2022-2023学年江苏省镇江市句容市九年级（下）月考数学试卷（3月份）(含解析）

2022-2023学年江苏省镇江市句容市九年级（下）月考数学试卷（3月份）
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 一组数据：，，，，，则这组数据的中位数和众数分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
2. 如图，点，，，四点均在上，，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
3. 据报道，人类首张黑洞照片于北京时间年月日子全球六地同步发布，该黑洞位于室女座一个巨椭圆星系的中心，距离地球万光年．其中万用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4. 下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
5. 若，，则的值为( )
A. B. C. D.
6. 我国古代数学著作孙子算经有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每人坐一辆车，那么有辆空车；如果每人坐一辆车，那么有人需要步行，问人与车各多少？设共有人，辆车，则可列方程组为( )
A. B. C. D.
7. 关于的二次函数在轴右侧随的增大而减小，则的范围为( )
A. B. C. D.
8. 如图，是线段上一动点，，都是等边三角形，，分别是，的中点，若，则线段的最小值为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 的平方根为______．
10. 若式子有意义，则的取值范围为______．
11. 因式分解：______．
12. 在数轴上表示实数的点如图所示，化简的结果为 ．
13. 已知点在一次函数的图象上，则代数式的值等于________．
14. 一个圆锥的底面半径为，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的侧面积为______．
15. 一个三角形的两边长分别为和，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为______．
16. 已知一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为______．
三、解答题（本大题共11小题，共88.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：
；
．
18. 本小题分
先化简，然后从的范围内选取一个你喜欢的整数作为的值代入求值，
19. 本小题分
解方程：
；
．
20. 本小题分
求不等式的非负整数解；
解不等式组：．
21. 本小题分
扬州教育推出的“智慧学堂”已成为同学们课外学习的得力助手．为了解同学们“智慧学堂”平台使用的熟练程度，某校随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制成如图两幅尚不完整的统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
本次调查的样本容量是______，扇形统计图中表示等级的扇形圆心角为______；
补全条形统计图；
学校拟对“不太熟练或不熟练”的同学进行平台使用的培训，若该校有名学生，试估计该校需要培训的学生人数．
22. 本小题分
以下各图均是由边长为的小正方形组成的网格，图中的点、、、均在格点上．
在图中，：______．
利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
如图，在上找一点，使．
如图，在上找一点，使∽．
23. 本小题分
已知如图，中，是角平分线，平分交于点，经过、两点的交于，交于点，恰为的直径．
求证：与相切；
当，，求的直径．
24. 本小题分
在今年新冠肺炎防疫工作中，某公司购买了、两种不同型号的口罩，已知型口罩的单价比型口罩的单价多元，且用元购买型口罩的数量与用元购买型口罩的数量相同．
、两种型号口罩的单价各是多少元？
根据疫情发展情况，该公司还需要增加购买一些口罩，增加购买型口罩数量是型口罩数量的倍，若总费用不超过元，则增加购买型口罩的数量最多是多少个？
25. 本小题分
脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图是政府给贫困户新建的房屋，如图是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点点，，在同一水平线上参考数据：，，，
求屋顶到横梁的距离；
求房屋的高结果精确到．
26. 本小题分
如图，抛物线与轴交于、两点点在点左边，与轴交于，直线经过、两点．
求抛物线的解析式；
点是抛物线上的一动点，过点且垂直于轴的直线与直线及轴分别交于点、设，点在抛物线上运动，若、、三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点三点重合除外，请直接写出符合条件的的值．
27. 本小题分
基础巩固如图，在三角形纸片中，，将折叠，使点与点重合，折痕为，则与的数量关系为 ；
思维提高如图，在三角形纸片中，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，求的值；
拓展延伸如图，在三角形纸片中，，，，将沿过顶点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为求线段的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查一组数据的中位数和众数，在求中位数时，首先要把这列数字按照从小到大或从的大到小排列，找出中间一个数字或中间两个数字的平均数即为所求．
把这组数据按照从小到大的顺序排列，第、个数的平均数是中位数，在这组数据中出现次数最多的是，得到这组数据的众数．
【解答】
解：把这组数据按照从小到大的顺序排列，，，，，，
