淮安市高中校协作体 2022～2023 学年度第二学期高二年级期中考试
数学试卷参考答案
考试时间：120分钟 总分：150 分
一、单项选择题（本大题共有 8 小题，每题 5 分，共 40 分）
→ → → →
1．已知 A，B，C 三点不共线，O 是平面 ABC 外任意一点，若由OP＝ OA＋ OB＋ OC确定的一点 P 与 A，B，C
三点共面，则λ等于( C )
A. - B. C． D．
3 3
2.若 A2n 10An，则 n （ D ）
A. 1 B. 6 C. 7 D. 8
3.已知 e1，e2是夹角为 60°的两个单位向量，设向量 = + , = + ,则 与 的夹角为（ C ）
A. B. C. D.
4.如右图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点
异色，如果只有 4种颜色可供使用，则不同染色方法的种数为（ D ）
A. 192 B. 420 C. 96 D. 72
5.设 x,y 是实数，已知三点 A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(x,3，y＋2)在同一条直线上，那么 x+y=( D )
A.2 B.3 C.4 D.5
6.已知在( ) 的展开式中，第 5 项的系数与第 3 项的系数之比是 56∶3,则展开式中系数的绝对值最
大的是第（ B ）项
A. 6 B. 8 C. 9 D. 11
7.已知 e1，e2是夹角为 60°的两个单位向量，则向量 e1＋e2在向量 e1上的投影向量的模为（ A ）
A. B.2 C. D.4
8.若（ + ) = + + + + ，则 + + + + 被 12 整除的余数为
（ B ）
A.0 B. 3 C. 5 D.8
二、多项选择题（本大题共有 4 小题，每题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中,有多项符合要求.全部
选对的得 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分.）
9.下列命题中是真命题的为( BD )
A．若 p 与 a，b共面，则存在实数 x,y,使 p＝xa＋yb
B．若存在实数 x,y,使向量 p＝xa＋yb，则 p 与 a，b 共面
→ → →
C．若点 P，M，A，B 四点共面，则存在实数 x,y，使MP＝xMA＋yMB
→ → →
D．若存在实数 x,y，使MP＝xMA＋yMB，则点 P，M，A，B 四点共面
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10．我国古代著名的数学著作中《周碑算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《孙
丘建算经》、《海岛算经》、《五经算术》、《级术》和《纠古算经》，称为“算经十书”，某老师将其中的《周
碑算经》、《九章算术》、《孙子算经）、《五经算术》、《缀术》和《缉古算经》6 本书分给 5 名数学爱好者，
其中每人至少一本，则不同的分配方法的种数为（ AB ）
C1C 2 4 2 5 1 2 4 5 1A． 5 6 A4 B．C6 A5 C．C5A6 A4 D． A6C5
11.设向量 x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一组基底，则下列向量组中，可以作为空
间一个基底的向量组有( ACD )
A．{x，y，z} B．{a，b，x} C．{b，c，z} D．{x，y，a＋b＋c}
3 1 n *
12．对于二项式 (x ) (n N )，以下判断正确的有（ AD ）
x
A．存在 n N ，展开式中有常数项 B．对任意n N ，展开式中没有常数项
C．对任意n N ，展开式中没有 x 的一次项 D．存在n N ，展开式中有 x 的一次项
三、填空题（本大题共有 4 小题，每题 5 分，共 20 分）
13．如右图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD为平行四边形，且 AB AP 6，
AD 2， BAD BAP DAP 60 ，E，F 分别为 PB，PC 上的点，且 PE 2EB，
PF FC， EF 2
3
15.已知( x－ x)n的展开式中所有项的二项式系数之和为 1 024，则(1－x)3＋(1－x)4＋…＋(1－x)n的展开式
中 x2项的系数为 164 ．
14.在直三棱柱 ABC A1B1C1中，AC=BC=2, =4， ACB 90 ，D，E，F 分别为 AC， AA1，AB 的中点．则
点 B1到平面 DEF 的距离为
3
16. 对任意实数 x有 x a0 a1(x 2) a2 (x 2)
2 a 33 (x 2) ，则 a2 = 6 ； + + + = 27
四、解答题（本大题共有 6 小题，第 17 题 10 分，其余每题 12 分，共 70 分）
17.在①只有第 6项的二项式系数最大，②第 4项与第 8项的二项式系数相等，③所有二项式系数的和为 210，
这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题.
已知 2x 1 n a a 1 2 30 1x a2x a3x a xn（ n N
n
n ），若 2x 1 的展开式中，______.
（1）求 n的值；
（2）求 a1 a2 a3 an 的值.
