第十七章 勾股定理单元同步检测试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 第十七章 勾股定理单元同步检测试题（含答案） |
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| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 392.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-04-18 00:00:00 | ||
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文档简介
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第十七章《勾股定理》单元检测题
题号 一 二 三 总分
19 20 21 22 23 24
分数
一、选择题(每小题3分，共30分)
1. 在直角三角形中，若勾为 ，股为 ，则弦为
A. B. C. D.
2. 下列命题中，逆命题是假命题的是
A. 如果两个三角形的三条边都对应相等，那么这两个三角形全等
B. 如果 ，那么
C. 对顶角相等
D. 线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等
4. 在中，，则下列说法错误的是（ ）.
A． B． C． D．
5. 若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（ ）
A．13 B．13或 C．13或15 D．15
6．一个圆桶底面直径为24cm，高32cm，则桶内所能容下的最长木棒为（ ）
A．20cm B．50cm C．40cm D．45cm
7.直角三角形有一条直角边为6,另两条边长是连续偶数,则该三角形周长为（ ）
A.20 B.22 C.24 D.26
8.如图，在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为（ ）米
A.4米 B.5米 C.7米 D.8米
9. 如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆 处，发现此时绳子末端距离地面 ，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）
A. B. C. D.
10. 如图，一圆柱高 ，底面半径为 ，一只蚂蚁从点 爬到点 处吃食，要爬行的最短路程是
A. B. C. D.
二、填空题(每小题4分，共24分)
11．如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且DE∥AC，过点E作EF⊥DE，交CB的延长线于点F．若BD＝5，则EF2＝ ．
12．已知：如图，四边形ABDC，AB＝4，AC＝3，CD＝12，BD＝13，∠BAC＝90°．则四边形ABDC的面积是 ．
13.已知三角形ABC的三边长为a,b,c满足a+b=10,ab=18,c=8,则此三角形为 三角形.
14.已知△ABC的三边长a,b,c满足+|b﹣2|+(c﹣2)2=0，则△ABC一定是 三角形．
15.在△ABC中，∠C＝90°，
(1)若a=4，b=3，则c=_______；
(2)若a=24，c=30，则b=_______；
(3)若BC=11，AB=61，则AC=_______．
16. 如图,已知矩形ABCD中,AB=4,AD=3,P是以CD为直径半圆上的一个动点,连接BP,则BP最大值是 ．
17. 如图，将一张矩形纸片 折叠，使两个顶点 ， 重合，折痕为 ，若 ，，则 的面积为 ．
18. 如图，长方体的底面边长分别为 和 ，高为 ，若一只蚂蚁从 点开始经过 个侧面爬行一圈到达 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 .
三、解答题(共46分)
19．已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AC＝20，BC＝15，DB＝9．
（1）求CD的长．
（2）求AB的长．
20．我校要对如图所示的一块地进行绿化，已知AD＝4米，CD＝3米，AD⊥DC，AB＝13米，BC＝12米，求这块地的面积．
21、(8分)如图，已知∠ADC=90°，AD=8，CD=6，AB=26，BC=24．
（1）证明：△ABC是直角三角形．（2）请求图中阴影部分的面积．
22．(8分) 如图,在△ABC中,点O是AC边上的一点.过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于F．
（1）求证：EO=FO；（2）若CE=4,CF=3,你还能得到那些结论？
23.如图，在△ABC中，∠ACB=90 ，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．
24.在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c.若∠C＝90°，如图1，根据勾股定理，则a2+b2＝c2.若△ABC不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想a2+b2与c2的关系，并证明你的结论.
28. (10分)阅读材料并解答问题.我国是最早了解和应用勾股定理的国家之一.古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用，古希腊数学家毕达哥拉斯首先证明了勾股定理，在西方勾股定理又称为“毕达哥拉斯定理”.
关于勾股定理的研究还有一个很重要的内容是勾股数组，在《几何》课本中我们已经了解到，“能够成为直角三角形三条边的三个正整数称为勾股数”.以下是毕达哥拉斯等学派研究出的确定勾股数组的两种方法.
方法l：若m为奇数(m≥3)，则a＝m，b＝(m2－1)和c＝(m2+1)是勾股数.
方法2：若任取两个正整数m和n(m＞n)，则a＝m2－n2，b＝2mn，c＝m2+n2是勾股数.
（1）在以上两种方法中任选一种，证明以a、b、c为边长的△ABC是直角三角形.
