21.(12分)
某生产制造企业统计了近10年的年利润y(千万元)与每年投人的某种材料费用
x(十万元)的相关数据，作出如下散点图：
个年利润y(千万元)
P
256;
8
12
16
18
某种材料费用x(十万元)
选取函数y=a·x(b>0,a>0)作为每年该材料费用x和年利润y的回归模型。
若令m=lnx,n=lny,m:=lnx,n:=lny,则n=bm+lna,得到相关数据如表所示：
名n
名n
n
三n时
31.5
15
15
49.5
(1)求出y与x的回归方程；
(2)计划明年年利润额突破1亿，则该种材料应至少投入多少费用？（结果保留到万元）
考数据：10=3.679,3.6792≈13.535,3.679≈49.795
为降水
22.(12分)
盒中有6只乒乓球，其中黄色4只，白色2只.每次从盒中随机取出1只用于比赛
>、适中、
(1)若每次比赛结束后都将比赛用球放回盒内，记事件M=“三次比赛中恰有两次使
用的是黄色球”，求P(M);
下可产
(2)已知黄色球是今年购置的新球，在比赛中使用后仍放回盒内；白色球是去年购置
适合在
的旧球，在比赛中使用后丢弃。
①记事件S=“第一次比赛中使用的是白色球”，T=“第2次比赛中使用的是黄色
球”，求概率P(ST)
②已知n≥2，n∈N,记事件R.=“在第n次比赛结束后恰好丢弃掉所有白球”，
求概率P(Rn),
高二数学试题第6页（共6页）
姓名
准考证号
秘密★启用前
2.关
高二数学试题
3.从
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
a
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在
4.某
答题卡上，写在本试卷上无效。
后
的
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
5.已
参考公式和数据：
1.若X~N(u,σ2)，则Pμ-oA
P(u-3g6.算
2.参考公式：X2=
n(ad bc)2
其中n=a+b+c+d.
(a+b)(e+d)(a+c)(b+d)'
式
3.参考数据：
P(X2≥k)
0.25
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
k
1.323
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
用
之
(x,-x)y:-y)
xiy:-nxy
4.线性回归方程=6x+a的系数：6=
,a=y-bx
此
名6
好-n2
7.某
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，
优
只有，项是符合题目要求的。
1.某同学从5本不同的科普杂志，4本不同的文摘杂志中任选1本阅读，则不同的选法共有
关注微信公众号
获得答案详解及更多资讯
A.20种
B.9种
C.10种
D.16种
高二数学试题第1页（共6页）秘密★启用前
2022-2023学年度高二年级第二学期期中测评考试试题
数学参考答案及评分参考
一、单项选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
····
求的。
1. B 2. B 3. C 4. B 5. D 6. D 7. A 8. D
二、多项选择题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部
···
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9. BC 10. ABD 11. BCD 12. ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 2
14. 1.5 4.5
15. 120
16. 8
四、解答题：本题共6小题，共70分。
17.解：（1）列联表为
运动达标 运动不达标 总计
男生 38 12 50
女生 26 24 50
总计 64 36 100
………………………………………………………………………………………………………………………… 2分
2 = 100 × (38 × 24 - 26 × 12)2χ 64 × 36 × 50 × 50 = 6.25 > 5.024，……………………………………………………………… 4分
所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下能认为“运动达标”与“性别”有关 .……………………………… 6分
（2）由（1）知“运动不达标”的男生、女生分别有 12人和 24人，按分层抽样的方法从中抽取 6人，则男生、女生分
别抽到2人和4人，所以P = C4
2 6
C2 = 15 =
2 2
5，所以选中的2人都是女生的概率为 5 . ………………………… 10分6
18.解：（1）先排两名女生，有A25种排法，然后排其余5人，有A55种排法，故有A25A55 = 2400种排法； …………… 4分
（2）先排5名男生，有A55种排法，然后排两名女生，有A26种排法，故有A55 A26 = 3600种排法；………………… 8分
（3）两名女生有A22种排法，从剩下的 5人中选一人插入两名女生中间，有A51种，然后再将三人看作一个元素，和
其他四个元素作全排列，有A55种排法，故共有A22·A51·A55 = 1200种排法 . …………………………………… 12分
19.解：若选填条件①，C3 = C6n n，由二项式系数的性质可得，n = 9；………………………………………………… 2分
若选填条件②，偶数项的二项式系数和为256，即2n-1=28，可得，n = 9； ……………………………………… 2分
若选填条件③，C0 + C1 2 n (n - 1)n n + Cn = 46，即1 + n + 2 = 46，解得n = 9或n = -10，因为n ∈ N*，所以n = 9. … 2分
（1 1）二项式 (2 x - )9展开式的通项：
x
r
Tr+1 = C r9·(2 9 - r 1x ) ·(- x )
=（-1 9 - 3r）r29-r·C9r·x 2 .
