全国综合2007年全国各地高考数学试卷39份含答案

2007年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）
数学试卷(文史类)
考生注意：
1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．
2．本试卷共有21道试题，满分150分．考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．
一．填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．方程的解是 ．
2．函数的反函数 ．
3．直线的倾斜角 ．
4．函数的最小正周期 ．
5．以双曲线的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是
．
6．若向量的夹角为，，则 ．
7．如图，在直三棱柱中，，
，，则异面直线与所成角的
大小是 （结果用反三角函数值表示）．
8．某工程由四道工序组成，完成它们需用时间依次为天．四道工
序的先后顺序及相互关系是：可以同时开工；完成后，可以开工；
完成后，可以开工．若该工程总时数为9天，则完成工序需要的天数最大是　　．
9．在五个数字中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是
（结果用数值表示）．
10．对于非零实数，以下四个命题都成立：
① ； ② ；
③ 若，则； ④ 若，则．
那么，对于非零复数，仍然成立的命题的所有序号是 ．
11．如图，是直线上的两点，且．两个半径相等的动圆分别与相切于
点，是这两个圆的公共点，则圆弧，与
线段围成图形面积的取值范围是 ．
二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．
12．已知，且（是虚数单位）是一个实系数一元二次方程的两
个根，那么的值分别是（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
13．圆关于直线对称的圆的方程是（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
14．数列中， 则数列的极限值（　　）
Ａ．等于 Ｂ．等于 Ｃ．等于或 Ｄ．不存在
15．设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推
出成立”． 那么，下列命题总成立的是（　　）
Ａ．若成立，则成立
Ｂ．若成立，则成立
Ｃ．若成立，则当时，均有成立
Ｄ．若成立，则当时，均有成立
三．解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
16．（本题满分12分）
在正四棱锥中，，直线与平面所成的角为，求
正四棱锥的体积．
17．（本题满分14分）
在中，分别是三个内角的对边．若，，求的面积．
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%． 以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如，2003年的年生产量的增长率为36%）．
（1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）；
（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
已知函数，常数．
（1）当时，解不等式；
（2）讨论函数的奇偶性，并说明理由．

20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．
如果有穷数列（为正整数）满足条件，，…，，即（），我们称其为“对称数列”．
例如，数列与数列都是“对称数列”．
（1）设是7项的“对称数列”，其中是等差数列，且，．依次写出的每一项；
（2）设是项的“对称数列”，其中是首项为，公比为的等比数列，求各项的和；
（3）设是项的“对称数列”，其中是首项为，公差为的等差数列．求前项的和．
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分．
我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作“果圆”，其中，，．
如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是“果圆” 与，轴的交点，是线段的中点．
（1）若是边长为1的等边三角形，求该
“果圆”的方程；
（2）设是“果圆”的半椭圆
上任意一点．求证：当取得最小值时，
在点或处；
（3）若是“果圆”上任意一点，求取得最小值时点的横坐标．
2007年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）
数学试卷(文史类)答案要点
一、填空题（第1题至第11题）
1． 2． 3． 4．
5． 6． 7． 8． 3
9． 10． ② ④ 11．
二、选择题（第12题至第15题）
题 号
12
13
14
15
答　案
A
C
B
D
三、解答题（第16题至第21题）
16．解：作平面，垂足为．连接，是
正方形的中心，是直线与平面
所成的角．
＝，． ．
，，
．
17．解： 由题意，得为锐角，，
，
由正弦定理得 ，
．
18．解：（1） 由已知得2003，2004，2005，2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为
，，，． 则2006年全球太阳电池的年生产量为
(兆瓦)．
（2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为，则．
解得．
因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到．
19．解： （1），
，
．
原不等式的解为．
（2）当时，，
对任意，，
为偶函数．
当时，，
取，得 ，
，
函数既不是奇函数，也不是偶函数．
20．解：（1）设数列的公差为，则，解得 ，
数列为．
（2）
67108861．
（3）．
由题意得 是首项为，公差为的等差数列．
当时，
．
当时，


．
综上所述，
21．解：（1） ，
，
于是，
所求“果圆”方程为，．
（2）设，则

，
， 的最小值只能在或处取到．
即当取得最小值时，在点或处．
（3），且和同时位于“果圆”的半椭圆和半椭圆上，所以，由（2）知，只需研究位于“果圆”的半椭圆上的情形即可．

．
当，即时，的最小值在时取到，
此时的横坐标是．
当，即时，由于在时是递减的，的最小值在时取到，此时的横坐标是．
综上所述，若，当取得最小值时，点的横坐标是；若，当取得最小值时，点的横坐标是或．
2007年上海市高考数学理科试卷与答案
一、填空题
1、函数的定义域为（，3）∪（3，4）
2、已知与，若两直线平行，则的值为
3、函数的反函数
4、方程的解是
5、函数的最小正周期是
6、已知，且，则的最大值为
7、有数字，若从中任取三个数字，剩下两个数字为奇数的概率为
8、已知双曲线，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为
9、若为非零实数，则下列四个命题都成立：
① ② ③若，则
④若，则则对于任意非零复数，上述命题仍然成立的序号是。②，④
10、平面内两直线有三种位置关系：相交，平行与重合。已知两个相交平面与两直线，又知在内的射影为，在内的射影为。试写出与满足的条件，使之一定能成为是异面直线的充分条件 平行，相交
11、已知圆的方程，为圆上任意一点（不包括原点）。直线的倾斜角为弧度，，则的图象大致为2sin 正弦函数
二、选择题
12、已知是实系数一元二次方程的两根，则的值为
A、 B、 C、 D、
13、已知为非零实数，且，则下列命题成立的是
A、 B、 C、 D、
14、在直角坐标系中，分别是与轴，轴平行的单位向量，若直角三角形中，，，则的可能值有
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
15、已知是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的，若成立，则成立，下列命题成立的是
A、若成立，则对于任意，均有成立
B、若成立，则对于任意的，均有成立
C、若成立，则对于任意的，均有成立
D、若成立，则对于任意的，均有成立
三、解答题
16、体积为1的直三棱柱中，，，求直线与平面所成角。
17、在三角形中，，求三角形的面积。
先求出sinB ，cosB 再求出 可算出 S＝8/7
18、（背景省略）已知2002年全球太阳能年生产量为670兆瓦，年增长率为34%。在此后的四年里，增长率以每年2%的速度增长（例如2003年的年生产量增长率为36%）
（1）求2006年的太阳能年生产量（精确到0.1兆瓦）
（2）已知2006年太阳能年安装量为1420兆瓦，在此后的4年里年生产量保持42%的增长率，若2010年的年安装量不少于年生产量的95%，求4年内年安装量的增长率的最小值（精确到0.1%）
670*1.36*1.38*1.40*1.42=2499.8
1420*(1+x%)^4 》 2499.8*1.42^4 *0.95 求出最小值
19、已知函数
（1）判断的奇偶性
（2）若在是增函数，求实数的范围
1. a=0时候是偶函数 a不为0时候为非奇非偶函数
2. a 《 16
20、若有穷数列（是正整数），满足即（是正整数，且），就称该数列为“对称数列”。
（1）已知数列是项数为7的对称数列，且成等差数列，，试写出的每一项
（2）已知是项数为的对称数列，且构成首项为50，公差为的等差数列，数列的前项和为，则当为何值时，取到最大值？最大值为多少？
（3）对于给定的正整数，试写出所有项数不超过的对称数列，使得成为数列中的连续项；当时，试求其中一个数列的前2008项和
21、已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中，是对应的焦点。
（1）若三角形是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；
（2）若，求的取值范围；
（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦。是否存在实数，使得斜率为的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由。
2007年上海高考数学出的很灵活， 不少学生不适应哭了
基础题还是很基础的
10，11题有点难
关键的17题 第二个大题卡住学生们了！
造成整个试卷发挥糟糕起来 答案仅供参加，时间紧张
一些学生考完要哭了 不过比去年不见得难了 平均分差不多
2007年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
注意事项：
1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
参考公式：
如果事件互斥，那么 球的表面积公式

如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径
球的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率是，那么
次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中表示球的半径
一、选择题
（1）设，，则（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
（2）是第四象限角，，（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
（3）已知向量，，则与（　　）
Ａ．垂直 Ｂ．不垂直也不平行 Ｃ．平行且同向 Ｄ．平行且反向
（4）已知双曲线的离心率为，焦点是，，则双曲线方程为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
（5）甲、乙、丙位同学选修课程，从门课程中，甲选修门，乙、丙各选修门，则不同的选修方案共有（　　）
Ａ．种 Ｂ．种 Ｃ．种 Ｄ．种
（6）下面给出四个点中，位于表示的平面区域内的点是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
（7）如图，正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
（8）设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
（9），是定义在上的函数，，则“，均为偶函数”是“为偶函数”的（　　）
Ａ．充要条件 Ｂ．充分而不必要的条件
Ｃ．必要而不充分的条件 Ｄ．既不充分也不必要的条件
（10）函数的一个单调增区间是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
（11）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
（12）抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，，垂足为，则的面积是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
第Ⅱ卷
注意事项：
1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．
2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．
3．本卷共10题，共90分．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．
（13）从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取袋，测得各袋的质量分别为（单位：）：
492
496
494
495
498
497
501
502
504
496
497
503
506
508
507
492
496
500
501
499
根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g～501.5g之间的概率约为_____．
（14）函数的图像与函数的图像关于直线对称，则____________．
（15）正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点S，A，B，C，D都在同一个球面上，则该球的体积为_________．
（16）等比数列的前n项和为，已知，，成等差数列，则的公比为______．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分10分）
设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）若，，求b．
（18）（本小题满分12分）
某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元．
（Ⅰ）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；
（Ⅱ）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率．
（19）（本小题满分12分）
四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，侧面底面ABCD，已知，，，．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小．
（20）（本小题满分12分）
设函数在及时取得极值．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．
（21）（本小题满分12分）
设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，
（Ⅰ）求，的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和．
（22）（本小题满分12分）
已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于B，D两点，过的直线交椭圆于A，C两点，且，垂足为P．
（Ⅰ）设P点的坐标为，证明：；
（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．
2007年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学试题（必修＋选修1）参考答案
一、选择题
1．Ｄ　　2．Ｂ　　3．Ａ　　4．Ａ　　5．Ｃ　　6．Ｃ　　7．Ｄ　　8．Ｄ　　9．Ｂ
10．Ｄ　　11．Ａ　　12．Ｃ
二、填空题
13．　　14．　　15．　　16．
三、解答题
17．解：
（Ⅰ）由，根据正弦定理得，所以，
由为锐角三角形得．
（Ⅱ）根据余弦定理，得．
所以，．
18．解：
（Ⅰ）记表示事件：“位顾客中至少位采用一次性付款”，则表示事件：“位顾客中无人采用一次性付款”．
，
．
（Ⅱ）记表示事件：“位顾客每人购买件该商品，商场获得利润不超过元”．
表示事件：“购买该商品的位顾客中无人采用分期付款”．
表示事件：“购买该商品的位顾客中恰有位采用分期付款”．
则．
，．
．
19．解法一：
（1）作，垂足为，连结，由侧面底面，得底面．
因为，所以，
又，故为等腰直角三角形，，
由三垂线定理，得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
依题设，
故，由，
，
．
又，作，垂足为，
则平面，连结．为直线与平面所成的角．
所以，直线与平面所成的角为．
解法二：
（Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，得平面．
因为，所以．
又，为等腰直角三角形，．
如图，以为坐标原点，为轴正向，建立直角坐标系，
因为，
，
又，所以，
，．
，，
，，所以．
（Ⅱ），.
与的夹角记为，与平面所成的角记为，因为为平面的法向量，所以与互余．
，，
所以，直线与平面所成的角为．
20．解：
（Ⅰ），
因为函数在及取得极值，则有，．
即
解得，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，
．
当时，；
当时，；
当时，．
所以，当时，取得极大值，又，．
则当时，的最大值为．
因为对于任意的，有恒成立，
所以　，
解得　或，
因此的取值范围为．
21．解：
（Ⅰ）设的公差为，的公比为，则依题意有且
解得，．
所以，
．
（Ⅱ）．
，①
，②
②－①得，
．
22．证明
（Ⅰ）椭圆的半焦距，
由知点在以线段为直径的圆上，
故，
所以，．
（Ⅱ）（ⅰ）当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得．
设，，则
，，
；
因为与相交于点，且的斜率为．
所以，．
四边形的面积
．
当时，上式取等号．
（ⅱ）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积．
综上，四边形的面积的最小值为．
2007年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
注意事项：
1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
参考公式：
如果事件互斥，那么 球的表面积公式

如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径
球的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率是，那么
次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中表示球的半径
一、选择题
（1）是第四象限角，，则（ ）
A． B． C． D．
（2）设是实数，且是实数，则（ ）
A． B． C． D．
（3）已知向量，，则与（　　）
A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向
（4）已知双曲线的离心率为，焦点是，，则双曲线方程为（　　）
A． B． C． D．
（5）设，集合，则（ ）
A． B． C． D．
（6）下面给出的四个点中，到直线的距离为，且位于表示的平面区域内的点是（ ）
A． B． C． D．
（7）如图，正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
（8）设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则（　　）
A． B． C． D．
（9），是定义在上的函数，，则“，均为偶函数”是“为偶函数”的（　　）
A．充要条件 B．充分而不必要的条件
C．必要而不充分的条件 D．既不充分也不必要的条件
（10）的展开式中，常数项为，则（ ）
A． B． C． D．
（11）抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，，垂足为，则的面积是（　　）
A． B． C． D．
（12）函数的一个单调增区间是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
注意事项：
1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．
2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．
3．本卷共10题，共90分．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．
（13）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 种．（用数字作答）
（14）函数的图像与函数的图像关于直线对称，则 ．
（15）等比数列的前项和为，已知，，成等差数列，则的公比为　　　　　　．
（16）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分10分）
设锐角三角形的内角的对边分别为，．
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）求的取值范围．
（18）（本小题满分12分）
某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为
1
2
3
4
5
0.4
0.2
0.2
0.1
0.1
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．表示经销一件该商品的利润．
（Ⅰ）求事件：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率；
（Ⅱ）求的分布列及期望．
（19）（本小题满分12分）
四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面．已知，，，．
（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小．
（20）（本小题满分12分）
设函数．
（Ⅰ）证明：的导数；
（Ⅱ）若对所有都有，求的取值范围．
（21）（本小题满分12分）
已知椭圆的左、右焦点分别为，．过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且，垂足为．
（Ⅰ）设点的坐标为，证明：；
（Ⅱ）求四边形的面积的最小值．
（22）（本小题满分12分）
已知数列中，，．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）若数列中，，，
证明：，．
2007年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案
一、选择题：
（1）D （2）B （3）A （4）A （5）C （6）C
（7）D （8）D （9）B （10）D （11）C （12）A
二、填空题：
（13） （14） （15） （16）
三、解答题：
（17）解：
（Ⅰ）由，根据正弦定理得，所以，
由为锐角三角形得．
（Ⅱ）
．
由为锐角三角形知，
，．
，
所以．
由此有，
所以，的取值范围为．
（18）解：
（Ⅰ）由表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．
知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”
，
．
（Ⅱ）的可能取值为元，元，元．
，
，
．
的分布列为
（元）．
（19）解法一：
（Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，得底面．
因为，所以，
又，故为等腰直角三角形，，
由三垂线定理，得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，依题设，
故，由，，，得
，．
的面积．
连结，得的面积
设到平面的距离为，由于，得
，
解得．
设与平面所成角为，则．
所以，直线与平面所成的我为．
解法二：
（Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，得平面．
因为，所以．
又，为等腰直角三角形，．
如图，以为坐标原点，为轴正向，建立直角坐标系，
，，，，，
，，所以．
（Ⅱ）取中点，，
连结，取中点，连结，．
，，．
，，与平面内两条相交直线，垂直．
所以平面，与的夹角记为，与平面所成的角记为，则与互余．
，．
，，
所以，直线与平面所成的角为．
（20）解：
（Ⅰ）的导数．
由于，故．
（当且仅当时，等号成立）．
（Ⅱ）令，则
，
（ⅰ）若，当时，，
故在上为增函数，
所以，时，，即．
（ⅱ）若，方程的正根为，
此时，若，则，故在该区间为减函数．
所以，时，，即，与题设相矛盾．
综上，满足条件的的取值范围是．
（21）证明：
（Ⅰ）椭圆的半焦距，
由知点在以线段为直径的圆上，故，
所以，．
（Ⅱ）（ⅰ）当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得．
设，，则
，
；
因为与相交于点，且的斜率为，
所以，．
四边形的面积
．
当时，上式取等号．
（ⅱ）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积．
综上，四边形的面积的最小值为．
（22）解：
（Ⅰ）由题设：
，
．
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，
，
即的通项公式为，．
（Ⅱ）用数学归纳法证明．
（ⅰ）当时，因，，所以
，结论成立．
（ⅱ）假设当时，结论成立，即，
也即．
当时，
，
又，
所以　　
．
也就是说，当时，结论成立．
根据（ⅰ）和（ⅱ）知，．
2007年普通高等学校招生全国统一考试试题卷(全国卷Ⅱ)
文科数学（必修+选修Ⅰ）
注意事项：
本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，总分150分，考试时间120分钟．
答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的位置上．
选择题的每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．
非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹清楚
非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或在其它题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效．
考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题）
本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
参考公式：
如果事件互斥，那么 球的表面积公式

如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径
球的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率是，那么
次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中表示球的半径
一、选择题
1．（ ）
A． B． C． D．
2．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．函数的一个单调增区间是（ ）
A． B． C． D．
4．下列四个数中最大的是（ ）
A． B． C． D．
5．不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
6．在中，已知是边上一点，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
8．已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．把函数的图像按向量平移，得到的图像，则（ ）
A． B． C． D．
10．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ ）
A．10种 B．20种 C．25种 D．32种
11．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
12．设分别是双曲线的左、右焦点．若点在双曲线上，且，则（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题）
本卷共10题，共90分
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为 ．
14．已知数列的通项，则其前项和 ．
15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为 cm．
16．的展开式中常数项为 ．（用数字作答）
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
设等比数列的公比，前项和为．已知，求的通项公式．
18．（本小题满分12分）
在中，已知内角，边．设内角，周长为．
（1）求函数的解析式和定义域；
（2）求的最大值．
19．（本小题满分12分）
从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率．
（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率；
（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率．
20．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，
底面为正方形，侧棱底面
分别为的中点．
（1）证明平面；
（2）设，求二面角的大小．
21．（本小题满分12分）
在直角坐标系中，以为圆心的圆与直线相切．
（1）求圆的方程；
（2）圆与轴相交于两点，圆内的动点使成等比数列，求的取值范围．
22．（本小题满分12分）
已知函数
在处取得极大值，在处取得极小值，且．
（1）证明；
（2）若z=a+2b,求z的取值范围。
2007年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学试题（必修+选修Ⅰ）参考答案
评分说明：
本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．
对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度．可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、选择题
1．C 2．B 3．C 4．D 5．C 6．A
7．A 8．A 9．C 10．D 11．D 12．B
二、填空题
13． 14． 15．
三、解答题
17．解：由题设知，
则 ②
由②得，，，
因为，解得或．
当时，代入①得，通项公式；
当时，代入①得，通项公式．
18．解：（1）的内角和，由得．
应用正弦定理，知
，
．
因为，
所以，
（2）因为
，
所以，当，即时，取得最大值．
19．（1）记表示事件“取出的2件产品中无二等品”，
表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．
则互斥，且，故


于是．
解得（舍去）．
（2）记表示事件“取出的2件产品中无二等品”，
则．
若该批产品共100件，由（1）知其中二等品有件，故．

20．解法一：
（1）作交于点，则为的中点．
连结，又，
故为平行四边形．
，又平面平面．
所以平面．
（2）不妨设，则为等
腰直角三角形．
取中点，连结，则．
又平面，所以，而，
所以面．
取中点，连结，则．
连结，则．
故为二面角的平面角
．
所以二面角的大小为．
解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系．
设，则
，
．
取的中点，则．
平面平面，
所以平面．
（2）不妨设，则．
中点
又，，
所以向量和的夹角等于二面角的平面角．
．
所以二面角的大小为．
21．解：（1）依题设，圆的半径等于原点到直线的距离，
即 ．
得圆的方程为．
（2）不妨设．由即得
．
设，由成等比数列，得
，
即 ．


由于点在圆内，故
由此得．
所以的取值范围为．
22．解：求函数的导数．
（Ⅰ）由函数在处取得极大值，在处取得极小值，知是的两个根．
所以
当时，为增函数，，由，得．
（Ⅱ）在题设下，等价于　即．
化简得．
此不等式组表示的区域为平面上三条直线：．
所围成的的内部，其三个顶点分别为：．
在这三点的值依次为．
所以的取值范围为．
2007年普通高等学校招生全国统一考试试题卷(全国卷Ⅱ)
理科数学（必修+选修Ⅱ）
注意事项：
本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，总分150分，考试时间120分钟．
答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的位置上．
选择题的每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．
非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹清楚
非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或在其它题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效．
考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题）
本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
参考公式：
如果事件互斥，那么 球的表面积公式

如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径
球的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率是，那么
次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中表示球的半径
一、选择题
1．（ ）
A． B． C． D．
2．函数的一个单调增区间是（ ）
A． B． C． D．
3．设复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
4．下列四个数中最大的是（ ）
A． B． C． D．
5．在中，已知是边上一点，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
7．已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则与侧面所成角的正弦值等于（ ）
A． B． C． D．
8．已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
9．把函数的图像按向量平移，得到的图像，则（ ）
A． B． C． D．
10．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ ）
A．40种 B．60种 C．100种 D．120种
11．设分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，使且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若，则（ ）
A．9 B．6 C．4 D．3
第Ⅱ卷（非选择题）
本卷共10题，共90分
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．的展开式中常数项为 ．（用数字作答）
14．在某项测量中，测量结果服从正态分布．若在内取值的概率为0.4，则在内取值的概率为 ．
15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为 cm．
16．已知数列的通项，其前项和为，则 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
在中，已知内角，边．设内角，周长为．
（1）求函数的解析式和定义域；
（2）求的最大值．
18．（本小题满分12分）
从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率．
（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率；
（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，表示取出的2件产品中二等品的件数，求的分布列．
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面为正方形，
侧棱底面分别为的中点．
（1）证明平面；
（2）设，求二面角的大小．
20．（本小题满分12分）
在直角坐标系中，以为圆心的圆与直线相切．
（1）求圆的方程；
（2）圆与轴相交于两点，圆内的动点使成等比数列，求的取值范围．
21．（本小题满分12分）
设数列的首项．
（1）求的通项公式；
（2）设，证明，其中为正整数．
22．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：．
2007年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案
评分说明：
本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．
对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度．可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、选择题
1．D 2．C 3．C 4．D 5．A 6．C
7．A 8．A 9．C 10．B 11．B 12．B
二、填空题
13． 14． 15． 16．
三、解答题
17．解：（1）的内角和，由得．
应用正弦定理，知
，
．
因为，
所以，
（2）因为
，
所以，当，即时，取得最大值．
18．解：（1）记表示事件“取出的2件产品中无二等品”，
表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．
则互斥，且，故


于是．
解得（舍去）．
（2）的可能取值为．
若该批产品共100件，由（1）知其二等品有件，故
．
．
．
所以的分布列为
0
1
2
19．解法一：
（1）作交于点，则为的中点．
连结，又，
故为平行四边形．
，又平面平面．
所以平面．
（2）不妨设，则为等
腰直角三角形．
取中点，连结，则．
又平面，所以，而，
所以面．
取中点，连结，则．
连结，则．
故为二面角的平面角
．
所以二面角的大小为．
解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系．
设，则
，
．
取的中点，则．
平面平面，
所以平面．
（2）不妨设，则．
中点
又，，
所以向量和的夹角等于二面角的平面角．
．
所以二面角的大小为．
20．解：（1）依题设，圆的半径等于原点到直线的距离，
即 ．
得圆的方程为．
（2）不妨设．由即得
．
设，由成等比数列，得
，
即 ．


由于点在圆内，故
由此得．
所以的取值范围为．
21．解：（1）由
整理得 ．
又，所以是首项为，公比为的等比数列，得

（2）方法一：
由（1）可知，故．
那么，

又由（1）知且，故，
因此 为正整数．
方法二：
由（1）可知，
因为，
所以 ．
由可得，
即
两边开平方得 ．
即 为正整数．
22．解：（1）求函数的导数；．
曲线在点处的切线方程为：
，
即 ．
（2）如果有一条切线过点，则存在，使
．
于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程

