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2020～2022高考情境试题分类汇编(解答题)
近年高考命题强调以情境作为考查内容和考查要求的载体，这是高考命题改革创新的一个重要方向。目前高考数学的试题情境分为课程学习情境、生活实践情境、探索创新情境。
第一类:数学课程学习情境
这类问题包括数学概念建构、数学原理习得、数学运算学习、数学推理学习等问题情境，备考这部分内容时，一定要关注已有知识的基础和准备程度。
1.(2020.理新课标Ⅰ[19])甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为．
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率．
2.(2020.理新课标Ⅲ[18])某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）
锻炼人次 空气质量等级 ， ， ，
1（优 2 16 25
2（良 5 10 12
3（轻度污染） 6 7 8
4（中度污染） 7 2 0
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表，判断是否有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
人次 人次
空气质量好
空气质量不好
附：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【思路分析】（1）用频率估计概率，从而得到估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
（2）采用频率分布直方图估计样本平均值的方法可得得答案；
（3）由公式计算的值，从而查表即可，
3.(2020.文新课标Ⅱ[18])某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据，，2，，，其中和分别表示第个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得，，，，．
（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；
（2）求样本，，2，，的相关系数（精确到；
（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．
附：相关系数，．
4.(2020.文新课标Ⅰ.T17)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按标准分为，，，四个等级．加工业务约定：对于级品、级品、级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务．甲分厂加工成本费为25元件，乙分厂加工成本费为20元件．厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
等级
频数 40 20 20 20
乙分厂产品等级的频数分布表
等级
频数 28 17 34 21
（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为级品的概率；
（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？
5.(2020.理新课标Ⅱ[18])某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据，，2，，，其中和分别表示第个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得，，，，．
（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；
（2）求样本，，2，，的相关系数（精确到；
（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．
附：相关系数，．
6.(2020.海南[19])为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的和浓度（单位：，得下表：
， ， ，
， 32 18 4
， 6 8 12
， 3 7 10
（1）估计事件“该市一天空气中浓度不超过75，且浓度不超过150”的概率；
（2）根据所给数据，完成下面的列联表：
， ，
，
，
（3）根据（2）中的列联表，判断是否有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关？
附：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
7.（2021.理甲[17]）（12分）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
一级品 二级品 合计
甲机床 150 50 200
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
（2）能否有的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
附：．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
8.（2021.理乙[17]）（12分）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．
（1）求，，，；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．
9.（2021.文甲[17]）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
一级品 二级品 合计
甲机床 150 50 200
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
（2）能否有的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
附：．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
10.（2021.文乙[17]）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．
（1）求，，，；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．
11.（2021.新高考Ⅰ[18]）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有，两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．
已知小明能正确回答类问题的概率为0.8，能正确回答类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
（1）若小明先回答类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
12.(2022·文甲[17]）甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了
解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：
准点班次数 未准点班次数
A 240 20
B 210 30
(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率。
(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？
