2023年春季高2022级四月测试数学（学科）试题
参考答案：
一．单选题1-4 CBCA 5-8 ABCA
二．多选题9.ABC 10．BCD 11．ABC 12.BD
三．填空题 13． 14.
15． 16．
四．解答题：
17．（1）解：因为，则
，所以，，
又因为，因此，，即向量、的夹角为.
（2）解：因为且，则
，解得，
因此.
18．（1）；（2）
19．（1）解：，
，
，
当时，，
则值域为；
（2），则，
当为锐角时，，则，
则，
则.
20.（1）
由解得：，
故函数的单调递增区间为.
（2），，
又，，，
又，所以，
又因为，所以，
所以，当且仅当“”时取等
所以的最大值为.
21.（1）略（2）
22．（1）
，
由，得，
所以的单调递增区间为：.
（2）当时，，
因为在上存在最小值，所以，
所以.
实数t的取值范围为.
（3）设，，则，
由于正弦函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
由，得，
因为方程在上的两解分别为、，
则，必有，，
所以，，同理，
，
由于，且，，则，
由，可得.2023 年春季高 2022 级四月测试数学（学科）试题
满分：150 分 时间：120 分钟
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2. 答选择题时，必须用 2B 铅笔将答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其它答案标号。
3. 答非选择题时，将答案写在答题卡规定的位置上。写在本试卷上无效。
4. 考试结束后，只将答题卡交回。
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每一题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．与 1050 终边相同的最小正角是（ ）
A． 30 B．60 C．30 D． 60
2．已知角 的终边经过点 P 2,1 ，则 cos 2 的值为（ ）
3
A 5． B C 5 2 5． ． D．
5 5 5 5
3．在 ABC中，角 A,B,C的对边分别为 a,b,c，已知 a 2，b 3，B 60 ，则 A （ ）
A．45°或 135° B．135°
C．45° D．60°或 120°
4．在 ABC中，设 AD 3DB，CA a，CB b，则CD （ ）
1
A． a
3 b 1 a 3 b 1 a 2 1 2B． C． b D． a b
4 4 4 4 3 3 3 3
π
5 π π ．已知 ，则 1 2sin sin π 的化简结果是（ ）2 2
A． sin cos B． sin +cos C． sin D． cos
6．平行四边形 ABCD中，AB 4，AD 2，AB AD 4，点 P是边CD的一个四等分点（靠近C点），则
PA PB的值是（ ）
A．－2 B．－1 C．1 D．2
7．如图所示，在 ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线 AB、 AC于不
1 4
同的两点M 、 N，若 AB mAM ， AC nAN(m,n 0)，则 的最小值为（ ）m n
9
A．2 B．3 C． D．5
2
8．泰姬陵是印度在世界上知名度最高的古建筑之一，被列为“世界文化遗产”．秦姬陵是印度古代皇帝为了
纪念他的皇妃建造的，于 1631年开始建造，用时 22年，距今已有 366年历史．如图所示，为了估算泰姬
陵的高度，现在泰姬陵的正东方向找一参照物 AB，高约为 50m，在它们之间的地面上的点 Q（B，Q，D三
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点共线）处测得 A处、泰姬陵顶端 C处的仰角分别是 45°和 60°，在 A处测得泰姬陵顶端 C处的仰角为 15°，
则估算泰姬陵的高度 CD为（ ）
A．75m B．50 2 m C． 25 6 m D．80m
二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部
选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9．有关平面向量的说法，下列错误的是（ ）
A．若 a// b,b// c，则a// c B．若 a与b共线且模长相等，则a b
C．若 a b 且 a与b方向相同，则 a b D． a b a b b a 恒成立
10．在 ABC中，则下列关系式中正确的是（ ）
A 2 2． b c b c 2absinC a B． b c b c 2abcosC a
C． c a cosB b cos A a 2 b 2 D． sin A B sin A B sin2A sin2B
11．将函数 f x sin x π的图象向左平移 个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标扩大为原来的 2倍，
6
得到函数 g x 的图象，则下列说法正确的有（ ）
A．函数 g x 的最小正周期为4π
4π 2πB ．函数 g x 的单调递增区间为 4kπ , 4kπ (k Z) 3 3
2π
C．直线 x 是函数 g x 图象的一条对称轴
3
2π
D．函数 g x 图象的一个对称中心为点 ,0
3
12.已知平面向量 a,b, c ,若 a (1,0),b (1 , 3 ), (a c ).(b c ) 0设
2 2 a b与 c的夹角为
，则下列说
法正确的有（ ）
A. B. 3 1若 c 起点为原点，其终点构成的轨迹为一条直线 c 的模的最大值为 2
C. cos 6最大值为 D. cos 6最小值为
3 3
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三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．求值 sin 430 cos320 cos110 sin 40 ______．
14 ．已知向量 a为单位向量， b (1,2),且a b,则 a的坐标是__________
cos 20
15． 3 tan 20 1 __________．
2sin10
16．函数 f x Asin x A 0,
π
0, 的部分图象如图所示.若方程
2
f x 4cos2 2x
π
a 2有实数解，则 a的取值范围为__________.
6
四、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17（10分）．已知平面向量 a、b，若 a 2， b 3， a b 19 .
(1)求向量 a、b的夹角；
(2)若 c a tb且 c a，求 c
18（12分）.已知 ABC的内角 A,B，C，所对的边分别为 a, b,c,向量
m (a, 3b), n (cos A, sin B),且m// n
（1）求角 A
（2）若 a 7,b 2求 ABC的面积
1
19（12 2分）．设平面向量 a 3 sin x, cos x 2
,b 2cos x, 2 ，函数 f x a b .
π
(1)当 x
0,
时，求函数 f x 的值域； 2
f 1(2)若锐角 满足 2
cos
2 ，求 的值.
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20（12分）．已知函数 f x sin π π x sin x 3 sin x cos x．
4 4
(1)求函数 f x 的单调递增区间；
A
(2)在 ABC 中，内角A， B，C所对的边分别为 a，b， c，若 f 1， a 2，求b c的最大值．
2
21（12分）.如图，在 ABC中，已知 AB=2，AC=5， BAC 60 ，BC，AC边上的两条中线 AM，BN
相交于点 P。
（1）用向量的方法证明：BP：PN=2：1
（2）求 MPN 的余弦值。
2 π 22（12 2分）．已知函数 f (x) 2 3 sin x 2sin x 3 1 .
4
(1)求 f (x)的单调递增区间；
(2)若 f (x)在 (0, t]上存在最小值，求实数 t的取值范围；
(3) f (x)
3
0,
π
方程 在 2 上的两解分别为
x1、x2，求 cos x2 1 x2 的值.
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