有三个相异的实数根．
记 ，
则
．
当变化时，变化情况如下表：
0
0
0
极大值
极小值
由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；
当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根；
当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根．
综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则
即 ．
2007年普通高等学校招生全国统一考试
数学（文史类）（北京卷）
本试卷分第I卷（选择题）和第II（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第II卷3至9页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．
第I卷（选择题 共40分）
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知，那么角是（　　）
Ａ．第一或第二象限角 Ｂ．第二或第三象限角
Ｃ．第三或第四象限角 Ｄ．第一或第四象限角
2．函数的反函数的定义域为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
3．函数的最小正周期是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
4．椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若，则该椭圆离心率的取值范围是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
5．某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（　　）
Ａ．个 Ｂ．个
Ｃ．个 Ｄ．个
6．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．或
7．平面平面的一个充分条件是（　　）
Ａ．存在一条直线
Ｂ．存在一条直线
Ｃ．存在两条平行直线
Ｄ．存在两条异面直线
8．对于函数①，②，③，判断如下两个命题的真假：
命题甲：是偶函数；
命题乙：在上是减函数，在上是增函数；
能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是（　　）
Ａ．①② Ｂ．①③ Ｃ．② Ｄ．③
2007年普通高等学校招生全国统一考试
数学（文史类）（北京卷）
第II卷（共110分）
注意事项：
1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．
9．是的导函数，则的值是 ．
10．若数列的前项和，则此数列的通项公式为 ．
11．已知向量．若向量，则实数的值是 ．
12．在中，若，，，则 ．
13．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么的值等于 ．
14．已知函数，分别由下表给出
1
2
3
2
1
1
1
2
3
3
2
1
则的值为 ；当时， ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（本小题共12分）
记关于的不等式的解集为，不等式的解集为．
（I）若，求；
（II）若，求正数的取值范围．
16．（本小题共13分）
数列中，（是常数，），且成公比不为的等比数列．
（I）求的值；
（II）求的通项公式．
17．（本小题共14分）
如图，在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角的直二面角．是的中点．
（I）求证：平面平面；
（II）求异面直线与所成角的大小．
18．（本小题共12分）
某条公共汽车线路沿线共有11个车站（包括起点站和终点站），在起点站开出的一辆公共汽车上有6位乘客，假设每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的．求：
（I）这6位乘客在其不相同的车站下车的概率；
（II）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率；
19．（本小题共14分）
如图，矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为点在边所在直线上．
（I）求边所在直线的方程；
（II）求矩形外接圆的方程；
（III）若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程．
20．（本小题共14分）
已知函数与的图象相交于，，，分别是的图象在两点的切线，分别是，与轴的交点．
（I）求的取值范围；
（II）设为点的横坐标，当时，写出以为自变量的函数式，并求其定义域和值域；
（III）试比较与的大小，并说明理由（是坐标原点）．
2007年普通高等学校招生全国统一考试
数学（文史类）（北京卷）参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．Ｃ 2．Ｂ 3．Ｂ 4．Ｄ 5．Ａ 6．Ｃ
7．Ｄ 8．Ｃ
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9． 10． 11． 12．
13． 14．
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
15．（共12分）
解：（I）由，得．
（II）．
由，得，又，所以，
即的取值范围是．
16．（共13分）
解：（I），，，
因为，，成等比数列，
所以，
解得或．
当时，，不符合题意舍去，故．
（II）当时，由于
，
，
，
所以．
又，，故．
当时，上式也成立，
所以．
17．（共14分）
解法一：
（I）由题意，，，
是二面角是直二面角，
，又，
平面，
又平面．
平面平面．
（II）作，垂足为，连结（如图），则，
是异面直线与所成的角．
在中，，，
．
又．
在中，．
异面直线与所成角的大小为．
解法二：
（I）同解法一．
（II）建立空间直角坐标系，如图，则，，，，
，，
．
异面直线与所成角的大小为．
18．（共13分）
解：（I）这6位乘客在互不相同的车站下车的概率为
．
（II）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率为．
19．（共14分）
解：（I）因为边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线的斜率为．
又因为点在直线上，
所以边所在直线的方程为．
．
（II）由解得点的坐标为，
因为矩形两条对角线的交点为．
所以为矩形外接圆的圆心．
又．
从而矩形外接圆的方程为．
（III）因为动圆过点，所以是该圆的半径，又因为动圆与圆外切，
所以，
即．
故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支．
因为实半轴长，半焦距．
所以虚半轴长．
从而动圆的圆心的轨迹方程为．
20．（本小题共14分）
解：（I）由方程消得． ①
依题意，该方程有两个正实根，
故解得．
（II）由，求得切线的方程为，
由，并令，得
，是方程①的两实根，且，故，，
是关于的减函数，所以的取值范围是．
是关于的增函数，定义域为，所以值域为，
（III）当时，由（II）可知．
类似可得．．
由①可知．
从而．
当时，有相同的结果．
所以．
2007年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理工农医类）（北京卷）
本试卷分第I卷（选择题）和第II（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第II卷3至9页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．
第I卷（选择题 共40分）
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知，那么角是（　　）
Ａ．第一或第二象限角 Ｂ．第二或第三象限角
Ｃ．第三或第四象限角 Ｄ．第一或第四象限角
2．函数的反函数的定义域为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
3．平面平面的一个充分条件是（　　）
Ａ．存在一条直线
Ｂ．存在一条直线
Ｃ．存在两条平行直线
Ｄ．存在两条异面直线
4．已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
5．记者要为5名志愿都和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（　　）
Ａ．1440种 Ｂ．960种 Ｃ．720种 Ｄ．480种
6．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．或
7．如果正数满足，那么（　　）
Ａ．，且等号成立时的取值唯一
Ｂ．，且等号成立时的取值唯一
Ｃ．，且等号成立时的取值不唯一
Ｄ．，且等号成立时的取值不唯一
8．对于函数①，②，③，判断如下三个命题的真假：
命题甲：是偶函数；
命题乙：在上是减函数，在上是增函数；
命题丙：在上是增函数．
能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（　　）
Ａ．①③ Ｂ．①② Ｃ．③ Ｄ．②
2007年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理工农医类）（北京卷）
第II卷（共110分）
注意事项：
1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．
9． ．
10．若数列的前项和，则此数列的通项公式为 ；数列中数值最小的项是第 项．
11．在中，若，，，则 ．
12．已知集合，．若，则实数的取值范围是 ．
13．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么的值等于 ．
14．已知函数，分别由下表给出
1
2
3
1
3
1
1
2
3
3
2
1
则的值为 ；满足的的值是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（本小题共13分）
数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列．
（I）求的值；
（II）求的通项公式．
16．（本小题共14分）
如图，在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点的斜边上．
（I）求证：平面平面；
（II）当为的中点时，求异面直线与所成角的大小；
（III）求与平面所成角的最大值．
17．（本小题共14分）
矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，点在边所在直线上．
（I）求边所在直线的方程；
（II）求矩形外接圆的方程；
（III）若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程．
18．（本小题共13分）
某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．
（I）求合唱团学生参加活动的人均次数；
（II）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．
（III）从合唱团中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望．
19．（本小题共13分）
如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为．
（I）求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；
（II）求面积的最大值．
20．已知集合，其中，由中的元素构成两个相应的集合：
，．
其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和．
若对于任意的，总有，则称集合具有性质．
（I）检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和；
（II）对任何具有性质的集合，证明：；
（III）判断和的大小关系，并证明你的结论．
2007年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理工农医类）（北京卷）答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．Ｃ 2．Ｂ 3．Ｄ 4．Ａ 5．Ｂ 6．Ｄ
7．Ａ 8．Ｄ
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9． 10． 11． 12．
13． 14．
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
15．（共13分）
解：（I），，，
因为，，成等比数列，
所以，
解得或．
当时，，不符合题意舍去，故．
（II）当时，由于
，
，
，
所以．
又，，故．
当时，上式也成立，
所以．
16．（共14分）
解法一：
（I）由题意，，，
是二面角是直二面角，
又二面角是直二面角，
，又，
平面，
又平面．
平面平面．
（II）作，垂足为，连结（如图），则，
是异面直线与所成的角．
在中，，，
．
又．
在中，．
异面直线与所成角的大小为．
（III）由（I）知，平面，
是与平面所成的角，且．
当最小时，最大，
这时，，垂足为，，，
与平面所成角的最大值为．
解法二：
（I）同解法一．
（II）建立空间直角坐标系，如图，则，，，，
，，
．
异面直线与所成角的大小为．
（III）同解法一
17．（共14分）
解：（I）因为边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线的斜率为．
又因为点在直线上，
所以边所在直线的方程为．
．
（II）由解得点的坐标为，
因为矩形两条对角线的交点为．
所以为矩形外接圆的圆心．
又．
从而矩形外接圆的方程为．
（III）因为动圆过点，所以是该圆的半径，又因为动圆与圆外切，
所以，
即．
故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支．
因为实半轴长，半焦距．
所以虚半轴长．
从而动圆的圆心的轨迹方程为．
18．（共13分）
解：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40．
（I）该合唱团学生参加活动的人均次数为．
（II）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为．
（III）从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件．易知
；
；
的分布列：
0
1
2
的数学期望：．
19．（共13分）
解：（I）依题意，以的中点为原点建立直角坐标系（如图），则点的横坐标为．
点的纵坐标满足方程，
解得
　，
其定义域为．
（II）记，
则．
令，得．
因为当时，；当时，，所以是的最大值．
因此，当时，也取得最大值，最大值为．
即梯形面积的最大值为．
20．（共13分）
（I）解：集合不具有性质．
集合具有性质，其相应的集合和是，
．
（II）证明：首先，由中元素构成的有序数对共有个．
因为，所以；
又因为当时，时，，所以当时，．
从而，集合中元素的个数最多为，
即．
（III）解：，证明如下：
（1）对于，根据定义，，，且，从而．
如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也至少有一个不成立．
故与也是的不同元素．
可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，
（2）对于，根据定义，，，且，从而．如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也不至少有一个不成立，
故与也是的不同元素．
可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，
由（1）（2）可知，．
2007年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
文科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3到10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球是表面积公式

如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么
n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
一、选择题
(1)设集合M={4,5,6,8},集合N={3,5,7,8}那么M∪N=
(A){3,4,5,6,7,8} (B){5,8} (C){3,5,7,8} (D){4,5,6,8}
(2)函数f(x)=1+log2x与g（x）=2-x+1在同一直角坐标系下的图象大致是
(3)某商场买来一车苹果，从中随机抽取了10个苹果，其重量（单位：克）分别为：150，152，153，
149，148，146，151，150，152，147，由此估计这车苹果单个重量的期望值是
(A)150.2克 (B)149.8克 (C)149.4克 (D)147.8克
(4)如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是
(A）BD∥平面CB1D1 (B)AC1⊥BD
(C)AC1⊥平面CB1D1 (D)异面直线AD与CB所成的角为60°
（5）如果双曲线＝1上一点P到双曲线右焦点的距离是2,那么点P到y轴的距离是
(A) (B) (C) (D)
（6）设球O的半径是1，A、B、C是球面上三点，已知A到B、C两点的
球面距离都是，且二面角B-OA-C的大小是，则从A点沿球面经B、C
两点再回到A点的最短距离是
(A) (B) (C) (D)
（7）等差数列{an}中，a1=1,a3+a5=14，其降n项和Sn=100,则n=
(A)9 (B)10 (C)11 (D)12
(8)设A（a,1）,B(2,b),C(4,5)为坐标平面上三点，O为坐标原点，若OA与OB在OC方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为
A.4a-5b=3 B.5a-4b=3 C.4a+5b=14 D.5a+4b=12
(9)用数字1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20 000大的五位偶数共有
A.48个 B.36个 C.24个 D.18个
(10)已知抛物线y-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于
A.3 B.4 C.3 D.4
（11）某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确提财投资后，在两个项目上共可获得的最大利润为
A.36万元 B.31.2万元 C.30.4万元 D.24万元
(12)如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2与l3同的距离是2，
正三角形ABC的三顶点分别在l1、l2、l3上，则△ABC的边长是
A.2 B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题横线上.
（13）.的展开式中的第5项为常数项，那么正整数的值是 .
三、解答题：本大题共6小题。共74分，解答应写出文字说明。证明过程或运算步骤
（17）（本小题满分12分）
厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家对一般产品致冷商家的，商家符合规定拾取一定数量的产品做检验，以决定是否验收这些产品.
　　（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.3，从中任意取出4种进行检验，求至少要1件是合格产品的概率.
(Ⅱ)若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，来进行检验，只有2件产品合格时才接收这些产品，否则拒收，分别求出该商家计算出不合格产品为1件和2件的概率，并求该商家拒收这些产品的概率。
（18）（本小题满分12分）
已知cosα=,cos(α-β)＝，且0<β<α<,
(Ⅰ)求tan2α的值；
（Ⅱ）求β.
(19)　(本小题满分12分)
如图，平面PCBM⊥平面ABC,∠PCB=90°,PM∥BC,直线AM与直线PC所成的角为60°，又AC=1,BC=2PM=2,∠ACB=90°
(Ⅰ)求证：AC⊥BM;
(Ⅱ)求二面角M-AB-C的大小；
（Ⅲ）求多面体PMABC的体积.
（20）(本小题满分12分)
设函数f（x）=ax3+bx+c（a≠0）为奇函数，其图象在点（1,f（1））处的切线与直线x－6y－7=0垂直，导函数f＇（x）的最小值为－12.
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间，并求函数f（x）在〔－1,3〕上的最大值和最小值.
（21）(本小题满分12分)
求F1、F2分别是横线的左、右焦点.
（Ⅰ）若r是第一象限内该数轴上的一点，，求点P的作标；
（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于同的两点A、B，且∠ADB为锐角（其中O为作标原点），求直线的斜率的取值范围.
（22）(本小题满分14分)
已知函数f（x）=x2－4，设曲线y＝f（x）在点（xn，f（xn））处的切线与x轴的交点为（xn+1,u）（u,N +），其中为正实数.
（Ⅰ）用xx表示xn+1；
（Ⅱ）若a1=4，记an=lg，证明数列｛a1｝成等比数列，并求数列｛xn｝的通项公式；
（Ⅲ）若x1＝4，bn＝xn－2，Tn是数列｛bn｝的前n项和，证明Tn<3.
2007年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)文科数学(含详细解析)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1、设集合，集合，那么（　　）
（A） （B） （C） （D）
解析：选A．
2、函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（　　）
解析：选C．
3、某商场买来一车苹果，从中随机抽取了10个苹果，其重量（单位：克）分别为：150，152，153，149，148，146，151，150，152，147，由此估计这车苹果单个重量的期望值是（　　）
（A）150.2克　　（B）149.8克　　（C）149.4克　　（D）147.8克
解析：选Ｂ．
4、如图，为正方体，下面结论错误的是（　　）
（A）平面
（B）
（C）平面
（D）异面直线与所成的角为60°
解析：选Ｄ．
5、如果双曲线上一点到双曲线右焦点的距离是2，那么点到轴的距离是（　　）
（A）　　　（B） 　　（C）　　　（D）
解析：选A．由点到双曲线右焦点的距离是2知在双曲线右支上．又由双曲线的第二定义知点到双曲线右准线的距离是，双曲线的右准线方程是，故点到轴的距离是．
6、设球的半径是1，、、是球面上三点，已知到、两点的球面距离都是，且二面角的大小是，则从点沿球面经、两点再回到点的最短距离是（　　）
（A） （B）
（C） （D）
解析：选C．．本题考查球面距离．
7、等差数列中，，，其前项和，则（　　）
（A）9　　　　（B）10　　　　（C）11　　　　（D）12
解析：选Ｂ．
8、设，，为坐标平面上三点，为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则与满足的关系式为（　　）
（A）　　（B）　　（C）　　（D）
解析：选A．由与在方向上的投影相同，可得：即 ，．
9、用数字1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（　　）
（A）48个 （B）36个 （C）24个 （D）18个
解析：选Ｂ．个位是2的有个，个位是4的有个，所以共有36个．
10、已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点、，则等于（　　）
（A）3 （B）4 （C） （D）
解析：选C．设直线的方程为，由，进而可求出的中点，又由在直线上可求出，∴，由弦长公式可求出．本题考查直线与圆锥曲线的位置关系．自本题起运算量增大．
11、某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为（　　）
（A）36万元 （B）31.2万元 （C）30.4万元 （D）24万元
解析：选B．对甲项目投资24万元，对乙项目投资36万元，可获最大利润31.2万元．因为对乙项目投资获利较大，故在投资规划要求内（对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍）尽可能多地安排资金投资于乙项目，即对项目甲的投资等于对项目乙投资的倍时可获最大利润．这是最优解法．也可用线性规划的通法求解．注意线性规划在高考中以应用题型的形式出现．
12、如图，、、是同一平面内的三条平行直线，与间的距离是1，与间的距离是2，正三角形的三顶点分别在、、上，则⊿的边长是（　　）
（A）2 （B）
（C） （D）
解析：选D．过点Ｃ作的垂线，以、为轴、轴建立平面直角坐标系．设、、，由知，检验A：，无解；检验B：，无解；检验D：，正确．本题是把关题．在基础中考能力，在综合中考能力，在应用中考能力，在新型题中考能力全占全了．是一道精彩的好题．可惜区分度太小．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分；把答案填在题中的横线上．
13、的展开式中的第5项为常数项，那么正整数的值是 ．
解析：．
14、在正三棱柱中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则与侧面所成的角是____________
解析：，点到平面的距离为，∴，．
15、已知的方程是，的方程是，由动点向和所引的切线长相等，则运点的轨迹方程是__________________
解析：：圆心，半径；：圆心，半径．设，由切线长相等得
，．
16、下面有5个命题：
①函数的最小正周期是；
②终边在轴上的角的集合是；
③在同一坐标系中，函数的图象和函数的图象有3个公共点；
④把函数的图象向右平移得到的图象；
⑤角为第一象限角的充要条件是
其中，真命题的编号是___________（写出所有真命题的编号）
解析：①，正确；②错误；③，和在第一象限无交点，错误；④正确；⑤错误．故选①④．
三、解答题：本大题共6小题，共74分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17、（本小题满分12分）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这些产品．
（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4种进行检验，求至少要1件是合格产品的概率．
（Ⅱ）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，来进行检验，只有2件产品合格时才接收这些产品，否则拒收，分别求出该商家计算出不合格产品为1件和2件的概率，并求该商家拒收这些产品的概率。
解析：本题考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算，考查运用所学知识与方法解决实际问题的能力．
（Ⅰ）记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件．用对立事件来算，有
（Ⅱ）记“商家任取2件产品检验，其中不合格产品数为件” 为事件．
∴商家拒收这批产品的概率
．
故商家拒收这批产品的概率为．
18、（本小题满分12分）已知，，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求．
解析：本题考查三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号、已知三角函数值求角以及计算能力．
（Ⅰ）由，，得．
　　　∴．
于是．
（Ⅱ）由，得．
　　　又∵，
∴．
由，得
　　　
　　　∴．
19、（本小题满分12分）如图，平面平面，，，直线与直线所成的角为60°，又，，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）求多面体的体积．
解析：本题主要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、棱锥体积等有关知识，考查思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运算能力．
（Ⅰ）∵平面平面，，平面．
∴平面
又∵平面
∴
（Ⅱ）取的中点，则．连接、．
∵平面平面，平面平面，．
∴平面．
∵，∴，从而平面．
作于，连结，则由三垂线定理知．
从而为二面角的平面角．
∵直线与直线所成的角为60°，
∴ ．
在中，由勾股定理得．
在中，．
在中，．
在中，
故二面角的大小为
（Ⅱ）如图以为原点建立空间直角坐标系．
　　　设，
有，，．
，
由直线与直线所成的角为60°，得
即，解得．
∴，
设平面的一个法向量为，则
由，取，得
取平面的一个法向量为
则
由图知二面角为锐二面角，故二面角的大小为．
（Ⅲ）多面体就是四棱锥
．
20、（本小题满分12分）设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为．
（Ⅰ）求，，的值；
（Ⅱ）求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值．
解析：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力．
（Ⅰ）∵为奇函数，
∴
即
∴
∵的最小值为
∴
又直线的斜率为
因此，
∴，，．
（Ⅱ）．
　　　，列表如下：
极大
极小
　　　所以函数的单调增区间是和
∵，，
∴在上的最大值是，最小值是．
21、（本小题满分12分）设、分别是椭圆的左、右焦点．
（Ⅰ）若是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点的作标；
（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于同的两点、，且为锐角（其中为作标原点），求直线的斜率的取值范围．
解析：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理计算能力．
（Ⅰ）易知，，．
∴，．设．则
，又，
联立，解得，．
（Ⅱ）显然不满足题设条件．可设的方程为，设，．
联立
∴，
由
，，得．①
又为锐角，
∴
又
∴
∴．②
综①②可知，∴的取值范围是．
22、（本小题满分14分）已知函数，设曲线在点处的切线与轴的交点为，其中为正实数．
（Ⅰ）用表示；
（Ⅱ）若，记，证明数列成等比数列，并求数列的通项公式；
（Ⅲ）若，，是数列的前项和，证明．
解析：本题综合考查数列、函数、不等式、导数应用等知识，以及推理论证、计算及解决问题的能力．
（Ⅰ）由题可得．
所以曲线在点处的切线方程是：．
即．
令，得．
即．
显然，∴．
（Ⅱ）由，知，同理．
　　　故．
从而，即．所以，数列成等比数列．
故．
即．
从而
所以
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
∴
∴
当时，显然．
当时，
∴
．
　　　综上，．
2007年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3到10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球是表面积公式

如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么
n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
一．选择题：
(1)复数的值是
（A）0 (B)1 (C)-1 (D)1
(2)函数f(x)=1+log2x与g(x)=2-x+1在同一直角坐标系下的图象大致是
(3)
（A）0 (B)1 (C) (D)
(4)如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是
（A）BD∥平面CB1D1 （B）AC1⊥BD
（C）AC1⊥平面CB1D1 （D）异面直线AD与CB1角为60°
（5）如果双曲线上一点P到双曲线右焦点的距离是2，那么点P到y轴的距离是
（A） （B） （C） （D）
（6）设球O的半径是1，A、B、C是球面上三点，已知A到B、C两点的球面距离都是，且
三面角B-OA-C的大小为，则从A点沿球面经B、C两点再回到A点的最短距离是
（A） （B） （C） （D）
（7）设A｛a,1｝，B｛2，b｝，C｛4,5｝，为坐标平面上三点，O为坐标原点，若
上的投影相同，则a与b满足的关系式为
(A) (B)
(C) (D)
（8）已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点A、B，则|AB|等于
（A）3 （B）4 （C） （D）
（9）某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为
（A）36万元 （B）31.2万元 （C）30.4万元 （D）24万元
（10）用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有
（A）288个 （B）240个 （C）144个 （D）126个
（11）如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，
l2与l3间的距离是2，正三角形ABC的三顶点分别在l1、l2、l3上，
则△ABC的边长是
（A） （B） （C） （D）
（12）已知一组抛物线，其中a为2,4,6,8中任取的一个数，b为1,3,5,7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线x=1交点处的切线相互平行的概率是
（A） （B） （C） （D）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在横线上.
（13）若函数f(x)=e-(m-u)2 (c是自然对数的底数)的最大值是m,且f(x)是偶函数，则m+u= .
(14)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，
则BC1与侧面ACC1A1所成的角是 .
(15)已知⊙O的方程是x2+y2-2=0, ⊙O’的方程是x2+y2-8x+10=0,由动点P向⊙O和
⊙O’所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是 .
(16)下面有五个命题：
①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是.
②终边在y轴上的角的集合是{a|a=|.
③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点.
④把函数
⑤函数
其中真命题的序号是 （写出所言 ）
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）已知<<<,
(Ⅰ)求的值.
（Ⅱ）求.
（18）（本小题满分12分）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品.
（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验.求至少有1件是合格品的概率;
（Ⅱ）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收.求该商家可能检验出不合格产品数的分布列及期望，并求该商家拒收这批产品的概率.
（19）（本小题满分12分）如图，是直角梯形，∠＝90°，∥，＝1，＝2，又＝1，∠＝120°，⊥，直线与直线所成的角为60°.
（Ⅰ）求证：平面⊥平面;
（Ⅱ）求二面角的大小;
（Ⅲ）求三棱锥的体积.
（20）（本小题满分12分）设、分别是椭圆的左、右焦点.
（Ⅰ）若是该椭圆上的一个动点，求·的最大值和最小值;
（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.
已知函数,设曲线在点()处的切线与x轴线发点()()其中xn为实数
（21）（本小题满分12分）
(22)(本小题满分14分)
设函数.
(Ⅰ)当x=6时,求的展开式中二项式系数最大的项;
(Ⅱ)对任意的实数x,证明＞
(Ⅲ)是否存在,使得an＜＜恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a的值;若不存在,请说明理由.
2007年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
理科数学参考答案
一．选择题：本题考察基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分
（1） A （2） C （3） D （4） D （5） A （6） C
（7） A （8） C （9） B （10） B （11） D （12） B
二．填空题：本题考察基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分
（13） （14） （15） （16）① ④
三．解答题：
（17）本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号，已知三角函数值求角以及计算能力。
解：（Ⅰ）由，得
∴，于是
（Ⅱ）由，得
又∵，∴
由得：
所以
（18）本题考察相互独立事件、互斥事件等的概率计算，考察随机事件的分布列，数学期望等，考察运用所学知识与方法解决实际问题的能力。
解：（Ⅰ）记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A
用对立事件A来算，有
（Ⅱ）可能的取值为
，，
记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B，则商家拒收这批产品的概率
所以商家拒收这批产品的概率为
（19）本题主要考察异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、三棱锥体积等有关知识，考察思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运算能力。
解法一：
（Ⅰ）∵
∴，
又∵
∴
（Ⅱ）取的中点，则，连结，
∵，∴，从而
作，交的延长线于，连结，则由三垂线定理知，，
从而为二面角的平面角
直线与直线所成的角为
∴
在中，由余弦定理得
在中，
在中，
在中，
故二面角的平面角大小为
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，为正方形
∴
解法二：（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）在平面内，过作，建立空间直角坐标系（如图）
由题意有，设，
则
由直线与直线所成的解为，得
，即，解得
∴，设平面的一个法向量为，
则，取，得
平面的法向量取为
设与所成的角为，则
显然，二面角的平面角为锐角，
故二面角的平面角大小为
（Ⅲ）取平面的法向量取为，则点A到平面的距离
∵，∴
（20）本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力。
解：（Ⅰ）解法一：易知
所以，设，则
因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值
当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值
解法二：易知，所以，设，则
（以下同解法一）
（Ⅱ）显然直线不满足题设条件，可设直线，
联立，消去，整理得：
∴
由得：或
又
∴
又
∵，即 ∴
故由①、②得或
（21）本题综合考察数列、函数、不等式、导数应用等知识，以及推理论证、计算及解决问题的能力。
解：（Ⅰ）由题可得
所以过曲线上点的切线方程为，
即
令，得，即
显然 ∴
（Ⅱ）证明：（必要性）
若对一切正整数，则，即，而，∴，即有
（充分性）若，由
用数学归纳法易得，从而，即
又 ∴
于是，
即对一切正整数成立
（Ⅲ）由，知，同理，
故
从而，即
所以，数列成等比数列，故，
即，从而
所以
（22）本题考察函数、不等式、导数、二项式定理、组合数计算公式等内容和数学思想方法。考查综合推理论证与分析解决问题的能力及创新意识。
（Ⅰ）解：展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是
（Ⅱ）证法一：因
证法二：因
而
故只需对和进行比较。
令，有
由，得
因为当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以在处有极小值
故当时，，
从而有，亦即
故有恒成立。
所以，原不等式成立。
（Ⅲ）对，且
有
又因，故
∵，从而有成立，
即存在，使得恒成立。
2007年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)理科数学(含详细解析)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1、复数的值是（　　）
（A）0 （B）1 （C） （D）
解析：选A．．本题考查复数的代数运算．
2、函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（　　）
解析：选C．注意 的图象是由的图象右移1而得．本题考查函数图象的平移法则．
3、（　　）
（A）0　　（B）1　　（C）　　（D）
解析：选D．本题考查型的极限．原式或原式．
4、如图，为正方体，下面结论错误的是（　　）
（A）平面
（B）
（C）平面
（D）异面直线与所成的角为
解析：选D．显然异面直线与所成的角为．
5、如果双曲线上一点到双曲线右焦点的距离是2，那么点到轴的距离是（　　）
（A）　　　（B） 　　（C）　　　（D）
解析：选A．由点到双曲线右焦点的距离是2知在双曲线右支上．又由双曲线的第二定义知点到双曲线右准线的距离是，双曲线的右准线方程是，故点到轴的距离是．
6、设球的半径是1，、、是球面上三点，已知到、两点的球面距离都是，且二面角的大小是，则从点沿球面经、两点再回到点的最短距离是（　　）
（A） （B）　　　　（C） 　　　　（D）
解析：选C．．本题考查球面距离．
7、设，，为坐标平面上三点，为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则与满足的关系式为（　　）
（A）　　（B）　　（C）　　（D）
解析：选A．由与在方向上的投影相同，可得：即 ，．
8、已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点、，则等于（　　）
（A）3 （B）4 （C） （D）
解析：选C．设直线的方程为，由，进而可求出的中点，又由在直线上可求出，∴，由弦长公式可求出．本题考查直线与圆锥曲线的位置关系．自本题起运算量增大．
9、某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为（　　）
（A）36万元 （B）31.2万元 （C）30.4万元 （D）24万元
解析：选B．对甲项目投资24万元，对乙项目投资36万元，可获最大利润31.2万元．因为对乙项目投资获利较大，故在投资规划要求内（对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍）尽可能多地安排资金投资于乙项目，即对项目甲的投资等于对项目乙投资的倍时可获最大利润．这是最优解法．也可用线性规划的通法求解．注意线性规划在高考中以应用题型的形式出现．
10、用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（　　）
（A）288个 （B）240个 （C）144个 （D）126个
解析：选B．对个位是0和个位不是0两类情形分类计数；对每一类情形按“个位－最高位－中间三位”分步计数：①个位是0并且比20000大的五位偶数有个；②个位不是0并且比20000大的五位偶数有个；故共有个．本题考查两个基本原理，是典型的源于教材的题目．
11、如图，、、是同一平面内的三条平行直线，与间的距离是1，与间的距离是2，正三角形的三顶点分别在、、上，则⊿的边长是（　　）
（A） （B）
（C） （D）
解析：选D．过点Ｃ作的垂线，以、为轴、轴建立平面直角坐标系．设、、，由知，检验A：，无解；检验B：，无解；检验D：，正确．本题是把关题．在基础中考能力，在综合中考能力，在应用中考能力，在新型题中考能力全占全了．是一道精彩的好题．可惜区分度太小．
12、已知一组抛物线，其中为2、4、6、8中任取的一个数，为1、3、5、7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线交点处的切线相互平行的概率是（ ）
（A） （B） （C） （D）
解析：选B．这一组抛物线共条，从中任意抽取两条，共有种不同的方法．它们在与直线交点处的切线的斜率．若，有两种情形，从中取出两条，有种取法；若，有三种情形，从中取出两条，有种取法；若，有四种情形，从中取出两条，有种取法；若，有三种情形，从中取出两条，有种取法；若，有两种情形，从中取出两条，有种取法．由分类计数原理知任取两条切线平行的情形共有种，故所求概率为．本题是把关题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分；把答案填在题中的横线上．
13、若函数（是自然对数的底数）的最大值是，且是偶函数，则________．
解析：，，∴．
14、在正三棱柱中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则与侧面所成的角是____________
解析：，点到平面的距离为，∴，．
15、已知的方程是，的方程是，由动点向和所引的切线长相等，则动点的轨迹方程是__________________
解析：：圆心，半径；：圆心，半径．设，由切线长相等得
，．
16、下面有5个命题：
①函数的最小正周期是．
②终边在轴上的角的集合是．
③在同一坐标系中，函数的图象和函数的图象有3个公共点．
④把函数的图象向右平移得到的图象．
⑤函数在上是减函数．
其中，真命题的编号是___________（写出所有真命题的编号）
解析：①，正确；②错误；③，和在第一象限无交点，错误；④正确；⑤错误．故选①④．
2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（文史类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上无效．
3．本卷共10小题，每小题5分，共50分．
参考公式：
如果事件互斥，那么 球的表面积公式