（2）请根据方法l和方法2按规律填写下列表格：
勾m 3 5 11 …
股(m2－1) 4 12 60 …
弦(m2+1) 5 13 61 …
m 2 3 3 4 4 4 5 5 6 …
n 1 2 1 3 2 1 4 3 5 …
A＝m2－n2 3 5 8 7 12 15 9 16 11 …
B＝2mn 4 12 6 24 16 8 40 30 60 …
C＝m2+n2 5 13 10 25 20 17 41 34 61 …
（3）某园林管理处要在一块绿地上植树，使之构成如图所示的图案景观，该图案由四个全等的直角三角形组成.要求每个三角形顶点处都植一棵树，各边上相邻两棵树之间的距离均为1米，如果每个三角形最短边上都植6棵树，那么这四个直角三角形的边上共需植树多少棵.
参考答案
一.选择题:
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C A C B C C C C D
二.填空题:
11．如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且DE∥AC，过点E作EF⊥DE，交CB的延长线于点F．若BD＝5，则EF2＝ 75 ．
【分析】根据平行线的性质可得∠EDB＝∠C＝60°，进而可证明△EDB是等边三角形，再根据勾股定理即可求解EF的长．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝60°，
∵DE∥AC，
∴∠EDB＝∠C＝60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝90°﹣∠EDB＝30°，
∵∠ABC＝60°，∠EDB＝60°，
∴△EDB是等边三角形．
∴ED＝BD＝5，
∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，
∴DF＝2DE＝10，
∴EF2＝DF2﹣DE2＝75．
故答案为：75．
12．已知：如图，四边形ABDC，AB＝4，AC＝3，CD＝12，BD＝13，∠BAC＝90°．则四边形ABDC的面积是 36 ．
【分析】连接BC，根据勾股定理可求得BC的长．根据勾股定理的逆定理可得到△BCD也是直角三角形，从而求得△ABC与△BCD的面积和即得到了四边形ABDC的面积．
【解答】解：连接BC，
∵∠A＝90°，AB＝4，AC＝3
∴BC＝5，
∵BC＝5，BD＝13，CD＝12
∴BC2+CD2＝BD2
∴△BCD是直角三角形
∴S四边形ABCD＝S△BCD+S△ABC＝×4×3+×5×12＝36，
故答案为：36
13.答案为：直角；
14.答案为：等腰直角
15. (1)5 (2)18 (3)60
16.答案为：+2
17.
【解析】 将一张矩形纸片 折叠，使两个顶点 ， 重合，折痕为 ，
．
设 ，在 中，根据勾股定理得：
，即
，解得 ．
，，
的面积为 ．
18.
三.解答题:
19．
解：（1）∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝∠CDA＝90°，
在Rt△BCD中，∵BC＝15、DB＝9，
∴CD＝＝＝12；
（2）在Rt△ACD中，∵AC＝20、CD＝12，
∴AD＝＝＝16，
则AB＝AD+DB＝16+9＝25．
20．
解：连接AC．
由勾股定理可知
AC＝＝＝5，
又∵AC2+BC2＝52+122＝132＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
故所求面积＝△ABC的面积﹣△ACD的面积＝24（m2）．
21、（1）证明：∵在Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=8，CD=6，∴AC2=AD2+CD2=82+62=100，∴AC=10．在△ABC中，∵AC2+BC2=102+242=676，AB2=262=676，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形.
（2）解：S阴影=SRt△ABC﹣SRt△ACD=×10×24﹣×8×6=96．
22.解：（1）∵CE是∠ACB的平分线，∴∠1=∠2，
∵MN∥BC，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴OE=OC，同理可得OF=OC，∴OE=OF；
（2）∵CE是∠ACB的平分线，∴∠1=∠2，∵CF是∠OCD的平分线，∴∠4=∠5，∴∠ECF=90°，
在Rt△ECF中，由勾股定理得EF=．∴OE=OF=OC=0.5EF=2.5．
23.如图，将△APC绕点C旋转，使CA与CB重合，即△APC≌△BEC,∴△PCE为等腰Rt△，∴∠CPE=45°，PE2=PC2+CE2=8. 又∵PB2=1，BE2=9，∴PE2+ PB2= BE2,则∠BPE=90°，∴∠BPC=135°.
24.解（1）若△ABC是锐角三角形，则有a2+b2＞c2.证明如下：
如图2，过点A作AD⊥CB于D，设CD＝x，则DB＝a－x，由勾股定理有b2－x2＝c2－(a－x)2，即a2+b2＝c2+2ax，又a＞0，x＞0，所以a2+b2＞c2.
（2）当△ABC是钝角三角形时，不妨假定∠C为钝角，则有a2+b2＜c2.证明如下：
如图3，过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，设CD＝x，则有BD2＝a2－x2，根据勾股定理有AD2+BD2＝AB2，即(b+x)2+a2－x2＝c2，化简得：a2+b2+2bx＝c2，因为b＞0，x＞0，所以a2+b2＜c2.
说明 本题是一道探索勾股定理的拓展应用的试题，能有效地考查学生的分析、类比、猜想论证能力，以及创新能力.
