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18.2 特殊的平行四边形
第1课时 矩形及其性质
参考答案与试题解析
夯基训练
知识点1 矩形的定义
1.如图,四边形ABCD的对角线互相平分,要使它变为矩形,需要添加的条件是( )
A.AB=CD B.AD=BC
C.∠AOB=45° D.∠ABC=90°
1.【答案】D
解：因为四边形ABCD的对角线互相平分,所以四边形ABCD为平行四边形,A,B两选项为平行四边形具有的性质,C选项添加后也不一定是矩形,根据矩形的定义知D可以.故选D.
知识点2 矩形的边角性质
2.如图,点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点,且AD=DE,连接BE交CD于点O,连接AO,下列结论中不正确的是( )
A.△AOB≌△BOC B.△BOC≌△EOD
C.△AOD≌△EOD D.△AOD≌△BOC
2.【答案】A
解：∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,∠ADO=∠EDO=∠C=90°.∵AD=DE,∴BC=DE.
在△BOC与△EOD中,∠BOC=∠DOE,∠C=∠EDO=90°,
BC=DE,∴△BOC≌△EOD.故B选项正确.
在△AOD和△EOD中,AD=DE,∠ADO=∠EDO=90°,OD=OD,
∴△AOD≌△EOD.故C选项正确.
由B,C知△AOD≌△BOC,故D选项正确.而A选项中两三角形明显不全等.
知识点3 矩形的对角线性质
3.在 ABCD中,AB=3,BC=4,连接AC,BD,当 ABCD的面积最大时,下列结论正确的有( )21m
①AC=5;②∠BAD+∠BCD=180°;③AC⊥BD;④AC=BD.
①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④
3.【答案】B
解：当 ABCD的面积最大时,四边形ABCD为矩形,得出∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°,AC=BD,根据勾股定理求出AC,即可得出结论.
知识点4 直角三角形斜边上中线的性质
4.如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．
(1)若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长；
(2)求证：EF垂直平分AD.
解析：(1)根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得DE＝AE＝AB，DF＝AF＝AC，再根据四边形的周长的公式计算即可得解；(2)根据“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”证明即可．
(1)解：∵AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点，∴DE＝AE＝AB＝×10＝5，DF＝AF＝AC＝×8＝4，∴四边形AEDF的周长＝AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4＋4＝18；
(2)证明：∵DE＝AE，DF＝AF，∴E、F在线段AD的垂直平分线上，∴EF垂直平分AD.
方法总结：当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解．
5.如图,在矩形ABCD中,O为AC的中点,EF过O点且EF⊥AC分别交DC,AB于点F,E,点G是AE的中点,且∠AOG=30°,则下列结论正确的有( )21·世纪*教育网
①DC=3OG;②OG=BC;③△OGE是等边三角形;④S△AOE=S矩形ABCD.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.【答案】C
解：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OG=AG=GE=AE,再根据等边对等角可得∠OAG=30°,根据直角三角形两锐角互余求出∠GEO=60°,从而判断出△OGE是等边三角形,判断出③正确;设AE=2a,则OE=a,利用勾股定理求出AO的长,从而得到AC的长,再求出BC的长,然后利用勾股定理求出AB=3a,从而判断出①正确,②错误;再根据三角形的面积公式和矩形的面积公式列式判断出④正确.
题型总结
题型1 利用矩形对角线性质证线段或角相等
6.如图，在矩形ABCD中，以顶点B为圆心、边BC长为半径作弧，交AD边于点E，连接BE，过C点作CF⊥BE于F.求证：BF＝AE.
6.解析：利用矩形的性质得出AD∥BC，∠A＝90°，再利用全等三角形的判定得出△BFC≌△EAB，进而得出答案．
证明：在矩形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，∴∠AEB＝∠FBC.∵CF⊥BE，∴∠BFC＝∠A＝90°.由作图可知，BC＝BE.在△BFC和△EAB中，∴△BFC≌△EAB(AAS)，∴BF＝AE.
方法总结：涉及与矩形性质有关的线段的证明，可运用题设条件结合三角形全等进行证明，一般是将两条线段转化到一对全等三角形中进行证明．
7.如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED.求证：AE平分∠BAD.
7.解析：要证AE平分∠BAD，可转化为△ABE为等腰直角三角形，得AB＝BE.又AB＝CD，再将它们分别转化为两全等三角形的两对应边，根据全等三角形的判定和矩形的性质，即可求证．
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，AB＝CD，∴∠BEF＋∠BFE＝90°.∵EF⊥ED，∴∠BEF＋∠CED＝90°.∴∠BFE＝∠CED，∴∠BEF＝∠EDC.在△EBF与△DCE中，∴△EBF≌△DCE(ASA)．∴BE＝CD.∴BE＝AB，∴∠BAE＝∠BEA＝45°，∴∠EAD＝45°，∴∠BAE＝∠EAD，∴AE平分∠BAD.
方法总结：矩形的问题可以转化到直角三角形或等腰三角形中去解决．
题型2运用矩形的性质求线段或角
8.在矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD＝90°，矩形ABCD的周长为24cm，则AB长为( )
A．1cm B．2cm C．2.5cm D．4cm
8.解析：在矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD＝90°.根据矩形的性质得到△ABO≌△OCD，则OA＝OD，∠DAO＝45°，所以∠BOA＝∠BAO＝45°，即BC＝2AB.由矩形ABCD的周长为24cm，得2AB＋4AB＝24cm，解得AB＝4cm.故选D.
