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江苏省2023年普通高中数学学业水平合格性考试试卷
一、单选题
1．（2023·江苏会考）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·江苏会考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·江苏会考）已知，则（ ）
A．3 B．4 C． D．10
4．（2023·江苏会考）已知五个数的平均数为4，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（2021高一上·福田期中）命题“ ， ”的否定为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
6．（2020高一上·天津月考）已知角 的终边经过点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．（2023·江苏会考）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·江苏会考）要得到函数的图象．只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
9．（2023·江苏会考）党的二十大报告指出：“全面提高人才自主培养质量，着力造就拔尖创新人才，聚天下英才而用之.”某区域教育部门为提高学生的创新能力，组织了200名学生参与研究性学习，每人仅参加1个课题组，参加各课题组的人数占比的扇形统计图如图所示，则参加数学类的人数比参加理化类的人数多（ ）
A．16 B．30 C．32 D．62
10．（2023·江苏会考）从甲 乙 丙 丁4名同学中任选3名同学参加环保宣传志愿服务，则甲被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·江苏会考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·江苏会考）已知直线平面，直线平面，则与不可能（ ）
A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直
13．（2023·江苏会考）已知函数是偶函数，且在区间上单调递增，则下列实数可作为值的是（ ）
A．-2 B． C．2 D．3
14．（2023·江苏会考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
15．（2023·江苏会考）对于两个非空实数集合和，我们把集合记作.若集合，则中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
16．（2023·江苏会考）已知函数为奇函数，且当时，，则（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
17．（2023·江苏会考）甲 乙两人独立地破译某个密码，如果每人译出密码得概率均为0.3，则密码被破译的概率为（ ）
A．0.09 B．0.42 C．0.51 D．0.6
18．（2023·江苏会考）甲 乙 丙 丁4名学生参加数学竞赛，在成绩公布前，4人作出如下预测：甲说：乙第一；乙说：丁第一；丙说：我不是第一；丁说：乙第二.公布的成绩表明，4名学生的成绩互不相同，并且有且只有1名学生预测错误，则预测错误的学生是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
19．（2023·江苏会考）如图，正方体中，直线与平面所成角的正切值为（ ）
A．1 B． C． D．
20．（2023·江苏会考）在一次实验中，某小组测得一组数据，并由实验数据得到下面的散点图.由此散点图，在区间上，下列四个函数模型为待定系数）中，最能反映函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
21．（2023·江苏会考）在中，已知，则（ ）
A． B． C． D．
22．（2023·江苏会考）已知是边长为2的等边三角形，分别是边的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
23．（2023·江苏会考）在空间，到一个三角形的三个顶点距离相等的点的集合表示的图形是（ ）
A．一个点 B．一条直线 C．一个平面 D．一个球面
24．（2023·江苏会考）已知向量，则实数（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．-1或1
25．（2023·江苏会考）两游艇自某地同时出发，一艇以的速度向正北方向行驶，另一艇以的速度向北偏东（）角的方向行驶.若经过，两艇相距，则（ ）
A． B． C． D．
26．（2023·江苏会考）2023年2月6日，土耳其发生强烈地震，造成重大人员伤亡和财产损失，江苏救援队伍紧急赴当地开展救报行动.尽管日前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为.里氏8.0级地震所释放出来的能量是里氏6.0级地震所释放出来的能量的（ ）
A．6倍 B．倍 C．倍 D．倍
27．（2023·江苏会考）若圆柱的上 下底面的圆周都在一个半径为2的球面上，则该圆柱侧面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
28．（2023·江苏会考）若函数的值域为，则实数的可能值共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、解答题
29．（2023·江苏会考）如图，三棱锥的底面和侧面都是边长为2的等边三角形，分别是的中点，.
（1）证明：平面；
（2）求三棱锥的体积.
30．（2023·江苏会考）已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）若，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】集合，则.
