江西省宜春市重点中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（含解析）

宜春市重点中学2022-2023学年高二下学期期中考试
数学试卷
注意事项：
1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2. 请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题（每小题5分，共40分）
1. 设f（x）在处可导，则（　　）
A．（） B．（） C． f'（） D． f'（）
2. 小智和电脑连续下两盘棋，已知小智第一盘获胜的概率是0.5，小智连续两盘都获胜的概率是0.4，那么小智在第一盘获胜的条件下，第二盘也获胜的概率是（　　）
A． 0.4 B． 0.8 C． 0.2 D． 0.5
3. 设等比数列{}的前n项和为，若，且，，成等差数列，则=（　　）
A． 63 B． 31 C． -63 D． -31
4. 已知数列{}的通项为，则其前8项和为（　　）
A． B． C． D．
5. 某课外兴趣小组通过随机调查，利用列联表和统计量研究数学成绩优秀是否与性别有关。计算得，经查阅临界值表知P，则下列判断正确的是（　　）
A． 每100个数学成绩优秀的人中就会有1名是女生
B． 若某人数学成绩优秀，那么他为男生的概率是0.010
C． 有99%的把握认为“数学成绩优秀与性别无关”
D． 在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“数学成绩优秀与性别有关”
6. “二十四节气”是上古农耕文明的产物，它是上古先民顺应农时，通过观察天体运行，认知一岁中时令、气候、物候等变化规律所形成的知识体系。我国古代用日晷测量日影的长度，晷长即为所测量影子的长度二十四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长的变化量相同，冬至日晷长最长，夏至日晷长最短，周而复始，已知冬至日晷长为13.5尺，芒种日晷长为2.5尺，则一年中立春到夏至的日晷长的和为（　　）
A． 58.5尺 B． 59.5尺 C． 60尺 D． 60.5尺
7. 在等差数列{}中，若是方程的两根，则{}的前12项的和为（　　）
A． 12 B． 18 C． -18 D． -12
8. 已知定义在R上的偶函数f（x）的导函数为f'（x），当时，有，且，则使得成立的x的取值范围是（　　）
A． B． C． （-1，0）∪（1，） D.
二、多选题（每小题5分，共20分）
9. 若{}为等差数列，，则下列说法正确的是（　　）
A． B． -20是数列{}中的项
C． 数列{}单调递减 D． 数列{}前7项和最大
10. 下列求导运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
11. 如图是函数的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的是（　　）
A． f（x）在（-2，-1）上是增函数 B． f（x）在（2，4）上是减函数
C． 当时，f（x）取得极小值 D． 当时，f（x）取得极大值
12. 已知函数，下列说法正确的有（　　）
A． f（x）的极大值为 B． f（x）的单调递减区间为（0，）
C． 曲线在处的切线方程为 D． 方程有两个不同的解
第II卷（非选择题）
三、填空题（每小题5分，共20分）
13. 已知，则___________。
14. 在等比数列{}中，，是函数的极值点，则=___________。
15. 若函数在区间[-1，1]上单调递减，则实数m的取值范围为___________。
16. 已知函数对一切恒成立，则a的取值范围是___________。
四、解答题（第17题10分，其它每题12分，共70分）
17. 已知数列{}满足：
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列{}的通项公式及其前n项和的表达式。
18. 已知函数，
（1）当时，求曲线在点（3，f（3））处的切线方程；
（2）讨论f（x）的单调性。
19. 如图，在三棱柱中，侧面和侧面均为正方形，D为棱BC的中点。
（1）证明：平面⊥平面；
（2）若直线与平面所成角为，求平面与平面夹角的余弦值。
20. 已知数列{}的前n项和为，，且。
（1）求数列{}和{}的通项公式；
（2）若，求数列{}的前n项和。
21. 已知，
（1）若f（x）在处有极大值，求c的值；
（2）若，求f（x）在区间[1，2]上的最小值。
22. 已知函数在点P（1，2）处的切线斜率为4，且在处取得极值。
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数有三个零点，求m的取值范围。
数学试卷
参考答案
1. C
【分析】变形结合导数的定义，计算出结果。
【详解】因为f（x）在处可导，
所以，由导数的定义可得：
故选：C。
2. B
【分析】记事件A：小智第一盘获胜，事件B：小智第二盘获胜，根据题意可得出P（A）、P（AB），利用条件概率公式可求得所求事件的概率。
【详解】记事件A：小智第一盘获胜，事件B：小智第二盘获胜，则
因此，小智在第一盘获胜的条件下，第二盘也获胜的概率是,
故选：B。
3. A
【分析】设出公比，根据成等差数列列出方程，求出公比，利用等比求和公式求出答案.
