高一数学参考答案
一、单选题
1.A 2.D 3.B 4.A 5.D 6.A 7.B 8.C
二、多选题
9.BC 10.CD 11.ACD 12.CD
三、填空题
13. 2 6 14. 3 15. 1 16. [0，4]
4
四、解答题
17. 解：（1）由 // b 得， 2 3 1 x 0，
所以 x 6，即 b = (6,3)，
由 a c得， 2 y 1 2 0，
所以 y 1，即 c = ( 1,2)
（2）由（1）得m 2a b 2 2,1 6,3 2, 1 ，
n a c 2,1 1,2 1,3 ，
所以m n 2 1 1 3 5，
m 2 2 1 2 5， n 12 32 10，
cos m ,n m
n 5 2
所以 ，x 0, ，m n 5 10 2
3π
所以向量m， n的夹角为 .4
18. 解：（1）因为0< < ， sin 4
2 5
3
所以 cos .
5
0< 5又因为 ， cos( + )= ，
2 13
sin 12所以 ( + )=
13
所以 cos cos[( )- ]
cos( + ）cos ] sin( + )sin
5 3 12 4
=
13 5 13 5
63
= .
65
（2）因为 cos 3 ，sin 4
5 5
所以 sin2 2cos2 1 2 4 3 24 ，
5 5 25
cos2 2cos2 3 7 1 2 ( )2 1 ，
5 25
4 2 24
sin2 sin2 ( )
所以 5 25 5 .
cos2 1 7 1 4
25
19. 解（1）在 ABD中，由正弦定理得：sin∠ADB = AB sinA = 2
BD 5
° cos 23因为∠ADB < 90 ，所以 ∠ADB = .
5
（2） BDC中，由余弦定理得：BC2 = BD2 +DC2 2BD DCcos∠BDC
= BD2 + DC2 2BD DCcos(90° ∠ADB)
= BD2 + DC2 2BD DCsin∠ADB
= 25 + 8 2 × 5 × 2 2 × 2 = 25
5
所以 BC=5
20. 解：（1）由题意知， OA OM 1
S 1因为 OAM OA OM sin
5
，
2 5
2 5
所以 sin 又因为 为锐角，所以 cos 5
5 5
7 2
因为点 B是钝角 的终边与单位圆O的交点，且点 B的横坐标是 ，
10
cos 7 2 2所以 , sin
10 10
所以 cos( ) cos cos sin sin
5 7 2 2 5 2 10
( )
5 10 5 10 10
2 sin 2 5 ,cos 5 , sin( ) sin cos cos sin 3 10（ ）因为 所以 ，
5 5 10
从而 sin(2 ) sin ( ) sin cos( ) cos sin( 2 )
2
sin 2 5 2因为 为锐角， ，
5 2
( 所以 , )，所以 2 ( , )
4 2 2
又 ( , )，所以 2 ( , )
2 2 2
所以 2
4
21. 解（1）函数 f(x) = 2sin xcos x 2sin2x+ 1，
cos 2x sin 2x 2 sin 2x .
4
所以 f x 2 的最小正周期为T ；
2
x （2）因为 0, ， 2
2x , 5
所以 , sin
2x 2 ,1 ，
4 4 4 4
2
所以 f x 的最大值是 2，最小值是 1.
2k 2x 2k 3 （3）令 ，
2 4 2
5
解得 k x k ，
8 8
k ,k 5 ,k Z
所以 f(x)的单调递减区间是
8 8
m 2a c,b n cosC, cosB 22. 1 （ ）因为 ， ，m / /n，
所以 2a c cosB bcosC 0，
由正弦定理得 2sinA sinC cosB sinBcosC 0，
即 2sinAcosB sinCcosB sinBcosC 0，
所以 2sinAcosB sin B C sinA，
因为 A 0,π ，所以 sinA 0，
所以 cosB 1 ，
2
因为 B 0,π B π，所以 ，
3
B π（2）由（1）可知， ， 2 2
3 a c b
2 ac，
又b 2，所以 a2 c2 ac 4，
由基本不等式得： a2 c2 2ac，即 ac 4 2ac，
所以 ac 4，当且仅当 a c 2时，等号成立.
