第一章 集合与常用逻辑用语
集合的概念
（1）我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。简称为集.
注意：给定的集合，它的元素必须是确定的.
给定集合中的元素是互不相同的，也就是元素是不能重复出现的.
（2）只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.
（3）通常用大写拉丁字母表示集合，用小写拉丁字母表示集合中的元素.如果是集合的元素，就说属于集合，记作；如果不是集合的元素，就说不属于集合，记作.
（4）非负整数集（或自然数集），记作；
正整数集，记作或；
整数集，记作；
有理数集，记作；
实数集，记作.
（5）①把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法.
②设是一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法.
下列说法：①地球周围的行星能构成一个集合；②实
数中不是有理数的所有数能构成一个集合；③与是不同的集合．其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】B
【解析】
“周围”是一个模糊的概念，不满足确定性，所以①错误.实数中不是有理数的所有数,元素是确定的，所以能构成一个集合，②正确.{1，2，3}与{1，3，2}两个集合中的元素是一样的，所以是相同的集合，故③错误.
故选：B
现有以下说法，其中正确的是（ ）
①接近于0的数的全体构成一个集合；
②正方体的全体构成一个集合；
③未来世界的高科技产品构成一个集合；
④不大于3的所有自然数构成一个集合．
A．①② B．②③
C．③④ D．②④
【答案】D
【解析】
【详解】
在①中，接近于0的标准不明确，不满足集合中元素的确定性，不能构成一个集合，故①错误；在②中，正方体的全体能构成一个集合，故②正确；在③中，未来世界的高科技产品不能构成一个集合，高科技的标准不明确，不满足集合中元素的确定性，故③错误；在④中，不大于3的所有自然数能构成一个集合，故④正确．故选D．
下列各组对象中：①高一个子高的学生；②
《高中数学》（必修）中的所有难题；③所有偶数；④全体著名的数学家.其中能构成集合的有（ ）
A．1组 B．2组
C．3组 D．4组
【答案】A
【解析】
①因为个子高没有明确的定义，故“高一个子高的学生”不能构成集合；
②因为难题没有明确的定义，故“《高中数学》（必修）中的所有难题”不能构成集合；
③所有的偶数是确定的，且都不一样，故“所有偶数”可构成集合；
④著名的数学家没有明确的定义，故“全体著名的数学家”不能构成集合.
即能构成集合的只有③.
故选：A.
下面给出的四类对象中，构成集合的是
（ ）
A．某班视力较好的同学 B．长寿的人
C．的近似值 D．倒数等于它本身的数
【答案】D
【解析】
对于A，视力较好不是一个明确的定义，故不能构成集合；
对于B，长寿也不是一个明确的定义，故不能构成集合；
对于C， 的近似值没有明确近似到小数点后面几位，
不是明确的定义，故不能构成集合；
对于D，倒数等于自身的数很明确，只有1和-1，故可以构成集合；
故选：D.
若，则的值为（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】A
【解析】
若，则，不符合集合元素的互异性；
若，则或（舍），此时，符合题意；
综上所述：.
故选：A.
设集合，若，则
的值为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
由集合中元素的确定性知或．
当时，或；当时，．
当时，不满足集合中元素的互异性，故舍去；
当时，满足集合中元素的互异性，故满足要求；
当时，满足集合中元素的互异性，故满足要求．
综上，或．
故选：D．
已知集合，，
，则C中元素的个数为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C
【解析】
由题意，当时， ，当，时， ，
当，时， ，
即C中有三个元素，
故选：C
已知集合，
，则集合（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
由题，当时最小为，最大为，且可得，故集合
故选：D
已知集合，且，则
实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
由题意可得，解得，
故选：C
已知，若集合A中恰好
有5个元素，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
由题意可知，可得.
故选：D
下列关系中正确的个数是（ ）
①，②， ③， ④
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
①错误②正确③错误④正确
故选：B
已知集合，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
由集合，即集合是所有的偶数构成的集合.
所以，，，
故选：D
用符号“”和“”填空：
（1）______N； （2）1______；
（3）______R； （4）______；
（5）______N； （6）0______．
【答案】
【解析】
由所表示的集合，由元素与集合的关系可判断
（1）（2）（3）（4）（5）（6）.
