2022 学年第二学期四校联盟期中考试试卷
高二年级数学学科参考答案
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D C B D B D A
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求. 全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分.
题号 9 10 11 12
答案 AC ACD BCD CD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
4
13.___55__. 14. __ 3 ___. 15. 912 . 16. (1,e 1] ．
5
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 解: （1）a S S 2n 1 2 2n 1(n 2)，当 n=1 时，a1 S1 3 也符合. n n n 1
所以a 2n 1(n N ) …………………………………………2’ n
b1 2,b6 64 ,所以q 2，所以b 2
n
……………………….2’
n
（2）anbn (2n 1) 2
n
，所以
Tn 3 2 5 2
2 (2n 1) 2n
………………………………3’
2T 3 22 (2n 1) 2n (2n 1) 2n 1n
两式相减：
8(1 2n 12 ) Tn 3 2 2 2 2 2
n (2n 1) 2n 1 6 (2n 1) 2n 1 2 (1 2n)2n 1
1 2
T 2 (2n 1)2n 1于是 n ………………………………………..3’
18. 解：（ ） y ' e x1 ( x 1) cos x，……………………………….3’
所以 y ' |x 0 2，又 y |x 0 0，所以切线方程为 y 2x ………………………………….3’
x
（2）因为 f ' x e ( x 1) ,所以
当 x (0,1)时， f ' x 0，所以 f x 单调递增；
当 x (1, )时， f ' x 0，所以 f x 单调递减……………………..3’
1
又 f (1) ， x , f (x) , x , y 0 ,
e
所以该函数的图象如下：
1
又因为 f x a的根的个数等价于 y f x 与 y a图象的公共点的个数.所以a (0, ) ………3’
e
PA 1
19. 解：（1）设P(x, y)，则由题意 A(1,0), B(4,0)，根据题意可知 ， 2 PA = PB ，
PB 2
2 2
2 (x 1)2 y2 (x 4)2 y2 ， 曲线E 的方程为: x y 4 …………………4’
(2)直线 L 的方程为 x 4.
(i) 若 M 为 PB 的中点,则
1
PM = PB PA, PM PQ PA PQ AQ AB 3
2
当 Q=B 时,PM+PQ 的最小值为 3………………………………..4’
2 2
(ii) 极点(x0 ,0)关于圆x y 4的极线为x0x 0y 4
4
即x 4， x0 1, 由此猜想：直线 CD 过定点 A(1,0) .证明如下：
x0
设Q(4, t),，C(x1, y1),切线CQ为x1x y1y 4
Q(4,t) CQ, 4x ty 4 1 1
设D(x2 , y2),同理可得,4x2 ty2 4
则直线CD的方程为4x ty 4， CD过定点A(1,0).
………………………4’
20. （1）证明：取D1C1的中点O1，连接O1O ，O1B1，则O 共面 1,O, B, B1
又CC DD ，所以OO DC ；由底面 ABCD是菱形，1 1 1 BAD ，可
3
知OB DC ，又OB OO O，所以1 DC 平面OBB ………………5’ 1
（2）因为平面 C1D1DC ⊥平面 ABCD ， O1O 平面 C1D1DC ，
OO DC ，平面C1D1DC 平面 ABCD = DC ，所以1 O1O 平面ABCD
则以 O为原点，OD、OB、OO1分别为 x、y、z轴建系…………2’
3 3 3 1 3 3
已知 A 3， ，0 , D ,0,0 , D1 ,0, 2 2 , B 0, ,0
2
2 2
2
设 DM DD1 ，则
3 3 3 3
M ,0, 2 2 ，AM , , 2 2
2
2 2
设平面 BDD1B1法向量n x, y, z
n DD1 0
由 可得
n DB 0
3
n 6, 2, …………………………………………3’
2
AM n 2 2 8
cos AM ,n 2 0 0
AM n 3 3 35
故不存在这样符合条件的点 M…………………………………………………..2’
21. 解：（1） y2 4x …………………….4’
（2）设直线 l ： x my n， A(x ， 1, y1), B(x2 , y2)
x my n
由 ，得到 y
2 4my 4n 0 ，则 y ，1 y2 4m x1 x2 4m
2 2n
y2 4x
2 1 2 1 6 6 16m 16n 16( m ) 0，于是 m ……………2’
3 2 2 2
4m2 2n 1 4m
设重心为 (x0 , y0 )，则 x0 , y0
3 3
4m2 2n 1 4m 4m2 1
则 4 ( )2 ，则n …………2’
3 3 3 2
1 1 2 | n 1| 1
又 S AB d 1 m | y1 y2 | | y1 y2 | | n 1|
2 2 1 m2 2
1 m2 1 4m2 3 m2 1 4m2 3
4 m2 n | n 1| 2 | | 2 ( )( )2 ………………2’
2 3 2 3 2 3 2 3 2
2 2
2 m 1 4m 3 2 1 3
设 t m2 [0,1) ，则 y ( )( ) ( t 1)( 2t )
2
3 3 2 3 2 2 2
9 3
易得当 t 0时， y ，所以 …………………2’ max Smax 2
8 2
1
22. 解：（1） f ' x k
x
当 k 0时，当 x (0, )， f ' x 0，则 f x 递增.