第、个两个数的平均数是，
所以中位数是；
在这组数据中出现次数最多的是，
即众数是，
故选：．
2.【答案】
【解析】解：如图，
连接，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
连接，由，得出，再由，得出，求得，进一步得出，进一步利用圆周角定理得出的度数即可．
此题考查平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，圆周角定理，正确作出辅助线是解决问题的关键．
3.【答案】
【解析】解：万用科学记数法表示为．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
4.【答案】
【解析】解：、与不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B、，故本选项不合题意；
C、，故本选项不合题意；
D、，故本选项符合题意；
故选：．
分别根据合并同类项法则，积的乘方运算法则，平方差公式以及单项式乘单项式的运算在逐一判断即可．
本题考查了合并同类项，单项式乘单项式，平方差公式以及积的乘方，熟记相关公式与运算法则是解答本题的关键．
5.【答案】
【解析】解：，，
．
故选：．
首先把化为，然后根据，，求出的值即可．
此题主要考查了解二元一次方程组的方法，以及整式的加减法，注意整体代入法的应用．
6.【答案】
【解析】解：由题意得，
故选：．
设共有人，辆车，由每人坐一辆车，那么有辆空车；如果每人坐一辆车，那么有人需要步行列方程可求解．
本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：关于的二次函数的对称轴为直线，
，且在轴右侧随的增大而减小，
，
解得：，故B正确．
故选：．
根据二次函数的增减性进行解答即可．
本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的增减性，二次函数，当时，在对称轴的左侧随的增大而减小，在对称轴的右侧随的增大而增大；当时，在对称轴的左侧随的增大而增大，在对称轴的右侧随的增大而减小．
8.【答案】
【解析】解：连接，如图所示：
和为等边三角形，
，，，
，
是的中点，
，，
，
设，则，
，
，
，
根据勾股定理，得，
在中，根据勾股定理，
得，
当时，取得最小值，
故答案选：．
连接，根据等边三角形的性质可得，设，则，根据勾股定理，可得，根据二次函数的性质可求的最小值．
本题考查了等边三角形的性质，涉及勾股定理，二次函数求最值等，熟练掌握等边三角形的性质以及添加辅助线将构造到直角三角形里是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：的平方根为．
故答案为：．
根据平方根的定义求解．
本题考查了平方根的知识，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
10.【答案】且
【解析】解：若式子有意义，则应满足，
解得：且，
故答案为：且．
先根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于，此题比较简单．
11.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为：．
直接提取公因式，再利用公式法分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．
12.【答案】
【解析】解：由数轴可得：，，
则
．
故答案为：．
直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质分别化简求出答案．
此题主要考查了二次根式的性质以及绝对值的性质，正确掌握相关性质是解题关键．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，代数式求值，属于基础题．
把点的坐标代入一次函数解析式可以求得、间的数量关系，所以易求代数式的值．
【解答】
解：点在一次函数的图象上，
，
，即代数式的值等于．
故答案是：．
14.【答案】
【解析】解：设侧面展开图所得扇形的半径为，
根据题意得，解得，
所以该圆锥体的侧面积．
故答案为：．
设侧面展开图所得扇形的半径为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到，解得，然后根据扇形面积公式求解．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
15.【答案】
【解析】解：，
，
或，
所以，，
而，
所以三角形第三边长为，
此时三角形的周长为．
故答案为．
先利用因式分解法解方程得到，，再根据三角形三边的关系得到三角形第三边长为，然后计算三角形的周长．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三边的关系．
16.【答案】
【解析】解：一次函数的图象过，则，
则，
故，
由图象可知：，
，
解得：．
故答案为：．
直接利用图象把代入，进而得出，之间的关系，再利用一元一次不等式解法得出答案．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象与系数的关系，正确得出与之间的关系是解题关键．
17.【答案】解：原式
；
原式
．
【解析】根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂、特殊三角函数值进行计算即可；
根据幂的运算、特殊三角函数值进行计算即可．
本题主要考查绝对值、零指数幂、负整数指数幂、正整数指数幂、特殊三角函数值的运算，掌握相关运算法则是解题的关键．
18.【答案】解：原式
，
，，
可取，
则原式．
【解析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的的值代入计算可得．
19.【答案】解：，
移项得：，
分解因式得：，
即，
或，
解得：，．
，
方程两边同乘得：