P(K2≥k) 0.100 0.050 0.010
k 2.706 3.841 6.635
附：
13.(2022.北京[18]）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
（Ⅰ）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
（Ⅱ）设是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计的数学期望；
（Ⅲ）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
第二类:数学探索创新情
这类问题包括推演数学命题、数学探究、数据分析、数学实验等问题情境，备考时关注与未来学习的关联和数学学科内部的更深入的探索。
1.(2020.上海春季[19])有一条长为120米的步行道，是垃圾投放点，若以为原点，为轴正半轴建立直角坐标系，设点，现要建设另一座垃圾投放点，函数表示与点距离最近的垃圾投放点的距离．
（1）若，求、、的值，并写出的函数解析式；
（2）若可以通过与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利．问：垃圾投放点建在何处才能比建在中点时更加便利？
2.（2021.新高考Ⅱ[21]）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，．
（1）已知，求；
（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，；
（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
第三类，生活实践情境。
这类问题需要学生将问题情境与学科知识、方法建立联系，应用学科工具解决问题；生活实践情境关注与其他学科和社会实践的关联，是考查学生数学应用素养、理性思维素养和数学文化素养的重要载体。
1.(2020.北京[18])某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案；方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如表：
男生 女生
支持 不支持 支持 不支持
方案一 200人 400人 300人 100人
方案二 350人 250人 150人 250人
假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．
（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；
（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；
（Ⅲ）将该校学生支持方案二的概率估计值记为．假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为．试比较与的大小．（结论不要求证明）
2.(2020.文新课标Ⅲ[18]）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）
空气质量等级 锻炼人次 ， ， ，
1（优 2 16 25
2（良 5 10 12
3（轻度污染） 6 7 8
4（中度污染） 7 2 0
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表，判断是否有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
人次 人次
空气质量好
空气质量不好
附：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
3．(2020.江苏)某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底在水平线上，桥与平行，为铅垂线在上）．经测量，左侧曲线上任一点到的距离（米与到的距离（米之间满足关系式；右侧曲线上任一点到的距离（米与到的距离（米之间满足关系式．已知点到的距离为40米．
（1）求桥的长度；
（2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩和，且为80米，其中，在上（不包括端点）．桥墩每米造价（万元），桥墩每米造价（万元），问为多少米时，桥墩与的总造价最低？
4.（2021.北京[18]）为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒．
（1）①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；
②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为，定义随机变量X为总检测次数，求检测次数X的分布列和数学期望E(X)；
（2）若采用“5合1检测法”，检测次数Y的期望为E(Y)，试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果)．
5.（2021.上海春季.T19）（1）团队在点西侧、东侧20千米处设有、两站点，测量距离发现一点满足千米，可知在、为焦点的双曲线上，以点为原点，东侧为轴正半轴，北侧为轴正半轴，建立平面直角坐标系，在北偏东处，求双曲线标准方程和点坐标．
（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有、两站点，测量距离发现千米，千米，求（精确到1米）和点位置（精确到1米，
5.（2021.上海夏季[19]）已知某企业今年（2021年）第一季度的营业额为亿元，以后每个季度（一年有四个季度）营业额都比前一季度多亿元，该企业第一季度是利润为亿元，以后每一季度的利润都比前一季度增长.
（1）求2021第一季度起20季度的营业额总和；
（2）问哪一年哪个季度的利润首次超过该季度营业额的？
6.（2022·理全国甲[18]）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
（1）求甲学校获得冠军的概率；
（2）用表示乙学校的总得分，求的分布列与期望．
7.(2022·文甲[19]） 小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示，底面ABCD是边长为8（单位：cm）的正方形，△EAB，△FBC，△GCD，△HDA均为正三角形，且它们所在平面与平面ABCD垂直。
(1)证明：EF//平面ABCD；
(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）。
8.（2022·文理乙[19]）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：和材积量（单位：，得到如下数据：
样本号 1 2 3 4 5 7 8 9 10 总和
根部横截面积 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6
材积量 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9
并计算得，，．
（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到；
（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．
附：相关系数，．
9.(2022·上海春季[19])为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设．如图是一处要架空线入地的矩形地块，，．为保护处的一棵古树，有关部门划定了以为圆心、为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区．若空线入线口为边上的点，出线口为边上的点，施工要求与封闭区边界相切，右侧的四边形地块将作为绿地保护生态区．（计算长度精确到，计算面积精确到
