1.3动量守恒 学案（含解析答案）

中小学教育资源及组卷应用平台
1.3 动量守恒
一、考点梳理
考点一、对动量守恒定律的理解
1．对动量守恒定律条件的理解：
(1)系统不受外力作用，这是一种理想化的情形．
(2)系统受外力作用，但所受合外力为零．像光滑水平面上两物体的碰撞就是这种情形．
(3)系统受外力作用，但当系统所受的外力远远小于系统内各物体间的内力时，系统的总动量近似守恒．例如，抛出去的手榴弹在空中爆炸的瞬间，弹片所受火药爆炸时的内力远大于其重力，重力完全可以忽略不计，系统的动量近似守恒．
(4)系统受外力作用，所受的合外力不为零，但在某一方向上合外力为零，则系统在该方向上动量守恒．
2．对动量守恒定律的理解：
(1)系统性：动量守恒定律的研究对象不是单一物体而是几个相互作用的物体组成的系统，动量保持不变并不是每个物体动量保持不变，而是系统总动量保持不变．
(2)矢量性：表达式p1＋p2＝p1′＋p2′是一个矢量式，其矢量性表现在：系统的总动量在相互作用前后不仅大小相等，而且方向也相同．求初、末状态系统的总动量时，如果各物体动量的方向在同一直线上，要选取正方向，将矢量运算转化为代数运算．
(3)相对性：动量守恒定律中，系统中各物体在相互作用前后的动量必须相对于同一惯性系，各物体的速度通常均为相对于地面的速度．
(4)同时性：动量守恒定律中p1、p2……必须是系统中各物体在相互作用前同一时刻的动量，p1′、p2′……必须是系统中各物体在相互作用后同一时刻的动量，不同时刻的动量不能相加．
(5)普适性：动量守恒定律不仅适用于两个物体组成的系统，也适用于多个物体组成的系统；不仅适用于宏观物体组成的系统，也适用于微观粒子组成的系统．
(6)动量守恒定律的研究对象是相互作用的物体组成的系统．判断系统的动量是否守恒，与选择哪几个物体作为系统和分析哪一段运动过程有直接关系．
(7)判断系统的动量是否守恒，要注意守恒的条件是不受外力或所受合外力为零，因此要分清哪些力是内力，哪些力是外力．
(8)系统的动量守恒，并不是系统内各物体的动量都不变．一般来说，系统的动量守恒时，系统内各物体的动量是变化的，但系统内各物体的动量的矢量和是不变的．
【典例1】(多选)如图所示，A、B两木块紧靠在一起且静止于光滑水平面上，物块C以一定的初速度v0从A的左端开始向右滑行，最后停在B木块的右端，对此过程，下列叙述正确的是(　　)
A．当C在A上滑行时，A、C组成的系统动量守恒
B．当C在B上滑行时，B、C组成的系统动量守恒
C．无论C是在A上滑行还是在B上滑行，A、B、C组成的系统动量都守恒
D．当C在B上滑行时，A、B、C组成的系统动量不守恒
【答案】BC
【解析】当C在A上滑行时，对A、C组成的系统，B对A的作用力为外力，不等于0，故系统动量不守恒，选项A错误；当C在B上滑行时，A、B已分离，对B、C组成的系统，沿水平方向不受外力作用，故系统动量守恒，选项B正确；若将A、B、C视为一个系统，则沿水平方向无外力作用，系统动量守恒，选项C正确，选项D错误．
【典例2】(多选)如图所示，A、B两物体质量之比mA∶mB＝3∶2，原来静止在平板小车C上，A、B间有一根被压缩的弹簧，地面光滑，当弹簧突然释放后，则下列说法正确的是(　　)
A．若A、B与平板车上表面间的动摩擦因数相同，A、B组成的系统动量守恒
B．若A、B与平板车上表面间的动摩擦因数相同，A、B、C组成的系统动量守恒
C．若A、B所受的摩擦力大小相等，A、B组成的系统动量守恒
D．若A、B所受的摩擦力大小相等，A、B、C组成的系统动量守恒
【答案】BCD
【解析】如果A、B与平板车上表面间的动摩擦因数相同，弹簧释放后，A、B分别相对于小车向左、向右滑动，它们所受的滑动摩擦力FfA向右，FfB向左．由于mA∶mB＝3∶2，所以FfA∶FfB＝3∶2，则A、B组成的系统所受的外力之和不为零，故其动量不守恒，A选项错误；对A、B、C组成的系统，A、B与C间的摩擦力为内力，该系统所受的外力为竖直方向上的重力和支持力，它们的合力为零，故该系统的动量守恒，B、D选项正确；若A、B所受摩擦力大小相等，则A、B组成的系统所受的外力之和为零，故其动量守恒，C选项正确．
练习1、如图所示，轻弹簧的一端固定在竖直挡板上，一质量为m的光滑弧形槽静止放在光滑水平面上，弧形槽底端与水平面相切，一质量也为m的小物块从槽上高h处开始下滑，下列说法正确的是(　　)
A．在下滑过程中，物块和槽组成的系统机械能守恒
B．在下滑过程中，物块和槽组成的系统动量守恒
C．在压缩弹簧的过程中，物块和弹簧组成的系统动量守恒
D．被弹簧反弹后，物块能回到槽上高h处
【答案】A
【解析】对物块和槽组成的系统，在下滑过程中没有机械能损失，系统的机械能守恒，A正确；在下滑的过程中，物块在竖直方向有加速度，物块和槽组成的系统所受合外力不为零，不符合动量守恒的条件，故系统的动量不守恒，但系统在水平方向上动量守恒，B错误；在压缩弹簧的过程中，对于物块和弹簧组成的系统，由于挡板对弹簧有向左的弹力，所以系统受到的合外力不为零，则系统动量不守恒，C错误；因为物块与槽在水平方向上动量守恒，且两者质量相等，根据动量守恒定律知物块离开槽时物块与槽的速度大小相等、方向相反，物块被弹簧反弹后，与槽的速度相同，即两者做速度相同的匀速直线运动，所以物块不会再滑上弧形槽，D错误．
练习2、(多选)下列四幅图所反映的物理过程中，动量守恒的是(　　)
【答案】AC
【解析】A图中子弹和木块组成的系统在水平方向上不受外力，竖直方向所受合力为零，该系统动量守恒；B图中在弹簧恢复原长的过程中，系统在水平方向上始终受墙的作用力，系统动量不守恒；C图中木球与铁球组成的系统所受合力为零，系统动量守恒；D图中木块下滑过程中，斜面体始终受到挡板的作用力，系统动量不守恒．
练习3、如图所示，小车与木箱紧挨着静放在光滑的水平冰面上，现有一男孩站在小车上用力向右迅速推出木箱，关于上述过程，下列说法正确的是(　　)
A．男孩和木箱组成的系统动量守恒
B．小车与木箱组成的系统动量守恒
C．男孩、小车与木箱三者组成的系统动量守恒
D．木箱的动量增量与男孩、小车的总动量增量相同
【答案】C
【解析】由动量守恒定律成立的条件可知男孩、小车与木箱三者组成的系统动量守恒，A、B错误，C正确；木箱的动量增量与男孩、小车的总动量增量大小相等，方向相反，D错误．
考点二、动量守恒定律的简单应用
1．动量守恒定律不同表现形式的表达式的含义：
(1)p＝p′：系统相互作用前的总动量p等于相互作用后的总动量p′.
(2)m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′：相互作用的两个物体组成的系统，作用前的动量的矢量和等于作用后的动量矢量和．
(3)Δp1＝－Δp2：相互作用的两个物体组成的系统，一个物体的动量变化量与另一个物体的动量变化量大小相等、方向相反．
(4)Δp＝0：系统总动量增量为零．
2．应用动量守恒定律的解题步骤：
【典例1】如图所示，在光滑水平面上，有一质量M＝3 kg的薄板，板上有质量m＝1 kg的物块，两者以大小为v0＝4 m/s的初速度朝相反方向运动，薄板与物块之间存在摩擦且薄板足够长，取水平向右为正方向，求：
（1）物块最后的速度；
（2）当物块的速度大小为3 m/s时，薄板的速度。
【答案】（1）2 m/s，方向水平向右 （2） m/s，方向水平向右
【解析】（1）由于水平面光滑，物块与薄板组成的系统动量守恒，
设共同运动速度大小为v，由动量守恒定律得Mv0－mv0＝（m＋M）v
代入数据解得v＝2 m/s，方向水平向右．
（2）由（1）知，物块速度大小为3 m/s时，方向向左，由动量守恒定律得Mv0－mv0＝－mv1＋Mv′
代入数据解得v′＝ m/s，方向水平向右。
【典例2】如图所示，质量为m＝0.5 kg的小球在距离车底部一定高度处以初速度v0＝15 m/s向左平抛，落在以v＝7.5 m/s的速度沿光滑水平面向右匀速行驶的小车中，小车足够长，质量为M＝4 kg，g取10 m/s2，则当小球与小车相对静止时，小车的速度大小是(　　)
A．4 m/s B．5 m/s
C．8.5 m/s D．9.5 m/s
【答案】B
【解析】小球和小车在水平方向上动量守恒，取向右为正方向，有Mv－mv0＝(M＋m)v′，解得v′＝5 m/s.
