安徽省马鞍山市重点中学2022-2023学年度第二学期
期中素质模拟测试
高二数学试题
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的）
1．从1，2，3，4，5这5个数中任取3个不同的数，可组成不同的等差数列的个数为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．若，则＝（ ）
A．2 B．1 C．－2 D．－1
3．函数的图象如图所示，它的导函数为，下列导
数值排序正确的是（ ）
A．＞＞＞0 B．＜＜＜0
C．0＜＜＜ D．＞＞0＞
4．某校开展了课后延时服务，要求张老师在每个星期的周一至周五选两天参加课后延时服务，则张老师
在周二参加课后延时服务的条件下，周三也参加课后延时服务的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．的展开式中含的项的系数是（ ）
A．21 B．14 C．－14 D．－21
6．在如图所示的杨辉三角中，从第2行开始，每一行除两端的数字是1以外，其他每一个数字都是它肩
上两个数字之和，在此数阵中，若对于正整数，第行中最大的数为，第行中最大的数为
，且，则的值为（ ）
第0行 1
第1行 1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
第5行 1 5 10 10 5 1
第6行 1 6 15 20 15 6 1
… …
A．5 B．6 Ｃ．7 Ｄ．8
7．已知数列的前项和为，，，则＝（ ）
A．675 B．674 C．1384 D．2023
8．若存在，使得不等式≥0成立，则实数的最大值为（ ）
A．4 B． C． D．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．已知A，B是两个随机事件，0＜＜1，则下列说法正确的是（ ）
A．若A，B相互独立，则 B．若事件，则
C．若A，B是对立事件，则 D．若A，B是互斥事件，则
10．已知在等比数列中，，公比，则（ ）
A．数列是等比数列 B．数列是等差数列
C．数列是等比数列 D．数列是等差数列
11．已知（）的展开式的第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之
和为1024，则下列说法正确的是（ ）
A．展开式中奇数项的二项式系数之和为256 B．展开式中第6项的系数最大
C．展开式中存在常数项 D．展开式中含的项的系数为45
12．已知0＜＜＜，且，其中为自然对数的底数，则下列选项中正确的是
（ ）
A． B． C． D．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．某学生参与一种答题游戏，需要从A，B，C三道试题中选出一道进行回答，回答正确即可获得次品．若
该学生选择A，B，C的概率分别为0.3，0.4，0.3，答对A，B，C的概率分别为0.4，0.5，0.6，则其
获得奖品的概率为 ．
14．已知数列为等比数列，是其前项和，若，，则 ．
15．2023年春节期间，电影院上映《流浪地球2》《潢江红》《伴我“熊芯”》等多部电影，某居委
会有6张不同的电影票，奖励给甲、乙、丙三户“五好文明家庭”，其中一户1张，一户2张，一户3
张，则共有 种不同的分法．
16．已知函数，，，则的最小值是 ．
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤）
17．(10分）
已知数列中，，（）．
（1）求证：是等比数列；
（2）若数列满足，求数列的前项和．
18．（12分）
（1）3名男生和4名女生站成一排，男生站在一起，女生站在一起，有多少种不同的排队方法？
（2）3名男生和4名女生站成一排，男生彼此不相邻，有多少种不同的排队方法？
（3）把6个人平均分成3个小组，有多少种不同的分法？
19．（12分）
周末李梦提出和父亲、母亲、弟弟进行羽毛球比赛，李梦与他们三人各进行一场比赛，共进行三场比
赛，而且三场比赛相互独立．根据李梦最近分别与你父亲、母亲、弟弟比赛的情况，得到如下统计表：
父亲 母亲 弟弟
比赛次数 50 60 40
李梦获胜次数 10 30 32
以上表中的频率作为概率，求解下列问题：
（1）若李梦胜一场得1分，负一场得0分，设李梦的得分为X，求X的分布列，期望和方差；
（2）如果李梦赢一场比赛能得到5元的奖励资金，请问李梦所得资金的期望和方差．
20．（12分）
已知函数，且满足的导数的最小值为．
（1）求的值；
（2）若函数在区间［－1，2］上的最大值与最小值的和为7，求的值．
21．（12分）
已知函数．
（1）当时，求的单调区间与极值；
（2）当≥1时，证明：只有一个零点．
22．（12分）
证明：当0＜＜时，．安徽省马鞍山市重点中学2022-2023学年度第二学期
期中素质模拟测试
高二数学试题
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的）
1．从1，2，3，4，5这5个数中任取3个不同的数，可组成不同的等差数列的个数为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【详解】按公差正负可分两类：第一类，公差大于0，有1，2，3；2，3，4；1，3，5；3，4，5，共4个等差数列；第二类，公差小于0，有3，2，1；4，3，2；5，3，1；5，4，3，共4个等差数列，根据加法原理，共可组成4＋4＝8个不同的等差数列．故选D．