如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径

一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
（2）设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（　　）
Ａ．10 Ｂ．12 Ｃ．13 Ｄ．14
（3） “”是“直线平行于直线”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
（4）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
（5）函数的反函数是（ ）
A． B．
C． D．
（6）设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A．若与所成的角相等，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
（7）设双曲线的离心率为，且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
（8）设等差数列的公差不为0，．若是与的等比中项，则（　　）
Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．8
（9）设函数，则（ ）
A．在区间上是增函数 B．在区间上是减函数
C．在区间上是增函数 D．在区间上是减函数
（10）设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
注意事项：
1．答卷前将密封线内的项目填写清楚．
2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上．
3．本卷共12小题，共100分．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．
（11）从一堆苹果中任取了20只，并得到它们的质量（单位：克）数据分布表如下：
分组
频数
1
2
3
10
1
则这堆苹果中，质量不小于120克的苹果数约占苹果总数的 ％．
（12）的二项展开式中常数项是 （用数字作答）．
（13）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为，，，则此球的表面积为 ．
（14）已知两圆和相交于两点，则直线的方程是　　　　　．
（15）在中，，，是边的中点，则 ．
（16）如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有　　　　　种（用数字作答）．
三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分）
在中，已知，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
（18）（本小题满分12分）
已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球，乙盒内有大小相同的5个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．
（Ⅰ）求取出的4个球均为红球的概率；
（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
（19）（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面，
，，是的中点．
（Ⅰ）求和平面所成的角的大小；
（Ⅱ）证明平面；
（Ⅲ）求二面角的大小．
（20）（本小题满分12分）
在数列中，，，．
（Ⅰ）证明数列是等比数列；
（Ⅱ）求数列的前项和；
（Ⅲ）证明不等式，对任意皆成立．
（21）（本小题满分14分）
设函数（），其中．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求函数的极大值和极小值；
（Ⅲ）当时，证明存在，使得不等式对任意的恒成立．
（22）（本小题满分14分）
设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为．
（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）求使得下述命题成立：设圆上任意点处的切线交椭圆于，两点，则．
2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（文史类）参考答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分．
（1）B （2）C （3）C （4）A （5）C
（6）D （7）D （8）B （9）A （10）A
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分．
（11） （12） （13）
（14） （15） （16）
三、解答题
（17）本小题考查同角三角函数的基本关系式、两角和公式、倍角公式、正弦定理等的知识，考查基本运算能力．满分12分．
（Ⅰ）解：在中，，由正弦定理，
．
所以．
（Ⅱ）解：因为，所以角为钝角，从而角为锐角，于是
，
，
．
．
（18）本小题主要考查互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．
（Ⅰ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为红球”为事件，“从乙盒内取出的2个球均为红球”为事件．由于事件相互独立，且
，，
故取出的4个球均为红球的概率是
．
（Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个红球为黑球”为事件，“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件．由于事件互斥，且
，．
故取出的4个红球中恰有4个红球的概率为
．
（19）本小题考查直线与平面垂直、直线和平面所成的角、二面角等基础知识．考查空间想象能力、记忆能力和推理论证能力．满分12分．
（Ⅰ）解：在四棱锥中，因底面，平面，故．
又，，从而平面．故在平面内的射影为，从而为和平面所成的角．
在中，，故．
所以和平面所成的角的大小为．
（Ⅱ）证明：在四棱锥中，
因底面，平面，故．
由条件，，面．
又面，．
由，，可得．
是的中点，，
．综上得平面．
（Ⅲ）解：过点作，垂足为，连结．由（Ⅱ）知，平面，在平面内的射影是，则．
因此是二面角的平面角．
由已知，可得．设，可得
，，，．
在中，，，则
．
在中，．
所以二面角的大小．
（20）本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前项和公式、不等式的证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力．满分12分．
（Ⅰ）证明：由题设，得
，．
又，所以数列是首项为，且公比为的等比数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，于是数列的通项公式为
．
所以数列的前项和．
（Ⅲ）证明：对任意的，
．
所以不等式，对任意皆成立．
（21）本小题主要考查运用导数研究函数的性质、曲线的切线方程，函数的极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．满分14分．
（Ⅰ）解：当时，，得，且
，．
所以，曲线在点处的切线方程是，整理得
．
（Ⅱ）解：
．
令，解得或．
由于，以下分两种情况讨论．
（1）若，当变化时，的正负如下表：
因此，函数在处取得极小值，且
；
函数在处取得极大值，且
．
（2）若，当变化时，的正负如下表：
因此，函数在处取得极小值，且
；
函数在处取得极大值，且
．
（Ⅲ）证明：由，得，当时，
，．
由（Ⅱ）知，在上是减函数，要使，
只要
即
　　　　　　　　①
设，则函数在上的最大值为．
要使①式恒成立，必须，即或．
所以，在区间上存在，使得对任意的恒成立．
（22）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、圆的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14分．
（Ⅰ）证法一：由题设及，，不妨设点，其中
，由于点在椭圆上，有，
，
解得，从而得到，
直线的方程为，整理得
．
由题设，原点到直线的距离为，即
，
将代入原式并化简得，即．
证法二：同证法一，得到点的坐标为，
过点作，垂足为，易知，故
由椭圆定义得，又，所以
，
解得，而，得，即．
（Ⅱ）解法一：圆上的任意点处的切线方程为．
当时，圆上的任意点都在椭圆内，故此圆在点处的切线必交椭圆于两个不同的点和，因此点，的坐标是方程组
的解．当时，由①式得
代入②式，得，即
，
于是，
．
若，则
．
所以，．由，得．在区间内此方程的解为．
当时，必有，同理求得在区间内的解为．
另一方面，当时，可推出，从而．
综上所述，使得所述命题成立．
2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
祝各位考生考试顺利!
第Ⅰ卷
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效．
3．本卷共10小题，每小题5分，共50分．
参考公式：
·如果事件互斥，那么 球的表面积公式

·如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径

一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．是虚数单位，（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
2．设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（　　）
Ａ．4 Ｂ．11 Ｃ．12 Ｄ．14
3．“”是“”的（　　）
Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件
Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件
4．设双曲线的离心率为，且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
5．函数的反函数是（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
6．设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（　　）
Ａ．若与所成的角相等，则
Ｂ．若，，则
Ｃ．若，则
Ｄ．若，，则
7．在上定义的函数是偶函数，且，若在区间上是减函数，则（　　）
Ａ．在区间上是增函数，在区间上是增函数
Ｂ．在区间上是增函数，在区间上是减函数
Ｃ．在区间上是减函数，在区间上是增函数
Ｄ．在区间上是减函数，在区间上是减函数
8．设等差数列的公差不为0，．若是与的等比中项，则（　　）
Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．8
9．设均为正数，且，，．则（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
10．设两个向量和，其中为实数．若，中央电视台的取值范围是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）
第Ⅱ卷
注意事项：
1．答案前将密封线内的项目填写清楚．
2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上．
3．本卷共12小题，共100分．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上．
11．若的二项展开式中的系数为，则　　　　（用数字作答）．
12．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为　　　　　．
13．设等差数列的公差是2，前项的和为，则　　　　　　．
14．已知两圆和相交于两点，则直线的方程是　　　　　．
15．如图，在中，，是边上一点，，则　　　　　．
16．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有　　　　　种（用数字作答）．
三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数在区间上的最小值和最大值．
18．（本小题满分12分）
已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．
（Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率；
（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
（Ⅲ）设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望．
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面，，，是的中点．
（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）证明平面；
（Ⅲ）求二面角的大小．
20．（本小题满分12分）
已知函数，其中．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值．
21．（本小题满分14分）
在数列中，，其中．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和；
（Ⅲ）证明存在，使得对任意均成立．
22．（本小题满分14分）
设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为．
（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）设为椭圆上的两个动点，，过原点作直线的垂线，垂足为，求点的轨迹方程．
2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）参考解答
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分．
1．Ｃ 2．Ｂ 3．Ａ 4．Ｄ 5．Ｃ
6．Ｄ 7．Ｂ 8．Ｂ 9．Ａ 10．Ａ
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分．
11．2 12． 13．3
14． 15． 16．390
三、解答题
17．本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数的性质等基础知识，考查基本运算能力．满分12分．
（Ⅰ）解：．
因此，函数的最小正周期为．
（Ⅱ）解法一：因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又，，，
故函数在区间上的最大值为，最小值为．
解法二：作函数在长度为一个周期的区间上的图象如下：
由图象得函数在区间上的最大值为，最小值为．
18．本小题主要考查互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．
（Ⅰ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件．由于事件相互独立，且，．
故取出的4个球均为黑球的概率为．
（Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件．由于事件互斥，
且，．
故取出的4个球中恰有1个红球的概率为．
（Ⅲ）解：可能的取值为．由（Ⅰ），（Ⅱ）得，，
．从而．
的分布列为
0
1
2
3
的数学期望．
19．本小题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．满分12分．
（Ⅰ）证明：在四棱锥中，因底面，平面，故．
，平面．
而平面，．
（Ⅱ）证明：由，，可得．
是的中点，．
由（Ⅰ）知，，且，所以平面．
而平面，．
底面在底面内的射影是，，．
又，综上得平面．
（Ⅲ）解法一：过点作，垂足为，连结．则（Ⅱ）知，平面，在平面内的射影是，则．
因此是二面角的平面角．
由已知，得．设，
可得．
在中，，，
则．
在中，．
所以二面角的大小是．
解法二：由题设底面，平面，则平面平面，交线为．
过点作，垂足为，故平面．过点作，垂足为，连结，故．因此是二面角的平面角．
由已知，可得，设，
可得．
，．
于是，．
在中，．
所以二面角的大小是．
20．本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法．满分12分．
（Ⅰ）解：当时，，，
又，．
所以，曲线在点处的切线方程为，
即．
（Ⅱ）解：．
由于，以下分两种情况讨论．
（1）当时，令，得到，．当变化时，的变化情况如下表：
0
0
极小值
极大值
所以在区间，内为减函数，在区间内为增函数．
函数在处取得极小值，且，
函数在处取得极大值，且．
（2）当时，令，得到，当变化时，的变化情况如下表：
0
0
极大值
极小值
所以在区间，内为增函数，在区间内为减函数．
函数在处取得极大值，且．
函数在处取得极小值，且．
21．本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法，考查归纳、推理、运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分14分．
（Ⅰ）解法一：，
，
．
由此可猜想出数列的通项公式为．
以下用数学归纳法证明．
（1）当时，，等式成立．
（2）假设当时等式成立，即，
那么
．
这就是说，当时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式对任何都成立．
解法二：由，，
可得，
所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故，所以数列的通项公式为．
（Ⅱ）解：设，　　　①
　　　　　　　　②
当时，①式减去②式，
得，
．
这时数列的前项和．
当时，．这时数列的前项和．
（Ⅲ）证明：通过分析，推测数列的第一项最大，下面证明：
．　　　　③
由知，要使③式成立，只要，
因为
．
所以③式成立．
因此，存在，使得对任意均成立．
22．本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14分．
（Ⅰ）证法一：由题设及，，不妨设点，其中．由于点在椭圆上，有，即．
解得，从而得到．
直线的方程为，整理得．
由题设，原点到直线的距离为，即，
将代入上式并化简得，即．
证法二：同证法一，得到点的坐标为．
过点作，垂足为，易知，故．
由椭圆定义得，又，
所以，
解得，而，得，即．
（Ⅱ）解法一：设点的坐标为．
当时，由知，直线的斜率为，所以直线的方程为，或，其中，．
点的坐标满足方程组
将①式代入②式，得，
整理得，
于是，．
由①式得
．
由知．将③式和④式代入得，
．
将代入上式，整理得．
当时，直线的方程为，的坐标满足方程组
所以，．
由知，即，
解得．
这时，点的坐标仍满足．
综上，点的轨迹方程为　．
解法二：设点的坐标为，直线的方程为，由，垂足为，可知直线的方程为．
记（显然），点的坐标满足方程组
由①式得．　　　　　　③
由②式得．　　　④
将③式代入④式得．
整理得，
于是．　　　⑤
由①式得．　　　⑥
由②式得．　　⑦
将⑥式代入⑦式得，
整理得，
于是．　　　⑧
由知．将⑤式和⑧式代入得，
．
将代入上式，得．
所以，点的轨迹方程为．
2007年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学（宁夏）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第II卷第22题为选考题，其他题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．
2．选择题答案使用2Ｂ铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂基他答案标号，非选择题答案使用毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整、笔迹清楚．
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．
5．作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2Ｂ铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
参考公式：
样本数据，，，的标准差 锥体体积公式

其中为标本平均数 其中为底面面积，为高
柱体体积公式 球的表面积、体积公式
，
其中为底面面积，为高 其中为球的半径
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，则（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
2．已知命题，，则（　　）
Ａ．， Ｂ．，
Ｃ．， Ｄ．，
3．函数在区间的简图是（　　）
4．已知平面向量，则向量（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
5．如果执行右面的程序框图，那么输出的（　　）
Ａ．2450 Ｂ．2500
Ｃ．2550 Ｄ．2652
6．已知成等比数列，且曲线的顶点是，则等于（　　）
Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．
7．已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且，则有（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
8．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（　　）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
9．若，则的值为（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
10．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
11．已知三棱锥的各顶点都在一个半径为的球面上，球心在上，底面，，则球的体积与三棱锥体积之比是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
12．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表
甲的成绩
环数
7
8
9
10
频数
5
5
5
5
乙的成绩
环数
7
8
9
10
频数
6
4
4
6
丙的成绩
环数
7
8
9
10
频数
4
6
6
4
分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为　　　　　．
14．设函数为偶函数，则　　　　．
15．是虚数单位，　　　　　．（用的形式表示，）
16．已知是等差数列，，其前5项和，则其公差　　　　．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个侧点与．现测得，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高．
18．（本小题满分12分）
如图，为空间四点．在中，．等边三角形以为轴运动．
（Ⅰ）当平面平面时，求；
（Ⅱ）当转动时，是否总有？证明你的结论．
19．（本小题满分12分）
设函数
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）求在区间的最大值和最小值．
20．（本小题满分12分）
设有关于的一元二次方程．
（Ⅰ）若是从四个数中任取的一个数，是从三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
（Ⅱ）若是从区间任取的一个数，是从区间任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
21．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，已知圆的圆心为，过点且斜率为的直线与圆相交于不同的两点．
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．
22．请考生在Ａ、Ｂ两题中选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
22．Ａ（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图，已知是的切线，为切点，是的割线，与交于两点，圆心在的内部，点是的中点．
（Ⅰ）证明四点共圆；
（Ⅱ）求的大小．
22．Ｂ（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
和的极坐标方程分别为．
（Ⅰ）把和的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）求经过，交点的直线的直角坐标方程．
2007年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学试题参考答案（宁夏）
一、选择题
1．Ａ 2．Ｃ 3．Ａ 4．Ｄ 5．Ｃ 6．Ｂ
7．Ｃ 8．Ｂ 9．Ｃ 10．Ｄ 11．Ｄ 12．Ｂ
二、填空题
13． 14．1 15． 16．
三、解答题
17．解：在中，．
由正弦定理得．
所以．
在中，．
18．解：
（Ⅰ）取的中点，连结，因为是等边三角形，所以．
当平面平面时，
因为平面平面，
所以平面，
可知
由已知可得，在中，．
（Ⅱ）当以为轴转动时，总有．
证明：
（ⅰ）当在平面内时，因为，所以都在线段的垂直平分线上，即．
（ⅱ）当不在平面内时，由（Ⅰ）知．又因，所以．
又为相交直线，所以平面，由平面，得．
综上所述，总有．
19．解：的定义域为．
（Ⅰ）．
当时，；当时，；当时，．
从而，分别在区间，单调增加，在区间单调减少．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知在区间的最小值为．
又．
所以在区间的最大值为．
20．解：
设事件为“方程有实根”．
当，时，方程有实根的充要条件为．
（Ⅰ）基本事件共12个：
．其中第一个数表示的取值，第二个数表示的取值．
事件中包含9个基本事件，事件发生的概率为．
（Ⅱ）试验的全部结束所构成的区域为．
构成事件的区域为．
所以所求的概率为．
21．解：
（Ⅰ）圆的方程可写成，所以圆心为，过且斜率为的直线方程为．
代入圆方程得，
整理得．　　　①
直线与圆交于两个不同的点等价于
，
解得，即的取值范围为．
（Ⅱ）设，则，
由方程①，
　　　　②
又．　　　　③
而．
所以与共线等价于，
将②③代入上式，解得．
由（Ⅰ）知，故没有符合题意的常数．
22．Ａ
（Ⅰ）证明：连结．
因为与相切于点，所以．
因为是的弦的中点，所以．
于是．
由圆心在的内部，可知四边形的对角互补，所以四点共圆．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得四点共圆，所以．
由（Ⅰ）得．
由圆心在的内部，可知．
所以．
22．Ｂ
解：以有点为原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．
（Ⅰ），，由得．
所以．
即为的直角坐标方程．
同理为的直角坐标方程．
（Ⅱ）由
解得．
即，交于点和．过交点的直线的直角坐标方程为．
2007年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学（宁夏）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第II卷第22题为选考题，其他题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．
2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚．
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．
5．作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
参考公式：
样本数据，，，的标准差 锥体体积公式

其中为样本平均数 其中为底面面积、为高
柱体体积公式 球的表面积、体积公式
，
其中为底面面积，为高 其中为球的半径
第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知命题，，则（　　）
Ａ．， Ｂ．，
Ｃ．， Ｄ．，
2．已知平面向量，则向量（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
3．函数在区间的简图是（　　）
4．已知是等差数列，，其前10项和，则其公差（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
5．如果执行右面的程序框图，那么输出的（　　）
Ａ．2450 Ｂ．2500
Ｃ．2550 Ｄ．2652
6．已知抛物线的焦点为，
点，在抛物线上，
且， 则有（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
7．已知，，成等差数列，成等比数列，则的最小值是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
8．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（　　）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
9．若，则的值为（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
10．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
11．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表
甲的成绩
环数
7
8
9
10
频数
5
5
5
5
乙的成绩
环数
7
8
9
10
频数
6
4
4
6
丙的成绩
环数
7
8
9
10
频数
4
6
6
4
分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
12．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为，，，则（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为　　　　　．
14．设函数为奇函数，则　　　　．
15．是虚数单位，　　　　　．（用的形式表示，）
16．某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有 种．（用数字作答）
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与．现测得，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高．
18．（本小题满分12分）
如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，，为中点．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
19．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和．
（I）求的取值范围；
（II）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．
20．（本小题满分12分）
如图，面积为的正方形中有一个不规则的图形，可按下面方法估计的面积：在正方形中随机投掷个点，若个点中有个点落入中，则的面积的估计值为，假设正方形的边长为2，的面积为1，并向正方形中随机投掷个点，以表示落入中的点的数目．
（I）求的均值；
（II）求用以上方法估计的面积时，的面积的估计值与实际值之差在区间内的概率．
附表：
21．（本小题满分12分）
设函数
（I）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；
（II）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于．
22．请考生在三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
22．Ａ（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图，已知是的切线，为切点，是的割线，与交于两点，圆心在的内部，点是的中点．
（Ⅰ）证明四点共圆；
（Ⅱ）求的大小．
22．Ｂ（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
和的极坐标方程分别为．
（Ⅰ）把和的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）求经过，交点的直线的直角坐标方程．
22．Ｃ（本小题满分10分）选修；不等式选讲
设函数．
（I）解不等式；
（II）求函数的最小值．
2007年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题参考答案（宁夏）
一、选择题
1．Ｃ 2．Ｄ 3．Ａ 4．Ｄ 5．Ｃ 6．Ｃ
7．Ｄ 8．Ｂ 9．Ｃ 10．Ｄ 11．Ｂ 12．Ｂ
二、填空题
13． 14． 15． 16．240
三、解答题
17．解：在中，．
由正弦定理得．
所以．
在中，．
18．证明：
（Ⅰ）由题设，连结，为等腰直角三角形，所以，且，又为等腰三角形，故，且，从而．
所以为直角三角形，．
又．
所以平面．
（Ⅱ）解法一：
取中点，连结，由（Ⅰ）知，得．
为二面角的平面角．
由得平面．
所以，又，
故．
所以二面角的余弦值为．
解法二：
以为坐标原点，射线分别为轴、轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系．
设，则．
的中点，．
．
故等于二面角的平面角．
，
所以二面角的余弦值为．
19．解：（Ⅰ）由已知条件，直线的方程为，
代入椭圆方程得．
整理得　　　①
直线与椭圆有两个不同的交点和等价于，
解得或．即的取值范围为．
（Ⅱ）设，则，
由方程①，．　　　②
又．　　　　③
而．
所以与共线等价于，
将②③代入上式，解得．
由（Ⅰ）知或，故没有符合题意的常数．
20．解：
每个点落入中的概率均为．
依题意知．
（Ⅰ）．
（Ⅱ）依题意所求概率为，
．
21．解：
（Ⅰ），
依题意有，故．
从而．
的定义域为，当时，；
当时，；
当时，．
从而，分别在区间单调增加，在区间单调减少．
（Ⅱ）的定义域为，．
方程的判别式．
（ⅰ）若，即，在的定义域内，故的极值．
（ⅱ）若，则或．
若，，．
当时，，当时，，所以无极值．
若，，，也无极值．
（ⅲ）若，即或，则有两个不同的实根，．
当时，，从而有的定义域内没有零点，故无极值．
当时，，，在的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知在取得极值．
综上，存在极值时，的取值范围为．
的极值之和为
．
22．Ａ
（Ⅰ）证明：连结．
因为与相切于点，所以．
因为是的弦的中点，所以．
于是．
由圆心在的内部，可知四边形的对角互补，所以四点共圆．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得四点共圆，所以．
由（Ⅰ）得．
由圆心在的内部，可知．
所以．
22．Ｂ
解：以极点为原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．
（Ⅰ），，由得．
所以．
即为的直角坐标方程．
同理为的直角坐标方程．
（Ⅱ）由解得．
即，交于点和．过交点的直线的直角坐标方程为．
22．Ｃ解：
（Ⅰ）令，则
．．．．．．．．．．．．．．．3分
作出函数的图象，它与直线的交点为和．
所以的解集为．
（Ⅱ）由函数的图像可知，当时，取得最小值．
(在此卷上答题无效)
绝密★启用前
2007年普通高等学招生全国统一考试（安徽卷）
数 学（文科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：
1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答
题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。
2.答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写。在试题卷上作答无效。
4.考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。
参考公式：
如果事件、互斥，那么 球的表面积公式

如果事件、相互独立，那么 其中表示球的半径
球的体积公式
1+2…+n=
…+ 其中表示球的半径
…+
第Ⅰ卷（选择题共55分）
一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）若，则＝
（A） （B） （C） (D)
（2）椭圆的离心率为
（A） （B） （C） （D）
（3）等差数列的前项和为若
（A）12 （B）10 （C）8 （D）6
(4)下列函数中,反函数是其自身的函数为
(A) (B)
(C) (D)
(5)若圆的圆心到直线的距离为,则a的值为
(A)-2或2 (B) (C)2或0 (D)-2或0
(6)设均为直线,其中在平面的
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
(7)图中的图象所表示的函数的解析式为
(A) (0≤x≤2)
(B) (0≤x≤2)
(C) (0≤x≤2)
(D) (0≤x≤2)
(8)设a＞1,且,则的大小关系为
(A) n＞m＞p (B) m＞p＞n (C) m＞n＞p (D) p＞m＞n
(9)如果点P在平面区域上,点O在曲线最小值为
(A) (B) (C) (D)
(10)把边长为的正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角, 折成直二面角后,在A,B,C,D四点所在的球面上,B与D两点之间的球面距离为
(A) (B) (C) (D)
(11)定义在R上的函数f (x)既是奇函数, 又是周期函数, T是它的一个正周期.若将方程f (x)=0在闭区[-T,T]上的根的个数记为n,则n可能为
(A)0 (B)1 (C)3 (D)5
(在此卷上答题无效)
绝密★启用前
2007年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)
数 学(理科)
第Ⅱ卷(非选择题 共95分)
注意事项:
请用0.5毫米黑色水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上书写作答无效.
二、填空题:本大共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在答题卡的相应位置.
(12)已知,则( 的值等于 .
（13）在四面体O-ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，则= （用a，b，c表示）.
(14)在正方体上任意选择两条棱, 则这两条棱相互平行的概率为 .
(15)函数的图象为C, 如下结论中正确的是 (写出所有正确结论的编号).
①图象C关于直线对称;
②图象C关于点对称;
③函数)内是增函数;
④由的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.
三、解答题：本大题共6小题，共79分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（16）（本小题满分10分）
解不等式＞0.
(17) （本小题满分14分）
如图，在六面体ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形，DD1⊥平面A1B1C1D1，DD1⊥平面ABCD，DD1＝2.
（Ⅰ）求证：A1C1与AC共面，B1D1与BD共面；
（Ⅱ）求证：平面A1ACC1⊥平面B1BDD1；
（Ⅲ）求二面角A－BB1－C的大小（用反三角函数值表示）
（18）（本小题满分14分）
　　　设F是抛物线G:x2=4y的焦点.
　　　（Ⅰ）过点P（0，-4）作抛物线G的切线，求切线方程：
（Ⅱ）设A、B为势物线G上异于原点的两点，且满足,延长AF、BF分别交抛物线G于点C,D，求四边形ABCD面积的最小值.
(19)(本小题满分13分)
在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象.一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.
(Ⅰ)求笼内恰好剩下1只果蝇的概率；
　（Ⅱ）求笼内至少剩下5只果蝇的概率.
(20)(本小题满分14分)
设函数
　　f（x）=-cos2x-4tsincos+4t3+t2-3t+4,x∈R,
其中≤1，将f(x)的最小值记为g(t).
(Ⅰ)求g(t)的表达式；
(Ⅱ)讨论g(t)在区间（-1,1）内的单调性并求极值.
（21）（本小题满分14分）
　　　某国采用养老储备金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1,以后第年交纳的数目均比上一年增加d(d>0),因此，历年所交纳的储备金数目a1,a2,…是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利，这就是说，如果固定年利率为r(r>0)，那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为n(1+r)n-1，第二年所交纳的储备金就变为a2(1+r)n-2,……，以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额.
　（Ⅰ）写出Tn与Tn-1（n≥2）的递推关系式；
　（Ⅱ）求证：Tn=An+Bn，其中是一个等比数列，是一个等差数列.
2007年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）
数学（文史）参考答案
一、选择题：本题考查基本知识的基本运算．每小题5分，满分55分．
1．Ｄ 2．Ａ 3．Ｃ 4．Ｄ 5．Ｃ 6．Ａ
7．Ｂ 8．Ｂ 9．Ａ 10．Ｃ 11．Ｄ
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．
12． 13． 14． 15．①②③
三、解答题
16．本小题主要考查三角函数的基本性质，含绝对值不等式的解法，考查基本运算能力．本小题满分10分．
解：因为对任意，，所以原不等式等价于．
即，，，故解为．
所以原不等式的解集为．
17．本小题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力．本小题满分14分．
解法1（向量法）：
以为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图，
则有．
（Ⅰ）证明：．
．
与平行，与平行，
于是与共面，与共面．
（Ⅱ）证明：，，
，．
与是平面内的两条相交直线．
平面．
又平面过．
平面平面．
（Ⅲ）解：．
设为平面的法向量，
，．
于是，取，则，．
设为平面的法向量，
，．
于是，取，则，．
．
二面角的大小为．
解法2（综合法）：
（Ⅰ）证明：平面，平面．
，，平面平面．
于是，．
设分别为的中点，连结，
有．
，
于是．
由，得，
故，与共面．
过点作平面于点，
则，连结，
于是，，．
，．
，．
所以点在上，故与共面．
（Ⅱ）证明：平面，，
又（正方形的对角线互相垂直），
与是平面内的两条相交直线，
平面．
又平面过，平面平面．
（Ⅲ）解：直线是直线在平面上的射影，，
根据三垂线定理，有．
过点在平面内作于，连结，
则平面，
于是，
所以，是二面角的一个平面角．
根据勾股定理，有．
，有，，，．
，，
二面角的大小为．
18．本小题主要考查抛物线的方程与性质，抛物线的切点与焦点，向量的数量积，直线与抛物线的位置关系，平均不等式等基础知识，考查综合分析问题、解决问题的能力．本小题满分14分．
解：（I）设切点．由，知抛物线在点处的切线斜率为，故所求切线方程为．
即．
因为点在切线上．
所以，，．
所求切线方程为．
（II）设，．
由题意知，直线的斜率存在，由对称性，不妨设．
因直线过焦点，所以直线的方程为．
点的坐标满足方程组
得，
由根与系数的关系知
．
因为，所以的斜率为，从而的方程为．
同理可求得．
．
当时，等号成立．所以，四边形面积的最小值为．
19．本小题主要考查排列、组合知识与等可能事件、互斥事件概率的计算，运用概率知识分析问题及解决实际问题的能力．本小题满分13分．
解：以表示恰剩下只果蝇的事件．
以表示至少剩下只果蝇的事件．
可以有多种不同的计算的方法．
方法1（组合模式）：当事件发生时，第只飞出的蝇子是苍蝇，且在前只飞出的蝇子中有1只是苍蝇，所以．
方法2（排列模式）：当事件发生时，共飞走只蝇子，其中第只飞出的蝇子是苍蝇，哪一只？有两种不同可能．在前只飞出的蝇子中有只是果蝇，有种不同的选择可能，还需考虑这只蝇子的排列顺序．所以．
由上式立得；
．
20．本小题主要考查同角三角函数的基本关系，倍角的正弦公式，正弦函数的值域，多项式函数的导数，函数的单调性，考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间，极值与最值等问题的综合能力．本小题满分14分．
解：（I）我们有


