五校联考（2023.4）——高二数学试题
考试时间：120分钟 总分：150分
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 抛物线的焦点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析】变换得到，得到焦点坐标.
【详解】抛物线，即，，，故焦点坐标为.
故选：D
2. 等差数列的前n项和记为，且，，则=（ ）
A. 70 B. 90 C. 100 D. 120
【答案】D
【解析】
【分析】根据等差数列前n项和的性质可得成等差数列，即可求得的值.
【详解】在等差数列中，成等差数列，
所以，则，即.
故选：D.
3. 从0、1、2、3、4、5六个数中，选3个不同的数可以组成多少个不同的三位数？（ ）
A. 60 B. 80 C. 100 D. 120
【答案】C
【解析】
【分析】根据分步乘法计数原理，先确定百位上的数字，再分析十位与个位，进而计算即可求解.
【详解】从0、1、2、3、4、5六个数中，选3个不同的数，
百位上的数字有除0外的5种选法，
十位上的数字有除百位上的数字外的5种选法，
个位上的数字有除百位、十位上的数字外的4种选法，
所以总共有种不同的三位数，
故选：C
4. 函数的单调递减区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出导函数，由得减区间．
【详解】由已知，
时，，时，，
所以的减区间是，增区间是；
故选：A．
5. 已知函数，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解方程即得解.
【详解】，所以，解得．
故选：A．
6. 如图，用4种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法有（ ）
A. 72 B. 56 C. 48 D. 36
【答案】C
【解析】
【分析】先给四个区域标记，然后根据分步乘法计数原理求解出着色的方法数.
【详解】将四个区域标记为，如下图所示：
第一步涂：种涂法，
第二步涂：种涂法，
第三步涂：种涂法，
第四步涂：种涂法，
根据分步乘法计数原理可知，一共有种着色方法，
故选：.
7. 2022年10月9日7时43分，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号丁型运载火箭，成功将先进天基太阳天文台“夸父一号”发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．该卫星是我国综合性太阳探测卫星，将聚焦太阳磁场、太阳耀斑和日冕物质抛射的观测，开启我国综合性太阳探测时代，实现我国天基太阳探测卫星跨越式突破．“夸父一号”随着地球绕太阳公转，其公转轨道可以看作是一个椭圆，若我们将太阳看做一个点，则太阳是这个椭圆的一个焦点，“夸父一号”离太阳的最远距离为15210万千米，最近距离为14710万千米，则“夸父一号”的公转轨道的离心率为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据椭圆的定义，以及已知可得出，解方程组即可得出的值，进而得出答案.
【详解】设公转轨道的长半轴长为（万千米），半焦距为（万千米）.
由题意知，解得，
所以离心率．
故选：D．
8. 已知函数，，对任意，，都有不等式成立，则a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将问题转化为，利用导数求在上的最小值、在上的最小值，即可得结果.
【详解】对任意，，都有不等式成立，
，，，则在区间上单调递增，
∴，
，，，则在上单调递增，
，，则在上单调递减，
，，故，
综上，.
故选：C
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 已知数列是等比数列，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 数列是等比数列
C. 若数列的前n项和，则
D. 若首项，公比，则数列是递减数列
【答案】BC
【解析】
【分析】根据等比数列的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】设等比数列的首项为，公比为，，
A选项，由于，所以与的符号相同，所以A选项错误.
B选项，，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，B选项正确.
C选项，，
当时，，
则，
由于是等比数列，所以，C选项正确.
D选项，若首项，公比，则，所以D选项错误.
故选：BC
10. 已知的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则（ ）
A.
B. 的展开式中项的系数为56
C. 奇数项的二项式系数和为128
D. 的展开式中项的系数为56
【答案】AC
【解析】
【分析】利用二项式定理求得的展开通项公式，从而得到关于的方程，解出的值判断AB，利用所有奇数项的二项式系数和为判断C，根据二项式定理判断D.
