洛阳复兴学校2022-2023学年第二学期期中模拟试卷
一、单项选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1．设是定义在R上的可导函数，若（为常数），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】.
故选：C.
2．若，则的值（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，解得：.
3．若甲、乙、丙三名学生计划利用寒假从丽江、大理、西双版纳、腾冲中任选一处景点旅游， 每人彼此独立地选景点游玩，且丽江必须有人去，则不同的选择方法有（ ）
A．16种 B．18种 C．37种 D．40种
【答案】C
【解析】法1（直接法）：
满足题意的不同的选择方法有以下三类:
三个人中只有一个人去丽江，有(种) 选择方法；
三个人中有两个人去丽江，有(种) 选择方法；
三个人都去丽江，有种选择方法；
综上，共有(种)不同的选择方法.
法2（排除法）：
三个人去四个景点，有(种) 选择方法；
没有人去丽江，有(种) 选择方法；
综上，共有(种)不同的选择方法.
故选：C
4．已知函数的图象如图所示，是函数的导函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】解：由函数的图象知，当时，单调递增，，
函数图象切线斜率逐渐增大，
单调递增，，，
，，
故选：A．
5．从1，2，3，4，5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有（ ）
A．51个 B．54个 C．12个 D．45个
【答案】A
【解析】由题意分类讨论：
（1）当这个三位数，数字2和3都有，再从1，4，5中选一个，因为2需排在3的前面，这样的三位数有(个).
（2）当这个三位数，2和3只有一个，需从1，4，5中选两个数字，这样的三位数有（个）.
（3）当这个三位数，2和3都没有，由1，4，5组成三位数，这样的三位数有（个）
由分类加法计数原理得共有(个)．
故选：A．
6．设函数，其中，则导数的取值范围是（ ）
A．[－2，2] B． C． D．
【答案】D
【解析】，
，
故选：D
7．，则的值为（ ）
A．1025 B．1024 C．1023 D．1022
【答案】D
【解析】在已知条件中令x=0，得,
注意到为最高次幂的系数，各因式中x的最高次幂的系数都是1，故
令得，
所以，
故选：D.
8．设，，（），则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】令，则
由，得，由，得
则在单调递减，在单调递增，在时取最小值.
故，且
又由，可得，则
即，则
综上，有，即
故选：A
9．已知函数为的导函数，则
A．0 B．2014 C．2015 D．8
【答案】D
【解析】因为，所以，
则为奇函数，且为偶函数，即，所以
；故选D．
10．已知函数存在两个极值点，则实数的取值范围是______．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得，因为函数有两个极值点，所以有两个正数零点．由得，即，令，则，易知函数是减函数，且当时，，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减．故，又当时，，当时，，所以要使有两个零点，需，即．
故答案为：A
11．下列结论不正确的是（ ）
A．若，则
B．多项式展开式中的系数为52
C．若，则
D．
【答案】B
【解析】对于A， 令，
则，且，
令，则，且，
所以．故A正确；
对于B，的展开式的通项为，要求的系数，，
当时，有，其中的系数为；
当时，有，不存在；
当时，有，其中的系数为；
当时，有，不存在.
故多项式展开式中的系数为，故B不正确；
对于C，的展开式的通项为，可知，，
所以，
所以令，有，
因此.
故C正确；
对于D，
，故D正确.
故选：B
12．已知定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，则.
因为，，所以，
所以，即在上单调递增.
不等式可转化为，
又，且
即，所以，解得.故选：C
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是__________.
【答案】
【解析】为偶函数，且当时，，
当时，，则，
则，
则在点处的切线方程为，即.
故答案为；.
14．假如的二项展开式中项的系数是，则二项展开式中系数最小的项是__________.
【答案】
【解析】由二项式知：，而项的系数是，
∴时，有且为奇数，又由，
∴可得.
∴，要使系数最小，为奇数，由对称性知：，
∴.
故答案为：.
15．从集合中任意选择三个不同的数，使得这三个数组成等差数列，这样的等差数列有 个
【答案】98
【解析】当公差为时，数列可以是：，，，……，共13种情况.
当公差为时，数列可以是：，，，……，共11种情况.
当公差为时，数列可以是：，，，……，共9种情况.
当公差为时，数列可以是：，，，……，共7种情况.
当公差为时，数列可以是：，，，，，共5种情况.
当公差为时，数列可以是：，，，共3种情况.
当公差为时，数列可以是：，共1种情况.
总的情况是.
又因为三个数成公差数列有两种情况，递增或递减，
所以这样的等差数列共有个.
16．若函数在内单调递增，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【详解】因函数在内单调递增，则，，
即，整理得，
当时，则成立，，
当时，，而，
当且仅当，即时取“=”，则有，
当时，，而，
当且仅当，即时取“=”，则有，
综上得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
三、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．求下列函数的导数
（1）（2）（3）（4）（5）
【解析】（1） （2）
（3） （4） （5）
18．已知函数（e是自然对数的底数），曲线在点处的切线为.
(1)求a，b的值；
(2)若不等式在上恒成立，求正实数m的取值范围.
【答案】(1)，(2)
【解析】(1)可得，
因为曲线在点处的切线为.
所以，解得，.
(2)由（1）知，
∵不等式在上恒成立，
∴在上恒成立，即在上恒成立.
令，∵，当时，解得.
∴当时，，为减函数，当时，，为增函数，
∴的最小值为，∴，∴正实数m的取值范围为.