故答案为：（1）（2）（3）（4）（5）（6）.
集合，用列举法可以表示为
_________．
【答案】或
【解析】
因为，所以，可得，因为，所以，集合．
故答案为：
记为平面上所有点组成的集合并且，
，说明下列集合的几何意义：
(1)；
(2)．
【答案】(1)以为圆心，5为半径的圆内部分
(2)线段的垂直平分线
【解析】
(1)
表示到点距离小于5的点组成的集合，即以为圆心，5为半径的圆内部分；
(2)
到距离相等，即线段的垂直平分线．
表示方程的根的集合，用列举法
可以表示为______，用描述法可表示为______.
【答案】 或 （答案不唯一）
【解析】
由，得，解得，或，
所以方程根的集合用列举法可以表示为，
用描述法可表示为（答案不唯一）
故答案为：，（答案不唯一）
课后练习
1.1
下列各对象可以组成集合的是（ ）
A．与非常接近的全体实数
B．北大附中云南实验学校学年度第二学期全体高一学生
C．高一年级视力比较好的同学
D．高一年级很有才华的老师
【答案】B
【解析】
对于ACD，集合中的元素具有确定性，但ACD中的元素不确定，故不能构成集合，ACD错误；
B中的元素满足集合中元素的特点，可以构成集合，B正确.
故选：B.
(多选)给出下列说法，其中正确的有（ ）
A．中国的所有直辖市可以构成一个集合；
B．高一（1）班较胖的同学可以构成一个集合；
C．正偶数的全体可以构成一个集合；
D．大于2 011且小于2 016的所有整数不能构成集合．
【答案】AC
【解析】
中国的所有直辖市可以构成一个集合，A正确；
高一（1）班较胖的同学不具有确定性，不能构成集合，B错误；
正偶数的全体可以构成一个集合，C正确；
大于2 011且小于2 016的所有整数能构成集合，D错误.
故选：AC.
元素与集合的关系及常用数集
（1）如果a是集合A的元素，就说a___________集合A，记作a___________A；如果a不是集合A中的元素，就说a___________集合A，记作a___________A．
（2）数学中一些常用的数集及其记法
名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 _____ _____ _____ _____ _____
【答案】 属于
不属于
【解析】
已知集合，则A中元素的个数为（ ）
A．9 B．8
C．5 D．4
【答案】A
【解析】
由，得，，
又，，所以，，
易知与的任意组合均满足条件，所以A中元素的个数为.
故选：A.
已知集合，若集合A中只有一个元素，则实数a的取值的集合是______
【答案】
【解析】
当时，只有一个解，
则集合有且只有一个元素，符合题意；
当时，若集合A中只有一个元素，
则一元二次方程有二重根，
即，即
综上，或，故实数a的取值的集合为
故答案为：
已知集合与相等，则实数__________．
【答案】2
【解析】
因为集合与相等，则，解得．
故答案为：2.
（多选）已知集合，，则为（ ）
A．2 B．
C．5 D．
【答案】BC
【解析】
依题意，
当时，或，
若，则，符合题意；
若，则，对于集合，不满足集合元素的互异性，所以不符合.
当时，或，
若，则，对于集合，不满足集合元素的互异性，所以不符合.
若，则，符合题意.
综上所述，的值为或.
故选：BC
集合中的元素个数是（ ）
A．0 B．4
C．5 D．6
【答案】B
【解析】
，
所以集合中的元素个数有4个，
故选：B.
已知集合，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
因为，，
所以.
故选：C
若，则实数a的取值集合为______．
【答案】
【解析】
因为，故或或，
当时，，与元素的互异性矛盾，舍；
当时，，符合；
当时，或，根据元素的互异性，符合，
故a的取值集合为.
故答案为：
已知集合 ，且 ，则实数m的值为（ ）
A．3 B．2
C．0或3 D．0或2或3
【答案】A
【解析】
解：因为，且，所以或，解得或或，当时，即集合不满足集合元素的互异性，故，当时集合不满足集合元素的互异性，故，当时满足条件；
故选：A
已知集合，，则集合B中元素的个数是（ ）
A．6 B．3
C．4 D．5
【答案】C
【解析】
集合中的元素有，，，共4个，
故选：C.
