钦州市第六中学2023年春季学期期中考试高二数学 参考答案
1-4ABBA 5-8 BDDA 9.ACD 10.BD 11.ABC 12.ABC
13. 0.84135 14. 15. 16. 5
1．A【详解】因为，所以，故选：A
2．B【详解】：设第二次抽到数学题为事件，第一次抽到数学题为事件，
则，，则.故选：B
3．B【详解】因为，所以．故选：B
4．A【详解】由表中数据，计算 ，因为回归直线方程过样本中心，，解得，故选：A
5．B【详解】因为数列是首项为1，公差为3的等差数列，所以.当时，即，解得.故选：B
6．D由题意可得，，，，.
7．D因为是等比数列，所以成等比数列，又因为，，，则，，所以，.
8．A因为等差数列的前项和有最大值，故可得，因为，故可得，即，所以，可得，又因为，故可得，所以数列的前6项和有最大值，且， 又因为，，故取得最小正值时n等于.故选：A.
9．ACD【详解】对A：当为奇数时，，当为偶数时，，符合数列1，0，1，0，1，0，…的通项公式；对B：当为奇数时，或，当为偶数时，，不符合数列1，0，1，0，1，0，…的通项公式；对C：当为奇数时，，当为偶数时，，符合数列1，0，1，0，1，0，…的通项公式；对D：当为奇数时，，当为偶数时，，符合数列1，0，1，0，1，0，…的通项公式；
10．BD【详解】对于A，回归直线恒过样本点的中心，不一定过样本点，故A错误；对于B，将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，数据的波动性不变，故方差不变，故B正确；对于C，用相关系数来刻画回归效果，越接近，说明模型的拟合效果越好，故C错误；对于D，因为随机变量，所以，故D正确.故选：BD.
11．ABC【详解】随机投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，记录朝上一面的点数．
设事件“第一次为奇数”，则，“第二次为奇数”， 则，
“两次点数之和为奇数”，则，则，
∴，A正确；为两次点数之和为偶数，与两次点数之和为奇数不可能同时发生，则与互斥，B正确；,故A与相互独立，C正确；事件A,B,C不可能同时发生，则，故D错误；故选：ABC.
12．ABC【详解】对于函数可知：在上单调递减，且当时，；当时，.故对于数列可知：当，则；当，则数列为递减数列，且；
故数列有最大值，有最小值，A、C正确；又∵当，；当，；故当，则；当，则；
故有最小值，B正确，D错误；故选：ABC.
13．因为，所以.
14．【详解】由题意知服从超几何分布，则，所以．故
15.【详解】对于方程，，设等比数列的公比为，则，即、同号，由韦达定理可得，则、均为负数，，，
由等比中项的性质可得，.故答案为：.
16．5 依题意可得，解得，所以，所以.
17．（1）设等差数列的公差为，因为，
所以，解得，所以；
（2），数列首项为负的，公差大于零，是递增数列，
令即，解得，因为，所以，令即，解得， 令即，解得，所以第1项是负数，第2项是0，从第3项起变成正数，
所以当或2时，取得最小值，
18．（1）记“取球两次后，箱子中小球的个数为5”为事件，
事件包含：“第一次取球为红色，第二次取球为白色”和“第一次取球为白色，第二次取球为红色”，则，
4 5 6
取球两次后，箱子中小球的个数为5的概率为；
（2）依题意得的所有可能取值为4，
则，的分布列为
的数学期望
19．（1），，
，，则，，
故关于的线性回归方程为；
（2）将，代入，得到，则估计1000粒赤霉素含量为60ng/g的种子后天生长的优质数量为.
20．（1）由给定的数表得：，，，
所以.
（2）由已知得列联表：
参加校外 不参加校外 合计
成绩优秀或良好 10 30 40
成绩不为优秀且良好 20 40 60
合计 30 70 100
的观测值为，所以不能在犯错误的概率不超过为0.1的前提下认为学生成绩优秀或良好与校外补习有关．
21．(1)当时，且，所以.当时，，所以，所以，又，
所以，即是首项为1，公差为3的等差数列，故.
(2)因为，
所以.