高二数学试题答案 第1页（共３页）
9 - 3r
由 2 = -6，得 r = 7.…………………………………………………………………………………………… 4分
1
展开式中含 6 项的系数为（-1）722·C79 = -144. ………………………………………………………………… 6分x
（2）假设第 r+1项系数绝对值最大，
{C9r 29 - r ≥ C9r - 1210 - r,则 C9r 29 - r ≥ C r + 128 - r, …………………………………………………………………………………………… 8分9
ì 9! 9!
(9 - r )! ≥r! (10 - r )!( r - 1)! × 2,
所以í
9! 9!
(9 - r )! ! × 2 ≥r (8 - r )!( r + 1)! ,
7 10
所以 3 ≤ r ≤ 3 ，因为 r ∈ N*，所以 r = 3，………………………………………………………………………… 10分
所以展开式中系数绝对值最大的项为T4 =（-1）329-3·C3·
9 - 3 × 3
9 x 2 = -5376. …………………………………… 12分
20.解：（1）将20年的年降水量按照降水量等级分类，可知：
4
降水量偏少的年份有4年，概率可估计为 20 =0.2；
10
降水量适中的年份有10年，概率可估计为 20 =0.5；
6
降水量偏多的年份有6年，概率可估计为 20 =0.3.
于是该地区年降水量偏少、适中、偏多的概率（频率）分别为0.2，0.5，0.3；…………………………………… 4分
（2）设种植农作物甲、乙、丙一年后每亩地获得利润分别是随机变量X，Y，Z，
则它们的概率分布列分别为
X 8 12 Y 12 10 7 Z 7 10 12
P 0.5 0.5 P 0.2 0.5 0.3 P 0.2 0.5 0.3
若种植甲则每亩地获利的期望E (X ) = 8 × 0.5 + 12 × 0.5 = 10，……………………………………………… 5分
若种植乙则每亩地获利的期望E (Y ) = 12 × 0.2 + 10 × 0.5 + 7 × 0.3 = 9.5，………………………………… 6分
若种植丙则每亩地获利的期望E (Z ) = 7 × 0.2 + 10 × 0.5 + 12 × 0.3 = 10， ………………………………… 7分
E (Y ) < E (X ) = E (Z )，即种植甲、丙的获利的期望值比乙更高，不考虑推广乙，……………………………… 8分
D (X ) = 0.5 × (8 - 10)2 + 0.5 × (12 - 10)2 = 4，………………………………………………………………… 9分
D (Z ) = 0.2 × (7 - 10)2 + 0.5 × (10 - 10)2 + 0.3 × (12 - 10)2 = 3，…………………………………………… 10分
D (X ) > D (Z )，故种植丙时获利的稳定性更好，
因此，作物丙最适合在该地区推广种植 . ……………………………………………………………………… 12分
21.解：（1）因为m = lnx，n = lny，n = bm + lna
=∑
10
min
- -
i - 10m n
i = 1 = 31.5 - 10 × 1.5 × 1.5 1由表中数据得 b ∑10 2 - 10- 2 49.5 - 10 × 1.5 × 1.5 = 3，…………………………………………… 2分mi m
i = 1
所以 ln 1a = -n - b-m = 1.5 - 3 × 1.5 = 1，所以a = e， …………………………………………………………… 4分
1
