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2020～2022高考情境试题分类汇编(选填题)
近年高考命题强调以情境作为考查内容和考查要求的载体，这是高考命题改革创新的一个重要方向。目前高考数学的试题情境分为课程学习情境、生活实践情境、探索创新情境。
第一类:数学课程学习情境
这类问题包括数学概念建构、数学原理习得、数学运算学习、数学推理学习等问题情境，备考这部分内容时，一定要关注已有知识的基础和准备程度。
1.(2020.理新课标Ⅰ[5])某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率和温度（单位：的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据，，2，，得到下面的散点图：
由此散点图，在至之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率和温度的回归方程类型的是
A． B． C． D．
2.（2021.理甲 [2]）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
3.（2021.理甲 [4]）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
4.(2020.文新课标Ⅱ[3])如图，将钢琴上的12个键依次记为，，，．设．若且，则，，为原位大三和弦；若且，则称，，为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为
A．5 B．8 C．10 D．15
5.（2021.理乙[9]）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”， 称为“表距”， 和都称为“表目距”， 与的差称为“表目距的差”，则海岛的高
A．表高 B．表高
C．表距 D．表距
6.（2021.浙江[11]）我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明．弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形直角边的长分别为3，4，记大正方形的面积为，小正方形的面积为，则 ．
7.（2021.天津[4]）从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其平分数据，将所得400个评分数据分为8组：，，，，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间内的影视作品数量为
（A） （B） （C） （D）
8.（2021.天津[14]）甲、乙两人在每次猜谜语活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对一方获胜，否则本次平局。已知每次活动中，甲乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为_____;3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______.
9.（2021.文甲[2]）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
．
10.(2022·全国甲（文理）[2]）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图：
则
A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于
B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于
C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
11.（2022·理全国甲[10])某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，，且．记该棋手连胜两盘的概率为，则
A.与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B．该棋手在第二盘与甲比赛，最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，最大
D．该棋手在第二盘与丙比赛，最大
第二类:数学探索创新情
这类问题包括推演数学命题、数学探究、数据分析、数学实验等问题情境，备考时关注与未来学习的关联和数学学科内部的更深入的探索。
1.(2020.北京[10])2020年3月14日是全球首个国际圆周率日．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔卡西的方法，的近似值的表达式是
A． B．
C． D．
2.（2020.文理新课标Ⅰ[3]）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为
A． B． C． D．
3.(2020理新课标Ⅱ[12])周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列满足，，2，，且存在正整数，使得，2，成立，则称其为周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期．对于周期为的序列，，2，，是描述其性质的重要指标.下列周期为5的序列中，满足的序列是
A． B． C． D．
4.(2020.山东和海南[15])某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．为圆孔及轮廓圆弧所在圆的圆心，是圆弧与直线的切点，是圆弧与直线的切点，四边形为矩形，，垂足为，，，，，到直线和的距离均为，圆孔半径为，则图中阴影部分的面积为 ．
5.(2020.上海春季[11])已知、、、、五个点，满足,,，,,，则的最小值为 ．
6.(2020.上海秋季[12])已知，，，，，是平面内两两互不相等的向量，满足，且，（其中，2，，2，，，则的最大值是 ．
7.（2021.新高考Ⅱ[14]）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为的球，其上点A的纬度是指与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为（单位：），则S占地球表面积的百分比约为（ ）
A. 26% B. 34% C. 42% D. 50%
8.（2021.新高考Ⅰ[16]）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推．则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为 ；如果对折次，那么 ．
9.（2022·理全国甲[4])嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星．为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列，，，，依此类推，其中，2，．则
A． B． C． D．
10.（2022理全国甲[8]）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以为圆心，为半径的圆弧，是的中点，在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值的计算公式：．当，时，
A． B． C． D．
第三类，生活实践情境。
这类问题需要学生将问题情境与学科知识、方法建立联系，应用学科工具解决问题；生活实践情境关注与其他学科和社会实践的关联，是考查学生数学应用素养、理性思维素养和数学文化素养的重要载体。
1.(2020.北京[15])为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量与时间的关系为，用的大小评价在，这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．
给出下列四个结论：
①在，这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在时刻，甲，乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在，，，，，这三段时间中，在，的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是
2.(2020.文新课标Ⅱ[4])在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05．志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者
A．10名 B．18名 C．24名 D．32名
3．(2020.文新课标Ⅲ)模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数的单位：天）的模型：，其中为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则约为
A．60 B．63 C．66 D．69