练习1、一炮艇总质量为M，以速度v0匀速行驶，从艇上以相对海岸的水平速度v沿前进方向射出一质量为m的炮弹，发射炮弹后艇的速度为v′，若不计水的阻力，则下列各关系式中正确的是(　　)
A．Mv0＝(M－m)v′＋mv B．Mv0＝(M－m)v′＋m(v＋v0)
C．Mv0＝(M－m)v′＋m(v＋v′) D．Mv0＝Mv′＋mv
【答案】A
【解析】炮艇与炮弹组成的系统动量守恒，根据动量守恒定律可得Mv0＝(M－m)v′＋mv，A项正确．
练习2、如图所示，传送带以v0＝2 m/s的水平速度把质量m＝20 kg的行李包运送到原来静止在光滑轨道上的质量M＝30 kg的小车上，若行李包与车上表面间的动摩擦因数μ＝0.4，g＝10 m/s2，求：(小车足够长)
(1)小车的最大速度的大小；
(2)行李包从滑上小车至在小车上滑到最远处所经历的时间是多少？
【答案】(1)0.8 m/s(2)0.3 s
【解析】(1)以行李包与小车组成的系统为研究对象，行李包与小车最后达到速度相同，此时小车速度最大，设为v.
由动量守恒定律得mv0＝(M＋m)v
解得v＝0.8 m/s.
(2)对行李包，由动量定理得－μmgt＝mv－mv0
解得t＝0.3 s.
练习3、如图所示，竖直平面内的四分之一圆弧轨道下端与水平桌面相切，小滑块A和B(均可视为质点)分别静止在圆弧轨道的最高点和最低点．现将A无初速度释放，A与B碰撞后结合为一个整体，并沿桌面滑动．已知圆弧轨道光滑，半径R＝0.2 m，A和B的质量相等，A和B整体与桌面之间的动摩擦因数μ＝0.2.取重力加速度g＝10 m/s2.求：
(1)碰撞后瞬间A和B整体的速率v′；
(2)A和B整体在桌面上滑动的距离L.
【答案】(1)1 m/s (2)0.25 m
【解析】(1)滑块A从圆弧轨道最高点到最低点机械能守恒，由mAv＝mAgR，可得vA＝2 m/s.在底部和B相撞，满足动量守恒，由mAvA＝(mA＋mB)v′，可得v′＝1 m/s.
(2)根据动能定理，对A、B一起滑动过程由－μ(mA＋mB)gL＝0－(mA＋mB)v′2，可得L＝0.25 m.
考点三、某一方向上动量守恒问题
动量守恒定律在圆弧轨道、长木板以及斜面等相关轨道上的应用，求解时要分析受力方向，根据受力情况列动量守恒定律方程，要根据能量分析情况结合能量规律列方程，联立求解。下面结合各种相关的轨道逐个进行分析讲解。
【典例1】(多选)如图所示，质量为M的楔形物体静止在光滑的水平地面上，其斜面光滑且足够长，与水平方向的夹角为θ.一个质量为m的小物块从斜面底端沿斜面向上以初速度v0开始运动，当小物块沿斜面向上运动到最高点时，速度大小为v，距地面的高度为h，则下列关系式中正确的是(　　)
A．mv0＝(m＋M)v
B．mv0cos θ＝(m＋M)v
C．mgh＝m(v0sin θ)2
D．mgh＋(m＋M)v2＝mv
【答案】BD
【解析】小物块上升到最高点时，速度与楔形物体的速度相同，系统水平方向动量守恒，全过程机械能守恒．以向右为正方向，在小物块上升过程中，由水平方向系统动量守恒得mv0·cos θ＝(m＋M)v，选项A错误，B正确；由机械能守恒定律得mgh＋(m＋M)v2＝mv，选项C错误．
【典例2】如图所示，在光滑的水平杆上套有一个质量为m的滑环，滑环通过一根不可伸缩的轻绳悬挂着一个质量为M的物块(可视为质点)，绳长为L.将滑环固定时，给物块一个水平冲量，物块摆起后刚好碰到水平杆；若滑环不固定，仍给物块以同样的水平冲量，求物块摆起的最大高度．
【答案】h＝L.
【解析】滑环固定时，根据机械能守恒定律，有
MgL＝Mv，解得v0＝
滑环不固定时，物块的初速度仍为v0，在物块摆起至最大高度h时，它们的速度都为v，在此过程中物块和滑环组成的系统机械能守恒，水平方向动量守恒，则：
Mv0＝(m＋M)v
Mv＝(m＋M)v2＋Mgh
由以上各式，可得h＝L.
练习1、(多选)如图所示，小车放在光滑的水平面上，将系着绳的小球拉开到一定的角度，然后同时放开小球和小车，那么在以后的过程中(　　)
A．小球向左摆动时，小车也向左运动，且系统水平方向动量守恒
B．小球向左摆动时，小车向右运动，且系统水平方向动量守恒
C．小球向左摆到最高点，小球的速度为零而小车的速度不为零
D．在任意时刻，小球和小车在水平方向上的动量一定大小相等、方向相反
【解析】BD　以小球和小车组成的系统为研究对象，在水平方向上不受力的作用，所以系统在水平方向上动量守恒，由于初始状态小车与小球均静止，所以小球与小车在水平方向上的动量要么都为零，要么大小相等、方向相反．
考点四、弹簧模型
1．注意弹簧弹力特点及运动过程，弹簧弹力不能瞬间变化。
2．弹簧连接两种形式：连接或不连接。
连接：可以表现为拉力和压力，从被压缩状态到恢复到原长时物体和弹簧不分离，弹簧的弹力从压力变为拉力。
不连接：只表现为压力，弹簧恢复到原长后物体和弹簧分离，物体不再受弹簧的弹力作用。
3．动量和能量问题：动量守恒、机械能守恒，动能和弹性势能之间转化，等效于弹性碰撞。弹簧被压缩到最短或被拉伸到最长时，与弹簧相连的物体共速，此时弹簧具有最大的弹性势能，系统的总动能最小；弹簧恢复到原长时，弹簧的弹性势能为零，系统具有最大动能。
【典例1】如图所示，一轻质弹簧两端连着物体A和B，放在光滑的水平面上，物体A被水平速度为 的子弹击中并嵌在其中，已知物体A的质量是m，物体B的质量 ，子弹的质量是 ，求弹簧压缩到最短时B的速度和弹簧的最大弹性势能。
【答案】
【解析】取向右为正方向，子弹击中物体A的过程，由动量守恒定律，得
则子弹和A获得的共同速度为
当弹簧被压缩到最短时，子弹、A和B的速度相同，由动量守恒定律，得
解得
由能量守恒定律得，弹簧的最大弹性势能为
代入数据得
【典例2】(多选)质量为m的物块甲以3 m/s的速度在光滑水平面上运动，有一轻弹簧固定于其左端，另一质量也为m的物块乙以4 m/s的速度与甲相向运动，如图所示．则(　　)
A．甲、乙两物块在弹簧压缩过程中，由于弹力属于内力作用，故系统动量守恒
B．当两物块相距最近时，甲物块的速率为零
C．甲物块的速率可能达到5 m/s
D．当甲物块的速率为1 m/s时，乙物块的速率可能为2 m/s，也可能为0
【答案】AD
