贵州省铜仁市石阡县2022-2023学年九年级下学期第五次质量监测数学试题（含解析）

石阡县2022-2023学年度九年级第五次质量监测
数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1．比﹣2小1的数是（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
2．如左图所示的几何体，其俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．“以节为媒兴文旅，佛顶迎春引客来．”石阡县坪山乡佛顶山村一年一度的佬“敬雀节”举行期间，佛顶山村共计接待游客超万人次，实现旅游综合收入万元．数据万用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，已知AB=AC，BC=6，尺规作图痕迹可求出BD=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．函数中，自变量x的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，一块含角的直角三角板的两个顶点恰好落在一把标准直尺的对边上．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．若△ABC∽△DEF，且AB：DE＝2：3，则△ABC与△DEF的面积比为（　　）
A．2：3 B．： C．4：9 D．16：81
8．在一个暗箱里放有个除颜色外完全相同的球，这个球中红球只有个，每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回，通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率为，由此可以推算出约为（ ）
A．7 B．3 C．10 D．6
9．爱好运动的芮芮同学利用“微信运动”，连续记录了天的行走步数（单位：万步），分别为：，，，，．若这组数据的众数为，则这组数据的中位数是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，以的三边为边分别向外作正方形，它们的面积分别为，，．若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
11．如图，矩形中，．反比例函数的图象的一支经过矩形对角线的交点P，则该反比例函数的解析式是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，对于抛物线与直线（m为常数），针对m的不同取值，甲、乙、丙三人的说法如下：
甲：无论m为何值，抛物线与x轴总有两个交点；
乙：无论m为何值，抛物线与直线不会有交点；
丙：无论m为何值，抛物线与直线总有两个交点．
下列判断正确的是（　　）
A．只有甲错 B．只有丙对 C．甲、乙、丙都对 D．甲、乙、丙都错
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．日晷是我国古代的一种计时仪器，它由晷面和晷针组成．当太阳光照在日晷上时，晷针的影子会随着时间的推移慢慢移动，以此来显示时刻，则晷针在晷面上形成的投影是___________投影．（填“平行”或“中心”）
14．如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是___________．
15．古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式，如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p＝，那么三角形的面积为S＝．在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a，b，c，若a＝3，b＝5，c＝6，则△ABC的面积为______．
16．如图，在平行四边形中，以为直径的与边的中点交于点，与对角线交于点，作，垂足为．若，则的值为____________．
三、解答题（本大题共9小题，共98分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（1）二次函数的一次项系数是___________，它的图象开口向___________．
（2）某同学化简时出现了错误，她的解答过程如下：
解：原式 第一步
…………第二步
．…………第三步
①该同学的解答过程从第___________步开始出现错误，错误的原因是___________；
②请写出此题正确的解答过程，并求出当时原代数式的值．
18．为切实减轻学生课后作业负担，某中学教务处随机抽取了七、八、九年级部分学生，对这些学生完成课后作业所用时间t（单位：小时）进行了调查，并将调查结果分为A，B，C，D，E五组．同时，将调查的结果绘成了如下不完整的统计图表．
组别 人数 时间/小时
A 20
B 40
C m
D 12
E 8
请你根据以上信息，解答下列问题：
(1)表格中的___________，扇形统计图中的___________．
(2)此次调查后，最终有甲、乙、丙、丁四名同学在完成时间和正确率上被评为“校级优秀作业”，现从这四名同学中挑选两名同学参加全市举行的“优秀作业”展评，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲和乙的概率．
19．近几年来，新能源汽车已然成为汽车工业发展的主流趋势．某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装288辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人．他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：2名熟练工和1名新工人每月可安装10辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车．每名熟练工和每名新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
