内部摆满鲜花，其中在AD边上摆满郁金香．某游客想要拍摄AD边上的郁金香，且已知拍摄的张角∠APD等于∠C时，拍照效果最佳．请你帮该游客在四边形ADEC的边上寻找最佳拍摄地点P，并求此时CP的长度．（≈2.236）
23．（9分）如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点F是EA延长线上的一点，DG⊥BF于点G，分别交AE、AB于点I、H．
（1）若DG平分∠ADB，求证：AH BD＝BH AD；
（2）若AI＝4，EI＝2，求AF的长；
（3）在（1）的条件下，若，且BG+GF＝k，BG GF＝2k2+1，求AD的长．2022-2023学年襄州区双沟镇中心学校九年级期中测试
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）如图是由4个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】从上往下看，看到平面图形就是俯视图，选择正确选项即可．
【解答】解：根据题意，从上面看原图形可得到，
故选：D．
【点评】本题主要考查了简单组合体的三视图的知识，俯视图是从上往下看得到的平面图形．
2．（3分）如图，点P是反比例函数y＝图象上的一点，过点P作PD⊥x轴于点D，若△POD的面积为m，则函数y＝mx﹣1的图象为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先根据反比例函数系数k的几何意义，求出m的值等于1，然后求出一次函数的解析式，再确定一次函数的图象经过点（0，﹣1）（1，0），即可确定选项．
【解答】解：设P点坐标为（x，y），
∵P点在第一象限且在函数y＝的图象上，
∴S△POD＝×2＝1，即m＝1．
∴一次函数y＝mx﹣1的解析式为：y＝x﹣1，
∴一次函数的图象是经过点（0，﹣1），（1，0）的直线．
故选：A．
【点评】考查了反比例函数图象上点的坐标特点及一次函数的图象，解答此题的关键是根据反比例函数系数k的几何意义求出m的值，再根据一次函数解析式确定一次函数的图象与坐标轴的交点．
3．（3分）如图，是一圆锥的左视图，根据图中所示数据，可得圆锥侧面展开图的面积为（ ）
A． B． C．24π D．32π
【分析】由题意知，该圆锥的底面半径r为，圆锥高为8，圆锥的母线长l为，根据圆锥侧面展开图的面积为πrl，代入求解即可．
【解答】解：由题意知，该圆锥的底面半径r为，圆锥高为8，圆锥的母线长l为，
∴圆锥侧面展开图的面积为，
故选：C．
【点评】本题考查了圆锥侧面展开图的面积．解题的关键在于熟练掌握面积公式．
4．（3分）血药浓度（PlasmaConcentration）指药物吸收后在血浆内的总浓度，已知药物在体内的浓度随着时间而变化．某成人患者在单次口服1单位某药后，体内血药浓度及相关信息如图所示，根据图中提供的信息，下列关于成人患者使用该药血药浓度（mg/L）5a最低中毒浓度（MTC）物的说法中正确的是（ ）
A．从t＝0开始，随着时间逐渐延长，血药浓度逐渐增大
B．当t＝1时，血药浓度达到最大为5amg/L
C．首次服用该药物1单位3.5小时后，立即再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒
D．每间隔4h服用该药物1单位，可以使药物持续发挥治疗作用
【分析】根据该药物的血药浓度应介于最低有效浓度与最低中毒浓度之间时，药物在人体内发挥疗效作用，通过观察图象的变化情况分别判断即可．
【解答】解：∵该药物的血药浓度应介于最低有效浓度与最低中毒浓度之间时，药物在人体内发挥疗效作用，
∴观察图象的变化情况可知：
A、从t＝0开始，随着时间逐渐延长，血药浓度先逐渐增大，再逐渐减小，故不符合题意；
B、当t＝1时，血药浓度达到最大为4amg/L，故不符合题意；
C、首次服用该药物1单位3.5小时后，血药浓度高于最低有效浓度，立即再次服用该药物1单位，会发生药物中毒，故不符合题意；
D、每间隔4h服用该药物1单位，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度与最低中毒浓度之间，可以使药物持续发挥治疗作用，故符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，解决本题的关键是利用数形结合思想．
5．（3分）已知点在反比例函数的图象上，则（ ）
A．y2＜y1＜0 B．y1＜y2＜0 C．y1＜0＜y2 D．0＜y1＜y2