解：（1）选择条件①
第 2页（共 6 页）
若 n2x 1 n的展开式中只有第 6 项的二项式系数最大，则 5,解得 n=10……………………4 分
2
选择条件②，
2x 1 n 3 7若 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则Cn Cn ，解得 n=10……………………4 分
选择条件③
若 2x 1 n的展开式中所有二项式系数的和为 210，则 2n = 210，解得 n=10……………………4 分
（2）由（1）知 n 10，则 2x 1 10 a 1 2 3 100 a1x a2x a3x a10x
令 x 0，得 a0 1 …………………………………………………………6分
令 x 1 10，则3 a0 a1 a2 a3 a10 1 a1 a2 a3 a10 ……………………8分
a 101 a2 a3 a10 3 1 ………………………………………10分
18．如图，四棱锥 S ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 2倍，P为侧棱 SD 的中点，
试用向量法解决下面的问题．
（1）求证： AC SD；
（2）若 BC 2，求线段 BP 的长．
解：连接 BD，交 AC 于点 O，由题意知 SO 平面 ABCD．以 O 为坐标原点，
OB，OC，OS的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角
坐标系O xyz，如图所示． ………………………………………………………………2分
6
（1）设底面边长为 a，则高 SO a ，于是 S(0,0, 6 a)，D( 2 a,0,0)，
2 2 2
2 C 0, a,0 ，所以OC 0,
2 a,0
2 2 SD (
2 6
， a,0, a)，
2 2
所以OC SD 0，故OC SD，即 AC SD．………………………7分
（2）因为BC 2，所以 B( 2,0,0)， S(0,0, 6)，D( 2,0,0) .
2 6 3 2 6
由中点坐标公式，可得P( ,0, )，所以 BP ( ,0, ) ，
2 2 2 2
3 2 6
所以 BP ( )2 02 ( )2 6 ，即线段 BP 的长为 6 ．………………………………………12分
2 2
19.有 4 名男生，3 名女生，共 7 个人从左至右站成一排，在下列情况下，各有多少种不同的站法．
(1)男生、女生各站在一起；
(2)男生必须站在一起；
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(3)男生互不相邻，且女生也互不相邻．
(4)最左端只能站某生甲或乙，最右端不能站某生甲，则有多少种不同的站法？
4
解 (1)男生必须站在一起，即把 4 名男生进行全排列，有 A 4种排法，
3
女生必须站在一起，即把 3 名女生进行全排列，有种 A 3排法，
2
全体男生、女生各看作一个元素全排列有 A 2种排法，
3 4 2
由分步计数原理知共有 A3·A4·A2＝288(种)排法．………………………3分
(2)把所有男生看作一个元素，与 3 名女生组成 4 个元素全排列，
4 4
故有 A4·A4＝576(种)不同的排法．………………………6分
4
(3）先排男生有 A 4种排法．让女生插空，
3 4
有 A3A4＝144(种)不同的排法．………………………9分
(4）最左端站某生甲，共有 =720 种
最左端只站某生乙，最右端不能站某生甲，有 =600 种
根据加法原理可得，共有 720+600=1320 种.………………………12分
20．在四棱锥 P—ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形， AD / /BC ， AB BC，侧面 PAB 底面 ABCD，
PA PB AD 2， BC 4．
(1)若 PB 的中点为 E，求证： AE / /平面 PCD；
(2)若 PB 与底面 ABCD 所成的角为 60°，求 PC 与平面 PBD 的所成角的余弦值．
解：(1)如图，取 PC 的中点 F，连接 EF，DF，
E，F 分别为 PB，PC 的中点，
1
EF / /BC， EF BC 2，
2
AD / /BC且 AD 2，
EF / /AD且 EF AD 2，
四边形 ADFE 是平行四边形，
DF / /AE ……………………………………………………………2分
AE 平面 PCD，DF 平面 PCD，
AE / /平面 PCD．……………………………………………………………4分
(2)若O是 AB中点，作Oy / /BC，由底面 ABCD 为直角梯形且 AD / /BC ，
PA PB AD 2， BC 4，
由侧面 PAB 底面 ABCD，面 PAB 面 ABCD AB， 面 PAB
∴ P在面 ABCD 的投影在直线 AB上，又 PB 与底面 ABCD 所成的角为 60°
∴PB 与底面 ABCD 所成角的平面角 PBA 60 ，则△ PAB为等边三角形.