（1）若，求的长；
（2）当入线口在上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？
10.(2022·新高考Ⅰ[20])一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
不够良好 良好
病例组 40 60
对照组 10 90
（1）能否有的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
（2）从该地的人群中任选一人，表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”， 表示事件“选到的人患有该疾病”， 与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）利用该调查数据，给出，的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出的估计值．
附：．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
11.(2022·新高考Ⅱ[19])在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：
（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间，的概率；
（3）已知该地区这种疾病的患者的患病率为，该地区年龄位于区间，的人口占该地区总人口的．从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，，求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001 ．
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2020～2022高考情境试题分类汇编(解答题)
近年高考命题强调以情境作为考查内容和考查要求的载体，这是高考命题改革创新的一个重要方向。目前高考数学的试题情境分为课程学习情境、生活实践情境、探索创新情境。
第一类:数学课程学习情境
这类问题包括数学概念建构、数学原理习得、数学运算学习、数学推理学习等问题情境，备考这部分内容时，一定要关注已有知识的基础和准备程度。
1.(2020.理新课标Ⅰ[19])甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为．
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率．
【思路分析】（1）甲连胜四场只能是前四场全胜，由此能求出甲连胜四场的概率．
（2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛，比赛四场结束，共有三种情况，甲连胜四场比赛，乙连日胜四场比赛，丙上场后连胜三场，由此能求出需要进行五场比赛的概率．
（3）丙最终获胜，有两种情况，比赛四场结束且丙最终获胜，比赛五场结束丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，由此能求出丙最终获胜的概率．
【解答】（1）甲连胜四场只能是前四场全胜，．
（2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛，
比赛四场结束，共有三种情况，
甲连胜四场的概率为，乙连胜四场比赛的概率为，
丙上场后连胜三场的概率为，
需要进行五场比赛的概率为：
．
（3）丙最终获胜，有两种情况，
比赛四场结束且丙最终获胜的概率为，
比赛五场结束丙最终获胜，
则从第二场开始的四场比赛按丙的胜、负、轮空结果有三种情况：
胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为，
丙最终获胜的概率．
2.(2020.理新课标Ⅲ[18])某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）
锻炼人次 空气质量等级 ， ， ，
1（优 2 16 25
2（良 5 10 12
3（轻度污染） 6 7 8
4（中度污染） 7 2 0
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表，判断是否有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
人次 人次
空气质量好
空气质量不好
附：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【思路分析】（1）用频率估计概率，从而得到估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
（2）采用频率分布直方图估计样本平均值的方法可得得答案；
（3）由公式计算的值，从而查表即可，
【解析】：（1）该市一天的空气质量等级为1的概率为：；
该市一天的空气质量等级为2的概率为：；
该市一天的空气质量等级为3的概率为：；
该市一天的空气质量等级为4的概率为：；
（2）由题意可得：一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为：；
（3）根据所给数据，可得下面的列联表，
人次 人次 总计
空气质量好 33 37 70
空气质量不好 22 8 30
总计 55 45 100
由表中数据可得：，
所以有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．
【总结与归纳】本题考查了独立性检验与频率估计概率，估计平均值的求法，属于中档题．
3.(2020.文新课标Ⅱ[18])某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据，，2，，，其中和分别表示第个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得，，，，．
（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；
（2）求样本，，2，，的相关系数（精确到；
（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．
附：相关系数，．
【思路分析】（1）由已知数据求得20个样区野生动物数量的平均数，乘以200得答案；
（2）由已知直接利用相关系数公式求解；
（3）由各地块间植物覆盖面积差异很大可知更合理的抽样方法是分层抽样．
【解析】：（1）由已知，，
个样区野生动物数量的平均数为，
该地区这种野生动物数量的估计值为；
（2），，，
；
（3）更合理的抽样方法是分层抽样，根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对200个地块进行分层抽样．
理由如下：由（2）知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关．由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计．
【总结与归纳】本题考查简单的随机抽样，考查相关系数的求法，考查计算能力，是基础题．
4.(2020.文新课标Ⅰ.T17)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按标准分为，，，四个等级．加工业务约定：对于级品、级品、级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务．甲分厂加工成本费为25元件，乙分厂加工成本费为20元件．厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