．
由于，，故当时，达到其最小值，即
．
（II）我们有．
列表如下：
极大值
极小值
由此可见，在区间和单调增加，在区间单调减小，极小值为，极大值为．
21．本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取信息、建立数学模型的能力、考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力．本小题满分14分．
解：（Ⅰ）我们有．
（Ⅱ），对反复使用上述关系式，得
， ①
在①式两端同乘，得
②
②①，得
．
即．
如果记，，
则．
其中是以为首项，以为公比的等比数列；是以为首项，为公差的等差数列．
(在此卷上答题无效)
绝密★启用前
2007年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)
数 学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：
答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。
答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写。在试题卷上作答无效。
考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式
P(A+B)=P(A)+P(B) S=4R2
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
P(A·B)=P(A)+P(B) 球的体积公式
1+2+…+n= V=
12+22+…+n2= 其中R表示球的半径
13+23+…+n3=
第Ⅰ卷（选择题共55分）
一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)下列函数中，反函数是其自身的函数为
(A) （B）
(C) (D)
(2)设l,m,n均为直线，其中m,n在平面内，“l”是lm且“ln”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
(C)充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
(3)若对任意R,不等式≥ax恒成立，则实数a的取值范围是
(A)a＜-1 (B)≤1 (C) ＜1 （D）a≥1
（4）若a为实数，＝-i，则a等于
（A） （B）- （C）2 （D）-2
（5）若，，则的元素个数为
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
（6）函数的图象为C
①图象关于直线对称;
②函数在区间内是增函数;
③由的图象向右平移个单位长度可以得到图象.
以上三个论断中，正确的论断的个数是
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
（7）如果点在平面区域上，点在曲线上，那么 的最小值为
（A） （B） （C） （D）
（8）半径为1的球面上的四点是正四面体的顶点，则与两点间的球面距离为
（A） （B） （C）（D）
（9）如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△是等边三角形，则双曲线的离心率为
（A） （B） （C） （D）
（10）以表示标准正态总体在区间（）内取值的概率，若随机变量服从正态分布，则概率等于
（A）- （B）
（C） （D）
（11）定义在R上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期.若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为
（A）0 （B）1 （C）3 （D）5
(在此卷上答题无效)
绝密★启用前
2007年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)
数学(理科)
第Ⅱ卷(非选择题 共95分)
注意事项:
请用0.5毫米黑色水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上书写作答无效.
二、填空题:本大共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在答题卡的相应位置.
(12)若(2x3+)n的展开式中含有常数项,则最小的正整数n等于 .（13）在四面体O-ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，则= （用a，b，c表示）.
（14）如图，抛物线y=-x2+1与x轴的正半轴交于点A，将线段OA的n等分点从左至右依次记为P1,P2,…,Pn-1,过这些分点分别作x轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q1，Q2，…，Qn-1，从而得到n-1个直角三角形△Q1OP1, △Q2P1P2,…, △Qn-1Pn-1Pn-1,当n→∞时，这些三角形的面积之和的极限为 .
(15)在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是 （写出所有正确结论的编号）.
①矩形；
②不是矩形的平行四边形；
③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；
④每个面都是等边三角形的四面体；
⑤每个面都是直角三角形的四面体.
三、解答题：本大题共6小题，共79分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（16）（本小题满分12分）
已知0＜＜的最小正周期，a=（tan（+），-1），b=（cos，2），a·b=m，求.
(17) (本小题满分14分)
如图，在六面体ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形，DD1⊥平面A1B1C1D1，DD1⊥平面ABCD，DD1＝2.
（Ⅰ）求证：A1C1与AC共面，B1D1与BD共面；
（Ⅱ）求证：平面A1ACC1⊥平面B1BDD1；
（Ⅲ）求二面角A－BB1－C的大小（用反三角函数值表示）.
(18) (本小题满分14分)
设a≥0，f (x)=x－1－ln2 x＋2a ln x（x>0）.
（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在（0.＋∞）内的单调性并求极值；
（Ⅱ）求证：当x>1时，恒有x>ln2x－2a ln x＋1.
(19) (本小题满分12分)
如图，曲线G的方程为y2=2x（y≥0）.以原点为圆心，以t（t >0）为半径的圆分别与曲线G和y轴的正半轴相交于点A与点B.直线AB与x轴相交于点C.
（Ⅰ）求点A的横坐标a与点C的横坐标c的关系式；
（Ⅱ）设曲线G上点D的横坐标为a＋2，求证：
直线CD的斜率为定值.
(20) (本小题满分13分)
在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.以ξ表示笼内还剩下的果蝇的只数.
（Ⅰ）写出ξ的分布列（不要求写出计算过程）；
（Ⅱ）求数学期望Eξ；
（Ⅲ）求概率P（ξ≥Eξ）.
(21) (本小题满分14分)
某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d>0），因此，历年所交纳的储务金数目a1，a2，…是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定年利率为r（r>0），那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1（1＋r）n－1，第二年所交纳的储备金就变为a2（1＋r）n－2，……，以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额.
（Ⅰ）写出Tn与Tn－1（n≥2）的递推关系式；
（Ⅱ）求证：Tn＝An＋Bn，其中｛An｝是一个等比数列，｛Bn｝是一个等差数列.
2007年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）
数学（理科）试题参考答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分55分．
1．Ｄ 2．Ａ 3．Ｂ 4．Ｂ 5．Ｃ
6．Ｃ 7．Ａ 8．Ｃ 9．Ｄ 10．Ｂ 11．Ｄ
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．
12．7 13．
14． 15．①③④⑤
三、解答题
16．本小题主要考查周期函数、平面向量数量积与三角函数基本关系式，考查运算能力和推理能力．本小题满分12分．
解：因为为的最小正周期，故．
因，又．
故．
由于，所以
．
17．本小题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力．本小题满分14分．
解法1（向量法）：
以为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图，
则有．
（Ⅰ）证明：
．
．
与平行，与平行，
于是与共面，与共面．
（Ⅱ）证明：，
，
，．
与是平面内的两条相交直线．
平面．
又平面过．
平面平面．
（Ⅲ）解：．
设为平面的法向量，
，．
于是，取，则，．
设为平面的法向量，
，．
于是，取，则，．
．
二面角的大小为．
解法2（综合法）：
（Ⅰ）证明：平面，平面．
，，平面平面．
于是，．
设分别为的中点，连结，
有．
，
于是．
由，得，
故，与共面．
过点作平面于点，
则，连结，
于是，，．
，．
，．
所以点在上，故与共面．
（Ⅱ）证明：平面，，
又（正方形的对角线互相垂直），
与是平面内的两条相交直线，
平面．
又平面过，平面平面．
（Ⅲ）解：直线是直线在平面上的射影，，
根据三垂线定理，有．
过点在平面内作于，连结，
则平面，
于是，
所以，是二面角的一个平面角．
根据勾股定理，有．
，有，，，．
，，
二面角的大小为．
18．本小题主要考查函数导数的概念与计算，利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法，考查综合运用有关知识解决问题的能力．本小题满分14分．
（Ⅰ）解：根据求导法则有，
故，
于是，
列表如下：
2
0
极小值
故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值．
（Ⅱ）证明：由知，的极小值．
于是由上表知，对一切，恒有．
从而当时，恒有，故在内单调增加．
所以当时，，即．
故当时，恒有．
19．本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标系中的两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系，考查运算能力与思维能力、综合分析问题的能力．本小题满分12分．
解：（Ⅰ）由题意知，．
因为，所以．
由于，故有．　（1）
由点的坐标知，
直线的方程为．
又因点在直线上，故有，
将（1）代入上式，得，
解得．
（Ⅱ）因为，所以直线的斜率为
．
所以直线的斜率为定值．
20．本小题主要考查等可能场合下的事件概率的计算、离散型随机变量的分布列、数学期望的概念及其计算，考查分析问题及解决实际问题的能力．本小题满分13分．
解：（Ⅰ）的分布列为：
0
1
2
3
4
5
6
（Ⅱ）数学期望为．
（Ⅲ）所求的概率为．
21．本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取信息、建立数学模型的能力、考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力．本小题满分14分．
解：（Ⅰ）我们有．
（Ⅱ），对反复使用上述关系式，得
， ①
在①式两端同乘，得
②
②①，得
．
即．
如果记，，
则．
其中是以为首项，以为公比的等比数列；是以为首项，为公差的等差数列．
2007年普通高等学校招生全国统一考试
（山东卷）文科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项．
1．复数的实部是（ ）
A． B． C．3 D．
2．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
4．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向左平移个单位
5．已知向量，若与垂直，则（ ）
A． B． C． D．4
6．给出下列三个等式：，．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）
A． B． C． D．
7．命题“对任意的”的否定是（ ）
A．不存在 B．存在
C．存在 D．对任意的
8．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介
于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六
组：每一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二
组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组，
成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述
分组方法得到的频率分布直方图，设成绩小于17秒
的学生人数占全班人数的百分比为，成绩大于等于
15秒且小于17秒的学生人数为，则从频率分布直方
图中可以分析出和分别为（ ）
A． B．
C． D．
9．设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为（ ）
A． B． C． D．
10．阅读右边的程序框，若输入的是100，则输出的
变量和的值依次是（ ）
A．2550，2500
B．2550，2550
C．2500，2500
D．2500，2550
11．设函数与的图象的交点为，
则所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
12．设集合，分别从集合和中随机取一个数和，确定平面上的一个点，记“点落在直线上”为事件，若事件的概率最大，则的所有可能值为（ ）
A．3 B．4 C．2和5 D．3和4
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，答案须填在题中横线上．
13．设函数，则 ．
14．函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为 ．
15．当时，不等式恒成立，则的取值范围是 ．
16．与直线和曲线都相切的半径最小的圆的标准方程是 ．
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
在中，角的对边分别为．
（1）求；
（2）若，且，求．
18．（本小题满分12分）
设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和．已知，且构成等差数列．
（1）求数列的等差数列．
（2）令求数列的前项和．
19．（本小题满分12分）
本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？
20．（本小题满分12分）
如图，在直四棱柱中，
已知，．
（1）求证：；
（2）设是上一点，试确定的位置，使平面
，并说明理由．
21．（本小题满分12分）
设函数，其中．
证明：当时，函数没有极值点；当时，函数有且只有一个极值点，并求出极值．
22．（本小题满分14分）
已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆相交于两点（不是左右顶点），且以 为直径的图过椭圆的右顶点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
2007年普通高等学校招生全国统一考试
（山东文卷）答案
一、选择题
1．B 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B
7．C 8．A 9．B 10．A 11．B 12．D
二、填空题
13． 14． 15． 16．
三、解答题
17．解：（1）
又
解得．
，是锐角．
．
（2），
，
．
又
．
．
．
．
18．解：（1）由已知得
解得．
设数列的公比为，由，可得．
又，可知，
即，
解得．
由题意得．
．
故数列的通项为．
（2）由于
由（1）得

又
是等差数列．


故．
19．解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为分钟和分钟，总收益为元，由题意得
目标函数为．
二元一次不等式组等价于
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域．
如图：
作直线，
即．
平移直线，从图中可知，当直线过点时，目标函数取得最大值．
联立解得．
点的坐标为．
（元）
答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．
20．（1）证明：在直四棱柱中，
连结，
，
四边形是正方形．
．
又，，
平面，
平面，
．
平面，
且，
平面，
又平面，
．
（2）连结，连结，
设，
，连结，
平面平面，
要使平面，
须使，
又是的中点．
是的中点．
又易知，
．
即是的中点．
综上所述，当是的中点时，可使平面．
21．证明：因为，所以的定义域为．
．
当时，如果在上单调递增；
如果在上单调递减．
所以当，函数没有极值点．
当时，

令，
将（舍去），，
当时，随的变化情况如下表：
0
极小值
从上表可看出，
函数有且只有一个极小值点，极小值为．
当时，随的变化情况如下表：
0
极大值
从上表可看出，
函数有且只有一个极大值点，极大值为．
综上所述，
当时，函数没有极值点；
当时，
若时，函数有且只有一个极小值点，极小值为．
若时，函数有且只有一个极大值点，极大值为．
22．解：（1）由题意设椭圆的标准方程为，
由已知得：，

椭圆的标准方程为．
（2）设．
联立
得 ，则

又．
因为以为直径的圆过椭圆的右顶点，
，即．
．
．
．
解得：，且均满足．
当时，的方程，直线过点，与已知矛盾；
当时，的方程为，直线过定点．
所以，直线过定点，定点坐标为．
2007年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项．
（1）若（i为虚数单位），则使的值可能是（ ）
A． B． C． D．
（2）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
（3）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
（4）设，则使函数的定义域为且为奇函数的所有值为（ ）
A．， B．， C．， D．，，
（5）函数的最小正周期和最大值分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
（6）给出下列三个等式：，， ，下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）
A． B． C． D．
（7）命题“对任意的，”的否定是（ ）
A．不存在，
B．存在，
C．存在，
D．对任意的，
（8）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为，则从频率分布直方图中可分析出和分别为（ ）
A．0.9，35 B．0.9，45
C．0.1，35 D．0.1，45
（9）下列各小题中，是的充要条件的是（ ）
①：或；：有两个不同的零点．
②；是偶函数．
③；．
④；．
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
（10）阅读右边的程序框图，若输入的是100，则输出的变量和的值依次是（ ）
A．2500，2500 B．2550，2550
C．2500，2550 D．2550，2500`
（11）在直角中，是斜边上的高，则下列等式不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
（12）位于坐标原点的一个质点按下列规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是，质点移动五次后位`于点的概率是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案须填在题中横线上．
（13）设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为 ．
（14）设是不等式组表示的平面区域，则中的点到直线距离的最大值是 ．
（15）与直线和曲线都相切的半径最小的圆的标准方程是 ．
（16）函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分）
设数列满足，．
（Ⅰ）求数列的通项；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
（18）（本小题满分12分）
设和分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量表示方程实根的个数（重根按一个计）．
（Ⅰ）求方程有实根的概率；
（Ⅱ）求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程有实根的概率．
（19）（本小题满分12分）
如图，在直四棱柱中，已知，，．
（Ⅰ）设是的中点，求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
（20）（本小题满分12分）
如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？
（21）（本小题满分12分）
已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
（22）（本小题满分14分）
设函数，其中．
（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；
（Ⅱ）求函数的极值点；
（Ⅲ）证明对任意的正整数，不等式都成立．
2007年高考山东卷 理科试题全解全析

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。
1 若（为虚数单位），则的值可能是
（A） （B） （C） （D）
【标准答案】:D
2 已知集合，，则
（A） （B） （C） （D）
【标准答案】:B
3下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是
（A） （B） （C） （D）
【标准答案】:D
4 设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有值为
（A） （B） （C） （D）
【标准答案】:A
5 函数的最小正周期和最大值分别为
（A） （B） （C） （D）
【标准答案】:A
6 给出下列三个等式：，，。下列函数中不满足其中任何一个等式的是
（A） （B） （C） （D）
【标准答案】:B
7 命题“对任意的，”的否定是
（A）不存在， （B）存在，
（C）存在， （D）对任意的，
【标准答案】:C
8 某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组，成绩大于等于18秒且小于19秒。右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图。设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为，则从频率分布直方图中可分析出和分别为
（A） （B） （C） （D）

【标准答案】: A.
9 下列各小题中，是的充要条件的是
（1）或；有两个不同的零点。
（2） 是偶函数。
（3） 。
（4） 。
（A） （B） （C） （D）
【标准答案】: D.
10 阅读右边的程序框图，若输入的是100，则输出的变量S和T的值依次是
（A） （B） （C） （D）
【标准答案】:D.
11 在直角中，是斜边上的高，则下列等式不成立的是
（A） （B）
（C） （D）
【标准答案】:C.
12 位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P 移动5次后位于点的概率为
（A） （B） （C） （D）
【标准答案】:B.
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，答案须填在题中横线上。
13．13 设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为________.
【标准答案】:
14．设是不等式组表示的平面区域,则中的点到直线距离的最大值是_______.
【标准答案】:
15．与直线和曲线都相切的半径最小的圆的标准方程是_________.
【标准答案】:.
16．函数的图象恒过定点,若点在直线上,其中,则的最小值为_______.
【标准答案】: 8。
三．解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(17)（本小题满分12分）设数列满足
(I)求数列的通项;
(II)设求数列的前项和.
【标准答案】: (I)
验证时也满足上式，
(II) ，


，

18（本小题满分12分）设分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,用随机变量表示方程实根的个数(重根按一个计).
(I)求方程 有实根的概率;
(II) 求的分布列和数学期望;
(III)求在先后两次出现的点数中有5的条件下,方程 有实根的概率.
【标准答案】:（I）基本事件总数为，
若使方程有实根，则，即。
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，,
目标事件个数为
因此方程 有实根的概率为
(II)由题意知，，则
，，
故的分布列为
0
1
2
P
的数学期望
(III)记“先后两次出现的点数中有5”为事件M，“方程 有实根” 为事件N，则，，
.
19（本小题满分12分）如图,在直四棱柱中,已知
,,.
(I)设是的中点,求证: ;
(II)求二面角的余弦值.

【标准答案】:(I)连结，则四边形为正方形，
，且，
为平行四边形，
.
(II) 以D为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，不妨设，则
设为平面的一个法向量，
由得，
取，则.
设为平面的一个法向量，
由得，
取,则.
由于该二面角为锐角，
所以所求的二面角的余弦值为
(20)（本小题满分12分）如图,甲船以每小时海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于处时,乙船位于甲船的北偏西的方向处,此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达处时,乙船航行到甲船的北偏西方向的处,此时两船相距海里,问乙船每小时航行多少海里?
【标准答案】解如图，连结，，，
是等边三角形，，
在中，由余弦定理得
，
因此乙船的速度的大小为
答：乙船每小时航行海里.
(21)（本小题满分12分）已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在轴上,椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3,最小值为1.
(I)求椭圆C的标准方程;
(II)若直线与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证:直线过定点,并求出该定点的坐标.
【标准答案】(I)由题意设椭圆的标准方程为
，
(II)设，由得
，
，.
以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，
，，
，
，解得
，且满足.
当时，，直线过定点与已知矛盾；
当时，，直线过定点
综上可知，直线过定点，定点坐标为
(22)（本小题满分14分）设函数,其中.
(I)当时,判断函数在定义域上的单调性;
(II)求函数的极值点;
(III)证明对任意的正整数,不等式都成立.
【标准答案】(I) 函数的定义域为.
，
令，则在上递增，在上递减，
.
当时，，
在上恒成立.
即当时,函数在定义域上单调递增。
（II）分以下几种情形讨论：
（1）由（I）知当时函数无极值点.
（2）当时，，
时，
时，
时，函数在上无极值点。
（3）当时，解得两个不同解，.
当时，，，
此时在上有唯一的极小值点.
当时，
在都大于0 ，在上小于0 ，
此时有一个极大值点和一个极小值点.
综上可知，时，在上有唯一的极小值点；
时，有一个极大值点和一个极小值点；
时，函数在上无极值点。
（III） 当时，
令则
在上恒正，
在上单调递增，当时，恒有.
即当时，有，
对任意正整数，取得
2007年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)
数学(文科)
本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时l20分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点
涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色宁迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指
定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号(或题组号)对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高．
如果事件、互斥，那么．
用最小二乘法求线性同归方程系数公式
一、选择题：本大题共l0小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合M={x|}，N={x|}，则M∩N=
A．{x|-1≤x＜0} B．{x |x>1}
C．{x|-1＜x＜0} D．{x |x≥-1}
2．若复数是纯虚数(是虚数单位，是实数)，则
A．-2 B． C. D．2
3．若函数()，则函数在其定义域上是
A．单调递减的偶函数 B.单调递减的奇函数
C．单凋递增的偶函数 D.单涮递增的奇函数
4．若向量、满足||=||=1，与的夹角为，则+
A． B． C. D．2
5．客车从甲地以60km／h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以
80km／h的速度匀速行驶l小时到达丙地。下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达 丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是
6若l、m、n是互不相同的空间直线，n、口是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是
A．若，则 B．若，则
C. 若，则 D．若，则
7．图l是某县参加2007年高考的
学生身高条形统计图，从左到右
的各条形表示的学生人数依次记
为、、…、(如
表示身高(单位：)在[150，
155)内的学生人数)．图2是统计
图l中身高在一定范围内学生人
数的一个算法流程图．现要统计
身高在160～180(含
160，不含180)的学生人
数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是
A． B． C． D．
8．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是
A． B． C． D．
9．已知简谐运动的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期和初相分别为
A． B． C． D．
10．图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图公司在年初分配给A、
B、C、D四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A、B、C、D
四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件，但调整只能在
相邻维修点之间进行．那么要完成上述调整，最少的调动件次(件
配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为)为
A．18 B．17 C．16 D．15
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．
11．在平面直角坐标系中，已知抛物线关于轴对称，顶点在原点，且过点P(2，4)，则该抛物线的方程是 ．
12．函数的单调递增区间是 ．
13．已知数列{}的前项和，则其通项 ；若它的第项满足，则 ．
14．(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，直线的方程为，则点到直线的距离为 ．
15．(几何证明选讲选做题)如图4所示，圆O的直径AB=6，C为圆周
上一点，过作圆的切线，过A作的垂线AD，垂足为D，
则∠DAC= ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．(本小题满分14分)
已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(，0)．
(1)若，求的值；
(2)若，求sin∠A的值．
17．(本小题满分12分)
已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主
视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视
图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．
(1)求该几何体的体积V；
(2)求该几何体的侧面积S
18(本小题满分12分)
下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量(吨)与相应的生
产能耗 (吨标准煤)的几组对照数据









(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；
(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性
同归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?
(参考数值：)
19(本小题满分14分)
在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限、半径为2／2的圆与直线相切于
坐标原点．椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为．
(1)求圆的方程；
(2)试探究圆上是否存在异于原点的点，使到椭圆右焦点F的距离等于线段的长．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
20．(本小题满分14分)
已知函数，、是方程的两个根()，是的导数
设，，.
(1)求、的值；
(2)已知对任意的正整数有,记,.求数列{}的
前项和．
21．(本小题满分l4分)
已知是实数，函数．如果函数在区间上有
零点，求的取值范围．
2007年普通高考广东(文科数学)试卷(A卷)参考答案
一选择题: CDBBC DBAAC
二填空题: 11. 12. 13. 2n-10 ; 8 14. 2 15.
三解答题:
16.解: (1)
由 得
(2)

17解: 由已知可得该几何体是一个底面为矩形,高为4,顶点在底面的射影是矩形中心的
四棱锥V-ABCD ;
(1)
(2) 该四棱锥有两个侧面VAD. VBC是全等的等腰三角形,且BC边上的高为
, 另两个侧面VAB. VCD也是全等的等腰三角形,
AB边上的高为
因此
18解: (1) 散点图略
(2)
;
所求的回归方程为
(3) ,
预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低(吨)
19解:(1) 设圆C 的圆心为 (m, n)
则 解得
所求的圆的方程为
(2) 由已知可得
椭圆的方程为 , 右焦点为 F( 4, 0) ;
假设存在Q点使,
整理得 代入 得:
,
因此不存在符合题意的Q点.
20解:(1) 由 得

(2)

又
数列是一个首项为 ,公比为2的等比数列;

21解: 若 , ,显然在上没有零点, 所以
令 得
当 时, 恰有一个零点在上;
当 即 时, 也恰有一个零点在上;
当 在上有两个零点时, 则
或
解得或
因此的取值范围是 或 ;
绝密★启用前 试卷类型：B
2007年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)
数学(理科)
本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时l20分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点
涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色宁迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指
定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号(或题组号)对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高．
如果事件、互斥，那么．
如果事件、相互独立，那么．
用最小二乘法求线性回归方程系数公式 ，.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数的定义域为，的定义域为，则
A．{x |x>-1} B．{x|x＜1} C．{x|-1＜x＜1} D．
2．若复数是纯虚数(是虚数单位，是实数)，则
A．-2 B． C. D．2
3．若函数()，则是
A．最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的奇函数
C．最小正周期为的偶函数 D. 最小正周期为的偶函数
4．客车从甲地以的速度匀速行驶小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以的速度匀速行驶小时到达丙地。下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程与时间之间关系的图象中，正确的是
5．已知数列{}的前项和，第项满足，则
A． B． C. D．
6．图l是某县参加2007年高考的
学生身高条形统计图，从左到右
的各条形表示的学生人数依次记
为、、…、(如
表示身高(单位：)在[150，
155)内的学生人数)．图2是统计
图l中身高在一定范围内学生人
数的一个算法流程图．现要统计
身高在160～180(含
160，不含180)的学生人
数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是
A． B． C． D．
7．图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图,公司在年初分配给A、
B、C、D四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A、B、C、D
四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件，但调整只能在
相邻维修点之间进行．那么要完成上述调整，最少的调动件次(件
配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为)为
A．18 B．17 C．16 D．15
8．设是至少含有两个元素的集合.在上定义了一个二元运算“”(即对任意的,对于有序元素对,在中有唯一确定的元素与之对应).若对于,有,则对任意的,下列等式中不恒成立的是
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13～15题是选做题，考生只能选做两题，三题全答的，只计算前两题得分．
9.甲、乙两个袋中均有红、白两种颜色的小球,这些小球除颜色外完全相同,其中甲袋装有4个红球、2个白球, 乙袋装有1个红球、5个白球.现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球,则取出的两球都是红球的概率为 ．(答案用分数表示)
10. 若向量、满足||=||=1，与的夹角为，则 ．
11．在平面直角坐标系中，有一定点,若线段的垂直平分线过抛物线则该抛物线的方程是 ．
12．如果一个凸多面体是棱锥,那么这个凸多面体的所有顶点所确定的
直线共有 条.这些直线中共有对异面直线,则
(答案用数字或的解析式表示)
13．(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(参数).圆的参数方程为(参数),则圆的圆心坐标为
圆心到直线的距离为
14．(不等式选讲选做题)设函数,则 若,则的取值范围是
15．(几何证明选讲选做题)如图5所示，圆的直径，为
圆周上一点， 过作圆的切线，过作的垂线，垂
足为，则 ,线段的长为
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．(本小题满分12分)
已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(，0)．
(1) 若，求sin∠A的值；
(2)若∠A是钝角, 求的取值范围．
17．(本小题满分12分)
下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量(吨)与相应的生
产能耗 (吨标准煤)的几组对照数据









