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19.1.2 函数的图象
第1课时 函数的图象
夯基训练
知识点1 函数的图象
1.下列各图给出了变量x与y之间的对应关系，其中y是x的函数的是( )
2.3月20日，小彬全家开车前往铜梁看油菜花，车刚离开家时，由于车流量大，行进非常缓慢，十几分钟后，汽车终于行驶在高速公路上，大约三十分钟后，汽车顺利到达铜梁收费站，停车交费后，汽车驶入通畅的城市道路，二十多分钟后顺利到达了油菜花基地，在以上描述中，汽车行驶的路程s(千米)与所经历的时间t(分钟)之间的大致函数图象是( )
3.如图,是一台自动测温记录仪的图象,它反映了我市冬季某天气温T随时间t变化而变化的关系,观察图象得到下列信息,其中错误的是( )2
A.凌晨4时气温最低为-3 ℃
B.14时气温最高为8 ℃
C.从0时至14时,气温随时间增长而上升
D.从14时至24时,气温随时间增长而下降
4.甲、乙两人在操场上赛跑,他们赛跑的路程s(米)与时间t(分钟)之间的函数关系如图所示,则下列说法错误的是( )2·1·c·n·j·y
A.甲、乙两人进行1 000米赛跑
B.甲先慢后快,乙先快后慢
C.比赛到2分钟时,甲、乙两人跑过的路程相等
D.甲先到达终点
知识点2 用描点法画函数的图象
5.下雨时在室外放置一个无盖的容器，如果雨水均匀地落入容器，容器水面高度h与时间t的函数图象如图所示，那么这个容器的形状可能是( )
6.画出函数y=2x-1的图象.
(1)列表:
x … -1 0 1 …
y … -3 -1 1 …
(2)描点并连线;
(3)判断点A(-3,-5),B(2,-3),C(3,5)是否在函数y=2x-1的图象上;
(4)若点P(m,9)在函数y=2x-1的图象上,求出m的值.
题型总结
题型1 利用描点法画函数的图象(描点法)
7.(1)画出函数y=x2的图象;
(2)画出函数y=x+1的图象;
(3)试判断点(-3,-2)是否在上述函数图象上.
题型2 利用图象与情景间的关系互化
8.小明骑单车上学，当他骑了一段时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校，以下是他本次所用的时间与路程的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：
(1)小明家到学校的路程是多少米？
(2)小明在书店停留了多少分钟？
(3)本次上学途中，小明一共行驶了多少米？一共用了多少分钟？
(4)我们认为骑单车的速度超过300米/分就超越了安全限度．问：在整个上学的途中哪个时间段小明骑车速度最快，速度在安全限度内吗？
9.在如图所示的三个函数图象中,有两个函数图象能近似地刻画如下a,b两个情境:
情境a:小芳离开家不久,发现把作业本忘在家里,于是返回家里找到了作业本再去学校;
情境b:小芳从家出发,走了一段路程后,为了赶时间,以更快的速度前进.
(1)情境a,b所对应的函数图象分别为________;(填写序号)
(2)请你为剩下的函数图象写出一个适合的情境.
拓展培优
拓展角度1利用图象反映的信息说明其数学意义
10.已知某一函数的图象如图所示,根据图象回答下列问题:
(1)确定自变量的取值范围.
(2)当x=-4,-2,4时,y的值分别是多少
(3)当y=0,4时,x的值分别是多少
(4)当x取何值时,y的值最大 当x取何值时,y的值最小
(5)当x的值在什么范围内时,y随x的增大而增大 当x的值在什么范围内时,y随x的增大而减小
拔尖角度2利用图象反映的信息说明其实际意义
11. 如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→B→C→D→A，设P点经过的路程为x，以点A，P，B为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反应y与x的函数关系的是( )
12.某天早晨,张强从家跑步去体育场锻炼,同时妈妈从体育场晨练结束回家,途中两人相遇,张强跑到体育场后发现要下雨,立即按原路返回,遇到妈妈后两人一起回到家(张强和妈妈始终在同一条笔直的公路上行走).如图是两人离家的距离y(米)与张强出发的时间x(分)之间的函数图象.根据图象信息解答下列问题:2-1-c-n-j-y
(1)求张强返回时的速度.
(2)妈妈比按原速返回提前多少分到家
(3)请直接写出张强与妈妈何时相距1 000米.
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19.1.2 函数的图象
第1课时 函数的图象
参考答案与试题解析
夯基训练
知识点1 函数的图象
1.下列各图给出了变量x与y之间的对应关系，其中y是x的函数的是( )
1.解析：∵对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，选项A对于x的每一个取值，y都有两个值，故A错误；选项B对于x的每一个取值，y都有两个值，故B错误；选项C对于x的每一个取值，y都有两个值，故C错误；选项D对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，故D正确．故选D.
