高二期中检测数学试题
一单选题
1.已知数列{a,}满足a=2,对于任意正整数n都有2a-a,=0,则数列{a,}的前
6项和是()
A贵
B.
C.30
D.126
2.已知f(x)=(x-3)e,则f(x)()
A.在(-o∞，+o∞)上单调递增
B.（-∞，)在上单调递减
C.有极大值e,无极小值
D.有极小值-e,无极大值
3.已知数列{an}满足a,=V5,a,=1,且a1-a=2a,-2an1+1(n22),则as-2am的
值为()
A.2021
B.2022
C.2023
D.2024
4.若直线y=ac+n与曲线y=lnx+二相切，则k的取值范围是()
A.(
B.[4,+∞)
C.[-4,+∞)
D.
5.中国古代某数学名著中有这样一个类似问题：“四百四十一里关，初行健步不
为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见末日行里数，请公仔细算相还”
其意思为：有一个人一共走了441里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每
天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问最后一天走的路程是
()
A.7里
B.8里
C.9里
D.10里
6.已知函数f(x)的导函数为f"(x),且满足f(x)=2xyf"()+nx,则f)=（)
A.1
B.
C.-1
D.e
7.已知数列{a,}的前n项和为Sn,且a,=4,an+a=4n+2(n∈N),则使得Sn<2023
成立的n的最大值为()
A.32
B.33
C.44
D.45
8.若a=0.04,b=n1.04,c=log1.04则()
A.c
B.bC.cD.b二，多选题
9.已知数列{a,}的前n项和为S,若a=-5,a=a,+3则下列说法正确的是（)
A.{a}是递增数列
B
数列侣}
是递增数列
C.数列{Sn}中的最小项为S
D.Sn、Sm、S,n(meN)成等差数列
10.已知函数()-，则下列说法正确的是（)
A.当0B.f(x)有且仅有一个极值点
公
C.f(x)有且仅有两个极值点
D.存在6，使得f)
11.设数列{a,}的前项n和为Sn,若a=1,a=2S,(neN),则下列说法正确的是
()
A.Sn=3-1
B.{Sn}为等比数列
1,n=1
C.an=2-3-2
D.
2.3m-2,n≥2
12.已知函数f(x)=xx+1,g(x)=e+ar,若f()与g(x)的图象上有且仅有两对
关于原点对称的点，则a的取值可能是()
、0
A.e
B.e+2
C.3
D.4
三.填空题
S.=n-1
=
13.设等差数列a,},{b.}的前n项和分别为，T若2n+7,则。
4已知=是，利用课本中推导等差数列前项和的公武的方法，可求得
()品+器)2
高二期中检测数学试题 1 1 1 1 1 1 4.【详解】 y = = + ， x x2 x 2 4 4
一 单选题 1由导数的几何意义可知， k .
4
1．B【详解】对任意的 n都有2an+1 an = 0，则
故选：A
1
a = a ，且 a1 = 2n+1 n ，
2 5. 【详解】设第六天走的路程为 a1，第五天走的
1
所以，数列 a 是首项为 2，公比为 的等比数 路程为 a2 ……第一天走的路程记为 a6， n 2
根据题意每天走的路程为前一天的一半，所以公比
列，
a (1 q6 )
6 q 2，且 S6 = 441 S =
1
1 ， 6 ，所以
2 1 1 q
因此，列 a 的前6项和是 2 63 63n = 4 = . a (1 2
6 )
1 441=
1 ，从而解得a1 = 764 16 ，
1 1 2
2
故选：A.
故选；B.
6【详解】在等式 f (x) = 2xf (1)+ ln x两边求导得
2．D【详解】∵ f (x) = (x 3)e
x
，则
1
f x x x (x) = 2 f (1)+ ，所以， f (1) = 2 f (1)+1，解得f (x) = e + (x 3)e = (x 2)e ， x
f (1) = 1 .
令 f x 0，解得 x 2；令 f (x) 0，解得 x 2；
故选：C.