故答案为：A
【分析】根据交集定义直接计算即可.
2．【答案】A
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】A选项：，则，A符合题意；
B选项：，则，所以，B不符合题意；
C选项：当或时，，则，C不符合题意；
D选项：当时，，D不符合题意.
故答案为：A．
【分析】由不等式的基本性质逐一判断即可.
3．【答案】C
【知识点】复数求模
【解析】【解答】因为，所以.
故答案为：C.
【分析】根据复数的模的计算公式，即可求得答案.
4．【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】由题意可得，
故答案为：B
【分析】根据平均数的计算公式列式计算，即可求得答案.
5．【答案】B
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】由题意 ， ，否定是 ，
故答案为：B．
【分析】 根据含有量词的命题的否定为：将任意改为存在，结论否定，即可写出命题的否定.
6．【答案】B
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：角α的终边经过点 ，
则sinα ，
故答案为：B．
【分析】由已知条件结合任意角的定义代入数值计算出结果即可。
7．【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】函数的定义域满足：，，解得.
故答案为：D
【分析】函数定义域满足，，解得答案.
8．【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】根据相位变换的左加右减有：向左移动个单位得到，
故答案为：A.
【分析】根据三角函数的图象变换中的相位变换确定结果.
9．【答案】C
【知识点】收集数据的方法
【解析】【解答】由扇形统计图可知参加数学类的人数为，
参加理化类的人数为，
故参加数学类的人数比参加理化类的人数多，
故答案为：C
【分析】由扇形图计算参加数学类和理化类的人数，即可求得答案.
10．【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】从甲 乙 丙 丁4名同学中任选3名同学共有：（甲乙丙），（甲丙丁），（甲乙丁），（乙丙丁），4种情况，
甲被选中共有3种情况，故对应的概率为
故答案为：D
【分析】列举出所有的基本事件，然后得到甲被选中的情况，利用古典概型求解即可.
11．【答案】A
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】；；，
所以.
故答案为：A
【分析】利用对数函数的单调性得到，，，得到答案.
12．【答案】B
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】直线平面，直线平面，则与可能平行，异面和垂直，
若与相交，，则，，直线平面，故，
即与有交点，这与题设矛盾.
故答案为：B
【分析】若与相交，得到与有交点，这与题设矛盾，得到答案.
13．【答案】C
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】对A：，，函数在上单调递减，错误；
对B：，，函数定义域为，不是偶函数，错误；
对C：，，函数定义域为，，函数为偶函数，且在上单调递增，正确；
对D：，，函数定义域为，，函数为奇函数，错误；
故答案为：C
【分析】在上单调递减，A错误，不是偶函数，B错误，定义判断C正确， 函数为奇函数，D错误，得到答案.
14．【答案】B
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】由题意，可知，
则，
故答案为：B
【分析】根据三角函数同角的函数关系式，结合齐次式法求值，可得答案.
15．【答案】C
【知识点】集合中元素个数的最值
【解析】【解答】，则，则中元素的个数为
故答案为：C
【分析】计算，得到元素个数.
16．【答案】A
【知识点】奇函数
【解析】【解答】因为函数为奇函数，且当时，，
所以.
故答案为：A.
【分析】利用奇函数性质代入数据计算得到答案.
17．【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】甲乙都不能译出密码得概率为，
故密码被破译的概率为.
故答案为：C
【分析】甲乙都不能译出密码得概率为，密码被破译的概率为.
18．【答案】A
【知识点】进行简单的合情推理
【解析】【解答】若甲预测错误，则其余三人预测正确，即丁第一，乙第二，丙第三或第四，甲第四或第三，符合题意；
若乙预测错误，则其余三人预测正确，则甲和丁的预测相矛盾，这样有两人预测错误，不符合题意；
若丙预测错误，则其余三人预测正确，则甲和丁的预测相矛盾，这样有两人预测错误，不符合题意；
若丁预测错误，则其余三人预测正确，则甲和乙的预测相矛盾，这样有两人预测错误，不符合题意；
故答案为：A
【分析】分别假设甲 乙 丙 丁的预测错误，看能否推出与题意相矛盾的情况，即可判断答案.