a c 2 a2又 c2 2ac 3ac 4 16，
即0 a c 4，又 a c 2，所以 2 a c 4，
所以 4 a b c 6，
即△ABC周长的取值范围是 4,6 .2022---2023学年度第二学期月考检测试卷
高一 数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项
中只有一项符合题目要求．
1.在矩形ABCD中，设| | = 4，| | = 2，则 + 的模为（ ）
A. 2 5 B. 4 5 C. 12 D. 6
2.已知(cos π sin π )（cos π + sin π ） = （ ）
12 12 12 12
3 1 1 3
A. B. C. D.
2 2 2 2
3.如 图 ,在 △ ABC中 ，D为 AB的 中 点 ，E为CD的 中 点 ,设 = , =
以向量 , 为基底 ,则向量 =( )
1 1 1
A. + B. +
2 4 2
. + 1 1 B. D. + 1
2 2 4
4.若tan(α π ) = 1 ，则tanα =( )
4 6
7 5 7 4
A. B. C. D.
5 7 5 7
5.如图，测量河对岸的塔高 AB时，可以选与塔底 B在同一水平面内的两个观测
点 C，D，测得∠BCD＝15°，∠CBD＝30°，CD＝10 2 m，并在 C处测得塔顶 A
的仰角为 45°，则塔高 AB＝（ ）
A．30 2 m B．20 3m
C．30m D．20m
6.在△ABC 中，内角 A,B,C 所对的边分别为 , , .已知 2 + 2
2 = ，若 2 + 2 = 2 ，则角 B的大小为（ ）
A. 30° B. 45° C.60° D. 90°
π 1 π
7.已知如α为锐角，若sin（α ) = ，则cos(α ) =（ A ）
6 3 3
3 2 2 6+1 3+ 2 2 3 1
A. B. C. D.
8 6 8 6
8.向量 a, b , c
在正方形网格中的位置如图所示．若向量 a b与 c 垂直，则实
数 （ ）
A.－2 B. －3
C. 3 D. 2
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中
有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9.下列式子的运算结果为 3的是（ ）
A. 2 sin35 cos25 cos35 sin 25 B.2 cos35 cos5 sin35 sin5
1 tan15 tan 6
B. D.
1 tan15 1 tan 2
6
ABC A b10.在 中，已知 6 ，且
2
a ，则角
C的值可能是（ ）
3 7
A． 4 B． 4 C． 12 D． 12
11. 已知向量 = 3（ , sin α）， = (sin α , 1 ) ，若 // ，则角 可能为（ ）
2 6
A. 30° B. 60° C.150° D. 330°
12.八卦是中国文化的基本哲学概念，图 1 是八卦模型图，其平面图形为图 2 所
示的正八边形 ABCDEFGH,其中 | | = 1，下列结论正确的是（ ）
A. 与 π的夹角为
4
B. + O F = O E
C. | O C | = 2 |D H |
2
D. 在 2上的投影向量为 (其中 为与 同向的单位向量)
2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.计算 cos 105°= ______
14.在 ABC
2
中，a 5， c 2，cosA = ，则b ______
3
15.求值：sin 40°(tan 10° 3)=______
16.如图，正方形 ABCD 的边长为 2，P是线段 DC 上的动点（含
端点），则 BP AC的取值范围是 ．
四、解答题：本题6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演
算步骤．
17.（10 分）已知向量 = （2,1）， = (x , 3)， = (y , 2) ，且a / /b，a c．
（1）求b与 c；
（2）若m 2a b，n a c，求向量m与n的夹角的大小．
18.（12 分）已知0 ，0 sin 4 ， ， cos( 5 ) .
2 2 5 13
（1）求角 cos 的值；
sin2 sin 2
（2）求 cos2 1 的值.
19.（12 分）如图，在平面四边形 ABCD中，
DC = 2 2,求：
（1）cos ADB的值；
（2）边BC的长
20.（12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，顶点在坐标原点，以 x轴非负半
轴为始边的锐角 与钝角 的终边与单位圆 O 分别交于 A，B 两点，x 轴的非负
半轴与单位圆 O交于点 M 5，已知 S ,点 B的横坐标是 7 2 OAM .5 10
（1）求 cos( )的值；
（2）求2 的值．
21.（12 分）已知函数 f（x）＝2sinx（cosx﹣sinx）+1．
（1）求 f x 的最小正周期；
（2）若 x 0,
，求 f x 的最大值，最小值. 2
（3）求 f(x)的单调递减区间.
m 2a c,b
22.（12 分）在△ABC 中，内角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，且满足 ，
n cosC, cosB
，m / /n；
（1）求 B；
（2）若b 2，求△ABC 周长的取值范围.
