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18.2.3正方形
第 1 课时 正方形的性质
参考答案与试题解析
夯基训练
知识点1 正方形的定义
1.下面四个定义中不正确的是( )
A.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
B.有一组邻边相等的四边形叫做菱形
C.有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
D.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
1.【答案】有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，故选B
知识点2 正方形的性质
2.如图,正方形ABCD的面积为1,则以相邻两边中点连线EF为边的正方形EFGH的周长为( )【来源：21·世纪·教育·网】
B.2 C.+1 D.2+1
2.【答案】B
解：由正方形的性质和已知条件得出BC=CD=1,∠BCD=90°,CE=CF=,所以△CEF是等腰直角三角形.再利用勾股定理求出EF的长,即可得出正方形EFGH的周长.
3.如图,正方形ABCD的边长为6,点E,F分别在AB,AD上,若CE=3,且∠ECF=45°,则CF的长为( )21·世纪*教育网
A.2 B.3
D.
3【答案】A
解：延长AB至点F',使BF'=DF,连接CF',EF,先证明Rt△CDF≌Rt△CBF',再证明△ECF≌△ECF',得出EF=EF',最后在Rt△AEF中,利用勾股定理、方程思想解决问题.
4.如图,正方形ABCD的边长为9,将正方形折叠,使顶点D落在BC边上的点E处,折痕为GH.若BE∶EC=2∶1,则线段CH的长是( )www-2-1-cnjy-com
A.3 B.4 C.5 D.6
4.【答案】B
解：根据折叠的性质可得DH=EH,在Rt△CEH中,若设CH=x,则DH=EH=9-x,EC=3,可以根据勾股定理列出方程,从而得出CH的长.
5.菱形，矩形，正方形都具有的性质是( )
A．对角线相等且互相平分
B．对角线相等且互相垂直平分
C．对角线互相平分
D．四条边相等，四个角相等
5.解析：选项A不正确，菱形的对角线不相等；选项B不正确，菱形的对角线不相等，矩形的对角线不互相垂直；选项C正确，三者均具有此性质；选项D不正确，矩形的四条边不相等，菱形的四个角不相等．故选C.
方法总结：正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的所有性质．
题型总结
题型1 正方形的性质
6.如图,在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE,连接BE,CE.
(1)求证:BE=CE;
(2)求∠BEC的度数.
6.(1)证明:∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=AD=CD,∠BAD=∠ADC=90°.
∵三角形ADE为等边三角形,
∴AE=AD=DE,∠EAD=∠EDA=60°.
∴∠BAE=∠CDE=150°.
∴△BAE≌△CDE.∴BE=CE.
(2)解:∵AB=AD,AD=AE,
∴AB=AE.
∴∠ABE=∠AEB.
又∵∠BAE=150°,
∴∠ABE=∠AEB=15°.
同理可得∠CED=15°,
∴∠BEC=60°-15°×2=30°.
题型2 利用正方形性质判定图形形状
7.如图,点E是正方形ABCD外一点,点F是线段AE上一点,△EBF是等腰直角三角形,其中∠EBF=90°,连接CE,CF.
(1)求证:△ABF≌△CBE;
(2)判断△CEF的形状,并说明理由.
7.(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=CB,∠ABC=90°.
∵△EBF是等腰直角三角形,其中∠EBF=90°,
∴BE=BF.
∴∠ABC-∠CBF=∠EBF-∠CBF.
∴∠ABF=∠CBE.
在△ABF和△CBE中,
有
∴△ABF≌△CBE(SAS).
(2)解:△CEF是直角三角形.理由如下:
∵△EBF是等腰直角三角形,
∴∠BFE=∠FEB=45°.
∴∠AFB=180°-∠BFE=135°.
又∵△ABF≌△CBE,
∴∠CEB=∠AFB=135°.
∴∠CEF=∠CEB-∠FEB=135°-45°=90°.
∴△CEF是直角三角形.
题型3 利用正方形的性质解决线段的计算或证明问题
8.如图所示，正方形ABCD的边长为1，AC是对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC于点F.