20．如图，在菱形ABCD中，BE⊥CD于点E，DF⊥BC于点F．
(1)求证：BF＝DE；
(2)分别延长BE、AD交于点G，若∠A＝45°，AB＝10，求线段DG的长．
21．如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上一点，轴，垂足为点B，若，一次函数与x轴交于点．
(1)求k，m的值；
(2)有一点，过点P作x轴的平行线，分别交和的图象于点M，N．判断线段与的数量关系，并说明理由；
22．如图，某地政府为解决当地农户网络销售农产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道，无人机从处的正上方处，沿正东方向以的速度飞行到达处，此时测得A处的俯角为60°，然后以同样的速度沿正东方向又飞行到达处，此时测得处的俯角为．
(1)求无人机的高度（结果保留根号）；
(2)求隧道的长度．（结果精确到；参考数据：，，，）
23．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，AC与⊙O交于点D，BC与⊙O交于点E，过点C作，且CF=CD，连接BF．
(1)求证：BF是⊙O的切线；
(2)若∠BAC=45°，AD=4，求图中阴影部分的面积．
24．如图是某家具厂的抛物线型木板余料，其最大高度为，最大宽度为，现计划将此余料进行切割．
(1)如图，根据已经建立的平面直角坐标系，求木板边缘所对应的抛物线的函数表达式．
(2)如图，若切割成矩形，求此矩形的最大周长．
(3)若切割成宽为的矩形木板若干块，然后拼接成一个宽为的矩形，如何切割才能使拼接后的矩形的长边最长？请在备用图上画出切割方案，并求出拼接后的矩形的长边长．（结果保留根号）
25．如图，在中，AB=AC，E是线段BC上一动点（不与B、C重合），连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转与相等的角度，得到线段AF，连接．点和点分别是边，的中点．
(1)【问题发现】如图1，若，当点E是边的中点时，____，直线与相交所成的锐角的度数为______度．
(2)【解决问题】如图2，若，当点E是边上任意一点时（不与B、C重合），上述两个结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
(3)【拓展探究】如图3，若，AB=6，，在E点运动的过程中，直接写出GN的最小值．
1．A
【分析】
用-2减去1，再根据有理数的减法运算法则，进行计算即可得解．
【详解】
.故选A．
【点睛】
本题考查有理数的减法运算，解题的关键是掌握有理数的减法运算.
2．D
【分析】
根据俯视图是从上面向下看到的图形即可得出结论．
【详解】
解：该几何体俯视图的中间是一个圆，外部是一个长方形，
故选：D．
【点睛】
本题考查了几何体的三视图，掌握俯视图是从上面向下看到的图形是解答本题的关键．
3．C
【分析】
根据科学记数法的定义即可得．
【详解】
解：∵万，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题考查了科学记数法，熟记科学记数法的定义是解题关键．将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法．
4．B
【分析】
根据尺规作图的方法步骤判断即可．
【详解】
由作图痕迹可知AD为∠BAC的角平分线，
而AB=AC，
由等腰三角形的三线合一知D为BC重点，
BD=3，
故选B
【点睛】
本题考查尺规作图-角平分线及三线合一的性质,关键在于牢记尺规作图的方法和三线合一的性质.
5．B
【分析】
根据负数没有算术平方根求出x的范围，表示在数轴上即可．
【详解】
解：由 得到，
解得：，表示在数轴上，如图所示：
，
故选B．
【点睛】
此题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（，向右画；，向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
6．A
【分析】
直接利用平行线的性质，求得的度数，进而结合等腰直角三角形的性质得出答案．
【详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，等腰直角三角形的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解答本题的关键．
7．C
【分析】
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【详解】
解：，且，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．
8．C
【分析】
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【详解】
解：由题意可得：，
解得：．
故可以推算出约为．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了利用频率估计概率，解题的关键是掌握“利用大量试验得到的频率可以估计事件的概率”．
9．A
【分析】
根据众数的定义，判断，再将这组数据从小到大排列，最中间的数是这组数据的中位数，即第个为这组数据的中位数．
【详解】
解：∵这组数据的众数为，
∴，
∵，
∴这组数据的中位数是，
故选：A．
【点睛】
本题考查了众数和中位数的定义，根据众数的定义判断的值是解答本题的关键．
10．D
【分析】
