第一章 集合与常用逻辑用语
充分条件与必要条件
1.可以判断真假的陈述句叫做命题.判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题.
2.命题可以写“若，则”“如果，那么”等形式.其中称为命题的条件，称为命题的结论.
3.“若，则”为真命题，是指由通过推理可以得出，记作，是的充分条件，是的必要条件.
4.“若，则”为假命题，由条件不能推出结论，记作，不是的充分条件，不是的必要条件.
5.将命题“若，则”中的条件和结论互换，就得到一个新的命题“若，则”，称这个命题为原命题的逆命题.
6.如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均是真命题，既有，又有，就记作，此时是的充分必要条件，简称为充要条件.
已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
若，，则是
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
命题 ；命题 ，则是
成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
已知，则“”是“”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
已知a，，那么“”是
“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
已知，则“”是“”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
已知、都是实数，那么“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要的条件
已知a，b∈R，则“ab＝0”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
已知，或，则p是q
的________条件．
已知，且“”是“”的充分不必要条
件，则a的取值范围是___________.
已知集合，或
，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是___________．
已知，，若是的充分
不必要条件，则实数的取值范围是______
已知p：，q：，若p是q的
充分不必要条件，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
“”是关于的不等式的解集为R的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．非充分非必要条件
设：，：.
(1)若，且、均为真命题，求满足条件的实数构成的集合；
(2)若是的充分条件，求实数的取值范围.
已知集合，..或．
(1)当时，求；
(2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
设全集，集合，集合
.
(1)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围；
(2)若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围.
已知集合或，集合
(1)若，且，求实数的取值范围．
(2)已知集合，若是的必要不充分条件，判断实数是否存在，若存在求的范围
已知，，其中.
(1)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；
(2)是否存在m，使得是q的必要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
已知集合，
.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若是的充分条件，求的取值范围.
课后练习
1.4
下列选项中，“”成立的一个必要不充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
已知集合，则是的（ ）
A．充分不要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分他不要条件
已知，为实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
已知三条线段的长分别为a，b，c，若，则“”是“a，b，c为某三角形三边长”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
若a，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.“这句来自先秦时期的名言.此名言中的“积跬步”是“至千里”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关． 黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ）
A．必要条件
B．充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
已知命题p：x为自然数，命题q：x为整数，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
已知命题p：，命题q：或，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
已知p：，那么p的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
已知p：，q：，那么p是q的（ ）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
“”是“且”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
设集合，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
设集合和或，若是的充分条件，求的取值范围．
设集合和或，若是的充分条件，求的取值范围．
已知命题P：方程没有实数根．
(1)若P是真命题，求实数t的取值集合A；
(2)集合，若是的必要条件，求a的取值范围．
已知集合，，全集．
(1)当时，求；
(2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
已知其中.
(1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
已知集合，或．
(1)当时，求；
(2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
在下列命题中，试判断是的什么条件.
(1)p：x2>0，q：x>0；
(2)：与都是奇数；：是偶数；
(3)：一元二次方程有两个实数根，：；
已知集合，.
(1)若，求实数t的取值范围；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数t的取值范围．第一章 集合与常用逻辑用语
充分条件与必要条件
1.可以判断真假的陈述句叫做命题.判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题.
2.命题可以写“若，则”“如果，那么”等形式.其中称为命题的条件，称为命题的结论.
3.“若，则”为真命题，是指由通过推理可以得出，记作，是的充分条件，是的必要条件.
4.“若，则”为假命题，由条件不能推出结论，记作，不是的充分条件，不是的必要条件.
5.将命题“若，则”中的条件和结论互换，就得到一个新的命题“若，则”，称这个命题为原命题的逆命题.
6.如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均是真命题，既有，又有，就记作，此时是的充分必要条件，简称为充要条件.
已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
当时，满足，但不满足；又当时，满足，但不满足.故“”是“”的既不充分也不必要条件
故选：D
已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
对于不等式，可解得或.
所以可以推出，而不可以推出.
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
若，，则是
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
由题意知：不能推出，不满足充分性；反之能推出，满足必要性，则是的必要不充分条件.
故选：B.
已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
若，则为增函数
所以，即
即
当时，
所以
故选：A
命题 ；命题 ，则是成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
设，，
因为，所以是的必要不充分条件.
故选：B
已知，则“”是“”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
当：
若异号，即，显然成立；
若或，均有成立；
所以充分性成立；
当：若，，显然不成立，故必要性不成立.
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
已知a，，那么“”是
“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
解：若，因为，所以，即充分性成立；
由推不出，如，，满足，
此时，故必要性不成立；
所以“”是“”的充分不必要条件；
故选：A
已知，则“”是“”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
当：
若异号，即，显然成立；
若或，均有成立；
所以充分性成立；
当：若，，显然不成立，故必要性不成立.
