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18.2.2 菱形
第 1 课时 菱形的性质
夯基训练
知识点1 菱形的定义
1.如图,若要使平行四边形ABCD成为菱形,则需要添加的条件是( )
A.AB=CD B.AD=BC
C.AB=BC D.AC=BD
知识点2 菱形的边的性质
2.如图,在菱形ABCD中,AB=8,点E,F分别在AB,AD上,且AE=AF,过点E作EG∥AD交CD于点G,过点F作FH∥AB交BC于点H,EG与FH交于点O,当四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12时,AE的长为( )21cnjy.com
A.6.5 B.6 C.5.5 D.5
知识点3菱形的对角线的性质
3.如图,四边形ABCD是菱形,AC=8,DB=6,DH⊥AB于H,则DH等于( )
A. B. C.5 D.4
知识点4菱形的对称性
4.菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图,顶点B(2,0),∠DOB=60°,点P是对角线OC上一个动点,E(0,-1),则EP+BP的最小值为 . com
题型总结
题型1 利用菱形的性质解与三角形中位线相关问题
5.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是边AB,AD的中点.
(1)请判断△OEF的形状,并说明理由;
(2)若AB=13,AC=10,请求出线段EF的长.
题型2 利用菱形的性质解与平行四边形相关问题
6.(2016·苏州)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.版权所有
(1)证明:四边形ACDE是平行四边形;
(2)若AC=8,BD=6,求△ADE的周长.
如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD＝5cm，OD＝3cm.过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC，CE与BE相交于点E.
(1)求OC的长；
(2)求四边形OBEC的面积．
题型3利用菱形的性质证明线段和角相等
8.如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB延长线于E，CF⊥AD交AD延长线于F.求证：CE＝CF.
9.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，求证：∠DHO＝∠DCO.
拓展培优
拓展角度1 利用菱形的性质探究菱形的条件
10.感知：如图①，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别在边AB、AD上．若AE＝DF，易知△ADE≌△DBF.
探究：如图②，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别在BA、AD的延长线上．若AE＝DF，△ADE与△DBF是否全等？如果全等，请证明；如果不全等，请说明理由．
拓展：如图③，在 ABCD中，AD＝BD，点O是AD边的垂直平分线与BD的交点，点E、F分别在OA、AD的延长线上．若AE＝DF，∠ADB＝50°，∠AFB＝32°，求∠ADE的度数．
11.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D,E分别是BC,BA的中点,连接DE并延长至F,使AF=AE.21·世纪*教育网
(1)证明:四边形ACEF是平行四边形;
(2)若四边形ACEF是菱形,求∠B的度数.
拓展角度2 利用菱形的性质解旋转问题
12.如图,在△ABC中,AB=AC=1,∠BAC=45°,△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的,连接BE,CF相交于点D.www-2-1-cnjy-com
(1)求证:BE=CF;
(2)当四边形ACDE为菱形时,求BD的长.
拓展角度3 菱形的面积
13.已知菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD＝120°，AC＝4，则该菱形的面积是( )
A．16 B．8 C．4 D．8
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18.2.2 菱形
第 1 课时 菱形的性质
参考答案与试题解析
夯基训练
知识点1 菱形的定义
1.如图,若要使平行四边形ABCD成为菱形,则需要添加的条件是( )
A.AB=CD B.AD=BC
C.AB=BC D.AC=BD
1.【答案】C
解：因为有一组邻边相等的平行四边形是菱形,所以由选项知可添加的条件是AB=BC.故选C.
知识点2 菱形的边的性质
2.如图,在菱形ABCD中,AB=8,点E,F分别在AB,AD上,且AE=AF,过点E作EG∥AD交CD于点G,过点F作FH∥AB交BC于点H,EG与FH交于点O,当四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12时,AE的长为( )21cnjy.com
A.6.5 B.6 C.5.5 D.5
2.【答案】C
知识点3菱形的对角线的性质
3.如图,四边形ABCD是菱形,AC=8,DB=6,DH⊥AB于H,则DH等于( )
A. B. C.5 D.4
3【答案】A
解：设菱形的两条对角线相交于O,根据菱形的性质求出AO=4,OB=3,∠AOB=90°,根据勾股定理求出AB,再根据菱形的面积求法求解即可.