【分析】根据反比例函数的性质解答即可．
【解答】解：∵k＝﹣8＜0，
∴反比例函数的图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大．
∵点在反比例函数的图象上，且0＜m2+1＜m2+2，
∴y1＜y2＜0．
故选：B．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键．
6．（3分）如图，一架飞机在空中A处检测到正下方地平面目标C，此时飞机的飞行高度AC＝2800米，从飞机上看地平面指挥台B的俯角α＝34°，此时AB长为（ ）
A．2800sin34°米 B．米
C．2800cos34°米 D．米
【分析】根据题意可得：AC⊥BC，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：AC⊥BC，
在Rt△ABC中，AC＝2800米，∠ABC＝α＝34°，
∴AB＝＝（米），
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
7．（3分）如图，△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，连接DE，若＝，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解．
【解答】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠BEA，
∴△ABE∽△ACD，
∴＝，
又∵∠A＝∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴＝＝，
设AD＝2a，则AC＝5a，
根据勾股定理得到CD＝a，
因而sinA＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形，能证出△AED∽△ABC是解决本题的关键．
8．（3分）某商家设计了一个水箱水位自动报警仪，其电路图如图1所示，其中定值电阻R1＝10Ω，R2是一个压敏电阻，用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，放入水箱底部，受力面水平，承受水压的面积S为0.01m2，压敏电阻R2的阻值随所受液体压力F的变化关系如图2所示（水深h越深，压力F越大），电源电压保持6V不变，当电路中的电流为0.3A时，报警器（电阻不计）开始报警，水的压强随深度变化的关系图象如图3所示（参考公式，F＝pS，1000Pa＝1kPa），则下列说法中不正确的是（ ）
A．当水箱未装水（h＝0m）时，压强p为0kPa
B．当报警器刚好开始报警时，水箱受到的压力F为40N
C．当报警器刚好开始报警时，水箱中水的深度h是0.8m
D．若想使水深1m时报警，应使定值电阻R1的阻值为12Ω
【分析】由图3可以直接判断A；根据欧姆定律计算当报警器刚好开始报警时通过电路的电阻，根据串联电路电阻规律计算此时压敏电阻的阻值，根据F＝pS计算压敏电阻受到的压力即可判断B；，根据液体压公式计算水箱中水的深度即可判断C；根据液体压强公式计算水深为1m时压敏电阻受到的压强，根据F＝pS计算此时压敏电阻受到的压力，由乙图可知此时压敏电阻的阻值，由B知当报警器刚好开始报警时电路总电阻，根据串联电路电阻规律计算选用的定值电阻的阻值．
【解答】解：A、由图3可知，水箱未装水（h＝0m）时，压强p为0kPa，
故A正确，不符合题意；
B、当报警器刚好开始报警时，根据欧姆定律可知此时电路的电阻：R＝＝＝20（Ω），
比时压敏电阻的阻值：R2＝R﹣R1＝20Q﹣10Q＝10Ω，由乙图可知此时压敏电阻受到压力为80N，
故B不正确，符合题意；
C、当报警器刚好开始报警时，则水箱受到的压强为P＝＝＝8000（Pa），
则水箱的深度为h＝＝＝0.8（m），
故C正确，不符合题意；
D、水深为lm时，压敏电阻受到的压强：P＝ρgh＝1.0×103×10×l＝10000（Pa），
此时压敏电阻受到的压力：F＝PS＝10000×0.01＝100（N），
由图2可知此时压敏电阻的阻值为8Ω，
由B知当报警器刚好开始报警时，电路总电阻为20Q，
根据串联电路电阻规律可知选用的定值电阻的阻值：R1＝R﹣R2＝20﹣8＝12．
故D正确，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数，关键串联电路特点、欧姆定律、液体压强公式、压强定义公式的灵活运用．