1 1
当 k 0时，当 x (0, )， f ' x 0，则 f x 递增；当 x ( , )， f ' x 0，则 f x 递减.
k k
…………………………………4’
f (x) f (x)
（2）函数F x ex 的值域为[0, ) 等价于函数 g(x) ex 的最小值小于等于 0.
x x
f (x)
考虑反面： g(x) ex 0 对 x (0, )恒成立.
x
xexx ln x 1 即 xe kx ln x 1 0，化简得 k ………………………………………………………3’
x
xex ln x 1 x2ex ln x
设 h x = ，则 h ' x j x x2= ，设 ex ln x ，则易得 j x 在 0, 上是单调递
x x
2
增，因为 x 0，h x ，又 j 1 e 0 ，故存在 x0 0,1
2 x
，使得 j x0 x0e
0 ln x0 0．当 x 0, x0
时，h ' x 0；当 x x0 , 时，h ' x 0，所以 h x 在 0, x0 上单调递减，在 x0 , 上单调递增，所以
x
x e 00 ln x0 1
h x = ．
min x0
x ln x0 x ln x
x
2 x 0 0 0 x e
0 t (1)
因为 x e 0 ln x 0 ，所以 x0e ，设 x e t
0
0 0 0 ，则 ， x0 x0 ln x0 tx0 (2)
（1）式两边取对数可得 x ln x ln t ，所以 x tx ln t 0 ，设m t x0 tx0 ln t ，则m t 在 0, 0 0 0 0 上
x x e 0 1
单调递减，又因为m 1 0 0，所以 t 1，则有 ．
ln x0 x0
x
x0e
0 ln x0 1 1 x0 1
所以 h x = = =1，所以 k 1 .
min x0 x0
所以 k 的取值范围为 k 1
xex ln x 1
k
x
xex ln x 1 ex ln x ln x 1 x ln x ln x 1
1
x x x
………………………………………………………………………………………………………………………5’2022 学年第二学期四校联盟期中考试试卷
高二年级数学学科
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟.
考生须知：
1.本卷满分 150分，考试时间 120 分钟；
2.答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号;
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
4.考试结束后，只需上交答题卷.
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1. 在空间直角坐标系中，a 2,m,3 ,b 3,1,2 ， a b，则m 的值为（ ）
A. 0 B.1 C. 2 D. 1
2. 已知等比数列 an 的公比 | q | 1，前 3 项和为 21，且a2 9，则 a1 （ ）
A. 1 B. 3 C. 1 D. 3
3. 第 19 届亚运会将于今年在杭州举行.你在西湖边遇到了志愿者装扮的吉祥物“琮琮”、“莲莲”和
“宸宸”。假如你要和三个吉祥物一起拍合照，且你不希望站在两端，则共有（ ）种不同的站法.
A.24 B.18 C.12 D.9
4. 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D 中，棱长为2 ，点E, F 分别为棱BC 、1