【解析】甲、乙两物块(包括弹簧)组成的系统在弹簧压缩过程中，系统所受的合外力为零，系统动量守恒，故A正确．当两物块相距最近时速度相同，取碰撞前乙的速度方向为正方向，设共同速度为v，根据动量守恒定律得mv乙－mv甲＝2mv，解得v＝0.5 m/s，故B错误．若物块甲的速率达到5 m/s，方向与原来相同，则mv乙－mv甲＝－mv甲′＋mv乙′，代入数据解得v乙′＝6 m/s，两个物体的速率都增大，动能都增大，违反了能量守恒定律；若物块甲的速率达到5 m/s，方向与原来相反，则mv乙－mv甲＝mv甲′＋mv乙′，代入数据解得v乙′＝－4 m/s，可得，碰撞后乙的动能不变，甲的动能增加，系统总动能增加，违反了能量守恒定律，所以物块甲的速率不可能达到5 m/s，故C错误．甲、乙组成的系统动量守恒，若物块甲的速率为1 m/s，方向与原来相同，由动量守恒定律得mv乙－mv甲＝－mv甲′＋mv乙′，代入数据解得v乙′＝2 m/s；若物块甲的速率为1 m/s，方向与原来相反，由动量守恒定律得：mv乙－mv甲＝mv甲′＋mv乙′，代入数据解得v乙′＝0，故D正确．
练习1、如图所示，在光滑的水平地面上并排放着物块A、B，它们的质量之比为3∶2，且在它们之间有一处于压缩状态的弹簧(与物块A、B并不拴接)．某一时刻同时释放物块A、B，弹簧为原长时物块A的动能为8 J，则释放物块A、B前，弹簧具有的弹性势能为(　　)
A．12 J　　　　 B．16 J
C．18 J　　　　 D．20 J
【答案】D
【解析】取向左为正方向，由系统的动量守恒得mAvA－mBvB＝0，得vA∶vB＝mB∶mA＝2∶3，物块A与B的动能之比为EkA∶EkB＝mAv∶mBv＝2∶3.所以EkB＝EkA＝×8 J＝12 J，根据功能关系可知，A与B的动能的和等于开始时弹簧的弹性势能，所以弹簧的弹性势能Ep＝EkA＋EkB＝(8＋12) J＝20 J．故A、B、C错误，D正确．
练习2、如图所示，轻弹簧的一端固定在竖直墙上，质量为2m的光滑弧形槽静止放在光滑水平面上．弧形槽底端与水平面相切，一个质量为m的小物块从槽高h处开始自由下滑，下列说法错误的是(　　)
A．在下滑过程中，物块和弧形槽组成的系统机械能守恒
B．在下滑过程中，物块和槽的水平方向动量守恒
C．物块压缩弹簧的过程中，弹簧的最大弹性势能Ep＝mgh
D．物块被弹簧反弹后，离开弹簧时的速度大小为
【答案】D
【解析】在下滑过程中，只有重力做功，物块和弧形槽组成的系统机械能守恒，故A正确；在下滑过程，物块与弧形槽组成的系统在水平方向所受合外力为零，系统水平方向动量守恒，故B正确；设物块到达水平面时速度大小为v1，槽的速度大小为v2，且可判断物块速度方向向右，槽的速度方向向左，以向右为正方向，在物块下滑过程中，系统水平方向动量守恒，由动量守恒定律得mv1－2mv2＝0，由机械能守恒定律得mgh＝mv＋·2mv，由以上两式解得v1＝2，v2＝，物块与弹簧相互作用过程系统机械能守恒，物块速度为零时，弹簧的弹性势能最大，由机械能守恒定律可知，最大弹性势能Ep＝mv＝mgh。
考点五、“子弹打木块”类问题的综合分析
子弹以水平速度射向原来静止的木块,并留在木块中跟木块共同运动.下面从动量、能量和牛顿运动定律等多个角度来分析这一类问题.
1.动量分析
子弹和木块最后共同运动,相当于完全非弹性碰撞,子弹射入木块过程中系统动量守恒mv0=(M+m)v.
2.能量分析
该过程系统损失的动能全部转化为系统的内能.设平均阻力大小为Ff,子弹、木块的位移大小分别为s1,s2,子弹钻入深度为d,如图所示,有s1-s2=d;对子弹应用动能定理有-Ffs1=mv2-m;对木块应用动能定理有Ffs2=mv2,联立解得Ffd=m-(M+m)v2=.式中Ffd恰好等于系统动能的损失量,根据能量守恒定律,系统动能的损失量应该等于系统内能的增加量,则有ΔEk=Ffd=Q=,由此可得结论:两物体由于摩擦产生的热量(机械能转化为内能),数值上等于摩擦力大小与两物体相对滑动路程的乘积.由上面各式联立可得Ff=,s2=d.
3.动力学分析
从牛顿运动定律和运动学公式出发,也可以得出同样的结论.由于子弹和木块都在恒力作用下做匀变速运动,位移与平均速度成正比,有==,所以有==,解得s2=d.
【典例1】一颗子弹水平射入置于光滑水平面上的木块A并留在其中，A、B用一根弹性良好的轻质弹簧连在一起，如图所示．则在子弹打击木块A及弹簧被压缩的过程中，对子弹、两木块和弹簧组成的系统(　　)
A．动量守恒，机械能守恒
B．动量不守恒，机械能守恒
C．动量守恒，机械能不守恒
D．无法判定动量、机械能是否守恒
【答案】C
【解析】子弹、木块、弹簧组成的系统，合外力为零，动量守恒；子弹穿入木块瞬间有部分机械能转化为内能(发热)，系统的机械能不守恒，C正确．
【典例2】如图所示，质量为mB的平板车B上表面水平，开始时静止在光滑水平面上，在平板车左端静止着一质量为mA的物体A，一颗质量为m0的子弹以v0的水平初速度射入物体A，射穿A后速度变为v，子弹穿过物体A的时间极短．已知A、B之间的动摩擦因数不为零，且A与B最终达到相对静止．求：
(1)子弹射穿物体A的瞬间物体A的速度vA；
(2)平板车B和物体A的最终速度v共．(设车身足够长)
【答案】(1) (2)
【解析】(1)子弹穿过物体A的过程中，子弹和物体A组成的系统动量守恒，取向右为正方向，由动量守恒定律得m0v0＝m0v＋mAvA
解得vA＝.
(2)对物体A和平板车B，以A的速度方向为正方向，
由动量守恒定律得mAvA＝(mA＋mB)v共
解得v共＝.
练习1、（多选）如图所示，一轻质弹簧两端各连着滑块A和B，滑块A的质量为m，滑块 B的质量2m，两滑块都置于光滑的水平面上，今有质量为m的子弹以水平速度v0射入A中不再穿出，下列说法正确的是（　　）
A．子弹打入滑块A过程中，子弹对滑块A的冲量大小为
B．滑块B的最大速度为
C．弹簧的最大弹性势能为
D．子弹、滑块A、滑块B及弹簧组成的系统损失的机械能为
【答案】BC
【解析】A．子弹打入滑块A过程中，对子弹和滑块A系统，由动量守恒定律
解得
子弹对滑块A的冲量大小为
选项A错误；
B．当弹簧再次回复到原长时，滑块B的速度最大，则因滑块A（包括子弹）的质量等于滑块B的质量，根据
可得
v2=0
即此时滑块A（包括子弹）与滑块B交换速度，则B的最大速度为，选项B正确；
C．当滑块A（包括子弹）与滑块B共速时，弹簧的弹性势能最大，则
解得最大弹性势能
选项C正确；
D．只有子弹穿木块A时有机械能损失，则子弹、滑块A、滑块B及弹簧组成的系统损失的机械能为
选项D错误。
考点六、“滑块—滑板”类问题的综合分析
“滑块—滑板”模型作为力学的基本模型经常出现,是对直线运动和牛顿运动定律及动量守恒定律有关知识的巩固和应用.这类问题可分为两类:
(1)没有外力参与,滑板放在光滑水平面上,滑块以一定速度在滑板上运动,滑块与滑板组成的系统动量守恒,注意滑块若不滑离滑板,最后二者具有共同速度.摩擦力与相对路程的乘积等于系统动能的损失,即Ff·s相对=ΔEk;
(2)系统受到外力,这时对滑块和滑板一般隔离分析,画出它们运动的示意图,应用牛顿运动定律、运动学公式及动量守恒定律求解.
