第一章集合与常用逻辑用语
1.2集合间的基本关系
（1）对于两个集合，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，就称集合为集合的子集，记作（或）.
（2）我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Veen图.上述集合与集合的包含关系，可以用图1.2-1表示.
（3）如果集合的任何一个元素都是集合的元素，同时集合的任何一个元素都是集合的元素，那么集合与集合相等，记作.也就是说，若且，则.
（4）如果集合但存在元素，且，就称集合是集合的真子集，记作（或）.
（5）不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集.
集合的非空真子集的个数为（ ）
A．5 B．6
C．7 D．8
设集合，则集合的真
子集个数为（ ）
A．16 B．15
C．8 D．7
已知集合，则的真子集
共有（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．7个
设集合，集合，若
，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
已知集合，集合．若
，则实数的取值集合为（ ）
A． B．
C． D．
若是集合的真
子集，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
已知集合，则A的子
集共有（ ）
A．3个 B．4个
C．8个 D．16个
已知集合，，若
，则实数组成的集合为（ ）
A． B．
C． D．
已知集合，且
，则可以是（ ）
A． B．
C． D．
已知集合，
，则满足条件的集合C的个数为（ ）
A．2 B．3
C．4 D．5
已知集合，则下列
关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
集合，
，则之间的关系为（ ）
A． B．
C． D．
设集合，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
课后练习
1.2
下面五个式子中：①；②；③；④；⑤；正确的有（ ）
A．②④⑤ B．②③④⑤
C．②④ D．①⑤
下列各式中关系符号运用正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
设集合．若，则实数的值组成的集合为（ ）
A． B．
C． D．
下列集合中表示同一集合的是（ ）．
A．，
B．，
C．，
D．，
已知集合， 则的真子集有________个；若，则________．
设集合，则集合的子集个数为________
集合，，则集合的真子集的个数为（ ）
A．8 B．6
C．7 D．15
已知，.若，则______.
已知集合有两个子集，则m的值是__________．
已知，，若，则的值为( )
A．1或－1 B．0或1或－1
C． D．
已知集合，，若，求实数的取值范围_______.
设，，若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
已知集合或，，若，则实数的取值范围_________．
已知集合，，若，则实数的取值范围是__.
设集合，若，则由实数a组成的集合为（ ）
A． B．
C． D．
（多选，则( )
A． B．
C． D．
已知集合，，则下列命题中不正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则或
D．若时，则或
满足{1，2，3}的所有集合A是___________．
已知集合，在下列条件下分别求实数m的取值范围：
(1)；
(2)恰有一个元素.
设集合，，且．
(1)求实数的取值范围；
(2)当时，求集合A的子集的个数．
已知
(1)若求实数a的取值范围
(2)若，求实数的取值范围第一章 集合与常用逻辑用语
1.2集合间的基本关系
（1）对于两个集合，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，就称集合为集合的子集，记作（或）.
（2）我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Veen图.上述集合与集合的包含关系，可以用图1.2-1表示.
（3）如果集合的任何一个元素都是集合的元素，同时集合的任何一个元素都是集合的元素，那么集合与集合相等，记作.也就是说，若且，则.
（4）如果集合但存在元素，且，就称集合是集合的真子集，记作（或）.
（5）不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集.
集合的非空真子集的个数为（ ）
A．5 B．6
C．7 D．8
【答案】B
【解析】
由题意可知，集合A的非空真子集为，共6个.
故选：B.
设集合，则集合的真
子集个数为（ ）
A．16 B．15
C．8 D．7
【答案】D
【解析】
由题意，
因此其真子集个数为．
故选：D．
已知集合，则的真子集
共有（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．7个
【答案】C
【解析】
集合，
所以集合的真子集有.
故选：C.
设集合，集合，若
，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
由可得.
故选：D.
已知集合，集合．若
，则实数的取值集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
由于，所以，
所以实数m的取值集合为.
故选：C
若是集合的真
子集，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
由“是集合的真子集”得
，
即方程有实数解，
，解得或．
故选：D．
已知集合，则A的子
集共有（ ）
A．3个 B．4个
C．8个 D．16个
【答案】C
【解析】
由，得集合
所以集合A的子集有个，
故选： C
已知集合，，若
，则实数组成的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
因为，所以，解得，或，解得，
当时，，，，满足题意.
当时，，不满足集合的互异性.
当时，，，若，满足题意.
当时，，，若，满足题意.
故选：C.
已知集合，且
，则可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
因为，又，所以任取，则，
所以可能为，A对，
又 ，，
∴ 不可能为，，，B，C，D错，
故选：A.
已知集合，
，则满足条件的集合C的个数为（ ）
A．2 B．3
C．4 D．5
【答案】C
【解析】
由知．又，则集合．又，则满足条件的集合C可以为，，，，共4个，
故选：C．
已知集合，则下列
关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
解：因为集合，
所以根据子集的定义可知，
故选：C.
