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18.1.2 平行四边形
第3课时 三角形的中位线
参考答案与试题解析
夯基训练
知识点1 三角形的中位线性质
1.如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,若DE=10,则BC等于( )
A.12 B.16 C.20 D.24
1.【答案】C
解：因为D,E分别是AB,AC的中点,所以DE是△ABC的中位线,因此DE=BC,故BC=2DE=20.选C.
2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,AB=10,DE垂直平分AC交AB于点E,则DE的长为( )
A.6 B.5 C.4 D.3
2.【答案】D
解：连接CE.∵在Rt△ACB中,∠ACB=90°,AC=8,AB=10,∴BC=6.
又∵DE垂直平分AC交AB于点E,
∴AE=CE.∴∠A=∠ACE.
又∵∠A+∠B=90°,∠ACE+∠BCE=90°,
∴∠B=∠BCE.∴CE=BE.
∴AE=BE.
∴DE是△ACB的中位线,
∴DE=BC=3.
故选D.
3.如图,在△ABC中,点D,E分别是边AB,BC的中点.若△DBE的周长是6,则△ABC的周长是( )【来源：2
A.8 B.10 C.12 D.14
3.【答案】C
4.如图,已知四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD交于点O,E是BC的中点,连接OE,以下说法错误的是( )
A.OE=DC B.OA=OC
C.∠BOE=∠OBA D.∠OBE=∠OCE
4.【答案】D
解：由平行四边形的性质和三角形中位线定理得出选项A,B,C正确;由OB≠OC,得出∠OBE≠∠OCE,故选项D
知识点2三角形中位线在四边形中的应用
5.如图,已知长方形ABCD中,R,P分别是DC,BC上的点,E,F分别是AP,RP的中点,当P在BC上从B向C移动而R不动时,下列结论成立的是( )【出处：】
A.线段EF的长逐渐增大
B.线段EF的长逐渐减小
C.线段EF的长不改变
D.线段EF的长先增大后减小
5.【答案】C
解：连接AR.因为E,F分别是AP,RP的中点,所以EF为△APR的中位线,所以EF=AR,为定值.所以线段EF的长不改变.故选C.
6.如图,四边形ABCD中,∠A=90°,AB=3,AD=3,点M,N分别为线段BC,AB上的动点(含端点,但点M不与点B重合),点E,F分别为DM,MN的中点,则EF长度的最大值为 . 【版权所有：21教育】
6.【答案】3
解：连接DN.∵E,F分别为DM,MN的中点,∴EF=DN,∴DN最大时,EF最大,∵N与B重合时DN最大,此时DN=DB==6,∴EF长度的最大值为3.
题型总结
题型1 利用三角形的中位线求线段的长
7.如图,点O是△ABC内一点,连接OB,OC,并将AB,OB,OC,AC的中点D,E,F,G依次连接,得到四边形DEFG.
(1)求证:四边形DEFG是平行四边形;
(2)若M为EF的中点,OM=3,∠OBC和∠OCB互余,求DG的长度.
(提示:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.)
7.分析:(1)根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥BC且EF=BC,DG∥BC且DG=BC,从而得到DG=EF,DG∥EF,再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可;
(2)先判断出∠BOC=90°,再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,求出EF即可.
(1)证明:∵D,G分别是AB,AC的中点,∴DG平行且等于BC.
∵E,F分别是OB,OC的中点,
∴EF=BC.
∴DG平行且等于EF.
∴四边形DEFG是平行四边形.
(2)解:∵∠OBC和∠OCB互余,
∴∠OBC+∠OCB=90°.
∴∠BOC=90°.
∵M为EF的中点,OM=3,
∴EF=2OM=6.
∵四边形DEFG是平行四边形,
∴DG=EF=6.
题型2 利用三角形的中位线巧证线段间的数量关系
8.如图,AD与BC相交于点E,∠1=∠2=∠3,BD=CD,∠ADB=90°,CH⊥AB于点H,CH交AD于点F.求证:若O为AB的中点,则OF=BE.
8.证明:∵BD=CD,∴∠1=∠BCD.
∵∠1=∠2,∴∠BCD=∠2.
∴CD∥AB,∴∠CDA=∠3.
又∵∠BCD=∠2=∠3,∴∠CDA=∠BCD,BE=AE,∴DE=CE.
又∵∠BED=∠AEC,
∴△BDE≌△ACE.
∴∠1=∠4,∠BDE=∠ACE=90°.
∴∠ACH=90°-∠BCH.
又∵CH⊥AB,∴∠2=90°-∠BCH,
∴∠ACH=∠2=∠1=∠4,
∴AF=CF.