知识点4菱形的对称性
4.菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图,顶点B(2,0),∠DOB=60°,点P是对角线OC上一个动点,E(0,-1),则EP+BP的最小值为 . com
4.【答案】
解：连接ED交OC于点P,连接BP,如图,易得此时EP+BP的值最小,为DE的长.延长CD交y轴于点F,易知CF⊥y轴.∵四边形ABCD是菱形,顶点B(2,0),∠DOB=60°,∴DF=1,∴AF=,∴EF=1+.由勾股定理得DE=
,即EP+BP的最小值为
题型总结
题型1 利用菱形的性质解与三角形中位线相关问题
5.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是边AB,AD的中点.
(1)请判断△OEF的形状,并说明理由;
(2)若AB=13,AC=10,请求出线段EF的长.
5.解:(1)△OEF是等腰三角形.理由:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,AC⊥BD.
∵点E,F分别是边AB,AD的中点,
∴EO=AB,FO=AD.
∴EO=FO.∴△OEF是等腰三角形.
(2)∵四边形ABCD是菱形,∠AOB=90°,AO=AC=×10=5.
又∵AB=13,∴BO===12.
∴BD=24.
∵点E,F分别是边AB,AD的中点,
∴EF=BD=×24=12.
题型2 利用菱形的性质解与平行四边形相关问题
6.(2016·苏州)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.版权所有
(1)证明:四边形ACDE是平行四边形;
(2)若AC=8,BD=6,求△ADE的周长.
6.(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB∥CD,AC⊥BD.
∵DE⊥BD,
∴DE∥AC.
∴四边形ACDE是平行四边形.
(2)解:∵四边形ABCD是菱形,AC=8,BD=6,
∴AO=4,DO=3,AD=CD=5.
∵四边形ACDE是平行四边形,
∴AE=CD=5,DE=AC=8.
∴△ADE的周长为AD+AE+DE=5+5+8=18.
如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD＝5cm，OD＝3cm.过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC，CE与BE相交于点E.
(1)求OC的长；
(2)求四边形OBEC的面积．
7.解析：(1)在直角三角形OCD中，利用勾股定理即可求解；(2)利用矩形的定义即可证明四边形OBEC为矩形，再利用矩形的面积公式即可直接求解．
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.在直角三角形OCD中，OC＝＝＝4(cm)；
(2)∵CE∥DB，BE∥AC，∴四边形OBEC为平行四边形．又∵AC⊥BD，即∠COB＝90°，∴平行四边形OBEC为矩形．∵OB＝OD，∴S矩形OBEC＝OB·OC＝4×3＝12(cm2)．
方法总结：菱形的对角线互相垂直，则菱形对角线将菱形分成四个直角三角形，所以可以利用勾股定理解决一些计算问题．
题型3利用菱形的性质证明线段和角相等
8.如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB延长线于E，CF⊥AD交AD延长线于F.求证：CE＝CF.
解析：连接AC.根据菱形的性质可得AC平分
∠DAB，再根据角平分线的性质可得CE＝FC.
证明：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAB.∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF.
方法总结：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
9.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，求证：∠DHO＝∠DCO.
9.解析：根据“菱形的对角线互相平分”可得OD＝OB，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得OH＝OB，∠OHB＝∠OBH，根据“两直线平行，内错角相等”求出∠OBH＝∠ODC，然后根据“等角的余角相等”证明即可．
证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OD＝OB，∠COD＝90°.∵DH⊥AB，∴OH＝BD＝OB，∴∠OHB＝∠OBH.又∵AB∥CD，∴∠OBH＝∠ODC，∴∠OHB＝∠ODC.在Rt△COD中，∠ODC＋∠DCO＝90°.在Rt△DHB中，∠DHO＋∠OHB＝90°，∴∠DHO＝∠DCO.
方法总结：本题考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及等角的余角相等，熟记各性质并理清图中角度的关系是解题的关键．
拓展培优
拓展角度1 利用菱形的性质探究菱形的条件
10.感知：如图①，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别在边AB、AD上．若AE＝DF，易知△ADE≌△DBF.