方法总结：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应．
2.3月20日，小彬全家开车前往铜梁看油菜花，车刚离开家时，由于车流量大，行进非常缓慢，十几分钟后，汽车终于行驶在高速公路上，大约三十分钟后，汽车顺利到达铜梁收费站，停车交费后，汽车驶入通畅的城市道路，二十多分钟后顺利到达了油菜花基地，在以上描述中，汽车行驶的路程s(千米)与所经历的时间t(分钟)之间的大致函数图象是( )
2.解析：行进缓慢，路程增加较慢；在高速路上行驶，路程迅速增加；停车交费，路程不变；驶入通畅的城市道路，路程增加但增加的比高速路上慢，故B符合题意．故选B.
方法总结：此类题目，理解题意是解题关键，根据题干中提供的信息，及生活实际判断图象各阶段的变化情况和特征．
3.如图,是一台自动测温记录仪的图象,它反映了我市冬季某天气温T随时间t变化而变化的关系,观察图象得到下列信息,其中错误的是( )2
A.凌晨4时气温最低为-3 ℃
B.14时气温最高为8 ℃
C.从0时至14时,气温随时间增长而上升
D.从14时至24时,气温随时间增长而下降
3.【答案】C
解:A.∵由图象可知,在凌晨4时函数图象在最低点,∴凌晨4时气温最低为-3 ℃,故本选项正确;B.∵由图象可知,在14时函数图象在最高点,∴14时气温最高为8 ℃,故本选项正确;C.∵由图象可知,从4时至14时,气温随时间增长而上升,不是从0时,故本选项错误;D.∵由图象可知,14时至24时,气温随时间增长而下降,故本选项正确.故选C.
4.甲、乙两人在操场上赛跑,他们赛跑的路程s(米)与时间t(分钟)之间的函数关系如图所示,则下列说法错误的是( )2·1·c·n·j·y
A.甲、乙两人进行1 000米赛跑
B.甲先慢后快,乙先快后慢
C.比赛到2分钟时,甲、乙两人跑过的路程相等
D.甲先到达终点
4.【答案】C
解:观察函数图象可知:甲、乙两人进行1 000米赛跑;甲在前2.5分钟内,比乙慢,而在后面的时间内比乙快;甲跑完全程用时3.25分钟,乙跑完全程用时4分钟,所以甲先到达终点;比赛到2分钟时,甲跑的路程是500米,乙跑的路程是600米,两人跑过的路程不相等,综上可知选项A,B,D正确,选项C错误.
知识点2 用描点法画函数的图象
5.下雨时在室外放置一个无盖的容器，如果雨水均匀地落入容器，容器水面高度h与时间t的函数图象如图所示，那么这个容器的形状可能是( )
5.解析：根据图象可以得到，杯中水的高度h随注水时间t的增大而增大，而增加的速度越来越小．则杯子应该是越向上开口越大．故杯子的形状可能是B.故选B.
方法总结：解决此类问题，要在读懂题意的前提下，结合图象分析问题，并注意一些细节的描述，如在某段时间内的函数值的增减情况、变化趋势等．
6.画出函数y=2x-1的图象.
(1)列表:
x … -1 0 1 …
y … -3 -1 1 …
(2)描点并连线;
(3)判断点A(-3,-5),B(2,-3),C(3,5)是否在函数y=2x-1的图象上;
(4)若点P(m,9)在函数y=2x-1的图象上,求出m的值.
6.解:(2)如图.
(3)当x=-3时,y=2×(-3)-1=-7≠-5;当x=2时,y=2×2-1=3≠-3;当x=3时,y=2×3-1=5.∴点A,B不在函数y=2x-1的图象上,点C在其图象上.
(4)∵点P(m,9)在函数y=2x-1的图象上,∴2m-1=9,解得m=5.
题型总结
题型1 利用描点法画函数的图象(描点法)
7.(1)画出函数y=x2的图象;
(2)画出函数y=x+1的图象;
(3)试判断点(-3,-2)是否在上述函数图象上.
7.分析:(1)用描点法(即列表、描点、连线的方法)画出该函数的图象即可.因为自变量x的取值范围为全体实数,所以在列表时可在x=0的两侧对称地取x的值,然后计算出相应的y的值;(2)同(1)的方法画出即可;(3)将点(-3,-2)的坐标分别代入这两个函数解析式中,看它是否满足这两个函数解析式.
解:(1)取自变量的一些值,例如:x=…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…,计算出相应的函数值,可列表如下:
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 …
由这一系列的对应值,可以得到一系列的有序实数
对:…,(-3,4.5),(-2,2),(-1,0.5),(0,0),(1,0.5),(2,2),(3,4.5),….
在直角坐标系中,描出这些有序实数对的对应点,用平滑的曲线依次把这些点连接起来,便可得到这个函数的图象,如图①.
