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18.2.1 矩形
第2课时 矩形的判定
夯基训练
知识点1 由对角线的关系判定矩形
1.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长OA到N，ON＝OB，再延长OC至M，使CM＝AN.求证：四边形NDMB为矩形．
2.如图,在 ABCD中,延长AD到点E,使DE=AD,连接EB,EC,DB,请你添加一个条件,使四边形DBCE是矩形.
知识点2 由直角的个数判定矩形
3.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，AE是△BAC的外角平分线，DE∥AB交AE于点E.求证：四边形ADCE是矩形．
4.在 ABCD中,添加下列条件中的一个,就能判定它是矩形的是( )
A.∠A+∠C=180° B.AB=BC
C.AC⊥BD D.AC=2AB
题型总结
题型1 利用对角线的关系判定矩形
5.如图,将 ABCD的边AB延长至点E,使BE=AB,连接DE,EC,BD,DE交BC于点O.
(1)求证:△ABD≌△BEC;
(2)若∠BOD=2∠A,求证:四边形BECD是矩形.
题型2 利用直角的个数判定矩形
6.如图， ABCD各内角的平分线分别相交于点E，F，G，H.求证：四边形EFGH是矩形．
7.如图,在 ABCD中,DE⊥AB,BF⊥CD,垂足分别为E,F.求证:
(1)△ADE≌△CBF;
(2)四边形DEBF为矩形.
拓展培优
拓展角度1 利用矩形的性质和判定探究面积关系(作差法)
8.如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点，且AE＝BF＝CG＝DH.
(1)求证：四边形EFGH是矩形；
(2)若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，且DG⊥AC，OF＝2cm，求矩形ABCD的面积．
9.如图,点P在矩形ABCD的对角线AC上,且不与点A,C重合,过点P分别作边AB,AD的平行线,交两组对边于点E,F和G,H.
(1)求证:△PHC≌△CFP;
(2)证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形,并写出它们面积之间的关系.
拓展角度2 利用矩形的判定探究动点的位置(逆向思维法)
10.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，BC＝26cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．
(1)经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？
(2)经过多长时间，四边形PQBA是矩形？
11.如图,在△ABC中,点O是边AC上一个动点,过点O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E,交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F. 版权所有
(1)求证:OE=OF.
(2)若CE=12,CF=5,求OC的长.
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形 请说明理由.
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18.2.1 矩形
第2课时 矩形的判定
参考答案与试题解析
夯基训练
知识点1 由对角线的关系判定矩形
1.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长OA到N，ON＝OB，再延长OC至M，使CM＝AN.求证：四边形NDMB为矩形．
1.解析：首先由平行四边形ABCD可得OA＝OC，OB＝OD.若ON＝OB，那么ON＝OD.而CM＝AN，即ON＝OM.由此可证得四边形NDMB的对角线相等且互相平分，即可得证．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AO＝OC，OD＝OB.∵AN＝CM，ON＝OB，∴ON＝OM＝OD＝OB，∴MN＝BD，∴四边形NDMB为矩形．
方法总结：证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．
2.如图,在 ABCD中,延长AD到点E,使DE=AD,连接EB,EC,DB,请你添加一个条件,使四边形DBCE是矩形.
2.【答案】EB=DC
解：利用平行四边形的性质与判定得到四边形DBCE为平行四边形,结合矩形的判定来添加条件即可,本题答案不唯一.网
知识点2 由直角的个数判定矩形
3.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，AE是△BAC的外角平分线，DE∥AB交AE于点E.求证：四边形ADCE是矩形．
3.解析：首先利用外角性质得出∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC，进而得到AE∥BC，即可得出四边形AEDB是平行四边形，再利用平行四边形的性质得出四边形ADCE是平行四边形，再根据AD是高即可得出四边形ADCE是矩形．
证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∵AE是△BAC的外角平分线，∴∠FAE＝∠EAC.∵∠B＋∠ACB＝∠FAE＋∠EAC，∴∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC，∴AE∥BC.又∵DE∥AB，∴四边形AEDB是平行四边形，∴AE平行且等于BD.又∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC，∴AE平行且等于DC，故四边形ADCE是平行四边形．又∵∠ADC＝90°，∴平行四边形ADCE是矩形．
方法总结：平行四边形的判定与性质以及矩形的判定常综合运用，解题时利用平行四边形的判定得出四边形是平行四边形再证明其中一角为直角即可．
4.在 ABCD中,添加下列条件中的一个,就能判定它是矩形的是( )
A.∠A+∠C=180° B.AB=BC
C.AC⊥BD D.AC=2AB
4.【答案】A
解：由平行四边形的对角相等,知∠A=∠C,再结合∠A+∠C=180°,可求出∠C=90°.根据有一个角是直角的平行四边形是矩形,可判定 ABCD是矩形.
题型总结
题型1 利用对角线的关系判定矩形
5.如图,将 ABCD的边AB延长至点E,使BE=AB,连接DE,EC,BD,DE交BC于点O.
(1)求证:△ABD≌△BEC;
(2)若∠BOD=2∠A,求证:四边形BECD是矩形.
5.证明:(1)在平行四边形ABCD中,AD=BC,AB=CD,AB∥CD,则BE∥CD.
又∵AB=BE,∴BE=DC.
∴四边形BECD为平行四边形.
∴BD=EC.
在△ABD与△BEC中,
∴△ABD≌△BEC(SSS).
(2)由(1)知,四边形BECD为平行四边形,则OD=OE,OC=OB.
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴∠A=∠BCD.即∠A=∠OCD.
又∵∠BOD=2∠A,∠BOD=∠OCD+∠ODC,
∴∠OCD=∠ODC.∴OC=OD.