探究：如图②，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别在BA、AD的延长线上．若AE＝DF，△ADE与△DBF是否全等？如果全等，请证明；如果不全等，请说明理由．
拓展：如图③，在 ABCD中，AD＝BD，点O是AD边的垂直平分线与BD的交点，点E、F分别在OA、AD的延长线上．若AE＝DF，∠ADB＝50°，∠AFB＝32°，求∠ADE的度数．
10.解析：探究：△ADE与△DBF全等，利用菱形的性质首先证明三角形ABD为等边三角形，再利用全等三角形的判定方法即可证明△ADE≌△DBF；拓展：因为点O在AD的垂直平分线上，所以OA＝OD，再通过证明△ADE≌△DBF，利用全等三角形的性质即可求出∠ADE的度数．
解：探究：△ADE与△DBF全等．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD.∵AB＝BD，∴AB＝AD＝BD，∴△ABD为等边三角形，∴∠DAB＝∠ADB＝60°，∴∠EAD＝∠FDB＝120°.∵AE＝DF，∴△ADE≌△DBF；
拓展：∵点O在AD的垂直平分线上，∴OA＝OD.∴∠DAO＝∠ADB＝50°，∴∠EAD＝∠FDB＝130°.∵AE＝DF，AD＝DB，∴△ADE≌△DBF，∴∠DEA＝∠AFB＝32°，∴∠EDA＝∠OAD－∠DEA＝18°.
方法总结：本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质的综合运用，解题时一定要熟悉相关的基础知识并进行联想．
11.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D,E分别是BC,BA的中点,连接DE并延长至F,使AF=AE.21·世纪*教育网
(1)证明:四边形ACEF是平行四边形;
(2)若四边形ACEF是菱形,求∠B的度数.
11.(1)证明:在△ABC中,∵∠ACB=90°,点E是BA的中点,
∴CE=AE=BE.
又∵AF=AE,∴AF=CE.
在△BEC中,∵BE=CE且点D是BC的中点,
∴ED是等腰三角形BEC底边上的中线,ED也是等腰三角形BEC的顶角平分线.
∴∠BED=∠CED.
∵AF=AE,∴∠F=∠AEF.
又∵∠BED=∠AEF,
∴∠F=∠CED.
∴CE∥AF.又∵CE=AF,
∴四边形ACEF是平行四边形.
(2)解:∵四边形ACEF是菱形,
∴AC=CE.
由(1)知,AE=CE,∴AC=CE=AE.
∴△AEC是等边三角形.
∴∠CAE=60°.
∴在Rt△ABC中,∠B=90°-∠CAE=90°-60°=30°.
拓展角度2 利用菱形的性质解旋转问题
12.如图,在△ABC中,AB=AC=1,∠BAC=45°,△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的,连接BE,CF相交于点D.www-2-1-cnjy-com
(1)求证:BE=CF;
(2)当四边形ACDE为菱形时,求BD的长.
12.(1)证明:由旋转可知,AF=AC,AE=AB,∠BAE=∠CAF.
∵AB=AC,∴AE=AF.
∴△ABE≌△ACF.∴BE=CF.
(2)解:∵四边形ACDE是菱形,AB=AC=1,
∴AC∥DE,DE=AE=AB=AC=1.
又∵∠BAC=45°,
∴∠AEB=∠ABE=∠BAC=45°.
∵∠AEB+∠BAE+∠ABE=180°,
∴∠BAE=90°.
∴BE===.
∴BD=BE-DE=-1.
拓展角度3 菱形的面积
13.已知菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD＝120°，AC＝4，则该菱形的面积是( )
A．16 B．8 C．4 D．8
13.解析：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，OA＝AC＝2，OB＝BD，AC⊥BD，∠BAD＋∠ABC＝180°.∵∠BAD＝120°，∴∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝4，∴OB＝＝＝2，∴BD＝2OB＝4，∴S菱形ABCD＝AC·BD＝×4×4＝8.故选B.
方法总结：菱形的面积有三种计算方法：①将其看成平行四边形，用底与高的积来求；②对角线分得的四个全等三角形面积之和；③两条对角线的乘积的一半．
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