(1)求证：BE＝CF；
(2)求BE的长．
8.解析：(1)由角平分线的性质可得到BE＝EF，再证明△CEF为等腰直角三角形，即可证BE＝CF；(2)设BE＝x，在△CEF中可表示出CE.由BC＝1，可列出方程，即可求得BE.
(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝90°.∵EF⊥AC，∴∠EFA＝90°.∵AE平分∠BAC，∴BE＝EF.又∵AC是正方形ABCD的对角线，∴AC平分∠BCD，∴∠ACB＝45°，∴∠FEC＝∠FCE＝45°，∴EF＝FC，∴BE＝CF；
(2)解：设BE＝x，则EF＝CF＝x，CE＝1－x.在Rt△CEF中，由勾股定理可得CE＝x.∴x＝1－x，解得x＝－1，即BE的长为－1.
方法总结：正方形被每条对角线分成两个直角三角形，被两条对角线分成四个等腰直角三角形，因此正方形的计算问题可以转化到直角三角形和等腰直角三角形中去解决．
题型4利用正方形的性质解决角的计算或证明问题
9.在正方形ABCD中，点F是边AB上一点，连接DF，点E为DF的中点．连接BE、CE、AE.
(1)求证：△AEB≌△DEC；
(2)当EB＝BC时，求∠AFD的度数．
9.解析：(1)根据“正方形的四条边都相等”可得AB＝CD，根据“正方形每一个角都是直角”可得∠BAD＝∠ADC＝90°，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得AE＝EF＝DE＝DF，根据“等边对等角”可得∠EAD＝∠EDA，再得出∠BAE＝∠CDE，然后利用“SAS”证明即可；(2)根据“全等三角形对应边相等”可得EB＝EC，再得出△BCE是等边三角形．根据等边三角形的性质可得∠EBC＝60°，然后求出∠ABE＝30°.再根据“等腰三角形两底角相等”求出∠BAE，然后根据“等边对等角”可得∠AFD＝∠BAE.
(1)证明：在正方形ABCD中，AB＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°.∵点E为DF中点，∴AE＝EF＝DE＝DF，∴∠EAD＝∠EDA.∵∠BAE＝∠BAD－∠EAD，∠CDE＝∠ADC－∠EDA，∴∠BAE＝∠CDE.在△AEB和△DEC中，
∴△AEB≌△DEC(SAS)；
(2)解：∵△AEB≌△DEC，∴EB＝EC.∵EB＝BC，∴EB＝BC＝EC，∴△BCE是等边三角形，∴∠EBC＝60°，∴∠ABE＝90°－60°＝30°.∵EB＝BC＝AB，∴∠BAE＝×(180°－30°)＝75°.又∵AE＝EF，∴∠AFD＝∠BAE＝75°.
方法总结：正方形是最特殊的平行四边形，在正方形中进行计算时，要注意计算出相关的角的度数，要注意分析图形中有哪些相等的线段等．
拓展培优
拓展角度1 利用三角形、正方形的性质探究两线段间的关系
10.如图①,在正方形ABCD的外侧作两个等边三角形ADE和DCF,连接AF,BE.
(1)请判断:AF与BE的数量关系是 ,位置关系是 .
(2)如图②,若将条件“两个等边三角形ADE和DCF”变为“两个等腰三角形ADE和DCF,且EA=ED=FD=FC”,第(1)问中的结论是否仍然成立 请作出判断并说明理由.21cnjy.com
(3)若△ADE和△DCF为一般三角形,且AE=DF,ED=FC,第(1)问中的结论都能成立吗 请直接写出你的判断.
10.解:(1)AF=BE;AF⊥BE
(2)结论成立.
理由:∵四边形ABCD是正方形,
∴BA=AD=DC,∠BAD=∠ADC=90°.
在△EAD和△FDC中,
∴△EAD≌△FDC.
∴∠EAD=∠FDC.
∴∠EAD+∠DAB=∠FDC+∠CDA,即∠BAE=∠ADF.
在△BAE和△ADF中,
∴△BAE≌△ADF.