【详解】设公比为，
因为成等差数列，所以，
则，解得：或0（舍去）。
因为，所以，故。
故选：A。
4. D
【分析】运用裂项相消法进行求解即可。
【详解】，
所以前8项和为，
故选：D
5. D
【分析】计算K的观测值，对照阅临界值表知，即可得出统计结论。
【详解】∵，∴有99%的把握认为“数学成绩优秀与性别有关”，即在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“数学成绩优秀与性别有关”。所以ABC错误，
故选：D
6. C
【分析】根据等差数列的通项公式和前n项和公式进行求解即可。
【详解】设冬至日晷长为，小寒日晷长为，以此类推芒种日晷长为，
因此，，设从冬至日到夏至日过程中，晷长的变化量为d，
所以有，立春日晷长为，
夏至的日晷长为，
所以一年中立春到夏至的日晷长的和为，
故选：C。
7. D
【分析】利用韦达定理得出，利用等差数列的求和公式以及等差数列下标和的性质可求得结果。【详解】因为，是方程的两根，
由韦达定理可得，
所以等差数列{}的前12项的和。
故选：D。
8. A
【分析】根据当时，有，令，得到g（x）在（0，+∞）上递增，再根据f（x）在R上的偶函数，得到g（x）在R上是奇函数，则g（x）在（-∞，0）上递增，然后由，得到求解。
【详解】因为当时，有，
令，
所以，
所以g（x）在（0，+∞）上递增，
又因为f（x）在R上的偶函数
所以
所以g（x）在R上是奇函数
所以g（x）在（-∞，0）上递增，
又因为，
所以，
当时，，此时，,
当，时，，此时，,
所以成立的x的取值范围是
故选：A。
【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性以及利用单调性解不等式，还考查了转化化归的思想和推理求解的能力，属于中档题
9. ACD
【分析】由{}为等差数列，列方程组求得首项与公差，就可得到通项公式，然后对选项逐一判断即可。
【详解】因为数列{}为等差数列，且，则，解得，故A选项正确，
由，得，故B错误，
因为，所以数列{}单调递减，故C正确，
由数列通项公式可知，前7项均为正数，，所以前7项和最大，故D正确。
故选：ACD
10. AB
【分析】根据导数运算法则依次讨论求解即可；
【详解】解：对于A选项，，故正确；
对于B选项，，故正确；
对于C选项，，故错误；
对于D选项，，故错误；
故选：AB。
11. BC
【分析】根据导数与原函数关系解决。
【详解】从导函数图像可以看出函数f（x）在（-2，-1），（2，4）上为单调减函数；
f（x）在（-1，2），（4，5）上为增函数，故A错B对，C对D错。
故选：BC
12. BC
【分析】利用导数，求f（x）的单调区间和极值，验证选项AB，由导数的几何意义求曲线在处的切线方程，判断选项C，数形结合求方程解的个数，判断选项D．
【详解】函数，定义域为（0，+∞），
，解得，,解得
f（x）在（0，）上单调递减，在上单调递增，B选项正确；
f（x）有极小值，无极大值，A选项错误；
由，曲线在处的切点为（1，0），切线斜率为1，切线方程为，C选项正确；
，即1n，函数与的图像在（0，+∞）上只有一个交点，所以方程有一个解，D选项错误。
故选：BC
13. -63
【分析】通过赋值法可得结果
【详解】令，则，即，
令，则。
故答案为：-63
14. 2
【分析】由题，利用导数及韦达定理可得，后利用等比中项性质可得答案。
【详解】，
由题，是方程的两个不等实根，
则由韦达定理，所以
又是，的等比中项且与，同号，则。
故答案为：2。
15. （-∞，-2]
【分析】由题意得到在[-1，1]上恒成立，参变分离，只需，求出，从而得到答案。
【详解】，
由题意得在[-1，1]上恒成立，
因为，所以在[-1，1]上恒成立，
即在[-1，1]上恒成立，只需，
其中，所以，
故答案为：（-∞，-2]
16. （-∞，4]
【分析】根据题意，通过分离参数法得出在上恒成立，再构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，求出，进而求得a的取值范围。
【详解】解：由题可知，，即，
得在上恒成立，
设
则，
当时，，h（x）单调递减，