所以年该材料费用 x和年利润额 y的回归方程为 y = e·x3；…………………………………………………… 6分
1
（2）令 y = e·x3 > 10 1，得 x3 > 10e ≈ 3.679， ……………………………………………………………………… 8分
所以 x > 3.6793 ≈ 49.8（十万），………………………………………………………………………………… 10分
故下一年应至少投入498万元该材料费用 . …………………………………………………………………… 12分
高二数学试题答案 第2页（共３页）
22. 1 4 = 2解：（）由题意知，每次比赛中，使用黄色球的概率为 6 3，
2
记3次比赛中，使用黄色球的次数为随机变量X，则X~B (3, 3 )，……………………………………………… 2分
故P (M ) = P (X = 2) = C 2 2 432 × ( 3 )2 × (1 - 3 )3 - 2 = 9；…………………………………………………………… 3分
（2）记事件Yk =“第 k次比赛使用黄色球”，事件Wk =“第 k次比赛使用白色球”，(k ∈ N+ )
①根据题意，P (ST ) = P (W1Y2 ) = P (W1 )P (Y2| 2 4 4W1 ) = 6 × 5 = 15，……………………………………………… 4分
P (T ) = P ( ) = ( 4 4 4 4 32Y2 P W1Y2 ) + P (Y1Y2 ) = 15 + P (Y1 )P (Y2|Y1 ) = 15 + 6 × 6 = 45，……………………………… 6分
( | ) = P (ST )
4 3
故P S T P ( ) = 3125 =T 8；………………………………………………………………………………… 7分
45
②由题意，Rn表示第n次比赛中使用了最后一只白色球，即第2次使用白色球，
不妨设第 k (1 ≤ k < n,k ∈ N+ )次比赛中，首次使用白色球，
故在第 i (1 ≤ i ≤ n - 1,i ∈ N+,i ≠ k )次比赛中，使用黄色球，
即比赛流程为Y1Y2 Yk - 1WkYk + 1Yk + 2 Yn - 1Wn，
根据规则可知，在前 k - 1局比赛中，每次比赛开始前盒中均有 4只黄球 2只白球，故每次比赛选择黄球的概率
4
均为 6 =
2
3，
2 1
第 k局比赛前，盒中有4只黄球2只白球，此时选择白球的概率为 6 = 3，
第 k + 1至 n - 1局比赛（共计 n - k - 1局）中，每次比赛前盒中均有 4只黄球 1只白球，故每次比赛选择黄球的
4
概率均为 5，
4 1 1第n次比赛中，比赛前盒中有 只黄球 只白球，故比赛选中白球的概率为 5，
( 2 1 4 1 1 4 5故P Y1Y2 Yk - 1WkYk + 1Y + 2 Y - 1W ) = ( 3 )k - 1 × 3 × ( 5 )n - k - 1k n n × 5 = 8 × ( 5 )n × ( 6 )k，………………… 10分
考虑到 k的取值可能从1变化到n - 1，
故P (Rn ) =∑n - 1P (Y1Y2 n - 1 1 4 5Yk - 1WkYk + 1Yk + 2 Yn - 1Wn ) =∑[ 8 × ( 5 )n × ( 6 )k ]k = 1 k = 1
1 4 - 1 5 1 4 5 1 - ( 5 )n - 1= n 1 4 28 × ( 5 )n ×∑( 6 )k = 8 × ( 5 )n × 6 × 6 = [ ( )n - 1 - ( )n - 1 ]. ……………………………… 12分k = 1 1 - 5 2 5 36
高二数学试题答案 第3页（共３页）