【典例1】如图甲所示，质量为M的薄长木板静止在光滑的水平面上，t＝0时一质量为m的滑块以水平初速度v0从长木板的左端冲上木板并最终从右端滑下．已知滑块和长木板在运动过程中的v t图像如图乙所示，则木板与滑块的质量之比M∶m为(　　)
甲　　　　　　　乙
A．1∶2 B．2∶1
C．1∶3 D．3∶1
【答案】B
【解析】取滑块的初速度方向为正方向，对滑块和木板组成的系统，根据动量守恒定律有mv0＝mv1＋Mv2，由题图乙知v0＝40 m/s，v1＝20 m/s，v2＝10 m/s，代入数据解得M∶m＝2∶1．
【典例2】(多选)如(a)图所示的光滑平台上，物体A以初速度v0滑到上表面粗糙的水平小车上，车与水平面间的动摩擦因数不计，(b)图为物体A与小车的v－t图象(v0、v1及t1均为已知，重力加速度为g)，由此可算出(　　)
A．小车上表面长度
B．物体A与小车B的质量之比
C．物体A与小车B上表面间的动摩擦因数
D．小车B获得的动能
【答案】BC
【解析】图中速度线与坐标轴包围的面积表示A相对于小车的位移，不一定为小车长度，选项A错误；设m、M分别表示物体A与小车B的质量，根据动量守恒定律：mv0＝Mv1＋mv1，求出：＝， 选项B正确；物体A的v－t图象中速度线斜率大小为：a＝μg＝，可以求出μ，选项C正确；因B车质量大小未知，故无法计算B车的动能．
练习1、如图所示，光滑水平桌面上放置质量为M=2kg的长方体形木板B，质量为m=1kg的小物块A停在B右端。t=0时刻，木板B在水平恒力F作用下由静止开始运动，此后A、B运动的速度-时间图像如图乙所示，在t=1s时，A物块刚好从B的左端滑落。规定水平向右为正方向，则以下判断正确的是（ ）
A.A对B的压力与地面对B的支持力冲量和为零
B.水平恒力F与A对B的摩擦力的冲量和为零
C.在0～1s内，水平恒力F的冲量大小为10N·s
D.D.在0～1s内，A对B的冲量为8N·s
【答案】C
【解析】A．因为A对B的压力小于地面对B的支持力，所以这两个力的冲量和不等于零，A不符合题意；
B．因为水平恒力F大于A对B的摩擦力，所以这两个力的冲量和不为零，B不符合题意；
CD．在0～1s内，对A根据动量定理
对B根据动量定理得
解得 ，水平恒力F的冲量大小为10N·s，C符合题意；
D．在0～1s内，A对B的冲量大小为 ，D不符合题意。
练习2、(多选)如图所示，光滑水平面上，质量为m1的足够长的木板向左匀速运动．t＝0时刻，质量为m2的木块从木板的左端向右以与木板相同大小的速度滑上木板．t1时刻，木块和木板相对静止，共同向左匀速运动，以v1和a1表示木板的速度和加速度，以v2和a2表示木块的速度和加速度，以向左为正方向．则下列图中正确的是(　　)
【答案】BD
【解析】木块和木板组成的系统动量守恒，因为最终共同的速度方向向左，根据m1v－m2v＝(m1＋m2)v′，知m1＞m2；木块的加速度a2＝，方向向左，木板的加速度a1＝，方向向右，因为m1＞m2，则a1＜a2，故A错误，B正确．木块滑上木板后，木块先做匀减速运动，减到零后，做匀加速直线运动，与木板速度相同后一起做匀速直线运动；木板一直做匀减速运动，最终的速度向左，为正值，故D正确，C错误．
考点七、人船模型
人船模型是两个物体均处于静止，当两个物体存在相互作用而不受外力作用时，系统动量守恒。将速度与质量的关系推广到位移与质量，做这类题目，首先要画好示意图，要注意两个物体相对于地面的移动方向和两个物体位移大小之间的关系；
人船问题的适用条件是：两个物体组成的系统（当有多个物体组成系统时，可以先转化为两个物体组成的系统）动量守恒，系统的总动量为零，利用平均动量守恒表达式解答。
【典例1】如图所示，质量为M的小船在静止水面上以速率v0向右匀速行驶，一质量为m的救生员站在船尾，相对小船静止．若救生员以相对水面速率v水平向左跃入水中，则救生员跃出后小船的速率为(　　)
A．v0＋v B．v0－v
C．v0＋(v0＋v) D．v0＋(v0－v)
【答案】C
【解析】小船和救生员组成的系统满足动量守恒(M＋m)v0＝m·(－v)＋Mv′，解得v′＝v0＋(v0＋v)
【典例2】如图所示，小船的两端站着甲、乙两人，初始小船静止于湖面上。现甲和乙相向而行，从船的一端走到另一端，最后静止于船上，不计水的阻力，下列说法正确的是（　　）
A．若甲先行，乙后行，小船最终向左运动
B．若甲先行，乙后行，小船最终向右运动
C．无论谁先行，小船最终都向右运动
D．无论谁先行，小船最终都静止
【答案】D
【解析】以甲、乙和船组成的系统为研究对象，由系统动量守恒知，初始系统总动量为0，所以无论谁先行，最终系统总动量为0，小船最终都静止,故D正确，A、B、C错误。
练习1、如图所示，质量的小船静止在平静水面上，船两端分别载着质量为和的甲、乙两位游泳者。在同一水平线上，甲向左、乙向右相对于河岸同时以速度大小、跃入水中。若甲、乙跃入水中后，小船仍然静止，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】整个系统满足动量守恒代入数据解得。
练习2、如图所示，光滑水平地面上静止一个质量为M且上表面光滑的斜面体．现将一个质量为m的小滑块放置在斜面体顶端，使其由静止沿斜面滑下．已知斜面体底边长为L，则以下判断正确是（　　）
A．下滑过程中小滑块的机械能守恒
B．小滑块下滑过程中，两物体组成的系统动量守恒
C．小滑块到达斜面底端时，斜面体水平向右运动的距离为
D．小滑块到达斜面底端时，小滑块水平向左运动的距离为
【答案】D
【解析】A．下滑过程中小滑块和斜面体组成的系统的机械能守恒，滑块的机械能不守恒，选项A错误；
B．小滑块下滑过程中，两物体组成的系统水平方向受合外力为零，则水平方向动量守恒，竖直方向动量不守恒，则系统动量不守恒，选项B错误；
CD．设小滑块到达斜面底端时，斜面体水平向右运动的距离为x，则由水平动量守恒可知
解得
小滑块水平向左运动的距离为
。
考点八、动量守恒中的临界模型
1．临界点的确定
(1)若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点．
(2)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”“取值范围”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这些极值点也往往是临界点．
2．动量守恒中临界问题的要点分析
在动量守恒定律的应用中，常常出现相互作用的两物体相距最近、避免相碰和物体开始反向等临界状态，其临界条件常常表现为两物体的相对速度关系与相对位移关系，这些特定关系的判断是求解这类问题的关键．
【典例1】在光滑的冰面上静止放置一截面为四分之一圆弧的半径足够大的光滑的自由曲面，一个坐在冰车上的小孩手扶一小球静止在冰面上．某时刻小孩将小球以v0＝2 m/s的速度向曲面推出(如图所示)．已知小孩和冰车的总质量为m1＝40 kg，小球质量为m2＝2 kg，曲面质量为m3＝10 kg.求小孩将球推出后还能否再接到球，若能，则求出再接到球后人的速度，若不能，则求出球再滑回水平面上的速度．
【答案】能再接到小球　 m/s
【解析】人推球过程，水平方向上动量守恒：0＝m2v0－m1v1，
代入数据得：v1＝0.1 m/s
球和曲面相互作用时，水平方向动量守恒：m2v0＝－m2v2＋m3v3，
机械能守恒：m2v02＝m2v22＋m3v32，得v2＝ m/s
∵v2＞v1，所以人能再接住球．
人接球过程(以向右为正)，由动量守恒有：m1v1＋m2v2＝(m1＋m2)v共，
∴v共＝ m/s.