9．（3分）如图所示，边长为4的正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E在线段OD上，连接CE，作EF⊥CE交AB于点F，连接CF交BD于点H，则下列结论：①EF＝EC；②CF2＝CG CA；③BE DH＝16；④若BF＝1，则DE＝，正确的是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
【分析】①由“SAS”可证△ADE≌△CDE，可得AE＝EC，∠DAE＝∠DCE，由四边形的内角和定理可证∠AFE＝∠BCE＝∠EAF，可得AE＝EF＝EC；
②通过证明△FCG∽△ACF，可得CF2＝CG CA；
③通过证明△ECH∽△CDH，可得，通过证明△ECH∽△EBC，可得，可得结论；
④通过证明△AFC∽△DEC，可得，即可求解．
【解答】解：如图，连接AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADB＝∠CDB＝∠BAC＝∠DAC＝45°，
又∵DE＝DE，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴AE＝EC，∠DAE＝∠DCE，
∴∠EAF＝∠BCE，
∵∠ABC+∠FEC+∠EFB+∠BCE＝360°，
∴∠BCE+∠EFB＝180°，
又∵∠AFE+∠BFE＝180°，
∴∠AFE＝∠BCE＝∠EAF，
∴AE＝EF，
∴EF＝EC，故①正确；
∵EF＝EC，∠FEC＝90°，
∴∠EFC＝∠ECF＝45°，
∴∠FAC＝∠EFC＝45°，
又∵∠ACF＝∠FCG，
∴△FCG∽△ACF，
∴，
∴CF2＝CG CA，故②正确；
∵∠ECH＝∠CDB，∠EHC＝∠DHC，
∴△ECH∽△CDH，
∴，
∴，
∵∠ECH＝∠DBC，∠BEC＝∠CEH，
∴△ECH∽△EBC，
∴，
∴，
∴，
∴BC CD＝DH BE＝16，故③正确；
∵BF＝1，AB＝4，
∴AF＝3，AC＝4，
∵∠ECF＝∠ACD＝45°，
∴∠ACF＝∠DCE，
又∵∠FAC＝∠CDE＝45°，
∴△AFC∽△DEC，
∴，
∴，
∴DE＝，故④正确，
故选：D．
【点评】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
10．（3分）如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一点，AB垂直于x轴，垂足为B，△OAB的面积为8．若点P（a，4）也在此函数的图象上，则a的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【分析】根据k的几何含义可得k的值，从而得出反比例函数的解析式，进而把点P的坐标代入，从而得出a的值．
【解答】解：∵AB垂直于x轴，△OAB的面积为8，k＞0，
∴k＝2×8＝16，
∴y＝，
∵点P（a，4）也在此函数的图象上，
∴4＝，
∴a＝4，
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数的“k“的几何函数，点和函数图象的关系等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
11．（4分）用小正方体搭一个几何体，其主视图和左视图如图所示，那么搭成这样的几何体至少需要 5 个小正方体．
【分析】根据图形，主视图的底层最少有3个小正方形．第二层最少有2个小正方形．
【解答】解：综合主视图和左视图，这个几何体的底层最少有3个小正方体，第二层最最少有2个小正方体，那么搭成这样的几何体至少需要3+2＝5个小正方体，
故答案为：5．
【点评】本题考查三视图，然后根据“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”来分析出小正方体的个数．
12．（4分）一款闭门器按如图1所示安装，支点A，C分别固定在门框和门板上，门宽OD＝52cm，摇臂AB＝18cm，连杆BC＝24cm，闭门器工作时，摇臂、连杆和OC长度均固定不变．如图2，当门闭合时，，则AC的长为 18 cm．如图3，门板绕点O旋转，当∠B＝90°时，点D到门框的距离DK＝48cm，则OC的长为 8 cm．
【分析】如图2，过点A作AE⊥BC于点E，根据锐角三角函数的定义可AE的长度，然后根据勾股定理即可求出AC的长度．如图3，连接AC，过点C作CE⊥AK于点E，由勾股定理可分别求出AC、OK的长度，然后利用相似三角形的性质可设OE＝5x（cm），CE＝12x（cm），OC＝13x（cm），再根据勾股定理列出方程即可求出x的值．