19．已知在的展开式中，前3项的系数成等差数列，求：
(1)展开式中二项式系数最大项的项；
(2)展开式中系数最大的项；
(3)展开式中所有有理项.
【答案】(1). (2)和. (3)和.
【解析】（1）展开式的通项公式为，
依题意得，即，得，
所以的展开式有项，二项式系数最大的项为项，
所以.
（2）由（1）知，，
设展开式中系数最大的项为第项，
则，即，即，
解得，所以或，
所以展开式中系数最大的项为和.
（3）由为有理项知，为整数，得，.
所以展开式中所有有理项为和.
20．现有编号为，，，，，，的7个不同的小球．
（1）若将这些小球排成一排，且要求，，三个球相邻，则有多少种不同的排法？
（2）若将这些小球排成一排，要求球排在中间，且，，各不相邻，则有多少种不同的排法？
（3）若将这些小球排成一排，要求，，，四个球按从左到右排（可以相邻也可以不相邻），则有多少种不同的排法？
（4）若将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，至多3个球，则有多少种不同的放法？
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.
【解析】（1）把，，三个球看成一个整体，则不同的排法总数为种.
（2）在正中间，所以的排法只有1种，
因为，，互不相邻，故，，三个球不可能在同在的左侧或右侧，
若，，有1个在的左侧，2个在的右侧，则不同的排法有，
同理可得若，，有2个在的左侧，1个在的右侧，不同的排法有，
故所求的不同排法总数为种.
（3）从7个位置中选出4个位置给，，，，且，，，四个球按从左到右排，共有排法种，再排余下元素，共有种，
故不同排法总数为种.
（4）三个盒子所放的球数分别为或，
若三个盒子所放的球数分别为，则不同排法共有，
若三个盒子所放的球数分别为，则不同排法共有，
故不同的排法总数为.
21．已知函数.
(1)求的极值；
(2)设函数，讨论的零点个数.
【详解】（1）因为，则，
由，可得，由，可得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在处有极大值，极大值为，无极小值；
（2）因为，
所以，
由，可得或，由，可得，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减，
当时，函数有极大值，当时，函数有极小值，
当时， ，当时，
∴当或，即或时，有一个零点，
当或，即或时，有两个零点，
当且，即，有三个零点，
综上：当或时，有一个零点；或时，有两个零点；，有三个零点.
22．已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数在区间上的最大值为12，求实数的值；
(3)若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）由得，
当时，，故在上单增；
当时，令，解得，
时，，单增；
时，，单减；
时，，单增；
综上所述，当时，在上单增；
当时，在单增；在单减；在当单增；
（2）由（1）可知，当时，在上单增，故当时，，解得，故；
当时，令，解得，
和时，，单增；
时，，单减；
故最大值在或处取到，，
解得（舍去），，解得舍去；
当，即时，时，，单增；时，，单减，
故，解得，故；
当时，即时，时，，单减，
故，解得（舍去），
综上所述，或
（3）要使在区间上恒成立，即对于任意恒成立，分离参数得，，令，
则，令，
则，故在单增，，
故，即在成立，故在单增，
，所以.洛阳复兴学校2022-2023学年第二学期期中模拟试卷
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1．设是定义在R上的可导函数，若（为常数），则（ ）
A． B． C． D．
2．若，则的值（ ）
A． B． C． D．
3．若甲、乙、丙三名学生计划利用寒假从丽江、大理、西双版纳、腾冲中任选一处景点旅游， 每人彼此独立地选景点游玩，且丽江必须有人去，则不同的选择方法有（ ）
A．16种 B．18种 C．37种 D．40种
4．已知函数的图象如图所示，是函数的导函数，则（ ）
A．B．
C．D．
5．从1，2，3，4，5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有（ ）
A．51个 B．54个 C．12个 D．45个
6．设函数，其中，则的取值范围是（ ）
A．[－2，2] B． C． D．
7．，则的值为（ ）
A．1025 B．1024 C．1023 D．1022
8．设，，（），则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数为的导函数，则 （ ）
A．0 B．2014 C．2015 D．8
10．已知函数存在两个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．下列结论不正确的是（ ）
A．若，则
B．多项式展开式中的系数为52
C．若，则
D．
12．已知定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是__________.
14．的二项展开式中项的系数是，则二项展开式中系数最小的项是________.
15．从集合中任意选择三个不同的数，使得这三个数组成等差数列，这样的等差数列有 个
16．若在内单调递增，则实数的取值范围是_______.
三、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．求下列函数的导数
（1）（2）（3）（4）（5）
18．已知函数（e是自然对数的底数），曲线在点处的切线为.
(1)求a，b的值；
(2)若不等式在上恒成立，求正实数m的取值范围.
19．已知在的展开式中，前3项的系数成等差数列，求：
(1)展开式中二项式系数最大项的项；
(2)展开式中系数最大的项；
(3)展开式中所有有理项.
20．现有编号为，，，，，，的7个不同的小球．
（1）若将这些小球排成一排，且要求，，三个球相邻，则有多少种不同的排法？
（2）若将这些小球排成一排，要求球排在中间，且，，各不相邻，则有多少种不同的排法？
（3）若将这些小球排成一排，要求，，，四个球按从左到右排（可以相邻也可以不相邻），则有多少种不同的排法？
（4）若将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，至多3个球，则有多少种不同的放法？
21．已知函数.
(1)求的极值；
(2)设函数，讨论的零点个数.
22．已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数在区间上的最大值为12，求实数的值；
(3)若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围．
