7.4.1 二项分布导学案学生版
教学目标：
1.通过具体实例，理解伯努利试验，能利用n重伯努利试验的特征推导二项分布的分布列。
2.能根据服从二项分布的随机变量的实际意义猜想出均值，并能由定义计算二项分布的均值，知道二项分布方差的表达式。
3.掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题.
4.了解利用概率进行决策的思想。
教学重难点：
重点：能掌握n重伯努利试验的特征，建立二项分布模型。掌握二项分布及其数字特征
难点：二项分布的实际应用
教学过程：
一、自主预习：
1、n重伯努利试验(1)伯努利试验概念：
n重伯努利试验.的概念：
特征：独立、重复
2、二项分布
定义：
记作：
二项分布的均值与方差：
二、探究新知
探究一、二项分布的判定
例1、(多选)下列随机变量X服从二项分布的是( )
A.投掷一枚质地均匀的骰子5次，X表示点数为6出现的次数
B.某射手射中目标的概率为p，设每次射击是相互独立的，X为从开始射击到击中目标所需要的射击次数
C.实力相等的甲、乙两选手进行了5局乒乓球比赛，X表示甲获胜的次数
D.某星期内，每次下载某网站数据被病毒感染的概率为0.3，X表示下载n次数据电脑被病毒感染的次数
归纳：判断一个事件满足二项分布标准：
跟踪训练：1、下列事件中随机变量ξ服从二项分布的有( )
A.随机变量ξ表示重复抛掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数
B.某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ
C.有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用有放回抽取的方法，ξ表示n次抽取中出现次品的件数(MD.有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取的方法，ξ表示n次抽取中出现次品的件数(M探究点二、二项分布求概率
例2、 为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p，设X为成活沙柳的株数，均值E(X)为3，标准差为.
(1)求n和p的值，并写出X的分布列；
(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率.
归纳：应用二项分布求概率步骤：
跟踪训练： 1、有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次(每次1件)，若X表示取得次品的次数，则P(X≤2)＝( )
A. B. C. D.
2、位于坐标原点的一个质点P按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是，质点P移动5次后位于点(2，3)的概率是 .
三、尝试应用
探究点三、二项分布概率的计算
例3、设随机变量X～B(n，p)，且E(X)＝1.6，D(X)＝1.28，则( )
A.n＝8，p＝0.2 B.n＝4，p＝0.4
C.n＝5，p＝0.32 D.n＝7，p＝0.45
跟踪训练：1、设X为随机变量，X～B，若随机变量X的数学期望E(X)＝2，则P(X＝2)等于( )
A． B． C． D．
2、若X～B，则P(X＝k)(0≤k≤20，k∈N)取得最大值时，k＝ .
四、补偿提高
探究点四、二项分布的实际应用
（课本例2变式：高尔顿板问题）高尔顿(钉)板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行 水平间隔相等的圆柱形铁钉(如图)，并且每一排铁钉数目都比上一排多一个，一排中各个铁钉恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央.从入口处放入一个直径略小于两颗铁钉间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉.如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球.
理论上，小球落入4号容器的概率是多少？
（2）一数学兴趣小组取3个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球的个数为，求的分布列.
跟踪训练：1.张师傅驾车从公司开往火车站，途经4个交通岗，这4个交通岗将公司到火车站分成5个路段，每个路段的驾车时间都是3分钟，如果遇到红灯要停留1分钟.假设他在各交通岗遇到红灯是相互独立的，并且概率都是.则张师傅此行程时间不少于16分钟的概率为 .
2.(2021·天津市第一中学高二期中)某高中生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有4个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.
(1)求这名学生在上学途中遇到红灯的次数X的分布列；
(2)求这名学生在上学途中首次遇到红灯时已通过3个交通岗的概率.
某商场五一节假日期间开展对100辆某品牌自行车的使用时间(单位：年)进行调查，采用问卷调查的形式，调查结果如表：
使用时间(年) (0，4] (4，8] (8，12] (12，16] (16，20]
被调查的车 辆数 20 36 24 16 4
用频率估计概率，若在所调查的自行车里随机抽取5辆，其中使用时间超过4年的自行车的辆数记为X，则X的方差为( )
A. B. C. D.
五、达标检测：1．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠．若该电梯在底层有6位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用X表示这6位乘客在第20层下电梯的人数，则P(X＝4)＝________．
2.抛掷一枚质地均匀的硬币n(3≤n≤8)次，正面向上的次数ξ服从二项分布B，若P(ξ＝1)＝，则方差D(ξ)＝ .
3．设随机变量X～B(2，p)，随机变量Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝，则D(3Y＋1)＝( )
A．2 B．3 C．6 D．7
4．(多选题)(2021·张家口高二检测)袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为X，则( )
A．X～B(4，)
B．P(X＝2)＝
C．X的期望E(X)＝
D．X的方差D(X)＝7.4.1 二项分布导学案教师版
教学目标：
1.通过具体实例，理解伯努利试验，能利用n重伯努利试验的特征推导二项分布的分布列。
2.能根据服从二项分布的随机变量的实际意义猜想出均值，并能由定义计算二项分布的均值，知道二项分布方差的表达式。
3.掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题.