则 f (x)在 ( , 2)上单调递减，在 (2,+ )上单调递
7.【详解】当 n为偶数时，
增，
Sn = a1 + a2 + + an = (a1 + a2 )+ (a3 + a4 )+ + (an 1 + an )
故 A、B 错误；
n
2 (6+ 4n 2)
由单调性可得： f (x)有极小值 f (2) = e ，无极大 ，
= 6+14+ + 4n 2 = 2 = n (n+1)
2
值，
令 Sn = n (n+1) 2023，且 n为偶数，
故 C 错误，D 正确.
解得2 n 44，故 n的最大值为 44；
故选：D.
当 n为奇数时，
2 2
3.【详解】由 an+1 an = 2an 2an 1 +1(n 2)得，
Sn = a1 + a2 + + an = a1 + (a2 + a3 )+ (a4 + a5 )+ + (an 1 + an )
(a2当 n 2时， n+1 2an ) (a2n 2an 1 ) =1，
n 1
(10+ 4n 2)
且由 a = 3,a =1，得a2 2a =1， = 4+10+18+ + 4n 2 = 4+
2 = n2 + n+ 2
2 1 2 1 2
2
所以 an+1 2an 构成以 1 为首项，1 为公差的等差数 ，
S 2 n
2 令 n = n + n+ 2 2023，且 为奇数， 列，所以 an+1 2an = n，
解得1 n 43，故 n的最大值为 43；
所以 a22023 2a2022 = 2022 .
综上所述：n的最大值为 44.
故选：B.
故选：C.
8.【详解】因为a = 0.04，b = ln1.04，c = log31.04，
1
1 1 1
当 x (0,1)时，设 f (x) = ln (x +1) x， 令h(x) = ln x，h (x) = 0 (0,+ )
x2
在 恒成
x x
1 x
则 f (x) = 1= 0， 立，
x+1 x+1
所以h (x)在 (0,+ )上单调递减，
所以 f (x)在 (0,1)上单调递减且 f (0) = 0，
1
又h (1) =1 0，h(2) = ln 2 0，
所以 f (0.04) = ln (1+ 0.04) 0.04 f (0) = 0， 2
1
所以 x0 (1,2)，使得h (x0 ) = 0，即 = ln x0 ，
即0.04 ln (1+ 0.04)，所以 a b； x0
又因为3 e，所以 ， 所以当0 x x f x 0 x xln3 ln e =1 0 时， ，当 0时，
ln1.04
log3 1.03 = ln1.04，即b c， f (x) 0，
ln3
所以 c b a . 故 f (x)在 (0, x0 )上单调递增，在 (x0 ,+ )上单调递
故选：A.
减，
二．多选题
所以 f (x)有且仅有一个极值点.故 B 正确，C 错
9.【详解】因为 an+1 = an + 3，所以数列 an 为等差数
误；
列，公差为 3， ln x 1 1 1
所以 f ( x) = f ( x ) =
0 =
max 0 x0 x x ，故 D 错e x 0 00e e e
因为 a1 = 5，所以 an 5 3 n 1 3n 8，
误，
n ( 5+3n 8) 3n2 13n
Sn = = ；
2 2 故选:AB.
对于 A，因为 an+1 an = 3 0，所以 a 是递增数 11.ABD 详解】∵
an+1 = 2Sn ，则 Sn+1 Sn = 2Sn ，即
n
Sn+1 = 3
列，A 正确； ， Sn
Sn+1 Sn 3n 10 3n 13 3对于 B，因为 = = 0，所 ∴数列 S 是以首项 S1 = a1 =1，公比q = 3n 的等比数
n+1 n 2 2 2
S
以数列 n 是递增数列，B 正确； 列，则 Sn =1 3
n 1 = 3n 1，
n
对于 C，因为a1 0,a2 0,a3 =1 0，所以数列 Sn 中 故 A、B 正确；
n 1
的最小项为 S ，C 不正确； 又∵an = Sn Sn 1 = 3 3
n 2 = 2 3n 2 (n 2)，
2
对于 D，当m =1时， S1 = 5,S2 = 7,S3 = 6，显然不
1,n =1
显然a1 =1不符合上式，则an = ，
2 3
n 2 ,n 2
是等差数列，D 不正确.