22．【详解】（1）由题意知，
，
（2）证明：由题意知．即，所以．由所以数列的首项为，
所以是首项为，公比为的等比数列．
（3）由（2）知数列的首项为，公比为．
所以，所以．当，得．
两边取常用对数得，所以，所以，
因为，所以．即至少经过年，该项目的资金达到翻一番．钦州市第六中学2023年春季学期期中考试试卷
高二数学
考试时间：120分钟 总分150分
第I卷（选择题）
一、选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．数列满足，，则（ ）
A．2 B． C． D．
2．在5道题中有3道数学题和2道物理题，如果不放回地依次抽取2道题，则在第一次抽到数学题条件下，第二次抽到数学题的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．根据变量与的对应关系（如表），求得关于的线性回归方程为，则
x 2 4 5 6 8
y 30 40 m 50 70
表中的值为（）
A．60 B．55 C．50 D．45
5．是首项为1，公差为3的等差数列，如果＝2023，则序号n等于（ ）
A．674 B．675 C．676 D．677
6．已知数列对任意满足，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．60 B．70 C．80 D．150
已知数列为等差数列，若，，且数列的前项和有最大值，
那么取得最小正值时为（ ）
A．11 B．12 C．7 D．6
二、本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
9．下列选项中能满足数列1，0，1，0，1，0，…的通项公式的有（ ）
A． B． C． D．
10．下列命题中，正确的命题（ ）
A．回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点
B．将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变
C．用相关系数来刻画回归效果，越接近，说明模型的拟合效果越好
D．若随机变量，且，则
11．随机投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，记录朝上一面的点数．设事件“第一次为奇数”，“第二次为奇数”，“两次点数之和为奇数”，则（ ）
A． B．与互斥
C．与相互独立 D．
12．已知数列满足，前n项的和为，关于，叙述正确的是（ ）
A．有最小值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最大值
第II卷（非选择题）
三、填空题.本题共4小题，每小题5分，共20分
13．若随机变量，则_______.（附：若随机变量，则，）
14．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，设取得的次品数为，则________．
15．在等比数列中，若、是方程的两根，则的值是______.
16．随机变量X的分布列如表所示，若，则_________.
X －1 0 1
P a b
四.解答题.本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤．
17．（10）已知等差数列中，
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和，并求的最小值
18．（12)某箱子中原来装有除颜色外完全相同的6个小球，其中4个红球，2个白球.从箱子中每次随机取出1个球，如果取出的是红球，则不放回;如果取出的是白球，则放回，每一次操作，称为一次取球.
(1)求取球两次后，箱子中小球的个数为5的概率;
(2)记取球两次后，箱子中小球的个数为，求的分布列和数学期望.
19．（12）赤霉素在幼芽、幼根、未成熟的种子中合成，其作用是促进细胞的生长，使得植株变高，每粒种子的赤霉素含量（单位：ng/g）直接影响该粒种子后天的生长质量.现通过生物仪器采集了赤霉素含量分别为10，20，30，40，50的种子各20粒，并跟踪每粒种子后天生长的情况，收集种子后天生长的优质数量（单位：粒），得到的数据如下表：
赤霉素含量 10 20 30 40 50
后天生长的优质数量 2 3 7 8 10
(1)求关于的线性回归方程；
(2)利用（1）中的回归方程，估计1000粒赤霉素含量为60ng/g的种子后天生长的优质数量.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
20．（12）某校用随机抽样的方法调查学生参加校外补习情况，得到的数据如下表：
分数等级 人数 不及格 及格 良好 优秀
学生人数 8 52 29 11
参加校外补习人数 5 15 7 3
(1)从中任取一名学生，记“该生参加了校外补习”，“该生成绩为优秀”．求及；
(2)能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为学生成绩优秀或良好与校外补习有关？
参考公式及数据：，其中．
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
21．（12）已知正项数列的前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
22．（12）某企业年初在一个项目上投资2000万元，据市场调查，每年获得的利润为投资的50%，为了企业长远发展，每年年底需要从利润中取出500万元进行科研、技术改造，其余继续投入该项目．设经过年后，该项目的资金为万元．
(1)求和的值；
(2)求证：数列为等比数列；
(3)若该项目的资金达到翻一番，至少经过几年？（，)