19．【答案】C
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】如图所示：连接，因为平面，故线与平面所成角，设正方体棱长为1，则，
.
故答案为：C
【分析】连接，因为平面，故线与平面所成角，计算得到答案.
20．【答案】B
【知识点】散点图
【解析】【解答】由散点图的定义域可排除C、D选项，由散点图的增长方式可知函数模型为指数型.
故答案为：B
【分析】由函数模型的增长方式以及定义域可确定选项.
21．【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】，，，解得.
故答案为：D
【分析】确定，再利用二倍角公式计算得到答案.
22．【答案】D
【知识点】向量的三角形法则
【解析】【解答】对A：，错误；
对B：，错误；
对C：，错误；
对D：，正确.
故答案为：D
【分析】根据向量的运算法则得到ABC错误，D正确，，得到答案.
23．【答案】B
【知识点】与直线有关的动点轨迹方程
【解析】【解答】空间中到一个三角形的三个顶点距离相等的点组成的集合表示的图形为过该三角形的外心且与该三角形所在平面垂直的直线，
如图，设点为的外心，且直线平面，点为直线上任意一点，
则，且平面，
所以直线，直线，直线，
当点与点重合时，，即直线的点到的三个顶点距离相等，
当点与点不重合时，
由勾股定理可得，即直线的点到的三个定点距离相等，
综上直线的点到的三个顶点距离相等，反之到的三个顶点距离相等的点都在直线l上，
所以空间中到一个三角形的三个顶点距离相等的点组成的集合表示的图形为过该三角形的外心且与该三角形所在平面垂直的直线.
故答案为：B
【分析】易得空间中到一个三角形的三个顶点距离相等的点组成的集合表示的图形为过该三角形的外心且与该三角形所在平面垂直的直线，设点为的外心，且直线平面，点为直线上任意一点，证明即可.
24．【答案】D
【知识点】数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由已知向量，
可得，
由可得，
即，解得，
故答案为：D
【分析】求出，根据向量垂直的坐标表示，可列方程，即可求得答案.
25．【答案】C
【知识点】函数模型的选择与应用；余弦定理
【解析】【解答】如图，设点为出发点，点为的船后到达的点，点为的船后到达的点，
则，
则，
又因，所以.
故答案为：C.
【分析】设点为出发点，点为的船后到达的点，点为的船后到达的点，再利用余弦定理即可得解.
26．【答案】C
【知识点】对数的运算性质；函数模型的选择与应用
【解析】【解答】，；，，
.
故答案为：C
【分析】代入数据计算，，计算得到答案.
27．【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】设底面圆半径为，则圆柱的高为，
圆柱侧面积为，
当且仅当，即时等号成立.
故答案为：B.
【分析】设底面圆半径为，则圆柱的高为，圆柱侧面积为，利用均值等式计算得到答案.
28．【答案】B
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】当时，，
当时，，
若，的值域为，不合题意；
若，则时，，，由于 ，
由题意可知需使；
若，则时，，，，
故需使，
即实数的可能值共有2个，
故答案为：B
【分析】根据分段函数的解析式，讨论m的范围，确定每段的函数最小值，由题意列方程，求得m的值，可得答案.
29．【答案】（1）证明：因为分别是的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）解：因为是等边三角形，是的中点，
所以，
因为，平面，
所以平面，
因为底面和侧面都是边长为2的等边三角形，
所以
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可求证；
（2）先证明平面 ，即可求出三棱锥的体积.
30．【答案】（1）解：，最小正周期.
（2）解：，即，
设，，，
当时，即，整理得到，
，当且仅当，即时等号成立，故；
当时，不等式恒成立；
当时，即，整理得到，
，当且仅当，即时等号成立，故.