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
已知、都是实数，那么“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
若，取，，则不成立，即“”“”；
若，则，即，所以，“”“”.
因此，“”是“”的必要而不充分条件.
故选：B.
“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要的条件
【答案】A
【解析】
，则，其中，但，
故是的充分不必要条件.
故选：A
已知a，b∈R，则“ab＝0”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
当时，若，不能推出，不满足充分性；
当，则，有，满足必要性；
所以“”是“”的必要不充分条件．
故选：B．
“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
因为，故可得或，
若，则不一定有，故充分性不满足；
若，则一定有，故必要性成立，
综上所述：“”是“”的必要不充分条件.
故选：.
“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】
由题，将代入，等式成立，所以“”是“”的充分条件；
求解，得到，故“”是“”的不必要条件；
故选：A
已知，或，则p是q
的________条件．
【答案】充分不必要
【解析】
命题“若p，则q”：假设不正确，即且，则有与已知矛盾，即假设是错的，
于是得q是正确的，因此，“若p，则q”是真命题，即p是q的充分条件，
命题“若q，则p”：显然当时，有，而满足或，
于是得“若q，则p”是假命题，即p不是q的必要条件，
所以是q的充分不必要条件．
故答案为：充分不必要
已知，且“”是“”的充分不必要条
件，则a的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
等价于或，
而且“”是“”的充分不必要条件，则．
故答案为：．
已知集合，或
，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
∵“”是”的必要条件，∴，
当时，，则；
当时，根据题意作出如图所示的数轴，
由图可知或，解得或，
综上可得，实数a的取值范围为．
已知，，若是的充分
不必要条件，则实数的取值范围是______
【答案】
【解析】
解：因为是的充分不必要条件，
所以，
所以.
故答案为：.
已知p：，q：，若p是q的
充分不必要条件，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
命题p：因为，所以，解得，
命题q：，
因为p是q的充分不必要条件，
所以.
故选：C
“”是关于的不等式的解集为R的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．非充分非必要条件
【答案】B
【解析】
若，取时，不等式，此时不等式解集为；
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当，且时，不等式，
所以，若关于的不等式的解集为R，则.
综上，“”是关于的不等式的解集为R的必要非充分条件.
故选：B
设：，：.
(1)若，且、均为真命题，求满足条件的实数构成的集合；
(2)若是的充分条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
(1)
因为：，：，即，
所以、均为真命题，
则取公共部分得实数构成的集合为；
(2)
（2）因为是的充分条件，且：，：，
所以，
所以，解得，
故实数的取值范围是.
已知集合，..或．
(1)当时，求；
(2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
(1)
解：当时，，或，
∴．
(2)
解：∵或，∴，
∵“”是“”的充分不必要条件，
∴是的真子集，∵，∴，
∴，∴，故实数的取值范围为．
设全集，集合，集合
.
(1)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围；
(2)若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
(1)
是的充分条件， ，
又，
，，，
实数的取值范围为.
(2)
命题“，则”是真命题，①当时，，，；
②当时，，且是的子集.
，
，;
综上所述：实数的取值范围.
已知集合或，集合
(1)若，且，求实数的取值范围．
(2)已知集合，若是的必要不充分条件，判断实数是否存在，若存在求的范围
【答案】(1)；
(2)存在，.
【解析】
(1)
由题设，又，
当时，，可得.
当时，，可得.
综上，a的范围.
(2)
由题意，而，
所以，结合（1）有(等号不同时成立)，可得.
故存在实数且.
已知，，其中.
(1)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；
(2)是否存在m，使得是q的必要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析.
【解析】
(1)
命题.
命题.
若p是q的充分条件，则
即
(2)
:或.
是q的必要条件,则
即或；解得：或；又
故不存在使是q的必要条件.
已知集合，
.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若是的充分条件，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
(1)
解：因为，，且 ，
所以BA，则，
解得，
所以实数的取值范围是；
(2)
因为是的充分条件，
所以AB，
则，
解得，
所以的取值范围是 .
课后练习
1.4
下列选项中，“”成立的一个必要不充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
解：“”能推出“”，但“”不能推出“”，故A满足题意；
“”不能推出“”，故选项B不是“”的必要条件，不满足题意；B不正确．
“”不能推出“”，故选项C不是“”的必要条件，不满足题意；C不正确．
“”能推出“”，且“”能推出“”，故是充要条件，不满足题意；D不正确；
故选：A．
已知集合，则是的（ ）
A．充分不要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分他不要条件
【答案】B
【解析】
解：因为集合，
所以BA，
所以是的必要不充分条件，
故选：B
已知，为实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
因为，则，所以，即由可推出，
取，可得，而，即由不可推出，
所以“”是“”的充分不必要条件，故A对，B,C,D错,
故选：A.