(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；
(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性
回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?
(参考数值：)
18． (本小题满分14分)
在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限、半径为的圆与直线相切于
坐标原点．椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为．
(1)求圆的方程；
(2)试探究圆上是否存在异于原点的点，使到椭圆右焦点的距离等于线段的长．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
19．(本小题满分14分)
如图6所示,等腰的底边,高,点是线段上异于、的
动点.点在边上,且.现沿将
折起到的位置，使。记,
表示四棱锥的体积
(1)求的表达式；
(2)当为何值时，取得最大值？
(3) 当取得最大值时，求异面直线与
所成角的余弦值.
20．(本小题满分14分)
已知是实数，函数．如果函数在区间上有
零点，求的取值范围．
21．(本小题满分l4分)
已知函数，、是方程的两个根()，是的导数
设，，.
(1)求、的值；
(2)已知对任意的正整数有,记,.求数列{}的前项和．
2007年普通高等学校全国招生统一考试
(广东卷)数学(理科B卷)参考答案（参考）
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
D
B
B
C
B
A
二、填空题
9.
10.
11.x= -
12.，12，
13.(0，2)，2
14.[ -1，1]
15.30°，3
三、解答题
16. 解：(1) ,
当c=5时，
进而
(2)若A为钝角，则
AB﹒AC= -3(c-3)+( -4)2<0
解得c>
显然此时有AB和AC不共线，故当A为钝角时，c的取值范围为[，+)
17. 解： (1)如下图
(2)=32.5+43+54+64.5=66.5
==4.5
==3.5
=+++=86
故线性回归方程为y=0.7x+0.35
(3)根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7100+0.35=70.35
故耗能减少了90-70.35=19.65(吨)
18. 解： (1)设圆心坐标为(m，n)（m<0，n>0）,则该圆的方程为(x-m)2+(y-n)2=8已知该圆与直线y=x相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则
=2
即=4 ①
又圆与直线切于原点，将点(0，0)代入得
m2+n2=8 ②
联立方程①和②组成方程组解得
故圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=8
(2)=5，∴a2=25，则椭圆的方程为 + =1
其焦距c==4，右焦点为(4，0)，那么=4。
要探求是否存在异于原点的点Q，使得该点到右焦点F的距离等于的长度4，我们可以转化为探求以右焦点F为顶点，半径为4的圆(x─4)2+y2=8与(1)所求的圆的交点数。
通过联立两圆的方程解得x=，y=
即存在异于原点的点Q(，)，使得该点到右焦点F的距离等于的长。
19. 解：(1)已知EFAB,那么翻折后，显然有PEEF,又PEAE,从而PE面ABC,即PE为四棱锥的高。
四棱锥的底面积S=-
而△BEF与△BDC相似，那么
===
则S=-=（1-）63=9（1-）
故四棱锥的体积V(x)=SH=9（1-）=3（1-）(0(2) V’(x)= 3-x2(0令V’(x)=0得x=6
当x∈(0，6)时，V’(x)>0,V(x)单调递增；x∈(6，3)时V’(x)><0,V(x)单调递减；因此x=6时， V(x)取得最大值V(x)max= V(6)=12
(3)
20. 解：当a=0时，函数为f?(x)=2x -3，其零点x=不在区间[-1，1]上。
当a≠0时，函数f?(x) 在区间[-1，1]分为两种情况：
①函数在区间[─1，1]上只有一个零点，此时

或
解得1≤a≤5或a=
②函数在区间[─1，1]上有两个零点，此时

或
解得a5或a<
综上所述，如果函数在区间[─1，1]上有零点，那么实数a的取值范围为
(-∞, ]∪[1, +∞)
21. 解： (1)解方程x2+x-1=0得x=
由>β知=,β=
(2) f’?(x)=2x+1
= - =
下面我们用数学归纳法来证明该结论成立
①当n=1时，a1=1<=成立，
②假设n=k(k≥1, k∈N*)时，结论也成立，即ak<成立，
③那么当n=k+1时，
==-+<-+=+=

这就是说，当n=k+1时，结论也成立，故对于任意的正整数n，都有an<
(3)
= = =
=()2
由题意知an>,那么有an>β，于是对上式两边取对数得
ln=ln()2=2 ln()
即数列{bn}为首项为b1= ln()=2ln( )，公比为2的等比数列。
故其前n项和
Sn=2ln( ) =2ln( )(2n -1)
选择题（本题8小题，每题5分，满分40分）
1．已知函数的定义域为M，g(x)=的定义域为N，则M∩N=
（A） （B） （C） （D）
答案：C；
2．若复数（1+bi）(2+i)是纯虚数（i是虚数单位，b为实数），则b=
(A) -2 (B) - (C) (D) 2
答案：B；
解析：（1+bi）(2+i)=（2-b）+(2b+1)i，故2b+1=0，故选B；
3．若函数，则f(x)是
（A）最小正周期为的奇函数； （B）最小正周期为的奇函数；
（C）最小正周期为2的偶函数； （D）最小正周期为的偶函数；
答案：D；
4．客车从甲地以60km/h的速度行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间的关系图象中，正确的是
答案：C；
解析：
5．已知数列｛｝的前n项和，第k项满足５＜＜８，则k=
（A）9 （B）8 （C）7 （D）6
答案：B；
解析：此数列为等差数列，，由5<2k-10<8得到k=8。
6．图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形图表示学生人数依次记为A1、A2、…A10（如A2表示身高（单位：cm）在[150，155内的人数]。图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图。现要统计身高在160~180cm（含160cm，不含180cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是
（A）i<6 (B) i<7 (C) i<8 (D) i<9
答案：C；
解析：S=；
7．图３是某汽车维修公司的维修点分布图，公司在年初分配给Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个维修点的某种配件各５０件，在使用前发现需将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个维修点的这批配件分别调整为４０、４５、５４、６１件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么完成上述调整，最少的调动件次（ｎ个配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为ｎ）为
　（Ａ）１５　　　（Ｂ）１６　　　　（Ｃ）１７　　　（Ｄ）１８
答案：B；
8．设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a,b∈S,对于有序元素对(a,b)，在S中有唯一确定的元素a*b与之对应）。若对于任意的a,b∈S,有a*( b * a)=b，则对任意的a,b∈S,下列等式中不恒成立的是
（A）( a * b) * a =a (B) [ a*( b * a)] * ( a*b)=a
（B）b*( b * b)=b （C）( a*b) * [ b*( a * b)] =b
答案：A；
填空题（本题7小题，每题５分，满分3０分，其中１3，１５是选做题，考生只能选做两题，三题全答的，只计前两题得分）
9．甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球。现分别从甲、乙两袋中各随机抽取1个球，则取出的两球是红球的概率为______(答案用分数表示)
答案：
解析：；
10．若向量满足，的夹角为60°，则=______；
答案：；
解析：，
11．在直角坐标系xOy中,有一定点A（2，1）。若线段OA的垂直平分线过抛物线的焦点，则该抛物线的准线方程是______;
答案：;
解析：OA的垂直平分线的方程是y-，令y=0得到x=;
12．如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有_____条，这些直线中共有对异面直线，则；f(n)=______(答案用数字或n的解析式表示)
答案：;8;n(n-2)。
解析：;;
13．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为（参数t∈R），圆C的参数方程为（参数），则圆C的圆心坐标为_______，圆心到直线l的距离为______.
答案：（0，2）；.
解析：直线的方程为x+y-6=0，d=;
14．（不等式选讲选做题）设函数则=_____；若，则x的取值范围是________；
答案：6；
15．几何证明选讲选做题］如图所示，圆Ｏ的直径为６，Ｃ为圆周上一点。ＢＣ＝３，过Ｃ作圆的切线ｌ，过Ａ作ｌ的垂线ＡＤ，垂足为Ｄ，则∠ＤＡＣ＝______；线段AE的长为_______。
答案：；3。
解析：根据弦切角等于夹弧所对的圆周角及直角三角形两锐角互余，很容易得到答案； AE=EC=BC=3；
三、解答题
16．（本小题满分１2分）
　已知ABC的三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、Ｃ(c,0)
若c=5，求sin∠A的值；
若∠A为钝角，求c的取值范围；
解析： （1），，若c=5， 则，∴，∴sin∠A＝；
（2）若∠A为钝角，则解得，∴c的取值范围是；
17．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据
ｘ
３
４
５
６
ｙ
２．５
３
４
４．５
请画出上表数据的散点图；
请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出ｙ关于ｘ的线性回归方程；
已知该厂技术改造前１００吨甲产品能耗为９０吨标准煤；试根据（２）求出的线性回归方程，预测生产１００吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？
（3×2．5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）
解析：
略；
方法1（不作要求）：设线性回归方程为，则
∴时，
　取得最小值
即，∴时ｆ（ａ，ｂ）取得最小值；
所以线性回归方程为；
方法2：由系数公式可知，
，所以线性回归方程为；
（３）ｘ＝１００时，，所以预测生产１００吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低１９．６５吨标准煤．
18．（本小题满分14分）
在直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限、半径为2的圆C与直线y=x相切于坐标原点O，椭圆与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10。
（1）求圆C的方程；
（2）试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆的右焦点F的距离等于线段OF的长，若存在求出Q的坐标；若不存在，请说明理由。
解析：（1）圆C：；
（2）由条件可知a=5，椭圆，∴F（4，0），若存在，则F在OQ的中垂线上，又O、Q在圆C上，所以O、Q关于直线CF对称；
直线CF的方程为y-1=,即，设Q（x,y），则，解得
所以存在，Q的坐标为。
19．（本小题满分14分）
如图6所示，等腰三角形△ABC的底边AB=，高CD=3，点E是线段BD上异于B、D的动点，点F在BC边上，且EF⊥AB，现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE，记BE=x，V（x）表示四棱锥P-ACEF的体积。
（1）求V(x)的表达式；
（2）当x为何值时，V(x)取得最大值？
（3）当V（x）取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值。
（1）由折起的过程可知，PE⊥平面ABC，，
V(x)=（）
（2），所以时， ，V(x)单调递增；时 ，V(x)单调递减；因此x=6时，V(x)取得最大值；
（3）过F作MF//AC交AD与M,则，PM=，
，
在△PFM中， ，∴异面直线AC与PF所成角的余弦值为；
20．（本题满分14分）
已知a是实数，函数，如果函数在区间[-1，1]上有零点，求实数a的取值范围。
解析1：函数在区间[-1，1]上有零点，即方程=0在[-1，1]上有解，
a=0时，不符合题意，所以a≠0,方程f(x)=0在[-1，1]上有解<=>或或或或a≥1.
所以实数a的取值范围是或a≥1.
解析2：a=0时，不符合题意，所以a≠0,又
∴=0在[-1，1]上有解，在[-1，1]上有解在[-1，1]上有解，问题转化为求函数[-1，1]上的值域；设t=3-2x，x∈[-1，1]，则，t∈[1,5],，
设，时，，此函数g(t)单调递减，时，>0,此函数g(t)单调递增，∴y的取值范围是，∴=0在[-1，1]上有解(∈或。
21．（本题满分14分）
已知函数，是方程f(x)=0的两个根，是f(x)的导数；设，（n=1,2,……）
（1）求的值；
（2）证明：对任意的正整数n，都有>a；
（3）记（n=1,2,……），求数列{bn}的前n项和Sn。
解析：（1）∵，是方程f(x)=0的两个根，
∴；
（2），
=，∵，∴有基本不等式可知（当且仅当时取等号），∴同，样，……，（n=1,2,……），
（3），而，即，
，同理，，又
绝密★启用前
2007年普通高等学校招生全国统一考试
数　　学（江苏卷）

参考公式：
次独立重复试验恰有次发生的概率为：
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的。
1．下列函数中，周期为的是
A． B． C． D．
2．已知全集，，则为
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，双曲线中心在原点，焦点在轴上，一条渐近线方程为，则它的离心率为
A． B． C． D．
4．已知两条直线，两个平面，给出下面四个命题：
① ②
③ ④
其中正确命题的序号是
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
5．函数的单调递增区间是
A． B． C． D．
6．设函数定义在实数集上，它的图像关于直线对称，且当时，，则有
A． B．
C． D．
7．若对于任意实数，有，则的值为
A． B． C． D．
8．设是奇函数，则使的的取值范围是
A． B． C． D．
9．已知二次函数的导数为，，对于任意实数都有，则的最小值为
A． B． C． D．
10．在平面直角坐标系，已知平面区域且，则平面区域的面积为
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上。
11．若，.则　　▲　　.
12．某校开设9门课程供学生选修，其中三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修4门，共有　　▲　　种不同选修方案。（用数值作答）
13．已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则　　▲　　.
14．正三棱锥高为2，侧棱与底面所成角为，则点到侧面的距离是
　　▲　　.
15．在平面直角坐标系中，已知顶点和，顶点在椭圆上，则　　▲　　.
16．某时钟的秒针端点到中心点的距离为，秒针均匀地绕点旋转，当时间时，点与钟面上标的点重合，将两点的距离表示成的函数，则
　　▲　　，其中。
三、解答题：本大题共5小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）某气象站天气预报的准确率为，计算（结果保留到小数点后面第2位）
（1）5次预报中恰有2次准确的概率；（4分）
（2）5次预报中至少有2次准确的概率；（4分）
（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第次预报准确的概率；（4分）
18．（本小题满分12分）如图，已知是棱长为3的正方体，点在上，点在上，且，
（1）求证：四点共面；（4分）
（2）若点在上，，点在上，，垂足为，求证：面；（4分）
（3）用表示截面和面所成锐二面角大小，求。（4分）
19、（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中，过轴正方向上一点任作一直线，与抛物线相交于两点，一条垂直于轴的直线，分别与线段和直线交于，
（1）若，求的值；（5分）
（2）若为线段的中点，求证：为此抛物线的切线；（5分）
（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。（4分）
20．（本小题满分16分）已知 是等差数列，是公比为的等比数列，，记为数列的前项和，
（1）若是大于的正整数，求证：；（4分）
（2）若是某一正整数，求证：是整数，且数列中每一项都是数列中的项；（8分）
（3）是否存在这样的正数，使等比数列中有三项成等差数列？若存在，写出一个的值，并加以说明；若不存在，请说明理由；（4分）
21．（本小题满分16分）已知是不全为的实数，函数，
，方程有实根，且的实数根都是的根，反之，的实数根都是的根，
（1）求的值；（3分）
（2）若，求的取值范围；（6分）
（3）若，求的取值范围。（7分）
参考答案：
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的。
1． D 2．A 3．A 4．C 5．B 6．B 7．B 8．A 9．C 10．A
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上。
11．　　1/2　　.12．　　75　　13．　　32　　.14．　　　　.
15．　　5/4　　.16．　　10　　
三、解答题：本大题共5小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．
解：（1）
（2）
（3）
18．
解：（1）证明：在DD上取一点N使得DN=1，连接CN，EN，显然四边形CFDN是平行四边形，所以DF//CN，同理四边形DNEA是平行四边形，所以EN//AD，且EN=AD，又
BC//AD，且AD=BC，所以EN//BC，EN=BC，所以四边形CNEB是平行四边形，所以
CN//BE，所以DF//BE，所以四点共面。
（2）因为所以∽MBG，所以，即，所以MB=1，因为AE=1，所以四边形ABME是矩形，所以EM⊥BB又平面ABBA⊥平面BCCB
，且EM在平面ABBA内，所以面
（3）面，所以BF，MH，，所以∠MHE就是截面和面所成锐二面角的平面角，∠EMH=，所以，ME=AB=3，∽MHB，所以3：MH=BF：1，BF=，所以MH=，所以=
19、
解：（1）设过C点的直线为，所以，即，设A，=，，因为，所以
，即，
所以，即所以
（2）设过Q的切线为，，所以，即，它与的交点为M，又，所以Q，因为,所以，所以M,所以点M和点Q重合，也就是QA为此抛物线的切线。
（3）（2）的逆命题是成立，由（2）可知Q，因为PQ轴，所以
因为，所以P为AB的中点。
20．
解：设的公差为，由，知，（）
（1）因为，所以，
，
所以
（2），由，
所以解得，或，但，所以，因为是正整数，所以是整数，即是整数，设数列中任意一项为
，设数列中的某一项=
现在只要证明存在正整数，使得，即在方程中有正整数解即可，，所以
，若，则，那么，当时，因为，只要考虑的情况，因为，所以，因此是正整数，所以是正整数，因此数列中任意一项为
与数列的第项相等，从而结论成立。
（3）设数列中有三项成等差数列，则有
2设，所以2，令，则，因为，所以，所以，即存在使得中有三项成等差数列。
21．
解（1）设是的根，那么，则是的根，则即，所以。
（2）因为，所以，则
==0的根也是的根。
（a）若，则，此时的根为0，而的根也是0，所以，
（b）若，当时，的根为0，而的根也是0，当时，
的根为0和，而的根不可能为0和，所以必无实数根，所以所以，从而
所以当时，；当时，。
（3），所以，即的根为0和1，
所以=0必无实数根，
（a）当时，==，即函数在，恒成立，又，所以，即所以；
（b）当时，==，即函数在，恒成立，又，所以，
，而，所以，所以不可能小于0，
（c）则这时的根为一切实数，而，所以符合要求。
所以
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文科数学
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷3至4页，共150分．
第I卷
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2．第I卷每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效．
3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．
参考公式：
如果事件互斥，那么 球的表面积公式

如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径
球的体积公式
如果事件在一次试验中发的概率是，那么
次独立重复试验中恰好发生次的概率
其中表示球的半径
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合，，则为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
2．函数的最小正周期为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
3．函数的定义域为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
4．若，，则等于（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
5．设，
则的值为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
6．一袋中装有大小相同，编号分别为的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
7．连接抛物线的焦点与点所得的线段与抛物线交于点，设点为坐标原点，则三角形的面积为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
8．若，则下列命题正确的是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
9．四面体的外接球球心在上，且，，在外接球面上两点间的球面距离是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
10．设在内单调递增，，则是的（　　）
Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件
Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件
11．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为，，，，则它们的大小关系正确的是（　　）
Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．
12．设椭圆的离心率为，右焦点为，方程的两个实根分别为和，则点（　　）
Ａ．必在圆上 Ｂ．必在圆外
Ｃ．必在圆内 Ｄ．以上三种情形都有可能
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文科数学
第II卷
注意事项：
第II卷2页，须要黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试卷题上作答，答案无效．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上．
13．在平面直角坐标系中，正方形的对角线的两端点分别为，，则 ．
14．已知等差数列的前项和为，若，则 ．
15．已知函数存在反函数，若函数的图象经过点，则函数的图象必经过点 ．
16．如图，正方体的棱长为1，过点作平面的垂线，垂足为点．有下列四个命题
Ａ．点是的垂心
Ｂ．垂直平面
Ｃ．二面角的正切值为
Ｄ．点到平面的距离为
其中真命题的代号是 ．（写出所有真命题的代号）
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知函数满足．
（1）求常数的值；
（2）解不等式．
18．（本小题满分12分）
如图，函数的图象与轴相交于点，且该函数的最小正周期为．
（1）求和的值；
（2）已知点，点是该函数图象上一点，点是的中点，当，时，求的值．
19．（本小题满分12分）
栽培甲、乙两种果树，先要培育成苗，然后再进行移栽．已知甲、乙两种果树成苗的概率分别为，，移栽后成活的概率分别为，．
（1）求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗的概率；
（2）求恰好有一种果树能培育成苗且移栽成活的概率．
20．（本小题满分12分）
右图是一个直三棱柱（以为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为．已知，，，，．
（1）设点是的中点，证明：平面；
（2）求与平面所成的角的大小；
（3）求此几何体的体积．
21．（本小题满分12分）
设为等比数列，，．
（1）求最小的自然数，使；
（2）求和：．
22．（本小题满分14分）
设动点到点和的距离分别为和，，且存在常数，使得．
（1）证明：动点的轨迹为双曲线，并求出的方程；
（2）如图，过点的直线与双曲线的右支交于两点．问：是否存在，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西文）参考答案
一、选择题
1．Ｂ　　2．Ｂ　　3．Ａ　　4．Ｄ　　5．Ａ　　6．Ｄ　　7．Ｂ　　8．Ｂ　　9．Ｃ
10．Ｃ　　11．Ａ　　12．Ｃ
二、填空题
13．　　14．　　15．　　16．A，B，C
三、解答题
17．解：（1）因为，所以；
由，即，．
（2）由（1）得
由得，
当时，解得，
当时，解得，
所以的解集为．
18．解：（1）将，代入函数中得，
因为，所以．
由已知，且，得．
（2）因为点，是的中点，．
所以点的坐标为．
又因为点在的图象上，且，所以，
，从而得或，
即或．
19．解：分别记甲、乙两种果树成苗为事件，；分别记甲、乙两种果树苗移栽成活为事件，，，，，．
（1）甲、乙两种果树至少有一种成苗的概率为
；
（2）解法一：分别记两种果树培育成苗且移栽成活为事件，
则，．
恰好有一种果树培育成苗且移栽成活的概率为
．
解法二：恰好有一种果树栽培成活的概率为
．
20．
解法一：
（1）证明：作交于，连．
则，
因为是的中点，
所以．
则是平行四边形，因此有，
平面，且平面
则面．
（2）解：如图，过作截面面，分别交，于，，
作于，
因为平面平面，则面．
连结，则就是与面所成的角．
因为，，所以．
与面所成的角为．
（3）因为，所以．
．
．
所求几何体的体积为．
解法二：
（1）证明：如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，因为是的中点，所以，
，
易知，是平面的一个法向量．
由且平面知平面．
（2）设与面所成的角为．
求得，．
设是平面的一个法向量，则由得，
取得：．
又因为
所以，，则．
所以与面所成的角为．
（3）同解法一
21．解：（1）由已知条件得，
因为，所以，使成立的最小自然数．
（2）因为，…………①
，…………②
得：
所以．
22．解：（1）在中，
（小于的常数）
故动点的轨迹是以，为焦点，实轴长的双曲线．
方程为．
（2）方法一：在中，设，，，．
假设为等腰直角三角形，则
由②与③得，
则
由⑤得，
，
故存在满足题设条件．
方法二：（1）设为等腰直角三角形，依题设可得
所以，．
则．①
由，可设，
则，．
则．②
由①②得．③
根据双曲线定义可得，．
平方得：．④
由③④消去可解得，
故存在满足题设条件．
2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）
理科数学
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷3至4页，共150分．
第I卷
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2．第I卷每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．
3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．
参考公式：
如果事件互斥，那么 球的表面积公式

如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径
球的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率是，那么
次独立重复试验中恰好发生次的概率
其中表示球的半径
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．化简的结果是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
2．（　　）
Ａ．等于 Ｂ．等于 Ｃ．等于 Ｄ．不存在
3．若，则等于（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
4．已知展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为，则等于（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
5．若，则下列命题中正确的是（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
6．若集合，，则中元素的个数为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
7．如图，正方体的棱长为，过点作平面的垂线，垂足为点，则以下命题中，错误的命题是（　　）
Ａ．点是的垂心
Ｂ．垂直平面
Ｃ．的延长线经过点
Ｄ．直线和所成角为
8．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为，，，，则它们的大小关系正确的是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
9．设椭圆的离心率为，右焦点为，方程的两个实根分别为和，则点（　　）
Ａ．必在圆内 Ｂ．必在圆上
Ｃ．必在圆外 Ｄ．以上三种情形都有可能
10．将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
11．设函数是上以5为周期的可导偶函数，则曲线在处的切线的斜率为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
12．设在内单调递增，，则是的（　　）
Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件
Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件
2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）
理科数学
第II卷
注意事项：
第II卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试卷题上作答，答案无效．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上．
13．设函数，则其反函数的定义域为 ．
14．已知数列对于任意，有，若，则 ．
15．如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则的值为 ．
16．设有一组圆．下列四个命题：
Ａ．存在一条定直线与所有的圆均相切
Ｂ．存在一条定直线与所有的圆均相交
Ｃ．存在一条定直线与所有的圆均不相交
Ｄ．所有的圆均不经过原点
其中真命题的代号是 ．（写出所有真命题的代号）
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知函数在区间内连续，且．
（1）求实数和的值；
（2）解不等式．
18．（本小题满分12分）
如图，函数的图象与轴交于点，且在该点处切线的斜率为．
（1）求和的值；
（2）已知点，点是该函数图象上一点，点是的中点，当，时，求的值．
19．（本小题满分12分）
某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为，，，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为，，．
（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；
（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为，求随机变量的期望．
20．（本小题满分12分）
右图是一个直三棱柱（以为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为．已知，，，，．
（1）设点是的中点，证明：平面；
（2）求二面角的大小；
（3）求此几何体的体积．
21．（本小题满分12分）
设动点到点和的距离分别为和，，且存在常数，使得．
（1）证明：动点的轨迹为双曲线，并求出的方程；
（2）过点作直线双曲线的右支于两点，试确定的范围，使，其中点为坐标原点．
22．（本小题满分14分）
设正整数数列满足：，且对于任何，有．
（1）求，；
（3）求数列的通项．
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理科数学参考答案
一、选择题
1．C 2．B 3．A 4．C 5．D
6．C 7．D 8．A 9．A 10．B
11．B 12．B
二、填空题
13． 14． 15． 16．
三、解答题
17．解：（1）因为，所以，
由，即，．
又因为在处连续，
所以，即．
（2）由（1）得：
由得，当时，解得．
当时，解得，
所以的解集为．
18．解：（1）将，代入函数得，
因为，所以．
又因为，，，所以，
因此．
（2）因为点，是的中点，，
所以点的坐标为．
又因为点在的图象上，所以．
因为，所以，
从而得或．
即或．
19．解：分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件，，，
（1）设表示第一次烧制后恰好有一件合格，则
．
（2）解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为，
所以，
故．
解法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件，则
，
所以，
，
，
．
于是，．
20．解法一：
（1）证明：作交于，连．
则．
因为是的中点，
所以．
则是平行四边形，因此有．
平面且平面，
则面．
（2）如图，过作截面面，分别交，于，．
作于，连．
因为面，所以，则平面．
又因为，，．
所以，根据三垂线定理知，所以就是所求二面角的平面角．
因为，所以，故，
即：所求二面角的大小为．
（3）因为，所以
．
．
所求几何体体积为
．
解法二：
（1）如图，以为原点建立空间直角坐标系，
则，，，因为是的中点，所以，
．
易知，是平面的一个法向量．
因为，平面，所以平面．
（2），，
设是平面的一个法向量，则
则，得：
取，．
显然，为平面的一个法向量．
则，结合图形可知所求二面角为锐角．
所以二面角的大小是．
（3）同解法一．
21．解法一：（1）在中，，即，
，即（常数），
点的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线．
方程为：．
（2）设，
①当垂直于轴时，的方程为，，在双曲线上．
即，因为，所以．
②当不垂直于轴时，设的方程为．
由得：，
由题意知：，
所以，．
于是：．
因为，且在双曲线右支上，所以
．
由①②知，．
解法二：（1）同解法一
（2）设，，的中点为．
①当时，，
因为，所以；
②当时，．
又．所以；
由得，由第二定义得
．
所以．
于是由得
因为，所以，又，
解得：．由①②知．
22．解：（1）据条件得 ①
当时，由，即有，
解得．因为为正整数，故．
当时，由，
解得，所以．
（2）方法一：由，，，猜想：．
下面用数学归纳法证明．
1当，时，由（1）知均成立；
2假设成立，则，则时
由①得
因为时，，所以．
，所以．
又，所以．
故，即时，成立．
由1，2知，对任意，．
（2）方法二：
由，，，猜想：．
下面用数学归纳法证明．
1当，时，由（1）知均成立；
2假设成立，则，则时
由①得
即　　　　　　②
由②左式，得，即，因为两端为整数，
则．于是　　　　③
又由②右式，．
则．
因为两端为正整数，则，
所以．
又因时，为正整数，则　　　　④
据③④，即时，成立．
由1，2知，对任意，．
2007年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数 学（文科）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
(1)设全集U＝{1，3，5，6，8}，A＝{1，6}，B＝{5，6，8}，则(CUA)∩B＝
(A)｛6｝ (B){5，8} (c){6，8} (D){3，5，6，8}
(2)已知，且，则tan＝
(A)－ (B) (C)　－ (D)
(3)“x＞1”是“x2＞x”的
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 　　 (D)既不充分也不必要条件
(4)直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是
(A)x＋2y－1＝0 (B)2 x＋y－1＝0
（C）2 x＋y－3＝0 (D) x＋2y－3＝0
(5)要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水．假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为6米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是
(A)　6 (B)　5 (C)　4 (D)　3
(6)展开式中的常数项是
(A)　－36 (B)36 (C)　－84 (D)　84
(7)若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则
(A)过点P有且仅有一条直线与l、m都平行
(B)过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直
(C)过点P有且仅有一条直线与l、m都相交
(D)过点P有且仅有一条直线与l、m都异面
（8）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0．6，则本次比赛甲获胜的概率是
(A1 0．216 (B)0．36 (C)0．432 (D)0．648
（9)若非零向量、满足｜一｜＝｜｜，则
(A) ｜2｜＞｜一2｜ (B) ｜2｜＜｜一2｜
(C) ｜2｜＞｜2一｜ (D) ｜2｜＜｜2一｜
（10）已知双曲线　的左、右焦点分别为F1、F2，P是准线上一点，且P F1⊥P F2，｜P F1｜｜P F2 ｜＝4ab，则双曲线的离心率是
(A) (B) (C)2 (D)3
二．填空题：本大题共7小题．每小题4分．共28分．
(11)函数的值域是______________．
(12)若sinθ＋cosθ＝，则sin 2θ的值是________．
(13)某校有学生2000人，其中高三学生500人．为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个200人的样本．则样本中高三学生的人数为___________．
(14)中的、满足约束条件则的最小值是_________．
(15)曲线在点(1，一3)处的切线方程是___________ ．
(16)某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种．小张用10元钱买杂志(每种至多买一本，10元钱刚好用完)，则不同买法的种数是__________(用数字作答)．
(17)已知点O在二面角α－AB－β的棱上，点P在α内，且∠POB＝45°．若对于β内异于0的任意一点Q，都有∠POQ≥45°，则二面角α－AB－β的大小是_________．
三．解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
(18)(本题14分)已知△ABC的周长为＋1，且sinA＋sin B＝sin C
(I)求边AB的长；
(Ⅱ)若△ABC的面积为sin C，求角C的度数．
(19)(本题14分)已知数列{}中的相邻两项、是关于x的方程
的两个根，且≤　(k ＝1，2，3，…)．
(I)求及 (n≥4)(不必证明)；
(Ⅱ)求数列{}的前2n项和S2n．
(20)(本题14分)在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE，M是AB的中点．
(I)求证：CM ⊥EM：
(Ⅱ)求DE与平面EMC所成角的正切值．
(21)(本题15分)如图，直线y＝kx＋b与椭圆交于A、B两点，记△AOB的面积为S．
(I)求在k＝0，0＜b＜1的条件下，S的最大值；
（Ⅱ)当｜AB｜＝2，S＝1时，求直线AB的方程．
(22)(本题15分)已知．
(I)若k＝2，求方程的解；
(II)若关于x的方程在(0，2)上有两个解x1，x2，求k的取值范围，并证明．
2007年浙江文科试题参考答案
一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分．
（1)B 　(2)C (3)A (4)D (5)C
　 (6)C 　(7)B (8)D (9)A (10)B
二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分28分．
(11)[0，1) (12)一 (13)50 (14)一
(15) (16)266 (17)900
三．解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
(18)本题主要考查利用正弦定理、余弦定理来确定三角形边、角关系等基础知识和基本运算能力．满分14分．
解：(I)由题意及正弦定理，得
AB+BC+AC＝＋1．
BC+AC＝AB，
两式相减，得
AB＝1．
(Ⅱ)由△ABC的面积＝BC·ACsinC＝sin C，得
BC·AC＝，
由余弦定理，得
所以C＝600．
(19)本题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查运算及推理能力．满分14分．
(I)解：方程的两个根为．
当k＝1时，，所以；
当k＝2时，，所以；
当k＝3时，，所以；
当k＝4时，，所以；
因为n≥4时，，所以
（Ⅱ）＝．
（20）．本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理能力．满分14分．
方法一：
(I)证明：因为AC=BC，M是AB的中点，
所以CM⊥AB．
又EA ⊥平面ABC，
所以CM⊥EM．
(Ⅱ)解：过点M作MH⊥平面CDE，垂足是H，连结CH并延长交ED于点F，连结MF、MD，
∠FCM是直线CM和平面CDE所成的角．
因为MH⊥平面CDE，
所以MH⊥ED，
又因为CM⊥平面EDM，
所以CM⊥ED，
则ED⊥平面CMF，因此ED⊥MF．
设EA＝a，BD＝BC＝AC＝2 a，
在直角梯形ABDE中，
AB＝2a，M是AB的中点，
所以DE＝3a，EM＝，MD＝，
得△EMD是直角三角形，其中∠EMD＝90°
所以MF＝．
在Rt△CMF中，tan∠FCM＝1，所以∠FCM=45°，
故CM与平面CDE所成的角是45°．