，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
解得：，
检验：把代入得：
，
是原方程的增根，
原方程无解．
【解析】先移项，用因式分解法解一元二次方程即可；
先去分母，将分式方程变为整式方程，然后解整式方程求出的值，最后对方程的解进行检验即可．
本题主要考查了解一元二次方程和分式方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，准确计算，注意解分式方程最后要进行检验．
20.【答案】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为得：，
非负整数解为、．
，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为：．
【解析】根据解不等式步骤去分母、去括号、移项合并同类项、系数化为进行求解即可；
根据解不等式步骤，分别解出两个不等式取两个不等式的公共部分，即可得不等式组的解集．
本题主要考查解一元一次不等式组，掌握相关求解步骤是解题的关键．
21.【答案】解：；；
等级的人数为：人，
补全的条形统计图如图所示；
人，
答：估计该校需要培训的学生有人．
【解析】
【分析】
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，正确从图表中获取信息是解题的关键．
根据等级的人数和所占的百分比，可以求得样本容量，然后即可计算出扇形统计图中表示等级的扇形圆心角的度数；
根据中的结果，可以计算出等级的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
根据条形统计图中的数据，可以计算出该校需要培训的学生人数．
【解答】
解：本次调查的样本容量是，
扇形统计图中表示等级的扇形圆心角为：，
故答案为：，；
见答案；
见答案．
22.【答案】解：：．
如图所示，点即为所要找的点；
如图所示，作点的对称点，
连接，交于点，
点即为所要找的点，
，
∽．
【解析】
【分析】
本题考查了作图相似变换，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
根据两条直线平行，对应线段成比例即可得结论；
根据勾股定理得的长为，再根据相似三角形的判定方法即可找到点；
作点的对称点，连接与的交点即为要找的点，使∽．
【解答】
解：图中，
，
，
故答案为：．
见答案．
23.【答案】证明：连接．
，
，
又平分交于点，
，
，
．
，是角平分线，
，
，
与相切；
解：设圆的半径是．
，是角平分线，
，，
又，
，则．
，
，
即，
解得．
则圆的直径是．
【解析】连接根据，得，结合平分交于点，得，则；根据等腰三角形三线合一的性质，得，则，从而证明结论；
设圆的半径是根据等腰三角形三线合一的性质，得，再根据解直角三角形的知识求得，则，从而根据平行线分线段成比例定理求解．
此题综合运用了等腰三角形的性质、平行线的判定及性质、切线的判定、平行线分线段成比例定理以及解直角三角形的知识．连接过切点的半径是圆中常见的辅助线之一．
24.【答案】解：设型口罩的单价为元，则型口罩的单价为元，
根据题意，得：．
解方程，得：．
经检验：是原方程的根，且符合题意．
所以．
答：型口罩的单价为元，则型口罩的单价为元；
设增加购买型口罩的数量是个，
根据题意，得：．
解不等式，得：．
因为为正整数，所以正整数的最大值为．
答：增加购买型口罩的数量最多是个．
【解析】本题主要考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的数量关系是解决问题的关键．
设型口罩的单价为元，则型口罩的单价为元，根据“用元购买型口罩的数量与用元购买型口罩的数量相同”列出方程并解答；
设增加购买型口罩的数量是个，根据“增加购买型口罩数量是型口罩数量的倍，若总费用不超过元”列出不等式．
25.【答案】解：
房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，，
，，，
在中，，，
，，
米；
答：屋顶到横梁的距离为米；
过作于，
则，
设，
在中，，，
，
，
在中，，，
，
，
，
，
解得：，
米，
答：房屋的高为米．
【解析】本题考查了解直角三角形的应用，轴对称图形，解题的关键是借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
根据题意得到，，，解直角三角形即可得到结论；
过作于，则，设，结合，解直角三角形即可得到结论．
26.【答案】解：在中，当时，；当时，；
，，
把，代入到抛物线解析式中得，
，
抛物线解析式为；
直线与轴垂直，，
，
当点是的中点时，
，
，
解得或舍去；
当点是中点时，
，
，
解得或舍去；
当点是的中点时，
，
，
解得或舍去；
综上所述，的值为或或．
【解析】先利用一次函数解析式求出、的坐标，再把、坐标代入抛物线解析式中求出抛物线解析式即可；
分别求出，再分当点是的中点时，当点是中点时，当点是的中点时，利用两点中点坐标公式建立方程求解即可．
本题主要考查了二次函数综合，一次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
27.【答案】
【解析】解：如图中，
折叠，使点与点重合，折痕为，
垂直平分线段，
，
，
，
，
．
故答案为：；
如图中，
，
，
由题意垂直平分线段，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
．
如图中，
由折叠的性质可知，，，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
．
利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
利用相似三角形的性质求出，即可．
证明∽，推出，由此即可解决问题．
本题属于几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
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