【详解】因为的展开式通项为，
所以的展开式的第项的二项式系数为，
所以，解得，A正确；
的系数为，B错误；
奇数项的二项式系数和为，C正确；
根据二项式定理，表示8个相乘，
所以中有1个选择，1个选择，6个选择，
所以的展开式中项的系数为，D错误；
故选：AC
11. 如图是导函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数在区间上单调递减 B. 函数在区间上单调递减
C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极小值
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据导函数图象，结合函数的单调性与极值与导数的关系逐项判断即可.
【详解】对于A．因为在区间上成立，所以区间是的单调递减区间，故A正确；
对于B．因为当时，，当时，，所以在上不单调，故B错误；
对于C．因为当时，，当时，，函数在处取得极大值，故C正确；
对于D．因为当时，，当时，，所以函数在处取得极小值，故D正确.
故选：ACD．
12. 定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图像的对称中心，已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（ ）
A. B. 函数既有极大值又有极小值
C. 函数有三个零点 D. 过可以作两条直线与图像相切
【答案】ABD
【解析】
【分析】求得，，根据题意列出方程组，求得的值，可判定A正确；求得，得出函数的单调性，结合极值定义，可判定B正确；根据极大值和极小值都大于0，可判定以C错误；设切点为，求得切线方程，代入点，求得的值，可判定D正确.
【详解】对A，由题意，函数，可得，，
所以，即，解得，所以A正确；
对B，因为，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以函数既有极大值又有极小值，所以B正确；
对C，当时，函数取得极大值，极大值为，
当时，函数取得极小值，极小值为，
因为，即的极大值与极小值都大于，
所以函数至多有一个零点，所以C错误；
对D，设切点为，可得，即切线的斜率，
所以切线方程为，
又由切线过点，则，
整理得，即，解得或，
即满足题意的切点只有两个，所以满足题意的只有两条切线，所以D正确.
故选：ABD.
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 2023年春节期间，电影院上映《满江红》《流浪地球2》《·伴我“熊芯”》等多部电影，这些电影涵盖了悬疑、科幻、动画等多类型题材，为不同年龄段、不同圈层的观众提供了较为丰富的观影选择.某居委会有6张不同的电影票，奖励给甲、乙、丙三户“五好文明家庭”，其中一户1张，一户2张，一户3张，则共有______种不同的分法.
【答案】360
【解析】
【分析】根据分步乘法计数原理结合排列组合即可求解.
【详解】从6张电影票中任选1张，有种选法；从余下的5张中任选2张，有种选法；最后余下3张全选，有种选法.由于甲、乙、丙是不同的三户“五好文明家庭”，因此共有种不同的分法.
故答案为:360
14. 在二项式的展开式中，常数项是，则a的值为________.
【答案】
【解析】
【分析】写出二项式展开式的通项，令的次幂为0即可求得常数项的表达式，解得即可得出答案.
【详解】展开式的通项公式为，
令，得，
故，
解得.
故答案为：
15. 若函数在处取得极大值10，则的值为___________.
【答案】##
【解析】
【分析】计算，解方程组，求得的值并检验是否在处取得极大值即可确定的结果，求出答案.
【详解】由题意可知：,则有,解得或．
检验：当时，，时，，时，或，则为极小值点，不符合题意；
当时，在处取得极大值10，所以.
故答案为：
16. 若函数使得成立，则实数的最小值是_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，使得成立，分类参数，可转化为，使得成立，构造函数，利用导数法求得，即可求解.
详解】由题意，函数使得成立，
即，使得成立，
即，使得成立，
令，则，
因为，则，
所以在上单调递增，
又由，
所以使得，此时取得极小值，也是最小值，
令，则，即，
所以，即，
所以，即实数的最小值为.
【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的极值与最值，其中解答中合理利用分离参数，结合函数的单调性与最值求解是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17. 一个口袋内有个不同的红球，个不同的白球，
（1）从中任取个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？
（2）若取一个红球记分，取一个白球记分，从中任取个球，使总分不少于分的取法有多少种？
【答案】（1）115（2）186
【解析】
【详解】（1）从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法，红球4个，红球3个和白球1个，红球2个和白球2个，
红球4个，取法有种，
红球3个和白球1个，取法有种；
红球2个和白球2个，取法有种；
根据分类计数原理，红球的个数不比白球少的取法有种．
（2）使总分不少于7分情况有三种情况，4红1白，3红2白，2红3白.