等级
频数 40 20 20 20
乙分厂产品等级的频数分布表
等级
频数 28 17 34 21
（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为级品的概率；
（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？
【思路分析】（1）根据表格数据得到甲乙级品的频数分别为40，28，即可求得相应频率；
（2）根据所给数据分别求出甲乙的平均利润即可．
【解析】：（1）由表格可得，甲分厂加工出来的一件产品为级品的频数为40，故频率为，
乙分厂加工出来的一件产品为级品的频数为28，故频率为，
故甲、乙两分厂加工出来的一件产品为级品的概率分别是0.4，0.28；
（2）由表格可知甲分厂加工四个等级的频率分别为0.4，0.2，0.2，0.2，
故其平均利润为（元；
同理乙分厂加工四个等级的频率分别为0.28，0.17，0.34，0.21，
故其平均利润为（元；
因为，所以选择甲分厂承接更好．
【总结与归纳】本题考查频率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题．
5.(2020.理新课标Ⅱ[18])某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据，，2，，，其中和分别表示第个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得，，，，．
（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；
（2）求样本，，2，，的相关系数（精确到；
（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．
附：相关系数，．
【思路分析】（1）由已知数据求得20个样区野生动物数量的平均数，乘以200得答案；
（2）由已知直接利用相关系数公式求解；
（3）由各地块间植物覆盖面积差异很大可知更合理的抽样方法是分层抽样．
【解析】：（1）由已知，，
个样区野生动物数量的平均数为，
该地区这种野生动物数量的估计值为；
（2），，，
；
（3）更合理的抽样方法是分层抽样，根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对200个地块进行分层抽样．
理由如下：由（2）知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关．由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计．
【总结与归纳】本题考查简单的随机抽样，考查相关系数的求法，考查计算能力，是基础题．
6.(2020.海南[19])为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的和浓度（单位：，得下表：
， ， ，
， 32 18 4
， 6 8 12
， 3 7 10
（1）估计事件“该市一天空气中浓度不超过75，且浓度不超过150”的概率；
（2）根据所给数据，完成下面的列联表：
， ，
，
，
（3）根据（2）中的列联表，判断是否有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关？
附：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【思路分析】（1）用频率估计概率，从而得到“该市一天空气中浓度不超过75，且浓度不超过150”的概率；
（2）根据题目所给的数据填写列联表即可；
（3）计算的观测值，对照题目中的表格，得出统计结论．
【解析】：（1）用频率估计概率，从而得到“该市一天空气中浓度不超过75，且浓度不超过150”的概率；
（2）根据所给数据，可得下面的列联表：
， ，
， 64 16
， 10 10
（3）根据（2）中的列联表，
由，
；
故有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关，
【总结与归纳】本题考查了独立性检验的应用，用频率估计概率，属于基础题．
7.（2021.理甲[17]）（12分）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
一级品 二级品 合计
甲机床 150 50 200
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
（2）能否有的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
附：．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【思路分析】（1）根据表格中统计可知甲机床、乙机床生产总数和频数，再求出频率值即可；
（2）根据列联表，求出，再将的值与6.635比较，即可得出结论；
【解析】：由题意，可得甲机床、乙机床生产总数均为200件，
因为甲的一级品的频数为150，所以甲的一级品的频率为；
因为乙的一级品的频数为120，所以乙的一级品的频率为；
（2）根据列联表，可得
．
所以有的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异．
【归纳总结】本题考查了统计与概率中的独立性检验，属于基础题．
8.（2021.理乙[17]）（12分）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．
（1）求，，，；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．
【思路分析】（1）利用平均数和方差的计算公式进行计算即可；
（2）比较与的大小，即可判断得到答案．
【解析】：（1）由题中的数据可得，，
，
；
；
（2），
，
所以，
故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．
【归纳总结】本题考查了样本特征数的计算，解题的关键是掌握平均数与方差的计算公式，考查了运算能力，属于基础题．
9.（2021.文甲[17]）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
一级品 二级品 合计
甲机床 150 50 200
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
（2）能否有的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
附：．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【思路分析】（1）根据表格中统计可知甲机床、乙机床生产总数和频数，再求出频率值即可；
（2）根据列联表，求出，再将的值与6.635比较，即可得出结论；
【解析】：由题意，可得甲机床、乙机床生产总数均为200件，
因为甲的一级品的频数为150，所以甲的一级品的频率为；
因为乙的一级品的频数为120，所以乙的一级品的频率为；
（2）根据列联表，可得
．
所以有的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异．
【归纳总结】本题考查了统计与概率中的独立性检验，属于基础题．
10.（2021.文乙[17]）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．
（1）求，，，；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．