综上所述：，即
【知识点】基本不等式；正弦函数的周期性
【解析】【分析】（1）确定，再计算周期即可.
（2）设 ，，考虑，，三种情况，利用均值不等式计算最值得到答案.
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江苏省2023年普通高中数学学业水平合格性考试试卷
一、单选题
1．（2023·江苏会考）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】集合，则.
故答案为：A
【分析】根据交集定义直接计算即可.
2．（2023·江苏会考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】A选项：，则，A符合题意；
B选项：，则，所以，B不符合题意；
C选项：当或时，，则，C不符合题意；
D选项：当时，，D不符合题意.
故答案为：A．
【分析】由不等式的基本性质逐一判断即可.
3．（2023·江苏会考）已知，则（ ）
A．3 B．4 C． D．10
【答案】C
【知识点】复数求模
【解析】【解答】因为，所以.
故答案为：C.
【分析】根据复数的模的计算公式，即可求得答案.
4．（2023·江苏会考）已知五个数的平均数为4，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】由题意可得，
故答案为：B
【分析】根据平均数的计算公式列式计算，即可求得答案.
5．（2021高一上·福田期中）命题“ ， ”的否定为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】由题意 ， ，否定是 ，
故答案为：B．
【分析】 根据含有量词的命题的否定为：将任意改为存在，结论否定，即可写出命题的否定.
6．（2020高一上·天津月考）已知角 的终边经过点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：角α的终边经过点 ，
则sinα ，
故答案为：B．
【分析】由已知条件结合任意角的定义代入数值计算出结果即可。
7．（2023·江苏会考）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】函数的定义域满足：，，解得.
故答案为：D
【分析】函数定义域满足，，解得答案.
8．（2023·江苏会考）要得到函数的图象．只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】根据相位变换的左加右减有：向左移动个单位得到，
故答案为：A.
【分析】根据三角函数的图象变换中的相位变换确定结果.
9．（2023·江苏会考）党的二十大报告指出：“全面提高人才自主培养质量，着力造就拔尖创新人才，聚天下英才而用之.”某区域教育部门为提高学生的创新能力，组织了200名学生参与研究性学习，每人仅参加1个课题组，参加各课题组的人数占比的扇形统计图如图所示，则参加数学类的人数比参加理化类的人数多（ ）
A．16 B．30 C．32 D．62
【答案】C
【知识点】收集数据的方法
【解析】【解答】由扇形统计图可知参加数学类的人数为，
参加理化类的人数为，
故参加数学类的人数比参加理化类的人数多，
故答案为：C
【分析】由扇形图计算参加数学类和理化类的人数，即可求得答案.
10．（2023·江苏会考）从甲 乙 丙 丁4名同学中任选3名同学参加环保宣传志愿服务，则甲被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】从甲 乙 丙 丁4名同学中任选3名同学共有：（甲乙丙），（甲丙丁），（甲乙丁），（乙丙丁），4种情况，
甲被选中共有3种情况，故对应的概率为
故答案为：D
【分析】列举出所有的基本事件，然后得到甲被选中的情况，利用古典概型求解即可.
11．（2023·江苏会考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】；；，
所以.
故答案为：A
【分析】利用对数函数的单调性得到，，，得到答案.
12．（2023·江苏会考）已知直线平面，直线平面，则与不可能（ ）
A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直
【答案】B
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】直线平面，直线平面，则与可能平行，异面和垂直，
若与相交，，则，，直线平面，故，
即与有交点，这与题设矛盾.
故答案为：B
【分析】若与相交，得到与有交点，这与题设矛盾，得到答案.