故 C 错误，D 正确；
故选：AB.
故选：ABD.
10. AB 详解】当0 x 1时， ln x 0， ex 0，所以
12. BD【详解】依题意，因为 f (x)与 g (x)的图象上
f (x) 0，故 A 正确；
有且仅有两对关于原点对称的点，
1
ln x
由题意知， x ， 所以 f (x)与 g ( x)在 (0,+ ) ( 上有两个交点， f x) =
ex
x
即 xlnx +1= e + ax (x 0)有两个零点，整理得
2
ex +1 2
a = ln x + ， 16. ( , e )
x
ex +1
只需满足 y = a与 y = ln x + (x 0)有两个交点即 【详解】函数 y = (x a) ln x 的定义域为 (0,+ )，则
x
可. x ay = ln x + ．
x
ex +1
令 h (x) = ln x + (x 0)，则有
x 设切点坐标为 (m,n)，m 0，有n = (m a) ln m，
(ex +1)(x 1)
h (x) = ， m a
x2 则切线方程为 y n = ln m + (x m)．
m
所以在 x (0,1)时， h (x) 0， h (x)单调递减； 又因为切线过原点，
m a
在 x (1,+ )时， h (x) 0， h (x)单调递增； 所以0 n = ln m + (0 m)，即
m
所以 h (x)在 x =1处取得最小值 h (1) = e+1， (m a) ln m = m ln m+m a ，
所以只需 a e+1 3.73即可满足题设要求， 整理得a ln m+m a = 0，即关于m 的方程
故选：BD. a ln m+m a = 0有两个不等实根．
三．填空题 解法一： (ln m 1)a = m，当m = e时，方程无解．
2
13. ##0.4 m
5 当m e时，即a = ．
1 ln m
19(a + a
【详解】因为 1 19
)
S19 = =19a10，
2 m 2 ln m
令 g (m) = ，m 0，则 g (m) = 2 ，
19(b +b ) 1 ln m (1 ln m)1 19
T19 = =19b10，
2
a S 19 1 18 2 当m (0,e)时， g (m) 0，函数 g (m)在 (0,e10 19 )上单调
所以 = = = = ,
b10 T19 2 19+ 7 45 5
2 递增；
故答案为：
5
当m (e,e2 )时， g (m) 0，函数 g (m) (e,e2在 )上单
14. 2022【详解】解：由
2x 2(1 x) 2(2x 1) 调递增；
f (x)+ f (1 x) = + = = 2，
2x 1 2(1 x) 1 2x 1
m (e2当 ,+ )时， g (m) 0，函数 g (m)在 (e2 ,+ )上
1 2 2022
令 S = f + f + + f ，
2023 2023 2023 单调递减，
2022 2021 1
则 S = f + f + + f ，
2023 2023 2023 所以当m = e2 时，函数 g (m)取得极大值
两式相加得： 2S = 2022 2，
g (e2 ) = e2．
∴ S = 2022．
m 0,e
故答案为：2022 当 ( )时， g (m) 0，
15. 135【详解】因为能被 3 除余 1 且被 5 整除余 1 当m (e,+ )时， g (m) 0，且当m→ e+时，
的数即为能被 15 整除余 1 的数，
g (m)→ ，
a =15n 14,(n *故 n N )，又 an 2023，解得n =135 .
当m→+ 时， g (m)→ ，所以实数a的取值范围
故答案为：135.