【思路分析】（1）利用平均数和方差的计算公式进行计算即可；
（2）比较与的大小，即可判断得到答案．
【解析】：（1）由题中的数据可得，
，
，
；
；
解法二：（安徽滁州刘家范补快速解）：
，
，
（2），，
所以，
故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．
【归纳总结】本题考查了样本特征数的计算，解题的关键是掌握平均数与方差的计算公式，考查了运算能力，属于基础题．
11.（2021.新高考Ⅰ[18]）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有，两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．
已知小明能正确回答类问题的概率为0.8，能正确回答类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
（1）若小明先回答类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
【思路分析】（1）由已知可得，的所有可能取值为0，20，100，分别求出对应的概率即可求解分布列；
（2）由（1）可得，若小明先回答类问题，记为小明的累计得分，的所有可能取值为0，80，100，分别求出对应的概率，从而可得，比较与的大小，即可得出结论．
【解析】：（1）由已知可得，的所有可能取值为0，20，100，
则，
，
所以的分布列为：
0 20 100
0.2 0.32 0.48
（2）由（1）可知小明先回答类问题累计得分的期望为，
若小明先回答类问题，记为小明的累计得分，
则的所有可能取值为0，80，100，
，
，
，
则的期望为，
因为，
所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答类问题．
【归纳总结】本题主要考查离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档题．
12.(2022·文甲[17]）甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了
解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：
准点班次数 未准点班次数
A 240 20
B 210 30
(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率。
(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？
P(K2≥k) 0.100 0.050 0.010
k 2.706 3.841 6.635
附：
【思路分析】(1)根据题设数据直接计算即可；
(2)由题设数据代入公式直接计算即可得出结论．
【解析】(1)A公司一共调查了260辆车，其中有240辆准点，故A公司准点的概率为；
B公司一共调查了240辆车，其中有210辆准点，故B公司准点的概率为。
（2）由题设数据可知，准点班次数共450辆，未准点班次数共50辆，A公司共260辆，B公司共240辆，
∴，
∴有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关。
【试题评价】本题考查概率计算以及独立性检验，考查运算求解能力，属于基础题。
13.(2022.北京[18]）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
（Ⅰ）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
（Ⅱ）设是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计的数学期望；
（Ⅲ）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
【思路分析】（Ⅰ）用频率估计概率，即可求出甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率．
（Ⅱ）分别求出甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率，的所有可能取值为0，1，2，3，结合独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，再利用期望公式即可求出．
（Ⅲ）根据三位同学以往成绩的平均值可知，甲获得冠军的概率估计值最大．
【解析】（Ⅰ）甲以往的10次成绩中有4次获得优秀奖，用频率估计概率，则甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率．
（Ⅱ）用频率估计概率，则乙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为，丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为，
的所有可能取值为0，1，2，3，
则，
，
，
，
．
（Ⅲ）甲成绩的平均值为9.479，乙成绩的平均值为9.46，丙成绩的平均值为9.465，
故甲获得冠军的概率估计值最大．
【试题评价】本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了离散型随机变量的期望，属于中档题．
第二类:数学探索创新情
这类问题包括推演数学命题、数学探究、数据分析、数学实验等问题情境，备考时关注与未来学习的关联和数学学科内部的更深入的探索。
1.(2020.上海春季[19])有一条长为120米的步行道，是垃圾投放点，若以为原点，为轴正半轴建立直角坐标系，设点，现要建设另一座垃圾投放点，函数表示与点距离最近的垃圾投放点的距离．
（1）若，求、、的值，并写出的函数解析式；
（2）若可以通过与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利．问：垃圾投放点建在何处才能比建在中点时更加便利？
【思路分析】（1）利用题目所给定义表示出，，分类讨论可得；
（2）利用题意可得，表示出与坐标轴围成的面积，进而表示出面积不等式，解出不等式即可
【解析】：（1）投放点，，表示与距离最近的投放点（即的距离，所以，同理分析，，，
由题意得，，，
则当，即时，；
当，即时，；
综上；
（2）由题意得，，
所以，则与坐标轴围成的面积如阴影部分所示，
所以，
由题意，，即，
解得，即垃圾投放点建在与之间时，比建在中点时更加便利．
【总结与归纳】本题是新定义问题，考查对题目意思的理解，分类讨论是关键，属于中档题．
2.（2021.新高考Ⅱ[21]）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，．
（1）已知，求；
（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，；
（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
【思路分析】（1）利用公式计算可得.
（2）利用导数讨论函数的单调性，结合及极值点的范围可得的最小正零点.
（3）利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明.
【解析】：（1）.
（2）设，
因为，故，
若，则，故.
，
因为，，
故有两个不同零点，且，
且时，；时，；
故在，上为增函数，在上为减函数，
若，因为在为增函数且，
而当时，因为在上为减函数，故，
故为的一个最小正实根，
若，因为且在上为减函数，故1为的一个最小正实根，
综上，若，则.
若，则，故.
此时，，
故有两个不同零点，且，
且时，；时，；
故在，上为增函数，在上为减函数，
而，故，
又，故在存在一个零点，且.