【典例2】如图所示，光滑水平面上A、B两小车质量都是M，A车前站立一质量为m的人，两车在同一直线上相向运动。为避免两车相撞，人从A车跳到B车上，最终A车停止运动，B车获得反向速度v0，试求：
（1）两小车和人组成的系统的初动量大小；
（2）为避免两车相撞，若要求人跳跃速度尽量小，则人跳上B车后，A车的速度多大。
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）光滑水平面上，两小车与人系统动量守恒，所以两小车和人组成的系统的初动量就等于最终A车停止运动，B车获得反向速度时系统的动量所以由系统动量守恒
（2）为避免两车恰好不会发生碰撞，最终两车和人具有相同速度，设共速的速度为v1，由系统动量守恒
解得
练习1、甲、乙两个小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏，甲和他的冰车总质量为M＝30 kg，乙和他的冰车总质量也是30 kg，游戏时甲推着一个质量为m＝15 kg的箱子和他一起以大小为v0＝2 m/s的速度滑行，乙以同样大小的速度迎面滑来，为了避免相撞，甲把箱子推给乙，箱子滑来时乙迅速把它抓住，若不计摩擦，则：
(1)若甲将箱子相对地面以速度v推出，甲的速度变为多少？(用字母表示)
(2)设乙抓住迎面滑来的相对地面的速度为v的箱子后反向运动．乙抓箱子后的速度变为多少？(用字母表示)
(3)若甲、乙最后不相撞，则箱子推出时的速度至少多大？
【答案】(1)v1＝ (2)v2＝ (3) 5.2 m/s.
【解析】(1)甲将箱子推出的过程，甲和他的冰车与箱子组成的系统动量守恒，以甲的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得(M＋m)v0＝mv＋Mv1
解得v1＝
(2)箱子和乙作用过程动量守恒，以箱子的速度方向为正方向，由动量守恒定律得mv－Mv0＝(M＋m)v2
解得v2＝
(3)甲、乙不相撞的条件是v1≤v2
代入数据得v≥5.2 m/s
即箱子推出时的速度至少为5.2 m/s.
考点九、动量守恒与机械能守恒的综合应用
【典例1】将一个光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上，如图所示，槽左侧有一个固定在水平面上的物块．现让一个小球自左侧槽口A点正上方由静止开始落下，从A点落入槽内，则下列说法正确的是(　　)
A．小球在半圆槽内运动的过程中，机械能守恒
B．小球在半圆槽内运动的全过程中，小球与半圆槽组成的系统动量守恒
C．小球在半圆槽内由B点向C点运动的过程中，小球与半圆槽组成的系统动量守恒
D．小球从C点离开半圆槽后，一定还会从C点落回半圆槽
【答案】D
【解析】小球在半圆槽内运动，由B到C的过程中，除重力做功外，槽的支持力也对小球做功，小球机械能不守恒，由此可知，小球在半圆槽内运动的全过程中，小球的机械能不守恒，A错误；小球在槽内由A到B的过程中，左侧物块对槽有作用力，小球与槽组成的系统动量不守恒，由B到C的过程中，小球有向心加速度，竖直方向的合力不为零，系统的动量也不守恒，B、C错误；小球离开C点以后，既有竖直向上的分速度，又有水平分速度，小球做斜上抛运动，水平方向做匀速直线运动，水平分速度与半圆槽的速度相同，所以小球一定还会从C点落回半圆槽，D正确．
【典例2】光滑圆弧槽(半径为R的四分之一圆)质量为M，静止于光滑水平地面上，质量为m的小球(可以视为质点)，静止在光滑圆弧槽的最高点由静止释放沿光滑圆弧槽下滑，当小球刚滑到水平地面时，求：
(1)小球的速度大小；
(2)光滑圆弧槽后退的距离．(R与重力加速度g为已知)
【答案】(1)　(2)
【解析】(1)小球与槽组成的系统在水平方向动量守恒、系统机械能守恒，
以向左为正方向，由动量守恒定律得：mv－MV＝0，
由机械能守恒定律得：mgR＝mv2＋MV2，
解得v＝.
(2)小球与槽组成的系统在水平方向动量守恒，以向左为正方向，
由动量守恒定律得：mv－MV＝0，m－M＝0，
解得x＝.
练习1、(多选)如图所示，带有斜面的小车A静止于光滑水平面上，现B以某一初速度冲上斜面，在冲到斜面最高点的过程中(　　)
A．若斜面光滑，系统动量守恒，系统机械能守恒
B．若斜面光滑，系统动量不守恒，系统机械能守恒
C．若斜面不光滑，系统水平方向动量守恒，系统机械能不守恒
D．若斜面不光滑，系统水平方向动量不守恒，系统机械能不守恒
【答案】BC
【解析】若斜面光滑，因只有重力对系统做功和系统内的弹力对系统内物体做功，故系统机械能守恒，而无论斜面是否光滑，系统竖直方向动量均不守恒，但水平方向动量均守恒．
二、夯实小练
1、下列情况中系统动量守恒的是（　　）
A．小车固定在光滑水平面上，人在车上走动时，人与车组成的系统
B．子弹水平射入紧靠墙角的木块中，子弹与木块组成的系统
C．子弹水平射入放在光滑水平面上的木块中，子弹与木块组成的系统
D．光滑斜面放在光滑水平面上，物块沿斜面自由下滑时，物块和斜面组成的系统
【答案】C
【解析】A．由于小车固定在光滑水平面上，人在车上走动时，对人与车组成的系统，所受的外力之和不为零，则系统动量不守恒，故A错误；B．子弹射入紧靠墙角的木块中，对子弹与木块组成的系统，由于受到墙的作用力，所受的外力之和不为零，则系统动量不守恒，故B错误；C．子弹水平射入放在光滑水平面上的木块中，对子弹与木块组成的系统，系统所受的外力之和为零，系统动量守恒，故C正确；D．光滑斜面放在光滑水平面上，物块沿斜面自由下滑时，由于物块与斜面组成的系统受到的外力矢量和不为零，所以系统动量不守恒，故D错误。
2、如图所示，小车静止在光滑水平面上，AB是小车内半圆弧轨道的水平直径，现将一小球从距A点正上方高R处由静止释放，小球由A点沿切线方向进入半圆轨道后又从B点冲出。不计一切摩擦。在小球与小车相互作用过程中（　　）
A．小车的动量守恒 B．小球和小车的总动量守恒
C．小球和小车在竖直方向上动量守恒 D．小球和小车在水平方向上动量守恒
【答案】D
【解析】在小球与小车相互作用过程中，小车受到的合外力不为零，小车动量不守恒；把小球及小车看作一个系统，因为小球受到重力的作用，使得该系统在竖直方向上受到的合力不为零，而水平方向上满足只受内力，不受外力的作用，所以，系统竖直方向上动量不守恒，水平方向上动量守恒。
3、如图所示，滑块P套在固定的光滑横杆上，小球Q通过轻质细绳与滑块相连，将小球从图示位置释放，空气阻力忽略不计，下列说法正确的是（　　）
A．滑块和小球组成的系统动量守恒，机械能守恒
B．滑块和小球组成的系统动量守恒，机械能不守恒
C．滑块和小球组成的系统水平方向动量守恒，机械能守恒
D．滑块和小球组成的系统动量不守恒，机械能不守恒
【答案】C
【解析】滑块和小球组成的系统水平方向受合外力为零，则水平方向动量守恒；由于只有重力做功，则系统的机械能守恒。
4、如图所示，两木块A、B用轻质弹簧连在一起，置于光滑的水平面上、一颗子弹水平射入木块A，并留在其中、在子弹打中木块A及弹簧被压缩的整个过程中，对子弹、两木块和弹簧组成的系统，下列说法中正确的是（　　）
A．动量守恒、机械能守恒 B．动量不守恒、机械能守恒
C．动量守恒、机械能不守恒 D．动量、机械能都不守恒
【答案】C
【解析】①设子弹质量为m，A木块的质量为m1，子弹初速为v0，则子弹在打进木块A的过程中，有
前后动能减小量为
根据实际情况，减小的这部分动能转化为了内能，即机械能不守恒；②对子弹、两木块和弹簧组成的系统，系统合外力至始至终都为零，满足动量守恒的条件，系统动量守恒；综上所述，则系统动量守恒，机械能不守恒，故ABD错误，C正确。
5、如图所示，A、B两木块紧靠在一起且静止于光滑水平面上，木块C以一定的初速度v0从A的左端开始向右滑行，最后停在B木块的右端，对此过程，下列叙述不正确的是 （　　）
