第三章 勾股定理复习学案
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第三章 勾股定理复习学案
【本章目标】
经历勾股定理及直角三角形判别条件的探索过程，并能利用它们解决简单问题。
【知识梳理】
1.勾股定理： ，几何语言表述为：
.在Rt△ABC中，，则
勾股数：能够构成直角三角形的三边长的三个 称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数
2.如果三角形的三边长a、b、c有关系： ，
那么这个三角形是直角三角形．
3.勾股定理的应用：最短路程、构造直角三角形
【典型例题】
考点一 勾股定理
例1.在直角三角形中，一条直角边长为5，另一条直角边边长为12，则第三条边的平方为（ ）
A.169 B. 119 C. 169或119 D. 以上都不对
例2.如图一，∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长为
巩固训练1
等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为 .
考点二 直角三角形的判别条件
例3.如图二，四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13 求四边形ABCD的面积。
例4.三角形的三边长为,则这个三角形是( ) 三角形
A等边 B钝角 C 直角 D锐角
巩固训练2
如图三，已知中，，，边上的中线，试说明：
考点三 勾股定理在实际问题中的应用
例5.如图四，有两棵树，一棵高m，另一棵高m，两树相距m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了
巩固训练4
将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图五所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是（ ）．
h≤17cm B．h≥8cm C．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm
【达标测试】
一.选择题
1.下列各组线段能构成直角三角形的一组是（ ）
A．30，40，50 B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，6
2.已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（ ）
A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．60cm2
3.若直角三角形的两条直角边长分别为3cm、4cm，则斜边上的高为 ( )
A. cm B. cm C. 5 cm D. cm
4.将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )
A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形
5.直角三角形的斜边比一直角边长2 cm，另一直角边长为6 cm，则它的斜边长（ ）
A. 4 cm B. 8 cm C. 10 cm D. 12 cm
二.填空题
6.一旗杆离地面6m处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，则旗杆折断前的高度为为 ．
7.已知一个直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边的平方为
8.在Rt△ABC中，斜边AB=2，则AB2+BC2+AC2=
三.解答题
9.如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，CD⊥AB，垂足为D，CD＝8．求AC的长．
10.如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm，求EC的长．
11.如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB＝20，BC＝15，CD＝9．
（1）求AC的长；
（2）判断△ABC的形状并说明．
12.如图，在四边形ABDC中，∠A＝90°，AB＝9，AC＝12，BD＝8，CD＝17．
（1）连接BC，求BC的长；
（2）求△BCD的面积．
13.已知：如图，在△ABC中，AC＝9，AB＝12，BC＝15，AD是BC边上的高．
（1）试说明：△ABC是直角三角形；
（2）求AD的长．
七年级数学（上）第三章勾股定理复习学案参考答案
【典型例题】
C 例2. 4 巩固训练1. 5 例3. 36 例4. C 例5. 10
巩固训练4. D
【达标测试】
1-5 AADCC 6. 16m 7.25或7 8.8
9.解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
在Rt△BCD中，BD2＝BC2—CD2,BD＝6，
设AC＝AB＝x，则AD＝x﹣6，
在Rt△ACD中，AC2＝AD2+CD2，即x2＝（x﹣6）2+82，
解得，x＝，即AC＝．
10.解：∵四边形ABCD为矩形，
∴DC＝AB＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠D＝∠C＝90°，
∵折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处
∴AF＝AD＝10，DE＝EF，
在Rt△ABF中，BF2=AF2-AB2＝36，BF=6
∴FC＝BC﹣BF＝4，
设EC＝x，则DE＝8﹣x，EF＝8﹣x，
在Rt△EFC中，
∵EC2+FC2＝EF2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3，
∴EC的长为3cm．
11.解：（1）∵在△ABC中，CD⊥AB于D，AB＝20，BC＝15，DC＝9，
∴BD＝，
AD＝，
∴AC＝AD+BC＝16+9＝25；
（2）∵AC＝25，BC＝15，AB＝20，202+152＝252，
∴△ABC是直角三角形．
12，解：（1）∵∠A＝90°，AB＝9，AC＝12
∴BC＝＝15，
（2）∵BC＝15，BD＝8，CD＝17
∴BC2+BD2＝CD2
∴△BCD是直角三角形
∴S△BCD＝×15×8＝60．
13.解：（1）∵AC＝9 AB＝12 BC＝15，
∴AC2＝81，AB2＝144，BC2＝225，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
（2）∵S△ABC＝AB AC＝BC AD，
∴AD＝＝．
B
a
c
C
A
b
图一
图二
图三
图四
图五
第9题图
第10题图
第11题图
第12题图
第13题图
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第三章 勾股定理复习学案
【本章目标】
经历勾股定理及直角三角形判别条件的探索过程，并能利用它们解决简单问题。
【知识梳理】
1.勾股定理： ，几何语言表述为：
.在Rt△ABC中，，则
勾股数：能够构成直角三角形的三边长的三个 称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数
2.如果三角形的三边长a、b、c有关系： ，
那么这个三角形是直角三角形．
3.勾股定理的应用：最短路程、构造直角三角形
【典型例题】
考点一 勾股定理
例1.在直角三角形中，一条直角边长为5，另一条直角边边长为12，则第三条边的平方为（ ）
A.169 B. 119 C. 169或119 D. 以上都不对
例2.如图一，∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长为
巩固训练1
等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为 .