4.(2020.理新课标Ⅱ[3])在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05,志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者
A．10名 B．18名 C．24名 D．32名
5.(2020.理新课标Ⅱ[4])北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）
A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块
6.(2020.海南和山东[4])日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为，地球上一点的纬度是指与地球赤道所在平面所成角，点处的水平面是指过点且与垂直的平面．在点处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点处的纬度为北纬，则晷针与点处的水平面所成角为
A． B． C． D．
7.(2020.海南和山东.[6])基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与，近似满足．有学者基于已有数据估计出，．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为
A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天
8.(2021.理甲[8]）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有，，三点，且，，在同一水平面上的投影，，满足，．由点测得点的仰角为，与的差为100；由点测得点的仰角为，则，两点到水平面的高度差约为
A．346 B．373 C．446 D．473
9.（2021.文甲[6]）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
10.（2022·北京[7])在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与和的关系，其中表示温度，单位是；表示压强，单位是．下列结论中正确的是
A．当，时，二氧化碳处于液态
B．当，时，二氧化碳处于气态
C．当，时，二氧化碳处于超临界状态
D．当，时，二氧化碳处于超临界状态
11.(2022·天津[8])如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面形状为顶角为，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（ ）
A. 23 B.24 C.26 D.27
12.(2022·上海春季[15])上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为
A．0 B．2 C．4 D．12
13.(2022·新高考Ⅱ[3])图1是中国古代建筑中的举架结构，，，，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中，，，是举，，，，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为，，，．已知，，成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
14.(2022·新高考Ⅰ[4])南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为
A． B． C． D．
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2020～2022高考情境试题分类汇编(选填题)
近年高考命题强调以情境作为考查内容和考查要求的载体，这是高考命题改革创新的一个重要方向。目前高考数学的试题情境分为课程学习情境、生活实践情境、探索创新情境。
第一类:数学课程学习情境
这类问题包括数学概念建构、数学原理习得、数学运算学习、数学推理学习等问题情境，备考这部分内容时，一定要关注已有知识的基础和准备程度。
1.(2020.理新课标Ⅰ[5])某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率和温度（单位：的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据，，2，，得到下面的散点图：
由此散点图，在至之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率和温度的回归方程类型的是
A． B． C． D．
【思路分析】直接由散点图结合给出的选项得答案．
【解析】：由散点图可知，在至之间，发芽率和温度所对应的点在一段对数函数的曲线附近，
结合选项可知，可作为发芽率和温度的回归方程类型．
故选：．
2.（2021.理甲 [2]）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
【思路分析】利用频率分布直方图中频率的求解方法，通过求解频率即可判断选项，，，利用平均值的计算方法，即可判断选项．
【解析】：对于，该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率为，故选项正确；
对于，该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率为，故选项正确；
对于，估计该地农户家庭年收入的平均值为万元，故选项错误；
对于，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的频率为，
故估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间，故选项正确．
故选：．
3.（2021.理甲 [4]）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
【思路分析】把代入中，直接求解即可．
【解析】：在中，，所以，即，
解得，
所以其视力的小数记录法的数据约为0.8．故选：．
【归纳总结】本题考查了对数与指数的互化问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
4.(2020.文新课标Ⅱ[3])如图，将钢琴上的12个键依次记为，，，．设．若且，则，，为原位大三和弦；若且，则称，，为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为
A．5 B．8 C．10 D．15
【思路分析】由原位大三和弦、原位小三和弦的定义，运用列举法，即可得到所求和．
【解析】根据题意可知，原位大三和弦满足：．
∴；；；；．
原位小三和弦满足：．
∴；；；；．
故个数之和为10．
故选：C．
5.（2021.理乙[9]）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”， 称为“表距”， 和都称为“表目距”， 与的差称为“表目距的差”，则海岛的高
A．表高 B．表高
C．表距 D．表距
【思路分析】根据相似三角形的性质、比例的性质、直角三角形的边角关系即可得出．
【解析】：，，故，即，
解得：，，
故：．
故选：．
【归纳总结】本题考查了相似三角形的性质、比例的性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6.（2021.浙江[11]）我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明．弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形直角边的长分别为3，4，记大正方形的面积为，小正方形的面积为，则 25 ．
【思路分析】利用勾股定理求出直角三角形斜边长，即大正方形的边长，由，求出，再求出．
【解析】：直角三角形直角边的长分别为3，4，直角三角形斜边的长为，
即大正方形的边长为5，，
则小正方形的面积，
．故答案为：25．
【归纳总结】本题考查了三角形中的几何计算和勾股定理，考查运算能力，属于基础题．
7.（2021.天津[4]）从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其平分数据，将所得400个评分数据分为8组：，，，，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间内的影视作品数量为
（A） （B） （C） （D）
【思路分析】要求分布在区间人数，只需要知道总人数及该区间的频率就可以算出．
【解析】（河南洛阳刘友友老师解析）由频率分布直方图可得评分在区间内的频率为：，所以影视作品数量为：，选D．
【归纳总结】频率分布直方图的纵截距是频率/组距，千万别忽略组距而导致计算错误．
8.（2021.天津[14]）甲、乙两人在每次猜谜语活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对一方获胜，否则本次平局。已知每次活动中，甲乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为_____;3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______.