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∴以O为原点，OB、Oy、OP为 x、y、z 轴建空间直角坐标系，如图示：………………6分
∴ B 1,0,0 、C 1,4,0 、D 1,2,0 、 P 0,0, 3 ，则BP 1,0, 3 ， PD 1,2, 3 ，
=（1，4， ）
n BP x 3z 0
设平面 PBD 的法向量 n x, y, z ，则{ ，取 x 3，得 n 3, 3,1 n PD x 2y 3z 0
设 PC 与平面 PBD 的所成角为
则 = | | = ……………………………………………10 分
PC 与平面 PBD 的夹角的余弦值为 ……………………………………………………………12分
21.有 5 个男生和 3 个女生，从中选出 5人担任 5 门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数．
(1)有女生但人数必须少于男生；
(2)某女生一定担任语文科代表；
(3)某男生必须包括在内，但不担任语文科代表；
(4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表．
解 (1)先选后排，5 人可以是 2 女 3 男，也可以是 1 女 4 男，
3 2 4 1 5
所以先选有 C5C3＋C5C 3种，后排有 A 5种，
3 2
所以共有不同选法(C5C3＋C45C1 53)·A5＝5 400(种)．……………………………………………3分
4 4
(2)除去一定担任语文科代表的女生后，先选后排，共有不同选法 C7·A4＝840(种)．………………6分
4 1 4
(3)先选后排，但先安排不担任语文科代表的该男生，所以共有不同选法 C7·C4·A4＝3 360(种)．……9分
(4)先从除去必须担任科代表，但不担任数学科代表的该男生和一定要担任语文科代表的该女生的 6 人中选
3 1 3
3 人有 C 6种，再安排必须担任科代表，但不担任数学科代表的该男生有 C 3种，其余 3 人全排列有 A 3种，
3 1 3
所以共有不同选法 C6·C3·A3＝360(种)． ……………………………………………………………12分
22.如图，在底面是菱形的四棱锥 P ABCD中，E为CD中点， APD 90 ， ADC 60 ，已知 PA PD 1．
(1)若 PB 3，证明： AB PE；
(2)若 PC= ，求二面角 P CD A的平面角的正弦值．
解:(1)连结 AE，由于 E为CD中点，且 ADC 60 ，故 AB AE
又有 AB AD 2AP 2，而 BP 3, AP 1，
故可知 BP2 AB2 AP2 ，则 AB AP，又 = 且 , 平面
所以 AB 平面 APE，而PE 平面 APE，故 AB PE．…………4分
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(2)取 AD的中点O，连接OP,OC，
在△APD中， PA PD 1 1 2， APD 90 ，O为 AD中点，所以OP AD ，OP AD．
2 2
在△APD中， AD DC 2， ADC 60 6，所以OC ．
2
又∵ PC 2， PO2 OC2 PC2．∴OC PO．
又∵ AD PO，OC AD O， AD 平面 ABCD，OC 平面 ABCD，∴ PO 面 ABCD．
所以以O为原点，分别以 OC、OD、OP 所在直线为 x、y、z 轴建立如图所示的空间直角坐标
系，……………………………………………8分
6
则C , 0,0 ,D 0,
2 ,0 2 6 2 6 2 ,P 0,0, ，则CD 2 2 2
, , 0 ,CP
2 2
, 0,
2 2
．
设平面PCD的一个法向量为 n1 x1, y1, z1 ，
6 2
n CD 0
x1 y1 0
1
则
2 2
n1 CP 0 6 x 2 1 z1 0 2 2
所以n1 1, 3, 3 ．易知 = ( , , 为平面 ACD的一个法向量
cos n1, n
n1
2
n 2 3 21
n n 7 7 ……………………………………………………10 分1 2
所以二面角 P CD A 的平面角的正弦值为 ．……………………………………………………12 分
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数学试卷参考答案
考试时间：120分钟 总分：150 分
一、单项选择题（本大题共有 8 小题，每题 5 分，共 40 分）
→ → → →
1．已知 A，B，C 三点不共线，O 是平面 ABC 外任意一点，若由OP＝ OA＋ OB＋ OC确定的一点 P 与 A，B，C
三点共面，则λ等于( )