13．（2023·江苏会考）已知函数是偶函数，且在区间上单调递增，则下列实数可作为值的是（ ）
A．-2 B． C．2 D．3
【答案】C
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】对A：，，函数在上单调递减，错误；
对B：，，函数定义域为，不是偶函数，错误；
对C：，，函数定义域为，，函数为偶函数，且在上单调递增，正确；
对D：，，函数定义域为，，函数为奇函数，错误；
故答案为：C
【分析】在上单调递减，A错误，不是偶函数，B错误，定义判断C正确， 函数为奇函数，D错误，得到答案.
14．（2023·江苏会考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】由题意，可知，
则，
故答案为：B
【分析】根据三角函数同角的函数关系式，结合齐次式法求值，可得答案.
15．（2023·江苏会考）对于两个非空实数集合和，我们把集合记作.若集合，则中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】集合中元素个数的最值
【解析】【解答】，则，则中元素的个数为
故答案为：C
【分析】计算，得到元素个数.
16．（2023·江苏会考）已知函数为奇函数，且当时，，则（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【知识点】奇函数
【解析】【解答】因为函数为奇函数，且当时，，
所以.
故答案为：A.
【分析】利用奇函数性质代入数据计算得到答案.
17．（2023·江苏会考）甲 乙两人独立地破译某个密码，如果每人译出密码得概率均为0.3，则密码被破译的概率为（ ）
A．0.09 B．0.42 C．0.51 D．0.6
【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】甲乙都不能译出密码得概率为，
故密码被破译的概率为.
故答案为：C
【分析】甲乙都不能译出密码得概率为，密码被破译的概率为.
18．（2023·江苏会考）甲 乙 丙 丁4名学生参加数学竞赛，在成绩公布前，4人作出如下预测：甲说：乙第一；乙说：丁第一；丙说：我不是第一；丁说：乙第二.公布的成绩表明，4名学生的成绩互不相同，并且有且只有1名学生预测错误，则预测错误的学生是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【知识点】进行简单的合情推理
【解析】【解答】若甲预测错误，则其余三人预测正确，即丁第一，乙第二，丙第三或第四，甲第四或第三，符合题意；
若乙预测错误，则其余三人预测正确，则甲和丁的预测相矛盾，这样有两人预测错误，不符合题意；
若丙预测错误，则其余三人预测正确，则甲和丁的预测相矛盾，这样有两人预测错误，不符合题意；
若丁预测错误，则其余三人预测正确，则甲和乙的预测相矛盾，这样有两人预测错误，不符合题意；
故答案为：A
【分析】分别假设甲 乙 丙 丁的预测错误，看能否推出与题意相矛盾的情况，即可判断答案.
19．（2023·江苏会考）如图，正方体中，直线与平面所成角的正切值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】如图所示：连接，因为平面，故线与平面所成角，设正方体棱长为1，则，
.
故答案为：C
【分析】连接，因为平面，故线与平面所成角，计算得到答案.
20．（2023·江苏会考）在一次实验中，某小组测得一组数据，并由实验数据得到下面的散点图.由此散点图，在区间上，下列四个函数模型为待定系数）中，最能反映函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】散点图
【解析】【解答】由散点图的定义域可排除C、D选项，由散点图的增长方式可知函数模型为指数型.
故答案为：B
【分析】由函数模型的增长方式以及定义域可确定选项.
21．（2023·江苏会考）在中，已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】，，，解得.
故答案为：D
【分析】确定，再利用二倍角公式计算得到答案.
22．（2023·江苏会考）已知是边长为2的等边三角形，分别是边的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】向量的三角形法则
【解析】【解答】对A：，错误；
对B：，错误；
对C：，错误；
对D：，正确.
故答案为：D
【分析】根据向量的运算法则得到ABC错误，D正确，，得到答案.