所以为的一个最小正实根，此时，
故当时，.
（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1.
第三类，生活实践情境。
这类问题需要学生将问题情境与学科知识、方法建立联系，应用学科工具解决问题；生活实践情境关注与其他学科和社会实践的关联，是考查学生数学应用素养、理性思维素养和数学文化素养的重要载体。
1.(2020.北京[18])某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案；方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如表：
男生 女生
支持 不支持 支持 不支持
方案一 200人 400人 300人 100人
方案二 350人 250人 150人 250人
假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．
（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；
（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；
（Ⅲ）将该校学生支持方案二的概率估计值记为．假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为．试比较与的大小．（结论不要求证明）
【思路分析】（Ⅰ）根据古典概型的概率公式直接求解即可；
（Ⅱ）结合（Ⅰ）及相互独立事件同时发生的概率直接求解即可；
（Ⅲ）直接写出结论即可．
【解析】：（Ⅰ）设“该校男生支持方案一”为事件，“该校女生支持方案一”为事件，
则；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
设“这3人中恰有2人支持方案一”为事件，
则；
（Ⅲ）．
【总结与归纳】本题考查古典概型及相互独立事件同时发生的概率求法，考查计算能力及推理能力，属于基础题．
2.(2020.文新课标Ⅲ[18]）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）
空气质量等级 锻炼人次 ， ， ，
1（优 2 16 25
2（良 5 10 12
3（轻度污染） 6 7 8
4（中度污染） 7 2 0
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表，判断是否有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
人次 人次
空气质量好
空气质量不好
附：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【思路分析】（1）用频率估计概率，从而得到估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
（2）采用频率分布直方图估计样本平均值的方法可得得答案；
（3）由公式计算的值，从而查表即可，
【解析】：（1）该市一天的空气质量等级为1的概率为：；
该市一天的空气质量等级为2的概率为：；
该市一天的空气质量等级为3的概率为：；
该市一天的空气质量等级为4的概率为：；
（2）由题意可得：一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为：；
（3）根据所给数据，可得下面的列联表，
人次 人次 总计
空气质量好 33 37 70
空气质量不好 22 8 30
总计 55 45 100
由表中数据可得：，
所以有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．
【总结与归纳】本题考查了独立性检验与频率估计概率，估计平均值的求法，属于中档题．
3．(2020.江苏)某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底在水平线上，桥与平行，为铅垂线在上）．经测量，左侧曲线上任一点到的距离（米与到的距离（米之间满足关系式；右侧曲线上任一点到的距离（米与到的距离（米之间满足关系式．已知点到的距离为40米．
（1）求桥的长度；
（2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩和，且为80米，其中，在上（不包括端点）．桥墩每米造价（万元），桥墩每米造价（万元），问为多少米时，桥墩与的总造价最低？
【思路分析】（1）由题意可令，求得，即的长，再令，求得，可得；
（2）可设，则，，求得总造价，化简整理，应用导数，求得单调区间，可得最小值．
【解析】：（1），
点到的距离为40米，可令，
可得，
即为，由题意可设，
由，解得，
则米；
（2）可设，则，由，可得，
总造价为
，
，由，当时，，函数递减；
当时，，函数递增，所以当时，取得最小值，即总造价最低．
答：（1）桥长为120米；（2）为20米时，桥墩与的总造价最低．
【总结与归纳】本题考查函数在实际问题中的应用，考查导数的应用：求最值，考查运算能力和分析问题与解决问题的能力，属于中档题．
4.（2021.北京[18]）为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒．
（1）①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；
②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为，定义随机变量X为总检测次数，求检测次数X的分布列和数学期望E(X)；
（2）若采用“5合1检测法”，检测次数Y的期望为E(Y)，试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果)．
【思路分析】（1）①由题设条件还原情境，即可得解；
②求出X的取值情况，求出各情况下的概率，进而可得分布列，再由期望的公式即可得解；
（2）求出两名感染者在一组的概率，进而求出，即可得解.
【解析】：（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；
所以总检测次数为20次；
②由题意，两名患者在同一组需检测20次，不在同一组需检测30次，所以可以取20，30，
，，
则的分布列:
所以；
（2）由题意，两名患者在同一组需检测25次，不在同一组需检测30次，可以取25，30，两名感染者在同一组的概率为，不在同一组的概率为，
则.
