05学年第二学期上城区双休日班初二数学讲义
第十讲 勾股定理与锐角三角函数
主要概念：
1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理的逆定理：在一个三角形中，若较短两条边的平方和等于最长边的平方，则这个三角形是直角三角形，最长边所对的角为直角。
2.锐角三角函数：锐角∠A的三角函数， 正弦sin A=,
余弦 cos A=,正切tan A=, 余弦cot A=
3.锐角三角函数的性质：①0＜sin A＜1，0＜cos A＜1；②tan A cot A=1；
③sin2A＋cos2A=1；④sin A=cos (90°－A)、tan A=cot (90°－A)
A组题
1.一个三角形的两边的分别为、，那么第三边的长为 3或5
2.木匠做一矩形桌面,长为80,宽为60,对角线长为100,则这个桌面合格
3.若为锐角，tan＝，则sin＝，cos＝.
4.若α为锐角，且sinα=1－2x，则x的取值范围是 0＜x＜0.5 .
5.比较下列各数的大小（1）sin10°＜cos10°；（2）tan49°＞cot49°；（3）tan46°＞sin46°； （4）sin57°＜cos57°；（5）sin20°＜sin56°；（6）cot49°＜cot27°；
6.等腰三角形ABC的周长为16,底边上的高为4,则它的面积为 30
7.在Rt△ABC中,两直角边的差是10厘米，斜边25厘米，则
三角形的面积是
8.如图，沿倾斜角为30的山坡植树，要求相邻两棵树的水平
距离AC为2m，那么相邻两棵树的斜坡距离AB为 2.3 m。
(精确到0.1m)
9.在△ABC中，若，，则这个三角形一定是（ A ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
10.计算：①tan30°+2sin60°·cos45°+tan45°－cot60°－cos230°
=++1 – –=+
②＋2sin60° =
B组题
11.如图，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上点E反射后照射到B点，若入射角为 （入射角等于反射角），AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C、D，且AC＝3，BD＝6，CD＝11，则tan的值为
12.已知=____
13. 若三角形三边之长分别为a、b、c，且满足(a2－b2)c2=a4－b4，则该三角形是（ D ）
A. 任意三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
14.下列各式正确的是（ D ）
A. sin20°＋sin20°＝sin40° B. cot31°＝tan（90°－59°）
C. sin2A＋cos2（90°－A）＝1 D. sin＝cos（其中A+B+C＝180°）
15. 如图是一块长、宽、高分别是6cm,4cm和3cm的长方体木块.一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的表面到长方体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是
（ C ）
A.（） B.
C. D.
16.在Rt△ABC中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A的正弦、余弦值 （C）
A. 都扩大2倍 B. 都扩大4倍 C. 没有变化 D. 都缩小一半
17.若太阳光线与地面成37°角，一棵树的影长为10米，则树高h所在的范围是（B）
A. 315
18.①已知△ABC中，∠C=90°，tanA·tan 50°＝1，那么∠A的度数是（B）
A. 50° B. 40° C. ()° D. ()°
②已知∠A+∠B=90°,且cosA=，则cosB的值为( C )
A. B. C. D.
19.四边形ABCD中AB=4，BC=3，AD=12，CD=13，∠B=90°,求四边形的面积。
解：如图，Rt⊿ABC中，AB2+BC2=AC2，得：AC=5
又∵AC2+AD2=CD2，∴⊿ADC是直角三角形，∠DAC=90°，
∴S四边形ABCD=S⊿ADC+ S⊿ADC=36
20.△ABC中，AD⊥CB于D，BE⊥AC于E，AC=15，BD=5，AB=13，求：①CD的长②△ABC的面积③BE的长.
解：如图，Rt⊿ABD中，AD2+BD2=AB2，得：AD=12，
Rt⊿ADC中，AD2+CD2=AC2，得：CD=9，∴BC=14
∴S⊿ABC=84
∴BE·AC=168，∴BE=11.2
21.如下左图是一个以a、b为直角边、c为斜边的直角三角形，右图是一个边长为c的正方形，试通过剪切拼接大正方形为两个边长分别为a、b的小正方形组成的图形来证明勾股定理.
解：将②移到（2）的位置，将③移到
（3）的位置，即可得一个由两个边长分别
为a、b的小正方形组成的图形
由剪切拼接前后面积不变，可知：
c2=a2+b2。
22.已知直角三角形中两条直角边的差是7cm，斜边的长是13cm，求较小锐角α的各三角函数值。
解：设较短直角边为a，较长直角边为b，斜边为c，由题意，得：
，解得：ab=60，又∵a、b＞0，可得a=5，b=12.
∴sin α=，cos α=，tan α=，cot α=，
选做题
24. 如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，DE⊥AB于E，∠ADC=45°，若DE∶AE=1∶5，BE=3，求△ABD的面积。
解：设DE=x，则AE=5x，Rt⊿ADE中，AE2+DE2=AD2，得：AD=x，
sin∠ADC==，∴AC=DC=x，
∵∠B=∠B，∠BED=∠C=90°,
∴⊿ABC∽⊿DBE，∴，∴BC=3，
Rt⊿BDE中，BE2+DE2=BD2，得：
9+x2=(3– x)2，解得：x=，AE=，
S⊿ABD=
25.在△ABC中，∠A＝1200，AB＝12，AC＝6。求sinB＋sinC的值。
解：过点B作BD⊥AC交AC的延长线于点D，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，
∠2=180°–120°=60°，
Rt⊿ACE中，sin∠2==，cos∠2==，
∵AC=6，∴AE=3，CE=3，
同理，BD=6
Rt⊿BCE中，CE2+BE2=BC2，得：
BC=6
sinB＋sinC=
26. 将一副三角尺如下图摆放在一起，连结，试求的余切值.
