8.1.2样本相关系数 课件（共28张PPT）

(共28张PPT)
8.1.2 样本相关系数
这两组成对变量都是线性正相关，你能判断哪一组的线性相关性更强吗？
通过散点图可以推断两个变量之间是否存在相关关系、是正相关还是负相关、是线性相关是非线性相关，但这些推断是定性的推断.
从定量的角度刻画成对样本数据的线性相关程度，进而推断两个变量的线性相关程度。
样本相关数r
根据散点图特征，初步构造统计量：
年龄/岁
脂肪含量/%
中心化
成对样本数据：
将数据以 为零点进行平移，得到平移后的数据为：
通过绘图分析可得，如果变量x和y正相关，那么关于均值平移后的大多数散点将分布在第一象限、第三象限，对应的成对数据同号的居多，如图 (1)所示；
如果变量x和y负相关，那么关于均值平移后的大多数散点将分布在第二象限、第四象限，对应的成对数据异号的居多，如图(2)所示.
利用散点 的横纵坐标是否同号，可以构造一个量：
一般情形下， 表明成对样本数据正相关；
　　　 表明成对样本数据负相关．
问题2：你认为 的大小一定能度量出成对样本数据的相关程度吗？
在研究体重与身高之间的相关程度时，如果体重的单位不变，把身高单位由米改为厘米，单位的改变不会改变体重与身高之间的相关程度。
为了消除单位的影响，进一步做“标准化”处理：
为简单起见,把上述“标准化”处理后的成对数据分别记为：
仿照Lxy的构造,可以得到
我们称r 为变量x和变量y的样本线性相关系数，简称样本相关系数.
当r >0时，称成对样本数据正相关；
当r <0时，称成对样本数据负相关．
样本相关系数r是一个描述成对样本数据的数字特征，它的正负和绝对值的大小可以反映成对样本数据的变化特征.
样本相关系数r的正负能反映出成对变量的什么关系？
标准化处理后的成对样本数据:
设其第一分量为
设其第二分量为
新知探究
那么，样本相关系数的大小与成对样本数据的相关程度有什么内在联系呢？为此，我们先考察一下的取值范围.
样本相关系数r的取值范围:
样本相关系数r的取值范围为[-1,1]
思考：当时，成对样本数据之间具有怎样的关系呢？
当时，中的或，向量和共线.由向量的知识可知，存在实数，使得，即，.
这表明成对样本数据都落在直线上.这时，成对样本数据的两个分量之间满足一种线性关系.
相关系数的性质：
① 当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，称成对样本数据负相关.
② |r|≤1；
③ 当|r|越接近1时，成对数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对数据的线性相关程度越弱；特别地，当|r|＝0时，成对数据的没有线性相关关系；当|r|＝1时，成对数据都落在一条直线上.
注意：若0.75≤|r|≤1，则认为y与x的线性相关程度很强；
若0.3≤|r|<0.75，则认为y与x的线性相关程度一般；
若|r|≤0.25，则认为y与x的线性相关程度较弱)
训练2 两个变量x，y的样本相关系数r1＝0.785 9，两个变量u，v的样本相关系数r2＝－0.956 8，则下列判断正确的是(　　)
C
A.变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量x与y的线性相关性较强
B.变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量x与y的线性相关性较强
C.变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量u与v的线性相关性较强
D.变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量u与v的线性相关性较强
解析　由样本相关系数r1＝0.785 9>0知x与y正相关，
由样本相关系数r2＝－0.956 8<0知u，v负相关.
又|r1|<|r2|，
∴变量u与v的线性相关性比x与y的线性相关性强.
辨析1.某部门所属的10个工业生产性固定资产价值与工业增加值资料如下表(单位：百万元)：
根据上表资料计算得相关系数，则固定资产价值与工业增加值之间得线性相关程度______(填“较高”或“较低”).
答案：较高.
例1 根据表8. 1-1中脂肪含量和年龄的样本数据，推断两个变量是否线性相关，计算样本相关系数，并推断它们的相关程度.
解: 由样本数据可得
由此可以推断脂肪含量和年龄这两个变量正线性相关，且相关程度很强.
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
年龄/岁 23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58 60 61
脂肪含量/％ 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6
例1 根据表8. 1-1中脂肪含量和年龄的样本数据，推断两个变量是否线性相关，计算样本相关系数，并推断它们的相关程度.
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
年龄/岁 23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58 60 61
脂肪含量/％ 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6
解: 由样本数据可得
由此可以推断脂肪含量和年龄这两个变量正线性相关，且相关程度很强.
例2.有人收集了某城市居民年收入(所有居民在一年内收入得总和)与商品销售额得10年数据，如表所示.
画出散点图，推断成对样本数据是否线性相关，并通过样本相关系数推断居民年收入与A商品销售额得相关程度和变化趋势的异同.
解：画出成对样本数据的散点图，如图所示.从散点图看，A商品销售额与居民年收入的样本数据呈现出线性相关关系.由样本数据计算得样本相关系数.由此可以推断，A商品销售额与居民年收入正线性相关，即A商品销售额与居民年收入有相同的变化趋势，且相关程度很强.
例3.在某校高一年级中随机抽取25名男生，测得他们的身高、体重、臂展等数据，如表所示.
体重与身高、臂展与身高分别具有怎样的相关性？
解：根据样本数据画出体重与身高、臂展与身高的散点图，分别如图(1)和(2)所示，两个散点图都呈现出线性相关的特征.
通过计算得到体重与身高、臂展与身高的样本相关系数分别约为和，都为正线性相关.其中，臂展与身高的相关程度更高.
题型一：相关系数的计算
例1.关于两个变量和的7组数据如下表所示：
计算两个变量的样本相关关系，并据此判断与之间是否具有线性相关关系.
解：∵，
，
，
21 23 25 27 29 32 35
7 11 21 24 66 115 325
解：∵
，
21 23 25 27 29 32 35
7 11 21 24 66 115 325
∴
由于与比较接近，∴与具有线性相关关系.
例1 假设关于某种设备的使用年限x(单位：年)与所支出的维修费用y(单位：万元)有如下统计资料：
x 2 3 4 5 6
y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
所以y与x之间具有正相关关系.
变式 足球是深受全世界人们喜爱的运动，我国大力发展校园足球．为了解本地区足球特色学校的发展状况，社会调查小组得到如下统计数据：
年份x 2016 2017 2018 2019 2020
足球特色学校y(百个) 0.30 0.60 1.00 1.40 1.70
根据上表数据, 计算y与x的样本相关系数r, 并说明y与x的线性相关程度．
(附： 若0.75≤|r|≤1，则认为y与x的线性相关程度很强；若0.3≤|r|<0.75，则认为y与x的线性相关程度一般；|r|≤0.25，则认为y与x的线性相关程度较弱)
解:
根据题意得
∴y与x的线性相关程度很强.
4. 随机抽取7家超市，得到其广告支出与销售额数据如下:
解：
由样本数据可得
正线性相关，相关性较强，销售额与广告支出的变化趋势相同.
超市 A B C D E F G
广告支出/万元 1 2 4 6 10 14 20
销售额/万元 19 32 44 40 52 53 54
请推断超市的销售额与广告支出之间的相关关系的类型、相关程度和变化趋势的特征.
课堂小结
1.样本相关系数定义：假定两个随机变量的成对数据分别为，，，则变量间样本相关系数的计算公式为
，则称为变量和变量的样本相关系数，其中，时，称成对样本数据正相关，当时，称成对样本数据负相关.
2.(1)当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；
(2)当越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.