（21）本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．满分15分．
(I)解：设点A的坐标为(，点B的坐标为，
由，解得
所以
当且仅当时，．S取到最大值1．
（Ⅱ）解：由得
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①
｜AB｜＝ ②
又因为O到AB的距离　　所以　　③
③代入②并整理，得
解得，，代入①式检验，△＞0
故直线AB的方程是
或或或．
（22）本题主要考查函数的基本性质、方程与函数的关系等基础知识，以及综合运用所学知识、分类讨论等思想方法分析和解决问题的能力．满分15分．
（Ⅰ）解：（1）当k＝2时，　
①　当时，≥1或≤－1时，方程化为2
解得，因为，舍去，
所以．
②当时，－1＜＜1时，方程化为
解得，
由①②得当k＝2时，方程的解所以或．
(II)解：不妨设0＜x1＜x2＜2，
因为
所以在（0,1］是单调函数，故＝0在（0,1］上至多一个解，
若1＜x1＜x2＜2，则x1x2＝－＜0，故不符题意，因此0＜x1≤1＜x2＜2．
由得，　所以；
由得，　所以；
故当时，方程在(0，2)上有两个解．
因为0＜x1≤1＜x2＜2，所以，＝0
消去k 得　
即，
因为x2＜2，所以．
2007年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数学（理工类）
第I卷（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）“”是“”的（　　）
Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件
Ｃ．充分不必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件
（2）若函数，（其中，）的最小正周期是，且，则（ ）
A． B．
C． D．
（3）直线关于直线对称的直线方程是（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
（4）要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水．假设每个喷水龙头的喷洒范围都是关径为6米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
（5）已知随机变量服从正态分布，，则（ ）
A． B． C． D，
（6）若两条异面直线外的任意一点，则（　　）
Ａ．过点有且仅有一条直线与都平行
Ｂ．过点有且仅有一条直线与都垂直
Ｃ．过点有且仅有一条直线与都相交
Ｄ．过点有且仅有一条直线与都异面
（7）若非零向量满足，则（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
（8）设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
（9）已知双曲线的左、右焦点分别为，，是准线上一点，且，，则双曲线的离心率是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
（10）设是二次函数，若的值域是，则的值域是（ ）
A． B．
C． D．
第II卷（共100分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．
（11）已知复数，，则复数 ．
（12）已知，且，则的值是 ．
（13）不等式的解集是 ．
（14）某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种，小张用10元钱买杂志（每种至多买一本，10元钱刚好用完），则不同买法的种数是 （用数字作答）．
（15）随机变量的分布列如下：
其中成等差数列，若，则的值是 ．
（16）已知点在二面角的棱上，点在内，且．若对于内异于的任意一点，都有，则二面角的大小是 ．
（17）设为实数，若，则的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（18）（本题14分）已知的周长为，且．
（I）求边的长；
（II）若的面积为，求角的度数．
（19）（本题14分）在如图所示的几何体中，平面，平面，，且，是的中点．
（I）求证：；
（II）求与平面所成的角．
（20）（本题14分）如图，直线与椭圆交于两点，记的面积为．
（I）求在，的条件下，的最大值；
（II）当，时，求直线的方程．
（21）（本题15分）已知数列中的相邻两项是关于的方程的两个根，且．
（I）求，，，；
（II）求数列的前项和；
（Ⅲ）记，
，
求证：．
（22）（本题15分）设，对任意实数，记．
（I）求函数的单调区间；
（II）求证：（ⅰ）当时，对任意正实数成立；
（ⅱ）有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立．
2007年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数学（理工类）答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分．
（1）A （2）D （3）D （4）B （5）A
（6）B （7）C （8）D （9）B （10）C
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分28分．
（11） （12） （13） （14）
（15） （16） （17）
三、解答题
（18）解：（I）由题意及正弦定理，得，
，
两式相减，得．
（II）由的面积，得，
由余弦定理，得
　　，
所以．
（19）本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力．满分14分．
方法一：
（I）证明：因为，是的中点，
所以．
又平面，
所以．
（II）解：过点作平面，垂足是，连结交延长交于点，连结，．
是直线和平面所成的角．
因为平面，
所以，
又因为平面，
所以，
则平面，因此．
设，，
在直角梯形中，
，是的中点，
所以，，，
得是直角三角形，其中，
所以．
在中，，
所以，
故与平面所成的角是．
方法二：
如图，以点为坐标原点，以，分别为轴和轴，过点作与平面垂直的直线为轴，建立直角坐标系，设，则，，．，．
（I）证明：因为，，
所以，
故．
（II）解：设向量与平面垂直，则，，
即，．
因为，，
所以，，
即，
，
直线与平面所成的角是与夹角的余角，
所以，
因此直线与平面所成的角是．
（20）本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．满分14分．
（Ⅰ）解：设点的坐标为，点的坐标为，
由，解得，
所以
．
当且仅当时，取到最大值．
（Ⅱ）解：由
得，
，
． ②
设到的距离为，则
，
又因为，
所以，代入②式并整理，得
，
解得，，代入①式检验，，
故直线的方程是
或或，或．
21．本题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查运算及推理能力．满分15分．
（I）解：方程的两个根为，，
当时，，
所以；
当时，，，
所以；
当时，，，
所以时；
当时，，，
所以．
（II）解：
．
（III）证明：，
所以，
．
当时，
，
，
同时，
．
综上，当时，．
22．本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力．满分15分．
（I）解：．
由，得
．
因为当时，，
当时，，
当时，，
故所求函数的单调递增区间是，，
单调递减区间是．
（II）证明：（i）方法一：
令，则
，
当时，由，得，
当时，，
所以在内的最小值是．
故当时，对任意正实数成立．
方法二：
对任意固定的，令，则
，
由，得．
当时，．
当时，，
所以当时，取得最大值．
因此当时，对任意正实数成立．
（ii）方法一：
．
由（i）得，对任意正实数成立．
即存在正实数，使得对任意正实数成立．
下面证明的唯一性：
当，，时，
，，
由（i）得，，
再取，得，
所以，
即时，不满足对任意都成立．
故有且仅有一个正实数，
使得对任意正实数成立．
方法二：对任意，，
因为关于的最大值是，所以要使对任意正实数成立的充分必要条件是：
，
即， ①
又因为，不等式①成立的充分必要条件是，
所以有且仅有一个正实数，
使得对任意正实数成立．
2007年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第II卷第22题为选考题，其他题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．
2．选择题答案使用2Ｂ铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂基他答案标号，非选择题答案使用毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整、笔迹清楚．
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．
5．作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2Ｂ铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
参考公式：
样本数据，，，的标准差 锥体体积公式

其中为标本平均数 其中为底面面积，为高
柱体体积公式 球的表面积、体积公式
，
其中为底面面积，为高 其中为球的半径
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，则（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
2．已知命题，，则（　　）
Ａ．， Ｂ．，
Ｃ．， Ｄ．，
3．函数在区间的简图是（　　）
4．已知平面向量，则向量（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
5．如果执行右面的程序框图，那么输出的（　　）
Ａ．2450 Ｂ．2500
Ｃ．2550 Ｄ．2652
6．已知成等比数列，且曲线的顶点是，则等于（　　）
Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．
7．已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且，则有（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
8．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（　　）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
9．若，则的值为（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
10．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
11．已知三棱锥的各顶点都在一个半径为的球面上，球心在上，底面，，则球的体积与三棱锥体积之比是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
12．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表
甲的成绩
环数
7
8
9
10
频数
5
5
5
5
乙的成绩
环数
7
8
9
10
频数
6
4
4
6
丙的成绩
环数
7
8
9
10
频数
4
6
6
4
分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为　　　　　．
14．设函数为偶函数，则　　　　．
15．是虚数单位，　　　　　．（用的形式表示，）
16．已知是等差数列，，其前5项和，则其公差　　　　．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个侧点与．现测得，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高．
18．（本小题满分12分）
如图，为空间四点．在中，．等边三角形以为轴运动．
（Ⅰ）当平面平面时，求；
（Ⅱ）当转动时，是否总有？证明你的结论．
19．（本小题满分12分）
设函数
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）求在区间的最大值和最小值．
20．（本小题满分12分）
设有关于的一元二次方程．
（Ⅰ）若是从四个数中任取的一个数，是从三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
（Ⅱ）若是从区间任取的一个数，是从区间任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
21．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，已知圆的圆心为，过点且斜率为的直线与圆相交于不同的两点．
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．
22．请考生在Ａ、Ｂ两题中选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
22．Ａ（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图，已知是的切线，为切点，是的割线，与交于两点，圆心在的内部，点是的中点．
（Ⅰ）证明四点共圆；
（Ⅱ）求的大小．
22．Ｂ（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
和的极坐标方程分别为．
（Ⅰ）把和的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）求经过，交点的直线的直角坐标方程．
2007年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学试题参考答案（宁夏）
一、选择题
1．Ａ 2．Ｃ 3．Ａ 4．Ｄ 5．Ｃ 6．Ｂ
7．Ｃ 8．Ｂ 9．Ｃ 10．Ｄ 11．Ｄ 12．Ｂ
二、填空题
13． 14．1 15． 16．
三、解答题
17．解：在中，．
由正弦定理得．
所以．
在中，．
18．解：
（Ⅰ）取的中点，连结，因为是等边三角形，所以．
当平面平面时，
因为平面平面，
所以平面，
可知
由已知可得，在中，．
（Ⅱ）当以为轴转动时，总有．
证明：
（ⅰ）当在平面内时，因为，所以都在线段的垂直平分线上，即．
（ⅱ）当不在平面内时，由（Ⅰ）知．又因，所以．
又为相交直线，所以平面，由平面，得．
综上所述，总有．
19．解：的定义域为．
（Ⅰ）．
当时，；当时，；当时，．
从而，分别在区间，单调增加，在区间单调减少．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知在区间的最小值为．
又．
所以在区间的最大值为．
20．解：
设事件为“方程有实根”．
当，时，方程有实根的充要条件为．
（Ⅰ）基本事件共12个：
．其中第一个数表示的取值，第二个数表示的取值．
事件中包含9个基本事件，事件发生的概率为．
（Ⅱ）试验的全部结束所构成的区域为．
构成事件的区域为．
所以所求的概率为．
21．解：
（Ⅰ）圆的方程可写成，所以圆心为，过且斜率为的直线方程为．
代入圆方程得，
整理得．　　　①
直线与圆交于两个不同的点等价于
，
解得，即的取值范围为．
（Ⅱ）设，则，
由方程①，
　　　　②
又．　　　　③
而．
所以与共线等价于，
将②③代入上式，解得．
由（Ⅰ）知，故没有符合题意的常数．
22．Ａ
（Ⅰ）证明：连结．
因为与相切于点，所以．
因为是的弦的中点，所以．
于是．
由圆心在的内部，可知四边形的对角互补，所以四点共圆．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得四点共圆，所以．
由（Ⅰ）得．
由圆心在的内部，可知．
所以．
22．Ｂ
解：以有点为原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．
（Ⅰ），，由得．
所以．
即为的直角坐标方程．
同理为的直角坐标方程．
（Ⅱ）由
解得．
即，交于点和．过交点的直线的直角坐标方程为．
2007年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第II卷第22题为选考题，其他题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．
2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚．
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．
5．作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
参考公式：
样本数据，，，的标准差 锥体体积公式

其中为样本平均数 其中为底面面积、为高
柱体体积公式 球的表面积、体积公式
，
其中为底面面积，为高 其中为球的半径
第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知命题，，则（　　）
Ａ．， Ｂ．，
Ｃ．， Ｄ．，
2．已知平面向量，则向量（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
3．函数在区间的简图是（　　）
4．已知是等差数列，，其前10项和，则其公差（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
5．如果执行右面的程序框图，那么输出的（　　）
Ａ．2450 Ｂ．2500
Ｃ．2550 Ｄ．2652
6．已知抛物线的焦点为，
点，在抛物线上，
且， 则有（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
7．已知，，成等差数列，成等比数列，则的最小值是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
8．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（　　）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
9．若，则的值为（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
10．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
11．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表
甲的成绩
环数
7
8
9
10
频数
5
5
5
5
乙的成绩
环数
7
8
9
10
频数
6
4
4
6
丙的成绩
环数
7
8
9
10
频数
4
6
6
4
分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
12．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为，，，则（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为　　　　　．
14．设函数为奇函数，则　　　　．
15．是虚数单位，　　　　　．（用的形式表示，）
16．某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有 种．（用数字作答）
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与．现测得，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高．
18．（本小题满分12分）
如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，，为中点．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
19．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和．
（I）求的取值范围；
（II）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．
20．（本小题满分12分）
如图，面积为的正方形中有一个不规则的图形，可按下面方法估计的面积：在正方形中随机投掷个点，若个点中有个点落入中，则的面积的估计值为，假设正方形的边长为2，的面积为1，并向正方形中随机投掷个点，以表示落入中的点的数目．
（I）求的均值；
（II）求用以上方法估计的面积时，的面积的估计值与实际值之差在区间内的概率．
附表：
21．（本小题满分12分）
设函数
（I）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；
（II）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于．
22．请考生在三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
22．Ａ（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图，已知是的切线，为切点，是的割线，与交于两点，圆心在的内部，点是的中点．
（Ⅰ）证明四点共圆；
（Ⅱ）求的大小．
22．Ｂ（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
和的极坐标方程分别为．
（Ⅰ）把和的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）求经过，交点的直线的直角坐标方程．
22．Ｃ（本小题满分10分）选修；不等式选讲
设函数．
（I）解不等式；
（II）求函数的最小值．
2007年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题参考答案（宁夏）
一、选择题
1．Ｃ 2．Ｄ 3．Ａ 4．Ｄ 5．Ｃ 6．Ｃ
7．Ｄ 8．Ｂ 9．Ｃ 10．Ｄ 11．Ｂ 12．Ｂ
二、填空题
13． 14． 15． 16．240
三、解答题
17．解：在中，．
由正弦定理得．
所以．
在中，．
18．证明：
（Ⅰ）由题设，连结，为等腰直角三角形，所以，且，又为等腰三角形，故，且，从而．
所以为直角三角形，．
又．
所以平面．
（Ⅱ）解法一：
取中点，连结，由（Ⅰ）知，得．
为二面角的平面角．
由得平面．
所以，又，
故．
所以二面角的余弦值为．
解法二：
以为坐标原点，射线分别为轴、轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系．
设，则．
的中点，．
．
故等于二面角的平面角．
，
所以二面角的余弦值为．
19．解：（Ⅰ）由已知条件，直线的方程为，
代入椭圆方程得．
整理得　　　①
直线与椭圆有两个不同的交点和等价于，
解得或．即的取值范围为．
（Ⅱ）设，则，
由方程①，．　　　②
又．　　　　③
而．
所以与共线等价于，
将②③代入上式，解得．
由（Ⅰ）知或，故没有符合题意的常数．
20．解：
每个点落入中的概率均为．
依题意知．
（Ⅰ）．
（Ⅱ）依题意所求概率为，
．
21．解：
（Ⅰ），
依题意有，故．
从而．
的定义域为，当时，；
当时，；
当时，．
从而，分别在区间单调增加，在区间单调减少．
（Ⅱ）的定义域为，．
方程的判别式．
（ⅰ）若，即，在的定义域内，故的极值．
（ⅱ）若，则或．
若，，．
当时，，当时，，所以无极值．
若，，，也无极值．
（ⅲ）若，即或，则有两个不同的实根，．
当时，，从而有的定义域内没有零点，故无极值．
当时，，，在的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知在取得极值．
综上，存在极值时，的取值范围为．
的极值之和为
．
22．Ａ
（Ⅰ）证明：连结．
因为与相切于点，所以．
因为是的弦的中点，所以．
于是．
由圆心在的内部，可知四边形的对角互补，所以四点共圆．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得四点共圆，所以．
由（Ⅰ）得．
由圆心在的内部，可知．
所以．
22．Ｂ
解：以极点为原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．
（Ⅰ），，由得．
所以．
即为的直角坐标方程．
同理为的直角坐标方程．
（Ⅱ）由解得．
即，交于点和．过交点的直线的直角坐标方程为．
22．Ｃ解：
（Ⅰ）令，则
．．．．．．．．．．．．．．．3分
作出函数的图象，它与直线的交点为和．
所以的解集为．
（Ⅱ）由函数的图像可知，当时，取得最小值．
2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数 学（文史类）
本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置.
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答在试题卷上无效．
3．将填空题和解答题用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．
4．考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．的值为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
2．如果，，，那么（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
3．如果的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为（　　）
Ａ．10 Ｂ．6 Ｃ．5 Ｄ．3
４．函数的反函数是（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
5．在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，为棱上的一点，且．则点到平面的距离为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
6．为了了解某学校学生的身体发育情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况，根据所得数据画出样本的频率分布直方图如右图所示．根据此图，估计该校2000名高中男生中体重大于70.5公斤的人数为（ ）
A．300 B．360 C．420 D．450

7．将5本不同的书全发给4名同学，每名同学至少有一本书的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
9．设，在上的投影为，在轴上的投影为2，且，则为（ ）
A． B． C． D．
10．已知是的充分条件而不是必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，现有下列命题：
①是的充要条件；
②是的充分条件而不是必要条件；
③是的必要条件而不是充分条件；
④是的必要条件而不是充分条件；
⑤是的充分条件而不是必要条件．
则正确命题的序号是（ ）
A．①④⑤ B．①②④ C．②③⑤ D．②④⑤
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置上．
11．设变量满足约束条件则目标函数的最小值为 ．
12．过双曲线左焦点的直线交曲线的左支于两点，为其右焦点，则的值为______．
13．已知函数的图象在点处的切线方程是，则＿＿＿＿．
14．某篮球运动员在三分线投球的命中率是，他投球10次，恰好投进3个球的概率为
．（用数值作答）
15．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：
（I）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式为 ．
（II）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室．
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知函数，．
（I）求的最大值和最小值；
（II）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
17．（本小题满分12分）
如图，在三棱锥中，，，是的中点，且，．
（I）求证：平面平面；
（II）试确定角的值，使得直线与平面所成的角为．
18．（本小题满分12分）
某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值（单位：元，）的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．
（I）将一个星期的商品销售利润表示成的函数；
（II）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
19．（本小题满分12分）
设二次函数，方程的两根和满足．
（I）求实数的取值范围；
（II）试比较与的大小．并说明理由．
20．（本小题满分13分）
已知数列和满足：，，，（），且是以为公比的等比数列．
（I）证明：；
（II）若，证明数列是等比数列；
（III）求和：．
21．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，过定点作直线与抛物线（）相交于两点．
（I）若点是点关于坐标原点的对称点，求面积的最小值；
（II）是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．

（此题不要求在答题卡上画图）
2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数学（文史类）试题参考答案
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．
1．Ａ 2．Ｄ 3．Ｃ 4．Ａ 5．Ｄ
6．Ｂ 7．Ａ 8．Ｃ 9．Ｂ 10．Ｂ
二、填空题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分25分．
11． 12．8 13．3
14． 15．；0.6
三、解答题：本大题共6小题，共75分．
16．本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力．
解：（Ⅰ）
．
又，，即，
．
（Ⅱ），，
且，
，即的取值范围是．
17．本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力．
解法1：（Ⅰ），是等腰三角形，又是的中点，
，又底面．．于是平面．
又平面，平面平面．
（Ⅱ） 过点在平面内作于，则由（Ⅰ）知平面．
连接，于是就是直线与平面所成的角．
依题意，所以
在中，；
在中，，
．
，．
故当时，直线与平面所成的角为．
解法2：（Ⅰ）以所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，
于是，，，．
从而，即．
同理，
即．又，平面．
又平面．
平面平面．
（Ⅱ）设平面的一个法向量为，
则由．
得
可取，又，
于是，
即，．
故交时，直线与平面所成的角为．
解法3：（Ⅰ）以点为原点，以所在的直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，于是，，．
从而，即．
同理，即．
又，平面．
又平面，
平面平面．
（Ⅱ）设平面的一个法向量为，
则由，得
可取，又，
于是，
即．
故交时，
即直线与平面所成角为．
18．本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、导数的知识解决实际问题的能力．
解：（Ⅰ）设商品降价元，则多卖的商品数为，若记商品在一个星期的获利为，
则依题意有，
又由已知条件，，于是有，
所以．
（Ⅱ）根据（Ⅰ），我们有．
2
12
0
0
极小
极大
故时，达到极大值．因为，，所以定价为元能使一个星期的商品销售利润最大．
19．本小题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式的解法，考查推理和运算能力．
解法1：（Ⅰ）令，
则由题意可得．
故所求实数的取值范围是．
（II），令．
当时，单调增加，当时，
，即．
解法2：（I）同解法1．
（II），由（I）知，
．又于是
，
即，故．
解法3：（I）方程，由韦达定理得
，，于是
．
故所求实数的取值范围是．
（II）依题意可设，则由，得
，故．
20．本小题主要考查等比数列的定义，通项公式和求和公式等基本知识及基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力．
解法1：（I）证：由，有， ．
（II）证：，
，，
．
是首项为5，以为公比的等比数列．
（III）由（II）得，，于是

．
当时，
．
当时，

．
故
解法2：（I）同解法1（I）．
（II）证：，又，
是首项为5，以为公比的等比数列．
（III）由（II）的类似方法得，
，
，．
．
下同解法1．
21．本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．
解法1：（Ⅰ）依题意，点的坐标为，可设，
直线的方程为，与联立得消去得．
由韦达定理得，．
于是．
，
当，．
（Ⅱ）假设满足条件的直线存在，其方程为，
设的中点为，与为直径的圆相交于点，的中点为，
则，点的坐标为．
，
，
，
．
令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，
即抛物线的通径所在的直线．
解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得
，
又由点到直线的距离公式得．
从而，
当时，．
（Ⅱ）假设满足条件的直线存在，其方程为，则以为直径的圆的方程为，
将直线方程代入得，
则．
设直线与以为直径的圆的交点为，
则有．
令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，
即抛物线的通径所在的直线．
2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数学（理工农医类）
本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置.
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效．
3．将填空题和解答题用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．
4．考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如果的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为（　　）
Ａ．3 Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．10
2．将的图象按向量平移，则平移后所得图象的解析式为（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
3．设和是两个集合，定义集合，如果，，那么等于（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
4．平面外有两条直线和，如果和在平面内的射影分别是和，给出下列四个命题：
①；
②；
③与相交与相交或重合；
④与平行与平行或重合．
其中不正确的命题个数是（　　）
Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4
5．已知和是两个不相等的正整数，且，则（ ）
A．0 B．1 C． D．
6．若数列满足（为正常数，），则称为“等方比数列”．
甲：数列是等方比数列； 乙：数列是等比数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
7．双曲线的左准线为，左焦点和右焦点分别为和；抛物线的准线为，焦点为与的一个交点为，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且，则使得为整数的正整数的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．连掷两次骰子得到的点数分别为和，记向量与向量的夹角为，则的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．已知直线（是非零常数）与圆有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（ ）
A．60条 B．66条 C．72条 D．78条
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置上．
11．已知函数的反函数是，则 ； ．
12．复数，且，若是实数，则有序实数对可以是 ．（写出一个有序实数对即可）
13．设变量满足约束条件则目标函数的最小值为 ．
14．某篮运动员在三分线投球的命中率是，他投球10次，恰好投进3个球的概率 ．（用数值作答）
15．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），如图所示．据图中提供的信息，回答下列问题：
（I）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式为 ；
（II）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，学生方可进教室，那么药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知的面积为，且满足，设和的夹角为．
（I）求的取值范围；
分组
频数
合计
（II）求函数的最大值与最小值．
17．（本小题满分12分）
在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如右表：
（I）在答题卡上完成频率分布表，并在给定的坐标系中画出频率分布直方图；
（II）估计纤度落在中的概率及纤度小于的概率是多少？
（III）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间的中点值是）作为代表．据此，估计纤度的期望．
18．（本小题满分12分）
如图，在三棱锥中，底面，，是的中点，且，．
（I）求证：平面；
（II）当解变化时，求直线与平面所成的角的取值范围．