方法总结：解题时矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．
题型3 利用矩形的边角性质求面积
9.如图，矩形ABCD的对角线的交点为O，EF过点O且分别交AB，CD于点E，F，则图中阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的( )
A. B. C. D.
9.解析：∵在矩形ABCD中，AB∥CD，OB＝OD，∴∠ABO＝∠CDO.在△BOE和△DOF中，∴△BOE≌△DOF(ASA)，∴S△BOE＝S△DOF，∴S阴影＝S△AOB＝S矩形ABCD.故选B.
方法总结：运用矩形的性质，通过证明全等三角形进行转化，将求不规则图形的面积转化为求简单图形面积是解题的关键．
拓展培优
拓展角度1 利用矩形的定义探究条件问题(逆向思维法)
10.如图所示,以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形,即△ABD,△BCE,△ACF,连接DE,EF.请回答下列问题:
(1)四边形ADEF是什么四边形 并说明理由.
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADEF是矩形
10.解:(1)四边形ADEF是平行四边形.
理由:∵△ABD,△BEC都是等边三角形,
∴BD=AB,BE=BC,∠DBA=∠EBC=60°.
∴∠DBE=60°-∠EBA,∠ABC=60°-∠EBA,
∴∠DBE=∠ABC.
∴△DBE≌△ABC.
∴DE=AC,
又∵△ACF是等边三角形,
∴AC=AF.∴DE=AF.
同理可得△ABC≌△FEC,
∴EF=BA=DA.
∵DE=AF,DA=EF,
∴四边形ADEF为平行四边形.
(2)若四边形ADEF为矩形,则∠DAF=90°,
∵∠DAB=∠FAC=60°,
∴∠BAC=360°-∠DAB-∠FAC-∠DAF=360°-60°-60°-90°=150°.
∴当△ABC满足∠BAC=150°时,四边形ADEF是矩形.
拓展角度2 利用矩形的性质探究动点的位置问题
11.如图,在矩形ABCD中,AB=12 cm,BC=6 cm,点P沿AB边从点A开始向点B以2 cm/s的速度移动,点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动,如果P,Q同时出发,用t(s)表示移动的时间(0≤t≤6).
(1)当t为何值时,△QAP为等腰三角形
(2)求四边形QAPC的面积,并探索一个与计算结果有关的结论.
11.解:(1)由题意得DQ=t cm,AP=2t cm,∴AQ=(6-t)cm.若△QAP为等腰三角形,则只能是AQ=AP,于是6-t=2t,∴t=2.故当t=2时,△QAP为等腰三角形.
S四边形QAPC=S矩形ABCD-S△CDQ-
S△BPC=12×6-×12t-×(12-2t)×6=72-6t-36+6t=36(cm2).
结论:在点P,Q的移动过程中,四边形QAPC的面积始终不变,为36 cm2.
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18.2 特殊的平行四边形
第1课时 矩形及其性质
夯基训练
知识点1 矩形的定义
1.如图,四边形ABCD的对角线互相平分,要使它变为矩形,需要添加的条件是( )
A.AB=CD B.AD=BC
C.∠AOB=45° D.∠ABC=90°
知识点2 矩形的边角性质
2.如图,点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点,且AD=DE,连接BE交CD于点O,连接AO,下列结论中不正确的是( )
A.△AOB≌△BOC B.△BOC≌△EOD
C.△AOD≌△EOD D.△AOD≌△BOC
知识点3 矩形的对角线性质
3.在 ABCD中,AB=3,BC=4,连接AC,BD,当 ABCD的面积最大时,下列结论正确的有( )21m
①AC=5;②∠BAD+∠BCD=180°;③AC⊥BD;④AC=BD.
①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④
知识点4 直角三角形斜边上中线的性质
4.如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．
(1)若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长；
(2)求证：EF垂直平分AD.
5.如图,在矩形ABCD中,O为AC的中点,EF过O点且EF⊥AC分别交DC,AB于点F,E,点G是AE的中点,且∠AOG=30°,则下列结论正确的有( )21·世纪*教育网
①DC=3OG;②OG=BC;③△OGE是等边三角形;④S△AOE=S矩形ABCD.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
题型总结
题型1 利用矩形对角线性质证线段或角相等
6.如图，在矩形ABCD中，以顶点B为圆心、边BC长为半径作弧，交AD边于点E，连接BE，过C点作CF⊥BE于F.求证：BF＝AE.
7.如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED.求证：AE平分∠BAD.
题型2运用矩形的性质求线段或角
8.在矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD＝90°，矩形ABCD的周长为24cm，则AB长为( )
A．1cm B．2cm C．2.5cm D．4cm
题型3 利用矩形的边角性质求面积
9.如图，矩形ABCD的对角线的交点为O，EF过点O且分别交AB，CD于点E，F，则图中阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的( )
A. B. C. D.
拓展培优
拓展角度1 利用矩形的定义探究条件问题(逆向思维法)
10.如图所示,以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形,即△ABD,△BCE,△ACF,连接DE,EF.请回答下列问题:
(1)四边形ADEF是什么四边形 并说明理由.
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADEF是矩形
拓展角度2 利用矩形的性质探究动点的位置问题
11.如图,在矩形ABCD中,AB=12 cm,BC=6 cm,点P沿AB边从点A开始向点B以2 cm/s的速度移动,点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动,如果P,Q同时出发,用t(s)表示移动的时间(0≤t≤6).
(1)当t为何值时,△QAP为等腰三角形
(2)求四边形QAPC的面积,并探索一个与计算结果有关的结论.
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