3
是 ( , e2 )． 故 = 1 + 2 + +
= (1 + 21) + (2 + 22) + + ( + 2 )
解法二：令 f (m) = a ln m+m a，m 0，则
= (1 + 2 + + ) + (21 + 22 + + 2 )
a a +m
f (m) = +1= ， ( + 1) 2(1 2 )
m m = +
2 1 2
当 a 0时， f (m) 0恒成立，函数 f (m)单调递 ( +1)
= + 2(2 1)．
2
增，则函数 f (m)至多有一个零点，因此不合题 18.解：(1)函数 ( )的导函数为 ′( ) = 3 2 + 2 +
意； ，
′( 2) = 12 4 + = 0
当 a<0时，令 f (m) = 0，即m = a
= 4
， 由题意得{ ，解得{ ,
′( 1) = 3 2 + = 1 = 4
3 2
当m (0, a)时， f (m) 0，函数 f (m)在 (0, a)上单 ∴ ( ) = + 4 + 4 + 1．
(2)由(1)得 ′( ) = 3 2 + 8 + 4 = (3 + 2)( + 2)．
调递减，且当m → 0时， f (m)→+ ；
当 3 ≤ ≤ 0时，由 ′( ) ≥ 0，得 3 ≤ ≤ 2或
当m ( a,+ )时， f (m) 0，函数 f (m)在 ( a,+ ) 2
≤ ≤ 0；
3
上单调递增，且当m→+ 时， f (m)→+ ， 2
由 ′( ) ≤ 0，得 2 ≤ ≤ ．
3
所以函数 f (m)的极小值为 2
∴函数 ( )在 = 2处取极大值，在 = 处取极
3
f ( a) = a ln ( a)+ ( a) a = a ln ( a) 2 ． 小值，
若关于m 的方程 a ln m+m a = 0有两个不等实根， 2 5∴ ( 3) = 2， ( 2) = 1， ( ) = ， (0) =
3 27
即函数 f (m)有两个零点，则 1，
f ( a) = a ln ( a) 2 0，又因为 a 0，所以 ∴函数 ( )在区间[ 3,0]上的最小值为 2，最大值为
1．
ln ( a) 2 0，即 a e2，所以a e2，所以实数 a
19.(1)证明：因为 +1 +1 2 = 2 ，
的取值范围是 ( , e2 )． +1
所以
= 1
2 +1 2
，为常数，
2
故答案为： ( , e )
{ 故数列 }为等差数列． 2
四．解答题
(2)解：由(1)知，数列{ } 是首项为1，公差为1的等2
17.解：(Ⅰ)由题意， 1 = 1， 2为 1， 4的等比中
差数列，
项，
∴ 2 = ，即(1 + )2 = 1 × (1 + 3 )，解得 = 所以 = 1 + ( 1) 1 = ， 2 1 4 2
1． 所以 = 2
，
∴数列{ }的通项公式为 = 1 + ( 1) × 1 = ， 所以 = 1 2
1 + 2 22 + 3 23 + + 2 ，①
∈ ． 2 2 3 4 = 1 2 + 2 2 + 3 2 + + ( 1) 2 +
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 = + 2
= + 2 ， ∈ ． 2 +1，②
4
① ② 得 ， = 21 + 22 + 23 + + 2 +1 又因为 1 + 1 = 1 ≠ 0 ，所以 = 2 ( ≥ 2 ). 1+1
2 +1
2(1 2 )
= 2 +1 = (1 ) · 2 +1 2，
1 2 所以数列 { + 1} 是首项为1，公比为2的等比数
所以 = ( 1) · 2
+1 + 2． 列．
20. 解 ： (1) 由 ( ) = 3 + 3 2 + + 2 可 得 (2)由(1)知， + 1 = 2
1 ，即 = 2 1 1 ．
′( ) = 3 2 + 6 + ， 由 1 = 2 = 1 ，
12
14 = 13 = 2 1 ，
因为 ( ) = 3 + 3 2 + + 2在 = 1时有极 且当 为偶数时， + +1 = = 2
1 1 ，
值0， 所以 14 = 1 + ( 2 + 3) + ( 4 + 5) + + ( 12 +
′( 1) = 0 3 6 + = 0
所以{ ，即{ ，解得 13) + 14
( 1) = 0 1 + 3 + 2 = 0
1
= 1 = 2 = 1 + (2 1) + (2
3 1) + (25 1) + + (211
{ 或 { ,
= 3 = 9 1) + (212 1)
当 = 1, = 3 时， ′( ) = 3 2 + 6 + 3 = 3( +
5
= (212 4) .