A．当C在A上滑行时，A、C组成的系统动量守恒
B．当C在B上滑行时，B、C组成的系统动量守恒
C．无论C是在A上滑行还是在B上滑行，A、B、C三物块组成的系统动量都守恒
D．当C在B上滑行时，A、B、C组成的系统动量守恒
【答案】．A
【解析】A．当C在A上滑行时，对A、C组成的系统，B对A的作用力为外力，不等于0，故系统动量不守恒，故A错误；
B．当C在B上滑行时，A、B已分离，对B、C组成的系统，沿水平方向不受外力作用，故系统动量守恒，故B正确；
CD．若将A、B、C三木块视为一系统，则沿水平方向无外力作用，系统动量守恒，故CD正确。
6、如图甲所示，一块长度为L、质量为m的木块静止在光滑水平面上．一颗质量也为m的子弹以水平速度v0射入木块．当子弹刚射穿木块时，木块向前移动的距离为s(图乙)．设子弹穿过木块的过程中受到的阻力恒定不变，子弹可视为质点．则子弹穿过木块的时间为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】子弹穿过木块过程，对子弹和木块的系统，外力之和为零动量守恒，有：，
设子弹穿过木块的过程所受阻力为f，对子弹由动能定理：，由动量定理：，
对木块由动能定理：，由动量定理：，
联立解得：。
7、如图，用长为的轻绳悬挂一质量为M的沙箱，沙箱静止．一质量为m的弹丸以速度水平射入沙箱并留在其中，随后与沙箱共同摆动一小角度．不计空气阻力．对子弹射向沙箱到与其共同摆过一小角度的过程( )
A．若保持m、v、不变，M变大，则系统损失的机械能变小
B．若保持M、v、不变，m变大，则系统损失的机械能变小
C．若保持M、m、不变，v变大，则系统损失的机械能变大
D．若保持M、m、v不变，变大，则系统损失的机械能变大
【答案】C
【解析】分析易得只有子弹射入沙箱并停留在沙箱中这个过程中系统的机械能才会损失，由动量守恒得，，则系统损失的机械能
对于A选项，由可知若保持m、v、不变，M越大则系统损失的机械能变大，故A错误
对于B选项，由可知若保持M、v、不变，m变大则系统损失的机械能变大，故B错误
对于C选项，由可知若保持M、m、不变，v变大则系统损失的机械能变大。
8、（多选）如图所示，质量为M1的小车和质量为M2的滑块均静止在光滑水平面上，小车紧靠滑块（不粘连），在小车上固定的轻杆顶端系细绳，绳的末端拴一质量为m的小球，将小球向右拉至细绳水平且绷直后释放，在小球从释放至第一次达到左侧最高点的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．小球与小车组成的系统机械能守恒
B．小球、小车和滑块组成的系统在水平方向动量守恒
C．小球运动至最低点时，小车和滑块分离
D．小球一定能向左摆到释放时的高度
【答案】BC
【解析】A．对小球、小车和滑块组成的系统，只有重力做功，机械能守恒，因为在整个过程中滑块获得了动能，则小球和小车组成的系统机械能不守恒，故A错误；
B．对小球、小车和滑块组成的系统，在水平方向上不受外力，则在水平方向上动量守恒，故B正确；
C．小球向左摆到最低点的过程中，速度增大，水平方向上的动量增大，根据动量守恒定律，小车和滑块向右的动量增大，可知向右的速度增大，小球从最低点向左摆时，速度减小，水平方向上的动量减小，则小车向右的动量减小，速度减小，与滑块发生分离，故C正确；
D．小球、小车和滑块组成的系统在水平方向上动量守恒，最终滑块的速度不为零，则当小球向左摆到最高点时，水平速度不为零，根据机械能守恒定律知，小球不能摆到释放时的高度，故D错误。
9、一辆总质量M（含沙包）的车在水平光滑路面上以速度v匀速行驶．车上的人每次以相同的速度4v（对地速度）向行驶的正前方抛出一个质量为m的沙包．抛出第一个沙包后，车速减为原来的。求：
（1）车的总质量M与沙包的质量m大小关系；
（2）抛出第四个沙包后车的速度大小。
【答案】（1）M=13m；（2）
【解析】规定车的初速度方向为正方向
（1）对抛出第一个沙包前后列方程有

得

（2）抛出第四个沙包后车速为，由全过程动量守恒得

将代入 得
负号表示后退．
10、一人站在静止于冰面的小车上，人与车的总质量M=70 kg，当它接到一个质量m=20 kg、以速度v0=5 m/s 迎面滑来的木箱后，立即以相对于自己v′=5 m/s的速度逆着木箱原来滑行的方向推出，不计冰面阻力。则小车获得的速度是多大？方向如何？
【答案】2.2 m/s，方向与木箱的初速度v0相同
【解析】设推出木箱后小车的速度为v，此时木箱相对地面的速度为（v′-v），由动量守恒定律得
代入数据，即可得
与木箱的初速度v0方向相同。
11、如图甲所示，质量的长木板静止在光滑的水平面上，距长木板右端s处有一与长木板上表面等高的固定挡板，质量的小物块静置在长木板的左端，质量的玻璃球以某一速度在极短时间内从左端水平射向小物块，与小物块发生弹性碰撞（碰撞时间极短）。从小物块开始运动计时的最初一段时间内，速度平方与位移的关系如图乙所示，经过一段时间，长木板与挡板碰撞后粘在一起不再反弹，重力加速度，则：
（1）玻璃球开始射向小物块时的速度多大？
（2）若，为保证小物块不离开长木板，长木板至少多长？
【答案】（1）33m/s；（2）2.4m
【解析】（1）设碰撞后玻璃球的速度为，小物块的速度为，由于玻璃球与小物块是弹性碰撞，动量和机械能都守恒，则有
由小物块碰撞后的速度平方与位移的关系图象可得
可知，小物块的碰后的速度为，代入数据，解得玻璃球开始射向小物块时的速度为
（2）由小物块碰撞后的速度平方与位移的关系图象可得
代入数据，可得小物块在长木板上的加速度为
则可知，长木板的加速度为
小物块在长木板上运动的过程中，系统动量守恒，当小物块与长木板达到共速时，则有
代入数据，解得
达到共速的过程中，长木板运动的距离为
解得
小物块运动的距离为
解得
为保证小物块不离开长木板，长木板的长至少为
12、质量为M=20kg的长木板静止在光滑水平面上，轻质弹簧处于原长且与长木板不栓接。质量为m=9.95kg的木块静止在长木板M上表面，M上表面水平，二者间动摩擦因数为μ=0.5，如图所示，一颗质量为m0=0.05kg的子弹以v0=1000m/s的水平速度瞬间射入木块且未穿出。当弹簧被压缩x0=1m时木块和长木板刚好共速，此后一直相对静止，木块从开始运动到与长木板共速所用时间为t0=0.8s，g取10m/s2，求∶
（1）木块和长木板刚好共速时，弹簧的弹性势能；
（2）木块和长木板能获得的最大速度（可带根号）。
【答案】（1）10m/s；（2）26m
【解析】（1）质量kg的弹片自由落下落时，由机械能守恒定律得
解得手榴弹上升的最大高度
m
手榴弹从地面抛出到爆炸前瞬间，由机械能守恒定律得
解得手榴弹爆炸前瞬间的速度大小
m/s
（2）质量为kg的一块弹片在爆炸后做自由落体运动，该弹片在爆炸后瞬间的速率为零，另一块弹片的质量为
kg
设其爆炸后瞬间的速率为，由动量守恒定律得
解得
m/s
所以手榴弹爆炸后瞬间两块弹片的速率之和为26m/s，质量为的弹片做平抛运动，两块弹片落地点间的距离为
m
三、培优练习
1、如图甲所示，一个轻弹簧的两端与质量分别为和的两物块A、B相连接并静止在光滑的水平地面上，现使A以3m/s的速度向B运动压缩弹簧，速度-时间图象如图乙，则有（　　）
A．在、时刻两物块达到共同速度1m/s，且弹簧都处于压缩状态
B．从到时刻弹簧由压缩状态恢复原长
C．两物块的质量之比为
D．在时刻A与B的动能之比
【答案】D
【解析】A．由图可知t1时刻之后一小段时间，A速度减小，B速度增大，则t1时刻弹簧处于压缩状态，t3时刻之后一小段时间，A速度增大，B速度减小，则t3时刻处于伸长状态，故A错误；