4.了解利用概率进行决策的思想。
教学重难点：
重点：能掌握n重伯努利试验的特征，建立二项分布模型。掌握二项分布及其数字特征
难点：二项分布的实际应用
教学过程：
一、自主预习：
1、n重伯努利试验(1)伯努利试验概念：只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验
n重伯努利试验.的概念：将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.
特征：独立、重复
2、二项分布
定义：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0＜p＜1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p).
二项分布的均值与方差：如果X～B(n，p)，那么E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).
二、探究新知
探究一、二项分布的判定
例1、(多选)下列随机变量X服从二项分布的是( )
A.投掷一枚质地均匀的骰子5次，X表示点数为6出现的次数
B.某射手射中目标的概率为p，设每次射击是相互独立的，X为从开始射击到击中目标所需要的射击次数
C.实力相等的甲、乙两选手进行了5局乒乓球比赛，X表示甲获胜的次数
D.某星期内，每次下载某网站数据被病毒感染的概率为0.3，X表示下载n次数据电脑被病毒感染的次数
解析：选项A，实验出现的结果只有两种：点数为6和点数不为6，且点数为6的概率在每一次试验中都为，每一次试验都是独立的，故随机变量X服从二项分布；选项B，虽然在每一次试验的结果只有两种，且每一次试验相互独立且概率不发生变化，但随机变量X的取值不确定，故随机变量X不服从二项分布；选项C，甲、乙的获胜率一定，且和为1，进行5次比赛，相当于进行了5次伯努利试验，故X服从二项分布；选项D，由二项分布的定义可知，被感染次数X～B(n，0.3).
答案：ACD
归纳：判断一个随机变量服从二项分布标准：
①对立性：在一次试验中，事件A发生与否必居其一.
②重复性：试验可以独立重复地进行，且每次试验事件A发生的概率都是同一常数p.
③X的取值从0到n，中间不间断
跟踪训练：1、下列事件中随机变量ξ服从二项分布的有( )
A.随机变量ξ表示重复抛掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数
B.某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ
C.有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用有放回抽取的方法，ξ表示n次抽取中出现次品的件数(MD.有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取的方法，ξ表示n次抽取中出现次品的件数(M解析：对于A，设事件A为“抛掷一枚骰子出现的点数是3的倍数”，P(A)＝.而在n次独立重复试验中事件A恰好发生了k次(k＝0，1，2，…，n)的概率P(ξ＝k)＝C××，符合二项分布的定义，即有ξ～B.
对于B，ξ的取值是1，2，3，…，n，P(ξ＝k)＝0.9×0.1k－1(k＝1，2，3，…，n)，显然不符合二项分布的定义，因此ξ不服从二项分布.
C和D的区别是：C是“有放回”抽取，而D是“无放回”抽取，显然D中n次试验是不独立的，因此ξ不服从二项分布，对于C有ξ～B.
答案：AC
探究点二、二项分布求概率
例2、 为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p，设X为成活沙柳的株数，均值E(X)为3，标准差为.
(1)求n和p的值，并写出X的分布列；
(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率.
解：由题意知，X～B(n，p)，
P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，…，n.
(1)∵E(X)＝np＝3，D(X)＝np(1－p)＝，
1－p＝，
n＝6，p＝.
X的分布列为
X 0 1 2 3 4 5 6
P
(2)记“需要补种沙柳”为事件A，则P(A)＝P(X≤3)，
P(A)＝＋＋＋＝，
所以需要补种沙柳的概率为.
归纳：应用二项分布求概率的一般思路
(1)根据题意设出随机变量；
(2)分析出随机变量服从二项分布；
(3)明确参数n，p，写出二项分布的分布列；
(4)将k值代入求概率
跟踪训练： 1、有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次(每次1件)，若X表示取得次品的次数，则P(X≤2)＝( )
A. B. C. D.
解析：因为是有放回地取产品，所以每次取产品取到次品的概率为= .从中取3次，X为取得次品的次数，则X～B，P(X≤2)＝P(X＝2)＋P(X＝1)＋P(X＝0)
＝C××＋C××＋C×＝.
答案：D
2、位于坐标原点的一个质点P按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是，质点P移动5次后位于点(2，3)的概率是 .
解析：∵X～B，
P(X＝2)＝C＝C＝.
答案：
三、尝试应用
探究点三、二项分布概率的计算
例3、设随机变量X～B(n，p)，且E(X)＝1.6，D(X)＝1.28，则( )
A.n＝8，p＝0.2 B.n＝4，p＝0.4
C.n＝5，p＝0.32 D.n＝7，p＝0.45
解析：由已知有解得n＝8，p＝0.2.