∴BE=AF,∠ABE=∠DAF.
∵∠DAF+∠BAF=90°,
∴∠ABE+∠BAF=90°.
∴AF⊥BE.
(3)结论都能成立.
拓展角度2利用正方形的性质探究改变条件时的结论情况(类比思想)
11.如图①,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,点E在AD的延长线上,且PA=PE,PE交CD于F.1-cn-jy.com
(1)证明:PC=PE;
(2)求∠CPE的度数;
(3)如图②,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变,当∠ABC=120°时,连接CE,试探究线段AP与线段CE的数量关系,并说明理由.版权所有
11.(1)证明:方法一:∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=CD,∠ADP=∠CDP.
在△ADP和△CDP中,
∴△ADP≌△CDP.∴PA=PC.
∵PA=PE,∴PC=PE.
方法二:∵四边形ABCD是正方形,
∴直线BD是此正方形的一条对称轴,点A,C关于直线BD对称.
又∵P是BD上一点,∴PA=PC.
∵PA=PE,∴PC=PE.
(2)解:∵四边形ABCD为正方形,
∴∠ADC=90°.
∴∠CDE=90°.
∴∠E+∠DFE=90°.
∵PA=PE,∴∠PAD=∠E.
又∵△ADP≌△CDP,
∴∠PAD=∠PCD.
∴∠PCD=∠E.
∵∠PFC=∠DFE,∴∠PCD+∠PFC=∠E+∠DFE=90°.
∴∠CPE=90°.
(3)解:CE=AP.理由:
易证△ADP≌△CDP,
∴PA=PC,∠PAD=∠PCD.
∵PA=PE,
∴PC=PE,∠PAE=∠PEA.
∴∠PEA=∠PCD.
∵∠EFC=∠CPE+∠PCD=∠CDE+∠PEA,
∴∠CPE=∠CDE.
∵四边形ABCD为菱形,∠ABC=120°,∴∠ADC=120°.
∴∠CDE=60°.∴∠CPE=60°.
∵PC=PE,∴△PCE是等边三角形.∴CE=PE.
∵PE=PA,∴CE=AP.
拓展角度3利用正方形的性质解决线段的倍、分、和、差关系
12.如图，AE是正方形ABCD中∠BAC的平分线，AE分别交BD、BC于F、E，AC、BD相交于O.求证：
(1)BE＝BF；
(2)OF＝CE.
12.解析：(1)根据正方形的性质可求得∠ABE＝∠AOF＝90°.由于AE是正方形ABCD中∠BAC的平分线，根据“等角的余角相等”即可求得∠AFO＝∠AEB.根据“对顶角相等”即可求得∠BFE＝∠AEB，BE＝BF；(2)连接O和AE的中点G.根据三角形的中位线的性质即可证得OG∥BC，OG＝CE.根据平行线的性质即可求得∠OGF＝∠FEB，从而证得∠OGF＝∠AFO，OG＝OF，进而证得OF＝CE.
证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∴∠ABE＝∠AOF＝90°，∴∠BAE＋∠AEB＝∠CAE＋∠AFO＝90°.∵AE是∠BAC的平分线，∴∠CAE＝∠BAE，∴∠AFO＝∠AEB.又∵∠AFO＝∠BFE，∴∠BFE＝∠AEB，∴BE＝BF；
(2)连接O和AE的中点G.∵AO＝CO，AG＝EG，∴OG∥BC，OG＝CE，∴∠OGF＝∠FEB.∵∠AFO＝∠AEB，∴∠OGF＝∠AFO，∴OG＝OF，∴OF＝CE.
方法总结：在正方形的条件下证明线段的关系，通常的方法是连接对角线构造垂直平分线，利用垂直平分线的性质、中位线定理、角平分线、等腰三角形等知识来证明，有时也利用全等三角形来解决．
13.如图，正方形AFCE中，D是边CE上一点，B是CF延长线上一点，且AB＝AD，若四边形ABCD的面积是24cm2.则AC长是________cm.