【思路分析】本题考查独立事件的概率与独立重复事件概率，分步与分类计数法的应用。甲、乙二人猜谜语结果互不影响，根据题中条件，甲获胜即为甲猜对乙猜错。3次活动中，每次互不影响，即独立重复事件概率。甲至少胜2次，即甲获胜2次或3次，分别求出再求和。
【解析】 (1)根据题中条件，事件甲获胜为甲猜对乙猜错。
(2)根据独立重复事件的概率
甲获胜2次的概率为
甲获胜3次的概率为
∴甲至少胜2次的概率为
故：甲获胜的概率为;3次活动中，甲至少获胜2次的概率为.
【归纳总结】事件的概率重点理解事件的独立性，是或事件还是并，分步分类。分析明白事件类型后，求概率就相对容易了。此考点难点在于审题理解题意中事件的类型，难度中等。
9.（2021.文甲[2]）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
【思路分析】利用频率分布直方图中频率的求解方法，通过求解频率即可判断选项，，，利用平均值的计算方法，即可判断选项．
【解析】：对于，该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率为，故选项正确；
对于，该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率为，故选项正确；
对于，估计该地农户家庭年收入的平均值为万元，故选项错误；
对于，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的频率为，
故估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间，故选项正确．
故选：．
【归纳总结】本题考查了频率分布直方图的应用，解题的关键是掌握频率分布直方图中频率的求解方法以及平均数的计算方法，属于基础题．
10.(2022·全国甲（文理）[2]）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图：
则
A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于
B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于
C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
【思路分析】对于A，求出讲座前问卷答题的正确率的中位数进行判断；对于B，求出讲座后问卷答题的正确率的平均数进行判断；对于C，由图形知讲座前问卷答题的正确率相对分散，讲座后问卷答题的正确率相对集中，进行判断；对于D，求出讲座后问卷答题的正确率的极差和讲座前正确率的极差。
【解析】对于A，讲座前问卷答题的正确率从小到大为：60%，60%，65%，65%，70%，75%，80%，85%，90%，95%，∴讲座前问卷答题的正确率的中位数为：，故A错误；
对于B，讲座后问卷答题的正确率的平均数为：
，故B正确；对于C，由图形知讲座前问卷答题的正确率相对分散，讲座后问卷答题的正确率相对集中，∴讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，故C错误；对于D，讲座后问卷答题的正确率的极差为：，讲座前正确率的极差为：，
∴讲座后问卷答题的正确率的极差小于讲座前正确率的极差，故D错误,故选B。
【试题评价】本题考查命题真假的判断，考查散点图、中位数、平均数、标准差、极差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题。
11.（2022·理全国甲[10])某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，，且．记该棋手连胜两盘的概率为，则
A.与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，最大
【思路分析】已知棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率不相等，所以受比赛次序影响，错误；再计算第二盘分别与甲、乙、丙比赛连赢两盘的概率，比较大小即可．
【解析】设棋手在第二盘与甲的比赛连胜两盘的概率为，在第二盘与乙比赛连胜两盘的概率为，在第二盘与丙的比赛连胜两盘的概率为
，
，
，
，，
所以最大，即棋手在第二盘与丙比赛连赢两盘的概率最大．故选：．
【试题评价】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用．
第二类:数学探索创新情
这类问题包括推演数学命题、数学探究、数据分析、数学实验等问题情境，备考时关注与未来学习的关联和数学学科内部的更深入的探索。
1.(2020.北京[10])2020年3月14日是全球首个国际圆周率日．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔卡西的方法，的近似值的表达式是
A． B．
C． D．
【思路分析】设内接正边形的边长为，外切正边形的边长为，运用圆的性质，结合直角三角形的锐角三角函数的定义，可得所求值．
【解析】：如图，设内接正边形的边长为，外切正边形的边长为，
可得，，
则，即，故选：．
2.（2020.文理新课标Ⅰ[3]）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为
A． B． C． D．