答案：选A
跟踪训练：
1、设X为随机变量，X～B，若随机变量X的数学期望E(X)＝2，则P(X＝2)等于( )
A． B． C． D．
解析：∵E(X)＝n＝2，
n＝6，
X～B.
P(X＝2)＝C××＝.
答案：选A
2、若X～B，则P(X＝k)(0≤k≤20，k∈N)取得最大值时，k＝ .
解析：P(X＝k)＝C＝C·，0≤k≤20且k∈N.
∵≤1(0≤k≤19且k∈N)，
得×≤1，
k≥6.
当k≥6时，P(X＝k)≥P(X＝k＋1)；
当k<6时，P(X＝k＋1)>P(X＝k).
∵当k＝6时，P(X＝k＋1)＝P(X＝k)，
当k＝6或k＝7时，P(X＝k)取得最大值.
答案：6或7
四、补偿提高
探究点四、二项分布的实际应用
例4、（课本例2变式：高尔顿板问题）高尔顿(钉)板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行 水平间隔相等的圆柱形铁钉(如图)，并且每一排铁钉数目都比上一排多一个，一排中各个铁钉恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央.从入口处放入一个直径略小于两颗铁钉间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉.如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球.
（1）理论上，小球落入4号容器的概率是多少？
（2）一数学兴趣小组取3个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球的个数为，求的分布列.
解：（1）记“小球落入4号容器”为事件，
∴.
（2）落入4号容器的小球的个数的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
的分布列为
0 1 2 3
跟踪训练：
1.张师傅驾车从公司开往火车站，途经4个交通岗，这4个交通岗将公司到火车站分成5个路段，每个路段的驾车时间都是3分钟，如果遇到红灯要停留1分钟.假设他在各交通岗遇到红灯是相互独立的，并且概率都是.则张师傅此行程时间不少于16分钟的概率为 .
解析：如果不遇到红灯，全程需要15分钟，否则至少需要16分钟，所以张师傅此行程时间不少于16分钟的概率为P＝1－＝.
答案：
2.(2021·天津市第一中学高二期中)某高中生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有4个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.
(1)求这名学生在上学途中遇到红灯的次数X的分布列；
(2)求这名学生在上学途中首次遇到红灯时已通过3个交通岗的概率.
解：(1)X～B，
P(X＝k)＝C·(k＝0，1，2，3，4)
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
(2)P(A)＝·＝.
3. 某商场五一节假日期间开展对100辆某品牌自行车的使用时间(单位：年)进行调查，采用问卷调查的形式，调查结果如表：
使用时间(年) (0，4] (4，8] (8，12] (12，16] (16，20]
被调查的车 辆数 20 36 24 16 4
用频率估计概率，若在所调查的自行车里随机抽取5辆，其中使用时间超过4年的自行车的辆数记为X，则X的方差为( )
A. B. C. D.
解析：.使用时间超过4年的概率为p＝1－＝，自行车的辆数X～B，
D(X)＝np(1－p)＝5××＝.
答案：选D
五、达标检测：
1．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠．若该电梯在底层有6位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用X表示这6位乘客在第20层下电梯的人数，则P(X＝4)＝________．
解析：考查一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是6次独立重复试验，
故X～B.即有P(X＝k)＝C×，k＝0，1，2，3，4，5，6.
P(X＝4)＝C×＝.
答案：
2.抛掷一枚质地均匀的硬币n(3≤n≤8)次，正面向上的次数ξ服从二项分布B，若P(ξ＝1)＝，则方差D(ξ)＝ .
解析：∵3≤n≤8，ξ服从二项分布B(n，)，
P(ξ＝1)＝，
C·()n＝，
即n()n＝，解得n＝6.
D(ξ)＝np(1－p)＝6××(1－)＝.
答案：
3．设随机变量X～B(2，p)，随机变量Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝，则D(3Y＋1)＝( )
A．2 B．3 C．6 D．7
解析：因为随机变量X～B，所以P＝1－P(X＝0)＝1－C(1－p)2＝，解得p＝，所以D(Y)＝3××＝，所以D(3Y＋1)＝9D(Y)＝9×＝6.
答案：选C
4．(多选题)(2021·张家口高二检测)袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为X，则( )
A．X～B(4，)
B．P(X＝2)＝
C．X的期望E(X)＝
D．X的方差D(X)＝
解析：从袋子中有放回地随机取球4次，则每次取球互不影响，并且每次取到的黑球概率相等，又取到黑球记1分，取4次球的总分数，即为取到黑球的个数，所以随机变量X服从二项分布X～B(4，)，故A正确；X＝2，记其概率为P(X＝2)＝C()2()2＝，故B错误；因为X～B(4，)，所以X的期望E(X)＝4×＝，故C正确；
因为X～B(4，)，所以X的方差D(X)＝4××＝，故D正确．
答案：ACD