2．若，则＝（ ）
A．2 B．1 C．－2 D．－1
【答案】C
【详解】根据导数的定义，得．故选C．
3．函数的图象如图所示，它的导函数为，下列导
数值排序正确的是（ ）
A．＞＞＞0 B．＜＜＜0
C．0＜＜＜ D．＞＞0＞
【答案】A
【详解】由图象可知，函数在［0，）上单调递增，所以当时，，即
＞0，＞0，＞0，又因为曲线在点（，）处切线的斜率随着的增大而减小，即
导函数单调递减，故＞＞＞0．故选A．
4．某校开展了课后延时服务，要求张老师在每个星期的周一至周五选两天参加课后延时服务，则张老师
在周二参加课后延时服务的条件下，周三也参加课后延时服务的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】记事件A表示“张老师在周二参加课后延时服务”，事件B表示“张老师在周三参加课后延时服务”，则，，所以．故选B．
5．的展开式中含的项的系数是（ ）
A．21 B．14 C．－14 D．－21
【答案】C
【详解】因为展开式的通项为，所以展开式中含的项的系数为，故选C．
6．在如图所示的杨辉三角中，从第2行开始，每一行除两端的数字是1以外，其他每一个数字都是它肩
上两个数字之和，在此数阵中，若对于正整数，第行中最大的数为，第行中最大的数为
，且，则的值为（ ）
第0行 1
第1行 1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
第5行 1 5 10 10 5 1
第6行 1 6 15 20 15 6 1
… …
A．5 B．6 Ｃ．7 Ｄ．8
【答案】B
【详解】由题意知，，，故，即，
∴，∴，解得．故选B．
7．已知数列的前项和为，，，则＝（ ）
A．675 B．674 C．1384 D．2023
【答案】A
【详解】
．故选A．
8．若存在，使得不等式≥0成立，则实数的最大值为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【详解】若存在，使得不等式≥0成立，等价于存在，使得不等式≥成立，设，则≥．
因为，当时，，当时，，
所以在［，1）上单调递减，在（1，］上单调递增，又，，
且，所以．故选D．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．已知A，B是两个随机事件，0＜＜1，则下列说法正确的是（ ）
A．若A，B相互独立，则 B．若事件，则
C．若A，B是对立事件，则 D．若A，B是互斥事件，则
【答案】ABD
【详解】对于A，若随机事件A，B相互独立，则，所以，
A正确；对于B，若事件，则，，B正确；对于C，因为A，B是对立事件，所以，所以，所以C不正确；对于D，因为A，B是互斥事件，所以，所以，D正确．故选ABD．
10．已知在等比数列中，，公比，则（ ）
A．数列是等比数列 B．数列是等差数列
C．数列是等比数列 D．数列是等差数列
【答案】CD
【详解】在等比数列中，=1，公比，故．对于A，
，∴数列是由0构成的常数列，不是等比数列，故A错误；
对于B，，故数列是等比数列，B错误；
对于C，，所以数列是等比数列，C正确；
对于D，，所以数列是等差数列，D正确．
故选CD．
11．已知（）的展开式的第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之
和为1024，则下列说法正确的是（ ）
A．展开式中奇数项的二项式系数之和为256 B．展开式中第6项的系数最大
C．展开式中存在常数项 D．展开式中含的项的系数为45
【答案】BCD
【详解】由二项式的展开式的第5项与第7项的二项式系数相等可知，所以，又展开式的各项系数之和为1014，即当时，（），可得，所以二项式为，则展开式中奇数项的二项式系数之和为，故A错误；由可知展开式共有11项，中间项的二项式系数最大，即第6项的二项式系数最大，因为与的系数均为1，所以该二项展开式的系数与二项式系数相同，所以展开式中第6项的系数最大，故B正确；的展开式的通项为，令，解得，即展开式中存在常数项，故C正确；令，解得，所以展开式中含的项的系数为，故D正确．故选BCD．
12．已知0＜＜＜，且，其中为自然对数的底数，则下列选项中正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】因为，所以，令，，
则，由，得，
由，得，所以在（0，）单调递增，在（，）上单调递减，
因为0＜＜＜，由有：0＜＜＜＜，故A错误．
因为0＜＜＜，所以，由得，，故D错误；
因为0＜＜＜＜，所以，，
因为，所以，所以，故C正确；
令，则
，当0＜＜时，恒成立，所以在（0，）
单调递增，由得，，所以，
即，又，所以，因为0＜＜＜＜，
所以，因为在内单调递减，所以，即，故B正确．故选BC．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．某学生参与一种答题游戏，需要从A，B，C三道试题中选出一道进行回答，回答正确即可获得次品．若
该学生选择A，B，C的概率分别为0.3，0.4，0.3，答对A，B，C的概率分别为0.4，0.5，0.6，则其