又∵∠AEC=90°-∠4,∠ECF=90°-∠ACH,
∴∠AEC=∠ECF,
∴CF=EF,∴EF=AF.
又∵O为AB的中点,∴OF为△ABE的中位线,∴OF=BE.
方法总结:证明线段倍分关系的方法:由于三角形的中位线等于三角形第三边长的一半,因此当需要证明某一线段是另一线段的一半或两倍,且题中出现中点时,常考虑三角形中位线定理.
拓展培优
拓展角度1利用三角形中位线巧证角相等(构造中位线法)
9.如图,四边形ABCD中,AB=CD,G,H分别是BC,AD的中点,BA,CD的延长线分别交GH的延长线于点E,F.求证:∠AEH=∠F.
9.证明:如图,连接AC,取AC的中点M,连接HM,GM.
∵H是AD的中点,M是AC的中点,
∴HM∥CD,HM=CD.
∴∠MHG=∠F.
同理,GM∥AB,GM=AB.
∴∠MGH=∠AEH.
又∵AB=CD,∴GM=HM.
∴∠MGH=∠MHG.
∴∠AEH=∠F.
解：当几个中点不是一个三角形的各边中点时,可设法再取一个中点,使它与已知中点能构成三角形的中位线.此题中H,G分别是四边形ABCD两条对边的中点,这时需连接对角线,将四边形转化为两个三角形,再取对角线中点,与已知中点相连,就会产生三角形的中位线,问题便迎刃而解.
拓展角度2利用三角形中位线巧证线段相等(构造平行四边形法)
10.已知:如图,在 ABCD中,E是CD的中点,F是AE的中点,FC与BE交于G.求证:GF=GC.2
10.证明:如图,
取BE的中点H,连接FH,CH.
∵F是AE的中点,H是BE的中点,
∴FH是△ABE的中位线.
∴FH∥AB且FH=AB.
在 ABCD中,AB∥DC,AB=DC.
又∵点E是DC的中点,
∴EC=DC=AB,
∴FH=EC.
又∵AB∥DC,FH∥AB,∴FH∥EC,
∴四边形EFHC是平行四边形.
∴GF=GC.
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18.1.2 平行四边形
第3课时 三角形的中位线
夯基训练
知识点1 三角形的中位线性质
1.如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,若DE=10,则BC等于( )
A.12 B.16 C.20 D.24
2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,AB=10,DE垂直平分AC交AB于点E,则DE的长为( )
A.6 B.5 C.4 D.3
3.如图,在△ABC中,点D,E分别是边AB,BC的中点.若△DBE的周长是6,则△ABC的周长是( )【来源：2
A.8 B.10 C.12 D.14
4.如图,已知四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD交于点O,E是BC的中点,连接OE,以下说法错误的是( )
A.OE=DC B.OA=OC
C.∠BOE=∠OBA D.∠OBE=∠OCE
知识点2三角形中位线在四边形中的应用
5.如图,已知长方形ABCD中,R,P分别是DC,BC上的点,E,F分别是AP,RP的中点,当P在BC上从B向C移动而R不动时,下列结论成立的是( )【出处：】
A.线段EF的长逐渐增大
B.线段EF的长逐渐减小
C.线段EF的长不改变
D.线段EF的长先增大后减小
6.如图,四边形ABCD中,∠A=90°,AB=3,AD=3,点M,N分别为线段BC,AB上的动点(含端点,但点M不与点B重合),点E,F分别为DM,MN的中点,则EF长度的最大值为 . 【版权所有：21教育】
题型总结
题型1 利用三角形的中位线求线段的长
7.如图,点O是△ABC内一点,连接OB,OC,并将AB,OB,OC,AC的中点D,E,F,G依次连接,得到四边形DEFG.
(1)求证:四边形DEFG是平行四边形;
(2)若M为EF的中点,OM=3,∠OBC和∠OCB互余,求DG的长度.
(提示:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.)
题型2 利用三角形的中位线巧证线段间的数量关系
8.如图,AD与BC相交于点E,∠1=∠2=∠3,BD=CD,∠ADB=90°,CH⊥AB于点H,CH交AD于点F.求证:若O为AB的中点,则OF=BE.
拓展培优
拓展角度1利用三角形中位线巧证角相等(构造中位线法)
9.如图,四边形ABCD中,AB=CD,G,H分别是BC,AD的中点,BA,CD的延长线分别交GH的延长线于点E,F.求证:∠AEH=∠F.
拓展角度2利用三角形中位线巧证线段相等(构造平行四边形法)
10.已知:如图,在 ABCD中,E是CD的中点,F是AE的中点,FC与BE交于G.求证:GF=GC.2
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