(2)取自变量的一些值,例如:x=…,-2,-1,0,1,2,…,计算出对应的函数值,可列表如下.
x … -2 -1 0 1 2 …
y … -1 0 1 2 3 …
由这一系列的对应值,可以得到一系列的有序实数
对:…,(-2,-1),(-1,0),(0,1),(1,2),(2,3),….
在直角坐标系中,描出这些有序实数对的对应点,然后用线连接起来,便可得到这个函数的图象,如图②.
(3)将x=-3代入y=x2,得y=×(-3)2=≠-2,
所以点(-3,-2)不在函数y=x2的图象上;
将x=-3代入y=x+1,得y=-3+1=-2,
所以点(-3,-2)在函数y=x+1的图象上.
题型2 利用图象与情景间的关系互化
8.小明骑单车上学，当他骑了一段时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校，以下是他本次所用的时间与路程的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：
(1)小明家到学校的路程是多少米？
(2)小明在书店停留了多少分钟？
(3)本次上学途中，小明一共行驶了多少米？一共用了多少分钟？
(4)我们认为骑单车的速度超过300米/分就超越了安全限度．问：在整个上学的途中哪个时间段小明骑车速度最快，速度在安全限度内吗？
8.解析：根据图象进行分析即可．
解：(1)根据图象，学校的纵坐标为1500，小明家的纵坐标为0，故小明家到学校的路程是1500米；
(2)根据题意，小明在书店停留的时间为从8分钟到12分钟，故小明在书店停留了4分钟；
(3)一共行驶的总路程为1200＋(1200－600)＋(1500－600)＝1200＋600＋900＝2700(米)；共用了14分钟；
(4)由图象可知：0～6分钟时，平均速度为＝200(米/分)；6～8分钟时，平均速度为＝300(米/分)；12～14分钟时，平均速度为＝450(米/分)．所以，12～14分钟时小明骑车速度最快，不在安全限度内．
方法总结：解读图象反映的信息，关键是理解横轴和纵轴表示的实际意义，解决问题的过程中体现了数形结合思想．
9.在如图所示的三个函数图象中,有两个函数图象能近似地刻画如下a,b两个情境:
情境a:小芳离开家不久,发现把作业本忘在家里,于是返回家里找到了作业本再去学校;
情境b:小芳从家出发,走了一段路程后,为了赶时间,以更快的速度前进.
(1)情境a,b所对应的函数图象分别为________;(填写序号)
(2)请你为剩下的函数图象写出一个适合的情境.
9.解:(1)③,①
(2)小芳离开家走了一段路程后来到了一个报亭,在报亭读了一段时间报后,按原路返回家(答案不唯一).
拓展培优
拓展角度1利用图象反映的信息说明其数学意义
10.已知某一函数的图象如图所示,根据图象回答下列问题:
(1)确定自变量的取值范围.
(2)当x=-4,-2,4时,y的值分别是多少
(3)当y=0,4时,x的值分别是多少
(4)当x取何值时,y的值最大 当x取何值时,y的值最小
(5)当x的值在什么范围内时,y随x的增大而增大 当x的值在什么范围内时,y随x的增大而减小
10.解:(1)-4≤x≤4.
(2)y的值分别是2,-2,0.
(3)当y=0时,x的值是-3,-1或4;
当y=4时,x的值是1.5.
(4)当x=1.5时,y的值最大;
当x=-2时,y的值最小.
(5)当-2≤x≤1.5时,y随x的增大而增大;当-4≤x≤-2或1.5≤x≤4时,y随x的增大而减小.
拔尖角度2利用图象反映的信息说明其实际意义
11. 如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→B→C→D→A，设P点经过的路程为x，以点A，P，B为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反应y与x的函数关系的是( )
11.解析：当点P由点A向点B运动，即0≤x≤4时，y的值为0；当点P在BC上运动，即4＜x≤8时，y随着x的增大而增大；当点P在CD上运动，即8＜
x≤12时，y不变；当点P在DA上运动，即12＜x≤16时，y随x的增大而减小．故选B.
方法总结：解决动点问题的函数图象问题关键是发现y随x的变化而变化的趋势．
12.某天早晨,张强从家跑步去体育场锻炼,同时妈妈从体育场晨练结束回家,途中两人相遇,张强跑到体育场后发现要下雨,立即按原路返回,遇到妈妈后两人一起回到家(张强和妈妈始终在同一条笔直的公路上行走).如图是两人离家的距离y(米)与张强出发的时间x(分)之间的函数图象.根据图象信息解答下列问题:2-1-c-n-j-y
(1)求张强返回时的速度.
(2)妈妈比按原速返回提前多少分到家
(3)请直接写出张强与妈妈何时相距1 000米.
12.解:(1)张强返回时的速度是3 000÷(50-30)=150(米/分).
(2)妈妈原来的速度是=50(米/分);
妈妈提前回家的时间是-50=10(分).
(3)分,分,35分.
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