13.解析：∵四边形AFCE是正方形，∴AF＝AE，∠E＝∠AFC＝∠AFB＝90°.在Rt△AED和Rt△AFB中，∴Rt△AED≌Rt△AFB(HL)，∴S△AED＝S△AFB.∵S四边形ABCD＝24cm2，∴S正方形AFCE＝24cm2，∴AE＝EC＝2cm.根据勾股定理得AC＝＝4(cm)．故答案为4.
方法总结：在解决与面积相关的问题时，可通过证三角形全等实现转化，使不规则图形的面积转变成我们熟悉的图形面积，从而解决问题．
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18.2.3正方形
第 1 课时 正方形的性质
夯基训练
知识点1 正方形的定义
1.下面四个定义中不正确的是( )
A.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
B.有一组邻边相等的四边形叫做菱形
C.有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
D.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
知识点2 正方形的性质
2.如图,正方形ABCD的面积为1,则以相邻两边中点连线EF为边的正方形EFGH的周长为( )【来源：21·世纪·教育·网】
B.2 C.+1 D.2+1
3.如图,正方形ABCD的边长为6,点E,F分别在AB,AD上,若CE=3,且∠ECF=45°,则CF的长为( )21·世纪*教育网
A.2 B.3
D.
4.如图,正方形ABCD的边长为9,将正方形折叠,使顶点D落在BC边上的点E处,折痕为GH.若BE∶EC=2∶1,则线段CH的长是( )www-2-1-cnjy-com
A.3 B.4 C.5 D.6
5.菱形，矩形，正方形都具有的性质是( )
A．对角线相等且互相平分
B．对角线相等且互相垂直平分
C．对角线互相平分
D．四条边相等，四个角相等
题型总结
题型1 正方形的性质
6.如图,在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE,连接BE,CE.
(1)求证:BE=CE;
(2)求∠BEC的度数.
题型2 利用正方形性质判定图形形状
7.如图,点E是正方形ABCD外一点,点F是线段AE上一点,△EBF是等腰直角三角形,其中∠EBF=90°,连接CE,CF.
(1)求证:△ABF≌△CBE;
(2)判断△CEF的形状,并说明理由.
题型3 利用正方形的性质解决线段的计算或证明问题
8.如图所示，正方形ABCD的边长为1，AC是对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC于点F.
(1)求证：BE＝CF；
(2)求BE的长．
题型4利用正方形的性质解决角的计算或证明问题
9.在正方形ABCD中，点F是边AB上一点，连接DF，点E为DF的中点．连接BE、CE、AE.
(1)求证：△AEB≌△DEC；
(2)当EB＝BC时，求∠AFD的度数．
拓展培优
拓展角度1 利用三角形、正方形的性质探究两线段间的关系
10.如图①,在正方形ABCD的外侧作两个等边三角形ADE和DCF,连接AF,BE.
(1)请判断:AF与BE的数量关系是 ,位置关系是 .
(2)如图②,若将条件“两个等边三角形ADE和DCF”变为“两个等腰三角形ADE和DCF,且EA=ED=FD=FC”,第(1)问中的结论是否仍然成立 请作出判断并说明理由.21cnjy.com
(3)若△ADE和△DCF为一般三角形,且AE=DF,ED=FC,第(1)问中的结论都能成立吗 请直接写出你的判断.
拓展角度2利用正方形的性质探究改变条件时的结论情况(类比思想)
11.如图①,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,点E在AD的延长线上,且PA=PE,PE交CD于F.1-cn-jy.com
(1)证明:PC=PE;
(2)求∠CPE的度数;
(3)如图②,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变,当∠ABC=120°时,连接CE,试探究线段AP与线段CE的数量关系,并说明理由.版权所有
拓展角度3利用正方形的性质解决线段的倍、分、和、差关系
12.如图，AE是正方形ABCD中∠BAC的平分线，AE分别交BD、BC于F、E，AC、BD相交于O.求证：
(1)BE＝BF；
(2)OF＝CE.
13.如图，正方形AFCE中，D是边CE上一点，B是CF延长线上一点，且AB＝AD，若四边形ABCD的面积是24cm2.则AC长是________cm.
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