【解答】解：如图2，过点A作AE⊥BC于点E，
在Rt△AEB中，
sinB＝，
∴AE＝AB sinB＝18×＝6（cm），
由勾股定理可知：BE＝＝12（cm），
∴CE＝CB﹣BE＝24﹣12＝12（cm），
在Rt△ACE中，
由勾股定理可知：AC＝＝18cm（cm）．
如图3，连接AC，过点C作CE⊥AK于点E，
在Rt△KOD中，
KO＝＝20（cm），
∵∠DKO＝∠CEO＝90°，
∴DK∥CE，
∴△CEO∽△DKE，
∴＝＝，
故设OE＝5x（cm），CE＝12x（cm），OC＝13x（cm），
∴OA＝OC+AC＝（13x+18）（cm），
∴EA＝OE+OA＝（18x+18）（cm），
在Rt△ABC中，
由勾股定理可知：AC＝＝30（cm），
在Rt△ACE中，
由勾股定理可知：（12x）2+（18x+18）2＝302，
解得：x＝﹣2（舍去）或x＝，
∴OC＝13x＝8（cm），
故答案为：18，8．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义以及勾股定理，本题属于中等题型．
13．（4分）如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A，B，D三点在同一直线上，若AB＝20m，则这棵树CD的高度约为 12.7 m．（按四舍五入法将结果保留小数点后一位，参考数据：）
【分析】根据题意可得：CD⊥AB，设BD＝x米，然后在Rt△BDC中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，再在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，然后根据AD+BD＝AB，列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：CD⊥AB，
设BD＝x米，
在Rt△BDC中，∠CBD＝60°，
∴CD＝BD tan60°＝x（米），
在Rt△ACD中，∠CAD＝45°，
∴AD＝＝x（米），
∵AD+BD＝AB，
∴x+x＝20，
∴x＝10﹣10，
∴CD＝x＝30﹣10≈12.7（米），
∴这棵树CD的高度约为12.7米，
故答案为：12.7．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
14．（4分）如图，已知函数y＝（k≠0）经过点A（2，3），延长AO交双曲线另一分支于点C，过点A作直线AB交y轴正半轴于点D，交x轴负半轴于点E，交双曲线另一分支于点B，且DE＝2AD．则△ABC的面积 16 ．
【分析】过点A作AF⊥x轴于点F，连接OB，可证得△EDO∽△EAF，求得OD＝2，即D（0，2），利用待定系数法可得直线AB的解析式为y＝x+2，与反比例函数y＝联立，可求得点B的横坐标为﹣6，根据S△AOB＝S△AOD+S△BOD，S△ABC＝2S△AOB，即可求得答案．
【解答】解：如图，过点A作AF⊥x轴于点F，连接OB，
则∠AFE＝90°＝∠DOE，
∴OD∥AF，
∴△EDO∽△EAF，
∴＝，
∵DE＝2AD，
∴AE＝3AD，
∵A（2，3），
∴k＝6，AF＝3，
∴＝，
∴OD＝2，
∴D（0，2），
设直线AB的解析式为y＝mx+n，则，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝x+2，
与反比例函数y＝联立，得x+2＝，
解得：x1＝2，x2＝﹣6，
∴点B的横坐标为﹣6，
∴S△AOB＝S△AOD+S△BOD＝×2×2+×2×6＝8，
∵延长AO交双曲线另一分支于点C，
∴点C与点A关于原点对称，即点O是AC的中点，
∴S△ABC＝2S△AOB＝2×8＝16．
故答案为：16．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数y＝中k的几何意义，相似三角形的判定和性质，中心对称的性质，三角形面积等，求出点D的坐标是解题的关键；本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
15．（4分）已知过原点的一条直线l与反比例函数的图象交于A，B两点（A在B的右侧）．C是反比例函数图象上位于A点上方的一动点，连接AC并延长交y轴于点D，连接CB交y轴于点E．若AC＝mCD，BC＝nCE，则m﹣n＝ ﹣2 ．