B．在t3时刻处于伸长状态，二物块速度相等，弹簧最长，时刻两物块速度恢复到初始状态即弹簧恢复原长，因此从t3到t4过程中弹簧由伸长状态恢复原长，故B错误；
C．根据动量守恒定律，t=0时刻和t=t1时刻系统总动量相等，有
其中
解得
故C错误；
D．在t2时刻A的速度为
B的速度为
根据
求出
。
2、（多选）如图所示，长为L、质量为3m的长木板B放在光滑的水平面上，质量为m的铁块A放在长木板右端。一质量为m的子弹以速度v0射入木板并留在其中，铁块恰好不滑离木板。子弹射入木板中的时间极短，子弹、铁块均视为质点，铁块与木板间的动摩擦因数恒定，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．木板获得的最大速度为
B．铁块获得的最大速度为
C．铁块与木板之间的动摩擦因数为
D．子弹、木块、铁块组成的系统损失的机械能为
【答案】BCD
【解析】A．对子弹和木板B系统，根据动量守恒定律
mv0 = 4mv1
解得
v1 =
B．对木板B和铁块A（包括子弹）系统
mv0 = 5mv2
解得
v2 =
C．子弹打入木板后，对木板B和铁块A（包括子弹）系统，由能量守恒定律
μmgL = 4mv125mv22
解得
μ =
D．全过程，由能量守恒定律可知，子弹、木板、铁块组成的系统损失的机械能为
E = mv025mv22。
3、（多选）质量为M、内壁间距为L的箱子静止于光滑的水平面上，箱子中间有一质量为m的小物块，小物块与箱子底板间的动摩擦因数为μ．初始时小物块停在箱子正中间，如图所示．现给小物块一水平向右的初速度v，小物块与箱壁碰撞N次后恰又回到箱子正中间，井与箱子保持相对静止．设碰撞都是弹性的，则整个过程中，系统损失的动能为( )
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】设物块与箱子相对静止时共同速度为V，则由动量守恒定律得，得，系统损失的动能为，B正确，AC错误．根据能量守恒定律得知，系统产生的内能等于系统损失的动能，根据功能关系得知，系统产生的内能等于系统克服摩擦力做的功，则有．
4、如图所示，水平光滑地面上停放着一辆质量为M的小车，其左侧有半径为R的四分之一光滑圆弧轨道AB，轨道最低点B与水平轨道BC相切，整个轨道处于同一竖直平面内。将质量为m的物块（可视为质点）从A点无初速释放，物块沿轨道滑行至轨道末端C处恰好没有滑出（小车的BC部分粗糙）。设重力加速度为g，空气阻力可忽略不计。关于物块从A位置运动至C位置的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．物块与小车组成的系统机械能守恒
B．物块与小车组成的系统动量守恒
C．物块运动过程中的最大速度为
D．仅仅改变小车的质量，不改变其他参数，物块也恰好运动到轨道末端C处不滑出
【答案】D
【解析】A.由于物块与小车组成的系统中摩擦力做功产生内能，所以系统机械能不守恒，故A错误；
B.物块与小车组成的系统水平方向上动量守恒，故B错误；
C.当物块运动到最低点是物块速度最大
且水平方向上动量守恒
解得：
故C错误；
D.根据动量守恒可知最后两者速度都为零，由能量守恒可知
所以仅仅改变小车的质量，不改变其他参数，物块也恰好运动到轨道末端C处不滑出。
5、（多选）A、B两物体在光滑水平面上沿同一直线运动，发生碰撞前后的v-t图线如图所示，由图线可以判断（ ）
A．A、B的动量变化量一定相同
B．A、B的质量之比为5：3
C．A的动能增加量一定等于B的动能减少量
D．A对B做多少负功，B对A就做多少正功
【答案】CD
【解析】A．两物体碰撞过程动量变化量大小相等，方向相反，A错误；
B．由图可知，在碰撞前
碰撞后
取碰撞前A的速度方向为正方向，由动量守恒定律的
解得
B错误；
C．设A的质量为3m，B的质量为5m，碰撞过程中A的动能增加量为
碰撞过程中B的动能减少量为
C正确；
D．在碰撞过程中，A、B间的作用力为作用力与反作用力，大小相等、方向相反、位移大小相等，所以A对B做多少负功，B对A就做多少正功，D正确。
6、如图所示，质量为2m的圆弧曲面B静置在光滑的水平面上，质量为m的小球A以v0冲向曲面，恰好运动到圆弧曲面的最高点不计一切摩擦，重力加速度为g，小球可视为质点。则圆弧曲面的半径为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】恰好运动到圆弧曲面的最高点时小球和曲面共速，由动量守恒及能量守恒可得
解得
7、（多选）如图所示，有A、B、C三个物体质量均为m，B和C（不粘连）静止于光滑水平面上，让一小球A自光滑圆弧槽B左侧槽口正上方高处，从静止开始下落，与圆弧槽B左侧槽口相切进入槽内，已知圆弧槽的圆心与两端槽口等高、半径为R，在之后的运动过程中，下列说法正确的是（　　）
A．物块C获得的最大速度为
B．小球A越过圆弧槽最低点之后的运动过程中，小球A满足机械能守恒
C．小球A经过圆弧最低点以后能上升到距圆弧底的最大高度为
D．在此后的运动过程中，圆弧槽的最大速度为
【答案】ACD
【解析】A．小球A经过圆弧最低点时，物块C获得最大速度，以水平向右为正方向，根据水平方向动量守恒有
根据能量守恒有
解得物块C获得的最大速度
故A正确；
B．小球A越过圆弧槽最低点之后的运动过程中，小球A与圆弧槽B组成的系统满足机械能守恒，该运动过程，圆弧槽B减速，机械能减小，则小球A机械能增大，故B错误；
C．小球A经过圆弧最低点以后，对小球A与圆弧槽B组成的系统，根据水平方向动量守恒有
根据机械能守恒有
解得小球A经过圆弧最低点以后能上升到距圆弧底的最大高度为
故C正确；
D．从小球第一次通过最低点到第二次通过最低点，相当于小球与圆弧槽发生了一次完全弹性碰撞，因两物体质量相等，则速度互换，则此时圆弧槽有最大速度，圆弧槽的最大速度为
8、（多选）一长木板放在光滑的水平面上，在长木板的最左端放一可视为质点的滑块，另一质量与滑块质量相等的小球用长为的轻绳拴接在天花板上，如图所示．现将小球拉至轻绳与竖直方向成的位置无初速度释放，小球摆至最低点时刚好和滑块发生无能量损失的碰撞，经一段时间滑块从长木板的最右端离开，滑块离开长木板时的速度为长木板速度的2倍，已知长木板的上表面与水平面之间的距离为，滑块与长木板之间的动摩擦因数为，长木板的质量为滑块的4倍，重力加速度为。则下列说法正确的是（　　）
A．滑块离开长木板时长木板的速度大小为
B．滑块离开长木板时滑块的速度大小为
C．长木板的总长度为
D．滑块落在水平面上的位置距离长木板右端的水平距离为
【答案】CD
【解析】AB．设小球与滑块碰前的速度大小为，长木板的质量为M，滑块的质量为m，小球下摆过程机械能守恒，则有
解得
小球与滑块发生无能量损失的碰撞，又二者质量相等，则二者交换速度，滑块在长木板上滑动的过程中，滑块与长木板组成的系统动量守恒，设滑块离开长木板时滑块、长木板的速度大小分别为、，则有
其中有
又
解得
AB错误；
C．对系统由能量守恒有
代入数据，解得长木板的总长度为
C正确。
D．滑块离开长木板后做平抛运动，由
解得
则滑块落在水平面上的位置距离长木板右端的水平距离为
。
9、如图所示，在光滑水平面上有一个长为L的木板B，上表面粗糙，在其左端有一个光滑的圆弧槽C与长木板接触但不连接，圆弧槽的下端与木板的上表面相平，B、C静止在水平面上，现有滑块A以初速度v0从右端滑上B并以滑离B，恰好能到达C的最高点，A、B、C的质量均为m，试求：
（1）滑块与木板B上表面间的动摩擦因数μ；
（2）圆弧槽C的半径R。
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由于水平面光滑，A与B、C组成的系统动量守恒和能量守恒，有
mv0=m（v0）＋2mv1①
μmgL=mv02－m（v0）2－×2mv12②
联立①②解得
μ=.