1)2
3
0，
1
函数 ( )在 上单调递增，不满足在 = 1时有极 22.解： (1)函数 ( ) = + ln 的定义域为
值，故舍去． (0, +∞)，
所以 = 2, = 9． 1 2 +1可得： ′( ) = 2 1 + = ， 2
所以 ( ) = 3 + 6 2 + 9 + 4．
设 ( ) = 2 + 1， ∈ (0, +∞)，
(2)由(1)可知 ( ) = 3 + 6 2 + 9 2 + 5，
当 ≤ 0时， ( ) > 0恒成立，即 ′( ) < 0恒成立，
∴ ′( ) = 3( 2 + 4 + 3) = 3( + 1)( + 3)，
此时函数 ( )在(0, +∞)上是减函数，
令 ′( ) = 0，解得 1 = 1, 2 = 3， 当 > 0时，判别式 = 2 4，
∴当 < 3或 > 1时 ′( ) > 0，当 3 < < 1
①当0 < ≤ 2时， ≤ 0，即 ( ) ≥ 0，即 ′( ) ≤
时， ′( ) < 0，
0恒成立，
∴ ( )的递增区间是( ∞, 3)和( 1, +∞)，单调递
此时函数 ( )在(0, +∞)上是减函数，
减区间为( 3, 1)，
√ 2
②当 > 2时，令 ′( ) = 0得，
4
= 或 =
当 = 3, ( )有极大值 2 + 5， 2
+√ 2 4
当 = 1, ( )有极小值 2 + 1， ． 2
2 + 5 > 0 √ 2 4 +√ 2 4
要使函数 ( )有三个零点，则须满足{ ， 当 ∈ (0, ) ∪ ( , +∞)时， ′( ) < 0；
2 + 1 < 0 2 2
1 5 √ 2 4 +√ 2 4
解得 < < 当 ∈ ( , )时, ′( ) > 0，
2 2 2 2
21.解：(1)因为 = 2 + 1 ①， ( ) √所以 在
2 4 和 +
√ 2 4
(0, ) ( , +∞)上是减函
2 2
当 = 1 时， 1 = 2 1 1 + 1 ，所以 1 = 0 ．
数，在
√ 2 4 +√ 2 4
( , )上是增函数．
当 ≥ 2 时， 1 = 2 ( 1) + 1 ②，
2 2
1
综上：当 ≤ 2时， ( )在(0, +∞)上是减函数，
所以② ①得， = 2 1 + 1 ( ≥ 2 ).
√ 2 4 +√ 2 4
所以 + 1 = 2( + 1) ， 当 > 2时， ( )在(0, )和( , +∞)上 1 2 2
5
√是减函数，在
2 4 +√ 2 4
( , )上是增函数．
2 2
(2)证明：若 ( )存在两个极值点 1, 2，
由(1)知 > 2，
且 21, 2是 + 1 = 0的两根，
则 1 2 = 1，
不妨设0 < 1 < 1 < 2，
则 ( 1) ( 2)
1
= ( 2 1)(1 + ) + ( 1 2
)
1 2
= 2( 2 1) + ( 1 2)，
( 1) ( 2) ( 1 = 2 + 2
)
则 ，
1 2 1 2
( 1) ( 2)
可知：要证 < 2，
1 2
1 2
即证 < 1，
1 2
即证明 1 2 > 1 2，
1 1
则证 1 ln > 1 ， 1 1
1
即证 1 + 1 > 1 ， 1
1
即证2 1 > 1 在(0,1)上恒成立， 1
1
设 ( ) = 2 + ，(0 < < 1)，其中 (1) = 0，
2 1 2 2 +1 ( 1)2
求导得 ′( ) = 1
2
=
2
=
2
<
0，
则 ( )在(0,1)上单调递减，
1
∴当0 < < 1时， ( ) > (1)，即2 + > 0，
1
故2 > ，
( 1) ( 2)
则 < 2成立．
1 2
6