【思路分析】先根据正四棱锥的几何性质列出等量关系，进而求解结论．
【解析】：设正四棱锥的高为，底面边长为，侧面三角形底边上的高为，
则依题意有：，因此有（负值舍去）；故选：．
3.(2020理新课标Ⅱ[12])周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列满足，，2，，且存在正整数，使得，2，成立，则称其为周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期．对于周期为的序列，，2，，是描述其性质的重要指标.下列周期为5的序列中，满足的序列是
A． B． C． D．
【思路分析】分别为4个选项中，2，3，4进行讨论，若有一个不满足条件，就排除；由题意可得周期都是5，每个答案中都给了一个周期的排列，若需要下个周期的排列，继续写出，如答案中的排列为10001 10001 10001
【解析】：对于选项：序列11010 11010
（1），
（2），不满足故排除；
对于选项：序列11011 11011
（1），不满足条件，排除；
对于选项：序列10001 10001 10001
（1），
（2），
（3），
（4），符合条件，
对于选项：序列11001 11001
（1）不满足条件．
故选：．
【总结与归纳】本题考查序列的周期性及对5个两项乘积之和的求法，属于中档题．
4.(2020.山东和海南[15])某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．为圆孔及轮廓圆弧所在圆的圆心，是圆弧与直线的切点，是圆弧与直线的切点，四边形为矩形，，垂足为，，，，，到直线和的距离均为，圆孔半径为，则图中阴影部分的面积为 ．
【思路分析】设大圆的半径为，利用已知条件求出、的长，利用求出大圆的半径，再根据图中线段关系得出为直角三角形，最后求解图中阴影部分的面积即可．
【解析】：作垂直于，交、于、，垂足为，过点作垂直于，垂足为，
到直线和的距离均为，，
又，，，，
，，，
由于是圆弧的切线，，，
设大圆的半径为，则，
，，
，，解得，
图中阴影部分面积分为扇形和直角的面积减去小半圆的面积，
所以．
故答案为：．
【总结与归纳】本题考查直线与圆的位置关系，三角形的解法，考查分析问题解决问题的能力，是难题．
5.(2020.上海春季[11])已知、、、、五个点，满足,,，,,，则的最小值为 ．
【思路分析】可设，从而据题意可得出，，，并设，因为是求的最小值，从而可得出，从而可求出，从而根据基本不等式即可求出的最小值．
【解析】：设，则，，，
设，如图，
求的最小值，则：
，，，，
，当且仅当，即时取等号，
的最小值为．故答案为：．
【总结与归纳】本题考查了向量垂直的充要条件，利用向量坐标解决向量问题的方法，基本不等式求最值的方法，考查了计算能力，属于中档题．
6.(2020.上海秋季[12])已知，，，，，是平面内两两互不相等的向量，满足，且，（其中，2，，2，，，则的最大值是 6 ．
【思路分析】设，，结合向量的模等于1和2画出图形，由圆的交点个数即可求得的最大值．
【解析】：如图，设，，
由，且，，
分别以，为圆心，以1和2为半径画圆，其中任意两圆的公共点共有6个．
故满足条件的的最大值为6．
故答案为：6．
【总结与归纳】本题考查两向量的线性运算，考查向量模的求法，正确理解题意是关键，是中档题．
7.（2021.新高考Ⅱ[14]）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为的球，其上点A的纬度是指与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为（单位：），则S占地球表面积的百分比约为（ ）
A. 26% B. 34% C. 42% D. 50%
【思路分析】由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.
【解析】：由题意可得，S占地球表面积的百分比约为：
.故选：C.
8.（2021.新高考Ⅰ[16]）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推．则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为 5 ；如果对折次，那么 ．
【思路分析】依题意，对折次共有种规格，且面积为，则，，然后再转化求解即可．
【解析】：易知有，，共5种规格；
由题可知，对折次共有种规格，且面积为，故，
则，记，则，
，
，
．
故答案为：5；．
【归纳总结】本题考查数列的求和，考查数学知识在生活中的具体运用，考查运算求解能力及应用意识，属于中档题．
9.（2022·理全国甲[4])嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星．为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列，，，，依此类推，其中，2，．则
A． B． C． D．
【思路分析】，2，，可以取，依次求出数列的前8项，能求出正确选项．
【解析】【解法一】，2，，可以取，
则，，，，
，，
，，
，故错误；，故错误；，故错误；，故正确．
故选：．
【解法二】（整体分析：单调性）因为，
所以，，得到，
同理，可得，
又因为，故，；
以此类推，可得，，故A错误；，故B错误；
，得，故C错误；
，得，故D正确.故选：D.