A
C
P
B
图1
图2
图3
A
C
P
B
E
第23题图
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第十七章《勾股定理》单元检测题
题号 一 二 三 总分
19 20 21 22 23 24
分数
一、选择题(每小题3分，共30分)
1. 在直角三角形中，若勾为 ，股为 ，则弦为
A. B. C. D.
2. 下列命题中，逆命题是假命题的是
A. 如果两个三角形的三条边都对应相等，那么这两个三角形全等
B. 如果 ，那么
C. 对顶角相等
D. 线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等
4. 在中，，则下列说法错误的是（ ）.
A． B． C． D．
5. 若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（ ）
A．13 B．13或 C．13或15 D．15
6．一个圆桶底面直径为24cm，高32cm，则桶内所能容下的最长木棒为（ ）
A．20cm B．50cm C．40cm D．45cm
7.直角三角形有一条直角边为6,另两条边长是连续偶数,则该三角形周长为（ ）
A.20 B.22 C.24 D.26
8.如图，在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为（ ）米
A.4米 B.5米 C.7米 D.8米
9. 如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆 处，发现此时绳子末端距离地面 ，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）
A. B. C. D.
10. 如图，一圆柱高 ，底面半径为 ，一只蚂蚁从点 爬到点 处吃食，要爬行的最短路程是
A. B. C. D.
二、填空题(每小题4分，共24分)
11．如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且DE∥AC，过点E作EF⊥DE，交CB的延长线于点F．若BD＝5，则EF2＝ ．
12．已知：如图，四边形ABDC，AB＝4，AC＝3，CD＝12，BD＝13，∠BAC＝90°．则四边形ABDC的面积是 ．
13.已知三角形ABC的三边长为a,b,c满足a+b=10,ab=18,c=8,则此三角形为 三角形.
14.已知△ABC的三边长a,b,c满足+|b﹣2|+(c﹣2)2=0，则△ABC一定是 三角形．
15.在△ABC中，∠C＝90°，
(1)若a=4，b=3，则c=_______；
(2)若a=24，c=30，则b=_______；
(3)若BC=11，AB=61，则AC=_______．
16. 如图,已知矩形ABCD中,AB=4,AD=3,P是以CD为直径半圆上的一个动点,连接BP,则BP最大值是 ．
17. 如图，将一张矩形纸片 折叠，使两个顶点 ， 重合，折痕为 ，若 ，，则 的面积为 ．
18. 如图，长方体的底面边长分别为 和 ，高为 ，若一只蚂蚁从 点开始经过 个侧面爬行一圈到达 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 .
三、解答题(共46分)
19．已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AC＝20，BC＝15，DB＝9．
（1）求CD的长．
（2）求AB的长．
20．我校要对如图所示的一块地进行绿化，已知AD＝4米，CD＝3米，AD⊥DC，AB＝13米，BC＝12米，求这块地的面积．
21、(8分)如图，已知∠ADC=90°，AD=8，CD=6，AB=26，BC=24．
（1）证明：△ABC是直角三角形．（2）请求图中阴影部分的面积．
22．(8分) 如图,在△ABC中,点O是AC边上的一点.过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于F．
（1）求证：EO=FO；（2）若CE=4,CF=3,你还能得到那些结论？
23.如图，在△ABC中，∠ACB=90 ，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．
24.在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c.若∠C＝90°，如图1，根据勾股定理，则a2+b2＝c2.若△ABC不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想a2+b2与c2的关系，并证明你的结论.
28. (10分)阅读材料并解答问题.我国是最早了解和应用勾股定理的国家之一.古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用，古希腊数学家毕达哥拉斯首先证明了勾股定理，在西方勾股定理又称为“毕达哥拉斯定理”.
关于勾股定理的研究还有一个很重要的内容是勾股数组，在《几何》课本中我们已经了解到，“能够成为直角三角形三条边的三个正整数称为勾股数”.以下是毕达哥拉斯等学派研究出的确定勾股数组的两种方法.
方法l：若m为奇数(m≥3)，则a＝m，b＝(m2－1)和c＝(m2+1)是勾股数.
方法2：若任取两个正整数m和n(m＞n)，则a＝m2－n2，b＝2mn，c＝m2+n2是勾股数.
（1）在以上两种方法中任选一种，证明以a、b、c为边长的△ABC是直角三角形.
（2）请根据方法l和方法2按规律填写下列表格：
勾m 3 5 11 …
股(m2－1) 4 12 60 …
弦(m2+1) 5 13 61 …
m 2 3 3 4 4 4 5 5 6 …
n 1 2 1 3 2 1 4 3 5 …
A＝m2－n2 3 5 8 7 12 15 9 16 11 …
B＝2mn 4 12 6 24 16 8 40 30 60 …
C＝m2+n2 5 13 10 25 20 17 41 34 61 …
（3）某园林管理处要在一块绿地上植树，使之构成如图所示的图案景观，该图案由四个全等的直角三角形组成.要求每个三角形顶点处都植一棵树，各边上相邻两棵树之间的距离均为1米，如果每个三角形最短边上都植6棵树，那么这四个直角三角形的边上共需植树多少棵.