获得奖品的概率为 ．
【答案】0.5
【详解】该学生获得奖品的概率为．
14．已知数列为等比数列，是其前项和，若，，则 ．
【答案】12
【详解】设等比数列的公比为，，由得，因为，所以，
由，得，所以．
15．2023年春节期间，电影院上映《流浪地球2》《潢江红》《伴我“熊芯”》等多部电影，某居委
会有6张不同的电影票，奖励给甲、乙、丙三户“五好文明家庭”，其中一户1张，一户2张，一户3
张，则共有 种不同的分法．
【答案】360
【详解】从6张电影票中任选1张，有种选法，从余下的5张中任选2张有种选法，最后余下3张选3张有种选法，由于甲、乙、丙是不同的三户“五好文明家庭”，因此共有种不同的分法．
16．已知函数，，，则的最小值是 ．
【答案】
【详解】由函数，，，得，所以，，
令，，则，当时，，当时，
＜0，所以函数在（0，）上单调递减，在（，）上单调递增，所以的最小值为，
即的最小值为．
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤）
17．(10分）
已知数列中，，（）．
（1）求证：是等比数列；
（2）若数列满足，求数列的前项和．
【答案】（1）答案见解析；（2）．
【详解】（1）证明：因为 ，所以，
又，所以，所以是以1为首项，2为公比的等比数列．………………4分
（2）由（1）知，则， ………………………………………………5分
…，
…，
两式相减，得
，所以． ………………………………………………12分
18．（12分）
（1）3名男生和4名女生站成一排，男生站在一起，女生站在一起，有多少种不同的排队方法？
（2）3名男生和4名女生站成一排，男生彼此不相邻，有多少种不同的排队方法？
（3）把6个人平均分成3个小组，有多少种不同的分法？
【答案】（1）288种；（2）1440种；（3）15种．
【详解】（1）男生全排列的排法有种，再把女生看成一个整体，女生全排列有种，再把这两个整体
全排列，共有（种）排法； …………………………………………………………4分
（2）先排女生，有种排法，排好后有5个空位，让男生插入5个空位中，有种排法，故共有（种）排法； …………………………………………………………………………8分
（3）有（种）不同的分法． ……………………………………………………………12分
19．（12分）
周末李梦提出和父亲、母亲、弟弟进行羽毛球比赛，李梦与他们三人各进行一场比赛，共进行三场比
赛，而且三场比赛相互独立．根据李梦最近分别与你父亲、母亲、弟弟比赛的情况，得到如下统计表：
父亲 母亲 弟弟
比赛次数 50 60 40
李梦获胜次数 10 30 32
以上表中的频率作为概率，求解下列问题：
（1）若李梦胜一场得1分，负一场得0分，设李梦的得分为X，求X的分布列，期望和方差；
（2）如果李梦赢一场比赛能得到5元的奖励资金，请问李梦所得资金的期望和方差．
【答案】（1）见解析；（2）李梦所得资金的期望为7.5，方差为14.25．
【详解】（1）李梦与爸爸比赛获胜的概率为；与妈妈比赛获胜的概率为；
与弟弟比赛获胜的概率为；
X的可能取值为0，1，2，3．
则；
；
；
. ……………………………………………………………………4分
故分布列为：
，；……………………………………8分
（2），． ……………………………………12分
20．（12分）
已知函数，且满足的导数的最小值为．
（1）求的值；
（2）若函数在区间［－1，2］上的最大值与最小值的和为7，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【详解】（1）∵，则的最小值为，
由题意可得：． ……………………………………………………………………4分
（2）由（1）可得 ，，则，
由，解得或；由，解得；
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ……………6分
又，，，，
且＜＜，
所以函数在区间［－1，2］上的最大值为，最小值为． ……………………10分
又因为函数在区间［－1，2］上的最大值与最小值的和为7，
所以＝7，解得． ………………………………………………………………12分
21．（12分）
已知函数．
（1）当时，求的单调区间与极值；
（2）当≥1时，证明：只有一个零点．
【详解】（1）当时，，，
则，
当时，，当时，，
所以在（0，1）上单调递增，在（1，）上单调递减，
所以在处取得极大值，无极小值． …………………………………………5分
（2）因为，
所以，
①当时，，在（0，）上单调递增，
因为，，即，
所以在（0，）上有唯一零点； ……………………………………………………………8分
②当时，由，得或，且，
由，解得或，由，解得，
所以在（0，）上单调递增，在（，1）上单调递减，在（1，）上单调递增，
又，，
所以，故上有唯一零点，
综上，当≥1时，只有一个零点． …………………………………………………………12分
22．（12分）
证明：当0＜＜时，．
【详解】证明：（1）当时，，
不等式等价于，
令，，
则，
因为当时，，所以，
于是．
所以 在上单调递增，所以． ………………………………………10分
（2）当时，，，所以．
综上，当0＜＜时，即 成立． ……………………………12分