第一种，4红1白，取法有种；
第二种，3红2白，取法有种，
第三种，2红3白，取法有种，
根据分类计数原理，总分不少于7分的取法有
18. 已知数列是等差数列，数列是公比大于零的等比数列，且
，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若是数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等差等比数列的通项公式直接代入求公差和公比即可；
（2）利用等比数列的前项和公式即可.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，等比数列的公比为，且.
由，，得，解.
所以.
由，，得，又，解得
所以.
【小问2详解】
由（1）可知
故数列是以为首项，为公比的等比数列，
因为恒成立，
即实数的取值范围为
19. 已知函数在处取得极值-14.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在上的最值.
【答案】（1）
（2）最小值为-14，最大值18
【解析】
【分析】（1）由极值和极值点，利用导数求出未知系数，再利用导数的几何意义求切点处切线的方程.
（2）利用导数求函数单调区间，根据单调性求函数在区间上的最值.
【小问1详解】
因，故
由于在处取得极值-14，故有，
化简得，解得，
经检验，时，符合题意，所以.
则，，故.
所以曲线在点处的切线方程为：，即
【小问2详解】
，，
解得或；解得，
即函数在上单调递增，上单调递减，上单调递增，
，
因此在的最小值为.最大值为
20. 疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在万元至万元（包括万元和万元）的小微企业做统一方案．方案要求同时具备下列两个条件：①补助款（万元）随企业原纳税额（万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额（万元）的．经测算政府决定采用函数模型（其中为参数）作为补助款发放方案．
（1）判断使用参数是否满足条件，并说明理由；
（2）求同时满足条件①、②的参数的取值范围．
【答案】（1）当时不满足条件②，见解析（2）
【解析】
【分析】（1）因为当时，，所以不满足条件② ；
（2）求导得：，当时，满足条件①；当时，在上单调递增，所以.由条件②可知，，即，等价于在上恒成立，问题得解.
【详解】（1）因为当时，，所以当时不满足条件② .
（2）由条件①可知，在上单调递增，
所以当时，满足条件；
当时，由可得
当时，单调递增，
，解得，
所以
由条件②可知，，即不等式在上恒成立，
等价于
当时，取最小值
综上，参数的取值范围是．
【点睛】本题考查了导数求函数单调性以及恒成立问题，考查了转化思想，属于中档题.
21. 已知椭圆的右焦点为，离心率，点到左顶点的距离为3.
（1）求椭圆的方程；
（2）若是椭圆的上下两顶点，是椭圆上异于关于轴对称的两点，直线与轴分别交于点.试判断以为直径的圆是否过定点，如经过，求出定点坐标；如不过定点，请说明理由.
【答案】（1）
（2）圆恒过定点.
【解析】
【分析】（1）由已知条件列方程组求出，可得椭圆的方程；
（2）设，则，表示出直线的方程和直线的方程，令，得到和的中点的坐标，表示出圆的方程，取特殊的点代入方程，可得圆恒过的定点.
【小问1详解】
由题意知，解得，，
则椭圆的方程为.
【小问2详解】
，，设，则，
，，
直线的方程为：，直线的方程为，
令，则，
设的中点为，则的坐标为，即：，
，，则，
半径为：
圆的方程为：①
令，则，代入①得：②
令，则，代入①得：，
由①②得：，
代入①得：，化简得，即，
上式恒成立，圆恒过定点.
22. 已知函数，
（1）求函数的单调区间；
（2）证明：当时，.
【答案】（1）递增区间是，递减区间是；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）求出函数的定义域，利用导数求出其单调区间作答.
（2）利用导数探讨函数的最小值，再作差即可推理作答.
