北仑区名校2022-2023学年高二下学期期中考试
数学试卷
（1班使用）
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．条件，，则的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，则的解集是（ ）
A． B． C． D．
5．数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感. 莱洛
三角形的画法如下：先画等边三角形，再分别以点为
圆心，线段长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）.
若莱洛三角形的周长为，则其面积是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，若存在区间，使得函数在上的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．咖啡产品的经营和销售如何在中国开拓市场是星巴克、漫咖啡等欧美品牌一直在探索的内容，而2018年至今中国咖啡行业的发展实践证明了以优质的原材料供应以及大量优惠券、买赠活动吸引消费者无疑是开拓中国咖啡市场最有效的方式之一.若某品牌的某种在售咖啡产品价格为30元/杯，其原材料成本为7元/杯，营销成本为5元/杯，且该品牌门店提供如下4种优惠方式：（1）首杯免单，每人限用一次；（2）3.8折优惠券，每人限用一次；（3）买2杯送2杯，每人限用两次；（4）买5杯送5杯，不限使用人数和使用次数.每位消费者都可以在以上4种优惠方式中选择不多于2种使用.现在某个公司有5位后勤工作人员去该品牌门店帮每位技术人员购买1杯咖啡，购买杯数与技术人员人数须保持一致；请问，这个公司的技术人员不少于（ ）人时，无论5位后勤人员采用什么样的优惠方式购买咖啡，这笔订单该品牌门店都能保证盈利.
A．28 B．29 C．30 D．31
二、多选题(每小题5分，共20分；每题完全正确得5分，不完全正确得2分)
9．下列各式中，值为的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数的定义域为，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列一定成立的有（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数在上恰有3个零点，则（ ）
A．
B．在上单调递减
C．函数在上最多有3个零点
D．在上恰有2个极值点
12．定义全集的子集的特征函数,这里表示在全集中的补集,那么对于集合、,下列所有正确说法是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题（每小题5分，共20分）
13．=__________．
14．设命题，命题，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是__________．
15．已知，，，则的最小值为__________．
16．在中，，D为BC的中点，则的最大值为__________．
四、解答题（共70分）
17．已知函数.
(1)求的单调递增区间；
(2)若在上存在最小值，求实数t的取值范围；
(3)方程在上的两解分别为，求的值.
18．已知函数，．
(1)若，解不等式；
(2)设是函数的四个不同的零点，问是否存在实数，使得其三个零点成等差数列？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由．
19．在中，角A、B、C对的边分别为a、b、c．且．
(1)求角B的大小；
(2)求的取值范围；
(3)若，，P为AC边中点，求BP的长．
20．已知函数
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，恒成立，求的最大整数值．
21．将一块圆心角为，半径为的扇形铁片裁成一块矩形，有两种裁法（如图所示），让矩形一边在扇形的一条半径OA（图1），或让矩形一边与弦AB平行（图2），对于图1和图2，均记．
(1)对于图1，请写出矩形面积关于的函数解析式；
(2)对于图2，请写出矩形面积关于的函数解析式；（提示：）
(3)试求出的最大值和的最大值，并比较哪种裁法得到的矩形的面积更大？
22．已知.
(1)证明：当时，在上单调递增；
(2)当时，关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
答案第4页，共4页北仑区名校2022-2023学年高二下学期期中考试
数学答案（1班使用）
1-8 BDAC CDDC 9．ABD 10．ABC 11．BC 12．ABD
13．2 14． 15． 16．
17．（1），
由，得，
所以的单调递增区间为：.
（2）当时，，
因为在上存在最小值，所以，所以.
（3）设，，则，
由于正弦函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
由，得，
因为方程在上的两解分别为、，
则，必有，，
可得.
18．，
（1）当时，，即，得，
若时，即时，不等式的解集为，
若时，即时，不等式的解集为，
时，，即，
若时，即时，无解，
若时，即时，
由得，
又，，
不等式的解集为，
综上，当时，不等式的解集，
当时，不等式的解集为；
（2），有4个不同的零点，且，
，
不妨设，则，
①若成等差数列，则，此时，，不符合题意，
②若成等差数列，同①不符合题意，
③若成等差数列，则 ，，
，，或均舍去，
④若成等差数列，则 ，，
，，（舍）或，
综上可知，存在符合题意.
19．（1）因为，所以，
即，化简得，
故，又，故；
（2）由（1）知，，
故，
又，则，，即；
（3）∵，∴，
又，， ∴，∴.
20．（1）的定义域为，．
令，，
当时，恒成立，所以在上递增．
当时，在区间，，递减；在区间，，递增．
（2）当时，，，
由（2）知，在上递增，，，
所以存在使得，即．
在区间，，递减；在区间，，递增．
所以当时，取得极小值也即是最小值为，
∵，∴，所以．
由恒成立，得，故的最大整数值为．
21．（1）对于图1，在中，，，
矩形的面积为.
（2）对于图2，在中，由正弦定理得.
由对称性可知，的平分线所在直线为对称轴，则,，
所以矩形的面积为
.
（3），当时，取最大值，最大值为200；
. 当时，取最大值，最大值为.
所以，选择图2裁法得到的矩形的面积更大.
22．（1）证明：因为，
所以，
因为，所以，又，所以，所以在上单调递增.
（2）当时，，即
所以，即在上恒成立.
令，则，令，
则.
因为，所以，所以，
所以在上单调递增，所以.
①当，即时，在上，，即，所以在上单调递增，所以对，即在上恒成立，符合题意；
②当，即时，，
又，若，则在上，，即，所以在上单调递减，所以，不合题意；
若，则存在，使得，
所以在上，，即，
所以在上，单调递减，所以对不合题意.
综上所述，关于的不等式在上恒成立，实数的取值范围为.答案第20页，共20页