【分析】过点A作AF⊥y轴于点F，过点C作CM⊥y轴于M，过点B作BN⊥y轴于N，所以CM∥AF∥BN，AC＝mCD，所以CM：AF：BN＝1：（1+m）：（1+m），可得CE：BE＝1：（1+m），因为BC＝nCE．所以CE：BE＝1：（n﹣1），则1+m＝n﹣1，整理即可得出结论．
【解答】解：根据题意作出图形，如图所示，
过点A作AF⊥y轴于点F，过点C作CM⊥y轴于M，过点B作BN⊥y轴于N，
∴CM∥AF∥BN，AC＝mCD，
∴CM：AF：BN＝1：（1+m）：（1+m），
∴CE：BE＝1：（1+m），
∵BC＝nCE．
∴CE：BE＝1：（n﹣1），
∴1+m＝n﹣1，
∴m﹣n＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，平行线分线段成比例定理，能够正确表示出线段的比是解题的关键．
三．解答题（共8小题，满分70分）
16．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠A＝105°，AC＝4，求BC的长．
【分析】如图所示，过点A作AD⊥BC于D，先利用三角形内角和定理求出∠C＝30°，再证明∠BAD＝45°＝∠B，得到AD＝BD，由含30度角的直角三角形的性质求出BD＝AD＝2，再利用勾股定理求出即可得到答案．
【解答】解：如图所示，过点A作AD⊥BC于D，
∵在△ABC中，∠B＝45°，∠BAC＝105°，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝30°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠BAD＝45°＝∠B，
∴AD＝BD，
∵AC＝4，
∴，
∴，
∴．
【点评】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
17．（8分）在一次课外实践活动中，九年级数学兴趣小组准备测量学校旁边的一座古塔的高度，同学们设计了两个测量方案如下：
课题 测量古塔（AB）的高度
测量工具 测角仪，1.5m标杆，皮尺等
测量小组 第一组 第二组
测量方案示意图
说明 点C、E、B在同一直线上，CD、EF为标杆 CD为古塔旁边的两层小楼
测量数据 从点D处测得A点的仰角为35°，从点F处测得A点的仰角为45°，CE＝10m 从点D处测得A点的仰角为35°，CD＝10m
（1）根据以上数据请你判断，第 二 小组无法测量出古塔的高度？原因是 没有测量BC的长度 ；
（2）请根据表格中的数据，依据正确的测量方案求出古塔的高度．（精确到0.1m，参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）
【分析】（1）第二组没有测量有关线段长度；
（2）根据第一组的测量数据，延长DF交AB于点G，可得△AFG是等腰直角三角形，得AG＝FG，在Rt△ADG中，由锐角三角函数定义求解即可．
【解答】解：（1）第二组的数据无法算出大楼高度，理由如下：
第二小组测量了从点D处测得A点的仰角为35°，CD＝10m，没有测量BC的长度，无法算出大楼高度．
故答案为：二；没有测量BC的长度；
（2）根据第一组测量的数据，
过点D作DG⊥AB交AB于点G，
∵CD＝EF＝1.5m，
∴点F在DG上，则BG＝1.5m，
在Rt△AGF中，∠AFG＝45°，
∴△AGF是等腰直角三角形，
∴AG＝FG，
设AG＝FG＝x，
则在Rt△AGD中，AG＝x，DG＝DF+FG＝（10+x），
∴，
∴，
解得：x≈23.3，
∴AB＝AG+BG＝23.3+1.5＝24.8（m）．
答：古塔的高度为24.8m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题中仰角问题，等腰直角三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握仰角俯角定义，根据锐角三角函数解决实际问题．
18．（10分）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程，结合已有经验，请画出函数y＝的图象，并探究该函数性质．
（1）绘制函数图象
①列表：下列是x与y的几组对应值，其中a＝ 1 ，b＝ ﹣2.5 ．
x …… ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 5 ……