19．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，过定点作直线与抛物线（）相交于两点．
（I）若点是点关于坐标原点的对称点，求面积的最小值；
（II）是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．

（此题不要求在答题卡上画图）
20．（本小题满分13分）
已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．
（I）用表示，并求的最大值；
（II）求证：（）．
21．（本小题满分14分）
已知为正整数，
（I）用数学归纳法证明：当时，；
（II）对于，已知，求证，
求证，；
（III）求出满足等式的所有正整数．
2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数学（理工农医类）试题参考答案
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．
1．Ｂ 2．Ａ 3．Ｂ 4．Ｄ 5．Ｃ
6．Ｂ 7．Ａ 8．Ｄ 9．Ｃ 10．Ａ
二、填空题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分25分．
11． 12．（或满足的任一组非零实数对）
13． 14． 15．；0.6
三、解答题：本大题共6小题，共75分．
16．本小题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力．
解：（Ⅰ）设中角的对边分别为，
则由，，可得，．
（Ⅱ）
．
，，．
即当时，；当时，．
17．本小题主要考查频率分布直方图、概率、期望等概念和用样本频率估计总体分布的统计方法，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力．
解：（Ⅰ）
分组
频数
频率
4
0.04
25
0.25
30
0.30
29
0.29
10
0.10
2
0.02
合计
100
1.00
（Ⅱ）纤度落在中的概率约为，纤度小于1.40的概率约为．
（Ⅲ）总体数据的期望约为
．
18．本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力．
解法1：（Ⅰ），是等腰三角形，又是的中点，
，又底面．．于是平面．
又平面，平面平面．
（Ⅱ） 过点在平面内作于，则由（Ⅰ）知平面．
连接，于是就是直线与平面所成的角．
在中，；
设，在中，，．
，
，．
又，．
即直线与平面所成角的取值范围为．
解法2：（Ⅰ）以所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，
于是，，，．
从而，即．
同理，
即．又，平面．
又平面．
平面平面．
（Ⅱ）设直线与平面所成的角为，平面的一个法向量为，
则由．
得
可取，又，
于是，
，，．
又，．
即直线与平面所成角的取值范围为．
解法3：（Ⅰ）以点为原点，以所在的直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，于是，，．
从而，即．
同理，即．
又，平面．
又平面，
平面平面．
（Ⅱ）设直线与平面所成的角为，平面的一个法向量为，
则由，得
可取，又，
于是，
，，．
又，，
即直线与平面所成角的取值范围为．
解法4：以所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则．
设．
（Ⅰ），
，
即．
，
即．
又，平面．
又平面，
平面平面．
（Ⅱ）设直线与平面所成的角为，
设是平面的一个非零法向量，
则取，得．
可取，又，
于是，
，关于递增．
，．
即直线与平面所成角的取值范围为．
19．本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．
解法1：（Ⅰ）依题意，点的坐标为，可设，
直线的方程为，与联立得消去得．
由韦达定理得，．
于是．
，
当时，．
（Ⅱ）假设满足条件的直线存在，其方程为，
的中点为，与为直径的圆相交于点，的中点为，
则，点的坐标为．
，
，
，
．
令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，
即抛物线的通径所在的直线．
解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得
，
又由点到直线的距离公式得．
从而，
当时，．
（Ⅱ）假设满足条件的直线存在，其方程为，则以为直径的圆的方程为，
将直线方程代入得，
则．
设直线与以为直径的圆的交点为，
则有．
令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，
即抛物线的通径所在的直线．
20．本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．
解：（Ⅰ）设与在公共点处的切线相同．
，，由题意，．
即由得：，或（舍去）．
即有．
令，则．于是
当，即时，；
当，即时，．
故在为增函数，在为减函数，
于是在的最大值为．
（Ⅱ）设，
则．
故在为减函数，在为增函数，
于是函数在上的最小值是．
故当时，有，即当时，．
21．本小题主要考查数学归纳法、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力．
解法1：（Ⅰ）证：用数学归纳法证明：
（ⅰ）当时，原不等式成立；当时，左边，右边，
因为，所以左边右边，原不等式成立；
（ⅱ）假设当时，不等式成立，即，则当时，
，，于是在不等式两边同乘以得
，
所以．即当时，不等式也成立．
综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数，不等式都成立．
（Ⅱ）证：当时，由（Ⅰ）得，
于是，．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，当时，
，
．
即．即当时，不存在满足该等式的正整数．
故只需要讨论的情形：
当时，，等式不成立；
当时，，等式成立；
当时，，等式成立；
当时，为偶数，而为奇数，故，等式不成立；
当时，同的情形可分析出，等式不成立．
综上，所求的只有．
解法2：（Ⅰ）证：当或时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：
当，且时，，．　　①
（ⅰ）当时，左边，右边，因为，所以，即左边右边，不等式①成立；
（ⅱ）假设当时，不等式①成立，即，则当时，
因为，所以．又因为，所以．
于是在不等式两边同乘以得
，
所以．即当时，不等式①也成立．
综上所述，所证不等式成立．
（Ⅱ）证：当，时，，，
而由（Ⅰ），，
．
（Ⅲ）解：假设存在正整数使等式成立，
即有．　　　　　②
又由（Ⅱ）可得
，与②式矛盾．
故当时，不存在满足该等式的正整数．
下同解法1．
2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学（文史类）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
2．若是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．设（），关于的方程（）有实数，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
4．在等比数列（）中，若，，则该数列的前10项和为（ ）
A． B． C． D．
5．在（）的二次展开式中，若只有的系数最大，则（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
6．如图1，在正四棱柱中，分别是，的中点，则以下结论中不成立的是（ ）
A．与垂直 B．与垂直
C．与异面 D．与异面
7．根据某水文观测点的历史统计数据，得到某条河流水位的频率分布直方图（如图2）．从图中可以看出，该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是（ ）
A．48米 B．49米 C．50米 D．51米

8．函数的图象和函数的图象的交点个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．设分别是椭圆（）的左、右焦点，是其右准线上纵坐标为（为半焦距）的点，且，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
10．设集合， 都是的含两个元素的子集，且满足：对任意的，（，），都有（表示两个数中的较小者），则的最大值是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上．
11．圆心为且与直线相切的圆的方程是 ．
12．在中，角所对的边分别为，若，，，则 ．
13．若，，则 ．
14．设集合，，，
（1）的取值范围是 ；
（2）若，且的最大值为9，则的值是 ．
15．棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，则球的表面积是 ；设分别是该正方体的棱，的中点，则直线被球截得的线段长为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知函数．求：
（I）函数的最小正周期；
（II）函数的单调增区间．
17．（本小题满分12分）
某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．
（I）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；
（II）任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培养的概率．
18．（本小题满分12分）
如图3，已知直二面角，，，，，，直线和平面所成的角为．
（I）证明；
（II）求二面角的大小．

19．（本小题满分13分）
已知双曲线的右焦点为，过点的动直线与双曲线相交于两点，点的坐标是．
（I）证明，为常数；
（II）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程．
20．（本小题满分13分）
设是数列（）的前项和，，且，，．
（I）证明：数列（）是常数数列；
（II）试找出一个奇数，使以18为首项，7为公比的等比数列（）中的所有项都是数列中的项，并指出是数列中的第几项．
21．（本小题满分13分）
已知函数在区间，内各有一个极值点．
（I）求的最大值；
（II）当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式．
2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学（文史类）参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．D 2．B 3．A 4．B 5．C 6．D 7．C 8．C 9．D 10．B
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上．
11．
12．
13．3
14．（1）（2）
15．，
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．解：
．
（I）函数的最小正周期是；
（II）当，即（）时，函数是增函数，故函数的单调递增区间是（）．
17．解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件，“该人参加过计算机培训”为事件，由题设知，事件与相互独立，且，．
（I）解法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是
所以该人参加过培训的概率是．
解法二：任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是
该人参加过两项培训的概率是．
所以该人参加过培训的概率是．
（II）解法一：任选3名下岗人员，3人中只有2人参加过培训的概率是
．
3人都参加过培训的概率是．
所以3人中至少有2人参加过培训的概率是．
解法二：任选3名下岗人员，3人中只有1人参加过培训的概率是
．
3人都没有参加过培训的概率是．
所以3人中至少有2人参加过培训的概率是．
18．解：（I）在平面内过点作于点，连结．
因为，，所以，
又因为，所以．
而，所以，，从而，又，
所以平面．因为平面，故．
（II）解法一：由（I）知，，又，，，所以．
过点作于点，连结，由三垂线定理知，．
故是二面角的平面角．
由（I）知，，所以是和平面所成的角，则，
不妨设，则，．
在中，，所以，
于是在中，．
故二面角的大小为．
解法二：由（I）知，，，，故可以为原点，分别以直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图）．
因为，所以是和平面所成的角，则．
不妨设，则，．
在中，，
所以．
则相关各点的坐标分别是
，，，．
所以，．
设是平面的一个法向量，由得
取，得．
易知是平面的一个法向量．
设二面角的平面角为，由图可知，．
所以．
故二面角的大小为．
19．解：由条件知，设，．
（I）当与轴垂直时，可设点的坐标分别为，，
此时．
当不与轴垂直时，设直线的方程是．
代入，有．
则是上述方程的两个实根，所以，，
于是
．
综上所述，为常数．
（II）解法一：设，则，，
，，由得：
即
于是的中点坐标为．
当不与轴垂直时，，即．
又因为两点在双曲线上，所以，，两式相减得
，即．
将代入上式，化简得．
当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．
所以点的轨迹方程是．
解法二：同解法一得……………………………………①
当不与轴垂直时，由（I） 有．…………………②
．………………………③
由①②③得．…………………………………………………④
．……………………………………………………………………⑤
当时，，由④⑤得，，将其代入⑤有
．整理得．
当时，点的坐标为，满足上述方程．
当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．
故点的轨迹方程是．
20．解：（I）当时，由已知得．
因为，所以． …………………………①
于是． …………………………………………………②
由②－①得：．……………………………………………③
于是．……………………………………………………④
由④－③得：．…………………………………………………⑤
即数列（）是常数数列．
（II）由①有，所以．
由③有，所以，
而⑤表明：数列和分别是以，为首项，6为公差的等差数列．
所以，，．
由题设知，．当为奇数时，为奇数，而为偶数，所以不是数列中的项，只可能是数列中的项．
若是数列中的第项，由得，取，得，此时，由，得，，从而是数列中的第项．
（注：考生取满足，的任一奇数，说明是数列中的第项即可）
21．解：（I）因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以在，内分别有一个实根，
设两实根为（），则，且．于是
，，且当，即，时等号成立．故的最大值是16．
（II）解法一：由知在点处的切线的方程是
，即，
因为切线在点处空过的图象，
所以在两边附近的函数值异号，则
不是的极值点．
而，且
．
若，则和都是的极值点．
所以，即，又由，得，故．
解法二：同解法一得
．
因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号，于是存在（）．
当时，，当时，；
或当时，，当时，．
设，则
当时，，当时，；
或当时，，当时，．
由知是的一个极值点，则，
所以，又由，得，故．
2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学（理工农医类）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数等于（ ）
A． B． C． D．
2．不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
3．设是两个集合，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
4．设是非零向量，若函数的图象是一条直线，则必有（ ）
A． B． C． D．
5．设随机变量服从标准正态分布，已知，则=（ ）
A．0.025 B．0.050 C．0.950 D．0.975
6．函数的图象和函数的图象的交点个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．下列四个命题中，不正确的是（ ）
A．若函数在处连续，则
B．函数的不连续点是和
C．若函数，满足，则
D．
8．棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为（ ）
A． B． C． D．
9．设分别是椭圆（）的左、右焦点，若在其右准线上存在使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．设集合， 都是的含两个元素的子集，且满足：对任意的，（，），都有（表示两个数中的较小者），则的最大值是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上．
11．圆心为且与直线相切的圆的方程是 ．
12．在中，角所对的边分别为，若，b=，，，则 ．
13．函数在区间上的最小值是 ．
14．设集合，，，
（1）的取值范围是 ；
（2）若，且的最大值为9，则的值是 ．
15．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 ．
第1行　　　　　 1 1
第2行 1 0 1
第3行 1 1 1 1
第4行 1 0 0 0 1
第5行 1 1 0 0 1 1
…… ………………………………………
图1
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知函数，．
（I）设是函数图象的一条对称轴，求的值．
（II）求函数的单调递增区间．
17．（本小题满分12分）
某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．
（I）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；
（II）任选3名下岗人员，记为3人中参加过培训的人数，求的分布列和期望．
18．（本小题满分12分）
如图2，分别是矩形的边的中点，是上的一点，将，分别沿翻折成，，并连结，使得平面平面，，且．连结，如图3．

　　　　图2 图3
（I）证明：平面平面；
（II）当，，时，求直线和平面所成的角．
19．（本小题满分12分）
如图4，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点和居民区的公路，点所在的山坡面与山脚所在水平面所成的二面角为（），且，点到平面的距离（km）．沿山脚原有一段笔直的公路可供利用．从点到山脚修路的造价为万元/km，原有公路改建费用为万元/km．当山坡上公路长度为km（）时，其造价为万元．已知，，，．
（I）在上求一点，使沿折线修建公路的总造价最小；
（II） 对于（I）中得到的点，在上求一点，使沿折线修建公路的总造价最小．
（III）在上是否存在两个不同的点，，使沿折线修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价，证明你的结论．

20．（本小题满分12分）
已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于两点．
（I）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；
（II）在轴上是否存在定点，使·为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（本小题满分13分）
已知（）是曲线上的点，，是数列的前项和，且满足，，…．
（I）证明：数列（）是常数数列；
（II）确定的取值集合，使时，数列是单调递增数列；
（III）证明：当时，弦（）的斜率随单调递增．
2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学（理工农医类）参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．C 2．D 3．B 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．B
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上．
11．
12．
13．
14．（1）（2）
15．，32
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．解：（I）由题设知．
因为是函数图象的一条对称轴，所以，
即（）．
所以．
当为偶数时，，
当为奇数时，．
（II）
．
当，即（）时，
函数是增函数，
故函数的单调递增区间是（）．
17．解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件，“该人参加过计算机培训”为事件，由题设知，事件与相互独立，且，．
（I）解法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是
所以该人参加过培训的概率是．
解法二：任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是
该人参加过两项培训的概率是．
所以该人参加过培训的概率是．
（II）因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数服从二项分布，，，即的分布列是
0
1
2
3
0.001
0.027
0. 243
0.729
的期望是．
（或的期望是）
18．解：解法一：（Ｉ）因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面．
（II）过点作于点，连结．
由（I）的结论可知，平面，
所以是和平面所成的角．
因为平面平面，平面平面，，
平面，所以平面，故．
因为，，所以可在上取一点，使，又因为，所以四边形是矩形．
由题设，，，则．所以，，
，．
因为平面，，所以平面，从而．
故，．
又，由得．
故．
即直线与平面所成的角是．
解法二：（I）因为平面平面，平面平面，，
平面，所以平面，从而．又，所以平面．因为平面，所以平面平面．
（II）由（I）可知，平面．故可以为原点，分别以直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系（如图），
由题设，，，则，
，，相关各点的坐标分别是，
，，．
所以，．
设是平面的一个法向量，
由得故可取．
过点作平面于点，因为，所以，于是点在轴上．
因为，所以，．
设（），由，解得，
所以．
设和平面所成的角是，则
．
故直线与平面所成的角是．
19．解：（I）如图，，，，
由三垂线定理逆定理知，，所以是
山坡与所成二面角的平面角，则，
．
设，．则
．
记总造价为万元，
据题设有
当，即时，总造价最小．
（II）设，，总造价为万元，根据题设有
．
则，由，得．
当时，，在内是减函数；
当时，，在内是增函数．
故当，即（km）时总造价最小，且最小总造价为万元．
（III）解法一：不存在这样的点，．
事实上，在上任取不同的两点，．为使总造价最小，显然不能位于 与之间．故可设位于与之间，且=，，，总造价为万元，则．类似于（I）、（II）讨论知，，，当且仅当，同时成立时，上述两个不等式等号同时成立，此时，，取得最小值，点分别与点重合，所以不存在这样的点 ，使沿折线修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价．
解法二：同解法一得
．
当且仅当且，即同时成立时，取得最小值，以上同解法一．
20．解：由条件知，，设，．
解法一：（I）设，则则，，
，由得
即
于是的中点坐标为．
当不与轴垂直时，，即．
又因为两点在双曲线上，所以，，两式相减得
，即．
将代入上式，化简得．
当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．
所以点的轨迹方程是．
（II）假设在轴上存在定点，使为常数．
当不与轴垂直时，设直线的方程是．
代入有．
则是上述方程的两个实根，所以，，
于是
．
因为是与无关的常数，所以，即，此时=．
当与轴垂直时，点的坐标可分别设为，，
此时．
故在轴上存在定点，使为常数．
解法二：（I）同解法一的（I）有
当不与轴垂直时，设直线的方程是．
代入有．
则是上述方程的两个实根，所以．
．
由①②③得．…………………………………………………④
．……………………………………………………………………⑤
当时，，由④⑤得，，将其代入⑤有
．整理得．
当时，点的坐标为，满足上述方程．
当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．
故点的轨迹方程是．
（II）假设在轴上存在定点点，使为常数，
当不与轴垂直时，由（I）有，．
以上同解法一的（II）．
21．解：（I）当时，由已知得．
因为，所以． …… ①
于是． ……②
由②－①得． …… ③
于是． …… ④
由④－③得， …… ⑤
所以，即数列是常数数列．
（II）由①有，所以．由③有，，所以，．
而 ⑤表明：数列和分别是以，为首项，6为公差的等差数列，
所以，，，
数列是单调递增数列且对任意的成立．
且
．
即所求的取值集合是．
（III）解法一：弦的斜率为
任取，设函数，则
记，则，
当时，，在上为增函数，
当时，，在上为减函数，
所以时，，从而，所以在和上都是增函数．
由（II）知，时，数列单调递增，
取，因为，所以．
取，因为，所以．
所以，即弦的斜率随单调递增．
解法二：设函数，同解法一得，在和上都是增函数，
所以，．
故，即弦的斜率随单调递增．
2007年普通高等学校招生全国统一考试（福建文）
第Ⅰ卷（选择题　共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集，且，，则等于（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
2．等比数列中，，则等于（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
3．等于（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
4．“”是“”的（　　）
Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件
Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件
5．函数的图象（　　）
Ａ．关于点对称 Ｂ．关于直线对称
Ｃ．关于点对称 Ｄ．关于直线对称
6．如图，在正方体中，分别为，，，的中点，则异面直线与所成的角等于（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
7．已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
8．对于向量，，和实数，下列命题中真命题是（　　）
Ａ．若，则或 Ｂ．若，则或
Ｃ．若，则或 Ｄ．若，则
9．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（　　）
Ａ．，，，
Ｂ．，，
Ｃ．，
Ｄ．，
10．以双曲线的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
11．已知对任意实数，有，，且时，，，则时（　　）
Ａ．， Ｂ．，
Ｃ．， Ｄ．，
12．某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“”到“”共个号码．公司规定：凡卡号的后四位带有数字“”或“”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
第Ⅱ卷（非选择题　共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．
13．的展开式中常数项是_____．（用数字作答）
14．已知实数满足则的取值范围是________．
15．已知长方形，，，则以为焦点，且过两点的椭圆的离心率为______．
16．中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等．如果集合中元素之间的一个关系“～”满足以下三个条件：
（1）自反性：对于任意，都有～；
（2）对称性：对于，若～，则有～；
（3）传递性：对于，若～，～，则有～．
则称“～”是集合的一个等价关系．例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）．请你再列出两个等价关系：______．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
在中，，．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若边的长为，求边的长．
18．（本小题满分12分）
甲、乙两名跳高运动员一次试跳米高度成功的概率分别是，，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：
（Ⅰ）甲试跳三次，第三次才成功的概率；
（Ⅱ）甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率；
（Ⅲ）甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率．
19．（本小题满分12分）
如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的大小．
20．（本小题满分12分）
设函数．
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）若对恒成立，求实数的取值范围．
21．（本小题满分12分）
数列的前项和为，，．
（Ⅰ）求数列的通项；
（Ⅱ）求数列的前项和．
22．（本小题满分14分）
如图，已知，直线，为平面上的动点，过点作的垂线，垂足为点，且．
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）过点的直线交轨迹于两点，交直线于点．
（1）已知，，求的值；
（2）求的最小值．
2007年普通高等学校招生全国统一考试（福建文）参考答案
一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算，每小题5分，满分60分．
1．Ｃ　　2．Ｃ　　3．Ｄ　　4．Ａ　　5．Ａ　　6．Ｂ
7．Ｄ　　8．Ｂ　　9．Ｄ　　10．Ｂ　　11．Ｂ　　12．Ｃ
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分16分．
13． 14． 15．
16．答案不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力．满分12分．
解：（Ⅰ），
．
又，．
（Ⅱ）由且，
得．，．
18．本小题主要考查概率的基础知识，运用数学知识解决问题的能力，以及推理与运算能力．满分12分．
解：记“甲第次试跳成功”为事件，“乙第次试跳成功”为事件，依题意得，，且，（）相互独立．
（Ⅰ）“甲第三次试跳才成功”为事件，且三次试跳相互独立，
．
答：甲第三次试跳才成功的概率为．
（Ⅱ）“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件．
解法一：，且，，彼此互斥，
．
解法二：．
答：甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为．
（Ⅲ）设“甲在两次试跳中成功次”为事件，
“乙在两次试跳中成功次”为事件，
事件“甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为，且，为互斥事件，
所求的概率为
答：甲、乙每人试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为．
19．本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．满分12分．
解法一：（Ⅰ）取中点，连结．
为正三角形，．
正三棱柱中，平面平面，平面．
连结，在正方形中，分别为
的中点，
，
．
在正方形中，，
平面．
（Ⅱ）设与交于点，在平面中，
作于，连结，由（Ⅰ）得平面．
，
为二面角的平面角．
在中，由等面积法可求得，
又，
．
所以二面角的大小为．
解法二：（Ⅰ）取中点，连结．
为正三角形，．
在正三棱柱中，
平面平面，
平面．
取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，
，，．
，，
，．
平面．
（Ⅱ）设平面的法向量为．
，．
，，
令得为平面的一个法向量．
由（Ⅰ）知平面，
为平面的法向量．
，．
二面角的大小为．
20．本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用，考查运用数学知识分析问题解决问题的能力．满分12分．
解：（Ⅰ），
当时，取最小值，
即．
（Ⅱ）令，
由得，（不合题意，舍去）．
当变化时，的变化情况如下表：
递增
极大值
递减
在内有最大值．
在内恒成立等价于在内恒成立，
即等价于，
所以的取值范围为．
21．本小题考查数列的基本知识，考查等比数列的概念、通项公式及数列的求和，考查分类讨论及化归的数学思想方法，以及推理和运算能力．满分12分．
解：（Ⅰ），
，
．
又，
数列是首项为，公比为的等比数列，．
当时，，
（Ⅱ），
当时，；
当时，，…………①
，………………………②
得：
．
．
又也满足上式，
．
22．本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力．满分14分．
解法一：（Ⅰ）设点，则，由得：
，化简得．
（Ⅱ）（1）设直线的方程为：
．
设，，又，
联立方程组，消去得：，，
由，得：
，，整理得：
，，
．
解法二：（Ⅰ）由得：，
，
，
．
所以点的轨迹是抛物线，由题意，轨迹的方程为：．
（Ⅱ）（1）由已知，，得．
则：．…………①
过点分别作准线的垂线，垂足分别为，，
则有：．…………②
由①②得：，即．
（Ⅱ）（2）解：由解法一，
．
当且仅当，即时等号成立，所以最小值为．
2007年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理工农医类）（福建卷）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数等于（ ）
A． B． C． D．
2．数列的前项和为，若，则等于（ ）
A．1 B． C． D．
3．已知集合，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．对于向量和实数，下列命题中真命题是（ ）
A．若，则或 B．若，则或
C．若，则或 D．若，则
5．已知函数的最小正周期为，则该函数的图象（ ）
A．关于点对称 B．关于直线对称
C．关于点对称 D．关于直线对称
6．以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．把展开成关于的多项式，其各项系数和为，则等于（ ）
A． B． C． D．2
10．顶点在同一球面上的正四棱柱中，，则两点间的球面距离为（ ）
A． B． C． D．
11．已知对任意实数，有，且时，，则时（ ）
A． B．
C． D．
12．如图，三行三列的方阵中有9个数，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置．
13．已知实数满足则的取值范围是________．
14．已知正方形，则以为焦点，且过两点的椭圆的离心率为______．
15．两封信随机投入三个空邮箱，则邮箱的信件数的数学期望 ．
16．中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等．如果集合中元素之间的一个关系“”满足以下三个条件：
（1）自反性：对于任意，都有；
（2）对称性：对于，若，则有；
（3）传递性：对于，若，，则有．
则称“”是集合的一个等价关系．例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）．请你再列出三个等价关系：______．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
在中，，．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若最大边的边长为，求最小边的边长．
18．（本小题满分12分）
如图，正三棱柱的所有棱长都为
，为中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）求点到平面的距离．
19．（本小题满分12分）
某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交元（）的管理费，预计当每件产品的售价为元（）时，一年的销售量为万件．
（Ⅰ）求分公司一年的利润（万元）与每件产品的售价的函数关系式；
（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润最大，并求出的最大值．
20．（本小题满分12分）如图，已知点，
直线，为平面上的动点，过作直线
的垂线，垂足为点，且．
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）过点的直线交轨迹于两点，交直线于点，已知，，求的值；
21．（本小题满分12分）
等差数列的前项和为．
（Ⅰ）求数列的通项与前项和；
（Ⅱ）设，求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
22．（本小题满分14分）
已知函数
（Ⅰ）若，试确定函数的单调区间；
（Ⅱ）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；
（Ⅲ）设函数，求证：．
福建数学试题
（理工农医类）参考答案
一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算，每小题5分，满分60分．
1．D 2．B 3．C 4．B 5．A 6．A 7．C 8．D 9．D 10．B
11．B 12．D
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分．
13． 14． 15．
16．答案不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力，满分12分．
解：（Ⅰ），
．
又，．
（Ⅱ），
边最大，即．
又，
角最小，边为最小边．
由且，
得．由得：．
所以，最小边．
18．本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．满分12分．
解法一：（Ⅰ）取中点，连结．
为正三角形，．
正三棱柱中，平面平面，
平面．
连结，在正方形中，分别为
的中点，
，
．
在正方形中，，
平面．
（Ⅱ）设与交于点，在平面中，作于，连结，由（Ⅰ）得平面．
，
为二面角的平面角．
在中，由等面积法可求得，
又，
．
所以二面角的大小为．
（Ⅲ）中，，．
在正三棱柱中，到平面的距离为．
设点到平面的距离为．
由得，
．
点到平面的距离为．
解法二：（Ⅰ）取中点，连结．
为正三角形，．
在正三棱柱中，平面平面，
平面．
取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，
，，．
，，
，．
平面．
（Ⅱ）设平面的法向量为．
，．
，，
令得为平面的一个法向量．
由（Ⅰ）知平面，
为平面的法向量．
，．
二面角的大小为．
（Ⅲ）由（Ⅱ），为平面法向量，
．
点到平面的距离．
19．本小题考查函数、导数及其应用等知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力，满分12分．
解：（Ⅰ）分公司一年的利润（万元）与售价的函数关系式为：
．
（Ⅱ）
．
令得或（不合题意，舍去）．
，．
在两侧的值由正变负．
所以（1）当即时，
．
（2）当即时，
，
所以
答：若，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）；若，则当每件售价为元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）．
20．本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力．满分14分．
解法一：（Ⅰ）设点，则，由得：
，化简得．
（Ⅱ）设直线的方程为：
．
设，，又，
联立方程组，消去得：
，，故
由，得：
，，整理得：
，，
．
解法二：（Ⅰ）由得：，
，
，
．
所以点的轨迹是抛物线，由题意，轨迹的方程为：．
（Ⅱ）由已知，，得．
则：．…………①
过点分别作准线的垂线，垂足分别为，，
则有：．…………②
由①②得：，即．
21．本小题考查数列的基本知识，考查等差数列的概念、通项公式与前项和公式，考查等比数列的概念与性质，考查化归的数学思想方法以及推理和运算能力．满分12分
解：（Ⅰ）由已知得，，
故．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得．
假设数列中存在三项（互不相等）成等比数列，则．
即．