【试题评价】本题考查命题真假的判断，巧妙地把人造行星融入高考数学题，培养学生爱国热情，考查运算求解能力，是基础题．
10.（2022理全国甲[8]）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以为圆心，为半径的圆弧，是的中点，在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值的计算公式：．当，时，
A． B． C． D．
【思路分析】由已知求得与的值，代入得答案．
【解析】，，，
是的中点，在上，，
延长可得在上，，
．
故选：．
【试题评价】本题考查扇形及其应用，考查运算求解能力，是基础题．
11.(2022·浙江[11]）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中，，是三角形的三边，是三角形的面积．设某三角形的三边，，，则该三角形的面积 ．
【思路分析】直接由秦九韶公式计算可得面积．
【解析】由，
故答案为：．
【试题评价】本题考查学生的阅读能力，考查学生计算能力，属基础题．
第三类，生活实践情境。
这类问题需要学生将问题情境与学科知识、方法建立联系，应用学科工具解决问题；生活实践情境关注与其他学科和社会实践的关联，是考查学生数学应用素养、理性思维素养和数学文化素养的重要载体。
1.(2020.北京[15])为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量与时间的关系为，用的大小评价在，这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．
给出下列四个结论：
①在，这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在时刻，甲，乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在，，，，，这三段时间中，在，的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是 ①②③ ．
【思路分析】由两个企业污水排放量与时间的关系图象结合平均变化率与瞬时变化率逐一分析四个命题得答案．
【解析】：设甲企业的污水排放量与时间的关系为，乙企业的污水排放量与时间的关系为．
对于①，在，这段时间内，甲企业的污水治理能力为，
乙企业的污水治理能力为．
由图可知，，，
即甲企业的污水治理能力比乙企业强，故①正确；
对于②，由图可知，在时刻的切线的斜率小于在时刻的切线的斜率，但两切线斜率均为负值，
在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故②正确；
对于③，在时刻，甲，乙两企业的污水排放都小于污水达标排放量，
在时刻，甲，乙两企业的污水排放都已达标，故③正确；
对于④，由图可知，甲企业在，，，，，这三段时间中，在，的污水治理能力最强，故④错误．
正确结论的序号是①②③．故答案为：①②③．
【总结与归纳】本题考查利用数学解决实际生活问题，考查学生的读图视图能力，是中档题
2.(2020.文新课标Ⅱ[4])在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05．志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者
A．10名 B．18名 C．24名 D．32名
【思路分析】由题意可得至少需要志愿者为名．
【解析】方法一：第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，就按1600份计算，
第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95就按1200份计算，
因为公司可以完成配货1200份订单，则至少需要志愿者为名，
故选：．
方法二：由题意，第二天新增订单数为，设需要志愿者x名，
，,故需要志愿者名.