解：过点A作AE⊥BD交DB的延长线于点E，
∠EBA=180°–∠ABC–∠DBC =45°，
Rt⊿ABE中，sin∠EBA =cos∠EBA ===，
设BE=AE=x，则AB=，
Rt⊿ABC中，cot∠ACB ==，∴BC=，
Rt⊿BDC中，sin∠BCD ==，∴AB=，
∴Rt⊿AED中，cot∠ADB ==
第7题
E
D
（3）
（2）
③
②
①
c
b
a
c
3
4
6
B
A
E
2
1
C
D
E
B
A
D
C
B
C
D
B
A
B
A
C
D
A05学年第二学期上城区双休日班初二数学讲义
第十讲 勾股定理与锐角三角函数
主要概念：
1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理的逆定理：在一个三角形中，若较短两条边的平方和等于最长边的平方，则这个三角形是直角三角形，最长边所对的角为直角。
2.锐角三角函数：锐角∠A的三角函数， 正弦sin A=,
余弦 cos A=,正切tan A=, 余弦cot A=
3.锐角三角函数的性质：①0＜sin A＜1，0＜cos A＜1；②tan A cot A=1；
③sin2A＋cos2A=1；④sin A=cos (90°－A)、tan A=cot (90°－A)
A组题
1.一个三角形的两边的分别为、，那么第三边的长为
2.木匠做一矩形桌面,长为80,宽为60,对角线长为100,则这个桌面 (合格或不合格)
3.若为锐角，tan＝，则sin＝ ，cos＝ .
4.若α为锐角，且sinα=1－2x，则x的取值范围是 .
5.比较下列各数的大小（1）sin10° cos10°；（2）tan49° cot49°；（3）tan46° sin46°； （4）sin27° cot27°；（5）sin20° sin56°；（6）cot49° cot27°；
6.等腰三角形ABC的周长为16,底边上的高为4,则它的面积为
7.在Rt△ABC中,两直角边的差是10厘米，斜边25厘米，则
三角形的面积是
8.如图，沿倾斜角为30的山坡植树，要求相邻两棵树的水平
距离AC为2m，那么相邻两棵树的斜坡距离AB为 m。
(精确到0.1m)
9.在△ABC中，若，，则这个三角形一定是（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
10.计算：①tan30°+2sin60°·cos45°+tan45°－cot60°－cos230°
②＋2sin60°
B组题
11.如图，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上点E反射后照射到B点，若入射角为（入射角等于反射角），AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C、D，且AC＝3，BD＝6，CD＝11，则tan的值为
12.已知=___________
13. 若三角形三边之长分别为a、b、c，且满足(a2－b2)c2=a4－b4，则该三角形是（ ）
A. 任意三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
14.下列各式正确的是（ ）
a. sin20°＋sin20°＝sin40° b.cot31°＝tan（90°－59°）
c. sin2A＋cos2（90°－A）＝1 D.sin＝cos（其中A+B+C＝180°）
15. 如图是一块长、宽、高分别是6cm,4cm和3cm的长方体木块.一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的表面到长方体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是
（ ）
A. （） B.
C. D.
16.在Rt△ABC中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A的正弦、余弦值 （ ）
A. 都扩大2倍 B.都扩大4倍 C.没有变化 D.都缩小一半
17.若太阳光线与地面成37°角，一棵树的影长为10米，则树高h所在的范围是（ ）
A. 315
18.①已知△ABC中，∠C=90°，tanA·tan 50°＝1，那么∠A的度数是（ ）
A. 50° B. 40° C. ()° D. ()°
②已知∠A+∠B=90°,且cosA=，则cosB的值为( )
A. B. C. D.
19.四边形ABCD中AB=4，BC=3，AD=12，CD=13，∠B=90°,求四边形的面积。
20. △ABC中，AD⊥CB于D，BE⊥AC于E，AC=15，BD=5，AB=13，求：①CD的长②△ABC的面积③BE的长.
21.如下左图是一个以a、b为直角边、c为斜边的直角三角形，右图是一个边长为c的正方形，试通过剪切拼接大正方形为两个边长分别为a、b的小正方形来证明勾股定理.
22.已知直角三角形中两条直角边的差是7cm，斜边的长是13cm，求较小锐角α的各三角函数值。
选做题
23. 如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，DE⊥AB于E，∠ADC=45°，若DE∶AE=1∶5，BE=3，求△ABD的面积。
24.在△ABC中，∠A＝120°，AB＝12，AC＝6。求sinB＋sinC的值。
25. 将一副三角尺如下图摆放在一起，连结，试求的余切值.
第7题
D
C
B
A
3
4
6
B
A
c
b
a
C
D
B
A
B
A
C
D
c