当时，，h（x）单调递增。
∴，
∴，
即a的取值范围是（-∞，4]
故答案为：（-∞，4]。
17.（1）证明见解析；
（2）
【分析】（1）由等比数列的定义证明即可；
（2）由（1）得出数列{}的通项公式，再由等差和等比的求和公式计算。
【详解】（1）由题意可知
所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列。
（2）由（1）可知，，即
前n项和
18. （1）
（2）答案见解析
【分析】（1）由导数几何意义可求得切线斜率f'（3），结合可得切线方程；
（2）求导后，分别在和的情况下，根据（x）正负得到函数单调性。
【详解】（1）当时，，则，∴，又，
∴f（x）在点（3，f（3））处的切线方程为：，即。
（2）由题意得：f（x）定义域为R，
当时，，f（x）在R上单调递增；
当时，若，则；若，则
∴f（x）在（-∞，a），（0，+∞）上单调递增，在（a，0）上单调递减；
当时，若，则；若，则
∴f（x）在（-∞，0），（a，+∞）上单调递增，在（0，a）上单调递减；
综上所述：当时，f（x）在R上单调递增；
当时，f（x）在（-∞，a），（0，+∞）上单调递增，在（a，0）上单调递减；
当时，f（x）在（-∞，0），（a，+∞）上单调递增，在（0，a）上单调递减
19.（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理可得A1A⊥平面ABC，即平面ABC，进而，再次利用线面垂直的判定定理可得AD⊥平面，结合面面垂直的判定定理即可证明；
（2） 建立如图空间直角坐标系，利用向量法求出平面的法向量，结合面面角的向量求法即得。
【详解】（1）因为侧面、侧面均为正方形，
所以，，又，AB、AC 平面ABC，
所以A1A⊥平面ABC，又，所以平面ABC，
又AD 平面ABC，所以
由，D为棱BC的中点，所以，
又，BC、 平面，
因此AD⊥平面，又AD 平面，
故平面⊥平面；
（2）由（1）得是与侧面所成角，即，令，所以，又，
所以，，则，。
以A为原点，以，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所 x示空间直角坐标系，
则A（0，0，0），D（1，1，0），（0，2，2）。所以。
设是平面的一个法向量，
则即取
易知是平面的一个法向量，则
而平面与平面的夹角为锐角，
所以平面与平面的夹角的余弦值为。
20. （1），
（2）
【分析】（1）根据对数运算得，利用等比数列定义求通项公式，利用等差中项判断数列}为等差数列，建立方程求出公差，从而可得}的通项；
（2）利用错位相减法计算即可。
【详解】（1）∵，∴，则，所以{}为等比数列，又，得，所以，
由知{}是等差数列，且
∴，得∴
（2）因为，，所以，
所以
则
上面两式作差得
，
∴
21. （1）
（2）
【分析】（1）求出，令，解得c，再分别讨论，利用函数f（x）在处有极大值，从而得出答案；
（2）确定函数的单调性，即可求f（x）在区间[1，2]上的最小值。
【详解】（1）由题知，
由题意，，得或，
当时，在，在（，2）上
此时，f（x）在处有极小值，不符题意；
当时，在，在（2，6）上；
此时，f（x）在处有极大值，符合题意。
综上，。
（2） 令，得或，
由，则在上，在（，c）上
即f（x）在上单调递增，在（，c）上单调递减。
由题意，
当时，f（x）在区间[1，2]上单调递减，则，
当时，f（x）在区间（1，c）上单调递减，在（c，2）上单调递增，则，
当时，f（x）在区间[1，2]上单调递增，则,
综上，
22. （1）
（2）（-1，）
【分析】（1）根据题意，列出方程组求得，求导，利用导数判断f（x）的单调性与极值；
（2）由题意得到原题意等价于与有三个交点，结合（1）中f（x）的单调性与极值，列式求解。
【详解】（1）∵
由题意得，解得,
所以，
令，解得或；令，解得
则上单调递增，在（-1，）上单调递减，
∴f（x）在处取到极大值，在处取到极小值，
故符合题意，
（2） 令，则，
原题意等价于与有三个交点，
由（1）可得：上单调递增，在（-1，）上单调递减，
∴f（x）在处取到极大值，在处取到极小值，
故，解得
所以m的取值范围为