，
．
与矛盾．
所以数列中任意不同的三项都不可能成等比数列．
22．本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．满分14分．
解：（Ⅰ）由得，所以．
由得，故的单调递增区间是，
由得，故的单调递减区间是．
（Ⅱ）由可知是偶函数．
于是对任意成立等价于对任意成立．
由得．
①当时，．
此时在上单调递增．
故，符合题意．
②当时，．
当变化时的变化情况如下表：
单调递减
极小值
单调递增
由此可得，在上，．
依题意，，又．
综合①，②得，实数的取值范围是．
（Ⅲ），
，
，

由此得，
故．
2007年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）
数 学（供文科考生使用）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
参考公式：
如果事件互斥，那么 球的表面积公式

如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径
球的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率是，那么
次独立重复试验中恰好发生次的概率 其中表示球的半径
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若函数的反函数图象过点，则函数的图象必过点（ ）
A． B． C． D．
3．双曲线的焦点坐标为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．若向量与不共线，，且，则向量与的夹角为（ ）
A．0 B． C． D．
5．设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．63 B．45 C．36 D．27
6．若是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，，则
7．若函数的图象按向量平移后，得到函数的图象，则向量（ ）
A． B． C． D．
8．已知变量满足约束条件则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．函数的单调增区间为（ ）
A． B． C． D．
10．一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球．若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
11．设是两个命题：，则是的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
12．将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第个数为，若，，，，则不同的排列方法种数为（ ）
A．18 B．30 C．36 D．48
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13．已知函数为奇函数，若，则　　　　．
14．展开式中含的整数次幂的项的系数之和为　　　　（用数字作答）．
15．若一个底面边长为，棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上，则此球的体积为 ．
16．设椭圆上一点到左准线的距离为10，是该椭圆的左焦点，若点满足，则　　　　．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命（单位：小时）进行了统计，统计结果如下表所示：
分组
[500，900)
[900，1100)
[1100，1300)
[1300，1500)
[1500，1700)
[1700，1900)
[1900，)
频数
48
121
208
223
193
165
42
频率
（I）将各组的频率填入表中；
（II）根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足1500小时的频率；
（III）该公司某办公室新安装了这种型号的灯管3支，若将上述频率作为概率，试求至少有2支灯管的使用寿命不足1500小时的概率．
18．（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱中，，，分别为棱的中点，为棱上的点，二面角为．
（I）证明：；
（II）求的长，并求点到平面的距离．

19．（本小题满分12分）
已知函数（其中）
（I）求函数的值域；
（II）若函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为，求函数的单调增区间．
20．（本小题满分12分）
已知数列，满足，，且（）
（I）令，求数列的通项公式；
（II）求数列的通项公式及前项和公式．
21．（本小题满分14分）
已知正三角形的三个顶点都在抛物线上，其中为坐标原点，设圆是的内接圆（点为圆心）
（I）求圆的方程；
（II）设圆的方程为，过圆上任意一点分别作圆的两条切线，切点为，求的最大值和最小值．
22．（本小题满分12分）
已知函数，，且对任意的实数均有，．
（I）求函数的解析式；
（II）若对任意的，恒有，求的取值范围．
2007年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）
数 学（供理科考生使用）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
参考公式：
如果事件互斥，那么 球的表面积公式

如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径
球的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率是，那么
次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中表示球的半径
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若函数的反函数图象过点，则函数的图象必过点（ ）
A． B． C． D．
3．若向量与不共线，，且，则向量与的夹角为（ ）
A．0 B． C． D．
4．设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．63 B．45 C．36 D．27
5．若，则复数在复平面内所对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．若函数的图象按向量平移后，得到函数的图象，则向量（ ）
A． B． C． D．
7．若是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
8．已知变量满足约束条件则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．设是两个命题：，则是的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
11．设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
12．已知与是定义在上的连续函数，如果与仅当时的函数值为0，且，那么下列情形不可能出现的是（ ）
A．0是的极大值，也是的极大值
B．0是的极小值，也是的极小值
C．0是的极大值，但不是的极值
D．0是的极小值，但不是的极值
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13．已知函数在点处连续，则 ．
14．设椭圆上一点到左准线的距离为10，是该椭圆的左焦点，若点满足，则= ．
15．若一个底面边长为，棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上，则此球的体积为 ．
16．将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第个数为，若，，，，则不同的排列方法有 种（用数字作答）．
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知函数（其中）
（I）求函数的值域；
（II）若对任意的，函数，的图象与直线有且仅有两个不同的交点，试确定的值（不必证明），并求函数的单调增区间．
18．（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱中，，，分别为棱的中点，为棱上的点，二面角为．
（I）证明：；
（II）求的长，并求点到平面的距离．

19．（本小题满分12分）
某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本与产量的函数关系式为
该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格与产量的函数关系式如下表所示：
市场情形
概率
价格与产量的函数关系式
好
0.4
中
0.4
差
0.2
设分别表示市场情形好、中差时的利润，随机变量，表示当产量为，而市场前景无法确定的利润．
（I）分别求利润与产量的函数关系式；
（II）当产量确定时，求期望；
（III）试问产量取何值时，取得最大值．
20．（本小题满分14分）
已知正三角形的三个顶点都在抛物线上，其中为坐标原点，设圆是的内接圆（点为圆心）
（I）求圆的方程；
（II）设圆的方程为，过圆上任意一点分别作圆的两条切线，切点为，求的最大值和最小值．
21．（本小题满分12分）
已知数列，与函数，，满足条件：
，.
（I）若，，，存在，求的取值范围；
（II）若函数为上的增函数，，，，证明对任意，（用表示）．
22．（本小题满分12分）
已知函数，．
（I）证明：当时，在上是增函数；
（II）对于给定的闭区间，试说明存在实数 ，当时，在闭区间上是减函数；
（III）证明：．
2007年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）
数学试题卷（文史类）
数学试题卷（文史类）共5页，满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色铅字笔，将答案书写在答案卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么
如果事件A、B相互独立，那么
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）在等比数列{an}中，a2＝8，a1＝64，，则公比q为
（A）2 （B）3 （C）4 （D）8
（2）设全集U＝|a、b、c、d|，A＝|a、c|，B=|b|，则A∩（CuB）＝
（A） （B）{a} （C）{c} （D）{a,c}
（3）垂直于同一平面的两条直线
（A）平行 （B）垂直 （C）相交 （D）异面
（4）（2x-1）2展开式中x2的系数为
（A）15 （B）60 （C）120 （D）240
（5）“-1＜x＜1”是“x2＜1”的
（A）充分必要条件 （B）充分但不必要条件
（C）必要但不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
（6）下列各式中，值为的是
（A） （B）
（C） （D）
（7）从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为
（A） （B） （C） （D）
（8）若直线与圆相交于P、Q两点，且∠POQ＝120°（其中O为原点），则k的值为
（A） （B） （C） （D）
（10）设P（3，1）为二次函数的图象与其反函数的图象的一个交点，则
（A） （B）
（C） （D）
（11）设的等比中项，则a+3b的最大值为
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
（12）已知以F1（2,0），F2（2,0）为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为
（A） （B） （C） （D）
二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填写在答题卡相应位置上。
（13）在△ABC中，AB=1,BC=2,B=60°，则AC＝ 。
（14）已知的最大值为 。
（15）要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为 。（以数字作答）
（16）函数的最小值为 。
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）
设甲乙两人每次射击命中目标的概率分别为，且各次射击相互独立。
（Ⅰ）若甲、乙各射击一次，求甲命中但乙未命中目标的概率；
（Ⅱ）若甲、乙各射击两次，求两命中目标的次数相等的概率。
（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问9分）
已知函数。
（Ⅰ）求f(x)的定义域；
（Ⅱ）若角a在第一象限且
（19）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分。）
如题（19）图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB=1,BC=,AA2=2;点D在棱BB1上，BD＝BB1；B1E⊥A1D，垂足为E，求：
题（19）图
（Ⅰ）异面直线A1D与B1C1的距离；
（Ⅱ）四棱锥C-ABDE的体积。
20.（本小题满分12分）
用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）
如题（21）图，倾斜角为a的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、B两点。
题（21）图
（Ⅰ）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；
（Ⅱ）若a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值。
（22）（本小题满分12分，其中（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）
已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足Sn＞1，且
（Ⅰ）求｛an｝的通项公式；
（Ⅱ）设数列｛bn｝满足并记Tn为｛bn｝的前n项和，求证：
2007年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）
数学试题（文史类）答案
一、选择题：每小题5分，满分60分。
（1）A（2）D（3）A（4）B（5）A（6）B（7）C（8）A（9）D（10）C（11）B（12）C
二、填空题：每小题4分，满分16分。
（13）（14）9（15）288（16）1+2
三、解答题：满分74分
解：（Ⅰ）设A表示甲命中目标，B表示乙命中目标，则A、B相互独立，且P（A）＝，从而甲命中但乙未命中目标的概率为
（Ⅱ）设A1表示甲在两次射击中恰好命中k次，B1表示乙有两次射击中恰好命中l次。
依题意有
由独立性知两人命中次数相等的概率为
(18)（本小题13分）
解：（Ⅰ）由
故f(x)的定义域为
（Ⅱ）由已知条件得
从而
＝
＝
＝
（19）（本小题12分）
解法一：（Ⅰ）由直三棱柱的定义知B1C1⊥B1D，又因为∠ABC＝90°，因此B1C1⊥A1B1，从而B1C1⊥平面A1B1D，得B1C1⊥B1E。又B1E⊥A1D，
故B1E是异面直线B1C1与A1D的公垂线
由知
在Rt△A1B1D中，A2D＝
又因
故B1E=
（Ⅱ）由（Ⅰ）知B1C1⊥平面A1B1D，又BC∥B1C1，故BC⊥平面ABDE，即BC为四棱锥C-ABDE的高。从而所求四棱锥的体积V为
V＝VC-ABDE＝
其中S为四边形ABDE的面积。如答（19）图1，过E作EF⊥BD，垂足为F。
答（19）图1
在Rt△B1ED中，ED=
又因S△B1ED=
故EF=
因△A1AE的边A1A上的高故
S△A1AE＝
又因为S△A1BD＝从而
S＝S△A1AE-S△A1AE-S△A1B1D＝2-
所以
解法二：（Ⅱ）如答（19）图2，以B点为坐标原点O建立空间直角坐标系O-xyz，则
答（19）图2
A(0,1,0),A1(0,1,2),B(0,0,0).
B1(0,0,2),C1(,0,2),D(0,0, )
因此
设E（，y0，z0），则，
因此
又由题设B1E⊥A1D，故B1E是异面直线B1C1与A1D的公垂线。
下面求点E的坐标。
因B1E⊥A1D，即
又
联立（1）、（2）,解得,,即，。
所以.
（Ⅱ）由BC⊥AB，BC⊥DB，故BC⊥面ABDE.即BC为四棱锥C-ABDE的高.
下面求四边形ABDE的面积。
因为SABCD＝SABE+ SADE，
而SABE＝
SBDE＝
故SABCD＝
所以
（20）（本小题12分）
解：设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为
.
故长方体的体积为
从而
令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.
当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜时，V′（x）＜0，
故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。
从而最大体积V＝V′（x）＝9×12-6×13（m3），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.
答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3。
（21）（本小题12分）
（Ⅰ）解：设抛物线的标准方程为，则，从而
因此焦点的坐标为（2，0）.
又准线方程的一般式为。
从而所求准线l的方程为。
答（21）图
（Ⅱ）解法一：如图（21）图作AC⊥l，BD⊥l，垂足为C、D，则由抛物线的定义知
|FA|=|FC|,|FB|=|BD|.
记A、B的横坐标分别为xxxz，则
|FA|＝|AC|＝解得，
类似地有，解得。
记直线m与AB的交点为E，则
所以。
故。
解法二：设，，直线AB的斜率为，则直线方程为。
将此式代入,得，故。
记直线m与AB的交点为，则
，
，
故直线m的方程为.
令y=0,得P的横坐标故
。
从而为定值。
（22）（本小题12分）
（Ⅰ）解：由，解得a1＝1或a1＝2，由假设a1＝S1＞1，因此a1＝2。
又由an+1＝Sn+1- Sn＝，
得an+1- an-3＝0或an+1＝-an
因an＞0，故an+1＝-an不成立，舍去。
因此an+1- an-3＝0。从而｛an｝是公差为3，首项为2的等差数列，故｛an｝的通项为an＝3n-2。
（Ⅱ）证法一：由可解得
；
从而。
因此。
令,则
。
因，故
.
特别的。从而，
即。
证法二：同证法一求得bn及Tn。
由二项式定理知当c＞0时，不等式
成立。
由此不等式有
＝。
证法三：同证法一求得bn及Tn。
令An＝，Bn＝，Cn＝。
因，因此。
从而
＞。
2007年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)
数学试题卷（理工农医类）
　　参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P（A+B）－P(A)+P(B) . 　　　　　　
如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)－P(A)·P(B) 　　　　　　　
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立事件重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=CknPk(1-P)n-k
选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）若等差数列{}的前三项和且，则等于（ ）
A．3 B.4 C. 5 D. 6
（2）命题“若，则”的逆否命题是（ ）
A．若，则或 B.若，则
C.若或，则 D.若或，则
（3）若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（ ）
A．5部分 B.6部分 C.7部分 D.8部分
（4）若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）
A10 B.20 C.30 D.120
（5）在中，则BC =（ ）
A. B. C.2 D.
（6）从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
（7）若a是1+2b与1-2b的等比中项，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
（8）设正数a,b满足则（ ）
A．0 B． C． D．1
（9）已知定义域为R的函数f(x)在上为减函数，且y=f(x+8)函数为偶函数，则（ ）
A.f(6)>f(7) B.f(6)>f(9) C.f(7)>f(9) D.f(7)>f(10)
（10）如图，在四边形ABCD中，=0, 则的值为（ ）
A.2 B. C.4 D.
二、填空题：本大题共6小题，共24分，把答案填写在答题卡相应位置上
（11）复数的虚部为________.
（12）已知x,y满足，则函数z = x+3y的最大值是________.
（13）若函数f(x) = 的定义域为R，则a的取值范围为_______.
（14）设{}为公比q>1的等比数列，若和是方程的两根，则
__________.
（15）某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有___________种。（以数字作答）
（16）过双曲线的右焦点F作倾斜角为的直线，交双曲线于PQ两点，则|FP||FQ|的值为__________.
三、解答题：本大题共６小题，共７６分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）(本小题满分13分)设f (x) =
（1）求f(x)的最大值及最小正周期；
（2）若锐角满足，求tan的值。
（18）(本小题满分13分)某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金，对在一年内发生此种事故的车辆，单位获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次）。设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为，且各车是否发生事故相互独立。求一年内该单位在此保险中：
（1）获赔的概率；
（2）获赔金额的分别列与期望。
（19）(本小题满分13分)如图，在直三棱柱ABC—中，AB = 1；点D、E分别在上，且，四棱锥与直三棱柱的体积之比为3：5。
（1）求异面直线DE与的距离；
（2）若BC =，求二面角的平面角的正切值。
（20）(本小题满分13分)已知函数(x>0)在x = 1处取得极值--3--c，其中a,b,c为常数。
（1）试确定a,b的值；
（2）讨论函数f(x)的单调区间；
（3）若对任意x>0，不等式恒成立，求c的取值范围。
(21)(本小题满分12分)已知各项均为正数的数列{}的前n项和满足，且
（1）求{}的通项公式；
（2）设数列{}满足，并记为{}的前n项和，求证：
(22) (本小题满分12分)如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为F（3，0），右准线l的方程为：x = 12。
（1）求椭圆的方程；
（2）在椭圆上任取三个不同点，使，证明
为定值，并求此定值。
试卷类型：A
2007年普通高等学校招生全国统一考试（陕西）
文科数学（必修+选修Ⅰ）
注意事项：
1.本试卷分第一部分和第二部分。第一部分为选择题，第二部分为非选择题。
2.考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点。
3.所有答案必须在答题卡上指定区域内作答。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（共60分）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）。
1.已知全集，则集合CuA等于
（A）{1，4} （B）{4，5} （C）{1，4，5} （D）{2，3，6}
2.函数的定义域为
（A）［0，1］ （B）（-1，1）
（C）［-1，1］ （D）（-∞，-1）∪（1，+∞）
3.抛物线的准线方程是
（A） （B）
（C） （D）
4.已知,则的值为
（A） （B） （C） （D）
5.等差数列{an}的前n项和为Sn，若
（A）12 （B）18 （C）24 （D）42
6.某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测。若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
7.Rt△ABC的三个顶点在半径为13的球面上，两直角边的长分别为6和8，则球心到平面ABC的距离是
（A）5 （B）6 （C）10 （D）12
8.设函数f(x)=2+1(x∈R)的反函数为f -1(x),则函数y= f -1(x)的图象是
9.已知双曲线C∶＞0,b＞0),以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是
（A）a (B)b (C) (D)
10.已知P为平面a外一点，直线la,点Q∈l,记点P到平面a的距离为a,点P到直线l的距离为b，点P、Q之间的距离为c，则
（A） （B）c
(C) (D)
11.给出如下三个命题：
①设a,bR,且>1,则＜1;
②四个非零实数a、b、c、d依次成等比数列的充要条件是ad=bc;
③若f(x)=logix,则f（|x|）是偶函数.
其中正确命题的序号是
（A）①② （B）②③ （C）①③ （D）①②③
12.某生物生长过程中，在三个连续时段内的增长量都相等，在各时段内平均增长速度分别为v1，v2,v3,该生物在所讨论的整个时段内的平均增长速度为
（A） （B）
（C） （D）
第二部分（共90分）
二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16分）.
13.的展开式中项的系数是 .（用数字作答）
14.已知实数、满足条件则的最大值为 .
15.安排3名支教教师去4所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有 种.（用数字作答）
16.如图，平面内有三个向量、、，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且＝＝1，＝.若＝的值为 .
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分）.
17.（本小题满分12分）
设函数.其中向量.
（Ⅰ）求实数的值;
（Ⅱ）求函数的最小值.
18.（本小题满分12分）
某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则
即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为、、、，且各轮问题能否正确回答互不影响.
（Ⅰ）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率;
（Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率.
（注：本小题结果可用分数表示）
19.(本小题满分12分)
如图,在底面为直角梯形的四棱锥v
,BC=6.
(Ⅰ)求证:BD
(Ⅱ)求二面角的大小.
20. (本小题满分12分)
已知实数列等比数列,其中成等差数列.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)数列的前项和记为证明: ＜128…).
21. (本小题满分12分)
已知在区间[0,1]上是增函数,在区间上是减函数,又
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)若在区间(m＞0)上恒有≤x成立,求m的取值范围.
22. (本小题满分14分)
已知椭圆C:=1(a＞b＞0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值.
2007年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）
数 学（文史类）参考答案
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．Ｃ　　2．Ｂ　　3．Ｂ　　4．Ａ　　5．Ｃ　　6．Ｃ　　7．Ｄ　　8．Ａ　　9．Ｂ
10．Ａ　　11．Ｃ　　12．Ｄ
二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16分）．
13．　　14．　　15．　　16．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分）
17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ），，得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，当时，的最小值为．
18．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第轮的问题”的事件为，则，，，，该选手进入第四轮才被淘汰的概率．
（Ⅱ）该选手至多进入第三轮考核的概率
．
19．（本小题满分12分）
解法一：（Ⅰ）平面，平面．．
又，．
，，
，即．
又．平面．
（Ⅱ）连接．
平面．，．
为二面角的平面角．
在中，，
，，
二面角的大小为．
解法二：（Ⅰ）如图，建立坐标系，
则，，，，，
，，，
，．，，
又，面．
（Ⅱ）设平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则，，
解得．
，．二面角的大小为．
20．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设等比数列的公比为，
由，得，从而，，．
因为成等差数列，所以，
即，．
所以．故．
（Ⅱ）．
21．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ），由已知，
即解得
，，，．
（Ⅱ）令，即，
，或．
又在区间上恒成立，．
22．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，依题意
，所求椭圆方程为．
（Ⅱ）设，．
（1）当轴时，．
（2）当与轴不垂直时，
设直线的方程为．
由已知，得．
把代入椭圆方程，整理得，
，．
．
当且仅当，即时等号成立．当时，，
综上所述．
当最大时，面积取最大值．
Ｂ卷选择题答案：
1．Ｂ　　2．Ｃ　　3．Ａ　　4．Ｃ　　5．Ｂ　　6．Ｂ　　7．Ａ　　8．Ｄ　　9．Ｄ　　10．Ｃ
11．Ｄ　　12．Ｂ
2007年普通高等学校招生全国统一考试（陕西）
理科数学（必修+选修Ⅱ）
注意事项：
　　　1.本试卷分第一部分和第二部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题。
　　　2.考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号、并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点。
　　　3.所有答案必须在答题卡上指定区域内作答。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（共60分）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）.
1.在复平面内，复数z=对应的点位于
（A）第一象限　　（B）第二象限　　（C）第在象限　（D）第四象限
　2.已知全信U＝（1，2，3， 4，5），集合A＝,则集合CuA等于
（A）　　 （B） (C) (D)
3.抛物线y=x2的准线方程是
（A）4y+1=0 (B)4x+1=0 (C)2y+1=0 (D)2x+1=0
4.已知sinα=，则sin4α-cos4α的值为
（A）- (B)- (C) (D)
5.各项均为正数的等比数列的前n项和为Sn，若Sn=2,S30=14,则S40等于
（A）80　　　　（B）30 (C)26 (D)16
6.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是
　　（A） (B) (C) (D)
7.已知双曲线C：(a＞0,b＞0),以C的右焦点为圆心且与C的浙近线相切的圆的半径是
A. B. C.a D.b
8.若函数f(x)的反函数为f,则函数f(x-1)与f的图象可能是
9.给出如下三个命题：
①四个非零实数a、b、c、d依次成等比数列的充要条件是ad=bc;
②设a,b∈R，则ab≠0若＜1，则＞1；
③若f(x)=log2x=x,则f（|x|）是偶函数.
其中不正确命题的序号是
A.①②③　　　　　　　　B.①②　　　　　　　C.②③　　　　　　D.①③
10.已知平面α∥平面β，直线mα，直线n β，点A∈m,点B∈n，记点A、B之间的距离为a,点A到直线n的距离为b,直线m和n的距离为c,则
A.b≤a≤c B.a≤c≤b　　　　C. c≤a≤b D. c≤b≤a
11.f(x)是定义在（0，±∞）上的非负可导函数，且满足xf(x)+f(x)≤0,对任意正数a、b,若 a＜b，则必有
A.af(b) ≤bf(a) B.bf(a) ≤af(b)
C.af(a) ≤f(b) D.bf(b) ≤f(a)
12.设集合S={A0，A1，A2，A3}，在S上定义运算为：A1A=Ab,其中k为I+j被4除的余数，I,j=0,1,2,3.满足关系式=（xx）A2=A0的x(x∈S)的个数为
A.4 B.3 C.2 D.1
第二部分（共90分）
二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16分）.
13. .
14.已知实数x、y满足条件，则z=x+2y的最大值为 .
15.如图，平面内有三个向量、、,其中与与的夹角为120°，与的夹角为30°,且||＝||＝1，||＝，若＝λ+μ（λ，μ∈R）,则λ+μ的值为 .
16.安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有 种.（用数字作答）
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分）.
17.（本小题满分12分）
设函数f(x)=a-b,其中向量a=(m,cos2x),b=(1+sin2x,1),x∈R,且函数y=f(x)的图象经过点，
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）求函数f(x)的最小值及此时x的值的集合.
18.（本小题满分12分）
某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为、、，且各轮问题能否正确回答互不影响.（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率；
（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数数期望.（注：本小题结果可用分数表示）
19.(本小题满分12分)
如图,在底面为直角梯形的四棱锥v
,BC=6.
(Ⅰ)求证:BD
(Ⅱ)求二面角的大小.
20.(本小题满分12分)
设函数f(x)=其中a为实数.
(Ⅰ)若f(x)的定义域为R,求a的取值范围;
(Ⅱ)当f(x)的定义域为R时，求f(x)的单减区间.
21. (本小题满分14分)
已知椭圆C:（a＞b＞0）的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值.
22. (本小题满分12分)
已知各项全不为零的数列{ak}的前k项和为Sk,且Sk＝N*),其中a1=1.
(Ⅰ)求数列{ak}的通项公式;
(Ⅱ)对任意给定的正整数n(n≥2),数列{bk}满足（k=1,2,…，n-1）,b1=1.
求b1+b2+…+bn.
2007年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）
数 学（理工农医类）参考答案
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）．
1．Ｄ　　2．Ｂ　　3．Ｄ　　4．Ａ　　5．Ｃ　　6．Ｂ　　7．Ｂ　　8．Ｄ　　9．Ａ
10．Ａ　　11．Ｃ　　12．Ｂ
二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16分）．
13．　　14．　　15．　　16．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分）
17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ），
由已知，得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
当时，的最小值为，
由，得值的集合为．
18．（本小题满分12分）
解法一：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第轮的问题”的事件为，则，，，
该选手被淘汰的概率
．
（Ⅱ）的可能值为，，
，
．
的分布列为
1
2
3
．
解法二：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第轮的问题”的事件为，则，，．
该选手被淘汰的概率
．
（Ⅱ）同解法一．
19．（本小题满分12分）
解法一：（Ⅰ）平面，平面．．
又，．
，，，即．
又．平面．
（Ⅱ）过作，垂足为，连接．
平面，是在平面上的射影，由三垂线定理知，
为二面角的平面角．
又，
，
，
又，，．
由得．
在中，，．
二面角的大小为．
解法二：（Ⅰ）如图，建立坐标系，
则，，，，，
，，，
，．，，
又，平面．
（Ⅱ）设平面的法向量为，
则，，
又，，
解得
平面的法向量取为，
，．
二面角的大小为．
20．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）的定义域为，恒成立，，
，即当时的定义域为．
（Ⅱ），令，得．
由，得或，又，
时，由得；
当时，；当时，由得，
即当时，的单调减区间为；
当时，的单调减区间为．
21．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，依题意
，所求椭圆方程为．
（Ⅱ）设，．
（1）当轴时，．
（2）当与轴不垂直时，
设直线的方程为．
由已知，得．
把代入椭圆方程，整理得，
，．
．
当且仅当，即时等号成立．当时，，
综上所述．
当最大时，面积取最大值．
22．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）当，由及，得．
当时，由，得．
因为，所以．从而．
，．故．
（Ⅱ）因为，所以．
所以
．
故
．
Ｂ卷选择题答案：
1．Ｄ　　2．Ｃ　　3．Ａ　　4．Ｂ　　5．Ｂ　　6．Ｃ　　7．Ｄ　　8．Ａ　　9．Ｂ
10．Ｄ　　11．Ａ　　12．Ｃ