y …… ﹣3.8 ﹣2.5 ﹣1 1 5 5 a ﹣1 b ﹣3.8 ……
②描点：请根据表中所给的数值在图中描点；
③连线：请结合反比例函数图象的特征，画出函数图象．
（2）探究函数性质
①当x＞0时，函数值y随着自变量x的增大而 减小 ；（填“减小”或“增大”）
②函数的图象关于 y轴 对称；
（3）运用函数图象及性质
①点A（﹣7，y1），B（﹣，y2），C（，y3）在函数图象上，请比较y1，y2，y3的大小（ B ）
A．y1＜y2＜y3
B．y1＜y3＜y2
C．y3＜y2＜y1
D．y2＜y3＜y1
②点D（x1，），E（x2，6）在函数图象上，请比较x1，x2的大小（ A ）
A．x1＞x2
B．x1＝x2
C．x1＜x2
D．不确定
③写出方程的解 x1＝﹣1，x2＝1 ；
④写出不等式的解集 x≤﹣2或x≥2 ．
【分析】（1）①把x＝2和x＝4分别代入解析式即可得a、b的值；
②③按要求描点，连线即可；
（2）观察函数图象，可得函数性质；
（3）观察函数图象即得答案．
【解答】解：（1）①列表：当x＝2时，a＝﹣|2|＝1，
当x＝4时，b＝﹣|4|＝﹣2.5，
故答案为：1，﹣2.5；
②描点，③连线如下：
（2）观察函数图象可得：①当x＞0时，函数值y随着自变量x的增大而减小；（填“减小”或“增大”）
②函数的图象关于y轴对称；
故答案为：减小；y轴；
（3）①点A（﹣7，y1），B（﹣，y2），C（，y3）在函数图象上，则y1＜y3＜y2，
故答案为：B；
②点D（x1，），E（x2，6）在函数图象上，则x1＞x2，
故答案为：A；
③写出方程的解为x1＝﹣1，x2＝1；
故答案为：x1＝﹣1，x2＝1；
④写出不等式的解集为x≤﹣2或x≥2；
故答案为：x≤﹣2或x≥2．
【点评】本题考查反比例函数图象及性质，解题的关键是画出函数图象．
19．（9分）如图，直线y＝kx+b与双曲线相交于A（﹣3，1），B两点，与x轴相交于点C（﹣4，0）．
（1）分别求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）连接OA，OB，求△AOB的面积；
（3）直接写出当x＜0时，关于x的不等式的解集．
【分析】（1）将已知点坐标代入函数表达式，即可求解；
（2）两函数解析式联立成方程组，求出点B的坐标，然后根据∴△AOB的面积＝S△AOD﹣S△BOD即可以解决问题；
（3）根据图象即可解决问题．
【解答】解：（1）将A（﹣3，1），C（﹣4，0）代入y＝kx+b，
得，
解得：，
∴一次函数的解析式为y＝x+4，
将A（﹣3，1）代入，
得m＝﹣3，
∴反比例的解析式为y＝﹣（x＜0）；
（2）∵直线AC的解析式为y＝x+4与y轴交点D，
∴点D的坐标为（0，4），
由，解得或，
∴点B的坐标为（﹣1，3），
∴△AOB的面积＝S△AOD﹣S△BOD＝＝4；
（3）观察图象，当x＜0时，关于x的不等式的解集是x＜﹣3或﹣1＜x＜0．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、三角形面积等；解题时着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．
20．（9分）如图，一次函数y1＝kx+b与反比例函数的图象交于A（a，4），B（﹣3，﹣2）两点，直线AB与x轴，y轴分别交于D，C两点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）求证：AD＝BC；
（3）点P是x轴正半轴上的一点，连接PA，PC，若S△PAC＝4，请直接写出点P的坐标．
【分析】（1）将点B（﹣3，﹣2）代入反比例函数求得m＝6，进而将点A（a，4），代入得出，再根据待定系数法求一次函数的解析式即可求解；
（2）方法一：作AM⊥x轴于点M，BN⊥y轴于点N，证明△ADM≌△CBN，根据全等三角形的性质，即可得证；
方法二：作AM⊥y轴于点M，BN⊥x轴于点N，证明△ACM≌△DBN，根据全等三角形的性质，即可得证；
方法三：得出点C的坐标为（0，2）；点D的坐标为，根据勾股定理求得AD，BC，即可得证；
（3）设P（x，0）（x＞0），根据三角形面积列出方程，解方程即可求解．
【解答】（1）解：∵点B（﹣3，﹣2）在反比例函数的图象上，
∴m＝﹣3×（﹣2）＝6．
∴反比例函数的表达式为．
∵点A（a，4）在反比例函数的图象上，
∴．
∴点A的坐标为点．
将点代入y＝kx+b中，得，
解得：，
∴一次函数的表达式为；
（2）证明：方法一：作AM⊥x轴于点M，BN⊥y轴于点N，