（2）当A滑上C，B与C分离，A、C间发生相互作用，A到达最高点时两者的速度相等，A、C组成的系统水平方向动量守恒和系统机械能守恒
m（v0）＋mv1=（m＋m）v2③
m（v0）2＋mv12=（2m）v22＋mgR④
联立①③④解得
R=
10、如图所示，质量为mc=4kg、长度为l=8m且两端带有弹性挡板的长木板C静止在水平地面上，D、E为长木板左右端点，P为中点，质量为mB=3.8kg的物块B静止在P点，一质量为mA=0.2kg的子弹A以v0=160m/s的速度水平飞来与B发生正碰并留在其中，重力加速度大小为g=10m/s2，求：
（1）当A、B与长木板C之间的动摩擦因数μ1=0.5时，B与C均向左运动，若B刚好与挡板没有发生碰撞，则C与地面之间的动摩擦因数μ2为多少
（2）如果地面光滑，A、B与长木板C之间的动摩擦因数，且A、B整体与挡板发生弹性碰撞时刚好速度交换，则：
I．B最终停在长木板上何处
Ⅱ．从B开始运动到与长木板相对静止，B物块运动的总路程为多少
【答案】（1）2m/s，水平向右；（2）0.60或0.36；（3）0.17m
【解析】
(1)设M、m共同速度为v，定水平向右为正方向，由动量守恒定律得：
mvB-MvA=（M+m）v…①
…②
(2) 本题有两种可能
①如果小滑块尚未越过Q点就与平板车达到相对静止，对A、B组成的系统，由能量守恒有：
…③
代入数据得：μ=0.6
②如果小滑块越过Q点与弹簧相互作用后，再返回与平板车达到相对静止，有：
解得：μ′=0.36
(3) 木板A与障碍物发生碰撞后以原速率反弹，假设B向右滑行并与弹簧发生相互作用，
当A、B再次处于相对静止状态时，两者的共同速度为u，在此过程中，A、B和弹簧组成的系统动量守恒、能量守恒．由能量守恒定律得：
mv-Mv=（M+m）u…④
代入数据可得：u=0
设B相对A的路程为S，由能量守恒得：
…⑤
代入数据得：
由于
所以B滑过Q点并与弹簧相互作用，然后相对A向左滑动到Q点左边，
设离Q点距离为s1有：
11、如图所示，一对杂技演员荡秋千（均视为质点），女演员由与悬点O1等高的A位置静止摆下，男演员从平台上D点静止摆下，某时刻女演员摆到最低点B时离开秋千，到达C点（男演员下摆的最低点）刚好被男演员接住，最后二者恰好摆回到平台D点．已知男、女演员均在同一竖直平面内运动，其质量分别为2m和m，其余质量忽略不计，秋千的绳长分别为l和2l，O1与O2等高，空气阻力不计，重力加速度为g．求：
（l）女演员摆到最低点B的速度；
（2）秋千绳O2D与竖直方向的夹角；
（3）若男演员接住女演员用时t，此过程女演员对男演员的平均作用力．
【答案】（1）（3）mg+，方向竖直向下
【解析】（1）对于女演员，从A运动到B，设其速度大小为v，由机械能守恒定律得：
代入数据得：；
（2）设秋千绳O2D和竖直方向的夹角为θ，男演员从平台上D点静止摆下至C点时，速度大小为vc，
由机械能守恒定律有：
当女演员到达C点时刚好被男演员接住，最后二者恰好摆回到平台D点，
可见男女演员的共同速度大小也应该为vc．
男演员接住女演员的过程水平方向动量守恒，以水平向右为正方向，有：
代入数据得：
若男演员接住女演员时两者速度方向相反，有：
代入数值得：（不符合实际，舍去）
（3）女演员从从B点离开秋千做平抛运动，到达C点的竖直速度大小为vy
设男演员对女演员的平均作用力大小为F，取竖直向上方向为正方向，对女演员，由动量定理：
解得：
根据牛顿第三定律，女演员对男演员的平均作用力大小为，方向竖直向下．
12、如图所示，左端为四分之一光滑圆弧的长木板静止放置在光滑的水平面上，圆弧与长木板水平部分相切于B点，圆弧的半径为R，长木板的质量为m。在长木板右端固定轻弹簧，轻弹簧的自由端位于长木板D点的上方。其中，且BC段光滑，CD段均匀粗糙。质量为m的小物块Q静止在B点，质量为m的小物块P由A点上方R处静止下落，沿切线下落进入圆弧。小物块P与Q碰后粘在一起，当两者第二次到达C点时，两者相对长木板静止。重力加速度为g。求
（1）小物块P与Q即将发生碰撞时，长木板的位移为多大？
（2）小物块P与Q碰撞前后损失的机械能为多大？
（3）轻弹簧的弹性势能的最大值为多大？
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】(1)小物块P进入圆弧轨道时，长木板将向左运动，此时小物块Q将处于静止状态。因而小物块P、Q即将发生碰撞时，小物块P的位移为
小物块P和长木板组成的系统，在小物块P和Q发生碰前，系统水平方向动量守恒，根据人船模型可知
解得长木板的位移为
(2)小物块P由静止运动到与Q即将碰撞的过程，根据能量守恒定律有
小物块P和Q发生即将发生碰撞时，取向右为正方向，
对长木板和小物块P，根据动量守恒定律有
小物块P和Q发生碰撞，根据动量守恒定律有
碰撞过程损失的机械能为
解得
(3)当轻弹簧被压缩到最短时，物块P、Q整体与长木板速度相同，由系统水平动量守恒可知此时物块P、Q及长木板的速度均为零，根据能量守恒定律可知
当物块P、Q被反弹至C点时，系统水平动量守恒可知此时物块P、Q及长木板的速度均为零，根据能量守恒定律可知
联立解得轻弹簧的弹性势能的最大值
13、题图是某“极限挑战”项目的示意图，挑战者抱着装备从滑道上O点由静止滑下，经过滑道上P点时做斜抛运动冲出，到达最高点D时，将手中装备在极短时间内沿水平方向抛出，之后挑战者落到下方的缓冲保护区，并要求装备落到宽度为4h的平台AB上，已知D点到平台AB左端A点的水平距离为h，距离平台AB的高度也为h；O点距离平台AB的高度；挑战者的质量为m，装备的质量为km。挑战者抱着装备在滑道上运动过程中克服滑道阻力做功为。挑战者及装备均可视为质点，不计空气阻力，重力加速度为g，求：
（1）到达最高点D时的速度大小v；
（2）若挑战者抛出装备后恰好竖直落下，且装备刚好落到平台AB右端B点，求k应满足的条件；
（3）若k=0.2，要求装备落到平台AB上，且挑战者落入缓冲区，试确定装备被抛出时的速度大小应满足的条件。
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）由动能定理有
即
解得
（2）抛出装备的过程中，水平方向上系统动量守恒，即
挑战者竖直落下，则
v1=0
装备落到B点，则
解得
（3）要使装备到达A点及其右侧，装备抛出时的速度大小v2至少为
当时，由水平方向上系统动量守恒有
解得
而要使挑战者落入缓冲区，其速度需满足
综上，要满足要求
解得
由（2）可知装备不超出B点时
当时
可以落入缓冲区。所以要达到题目要求，装备被抛出时的速度大小需满足
14、某电视台一档闯关节目中，沙袋通过轻质细绳悬挂于A点正上方的O点，闯关者水平向左速度为，在A点抱住沙袋一起向左摆动，细绳摆到与竖直方向成角度时松手，闯关者恰好落到另一侧平台的B点，A、B在同一水平面上，如图所示，沙袋到悬点O的距离为，闯关者的质量为，沙袋质量为，当地重力加速度，沙袋和闯关者视为质点。求：
(1)闯关者刚抱住沙袋时的共同速度大小；
(2)闯关者抱住沙袋向左摆动过程中，细绳的最大拉力大小；
(3)两点间的距离。
【答案】(1)；(2)；(3)
【解析】(1)设闯关者刚抱住沙袋的共同速度为v1，闯关者抱住沙袋过程系统在水平方向动量守恒，以水平向左为正方向，由动量守恒定律可得
代入数据解得
(2)在A点刚抱住沙袋时，绳子拉力最大，设最大拉力为F细绳的拉力与重力的合力提供向心力，由牛顿第二定律得
代入数据解得
(3)细绳与竖直方向偏角为θ时，闯关者与沙袋的速度大小为v2，闯关者与沙袋摆动过程只有重力做功，机械能守恒，由机械能守恒定律得
闯关者松手后做斜抛运动，设经过时间t落到另一侧平台的B点，设松手后闯关者的水平位移为x，AB间距离为s，以向上为正方向，竖直方向
水平方向
AB之间距离为
代入数据解得
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)