根据正方形的面积公式结合勾股定理就可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和，即可得出答案．
【详解】
解：∵由勾股定理得：，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】
本题考查了勾股定理和正方形面积的应用，注意：分别以直角三角形的边作相同的图形，则两个小图形的面积等于大图形的面积．
11．B
【分析】
根据矩形的性质，可得点，再把点代入，即可求解．
【详解】
解：∵四边形是矩形，
∴，
∵点，
∴点，
把点代入得：
，解得：，
∴该反比例函数的解析式是．
故选：B
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质，求反比例函数的解析式，根据矩形的性质得到点是解题的关键．
12．B
【分析】
根据二次函数的性质以及一元二次方程根的判别式与根的关系逐个对三人的说法判断即可．
【详解】
解：令，则，
∵，
∴当时，，抛物线与x轴只有一个交点，故甲说法不正确；
令，则，即，
，
∵无论m为何值，，
∴，即，
∴无论m为何值，抛物线与直线总有两个交点，
故乙说法不正确，丙说法正确，
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题，利用一元二次方程根的判别式与根的关系判断是解答的关键．
13．平行
【分析】
根据中心投影和平行投影的定义，结合光的照射方式判断即可．
【详解】
解：∵太阳光的光线可以看成平行光线，
∴晷针在晷面上形成的投影是平行投影，
故答案为：平行．
【点睛】
本题考查了中心投影和平行投影的定义，正确分析光的照射方式是解答本题的关键．中心投影的定义：光由一点向外散射形成的投影；平行投影的定义：光源以平行的方式照射到物体上形成的投影．
14．
【分析】
根据方程的解，即为直线与的交点的横坐标的值解答即可．
【详解】
解：∵直线与相交于点，
∴方程的解，即为直线与的交点的横坐标的值，
∴方程的解为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一元一次方程与一次函数的关系，利用数形结合的思想解题是解答本题的关键．
15．
【分析】
根据海伦﹣秦九韶公式求解即可．
【详解】
解：∵a＝3，b＝5，c＝6，
∴，
∴S＝
＝，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了二次根式的应用，熟练掌握二次根式的化简以及应用是解决本题的关键．
16．##
【分析】
根据为的直径，想到连接，可得，根据E是的中点，，想到构造全等三角形，所以延长，交于点H，可得，然后再利用平行线分线段成比例分析解答即可．
【详解】
解：连接，延长，交于点H，设与交于点M，
∵为的直径，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∵E是的中点，
∴，
∴（），
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴设， ，
∵，
∴
∴ ，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，平行线分线段成比例，平行四边形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
17．（1）；上；（2）①一；完全平方公式用错；②
【分析】
（1）根据二次函数表达式找出一次项系数和二次项系数，再根据二次项系数判断函数图像开口方向；
（2）根据完全平方公式可判断第一步出现错误，再利用完全平方公式重新计算即可．
【详解】
解：（1）∵二次函数的表达式为，
∴一次项系数，二次项系数，
∴二次函数的图象开口向上，
故答案为：；上．
（2）①∵，
∴解答过程从第一步开始出现错误，完全平方公式用错，
故答案为：一；完全平方公式用错；
②正确解答为：
原式
，
当时，原式．
【点睛】
本题考查了二次函数的表达式及其图象与性质，完全平方公式及整式的化简求值，熟练掌握二次函数的表达式及其图象与性质，完全平方公式是解答本题的关键．
18．(1)120，4
(2)
【分析】
（1）根据A组的人数20人，占总人数的，求出总人数，再用总人数乘以C组所占的百分比即可求出，用 E组的人数除以总人数即可求得；
（2）用列表法或树状图法列出所有等可能出现的结果，再找出选中的两名同学恰好是甲和乙的结果数，根据概率公式求解即可．
【详解】
（1）解： A组20人占总数的，
调查的总人数为：（人），
（人），
，
；
故答案为：120，4；
（2）解：列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁）
乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁）
丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁）
丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙）
共有12种等可能的结果，其中选中的两名同学恰好是甲和乙的结果有2种，
选中的两名同学恰好是甲和乙的概率为．
【点睛】
本题考查了扇形统计图和统计表的应用，用树状图法或列表法求概率，从统计图表中获取信息是解题的关键．
19．每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车
【分析】
设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车，根据题意建立方程组，解方程组即可得．
【详解】
解：设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车，
由题意得：，
解得，符合题意，
答：每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确建立方程组是解题关键．