23．（2023·江苏会考）在空间，到一个三角形的三个顶点距离相等的点的集合表示的图形是（ ）
A．一个点 B．一条直线 C．一个平面 D．一个球面
【答案】B
【知识点】与直线有关的动点轨迹方程
【解析】【解答】空间中到一个三角形的三个顶点距离相等的点组成的集合表示的图形为过该三角形的外心且与该三角形所在平面垂直的直线，
如图，设点为的外心，且直线平面，点为直线上任意一点，
则，且平面，
所以直线，直线，直线，
当点与点重合时，，即直线的点到的三个顶点距离相等，
当点与点不重合时，
由勾股定理可得，即直线的点到的三个定点距离相等，
综上直线的点到的三个顶点距离相等，反之到的三个顶点距离相等的点都在直线l上，
所以空间中到一个三角形的三个顶点距离相等的点组成的集合表示的图形为过该三角形的外心且与该三角形所在平面垂直的直线.
故答案为：B
【分析】易得空间中到一个三角形的三个顶点距离相等的点组成的集合表示的图形为过该三角形的外心且与该三角形所在平面垂直的直线，设点为的外心，且直线平面，点为直线上任意一点，证明即可.
24．（2023·江苏会考）已知向量，则实数（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．-1或1
【答案】D
【知识点】数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由已知向量，
可得，
由可得，
即，解得，
故答案为：D
【分析】求出，根据向量垂直的坐标表示，可列方程，即可求得答案.
25．（2023·江苏会考）两游艇自某地同时出发，一艇以的速度向正北方向行驶，另一艇以的速度向北偏东（）角的方向行驶.若经过，两艇相距，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数模型的选择与应用；余弦定理
【解析】【解答】如图，设点为出发点，点为的船后到达的点，点为的船后到达的点，
则，
则，
又因，所以.
故答案为：C.
【分析】设点为出发点，点为的船后到达的点，点为的船后到达的点，再利用余弦定理即可得解.
26．（2023·江苏会考）2023年2月6日，土耳其发生强烈地震，造成重大人员伤亡和财产损失，江苏救援队伍紧急赴当地开展救报行动.尽管日前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为.里氏8.0级地震所释放出来的能量是里氏6.0级地震所释放出来的能量的（ ）
A．6倍 B．倍 C．倍 D．倍
【答案】C
【知识点】对数的运算性质；函数模型的选择与应用
【解析】【解答】，；，，
.
故答案为：C
【分析】代入数据计算，，计算得到答案.
27．（2023·江苏会考）若圆柱的上 下底面的圆周都在一个半径为2的球面上，则该圆柱侧面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】设底面圆半径为，则圆柱的高为，
圆柱侧面积为，
当且仅当，即时等号成立.
故答案为：B.
【分析】设底面圆半径为，则圆柱的高为，圆柱侧面积为，利用均值等式计算得到答案.
28．（2023·江苏会考）若函数的值域为，则实数的可能值共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】当时，，
当时，，
若，的值域为，不合题意；
若，则时，，，由于 ，
由题意可知需使；
若，则时，，，，
故需使，
即实数的可能值共有2个，
故答案为：B
【分析】根据分段函数的解析式，讨论m的范围，确定每段的函数最小值，由题意列方程，求得m的值，可得答案.
二、解答题
29．（2023·江苏会考）如图，三棱锥的底面和侧面都是边长为2的等边三角形，分别是的中点，.
（1）证明：平面；
（2）求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明：因为分别是的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）解：因为是等边三角形，是的中点，
所以，
因为，平面，
所以平面，
因为底面和侧面都是边长为2的等边三角形，
所以
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可求证；
（2）先证明平面 ，即可求出三棱锥的体积.
30．（2023·江苏会考）已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：，最小正周期.
（2）解：，即，
设，，，
当时，即，整理得到，
，当且仅当，即时等号成立，故；
当时，不等式恒成立；
当时，即，整理得到，
，当且仅当，即时等号成立，故.
综上所述：，即
【知识点】基本不等式；正弦函数的周期性
【解析】【分析】（1）确定，再计算周期即可.
（2）设 ，，考虑，，三种情况，利用均值不等式计算最值得到答案.
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