参考答案
一.选择题:
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C A C B C C C C D
二.填空题:
11．如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且DE∥AC，过点E作EF⊥DE，交CB的延长线于点F．若BD＝5，则EF2＝ 75 ．
【分析】根据平行线的性质可得∠EDB＝∠C＝60°，进而可证明△EDB是等边三角形，再根据勾股定理即可求解EF的长．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝60°，
∵DE∥AC，
∴∠EDB＝∠C＝60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝90°﹣∠EDB＝30°，
∵∠ABC＝60°，∠EDB＝60°，
∴△EDB是等边三角形．
∴ED＝BD＝5，
∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，
∴DF＝2DE＝10，
∴EF2＝DF2﹣DE2＝75．
故答案为：75．
12．已知：如图，四边形ABDC，AB＝4，AC＝3，CD＝12，BD＝13，∠BAC＝90°．则四边形ABDC的面积是 36 ．
【分析】连接BC，根据勾股定理可求得BC的长．根据勾股定理的逆定理可得到△BCD也是直角三角形，从而求得△ABC与△BCD的面积和即得到了四边形ABDC的面积．
【解答】解：连接BC，
∵∠A＝90°，AB＝4，AC＝3
∴BC＝5，
∵BC＝5，BD＝13，CD＝12
∴BC2+CD2＝BD2
∴△BCD是直角三角形
∴S四边形ABCD＝S△BCD+S△ABC＝×4×3+×5×12＝36，
故答案为：36
13.答案为：直角；
14.答案为：等腰直角
15. (1)5 (2)18 (3)60
16.答案为：+2
17.
【解析】 将一张矩形纸片 折叠，使两个顶点 ， 重合，折痕为 ，
．
设 ，在 中，根据勾股定理得：
，即
，解得 ．
，，
的面积为 ．
18.
三.解答题:
19．
解：（1）∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝∠CDA＝90°，
在Rt△BCD中，∵BC＝15、DB＝9，
∴CD＝＝＝12；
（2）在Rt△ACD中，∵AC＝20、CD＝12，
∴AD＝＝＝16，
则AB＝AD+DB＝16+9＝25．
20．
解：连接AC．
由勾股定理可知
AC＝＝＝5，
又∵AC2+BC2＝52+122＝132＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
故所求面积＝△ABC的面积﹣△ACD的面积＝24（m2）．
21、（1）证明：∵在Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=8，CD=6，∴AC2=AD2+CD2=82+62=100，∴AC=10．在△ABC中，∵AC2+BC2=102+242=676，AB2=262=676，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形.
（2）解：S阴影=SRt△ABC﹣SRt△ACD=×10×24﹣×8×6=96．
22.解：（1）∵CE是∠ACB的平分线，∴∠1=∠2，
∵MN∥BC，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴OE=OC，同理可得OF=OC，∴OE=OF；
（2）∵CE是∠ACB的平分线，∴∠1=∠2，∵CF是∠OCD的平分线，∴∠4=∠5，∴∠ECF=90°，
在Rt△ECF中，由勾股定理得EF=．∴OE=OF=OC=0.5EF=2.5．
23.如图，将△APC绕点C旋转，使CA与CB重合，即△APC≌△BEC,∴△PCE为等腰Rt△，∴∠CPE=45°，PE2=PC2+CE2=8. 又∵PB2=1，BE2=9，∴PE2+ PB2= BE2,则∠BPE=90°，∴∠BPC=135°.
24.解（1）若△ABC是锐角三角形，则有a2+b2＞c2.证明如下：
如图2，过点A作AD⊥CB于D，设CD＝x，则DB＝a－x，由勾股定理有b2－x2＝c2－(a－x)2，即a2+b2＝c2+2ax，又a＞0，x＞0，所以a2+b2＞c2.
（2）当△ABC是钝角三角形时，不妨假定∠C为钝角，则有a2+b2＜c2.证明如下：
如图3，过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，设CD＝x，则有BD2＝a2－x2，根据勾股定理有AD2+BD2＝AB2，即(b+x)2+a2－x2＝c2，化简得：a2+b2+2bx＝c2，因为b＞0，x＞0，所以a2+b2＜c2.
说明 本题是一道探索勾股定理的拓展应用的试题，能有效地考查学生的分析、类比、猜想论证能力，以及创新能力.
A
C
P
B
图1
图2
图3
A
C
P
B
E
第23题图
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