则．∠AMD＝∠BNC＝90°，
当x＝0时，y＝2；当y＝0时，．
∴点C的坐标为（0，2）；点D的坐标为，
∴．
∴CN＝OC+ON＝4，DN＝OD+OM＝3．
∴AM＝CN＝4，BN＝DM＝3．
在△ADM与△CBN中，
，
∴△ADM≌△CBN（SAS）．
∴AD＝BC．
方法二：作AM⊥y轴于点M，BN⊥x轴于点N，
则．∠AMC＝∠BND＝90°，
当x＝0时，y＝2；当y＝0时，．
∴点C的坐标为（0，2）；点D的坐标为．
∴．
∴CM＝OM﹣OC＝4﹣2＝2．
∴．
∴．
在△ACM与△DBN中，
，
∴△ACM≌△DBN（SAS），
∴BD＝AC，
∴BD+CD＝AC+CD．
即：AD＝BC；
方法三：当x＝0时，y＝2；当y＝0时，，
∴点C的坐标为（0，2）；点D的坐标为．
∵．．
∴AD＝BC；
（3）解：∵点C的坐标为（0，2），点D的坐标为，点A的坐标为点，S△PAC＝4，
设P（x，0）（x＞0），
∴，
∴，
解得：，
∴P．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定，一次函数与坐标轴的交点问题，掌握以上知识是解题的关键．
21．（9分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，以AB上某一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D，交AB于点E，连接ED并延长交AC的延长线于点F．
（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AF＝12，CF＝3，求CD的长；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OD，根据角平分线的定义得出∠BAD＝∠CAD，由等边对等角得出∠BAD＝∠ODA，即可得出∠ODA＝∠CAD，进而判定OD∥AC，根据平行线的性质得到∠ODB＝90°，即OD⊥BC，即可得解；
（2）由AE是⊙O直径得出AD⊥EF，进而得到AE＝AF＝12，AC＝9，根据两角相等的两个三角形相似得到△DCF∽△ACD，即可得出CD2＝AC CF，求出CD，在根据锐角三角函数定义求出∠CAD＝30°，即得∠B＝30°，再根据直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半得出AB＝18，即可根据求解BE；
（3）根据阴影部分面积等于△BOD的面积减去扇形EOD的面积求解即可．
【解答】（1）证明：直线BC与⊙O相切，理由如下：
如图，连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ODA，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∵∠ACB＝90°，
∵∠ODB＝∠ACB＝90°，
∴OD⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵AE是⊙O直径，
∴∠ADE＝90°，
∴AD⊥EF，
∵AD平分∠BAC，AE＝12，
∴AE＝AF＝12，
∵CF＝3，
∴AC＝9，
在Rt△ADF中，∠ACD＝90°，
∴∠FDC+∠ADC＝∠CAD+∠ADC，
∴∠FDC＝∠CAD，
∵∠DCF＝∠ACD＝90°，
∴△DCF∽△ACD，
∴＝，
∴CD2＝AC CF，
∴，
∵tan∠CAD＝＝＝，
∴∠CAD＝30°，
∴∠BAD＝30°，
∴∠B＝90°﹣∠BAC＝30°，
在Rt△ABC中，AC＝9，
∴AB＝18，
∴BE＝18﹣12＝6；
（3）解：∵OD⊥BC，∠B＝30°，OD＝AE＝6，
∴，
∴，
∵∠BAD＝30°，
∴∠BOD＝60°，
∴S扇形EOD＝＝6π，
∴．
【点评】本题考查了切线的判定与性质、锐角三角函数、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟记相关的定理及证明直线BC与⊙O相切是解题的关键．
22．（8分）（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC＝900，∠C＝60°，求△ABC的面积；