已知三条线段的长分别为a，b，c，若，则“”是“a，b，c为某三角形三边长”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】
依题意，由，得，，因，因此，a，b，c能为一个三角形三边长，
a，b，c是某三角形三边长，则有，
所以“”是“a，b，c为某三角形三边长”的充要条件.
故选：C
已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
当：
若异号，即，显然成立；
若或，均有成立；
所以充分性成立；
当：若，，显然不成立，故必要性不成立.
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
若a，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【详解】
若，当时，，当时，；
又当时，两边除以b，得，当且时，两边除以b，得.
故“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D
荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.“这句来自先秦时期的名言.此名言中的“积跬步”是“至千里”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】
由已知设“积跬步”为命题，“至千里”为命题，
“故不积跬步，无以至千里”，即“若，则”，
其逆否命题为“若则”，反之不成立，
所以命题是命题的必要不充分条件，
故选：B.
王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关． 黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ）
A．必要条件
B．充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
由题意可知：“返回家乡”则可推出“攻破楼兰”，
故“攻破楼兰”是“返回家乡”必要条件，
故选：．
已知命题p：x为自然数，命题q：x为整数，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】
若x为自然数，则它必为整数，即p q．
但x为整数不一定是自然数，如x＝－2，即qp．
故p是q的充分不必要条件．
故选：A.
已知命题p：，命题q：或，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
因为，
所以p是q的充分不必要条件.
故选：A
已知p：，那么p的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
A选项：，错误；B选项：，错误；
C选项：，，正确；
D选项：，错误.
故选：C.
已知p：，q：，那么p是q的（ ）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】
因为>0,<1,
所以若p：成立，一定成立,
但q：成立，p：不一定成立,
所以p是q的充分不必要条件.
故选：C.
“”是“且”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
由得且，或且；
所以且，
而且
则“”是“且”的必要不充分条件．
故选：C
“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
【答案】A
【详解】
由，又，
所以，即，充分性成立；
当时，即，显然时成立，必要性不成立.
故“”是“”的充分非必要条件.
故选：A
设集合，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
由题意集合是集合的真子集，因此“”是“”的必要不充分条件，
故选：B．
设集合和或，若是的充分条件，求的取值范围．
【答案】
【解析】
因为是的充分条件，
所以AB，又，
所以．
故的取值范围为：.
设集合和或，若是的充分条件，求的取值范围．
【答案】
【解析】
因为是的充分条件，
所以AB，又，
所以．
故的取值范围为：.
已知命题P：方程没有实数根．
(1)若P是真命题，求实数t的取值集合A；
(2)集合，若是的必要条件，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
(1)
若P是真命题，则，解得，则．
(2)
因为是的必要条件，所以，
当时，由，得，此时，符合题意；
当时，则有，解之得，
综上所述，a的取值范围为．
已知集合，，全集．
(1)当时，求；
(2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【解析】
围.
(1)
当时，集合，或，
．
(2)
若“”是“”的必要条件，则，
①当时，；
②，则且，.
综上所述，或．
已知其中.
(1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
(1)
设命题p：A={x|x 2>0}，即p：A={x|x>2}，命题q：B={x|ax 4>0}，
因为p是q的充分不必要条件，所以A B，.
即解得a>2
所以实数a的取值范围为
(2)
由（1）得p：A={x|x>2}，q：B={x|ax 4>0}，
因为是的必要不充分条件，
所以B A，
①当a=0时，B=，满足题意；
②当a>0时，由B A，得.>2，即0
③当a<0时，显然不满足题意.
综合①②③得，实数a的取值范围为
已知集合，或．
(1)当时，求；
(2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【解析】
(1)
当时，集合,
或 ，
或
(2)
若，且 “”是“”充分不必要条件，
因为，则
解得.
故的取值范围是:
在下列命题中，试判断是的什么条件.
(1)p：x2>0，q：x>0；
(2)：与都是奇数；：是偶数；
(3)：一元二次方程有两个实数根，：；
【答案】(1)必要不充分条件；
(2)充分不必要条件；
(3)必要不充分条件；
【解析】
(3)
对于，一元二次方程有两个实数根，则，
所以是的必要不充分条件.
已知集合，.
(1)若，求实数t的取值范围；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数t的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
(1)
解：由得解，所以，又
若，分类讨论：
当，即解得，满足题意；
当，即，解得时，
若满足，则必有或；
解得.
综上，若，则实数t的取值范围为.
(2)
解：由“”是“”的必要不充分条件，则集合，
若，即，解得，
若，即，即，则必有，解得，
综上可得,，
综上所述，当“”是“”的必要不充分条件时，即为所求．