A. - B. C． D．
2.若 A32n 10A
3
n，则 n （ ）
A. 1 B. 6 C. 7 D. 8
3.已知 e1，e2是夹角为 60°的两个单位向量，设向量 = + , = + ,则 与 的夹角为（ ）
A. B. C. D.
4.如右图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点
异色，如果只有 4种颜色可供使用，则不同染色方法的种数为（ ）
A. 192 B. 420 C. 210 D. 72
5.设 x,y 是实数，已知三点 A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(x,3，y＋2)在同一条直线上，
那么 x+y=( )
A.2 B.3 C.4 D.5
6.已知在( ) 的展开式中，第 5 项的系数与第 3 项的系数之比是 56∶3,则展开式中系数的绝对值最
大的是第（ ）项
A. 6 B. 8 C. 9 D. 11
7.已知 e1，e2是夹角为 60°的两个单位向量，则向量 e1＋e2在向量 e1上的投影向量的模为（ ）
A. B.2 C. D.4
8.若（ + ) = + + + + ，则 + + + + 被 12 整除的余数为
（ ）
A.0 B. 3 C. 5 D.8
二、多项选择题（本大题共有 4 小题，每题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中,有多项符合要求.全部
选对的得 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分.）
9.下列命题中是真命题的为( )
A．若 p 与 a，b共面，则存在实数 x,y,使 p＝xa＋yb
B．若存在实数 x,y,使向量 p＝xa＋yb，则 p 与 a，b 共面
→ → →
C．若点 P，M，A，B 四点共面，则存在实数 x,y，使MP＝xMA＋yMB
→ → →
D．若存在实数 x,y，使MP＝xMA＋yMB，则点 P，M，A，B 四点共面
10．我国古代著名的数学著作中《周碑算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《孙
丘建算经》、《海岛算经》、《五经算术》、《级术》和《纠古算经》，称为“算经十书”，某老师将其中的《周
碑算经》、《九章算术》、《孙子算经）、《五经算术》、《缀术》和《缉古算经》6 本书分给 5 名数学爱好者，
其中每人至少一本，则不同的分配方法的种数为（ ）
C1C 2A4 C 2A5 1 2 4 5 1A． 5 6 4 B． 6 5 C．C5A6 A4 D． A6C5
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11.设向量 x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一组基底，则下列向量组中，可以作为空
间一个基底的向量组有( )
A．{x，y，z} B．{a，b，x} C．{b，c，z} D．{x，y，a＋b＋c}
3 1
12．对于二项式 (x )n (n N *)，以下判断正确的有（ ）
x
A．存在 n N ，展开式中有常数项 B．对任意n N ，展开式中没有常数项
C．对任意n N ，展开式中没有 x 的一次项 D．存在n N ，展开式中有 x 的一次项
三、填空题（本大题共有 4 小题，每题 5 分，共 20 分）
13．如右图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD为平行四边形，且 AB AP 6，
AD 2， BAD BAP DAP 60 ，E，F 分别为 PB，PC 上的点，且 PE 2EB，
PF FC， EF
3
15.已知( x－ x)n的展开式中所有项的二项式系数之和为 1 024，则(1－x)3＋(1－x)4＋…＋(1－x)n的展开式
中 x2项的系数为 ．
14.在直三棱柱 ABC A1B1C1中，AC=BC=2, =4， ACB 90 ，D，E，F 分别为 AC， AA1，AB 的中点．则
点 B1到平面 DEF 的距离为
3 2 3
16. 对任意实数 x有 x a0 a1(x 2) a2 (x 2) a3 (x 2) ，则 a2 = ； + + + =
四、解答题（本大题共有 6 小题，第 17 题 10 分，其余每题 12 分，共 70 分）
17.在①只有第 6项的二项式系数最大，②第 4项与第 8项的二项式系数相等，③所有二项式系数的和为 210，
这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题.
n
已知 2x 1 a a x1 a x2 a x3 a xn（ n N 2x 1 n0 1 2 3 n ），若 的展开式中，______.
（1）求 n的值；
（2）求 a1 a2 a3 an 的值.
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18．如图，四棱锥 S ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 2倍，P为侧棱 SD 的中点，
试用向量法解决下面的问题．
（1）求证： AC SD；
（2）若 BC 2，求线段 BP 的长．
19.有 4 名男生，3 名女生，共 7 个人从左至右站成一排，在下列情况下，各有多少种不同的站法．
(1)男生、女生各站在一起；
(2)男生必须站在一起；
(3)男生互不相邻，且女生也互不相邻．
(4)最左端只能站某生甲或乙，最右端不能站某生甲，则有多少种不同的站法？
20．在四棱锥 P—ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形， AD / /BC ， AB BC，侧面 PAB 底面 ABCD，
PA PB AD 2， BC 4．
(1)若 PB 的中点为 E，求证： AE / /平面 PCD；
(2)若 PB 与底面 ABCD 所成的角为 60°，求 PC 与平面 PBD 的所成角的余弦值．
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21.有 5 个男生和 3 个女生，从中选出 5人担任 5 门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数．
(1)有女生但人数必须少于男生；
(2)某女生一定担任语文科代表；
(3)某男生必须包括在内，但不担任语文科代表；
(4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表．
22.如图，在底面是菱形的四棱锥 P ABCD中，E为CD中点， APD 90 ， ADC 60 ，已知 PA PD 1．
(1)若 PB 3，证明： AB PE；
(2)若 PC= ，求二面角 P CD A的平面角的正弦值．
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