（2）我市将在春天举办花展，政府为花展划定了一个三角形区域ABC，AB＝AC＝900米，BC＝360米．根据需要，政府将花展区域内的△BDE区域划定为管理区域，禁止游客进入．其中点D，E分别在AB，BC边上，BD＝100米，BE＝150米．主办方在四边形ADEC内部摆满鲜花，其中在AD边上摆满郁金香．某游客想要拍摄AD边上的郁金香，且已知拍摄的张角∠APD等于∠C时，拍照效果最佳．请你帮该游客在四边形ADEC的边上寻找最佳拍摄地点P，并求此时CP的长度．（≈2.236）
【分析】（1）作AN⊥BC于N，根据已知条件得出△ABC是等边三角形，由等边三角形的边长求出三角形的面积；
（2）分P在EC上和P在AC上两种情况，求出PC即可．
【解答】解：（1）作AN⊥BC于N，
∵AB＝AC＝900，∠C＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴BC＝900，
∵AN⊥BC，
∴BN＝CN＝450，
∴AN＝＝＝450，
∴S△ABC＝BC AN＝×900×450＝202500；
（2）当P在EC上时，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠APD＝∠C，
∴∠APB＝∠APD+∠BPD＝∠C+∠PAC，
∴∠PAC＝∠BPD，
∵∠B＝∠C，
∴△APC∽△PDB，
∴＝，
∴＝，
∴BP PC＝90000，
又∵BP+CP＝360，
∴PC（360﹣PC）＝9000，
∴PC2﹣360PC+90000＝0，
∵Δ＝（360）2﹣4×90000＝648000﹣360000＝2402×5，
∴PC＝＝180±120，
∴PC＝60或300，
当PC＝300时，BP＝60≈60×2.236＜150（舍去），
∴PC＝60（米）；
当P在AC上时，
∵∠APD＝∠C，
∴DP∥BC，
∴＝＝1，
∴CP＝BD＝100（米）．
∴CP＝100米或60米．
【点评】考查了三角形的面积公式，勾股定理，三角形相似的判定和性质，关键是根据题意得出直角三角形，利用三角形的面积公式求解．
23．（9分）如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点F是EA延长线上的一点，DG⊥BF于点G，分别交AE、AB于点I、H．
（1）若DG平分∠ADB，求证：AH BD＝BH AD；
（2）若AI＝4，EI＝2，求AF的长；
（3）在（1）的条件下，若，且BG+GF＝k，BG GF＝2k2+1，求AD的长．
【分析】（1）过点H作HK⊥BD于K，根据同角的函数值相等，再根据角平分线的性质即可；
（2）根据已知条件证出△ADE∽△BAE，可得AE2＝BE DE，可出EF，即可得出结论；
（3）过点H作HM⊥AE于点M，过点A作AL⊥BF于点L，可证出△AMH∽△AEB，可得，再等量代换即可得出结论．
【解答】（1）证明：过点H作HK⊥BD于K，
∵sin∠HBK＝sin∠ABD，
∴即 HK BD＝BH AD，
∵矩形ABCD中AB⊥AD，且DG平分∠ADB，
∴HK＝AH，
∴AH BD＝BH AD；
（2）解：∵AE⊥BD，
∴∠AED＝∠AEB＝90°，
∴∠ADE+∠DAE＝90°，
∵∠ADE+∠ABD＝90°，
∴∠DAE＝∠ABD，
∴△ADE∽△BAE，
∴即AE2＝BE DE，
∵AE⊥BD，DG⊥BF，
∴∠BEF＝∠BGD＝90°，
∴∠DBF+∠F＝90°，∠DBF+∠IDE＝90°，
∴∠F＝∠IDE，
∴tanF＝tan∠IDE，
∴，即 EF IE＝BE DE，
∴AE2＝EF IE即，
∴AF＝EF﹣AE＝18﹣6＝12；
（3）解：过点H作HM⊥AE于点M，过点A作AL⊥BF于点L，如图，
∵∠1＝∠2，∠1＝∠F，
∴∠2＝∠F，
∵∠2＝90°﹣∠AHD，∠ABF＝90°﹣∠BHG，
又∵∠AHD＝∠BHG，
∴∠2＝∠ABF，
∴∠F＝∠ABF，
∴AB＝AF，
∵HM⊥AE，AE⊥BD，
∴HM∥BD，
∴△AMH∽△AEB，
∴，
∵∠AIH＝∠2+∠3，∠AHI＝∠1+∠4，
又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠AIH＝∠AHI，
∴AI＝AH，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
则，
设GL＝3a，BG＝5a，则BL＝8a，FL＝8a，GF＝11a，
∵，BG GF＝2k2+1，
∴，
解得
∴，
由（1）知，
∴，
设AD＝3n，BD＝5n，由勾股定理得AB＝4n，
∴，
由勾股定理得，
在Rt△BGD和Rt△HAD中，
∵∠1＝∠2，
∴sin∠1＝sin∠2，
∴，即，
解得n＝1，
∴AD＝3．