20．(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）根据菱形的性质可知DC=BC，再根据∠BEC=∠DFC=90°，∠C=∠C，可证得△BEC≌△DFC，则有EC=FC，问题得解；
（2）根据菱形的性质以及∠A=45°可证得△ABG是等腰直角三角形，再由勾股定理可求出AG，从而可求出答案．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CB=CD．
∵BE⊥CD于点E，DF⊥BC于点F，
∴∠BEC=∠DFC=90°．
∵∠BEC=∠DFC，∠C=∠C，BC=CD，
∴△BEC≌△DFC(AAS)，
∴EC=FC，
∴BC CF=CD EC，即BF=DE；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴，AD=AB=10，
∴∠ABG=∠BEC=90°．
∵∠A=45°，
∴∠G=∠A=45°，
∴AB=BG=10，
∴△ABG是等腰直角三角形，
∴AG=，
∴DG=AG AD=．
【点睛】
本题主要考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质．证明△BEC≌△DFC是解答本题的关键．
21．(1)
(2)，理由见解析
【分析】
（1）利用面积求出k的值，将点C坐标代入一次函数求出m；
（2）设，，将分别代入，，得，，得到点M，N的坐标，求出，进而得到数量关系．
【详解】
（1）解：∵，，，
又∵图象位于第一象限，
∴．
∴．
∵一次函数图象经过，代入得，
∴．
（2）∵过作x轴的平行线与函数图象分别交于点M，N，
∴设，，将分别代入，，
解得：，，
∴，．
∴．
∴．
【点睛】
此题考查了一次函数与反比例函数的综合，反比例函数的比例系数与面积的关系，正确掌握一次函数与反比例函数的综合关系是解题的关键．
22．(1)
(2)
【分析】
（1）先根据速度和时间得到路程，再利用特殊角的正切值即可得到长度；
（2）先根据速度和时间即可得到路程，再利用矩形的性质及正切值得到的长度．
【详解】
（1）解：由题知，
∴在中，，
∴，
答：故无人机的高度是；
（2）解：如图，过点作于点，则四边形是矩形，
∴，，
∴在中，，
∴，
∵，
∴，
答：隧道的长度约为．
【点睛】
本题考查了解直角三角形，矩形的性质等相关知识点，熟练解直角三角形是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)
【分析】
（1）连接BD，得；利用AB=AC得到，由得到，故；利用SAS证明，得到，最后同旁内角互补，即可得
（2）连接OE，与BD相交于M点，根据∠BAC=45°，得是等腰直角三角形，由AD=4，得AB，OB，OE长度；和是共一底角的等腰三角形，故，，，是等腰直角三角形，即可算出阴影部分面积
【详解】
（1）连接BD
∵AB是的直径
∴
∴
∵
∴
∵
∴，
∴
∵，
∴
∴
又∵
∴
∴BF是的切线
（2）连接OE，与BD相交于M点
∵，，
∴为等腰直角三角形
∴，，
∴
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
∴为等腰直角三角形
∴
∴
【点睛】
本题考查圆，全等三角形，等腰直角三角形，等腰三角形；熟练运用各种几何知识是本题关键
24．(1)
(2)
(3)见解析，
【分析】
（1）根据已知可得抛物线顶点坐标为，，，再设抛物线对应的函数表达式为，把代入，可求出，即可得出抛物线的函数表达式；
（2）在矩形中，设，由抛物线的对称性可知，所以矩形的周长为，由于，且，当时，矩形的周长有最大值，最大值为；
（3）如图是画出的切割方案，分别令，，，，即可求出，，，再加起来即为拼接后的矩形的长边长．
【详解】
（1）解：根据已知可得，抛物线顶点坐标为，，，
设抛物线对应的函数表达式为，
把代入，得，解得，
∴木板边缘所对应的抛物线的函数表达式为．
（2）解：在矩形中，设，
由抛物线的对称性可知，
∴矩形的周长为．
∵，且，
∴当时，矩形的周长有最大值，最大值为，
即矩形的最大周长为．
（3）解：如图是画出的切割方案：
∵在中，令，解得，
∴；
∵在中，令，解得，
∴；
∵在中，令，解得，
∴；
∵在中，令，解得，
∴，
∴拼接后的矩形的长边长为．
【点睛】
本题考查了求二次函数的表达式和二次函数的图象和性质，熟练应用二次函数的图象和性质是解答本题的关键．
25．(1)；30°；
(2)两个结论均成立；证明见解析；
(3)GN的最小值为1.
【分析】
（1）根据已知和旋转的性质可得均为等边三角形，求出AE，BE，EN，从而可求出以及直线与相交所成的锐角的度数；
（2）成立，连接AM、AN，证明，
，再证明△MAN∽△BAE即可得出结论；
（3）方法同（2）可求出∠NMC=45°，由勾股定理得，进一步得出得，再根据垂线段最短可得结论．
【详解】
（1）∵AB=AC，，
∴是等边三角形，
∵点E是边的中点
∴AE⊥BC
∴
∴
∴
由旋转的性质可得：AE=AF，
∴是等边三角形
∴∠AEF=60°，
∴
∵ ∴
∴
∴AE=2EN
∴
∴
故答案为：；30°
（2）上述两个结论均成立；
连接AM、AN
∵AB=AC，
∴△ABC为等边三角形
∵M是BC中点，
∴AM⊥BC，即∠BMA=90°
在直角△ABM中，∠B=60°，
∴∠BAM=30°，，
同理可得∠EAN=30°，，
∴∠MAN=∠BAE，，
∴△MAN∽△BAE，
∴，∠AMN=∠ABE=60°，
∴∠NMC=∠AMC-∠AMN=90°－60°=30°，
综合得：，直线BE和MN相交所成的锐角的度数为30°;
（3）如图，
∵ ，
∴ ，
∵M是BC的中点，
∴，
∵ ，
∴ ，
同（2）可得， ，
∴，
∴ ，
根据垂线段最短可知：当时，GN最小，
此时，是等腰直角三角形，GN=1.
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．