C1D1中点，则点 A1到平面DEF 的距离为（ ）
10 21 7 23 21
A. 2 B. C. D.
21 23 7
2
5. 已知函数 f x ln x ax ，a R ，则下列结论正确的是（ ）
A． f (x) 一定有极大值 B．当a 0时， f x 有极小值
1
C．当 a 0时， f (x) 可能无零点 D．若 f x 在区间 (0,1) 上单调递增，则a
2
6．已知圆 (x 1)2 (y 2)2 4关于直线 ax by 2 0 对称，则 a2 b2 的最小值为（ ）
4 2 5 5
A． B． C． D．1
5 5 5
ln 2 ln 3 1
7. 已知a ,b ,c ，则a,b,c 的大小为（ ）
2 6 2e
A．b c a B．a b c
C．b a c D．c b a
x2 y2
8. 已知双曲线C : 1,以右顶点 A为圆心, r 为半径的圆上一点M ( M 不在 x 轴上)处的切
4 3
线与C 交于 S,T 两点，且M 为 ST 中点，则 r 的取值范围为（ ）
2 21 4 5
A． r B．0 r
7 7
C． r 1 D． r 4
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分．
n
9. 已知 3x 1 的二项展开式各项系数和为32，则下列说法正确的是（ ）
A. n 5 2 B. 含 x 的项系数为 90 C. 第 3 项的二项式系数为 10 D. 常数项为 1
sin 2x
10. 已知函数 f (x) ，则（ ）
x
2
A. f '( ) B. f '(x) 是周期函数
C. f (x) 在 (0, ) 单调递减 D. | f (x) | 2
4
11. 已知数列{an}满足a1 a ， a2 a 1，an 2 2an 1 an n 20，其中a 是给定的实数.设
bn an 1 an ，以下判断正确的是（ ）
A.{bn}是等差数列 B.a4 a 53
(n 1)(n 40)
C.{bn}的通项公式为bn 1 D.数列{an}的最小项是a40
2
二次曲线C : x212. xy 3y2 1 0 ,则下列选项正确的是（ ）
A. 曲线C 关于 y 轴对称 B. 曲线C 在 (1,1) 处的切线为 y x
2 2
C. 曲线C 与直线 y 1有两个交点 D. 曲线C 与圆 x y 1有四个交点
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．
13. “杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一.如图所示，
由杨辉三角的左腰上的各数出发引一组平行线，从上往下每条线
上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13，…，则第 10 条斜线
上，各数之和为 .
x2 y2
14. 椭圆C : 1，直线 y x, y x 1与椭圆截得的弦
4 3
的中点分别为 A, B，则椭圆的上顶点到直线 AB 的距离为 .
15. 从1,2,3,4,5,6,7,8中依次取出 4 个不同的数，分别记作a,b,c,d ，若a b 和c d 的奇偶性
相同，则a,b,c,d 的取法共有 种（用数字作答）.
x
16. 已知不等式e 2ln x 2ln(a 1) (a 3)x恒成立，则a 的取值范围为 .
四、解答题：本题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 设数列 an 满足 S n
2 2n(n N *)，等比数列 b 满足b1 2,b 64n n 6 .
（1）求{an},{bn}的通项公式； （2）求数列 a n Tnbn 的前 项和 n ．
x
18. 已知函数 f x .
ex
（1）求曲线 y f x sin x 在 x 0 处的切线方程；
（2）方程 f x a恰有两个不同的实根，求a 的取值范围.
19. 为了保证我国东海油气田海域的海上平台的生产安全，海事部门在某平台O 的正东方向设立
了两个观测站 A和 B （点 A在点O 、点 B 之间），它们到平台O的距离分别为 1 海里和 4 海里，
1
记海平面上到两观测站的距离 | PA |， | PB |之比为 的点P 的轨迹为曲线E ，规定曲线E 及其
2
内部区域为安全预警区（如图）．
（1）以O为坐标原点，1 海里为单位长度， AB 所在直线为 x 轴，
建立平面直角坐标系，求曲线E 的方程；
（2）海平面上有巡航观察点Q可以在过点B 垂直于 AB 的直线 L
上运动.（i）若M 为PB的中点，求 | PM | | PQ |的最小值；
（ii）过Q作直线QC,QD与曲线E 相切于点C, D .
证明：直线CD过定点.
20. 如图，在四棱台 ABCD A1B1C1D1 中，底面 ABCD是菱形，
BAD ，梯形C1D1DC ⊥底面 ABCD，
3
CD CC1 DD1 3，C1D1 1.设O 为 DC 的中点.
（1）求证： A1B1 平面OBB ； O 1
（2）DD1上是否存在一点 M，使得 AM与平面BDD1B 所成角余1
1
弦为 ，请说明理由.
3
21. 已知M (1, t) 2是抛物线C : y 2 px( p 0) 上一点，F 是C 的焦点， | FM | 2 .
（1）求C 的方程；
（2）设 N ( 1,0)，直线 l 与C 交于 A, B，若 NAB的重心在C 上，求 NAB面积的最大值.
22. 已知函数 f x 1 ln x kx .
（1）求 f x 的单调区间；
f (x)
（2）若函数F x ex 的值域为[0, ) ，求 k 的取值范围.
x