小问1详解】
的定义域为，
当时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数的递增区间是，递减区间是.
【小问2详解】
定义域是，
显然函数在上都单调递增，则函数在上单调递增，
，当时，函数的取值集合为，函数的取值集合为，
因此函数在上的取值集合为，
即存在，使得，，于是存在，使得，有，
当时，，当时，，即函数在上单调递减，在上单调递增，
，，由两边取对数得，即，
，即，
所以.
【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理.五校联考（2023.4）——高二数学试题
考试时间：120分钟 总分：150分
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 抛物线的焦点坐标是（ ）
A. B. C. D.
2. 等差数列的前n项和记为，且，，则=（ ）
A. 70 B. 90 C. 100 D. 120
3. 从0、1、2、3、4、5六个数中，选3个不同的数可以组成多少个不同的三位数？（ ）
A. 60 B. 80 C. 100 D. 120
4. 函数单调递减区间是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知函数，且，则（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，用4种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法有（ ）
A. 72 B. 56 C. 48 D. 36
7. 2022年10月9日7时43分，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号丁型运载火箭，成功将先进天基太阳天文台“夸父一号”发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．该卫星是我国综合性太阳探测卫星，将聚焦太阳磁场、太阳耀斑和日冕物质抛射的观测，开启我国综合性太阳探测时代，实现我国天基太阳探测卫星跨越式突破．“夸父一号”随着地球绕太阳公转，其公转轨道可以看作是一个椭圆，若我们将太阳看做一个点，则太阳是这个椭圆的一个焦点，“夸父一号”离太阳的最远距离为15210万千米，最近距离为14710万千米，则“夸父一号”的公转轨道的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，，对任意，，都有不等式成立，则a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 已知数列是等比数列，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 数列是等比数列
C. 若数列的前n项和，则
D. 若首项，公比，则数列是递减数列
10. 已知的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则（ ）
A.
B. 展开式中项的系数为56
C. 奇数项的二项式系数和为128
D. 的展开式中项的系数为56
11. 如图是导函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数在区间上单调递减 B. 函数在区间上单调递减
C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极小值
12. 定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图像的对称中心，已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（ ）
A. B. 函数既有极大值又有极小值
C. 函数有三个零点 D. 过可以作两条直线与图像相切
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 2023年春节期间，电影院上映《满江红》《流浪地球2》《·伴我“熊芯”》等多部电影，这些电影涵盖了悬疑、科幻、动画等多类型题材，为不同年龄段、不同圈层观众提供了较为丰富的观影选择.某居委会有6张不同的电影票，奖励给甲、乙、丙三户“五好文明家庭”，其中一户1张，一户2张，一户3张，则共有______种不同的分法.
14. 在二项式的展开式中，常数项是，则a的值为________.
15. 若函数在处取得极大值10，则的值为___________.
16. 若函数使得成立，则实数的最小值是_____.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17. 一个口袋内有个不同的红球，个不同的白球，
（1）从中任取个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？
（2）若取一个红球记分，取一个白球记分，从中任取个球，使总分不少于分的取法有多少种？
18. 已知数列是等差数列，数列是公比大于零的等比数列，且
，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若是数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围.
19. 已知函数在处取得极值-14.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在上的最值.
20. 疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在万元至万元（包括万元和万元）的小微企业做统一方案．方案要求同时具备下列两个条件：①补助款（万元）随企业原纳税额（万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额（万元）的．经测算政府决定采用函数模型（其中为参数）作为补助款发放方案．
（1）判断使用参数是否满足条件，并说明理由；
（2）求同时满足条件①、②的参数的取值范围．
21. 已知椭圆右焦点为，离心率，点到左顶点的距离为3.
（1）求椭圆的方程；
（2）若是椭圆上下两顶点，是椭圆上异于关于轴对称的两点，直线与轴分别交于点.试判断以为直径的圆是否过定点，如经过，求出定点坐标；如不过定点，请说明理由.
22. 已知函数，
（1）求函数的单调区间；
（2）证明：当时，.