∴OC+OB=OD+OE,即BC=ED.
∴四边形BECD为矩形.
题型2 利用直角的个数判定矩形
6.如图， ABCD各内角的平分线分别相交于点E，F，G，H.求证：四边形EFGH是矩形．
6.解析：利用“有三个内角是直角的四边形是矩形”证明四边形EFGH是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAB＋∠ABC＝180°.∵AH，BH分别平分∠DAB与∠ABC，∴∠HAB＝∠DAB，∠HBA＝∠ABC，∴∠HAB＋∠HBA＝(∠DAB＋∠ABC)＝×180°＝90°，∴∠H＝90°.同理∠HEF＝∠F＝90°，∴四边形EFGH是矩形．
方法总结：题设中隐含多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
7.如图,在 ABCD中,DE⊥AB,BF⊥CD,垂足分别为E,F.求证:
(1)△ADE≌△CBF;
(2)四边形DEBF为矩形.
7.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C,AD=BC.
又∵DE⊥AB,BF⊥CD,
∴∠DEA=∠BFC=90°.
∴△ADE≌△CBF.
(2)∵△ADE≌△CBF,∴AE=CF.
∵CD=AB,∴DF=BE.
又∵CD∥AB,
∴四边形DEBF为平行四边形.
又∵∠DEB=90°,
∴四边形DEBF为矩形.
拓展培优
拓展角度1 利用矩形的性质和判定探究面积关系(作差法)
8.如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点，且AE＝BF＝CG＝DH.
(1)求证：四边形EFGH是矩形；
(2)若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，且DG⊥AC，OF＝2cm，求矩形ABCD的面积．
8.解析：(1)证明四边形EFGH对角线相等且互相平分；(2)根据题设求出矩形的边长CD和BC，然后根据矩形面积公式求得．
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD.∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AO－AE＝OB－BF＝CO－CG＝DO－DH，即OE＝OF＝OG＝OH，∴四边形EFGH是矩形；
(2)解：∵G是OC的中点，∴GO＝GC.∵DG⊥AC，∴∠DGO＝∠DGC＝90°.又∵DG＝DG，∴△DGC≌△DGO，∴CD＝OD.∵F是BO中点，OF＝2cm，∴BO＝4cm.∵四边形ABCD是矩形，∴DO＝BO＝4cm，∴DC＝4cm，DB＝8cm，∴CB＝＝4cm，∴S矩形ABCD＝4×4＝16(cm2)．
方法总结：若题设条件与这个四边形的对角线有关，要证明一个四边形是矩形，通常证这个四边形的对角线相等且互相平分．
9.如图,点P在矩形ABCD的对角线AC上,且不与点A,C重合,过点P分别作边AB,AD的平行线,交两组对边于点E,F和G,H.
(1)求证:△PHC≌△CFP;
(2)证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形,并写出它们面积之间的关系.
9.证明:(1)∵四边形ABCD为矩形,
∴AB∥CD,AD∥BC.
∵PF∥AB,PH∥AD,
∴PF∥CD,PH∥BC.
∴∠CPF=∠PCH,∠PCF=∠CPH.
在△PHC和△CFP中,
∴△PHC≌△CFP(ASA).
(2)∵四边形ABCD为矩形,
∴∠D=∠B=90°,S△ACD=S△CAB.
又∵EF∥AB∥CD,GH∥AD∥BC,
∴四边形PEDH、四边形PFBG、四边形PEAG和四边形PFCH都是矩形.
∴S△APE=S△PAG,S△PCH=S△CPF.
∴S△ACD-S△APE-S△PCH=S△CAB-S△PAG-S△CPF,即S矩形PEDH=S矩形PFBG.
拓展角度2 利用矩形的判定探究动点的位置(逆向思维法)
10.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，BC＝26cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．
(1)经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？
(2)经过多长时间，四边形PQBA是矩形？
10.解析：(1)设经过ts时，四边形PQCD是平行四边形，根据DP＝CQ，代入后求出即可；(2)设经过t′s时，四边形PQBA是矩形，根据AP＝BQ，代入后求出即可．
解：(1)设经过ts，四边形PQCD为平行四边形，即PD＝CQ，所以24－t＝3t，解得t＝6；
(2)设经过t′s，四边形PQBA为矩形，即AP＝BQ，所以t′＝26－3t′，解得t′＝.
方法总结：①证明一个四边形是平行四边形，若题设条件与这个四边形的边有关，通常证这个四边形的一组对边平行且相等；②题设中出现一个直角时，常采用“有一角是直角的平行四边形是矩形”来判定矩形．
11.如图,在△ABC中,点O是边AC上一个动点,过点O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E,交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F. 版权所有
(1)求证:OE=OF.
(2)若CE=12,CF=5,求OC的长.
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形 请说明理由.
11.(1)证明:∵CF平分∠ACD,且MN∥BD,
∴∠ACF=∠FCD=∠CFO.
∴OF=OC.
同理,得OC=OE,∴OE=OF.
(2)解:∵∠ACB+∠ACD=180°,CE平分∠ACB,CF平分∠ACD,
∴∠ECF=∠ECO+∠OCF=∠ACB+∠ACD=(∠ACB+∠ACD)=90°.∴EF==13,
由(1)知,OE=OF,∴OC=EF,∴OC=.
(3)解:当点O运动到AC的中点时,四边形AECF为矩形.理由如下:
由(1)知OE=OF.当点O运动到AC的中点时,有OA=OC,
∴四边形AECF为平行四边形.
又∵∠ECF=90°,
∴四边形AECF为矩形.
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