（多选）下列关系中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】
根据常见数集的范围：
，故A正确；
不是有理数，所以 Q.故B正确；
N为自然数集合，所以－3N.故C错误；
为无限不循环小数，所以.故D错误.
故选：AB第一章集合与常用逻辑用语
集合的概念
（1）我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。简称为集.
注意：给定的集合，它的元素必须是确定的.
给定集合中的元素是互不相同的，也就是元素是不能重复出现的.
（2）只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.
（3）通常用大写拉丁字母表示集合，用小写拉丁字母表示集合中的元素.如果是集合的元素，就说属于集合，记作；如果不是集合的元素，就说不属于集合，记作.
（4）非负整数集（或自然数集），记作；
正整数集，记作或；
整数集，记作；
有理数集，记作；
实数集，记作.
（5）①把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法.
②设是一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法.
下列说法：①地球周围的行星能构成一个集合；②实
数中不是有理数的所有数能构成一个集合；③与是不同的集合．其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
现有以下说法，其中正确的是（ ）
①接近于0的数的全体构成一个集合；
②正方体的全体构成一个集合；
③未来世界的高科技产品构成一个集合；
④不大于3的所有自然数构成一个集合．
A．①② B．②③
C．③④ D．②④
下列各组对象中：①高一个子高的学生；②
《高中数学》（必修）中的所有难题；③所有偶数；④全体著名的数学家.其中能构成集合的有（ ）
A．1组 B．2组
C．3组 D．4组
下面给出的四类对象中，构成集合的是
（ ）
A．某班视力较好的同学 B．长寿的人
C．的近似值 D．倒数等于它本身的数
若，则的值为（ ）
A． B．
C．或 D．
设集合，若，则
的值为（ ）．
A． B．
C． D．
已知集合，，
，则C中元素的个数为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
已知集合，
，则集合（ ）
A． B．
C． D．
已知集合，且，则
实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
已知，若集合A中恰好
有5个元素，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
下列关系中正确的个数是（ ）
①，②， ③， ④
A． B．
C． D．
已知集合，则 （ ）
A． B．
C． D．
用符号“”和“”填空：
（1）______N； （2）1______；
（3）______R； （4）______；
（5）______N； （6）0______．
集合，用列举法可以表示为
_________．
记为平面上所有点组成的集合并且，
，说明下列集合的几何意义：
(1)；
(2)．
表示方程的根的集合，用列举法
可以表示为______，用描述法可表示为______.
课后练习
1.1
下列各对象可以组成集合的是（ ）
A．与非常接近的全体实数
B．北大附中云南实验学校学年度第二学期全体高一学生
C．高一年级视力比较好的同学
D．高一年级很有才华的老师
(多选)给出下列说法，其中正确的有（ ）
A．中国的所有直辖市可以构成一个集合；
B．高一（1）班较胖的同学可以构成一个集合；
C．正偶数的全体可以构成一个集合；
D．大于2 011且小于2 016的所有整数不能构成集合．
元素与集合的关系及常用数集
（1）如果a是集合A的元素，就说a___________集合A，记作a___________A；如果a不是集合A中的元素，就说a___________集合A，记作a___________A．
（2）数学中一些常用的数集及其记法
名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 _____ _____ _____ _____ _____
已知集合，则A中元素的个数为（ ）
A．9 B．8
C．5 D．4
已知集合，若集合A中只有一个元素，则实数a的取值的集合是______
已知集合与相等，则实数__________．
（多选）已知集合，，则为（ ）
A．2 B．
C．5 D．
集合中的元素个数是（ ）
A．0 B．4
C．5 D．6
已知集合，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
若，则实数a的取值集合为______．
已知集合 ，且 ，则实数m的值为（ ）
A．3 B．2
C．0或3 D．0或2或3
已知集合，，则集合B中元素的个数是（ ）
A．6 B．3
C．4 D．5
（多选）下列关系中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
