广东省东莞市第四高级中学2022-2023学年高一下学期数学第12次测试（含答案）

东莞市第四高级中学2022-2023学年高一下学期数学第12次测试
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若复数（为实数，为虚数单位）在复平面内对应的点在第三象限内，则实数的值可以是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．-1
2．如图，是以为直径的半圆圆周上的两个三等分点，为线段的中点，为线段上靠近的一个四等分点，设，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式，有拓扑学中的欧拉多面体公式、初等数论中的欧拉数论公式等其中最著名的是复变函数中的欧拉幅角公式——把复数、指数函数与三角函数联系起来（，自然对数的底数，虚数单位）．若复数满足，则的虚部为（ ）
A． B．
C． D．
4．在△中，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则的外接圆直径为（ ）
A． B．60 C． D．
7．若，，与的夹角为，则的值是
A． B．
C． D．
8．若的内角的对边分别为，且，则
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列命题正确的（ ）
A．若复数，则
B．若，，则复数的虚部是
C．若，则的最小值为1
D．已知，若关于x的方程有实数根，则实根必为．
10．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，若，点在边上，且，是的外心，则下列判断正确的是（ ）
A． B．的外接圆半径为
C． D．的最大值为2
11．关于函数，，下列说法正确的是（ ）
A．一个对称中心为
B．对称轴为
C．单调区间为，
D．在内没有零点
12．已知是函数的最大值，若存在实数，使得对任意实数总有成立，则的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．已知复数（为虚数单位），则的模为____．
14．已知均为锐角且，，则的值为______.
15．已知平面向量，，且//，则＝ ．
16．圆为锐角的外接圆，，则的取值范围为__________．
四、解答题
17．（1）已知，且，求的值；
（2）已知扇形的周长为，面积为，求扇形的半径.
18．设向量，，.
(1)当时，以为基底表示；
(2)若的夹角为锐角，求实数的取值范围.
19．设复数，，，在复平面内对应的点在第一象限，且.
（1）求及.
（2）若，求与的值.
20．已知函数．
(1)用五点法作出在一个周期上的简图．
(2)求在时的值域．
21．在锐角中，分别为角的对边，且．
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）若，求面积的取值范围．
22．在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足．
(1)求证：；
(2)求的取值范围．
参考答案：
1．C
2．C
【
3．D
4．C
5．D
6．C
7．A
8．C
9．AC
10．BC
【分析】先利用正弦定理可得可判断A；再利用可判断B；画出图像，在中，计算出可判断C；再由由可判断D.
【详解】在中，,
∵，
，又，
，故选项A错误；
又，
所以，故，选项B正确.
取的中点，如图所示：
在中，
，
在中，
，故选项C正确；
由，
当且仅当圆心在上时取等号，
所以的最大值为，故选项D错误.
故选：BC.
11．BD
【分析】先化简.对于A项，代入检验即可；整体换元求出函数的对称轴和递增、递减区间，即可判断B、C项；对于D项，求出在上的值域即可得到.
【详解】因为
.
因为，所以A项错误；
由，可得，B项正确；
函数的单调区间分为增区间和减区间，该说法不准确，C项错误；
因为，，所以，则，
所以，即，D项正确.
故选：BD.
12．ACD
【分析】利用正弦的和角公式以及辅助角公式化简至标准型正弦函数，解出的值，
即可得出结果.
【详解】因为
∴，，周期，
又存在实数，对任意实数总有成立，
∴，，
∴的最小值为，且
∴可取、、.
故选：ACD
13．
14． /
15．(-4,-8)
【详解】由，然后根据平面向量共线（平行）的坐标表示建立等式即，
求出，然后根据平面向量的坐标运算．
16．
【分析】根据向量的线性运算与锐角三角形外接圆的相关性质即可求解.
【详解】依题意，设中点，的中点为，则垂直平分，垂直平分，
则.
以为圆心，1为半径作圆，则在该圆上变化.
为中垂线交点，连接，由三角形为锐角三角形，
根据临界位置结合图形可知，而，
，则范围是．
故答案为：.
【点睛】方法点睛：外接圆的圆心为三角形三条边中垂线的交点，由三角形为锐角三角形，利用直角作为临界点即可得出圆心到弦的距离的范围，进而问题可解.
17．（1）；（2）扇形的半径为.
【分析】（1）由向量平行的坐标表示可求得，再由同角三角函数的平方关系和商数关系化简代入即可得出答案；
（2）设扇形的半径为，弧长为，圆心角为，由扇形的弧长和面积公式求解即可.
【详解】（1）由，且，得.
（2）设扇形的半径为，弧长为，圆心角为.
，即，解得或，
当时，，则，不符合，舍去，
当时，，则，可取，故扇形的半径为.
18．(1)；
(2)且.
【分析】（1）令，利用向量坐标运算求出待定系数即可作答.
（2）根据给定条件利用向量的数量积及向量不共线列式计算作答.
【详解】（1）当时，，设，即，
则有，解得，
所以.
（2）因为的夹角为锐角，则，且不共线，又，，
因此，，且，解得且，
所以实数的取值范围为且.
19．（1），；（2），.
【解析】（1）设，则，
利用实部和虚部分别相等即可求出、的值，从而求出复数及.
（2）利用复数相等的充要条件即可列方程求出，从而求出角和的值.
【详解】（1）设，则，
因此.
所以，解得或
所以，或.
又因为在复平面内对应的点在第一象限，则应舍去，
故，.
（2）由（1）知，
即解得，
因为，所以，所以.
综上可知，.
【点睛】本题主要考查了复数相等的充要条件是实部相等、虚部相等，以及求复数的模，属于基础题.
20．(1)答案见解析；
(2).
【分析】（1）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，利用，，，，，描点作图即可；
（2）当时，，可得， ，从而可得结果.
【详解】（1）
，
五点法作图：
x
f(x) 0 1 0 -1 0
（2）当时，，
∴，此时，，即，
，此时，，即，
∴在时的值域为．
21．(1) ；（2）.
【详解】试题分析：（Ⅰ）由，根据二倍角的正弦、余弦公式以及辅助角公式化简可得，从而可得结果；（Ⅱ）在中，由正弦定理得，又，∴，∴， 又∵，从而可得结果.
试题解析：（Ⅰ）∵，∴①，
又∵，∴②，
又③， 将①，②，③代入已知得：，
整理得，即，
又∵，
∴，即．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，∴，
∵为锐角三角形，
∴且，
解得， 在中，由正弦定理得：，
∴， 又，∴，∴， 又∵，∴．
22．(1)证明见解析
(2)．
【分析】（1）先利用余弦定理化简已知条件可得，再利用正弦定理化边为角，即可证明（2）消元，将要求取值范围的代数式转化为，利用第一问得出的结论求出角的取值范围，从而得到的取值范围，最后应用对勾函数的单调性即可求解
【详解】（1）由余弦定理得，
∵，
∴
∴
∴，
由正弦定理得，
∴，
∴，
∵，∴，∴，∴
（2）由（1）得，
∴，
∵，又，∴，∴，
函数在上单调递减，在上单调递增
，
∴，
∴的取值范围为．