考点二 直角三角形的判别条件
例3.如图二，四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13 求四边形ABCD的面积。
例4.三角形的三边长为,则这个三角形是( ) 三角形
A等边 B钝角 C 直角 D锐角
巩固训练2
如图三，已知中，，，边上的中线，试说明：
考点三 勾股定理在实际问题中的应用
例5.如图四，有两棵树，一棵高m，另一棵高m，两树相距m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了
巩固训练4
将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图五所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是（ ）．
h≤17cm B．h≥8cm C．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm
【达标测试】
一.选择题
1.下列各组线段能构成直角三角形的一组是（ ）
A．30，40，50 B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，6
2.已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（ ）
A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．60cm2
3.若直角三角形的两条直角边长分别为3cm、4cm，则斜边上的高为 ( )
A. cm B. cm C. 5 cm D. cm
4.将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )
A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形
5.直角三角形的斜边比一直角边长2 cm，另一直角边长为6 cm，则它的斜边长（ ）
A. 4 cm B. 8 cm C. 10 cm D. 12 cm
二.填空题
6.一旗杆离地面6m处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，则旗杆折断前的高度为为 ．
7.已知一个直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边的平方为
8.在Rt△ABC中，斜边AB=2，则AB2+BC2+AC2=
三.解答题
9.如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，CD⊥AB，垂足为D，CD＝8．求AC的长．
10.如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm，求EC的长．
11.如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB＝20，BC＝15，CD＝9．
（1）求AC的长；
（2）判断△ABC的形状并说明．
12.如图，在四边形ABDC中，∠A＝90°，AB＝9，AC＝12，BD＝8，CD＝17．
（1）连接BC，求BC的长；
（2）求△BCD的面积．
13.已知：如图，在△ABC中，AC＝9，AB＝12，BC＝15，AD是BC边上的高．
（1）试说明：△ABC是直角三角形；
（2）求AD的长．
七年级数学（上）第三章勾股定理复习学案参考答案
【典型例题】
C 例2. 4 巩固训练1. 5 例3. 36 例4. C 例5. 10
巩固训练4. D
【达标测试】
1-5 AADCC 6. 16m 7.25或7 8.8
9.解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
在Rt△BCD中，BD2＝BC2—CD2,BD＝6，
设AC＝AB＝x，则AD＝x﹣6，
在Rt△ACD中，AC2＝AD2+CD2，即x2＝（x﹣6）2+82，
解得，x＝，即AC＝．
10.解：∵四边形ABCD为矩形，
∴DC＝AB＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠D＝∠C＝90°，
∵折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处
∴AF＝AD＝10，DE＝EF，
在Rt△ABF中，BF2=AF2-AB2＝36，BF=6
∴FC＝BC﹣BF＝4，
设EC＝x，则DE＝8﹣x，EF＝8﹣x，
在Rt△EFC中，
∵EC2+FC2＝EF2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3，
∴EC的长为3cm．
11.解：（1）∵在△ABC中，CD⊥AB于D，AB＝20，BC＝15，DC＝9，
∴BD＝，
AD＝，
∴AC＝AD+BC＝16+9＝25；
（2）∵AC＝25，BC＝15，AB＝20，202+152＝252，
∴△ABC是直角三角形．
12，解：（1）∵∠A＝90°，AB＝9，AC＝12
∴BC＝＝15，
（2）∵BC＝15，BD＝8，CD＝17
∴BC2+BD2＝CD2
∴△BCD是直角三角形
∴S△BCD＝×15×8＝60．
13.解：（1）∵AC＝9 AB＝12 BC＝15，
∴AC2＝81，AB2＝144，BC2＝225，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
（2）∵S△ABC＝AB AC＝BC AD，
∴AD＝＝．
B
a
c
C
A
b
图一
图二
图三
图四
图五
第9题图
第10题图
第11题图
第12题图
第13题图
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