5.（2021.上海春季.T19）（1）团队在点西侧、东侧20千米处设有、两站点，测量距离发现一点满足千米，可知在、为焦点的双曲线上，以点为原点，东侧为轴正半轴，北侧为轴正半轴，建立平面直角坐标系，在北偏东处，求双曲线标准方程和点坐标．
（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有、两站点，测量距离发现千米，千米，求（精确到1米）和点位置（精确到1米，
【思路分析】（1）求出，，的值即可求得双曲线方程，求出直线的方程，与双曲线方程联立，即可求得点坐标；
（2）分别求出以、为焦点，以，为焦点的双曲线方程，联立即可求得点的坐标，从而求得，及点位置．
【解析】：（1）由题意可得，，所以，
所以双曲线的标准方程为，
直线，联立双曲线方程，可得，，
即点的坐标为，．
（2）①，则，，所以，
双曲线方程为；
②，则，，所以，
所以双曲线方程为，
两双曲线方程联立，得，，
所以米，点位置北偏东．
【归纳总结】本题主要考查双曲线方程在实际中的应用，属于中档题．
5.（2021.上海夏季[19]）已知某企业今年（2021年）第一季度的营业额为亿元，以后每个季度（一年有四个季度）营业额都比前一季度多亿元，该企业第一季度是利润为亿元，以后每一季度的利润都比前一季度增长.
（1）求2021第一季度起20季度的营业额总和；
（2）问哪一年哪个季度的利润首次超过该季度营业额的？
【思路分析】（1）根据每个季度比上个季度营业额增加亿元可以知道数列为一个等差数列，求解20季度营业收入总额为即为等差数列前20项的和；（2）通过数列通项公式建立数列不等式，利用计算器计算求解不等式即可。
【解析】（1）设为第季度的营业额，为利润，由题意得，的首项为亿元，
公差为亿元,所以2021到2025年，
20季度营业收入总额为：（亿元）
（2）由已知得，
由已知的， 的首项为亿元，公比为,即
所以，利用计算器991可得，
所以2027年第二季度该公司的利润首次超过该季度营业收入的
【归纳总结】本题主要考查了等差、比数列的通项公式与前n项和公式的应用，考查了阅读理解能力、计算能力，属于中档题．
6.（2022·理全国甲[18]）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
（1）求甲学校获得冠军的概率；
（2）用表示乙学校的总得分，求的分布列与期望．
【思路分析】根据相互独立事件的概率乘法公式，可以求出甲学校获胜2场或者3场的概率，可以得到甲学校获得冠军的概率；乙学校的总得分的值可取0，10，20，30，分别求出取上述值时的概率，可得分布列与数学期望．
【解析】（1）甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，可以得到两个学校每场比赛获胜的概率如下表：
第一场比赛 第二场比赛 第三场比赛
甲学校获胜概率 0.5 0.4 0.8
乙学校获胜概率 0.5 0.6 0.2
甲学校要获得冠军，需要在3场比赛中至少获胜2场，
①甲学校3场全胜，概率为：，
②甲学校3场获胜2场败1场，概率为：，
所以甲学校获得冠军的概率为：；
（2）乙学校的总得分的可能取值为：0，10，20，30，其概率分别为：
，
，
，
，
则的分布列为：
0 10 20 30
0.16 0.44 0.34 0.06
的期望．
【试题评价】本题考查随机变量的分布列与数学期望的计算，难度不大．
7.(2022·文甲[19]） 小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示，底面ABCD是边长为8（单位：cm）的正方形，△EAB，△FBC，△GCD，△HDA均为正三角形，且它们所在平面与平面ABCD垂直。
(1)证明：EF//平面ABCD；
(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）。
【思路分析】(1)将几何体补形之后结合线面平行的判断定理即可证得题中的结论；
（2）首先确定几何体的空间特征，然后结合相关的棱长计算其体积即可。
(1)证明：如图2所示，分别取AB，BC的中点M，N，连接EM，FN，MN。由已知△EAB≌△FBC，∴EM=FN。且EMAB，FNBC。又∵平面EAB平面ABCD，交线为AB，平面FBC平面ABCD，交线为BC，∴EM平面ABCD，FN平面ABCD，从而EM//FN。
∴EM//FN，∴EMNF为平行四边形，∴EF//MN，又EF平面ABCD，MN平面ABCD，∴EF//平面ABCD。
(2) 【解法一】：如图1包装盒的容积为长方体ABCD-MNPQ的体积减去四个一样大的三棱锥的体积。
其中长方体ABCD-MNPQ的高，∴长方体的体积，
一个三棱锥的体积。
∴包装盒的容积为。
【解法二】 （沈文荣补解）
如图2所示，分别取CD，AD中点P，Q，按图连接线条，则包装盒容积为长方体EFGH-MNPQ体积加四个四棱锥A-MEHQ，B-MNFE，C-FNPG，D-GPQH的体积，且由对称性可知
VA-MEHQ=VC-FNPG=VB-MNFE=VD-GPQH。在边长为8等边三角形EAB中易知，EM=，在Rt△QAM和Rt△MBN中易知QM=MN=。∴VEFGH-MNPQ=，
在Rt△QAM易知MQ边上的高AO=，由平面MEHQ平面ABCD=MQ知AO平面MEHQ，
∴VC-FNPG==VB-MNFE=VD-GPQH=VA-MEHQ=。
∴包装盒的容积为。
【试题评价】本题主要考查线面平行的判定，空间几何体体积的计算等知识，属于中等题。