故选：B
【总结与归纳】本题考查了等可能事件概率的实际应用，属于基础题．
3．(2020.文新课标Ⅲ)模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数的单位：天）的模型：，其中为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则约为
A．60 B．63 C．66 D．69
【思路分析】根据所给材料的公式列出方程，解出即可．
【解析】：由已知可得，解得，
两边取对数有，解得，故选：．
【总结与归纳】本题考查函数模型的实际应用，考查学生计算能力，属于中档题
4.(2020.理新课标Ⅱ[3])在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05,志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者
A．10名 B．18名 C．24名 D．32名
【思路分析】由题意可得至少需要志愿者为名．
【解析】：第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，就按1600份计算，
第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95就按1200份计算，
因为公司可以完成配货1200份订单，则至少需要志愿者为名，
故选：．
【总结与归纳】本题考查了等可能事件概率的实际应用，属于基础题．
5.(2020.理新课标Ⅱ[4])北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）
A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块
【思路分析】由题意可得从内到外每环之间构成等差数列，且公差，，根据等差数列的性质即可求出，再根据前项和公式即可求出．
【解析】：设每一层有环，由题意可知从内到外每环之间构成等差数列，且公差，，由等差数列的性质可得，，成等差数列，
且，则，则，
则三层共有扇面形石板块，故选：．
【总结与归纳】本题考查了等差数列在实际生活中的应用，考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题．
6.(2020.海南和山东[4])日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为，地球上一点的纬度是指与地球赤道所在平面所成角，点处的水平面是指过点且与垂直的平面．在点处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点处的纬度为北纬，则晷针与点处的水平面所成角为
A． B． C． D．
【思路分析】由纬度的定义和线面角的定义，结合直角三角形的性质，可得晷针与点处的水平面所成角．
【解析】：可设所在的纬线圈的圆心为，垂直于纬线所在的圆面，
由图可得为晷针与点处的水平面所成角，又为且，
在中，，，故选：．
【总结与归纳】本题是立体几何在生活中的运用，考查空间线面角的定义和求法，属于基础题．
7.(2020.海南和山东.[6])基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与，近似满足．有学者基于已有数据估计出，．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为
A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天
【思路分析】根据所给模型求得，令，求得，根据条件可得方程，然后解出即可．
【解析】：把，代入，可得，，
当时，，则，
两边取对数得，解得．故选：．
【总结与归纳】本题考查函数模型的实际运用，考查学生阅读理解能力，计算能力，属于中档题．
8.(2021.理甲[8]）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有，，三点，且，，在同一水平面上的投影，，满足，．由点测得点的仰角为，与的差为100；由点测得点的仰角为，则，两点到水平面的高度差约为
A．346 B．373 C．446 D．473
【思路分析】本题要注意各个三角形不共面，在每个三角形中利用正弦定理求边长，进而找到高度差．
【解析】：过作于，过作于，
则，，，，，，
，
则在中，，
在△中，由正弦定理知，，，
，故选：．
【归纳总结】理解仰角的概念，各个三角形不共面，因此做好辅助线是关键．
9.（2021.文甲[6]）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
【思路分析】把代入中，直接求解即可．
【解析】：在中，，所以，即，
解得，
所以其视力的小数记录法的数据约为0.8．故选：．
【归纳总结】本题考查了对数与指数的互化问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
10.（2022·北京[7])在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与和的关系，其中表示温度，单位是；表示压强，单位是．下列结论中正确的是
A．当，时，二氧化碳处于液态
B．当，时，二氧化碳处于气态
C．当，时，二氧化碳处于超临界状态
D．当，时，二氧化碳处于超临界状态
【思路分析】计算每个选项的的值，结合与图可判断结论．
【解析】对于，当，时，，由图可知二氧化碳处于固态，故错误；
对于：当，时，，由图可知二氧化碳处于液态，故错误；
对于：当，时，，由图可知二氧化碳处于固态，故错误；
对于：当，时，，由图可知二氧化碳处于超临界状态，故正确；故选：．
【试题评价】本题考查对数的计算，考查看图的能力，数形结合思想，属基础题．
11.(2022·天津[8])如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面形状为顶角为，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（ ）
A. 23 B.24 C.26 D.27
【思路解析】 根据图片抽象出图形是由两个三棱柱重叠的，然后根据几何体的体积公式求出答案.
【解析】是等腰三角形，三角形的高，底面BCDE是边长为的正方形， ，
，
.故选：D.
12.(2022·上海春季[15])上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为
A．0 B．2 C．4 D．12
【思路分析】3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直．
【解析】3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直，
每天0点至12点（包含0点，不含12点），
相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为2，故选：．
【试题评价】本题考查两条异面直线垂直的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力，是中档题．
13.(2022·新高考Ⅱ[3])图1是中国古代建筑中的举架结构，，，，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中，，，是举，，，，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为，，，．已知，，成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
【思路分析】由题意，结合等差数列的性质求解即可．
【解析】设，则，，，
由题意得：，，
且，
解得，
故选：．
【试题评价】本题主要考查等差数列的性质，结合阅读材料，考查学生的知识运用能力，是基础题．
14.(2022·新高考Ⅰ[4])南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为
A． B． C． D．
【思路分析】先统一单位，再根据题意结合棱台的体积公式求解即可．
【解析】【解法一】(统一m)，，
根据题意，增加的水量约为
．故选：．
【解法二】(统一km)：
V棱台=×(140+180+)×(0.1575 0.1485)=0.03(320+60)≈1.437 km3≈1.4×109 m3。
【试题评价】本题以实际问题为载体考查棱台的体积公式，考查运算求解能力，属于基础题．
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