集合，
，则之间的关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
解：因为，
，
所以，
故选：C
设集合，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
由且，即，而，
所以为的子集，则.
故选：A
课后练习
1.2
下面五个式子中：①；②；③；④；⑤；正确的有（ ）
A．②④⑤ B．②③④⑤
C．②④ D．①⑤
【答案】A
【解析】
中，是集合{a}中的一个元素，，所以错误；
空集是任一集合的子集，所以正确；
是的子集，所以错误；
任何集合是其本身的子集，所以正确；
a是的元素，所以正确.
故选：A.
下列各式中关系符号运用正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
根据元素和集合的关系是属于和不属于，所以选项A错误；
根据集合与集合的关系是包含或不包含，所以选项D错误；
根据空集是任何集合的子集，所以选项B错误，故选项C正确.
故选：C.
设集合．若，则实数的值组成的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
解：因为，
所以，
解得或，
的取值集合为，
故选：C
下列集合中表示同一集合的是（ ）．
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】B
【解析】
选项A，集合，为点集，而点与点为不同的点，故A错；选项C，集合为点集，集合为数集，故C错；选项D，集合为数集，集合为点集，故D错；选项B，集合，表示的都是“大于的实数”，为同一个集合．
故选：B
已知集合， 则的真子集有________个；若，则________．
【答案】 ； .
【解析】
空一：因为集合中元素的个数为，所以的真子集的个数为：；
空二：因为，所以有或，
当时，，这样不符合集合元素的互异性，
当时，，或，
当时，集合
当时，，这样不符合集合元素的互异性，
所以，
故答案为：；
设集合，则集合的子集个数为________
【答案】16
【解析】
解：，
故A的子集个数为，
故答案为：16
集合，，则集合的真子集的个数为（ ）
A．8 B．6
C．7 D．15
【答案】C
【解析】
，集合的真子集的个数为个.
故选：C.
已知，.若，则______.
【答案】
【解析】
因为
所以解之得：
故答案为：
已知集合有两个子集，则m的值是__________．
【答案】0或4
【解析】
当时，，满足题意
当时，由题意得，
综上，或
故答案为：0或4
已知，，若，则的值为( )
A．1或－1 B．0或1或－1
C． D．
【答案】A
【解析】
，，
若，则＝1或－1，故a＝1或－1．
故选：A．
已知集合，，若，求实数的取值范围_______.
【答案】
【解析】
∵，
∴A和C如图：
∴a＜3.
故答案为：.
设，，若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
由题：，，则.
故选：B
已知集合或，，若，则实数的取值范围_________．
【答案】或
【解析】
用数轴表示两集合的位置关系，如上图所示，
或
要使，只需或，解得或．
所以实数的取值范围或.
故答案为：或
已知集合，，若，则实数的取值范围是__.
【答案】
【解析】
解：，且，
，解得，
故的取值范围是.
故答案为：.
设集合，若，则由实数a组成的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
解析：由题意，当时，的值为；
当时，的值为；
当时，的值为，
故选：D
（多选，则( )
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】
∵，
∴B＝{1，2}或B＝{1，2，3}或B＝{1，2，4}.
故选：ABC.
已知集合，，则下列命题中不正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则或
D．若时，则或
【答案】D
【解析】
，若，则，且，故A正确，
时，，故D不正确，
若，则且，解得，故B正确，
当时，，解得或，故C正确，
故选：D．
满足{1，2，3}的所有集合A是___________．
【答案】{1}或{1，2}或{1，3}
【解析】
因为{1，2，3}，
所以集合A中至少有一个元素1，且为集合{1，2，3}的真子集，
所以集合A是{1}或{1，2}或{1，3}，
故答案为：{1}或{1，2}或{1，3}
已知集合，在下列条件下分别求实数m的取值范围：
(1)；
(2)恰有一个元素.
【答案】(1)
(2)
【解析】
(1)
若，则关于x的方程没有实数解，
则，且，
所以，实数m的取值范围是；
(2)
若A恰有一个元素，
所以关于x的方程恰有一个实数解，
讨论：当时，，满足题意；
当时，，所以．
综上所述，m的取值范围为．
设集合，，且．
(1)求实数的取值范围；
(2)当时，求集合A的子集的个数．
【答案】(1){或}
(2)
【解析】
(1)
当即时，，符合题意；
当时，有，解得．
综上实数的取值范围是或；
(2)
当时，，所以集合的子集个数为个．
已知
(1)若求实数a的取值范围
(2)若，求实数的取值范围
【答案】(1)；
(2).
【解析】
(1)
∵，
∴，即，
∴实数a的取值范围为；
(2)
∵，，
∴，解得，
故实数的取值范围为.