8.（2022·文理乙[19]）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：和材积量（单位：，得到如下数据：
样本号 1 2 3 4 5 7 8 9 10 总和
根部横截面积 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6
材积量 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9
并计算得，，．
（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到；
（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．
附：相关系数，．
【思路分析】根据题意结合线性回归方程求平均数、样本相关系数，并估计该林区这种树木的总材积量的值即可．
【解析】（1）设这棵树木平均一棵的根部横截面积为，平均一棵的材积量为，
则根据题中数据得：，；
由题可知，
；
（3）设从根部面积总和，总材积量为，则，故．
【试题评价】本题考查线性回归方程，属于中档题．
9.(2022·上海春季[19])为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设．如图是一处要架空线入地的矩形地块，，．为保护处的一棵古树，有关部门划定了以为圆心、为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区．若空线入线口为边上的点，出线口为边上的点，施工要求与封闭区边界相切，右侧的四边形地块将作为绿地保护生态区．（计算长度精确到，计算面积精确到
（1）若，求的长；
（2）当入线口在上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？
【思路分析】（1）作，然后结合锐角三角函数定义表示出，
（2）设，结合锐角三角函数定义可表示，，然后表示出面积，结合同角基本关系进行化简，再由基本不等式可求．
【解析】（1）作，垂足为，
则；
（2）设，则，，
，
，
当且仅当，即时取等号，此时，最大面积为．
【试题评价】本题主要考查了利用基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是由实际问题抽象出数学问题，属于中档题．
10.(2022·新高考Ⅰ[20])一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
不够良好 良好
病例组 40 60
对照组 10 90
（1）能否有的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
（2）从该地的人群中任选一人，表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”， 表示事件“选到的人患有该疾病”， 与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）利用该调查数据，给出，的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出的估计值．
附：．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【思路分析】（1）补充列联表，根据表中数据计算，对照附表得出结论．
（2）根据条件概率的定义与运算性质，证明即可；
（ⅱ）利用调查数据和对立事件的概率公式，计算即可．
【解析】（1）补充列联表为：
不够良好 良好 合计
病例组 40 60 100
对照组 10 90 100
合计 50 150 200
计算，
所以有的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异．
（2）证明：
；
（ⅱ）利用调查数据，，，，，所以．
【试题评价】本题考查了独立性检验的应用，也考查了条件概率的应用，是中档题．
11.(2022·新高考Ⅱ[19])在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：
（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间，的概率；
（3）已知该地区这种疾病的患者的患病率为，该地区年龄位于区间，的人口占该地区总人口的．从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，，求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001 ．
【解析】（1）由频率分布直方图得该地区这种疾病患者的平均年龄为：
岁．
（2）该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间，的频率为：
，
估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间，的概率为0.89．
（3）设从该地区中任选一人，此人的年龄位于区间，为事件，此人患这种疾病为事件，
则．
【试题评价】本题考查频率分布直方图求平均数、频率，考查条件概率计算公式，属于基础题．
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